新苏科版八年级数学下册《12章二次根式12.1二次根式》课件_13
合集下载
新苏科版八年级数学下册第12章 二次根式《12.2二次根式的乘除》优质课件
2a 8a＝ 16a2＝4a．
自主展示: 夯实基础，才能有所突破……
练习： 课本154页练习第1题．
自主探究:
逆用二次根式乘法法则：
a b＝ ab (a≥0，b≥0).
文字语言叙述： 积的算术平方根，等于积中各因式的
算术平方根的积．
自主合作：
二次根式中含有二次或高于二
次的因数或因式怎么化简？
（2） 1 ＝ 5 ＝ 5 ； 5 5 5 5
（3） 5y ＝ 5y 2x ＝ 10xy ． 18x3 18x3 2x 6x2
练习：化去分母中的根号．
（1） 3 ； 5
1
（2）
；
8
（3） 5b (a＞0， b≥0)． 12a3
像
8
，
1 3
1
， 不能作为二次根式的最后化简结果．
2
化简二次根式
尝试化简：
（1） 3 27 ；
（2） 200 ； （3） x3 y (x≥0，y≥0). 注意结果：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
例1 化简：
（1） a2 (b＋c)2 (a≥0，b+c≥0)；
解：（1）当a≥0，b+c≥0时，
a2 (b＋c)2＝ a2 (b＋c)2＝a(b＋c)；
（1） 4 ＝
25
4
， 25 ＝
；
（2） 9 ＝
， 9＝
；
16
16
（3） 49 ＝
100
，
49 100
＝
；
（4） 22 ＝
， 22 ＝
．
52
52
比较上述各式，你猜想到什么结论？
一般地，有 a ＝ a (a≥0， b＞0),
自主展示: 夯实基础，才能有所突破……
练习： 课本154页练习第1题．
自主探究:
逆用二次根式乘法法则：
a b＝ ab (a≥0，b≥0).
文字语言叙述： 积的算术平方根，等于积中各因式的
算术平方根的积．
自主合作：
二次根式中含有二次或高于二
次的因数或因式怎么化简？
（2） 1 ＝ 5 ＝ 5 ； 5 5 5 5
（3） 5y ＝ 5y 2x ＝ 10xy ． 18x3 18x3 2x 6x2
练习：化去分母中的根号．
（1） 3 ； 5
1
（2）
；
8
（3） 5b (a＞0， b≥0)． 12a3
像
8
，
1 3
1
， 不能作为二次根式的最后化简结果．
2
化简二次根式
尝试化简：
（1） 3 27 ；
（2） 200 ； （3） x3 y (x≥0，y≥0). 注意结果：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
例1 化简：
（1） a2 (b＋c)2 (a≥0，b+c≥0)；
解：（1）当a≥0，b+c≥0时，
a2 (b＋c)2＝ a2 (b＋c)2＝a(b＋c)；
（1） 4 ＝
25
4
， 25 ＝
；
（2） 9 ＝
， 9＝
；
16
16
（3） 49 ＝
100
，
49 100
＝
；
（4） 22 ＝
， 22 ＝
．
52
52
比较上述各式，你猜想到什么结论？
一般地，有 a ＝ a (a≥0， b＞0),
二次根式(课件)八年级数学下册(苏科版)
−13
2
+ −13 ＝11 + 13＝24．
课堂练习
用代数式表示：
10．
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 2∶3 的长方形的长和宽．
解：（1）设圆的半径为 r，则
所以 S＝πr²，则 r ＝±
思考：当a＜0时， a 2 = -a ？
a(a＜0) 平方
运算
-2
-0.1
2
...3
a2
4
算术平
方根
0.01
4
...9
观察两者有什么关系？
a2
2
0.1
2
...3
探究新知
的性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典型例题
例2 化简：
1
3
2 4 ；
3
3
探究新知
( a ) 2 ( a 0) 的性质：
2
(
a
)
一般地，
＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 a 有
意义的前提条件.
典型例题
例1 计算：
2
(2)( 5) 2
3
1 2
(1)( )
2
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢？
”．
典型例题
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(3)
(5)
xy x, y异号 ; (6)
12;
2
+ −13 ＝11 + 13＝24．
课堂练习
用代数式表示：
10．
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 2∶3 的长方形的长和宽．
解：（1）设圆的半径为 r，则
所以 S＝πr²，则 r ＝±
思考：当a＜0时， a 2 = -a ？
a(a＜0) 平方
运算
-2
-0.1
2
...3
a2
4
算术平
方根
0.01
4
...9
观察两者有什么关系？
a2
2
0.1
2
...3
探究新知
的性质：
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典型例题
例2 化简：
1
3
2 4 ；
3
3
探究新知
( a ) 2 ( a 0) 的性质：
2
(
a
)
一般地，
＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 a 有
意义的前提条件.
典型例题
例1 计算：
2
(2)( 5) 2
3
1 2
(1)( )
2
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢？
”．
典型例题
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(3)
(5)
xy x, y异号 ; (6)
12;
【最新】苏科版八年级数学下册第十二章《12.1 二次根式(2)》公开课课件.ppt
。2020年12月17日星期四2020/12/172020/12/172020/12/17
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/172020/12/172020/12/1712/17/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/172020/12/17December 17, 2020
初中数学 八年级(下册)
12.1 学科二网 次根式（2）
学.科.网
复习回顾： 1．二次根式的概念；
a（a≥0）．
2．二次根式有意义的条件； a≥0
3．二次根式的性质
2 a
a（a≥ 0）
练 习 ： 3 2 = ； -1 . 2 1 2 = ； 3 2 2 =
观察下列各式的特点，找出各式的共同规律， 并用表达式表示你发现的规律.
2
a
a2
读法
根号a的平方 根号下a平方
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
a的取值范 围
运算结果
a≥0 a
a取全体实数
∣a∣学.
科.网
练一练：
1. 数 a 在数轴上的位置如图,则 a2 __a0_a__.
a
a
a
0
1
2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
a b0 c
(ab)2(bc)2ca
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/172020/12/172020/12/172020/12/17
2
5
16
22
(3 ). (x 1 )2(x2)2(1x2)
苏科版八年级数学下册第十二章《121 二次根式》优课件(共14张PPT)
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
zxxkw
二次根式概念
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5 , a (a 0 )3,8 , a (a 0 )
❖练习：P60第1、2题
作业：P60第1、2、3题.
❖不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 ❖正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
zxxkw
zxxkw
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25 的平方根是 ± 5 ;
1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， a表示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时， a没有意义.
zxxkw
计算 ： 22
（ - 2）2 52
（ - 5）2
10 2 （ - 10 ） 2
02
性质2：
a2
a(a 0), | a | a(a 0).
计算：
(1) 64 (2) 4
zxxkw
二次根式概念
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5 , a (a 0 )3,8 , a (a 0 )
❖练习：P60第1、2题
作业：P60第1、2、3题.
❖不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 ❖正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 ❖书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
zxxkw
zxxkw
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25 的平方根是 ± 5 ;
1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， a表示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时， a没有意义.
zxxkw
计算 ： 22
（ - 2）2 52
（ - 5）2
10 2 （ - 10 ） 2
02
性质2：
a2
a(a 0), | a | a(a 0).
计算：
(1) 64 (2) 4
苏科版八年级数学下册第十二章《12-2二次根式的加减》优质课 课件(共13张PPT)
称为同类二次根式。
例 1、判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?
（1） 50与 0.5 （ ）
（2） 12与 18
（3） （4）
2ab与2 ab 33
a3与 1 a
（） （） （）
判断几个二次根式是 同类二次根式的方法
一是化 每个二次根式化为最简二次根式； 二是看 化简后的二次根式中被开方数是否相同。
3.3.1 二次根式的加减
复习回顾：
把下列各式化为最简二次根式：
8
18
1
2
27
1
3
a3b
a (a≥0，b＞0)
b
解得：
82 2 18 3 2 11 2 22
27 3 3 11 3 33
a 3b a ab a 1 ab bb
观察：以上三组二次根式化简后，被开，
2、5 3 18 8 12
3、40 5
1
0.5
1 4
10
2
课本P70：练习1
Ø例题讲解
如图：两个圆的圆心相同，面积分别为 8㎝2、18㎝2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).
d
课本P70：练习3
1.若最简二次根式 5x 7 与 x 8x2是同类二次根式，
求x
2.先化简再求值，其中 a6,b4.
a 4 2 a 3 b a 2 b 2a 2 b 2 2 a3 b b 4
• 在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/92022/5/9May 9, 2022 人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
1、下面给出4组根式（其中x＞0)
1 0.125与 128 2 75与 1
例 1、判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?
（1） 50与 0.5 （ ）
（2） 12与 18
（3） （4）
2ab与2 ab 33
a3与 1 a
（） （） （）
判断几个二次根式是 同类二次根式的方法
一是化 每个二次根式化为最简二次根式； 二是看 化简后的二次根式中被开方数是否相同。
3.3.1 二次根式的加减
复习回顾：
把下列各式化为最简二次根式：
8
18
1
2
27
1
3
a3b
a (a≥0，b＞0)
b
解得：
82 2 18 3 2 11 2 22
27 3 3 11 3 33
a 3b a ab a 1 ab bb
观察：以上三组二次根式化简后，被开，
2、5 3 18 8 12
3、40 5
1
0.5
1 4
10
2
课本P70：练习1
Ø例题讲解
如图：两个圆的圆心相同，面积分别为 8㎝2、18㎝2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).
d
课本P70：练习3
1.若最简二次根式 5x 7 与 x 8x2是同类二次根式，
求x
2.先化简再求值，其中 a6,b4.
a 4 2 a 3 b a 2 b 2a 2 b 2 2 a3 b b 4
• 在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/92022/5/9May 9, 2022 人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
1、下面给出4组根式（其中x＞0)
1 0.125与 128 2 75与 1
苏科版八年级下册数学《12.1二次根式》课件
§12.1二次根式（1）
生活导入
天安门广场前的音 乐喷泉造型： 水域部分是正方形， 外围是圆.
（1）如果该正方形的面积为30m2,正方形的边长 为多少m？ （2）如果该圆的面积为Sm2，圆的半径是多少m?
结果保留 ）
生活导入
东方明珠广播电视塔
a米 50米
(3)塔座所形成的直角三 角形的斜边长为多少米？
2
(3) a + b (a b 0)
应用新知
计算：
2
(1) 13
(2) 2
1 2 2
2
2
(3) 8 6 (4) ( a2 b2 )2
拓展提高
1.已知 y x 4 4 x 2，你能求出x+y的值吗？
2.已知 x 2y 9 与 x y 3 互为相反数,求x-y的值.
回顾总结
说说这节课你的收获是什么？
拓展提高
3.已知 12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为______.
探索新知
2
( 2)2 = 2
( 5)2 5
( 9)2 9
( 30 )2 30
……
猜想 ( a )22 a
探索新知
2
( 2)2 = 2
( 5)2 5
( 9)2 9
( 30 )2 30
……
二次根式的性质
( a )2 a(a 0)
应用新知
2.计算：
(1)
பைடு நூலகம்
2 2 3
2
(2) 2 3
认识新知
一般地，式子 a (a≥0) 叫做二次根式.
a 叫做被开方数.
【说明】二次根式必须具备以下特点: (1)有二次根号; (2)被开方数大于或等于0.
生活导入
天安门广场前的音 乐喷泉造型： 水域部分是正方形， 外围是圆.
（1）如果该正方形的面积为30m2,正方形的边长 为多少m？ （2）如果该圆的面积为Sm2，圆的半径是多少m?
结果保留 ）
生活导入
东方明珠广播电视塔
a米 50米
(3)塔座所形成的直角三 角形的斜边长为多少米？
2
(3) a + b (a b 0)
应用新知
计算：
2
(1) 13
(2) 2
1 2 2
2
2
(3) 8 6 (4) ( a2 b2 )2
拓展提高
1.已知 y x 4 4 x 2，你能求出x+y的值吗？
2.已知 x 2y 9 与 x y 3 互为相反数,求x-y的值.
回顾总结
说说这节课你的收获是什么？
拓展提高
3.已知 12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为______.
探索新知
2
( 2)2 = 2
( 5)2 5
( 9)2 9
( 30 )2 30
……
猜想 ( a )22 a
探索新知
2
( 2)2 = 2
( 5)2 5
( 9)2 9
( 30 )2 30
……
二次根式的性质
( a )2 a(a 0)
应用新知
2.计算：
(1)
பைடு நூலகம்
2 2 3
2
(2) 2 3
认识新知
一般地，式子 a (a≥0) 叫做二次根式.
a 叫做被开方数.
【说明】二次根式必须具备以下特点: (1)有二次根号; (2)被开方数大于或等于0.
苏科版八年级数学下册第十二章《121 二次根式(1)》公开课课件(共25张PPT)
离墙角 11米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．
A
解:∵在Rt△ACB中，由勾股定理得
A2 C A2 B B2 C (3 3)2( 11 )2
33
2711
16
AC4米．
C
11
B
答：梯子的顶端与地面的距离h为 ４米．
12.1 二次根式（1）
练一练 《课本》P149第2题．
12.1 二次根式（1） 1.二次根式的定义：
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/262021/10/26October 26, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/262021/10/262021/10/262021/10/26
12.1 二次根式（1）
AB＝＿＿a 2＿＿8＿1米
A .●
？ a米
.●
.●
B
9米 C
A B
12.1 二次根式（1）
s
3
π
a 2 81
形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，其
中，a叫被开方数．
12.1 二次根式（1）
探索活动一
例1 下列哪些式子是二次根式？为什么？
（1） 35
；（2） ( 3 )
2
；
（3）3 2 ； （4） xy （x、y异号）.
初中数学 八年级(下册)
12.1 二次根式（1）
12.1 二次根式（1）
12.1 二次根式（1）
30
正方形喷泉池的面积为30m2，那么正方形的边
长是 30 m ．
12.1 二次根式（1）
12.1 二次根式（1）
A
解:∵在Rt△ACB中，由勾股定理得
A2 C A2 B B2 C (3 3)2( 11 )2
33
2711
16
AC4米．
C
11
B
答：梯子的顶端与地面的距离h为 ４米．
12.1 二次根式（1）
练一练 《课本》P149第2题．
12.1 二次根式（1） 1.二次根式的定义：
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/262021/10/26October 26, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/262021/10/262021/10/262021/10/26
12.1 二次根式（1）
AB＝＿＿a 2＿＿8＿1米
A .●
？ a米
.●
.●
B
9米 C
A B
12.1 二次根式（1）
s
3
π
a 2 81
形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，其
中，a叫被开方数．
12.1 二次根式（1）
探索活动一
例1 下列哪些式子是二次根式？为什么？
（1） 35
；（2） ( 3 )
2
；
（3）3 2 ； （4） xy （x、y异号）.
初中数学 八年级(下册)
12.1 二次根式（1）
12.1 二次根式（1）
12.1 二次根式（1）
30
正方形喷泉池的面积为30m2，那么正方形的边
长是 30 m ．
12.1 二次根式（1）
12.1 二次根式（1）
苏科版八年级数学下册第十二章《12.1 二次根式(第2课时)》公开课课件
2
2
所以
5 2 2 5，
2
2
即
1 1
22
12.1 二次根式（2）
拓展提高：
1. a 与 a 2 中，a可以是怎样的实数？
2. ( a ) 2 与 a 2 是否相等？
12.1 二次根式（2）
课堂小结： 本节课的收获与体会？
通过观察，你得到的结论是什么？ 试着说一说．
12.1 二次根式（2）
发现：当 a≥ 0 时， a 2 a ；
当 a＜ 0 时， a 2 a；
根据绝对值的意义： a2＝ | a |．
12.1 二次根式（2）
例题讲解
（1） ( 1 .5 ) 2；
（2） (π 1) 2 ；
（3） (x 1)2 ( x≤1)．
12.1 二次根式（2）
12.1 二次根式（2）
复习回顾：
1．二次根式的概念； 2．二次根式有意义的条件；
3． a 2 （ a a≥0）．
12.1 二次根式（2）
观察下列各式的特点，找出各式的共同规律， 并用表达式表示你发现的规律.
22＝ _______， 52＝ _______， 102＝ _______， (2)2＝ _______， (5)2＝ _______， (10)2＝ _______， 02＝ _______.
12.1 二次根式（2）
学生练习：
1.计算：
（1） 2 5 ；
（2） 4 ； 9
（3） (－7)2 ； （4） x2－4x＋4(x≥2)．
12.1 二根式（2）
2.指出下列运算过程中的错误．
(1)2 1 2 ，可以写成 2 2
(52)2 (25)2，
2
2
【★】8年级数学苏科版下册课件第12单元 《12.1二次根式》
2
2x 1
等式成立
课堂小结
本节课你学到了什么？ 1、二次根式的性质
2、 a 2和 a2的区别与联系
请同学们 完成课堂作业
探究二： a 2和 a2 的区别与联系
2. ( a )2 与 a2 的值是否相等？
2 a a,
a2 a , 前一个表示a的算术平方根的
平方，后一个表示a2的算术平方根，当a≥0时，结果
相等，都等于a；当a﹤0时， a 2无意义，
而 a2 =|a|=－a.
( a ) 2 与 a2 计算的结果都是非负数
再展英姿
1、下列运算过程正确吗？如果有错误请指出。
(1)2 2
1
2
，可以写成
2
(5 2)2 (2 5)2，
2
2
两边开平方得， ( 5 2)2 (2 5)2，
2
2
所以
5 2 2 5，
2
2
即
1 1
22
再展英姿
2、若 x 22 2 x，那么x的取
值范围是__x __2_
3、当x_ __1 2_时， 2x 12
计算下列代数式的值，并用表达式表示你发现的规律
22 __2__ 52 __5__
102 __1_0_
02 __0__
再举几个相类似的例子，小组讨论观察，你能得到 什么结论？
a2
探究活动一：二次根式的性质
计算下列代数式2 __2__
- 52 __5__
变式一：
x2 1 2
变式二：
a2 3 2
变式三：
如果 x 12 x 1，那么x的取值范围是
变式四：
如果 x 12 1 x，那么x的取值范围是
新苏科版八年级下册初中数学 12.1 二次根式 教学课件
第九页，共十七页。
自主展示 例题讲解 例1：当x为怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
1 x 5 2 x2 1
解： ⑴ 由题意得, x-5≥0
∴x≥5
∴当x≥5时， x 5 在实数范围内有意义.
第十页，共十七页。
自主展示 挑战自我
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3 6 x 2 1 x x 1
第十三页，共十七页。
初探新知
尝试与交流
2 4 4
2
9 9
2 16 16
2
25 25
2 2 2
2
5 5
第十四页，共十七页。
归纳总结
重要结论
当a 0时， a 2 a.
第十五页，共十七页。
自主展示
例2：计算
(1)
2
3
(2)
2 3
2
2
(3) a b (a b 0)
教学课件
数学 八年级下册 苏科版
第一页，共十七页。
第12章 二次根式
12.1 二次根式
第二页，共十七页。
温故知新 平方根的性质
一个正数有两个平方根；
0的平方根是0；
负数没有平方根.
a（a≥0）的平方根是 a .
算术平方根是 a .
第三页，共十七页。
温故知新 抢答
(1)16的平方根是 4，算术平方根是
第十六页，共十七页。
自主评价
1．本节课你学到了哪些知识？
2．本节课中你最大的收获是什么？
第十七页，共十七页。
1
⑶
1 2x
第十一页，共十七页。
自主拓展
1.当x
3 且x 0 2
时，在
2x 实数范围内有 x
自主展示 例题讲解 例1：当x为怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
1 x 5 2 x2 1
解： ⑴ 由题意得, x-5≥0
∴x≥5
∴当x≥5时， x 5 在实数范围内有意义.
第十页，共十七页。
自主展示 挑战自我
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3 6 x 2 1 x x 1
第十三页，共十七页。
初探新知
尝试与交流
2 4 4
2
9 9
2 16 16
2
25 25
2 2 2
2
5 5
第十四页，共十七页。
归纳总结
重要结论
当a 0时， a 2 a.
第十五页，共十七页。
自主展示
例2：计算
(1)
2
3
(2)
2 3
2
2
(3) a b (a b 0)
教学课件
数学 八年级下册 苏科版
第一页，共十七页。
第12章 二次根式
12.1 二次根式
第二页，共十七页。
温故知新 平方根的性质
一个正数有两个平方根；
0的平方根是0；
负数没有平方根.
a（a≥0）的平方根是 a .
算术平方根是 a .
第三页，共十七页。
温故知新 抢答
(1)16的平方根是 4，算术平方根是
第十六页，共十七页。
自主评价
1．本节课你学到了哪些知识？
2．本节课中你最大的收获是什么？
第十七页，共十七页。
1
⑶
1 2x
第十一页，共十七页。
自主拓展
1.当x
3 且x 0 2
时，在
2x 实数范围内有 x
苏科版八年级数学下册第十二章《123_二次根式的加减1》公开课课件(共12张PPT)
•
归纳结论： 二次根式的加减运算
（1）二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同 的能合并.
（2）二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后 合并同类二次根式.
例1 计算：
1． 32 ＋ 43 － 22 ＋ 3；
2． 12＋ 18－ 8－ 32； 3． 40－5 1＋ 10 ．
10
2.计算
（1） 2
初中数学 八年级(下册)
12.3 二次根式的加减（1）
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式； （2）被开方数不含 分母 ； （3）分母中不含有 根号 .
下列3组二次根式各有什么特征？
（1） 2 , 3 2 ,－2 2, 2 2 , 15 2
3
（2）
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/242021/7/242021/7/247/24/2021 9:47:06 PM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/242021/7/242021/7/24Jul-2124-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/242021/7/242021/7/24Saturday, July 24, 2021
126
1 3 3
48
（2） (1 22)0 (35)
（3） 2 9x6 x 2径分别为R、 r，面积分别是18cm2、8cm2.求圆环的宽度（两圆 半径之差）.
本节课我们学习了同类二次根式及二次根式 的加减，那什么是同类二次根式？二次根式怎样 进行加减呢？
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/242021/7/242021/7/242021/7/24
归纳结论： 二次根式的加减运算
（1）二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同 的能合并.
（2）二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后 合并同类二次根式.
例1 计算：
1． 32 ＋ 43 － 22 ＋ 3；
2． 12＋ 18－ 8－ 32； 3． 40－5 1＋ 10 ．
10
2.计算
（1） 2
初中数学 八年级(下册)
12.3 二次根式的加减（1）
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式； （2）被开方数不含 分母 ； （3）分母中不含有 根号 .
下列3组二次根式各有什么特征？
（1） 2 , 3 2 ,－2 2, 2 2 , 15 2
3
（2）
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/242021/7/242021/7/247/24/2021 9:47:06 PM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/242021/7/242021/7/24Jul-2124-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/242021/7/242021/7/24Saturday, July 24, 2021
126
1 3 3
48
（2） (1 22)0 (35)
（3） 2 9x6 x 2径分别为R、 r，面积分别是18cm2、8cm2.求圆环的宽度（两圆 半径之差）.
本节课我们学习了同类二次根式及二次根式 的加减，那什么是同类二次根式？二次根式怎样 进行加减呢？
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/242021/7/242021/7/242021/7/24
江苏8年级下册数学课件12.1二次根式(2)(共18张PPT)
1.如图所示为实数p在数轴上的位置，化简：
(1 p)2 ( 2 p )2
自主拓展
2.已知，三角形的三边长分别为a、b、c，且
a>c,那么| c a | a c b2 =
.
3.当x
时，等式 ( 1 2x)2 (2x 1)2 成立．
中考链接
4.先化简，再求值：
1 2a a2 a2 2a 1 1 ,当a 2 3时代入求值.
自主探究
22 _2__,
52 _5__,
| 2 | _2__; | 5 | _5__;
02 0___,
| 0 | 0___ .
请比较左右两边的式子,想一想:
1、a2 与 | a有| 什么关系?
2、
当 时a , 0
a2 __a__;
当 a 时0,
a2 __a__.
一般地，二次根式又有下面的 性质:
a 1
a2 a
a
a ( a >0 )
（2） a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
自2 ( 1)2 7 ;3 102 10 7
3 ( )2
;4 (1 2)2 2 1
6 (x 1)2 x 1 (x 0);
7 x2 2xy y2 y x (x y).
aa 0 a2 | a | a a 0
自主探究
( a)2与 a2有区别吗?
?
2
比较分析 a 和 a2
2
a
a2
读法
根号a的平方 根号下a平方
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
a的取值范围
a≥0
a取全体实数
运算结果
a
∣a∣
计算：
二次根式性质1:
(1 p)2 ( 2 p )2
自主拓展
2.已知，三角形的三边长分别为a、b、c，且
a>c,那么| c a | a c b2 =
.
3.当x
时，等式 ( 1 2x)2 (2x 1)2 成立．
中考链接
4.先化简，再求值：
1 2a a2 a2 2a 1 1 ,当a 2 3时代入求值.
自主探究
22 _2__,
52 _5__,
| 2 | _2__; | 5 | _5__;
02 0___,
| 0 | 0___ .
请比较左右两边的式子,想一想:
1、a2 与 | a有| 什么关系?
2、
当 时a , 0
a2 __a__;
当 a 时0,
a2 __a__.
一般地，二次根式又有下面的 性质:
a 1
a2 a
a
a ( a >0 )
（2） a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
自2 ( 1)2 7 ;3 102 10 7
3 ( )2
;4 (1 2)2 2 1
6 (x 1)2 x 1 (x 0);
7 x2 2xy y2 y x (x y).
aa 0 a2 | a | a a 0
自主探究
( a)2与 a2有区别吗?
?
2
比较分析 a 和 a2
2
a
a2
读法
根号a的平方 根号下a平方
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
a的取值范围
a≥0
a取全体实数
运算结果
a
∣a∣
计算：
二次根式性质1:
苏科版八年级数学下册第十二章《12-2二次根式的加减》优 课件(共13张PPT)
a 4 2 a 3 b a 2 b 2a 2 b 2 2 a3 b b 4
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月2日星期六2022/4/22022/4/22022/4/2 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/22022/4/22022/4/24/2/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/22022/4/2April 2, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
2、5 3 18 8 12
3、40 5
1
0.5
1 4
10
圆的圆心相同，面积分别为 8㎝2、18㎝2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).
d
课本P70：练习3
1.若最简二次根式 5x 7 与 x 8x2是同类二次根式，
求x
2.先化简再求值，其中 a6,b4.
3.3.1 二次根式的加减
复习回顾：
把下列各式化为最简二次根式：
8
18
1
2
27
1
3
a3b
a (a≥0，b＞0)
b
解得：
82 2 18 3 2 11 2 22
27 3 3 11 3 33
a 3b a ab a 1 ab bb
观察：以上三组二次根式化简后，被开方数有何特征？
经过化简后，被开方数相同的二次根式，
称为同类二次根式。
例 1、判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?
（1） 50与0.5 （ ）
（2） 12与 18
（3）
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月2日星期六2022/4/22022/4/22022/4/2 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/22022/4/22022/4/24/2/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/22022/4/2April 2, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
2、5 3 18 8 12
3、40 5
1
0.5
1 4
10
圆的圆心相同，面积分别为 8㎝2、18㎝2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).
d
课本P70：练习3
1.若最简二次根式 5x 7 与 x 8x2是同类二次根式，
求x
2.先化简再求值，其中 a6,b4.
3.3.1 二次根式的加减
复习回顾：
把下列各式化为最简二次根式：
8
18
1
2
27
1
3
a3b
a (a≥0，b＞0)
b
解得：
82 2 18 3 2 11 2 22
27 3 3 11 3 33
a 3b a ab a 1 ab bb
观察：以上三组二次根式化简后，被开方数有何特征？
经过化简后，被开方数相同的二次根式，
称为同类二次根式。
例 1、判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?
（1） 50与0.5 （ ）
（2） 12与 18
（3）
苏科版八年级数学下册第十二章《123_二次根式的加减1》优课件(共12张PPT)
2. 与 12 是同类二次根式的是( D ) A. 8 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
类比 迁移 感悟
合并同类项：
4a3a （43）a 7 a
尝试计算：
1．4 23 2
思考4：33 2等于多少？
2． 5－3 20＋125＋1 ． 5
归纳结论： 二次根式的加减运算
（1）二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同 的能合并.
例2 如图，两个圆的圆心相同，半径分别为R、 r，面积分别是18cm2、8cm2.求圆环的宽度（两圆 半径之差）.
本节课我们学习了同类二次根式及二次根式 的加减，那什么是同类二次满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
（3） 5 , 3 20 , 125 , 1
5
同类二次根式： 经过化简以后，被开方数相同的二次根式．
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式; (2)被开方数相同。
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2, 12
B. 2 , 1
2
C. 4ab, ab2 D. a1, a1
初中数学 八年级(下册)
12.3 二次根式的加减（1）
八下第12章二次根式12-1二次根式新版苏科版
≥ ≥
0， 0，
∴ 2 ≤ x ≤ 5.
(4)要使xx－+24有意义，则必有ቊxx+－42≥≠00，，∴ x ≥－4 且x ≠ 2.
方法点拨
知2－练
求式子有意义时字母的取值范围的方法：
第一步，明确不同式子有意义的条件；
第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式
或不等式组；
第三步，求出不等式或不等式组的解集，即得字母的
知1－讲
特别提醒 二次根式应满足两个条件： (1)含有二次根号“ ”；(2)被开方数是正数或 0.
知1－练 3
例 1 [期中·海安]下列各式： x， 5， －4， a2+1， 8，
其中一定是二次根式的有( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
解题秘方：紧扣二次根式定义中的“两个条件”
不 能称为二次根式 .
知识点 2 二次根式有意义的条件
知2－讲
1. 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，反之也成 立，即 a有意义֞ a ≥ 0.
2. 二次根式无意义的条件是被开方数为负数，反之也成立， 即 a无意义֞ a<0.
知2－讲
3. 求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法 (1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义
巧记口诀 二次根式有意义，被开方数非负数； 二次根式无意义，被开方数是负数； 单个二次根式时，列出不等式求解； 复合形式的式子，列不等式组求解 .
知2－讲
例 2 要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？
知2－练
(1) －2x－6 + (x+5)0； (2) 3x1+7；
(3) x－2－ 5－x； (4)xx－+24. 解题秘方：紧扣“求使含有字母的式子有意义的 字母取值范围的方法”求解 .
苏科版八年级数学下册第十二章《123_二次根式的加减1》优课件(共12张PPT)
（2）二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后 合并同类二次根式.
例1 计算：
1． 32 ＋ 43 － 22 ＋ 3；
2． 12＋ 18－ 8－ 32；
3． 40－5 1＋ 10 ． 10
2.计算
（1） 2
126
1 3 3
48
（2） (1 22)0 (35)
（3） 2 9x6 x 2x 1
3
4
x
2. 与 12 是同类二次根式的是( D ) A. 8 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
类比 迁移 感悟
合并同类项：
4a3a （43）a 7 a
尝试计算：
1．4 23 2
思考4：33 2等于多少？
2． 5－3 20＋125＋1 ． 5
归纳结论： 二次根式的加减运算
（1）二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同 的能合并.
初中数学 八年级(下册)
12.3 二次根式的加减（1）
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式； （2）被开方数不含 分母 ； （3）分母中不含有 根号 .
下列3组二次根式各有什么特征？
（1） 2 , 3 2 ,－2 2 , 2 2 , 15 2 3
（2） 3 , －5 3, 6 3 , 17 3 , 2 3 13
例2 如图，两个圆的圆心相同，半径分别为R、 r，面积分别是18cm2、8cm2.求圆环的宽度（两圆 半径之差）.
本节课我们学习了同类二次根式及二次根式 的加减，那什么是同类二次根式？二次根式怎样 进行加减呢？
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月18日星期五2022/2/182022/2/182022/2/18 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/182022/2/182022/2/182/18/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/182022/2/18February 18, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/182022/2/182022/2/182022/2/18
例1 计算：
1． 32 ＋ 43 － 22 ＋ 3；
2． 12＋ 18－ 8－ 32；
3． 40－5 1＋ 10 ． 10
2.计算
（1） 2
126
1 3 3
48
（2） (1 22)0 (35)
（3） 2 9x6 x 2x 1
3
4
x
2. 与 12 是同类二次根式的是( D ) A. 8 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
类比 迁移 感悟
合并同类项：
4a3a （43）a 7 a
尝试计算：
1．4 23 2
思考4：33 2等于多少？
2． 5－3 20＋125＋1 ． 5
归纳结论： 二次根式的加减运算
（1）二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同 的能合并.
初中数学 八年级(下册)
12.3 二次根式的加减（1）
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式； （2）被开方数不含 分母 ； （3）分母中不含有 根号 .
下列3组二次根式各有什么特征？
（1） 2 , 3 2 ,－2 2 , 2 2 , 15 2 3
（2） 3 , －5 3, 6 3 , 17 3 , 2 3 13
例2 如图，两个圆的圆心相同，半径分别为R、 r，面积分别是18cm2、8cm2.求圆环的宽度（两圆 半径之差）.
本节课我们学习了同类二次根式及二次根式 的加减，那什么是同类二次根式？二次根式怎样 进行加减呢？
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月18日星期五2022/2/182022/2/182022/2/18 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/182022/2/182022/2/182/18/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/182022/2/18February 18, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/182022/2/182022/2/182022/2/18
苏科版八年级数学下册第十二章《12.3二次根式的加减》优质课课件(共11张PPT)
（1） 2 ，3 2 ，－2 2， 2 2 ， 15 2；
3
（2）
3 ，－5 3，6
3 ，17
3， 2 13
3；
（3） 5 ， 3 20， 125 ， 1 ．
5
6 5 5 5 1 5
5
经过化简后，被开方数相同的二次根式，
叫做同类二次根式．
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ ）
A . 2, 12
初中数学 八年级(下册)
12.3 二次学科网 根式的加减（1）
学.科.网
22
情境引入
学校要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10
米，宽是 2 2 米，第二块草坪的长是15米，宽是 8
米．你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮
吗？
20 2
15 8
20 215 8
这是什么运算？
下列3组二次根式是否最简二次根式？
3． 12＋ 18－ 8－ 32；
4． 40－5 1＋ 10 ． 10
5. 122436
借我一双彗眼 下列计算正确吗？
3 2 5 × a ba b × a b ab×
aaba(ab) a √ √ n1 4n n n0
2
12.3 二次根式的加减（1）
例2 如图，两个圆的圆心相同，半径分别为R、 r，面积分zxxkw别是18cm2、8cm2.求圆环的宽度（两圆 半径之差）.
随堂练习
• 课本第163页练习第1题
12.3 二次根式的加减（1）
本节zxxkw课我们学习了同类二次根式及二次根式 的加减，那什么是同类二次根式？二次根式怎样 进行加减呢？
你还有哪些困惑？
• 在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/92022/5/9May 9, 2022 人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
二次根式的乘除(课件)八年级数学下册(苏科版)
足公式 t
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
相关主题