2015年春季学期新版北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角与外角和同步练习3
北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和课时同步练习题.doc
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】6.4 多边形的内角和与外角和一、选择题1．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是 ( )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 ( )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形3．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是( )A．5 B．6 C．7 D．84．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（）A．8 B．7 C．6 D．55．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数为（）A．7 B．6 C．5 D．46．一个多边形的内角和与外角和共为540°，则它的边数为（）A．5 B．4 C．3 D．不确定7．若等角n边形的一个外角不大于40°，则n的值为（）A．n＝8 B．n＝9 C．n＞9 D．n≥98．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（）A．50°B．100° C．180° D．200°9．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（）A． 4 B．5 C．6 D．810．如果只用正三角形作平面镶嵌（要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合），则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6二、填空题11．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝．12．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是，顶点的个数是，对角线的条数是．13．若四边形ABCD的相对的两个内角互补，且满足∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝________°，∠B＝________°，∠C＝________°，∠D＝________°．14．若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这个多边形的边数为________．15．若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________°，每个内角的度数为________°．16．如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是_____边形．17.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于____ ___°．18．若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是_____．19．多边形的内角中，最多有________个直角．20．已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，则这个多边形的边数是21．用正三角形和正方形能够铺满地面，每个顶点周围有_____个正三角形和_____个正方形三、解答题22．如图4－124所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．23．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数．24．已知多边形内角和与外角和的和为2160°，求多边形对角线的条数．25．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B与∠D的度数比是3：2，求∠B，∠D的度数．26．已知和多边形一个内角相邻的外角与其余各内角度数总和为600°，求该多边形的边数．27．过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形有m条对角线，p边形没有对角线，q边形的内角和与外角和相等，求q(n－m)p的值．28．如图4－125所示，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B=∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°．试说明AB＋BC=EF＋ED．29．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走2 m，然后左转60°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米?30．我们知道过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把三角形分割成（n－2）个三角形，想一想这是为什么？如图1．图1如图2，在n边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？图2想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理．参考答案1．B2．B3．C4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D11．120°12．10 10 35 13．60，90，120，90 14．八 15．36，144 16．五 16．120 17．9 18．四 19．12 20．3，221．提示：延长BC交EF于M，所以∠A＋∠B＋∠BMF＋∠F＝360°，又因为∠DCB＋∠D＋∠E=∠B MF，所以∠A＋∠B＋∠DCB＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．22．解：设这个多边形的边数为n，由题意知(100+140)2n︒︒＝(n－2)·180°，解得n=6．答：这个多边形的边数是6．23．解：设这个多边形的边数为n，由题意，得(n－2)·180°＋360°＝2160°，解得n＝12．∴多边形对角线的条数为12n(n－3)＝12×12×(12－3)=54．即这个多边形对角线的条数为54．24．解：∵∠A＋∠C＝90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°．设∠B＝(3x)°，则∠D＝(2x)°，∴(3x)°＋(2x)°＝180°，解得x＝36，∴3x＝108，2x＝72．即∠B＝108°，∠D＝72°．25．解：设边数为n，这个内角为α，依题意有(n－2)·180°－α＋180°－α＝600°，∴α＝90°n－390°，又∵0°＜α＜180°，°0°＜90°n－390°＜180°，∴4 13＜n＜613，∵n为正整数，∴n＝5或n＝6．答：边数为5或6．26．解：由已知可得37(3)2(3)2(2)180360nm mmp pq-=⎧⎪-⎪=⎪⎨-⎪=⎪⎪-︒=︒⎩，，，，所以n＝10，m＝5，p＝3，q＝4，所以q(n－m)p=4×(10－5)3＝500．27．解：如图4－126所示，向两方分别延长AB，CD，EF，得△PQ R．∵∠PAF＝180°－∠BAF＝180°－120°＝60°，同理∠AFP＝60°，∴∠P＝60°，∴△PAF为等边三角形．同理△BCQ，△DE R均为等边三角形．∴△PQ R也为等边三角形，∴PQ＝P R，AP＝PF，BC＝BQ，DE＝R E，∴PQ－PA＝RP－PF，即AQ＝FR，∴AB＋BQ＝FE＋RE，∴AB＋BC＝EF＋ED．29．解：如图4－127所示，由题意可知机器人从出发到第一次回到原处的行走路线是一个正多边形，设边数为n，则60°·n＝360°，解得n＝6．又2×6＝12(m)，∴机器人共走了12 m.30．略中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
北师大版八年级下册6.4多边形的内角和与外角和同步练习(word无答案)
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
5．一个多边形的边数由原来的 3 增加到 n 时（n＞3，且 n 为正整数），它的外角和（ ）
A．增加（n﹣2）×180°
B．减小（n﹣2）×180°
C．增加（n﹣1）×180°
D．没有改变
6．有公共顶点 A，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接 AC 交正六边形于
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
3．如果从多边形的一个顶点可以画出 a 条对角线，那么这 a 条对角线把该多边形分成的三
角形的个数为（ ）
A．a
B．a﹣3
C．a﹣2
D．a+1
4．如图，在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，
则∠P 的度数是（ ）
．
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13．如图，已知正五边形 ABCDE，AF∥CD，交 DB 的延长线于点 F，则∠DFA＝
度．
14．如图，是某个正多边形的一部分，则这个正多边形是
边形．
三、解答题 15．求出如图图形中的 x 值．
16．一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为 100°，求这个多边形内角 和的度数和边数．
17．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数．
18．（1）若多边形的内角和为 2340°，求此多边形的边数． （2）一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为 3：2，求这个 3/4
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北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和同步测试题
北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和同步测试题6.4多边形的内角和与外角和同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计24分，）1.一个n边形的内角和是外角和的2倍，则n的值为（）A.3B.4C.5D.62.若正多边形的内角和是540∘，则该正多边形的一个外角为（）A.45∘B.60∘C.72∘D.90∘3.若正多边形的一个外角为60∘，则这个正多边形的内角和为（）A.720∘B.900∘C.1080∘D.1980∘4.如果一个正多边形的每一个外角都是36∘，那么这个多边形的边数是（）A.10B.11C.12D.135.已知一个多边形的内角和是1260∘，则这个多边形是（）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形6.如果一个多边形的内角和是540∘，那么这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形7.一个正多边形每个外角都是30∘，则这个多边形边数为（）A.10B.11C.12D.138.小明同学在计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2005∘．则n等于（）A.11B.12C.13D.14二、填空题（本题共计小题，每题分，共计21分，）9.五边形的外角和是________度．10.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260∘，则这个多边形边数是________．11.若十二边形的每一个内角都相等，那么它每个内角的度数是________．12.已知一个正多边形的内角和为1440∘，则它的一个外角的度数为________度．13.如果正多边形的一个外角是72∘，则这个多边形的内角和度数是________.14.一个正多边形的每个内角度数均为135∘，则它的边数为________．15.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180∘，这个多边形的边数是________．三、解答题（本题共计小题，共计75分，）16.已知多边形的一个外角与其内角和的总和为600∘，求此多边形的边数．17.已知一个多边形的外角和是内角和的27，求这个多边形的边数及内角和．18.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多180∘，则这个多边形的边数是多少？19.一个多边形除去一个内角外，其余各角之和为2 750∘，求这个多边形的边数及去掉的角的度数．20.一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于它的相邻内角的23，求这个多边形的外角．21.已知四边形的一个内角是56∘，第二个内角是它的2倍，第三个内角比第二个内角小10∘．求第四个内角的大小．22.如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五扇形（阴影部分）的面积之和．23.如图，在四边形ABCD中，BE和DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，BE与DF相交于点G，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如图1，若α+β＝168∘，求∠MBC+∠NDC的度数．（2）如图1，若∠BGD＝35∘，试猜想α、β所满足的数量关系式，并说明理由．（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．。
北师大版八年级数学下册_6.4_多边形的内角和与外角和同步练习题
6.4多边形的内角和与外角和同步练习题一．选择题（共16小题）1．在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的边数是（）A．4 B．6 C．8 D．102．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则这个n边形的内角和为（）A．720°B．900°C．1080°D．1260°3．两个多边形的边数之比为2：1，内角和之比为8：3，则它们的边数之和是（）A．15 B．12 C．21 D．184．多边形的边数由3增加到n（n为正整数且n＞3），则其外角和度数（）A．增加B．减少C．不变D．不一定变化5．已知从一个多边形的一个顶点只可引出三条对角线，那么这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形6．已知一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的边数为（）A．5 B．10 C．8 D．127．若n边形的内角和为2160°，则n=（）A．14 B．12 C．10 D．88．如图，五边形公园中，∠1=90゜，张老师沿公园边由A点经B→C→D→E→A散步，张老师共转了（）A．450°B．360°C．260°D．270°9．从一个十边形的某个点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成三角形（）A．10个 B．9个C．8个D．7个10．下面哪一个度数是某个多边形的内角和（）A．270°B．630°C．1920° D．720°11．多边形的内角和为1800°，那么从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数是（）A．12条 B．10条 C．9条D．8条12．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形的内角和为（）A．180°或360°B．180°或540°C．360°或540°D．180°或360°或540°13．若等角n边形的一个外角不大于40°，则它是几边形？（）A．n=8 B．n=9 C．n＞9 D．n≥914．若一个n边形的内角和为1440°，则其边数n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．1215．一个多边形的内角中共有4个钝角，则这个多边形的边数的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．816．正七边形的外角和为（）A．540°B．360°C．720°D．900°二．填空题（共16小题）17．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是．18．一个多边形的每一个内角都等于135，其内角和为．19．边形的内角和为1 440°．20．已知多边形的每个内角与相邻外角的比为4：1，那么这个多边形是边形．21．正五边形的每个内角为°，每个外角为°．22．如图所示，∠x的度数为．23．如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：4，那么这三个内角的度数分别为度、度和度．24．多边形的边数增加4，则内角和增加度，而外角和=度．25．一个正多边形的一个内角是它外角的4倍，这个正多边形的内角和为度．26．在四边形ABCD中，∠A+∠C=∠B+∠D，且∠A：∠B：∠D=3：2：6，则∠D=．27．如图所示，已知四边形的三个内角度数，则图中∠a=．28．如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠D=118°，则∠ABE=．29．多边形的外角和定理是．30．在四边形ABCD中，∠C是∠A的补角，且∠B：∠D=1：5，则∠D=．31．在四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：4：3，那么∠A，∠B，∠C，∠D 的度数分别为．32．如图是一副三角板，使它们两个直角互相重合叠放在一起，∠D=30°，∠B=45°，那么两条斜边所形成的钝角∠AOD=度．三．解答题（共8小题）33．如图，如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A，B落在四边形EFCD内，试探究∠A+∠B与∠1+∠2之间存在着怎样的数量关系，证明你的结论．34．观察下面图形，并回答问题．①四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你从中得到了什么规律？（用n表示）②根据规律求十边形的对角线的数量．35．如图，OA⊥CA，OB⊥CB，且∠1=∠2．求∠1和∠2的度数．36．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于多少度．37．已知在四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：4，求∠A，∠B，∠C，∠D的度数．38．如图，已知正五边形ABCDE的每一个角都相等．（1）求∠B；（2）连AC，若∠BAC=∠BCA，求∠ACD．39．清晨，小强沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．（1）小强每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪些角在图上标出它们．（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）在图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？40．正n边形的一个内角与正2n边形的一个内角的和等于270°，求n的值．6.4多边形的内角和与外角和同步练习题参考答案一．选择题（共16小题）1．C；2．C；3．A；4．C；5．B；6．B；7．A；8．D；9．C；10．D；11．C；12．D；13．D；14．C；15．C；16．B；二．填空题（共16小题）17．18；18．1080°；19．十；20．十；21．108；72；22．65°；23．60；90；120；24．720；360；25．1440；26．120°；27．91°；28．118°；29．360°；30．150°；31．36°，72°，144°，108°；32．165；。
北师大版初中数学八年级下册《6.4 多边形的内角和与外角和》同步练习卷(含答案解析
北师大新版八年级下学期《6.4 多边形的内角和与外角和》同步练习卷一．选择题（共23小题）1．若一个多边形共有20条对角线，则它是（）边形．A．六B．七C．八D．九2．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条B．7条C．8条D．9条3．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．104．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．65．若n边形恰好有n条对角线，则n为（）A．4B．5C．6D．76．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°7．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．78．一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（）A．增加（n﹣2）×180°B．减小（n﹣2）×180°C．增加（n﹣1）×180°D．没有改变9．正十边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．135°C．140°D．144°10．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．811．一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．以上三种情况都有可能12．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（）A．9B．10C．11D．以上都有可能13．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°14．已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．615．正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72°D．108°16．下列说法错误的个数：（）（1）任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；（2）若线段a、b、c满足a+b＞c，以a，b，c为边能构成一个三角形；（3）一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是五边形；（4）多边形中内角最多有2个是锐角；（5）一个三角形中，至少有一个角不小于60°；（6）以a为底的等腰三角形其腰长一定大于；（7）一个多边形增加一条边，那它的外角增加180°A．1个B．2个C．3个D．4个17．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．1118．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，419．如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（）A．30°B．15°C．18°D．20°20．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．721．从九边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为（）A．3B．4C．6D．922．如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（）A．比原多边形少180°B．与原多边形一样C．比原多边形多360°D．比原多边形多180°23．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9二．填空题（共16小题）24．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为．25．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为．26．八边形的内角和为．27．若从一个多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数为，它的内角和等于度．28．一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的每个顶点可引对角线条．且这些对角线把多边形分成个三角形．29．若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是．30．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．31．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是．32．从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为边形．33．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC=．34．从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数为．35．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为．36．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为．37．从多边形一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各个顶点，可以把五边形分割成3个三角形，把六边形分割成4个三角形…，如果是十二边形，可以分割成个三角形．38．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是边形．39．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为度．三．解答题（共2小题）40．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形A1A2A3A4A5…A n．中，过顶点A1可以画条对角线过顶点A2可以画条对角线，过顶点A3可以画条对角线（用含n的代数式表示）②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？（用含n的代数式表示）41．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，该n边形的周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．北师大新版八年级下学期《6.4 多边形的内角和与外角和》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．若一个多边形共有20条对角线，则它是（）边形．A．六B．七C．八D．九【分析】根据多边形的对角线公式，列出方程求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，则=20，∴n2﹣3n﹣40=0，（n﹣8）（n+5）=0，解得n=8，n=﹣5（舍去）．故选：C．【点评】本题考查了多边形的对角线的公式，熟记公式是解题的关键．2．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条B．7条C．8条D．9条【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，∴每个外角是180°﹣140°=40°，∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．故选：A．【点评】本题考查多边形的外角和及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．3．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．10【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和的3倍可得方程180°（n﹣2）=360°×3，再解方程即可．【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：180°（n﹣2）=360°×3，解得：n=8．故选：C．【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．5．若n边形恰好有n条对角线，则n为（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据多边形的边数与对角线的条数的关系列方程得出多边形的边数．【解答】解：依题意有=n，n（n﹣5）=0，解得n=0（不合题意舍去）或n=5．故选：B．【点评】本题考查了熟记多边形的内角和公式与对角线公式．根据多边形的边数与对角线的条数的关系式得出方程是解决此类问题的关键．6．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．7．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，∴这个多边形的边数是6．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中．8．一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（）A．增加（n﹣2）×180°B．减小（n﹣2）×180°C．增加（n﹣1）×180°D．没有改变【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，与边数无关，∴凸多边形的边数由3增加到n时，其外角度数的和还是360°，保持不变．故选：D．【点评】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于360°，与边数无关是解题的关键．9．正十边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．135°C．140°D．144°【分析】利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数．【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°﹣36°=144°；故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．10．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180﹣135=45°，∵360÷45=8，则这个多边形是八边形，故选：D．【点评】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，难度适中．11．一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．以上三种情况都有可能【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．【解答】解：∵一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°．故选：D．【点评】本题考查了多边形，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．12．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（）A．9B．10C．11D．以上都有可能【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n，则（n﹣2）•180°=1440°，解得n=10，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是9或10或11．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．13．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°【分析】根据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．【解答】解：正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣120°﹣36°=84°，故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．14．已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360=720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数【解答】解：设这个多边形的边数为n，∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，∴（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．∴此多边形的边数为6．故选：D．【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．15．正五边形的每个外角等于（）A．36°B．60°C．72°D．108°【分析】利用正五边形的外角和等于360度，除以边数即可求出答案．【解答】解：360°÷5=72°．故正五边形的每个外角等于72°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．16．下列说法错误的个数：（）（1）任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；（2）若线段a、b、c满足a+b＞c，以a，b，c为边能构成一个三角形；（3）一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是五边形；（4）多边形中内角最多有2个是锐角；（5）一个三角形中，至少有一个角不小于60°；（6）以a为底的等腰三角形其腰长一定大于；（7）一个多边形增加一条边，那它的外角增加180°A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）分别从锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，三个角度进行分析即可；（2）三角形的任意两边之和大于第三边，该命题没有体现出任意性，举一个反例即可解决问题；（3）利用n边形的每一个顶点处可作（n﹣3）条对角线，即可解决问题；（4）利用三角形有3个锐角，即可解决问题；（5）假设三个角都小于60度，则三角形的内角和小于180度，所以假设不成立，该命题正确；（6）利用三角形的三边关系可知该命题正确；（7）一个多边形每增加一条边，内角和增加180度，外角和不变，所以此命题错误．【解答】解：（1）因为锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有一条高在三角形内部，钝角三角形有一条高在三角形内部，所以该命题正确；（2）如：a=3，b=2，c=1，a+b＞c，但1，2，3组不成三角形，故该命题错误；（3）因为n边形的每一个顶点处可作（n﹣3）条对角线，则n=6，所以此命题错误；（4）三角形可以有3个锐角，所以此命题错误；（5）正确；（6）利用三角形的三边关系可知该命题正确；（7）一个多边形每增加一条边，内角和增加180度，外角和不变，所以此命题错误．综上，共有4个错误．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形、多边形的基础知识，这是学生必须掌握的要点．17．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）=3×360°解得n=8．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．18．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．【解答】解：对角线的数量=6﹣3=3条；分成的三角形的数量为n﹣2=4个．故选：C．【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．19．如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（）A．30°B．15°C．18°D．20°【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．【解答】解：∵正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°=108°，正方形的内角是90°，∴∠1=108°﹣90°=18°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．20．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°去求．【解答】解：设该多边形的边数为n则：（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程21．从九边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为（）A．3B．4C．6D．9【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，进而得出这（n﹣3）条对角线把多边形分成的三角形的个数．【解答】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，故选：C．【点评】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．这些规律需要学生牢记．22．如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（）A．比原多边形少180°B．与原多边形一样C．比原多边形多360°D．比原多边形多180°【分析】根据多边形的内角和定理求解可得．【解答】解：按如图所示方式将一多边形剪去一个角，则新多边形的边数增加一条，所以其内角和比原多边形的内角和多180°，故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，取决于其边数增加还是减少．是解决本题的关键．23．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．二．填空题（共16小题）24．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为6．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°=360°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．25．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为15，16，17．【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论．【解答】解：设新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=2520°，解得n=16，∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，∴原多边形的边数是15，16，17．故答案为：15，16，17．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1，有这么三种情况．26．八边形的内角和为1080°．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．【解答】解：（8﹣2）•180°=6×180°=1080°．故答案为：1080°．【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．27．若从一个多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数为6，它的内角和等于720度．【分析】从多边形一个顶点可作3条对角线，则这个多边形的边数是6，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：∵过多边形的一个顶点共有3条对角线，故该多边形边数为6，∴（6﹣2）•180°=720°，故答案为：6、720°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．28．一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的每个顶点可引对角线7条．且这些对角线把多边形分成8个三角形．【分析】用360°除以每一个外角的度数求出边数，再根据多边形的对角线公式n ﹣3计算即可得解．【解答】解：多边形的边数=360°÷36°=10，这个多边形的每个顶点可引对角线条数=10﹣3=7条．这些对角线把多边形分成10﹣2=8个三角形．故答案为：7，8．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，多边形的对角线，熟记公式是解题的关键．29．若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是8．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．30．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为5．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．31．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是8．【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解．【解答】解：∵所有内角都是135°，∴每一个外角的度数是180°﹣135°=45°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷45°=8，即这个多边形是八边形．故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．32．从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形【解答】解：由题意可知，n﹣2=7，解得n=9．则这个多边形的边数为9，多边形为九边形．【点评】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n﹣2）个三角形33．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC=132°．【分析】根据正多边形的内角，角的和差，可得答案．【解答】解：正五边形的内角为=108°，正六边形的内角为=120°，∠BAC=360°﹣108°﹣120°=132°，故答案为：132°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的内角是解题关键．34．从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数为10．【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，∴n﹣3=7，解得n=10．故答案为：10．【点评】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，牢记公式是解题的关键．35．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为12．【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：多边形的边数：360°÷30°=12，则这个多边形的边数为12．【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．36．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为6．【分析】先根据正n边形的一个外角的度数为60°求出其内角的度数，再根据多边形的内角和公式解答即可．【解答】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，∴其内角的度数为：180°﹣60°=120°，∴=120°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键．37．从多边形一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各个顶点，可以把五边形分割成3个三角形，把六边形分割成4个三角形…，如果是十二边形，可以分割成10个三角形．【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n﹣2）个三角形，依此作答．【解答】解：从多边形一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各个顶点，可以把五边形分割成3个三角形，把六边形分割成4个三角形…，如果是十二边形，可以分割成12﹣2=10个三角形．故答案为：10．【点评】本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）．38．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是七边形．【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2=5，。
北师大新版八下6.4多边形的内角和和与外角和练习50题(含解析)
北师大新版八下6.4多边形的内角和和与外角和练习50题一．选择题（共20小题）1．下列说法正确的是()A．若AC BC=，则点C是线段AB的中点B．30.153015'︒=︒C．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是八边形D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是85︒2．正五边形的每个内角度数为()A．36︒B．72︒C．108︒D．120︒3．某正多边形的一个外角的度数为60︒，则这个正多边形的边数为() A．6B．8C．10D．124．多边形每一个内角都等于150︒，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为( )A．6条B．8条C．9条D．12条5．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若1∠，2∠的∠，3∠，4外角和等于210︒，则BOD∠的度数为()A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒6．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若1∠、2∠对∠、3∠、4应的邻补角和等于225︒，则BOD∠的度数为()A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒7．如图，在四边形ABCD 中，DAB ∠的角平分线与ABC ∠的外角平分线相交于点P ，且210D C ∠+∠=︒，则(P ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．30︒D ．40︒8．如图为矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a b +不可能是( )A ．360︒B ．540︒C ．630︒D ．720︒9．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则(APG ∠= )A ．141︒B ．144︒C ．147︒D ．150︒10．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形( )A ．6B ．7C ．8D ．911．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是( )A ．360︒B ．540︒C．180︒或360︒D．540︒或360︒或180︒12．若四边形ABCD中，:::1:4:2:5A B C D∠∠∠∠=，则C D∠+∠等于() A．90︒B．180︒C．210︒D．270︒13．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的2倍，则该正多边形的边数是()A．3B．4C．6D．1214．一个多边形的每一个内角都比外角多90︒，那么这个多边形的边数是() A．4B．6C．8D．1015．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分DAB∠，52ABD∠=︒，116ABC∠=︒，ACBα∠=︒，则BDC∠的度数为()A．αB．23αC．90α-D．2903α-16．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为() A．1620︒B．1800︒C．1980︒D．2160︒17．一个正多边形的一个内角是它相邻外角的5倍，则这个正多边形的边数是() A．12B．10C．8D．618．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，370∠=︒，则12(∠+∠=)A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒19．如图，一只蚂蚁从点A出发每向前爬行5厘米，就向左边偏转9︒，则这只蚂蚁回到点A 时，共爬行了()A ．100厘米B ．200厘米C ．400厘米D ．不能回到点A20．如图，四边形ABCD 纸片中，已知160A ∠=︒，30B ∠=︒，60C ∠=︒，四边形ABCD 纸片分别沿EF ，GH ，OP ，MN 折叠，使A 与A '、B 与B '、C 与C '、D 与D '重合，则12345678∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠的值是( )A ．600︒B ．700︒C ．720︒D ．800︒二．填空题（共15小题）21．过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是 边形．22．从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成6个三角形，则该多边形为 边形．23．从多边形的一个顶点可以作出6条多边形的对角线，则该多边形的边数是 ．24．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是 边形．25．八边形的对角线共有 条．26．六边形的对角线条数共有 条．27．过九边形的一个顶点有 条对角线．28．n p 表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数41P =，五边形对角线交点个数55P =．则六边形对角线交点个数6P = ；发现14n n n a n b P n a b---=g g g （其中a ，b 是常数4)n …，则12P = ．29．如图，在ABC ∆中，50A ∠=︒，若剪去A ∠得到四边形BCDE ，则12∠+∠= ．30．已知正多边形的一个外角与所有内角的和为1300︒，若从这个多边形的一个顶点出发，可以作m 条对角线，则m = ．31．若一个多边形的内角和是外角和的 3 倍， 则该多边形是 边形 （填该多边形的边数） ．32．某多边形内角和与外角和共1080︒，则这个多边形的边数是 ．33．小明从P 点出发，沿直线前进10米后向右转a ，接着沿直线前进10米，再向右转a ，⋯，照这样走下去，第一次回到出发地点P 时，一共走了120米，则a 的度数是 ．34．如果正n 边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n 的值是 ．35．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108︒，则正多边形③的边数是 ．三．解答题（共15小题）36．探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以做条对角线；同样，经过B点可以做条；经过C点可以做条；经过D点可以做条对角线．通过以上分析和总结，图1共有条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有条对角线；图3共有条对角线；（3）探索归纳：对于n边形(3)n>，共有条对角线．（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有对角线．37．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成(2)n-个三角形，共有多少种不同的分割方案(4)n…？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有nP种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成 2 个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有 2 种不同的分割方案．所以，42P=，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成 3 个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第 1 类： 如图③， 用A ，E 与B 连接， 先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种不同的分割方案 ．第 2 类： 如图④， 用A ，E 与C 连接， 把五边形分割成 3 个三角形， 有 1种不同的分割方案， 可视为412P 种分割方案 ． 第 3 类： 如图⑤， 用A ，E 与D 连接， 先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种不同的分割方案 ． 所以，54444415105224P P P P P P =++=⨯=⨯=（种) 探究三： 用六边形的对角线把六边形分割成 4 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第 1 类： 如图⑥， 用A ，F 与B 连接， 先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形， 再把五边形分割成 3 个三角形， 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有5P 种不同的分割方案 ．第 2 类： 如图⑦， 用A ，F 与C 连接， 先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形 ． 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有4P 种分割方案 ．第 3 类： 如图⑧， 用A ，F 与D 连接， 先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种分割方案 ．第 4 类： 如图⑨， 用A ，F 与E 连接， 先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形， 再把五边形分割成 3 个三角形， 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案所以， 此类共有5P 种分割方案 ．所以，6544555555221414555P P P P P P P P P P =+++=+++===（种) 探究四： 用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形， 则7P 与6P 的关系为： 6()76P P =，共有 种不同的分割方案 ．⋯⋯ 【结论】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形， 共有多少种不同的分割方案(4)n …？ （直 接写出n P 与1n P -的关系式， 不写解答过程） ．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成 6 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？ （应 用上述结论， 写出解答过程）38．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC 、AD 是五边形ABCDE 的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形12345n A A A A A A ⋯．中，过顶点1A 可以画 条对角线，过顶点2A 可以画 条对角线，过顶点3A 可以画 条对角线（用含n 的代数式表示）②过顶点1A 的对角线与过顶点3A 的对角线中有重复吗？③在此基础上，你能发现n 边形的对角线总条数的规律吗？ （用含n 的代数式表示）39．【问题】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形，共有多少种不同的分割方案(4)n …？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n 边形的分割方案有n P 种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，42P =．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A ，E 与B 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有4P 种不同的分割方案，所以，此类共有4P 种不同的分割方案．第2类：如图④，用A ，E 与C 连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为412P 种分割方案． 第3类：如图⑤，用A ，E 与D 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有4P 种不同的分割方案，所以，此类共有4P 种不同的分割方案． 所以，54444415105224P P P P P P =++=⨯=⨯=（种) 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A ，F 与B 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有5P 种不同的分割方案．所以，此类共有5P 种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A ，F 与C 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有4P 种不同的分割方案．所以，此类共有4P 种分割方案第3类：如图⑧，用A ，F 与D 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有4P 种不同的分割方案．所以，此类共有4P 种分割方案．第4类：如图⑨，用A ，F 与E 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有5P 种不同的分割方案．所以，此类共有5P 种分割方案． 所以，6544555555221414555P P P P P P P P P P =+++=+++==（种) 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则7P 与6P 的关系为：76()6P P =，共有 种不同的分割方案．⋯⋯ 【结论】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形，共有多少种不同的分割方案(4)n …？（直接写出n P 与1n P -的关系式，不写解答过程）． 【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？ （应用上述结论，写出解答过程）40．一个多边形对角线的条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数．41．过m 边形的一个顶点有8条对角线，n 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线，试求()n m p -的值．42．若过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形对角线共有k 条，你能算出代数式nm k的值吗？43．已知3639273m m ⨯⨯=，求边数为m 的多边形的对角线条数． 44．探索归纳：（1）如图1，已知ABC ∆为直角三角形，90A ∠=︒，若沿图中虚线剪去A ∠，则12∠+∠等于.90A ︒ .135B ︒ .270C ︒ .315D ︒（2）如图2，已知ABC ∆中，40A ∠=︒，剪去A ∠后成四边形，则12∠+∠= （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想12∠+∠与A ∠的关系是 （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究12∠+∠与A ∠的关系并说明理由．45．如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都相等，连接AD ． （1）若148∠=︒，求2∠的度数； （2）求证：//AB DE ．46．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13，这个正多边形是几边形？47．将纸片ABC ∆沿DE 折叠使点A 落在点A '处【感知】如图①，点A 落在四边形BCDE 的边BE 上，则A ∠与1∠之间的数量关系是 ； 【探究】如图②，若点A 落在四边形BCDE 的内部，则A ∠与12∠+∠之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【拓展】如图③，点A 落在四边形BCDE 的外部，若180∠=︒，224∠=︒，则A ∠的大小为 ．48．如图，小明从点A 出发，前进10m 后向右转20︒，再前进10m 后又向右转20︒，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A 为止，他所走的路径构成了一个多边形． （1）小明一共走了多少米？ （2）这个多边形的内角和是多少度？49．（1）如图①所示，在ABC∠+∠+∠=度；∆中，A B C（2）如图②所示，在五角星中，A B C D E∠+∠+∠+∠+∠=度；（3）如图③所示，在七角星中，A B C D E F G∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=度．50．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：（1）这个多边形是几边形？（2）这个多边形共有多少条对角线？北师大新版八下6.4多边形的内角和和与外角和练习50题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．下列说法正确的是()A．若AC BC=，则点C是线段AB的中点B．30.153015'︒=︒C．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是八边形D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是85︒【解答】解：A、错误，点C不一定在线段AB上，本选项不符合题意．B、错误．应该是30.15309︒=︒'，本选项不符合题意．C、错误，应该是这个多边形是九边形，本选项不符合题意．D、正确．故选：D．2．正五边形的每个内角度数为()A．36︒B．72︒C．108︒D．120︒【解答】解：正五边形的每个外角360725︒==︒，∴正五边形的每个内角18072108=︒-︒=︒，故选：C．3．某正多边形的一个外角的度数为60︒，则这个正多边形的边数为() A．6B．8C．10D．12【解答】解：由题意36060n︒︒=，6n∴=，故选：A．4．多边形每一个内角都等于150︒，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为( )A．6条B．8条C．9条D．12条【解答】解：设这个多边形是n边形．由题意360180150n=︒-︒，解得12n=，∴则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为1239-=条，故选：C．5．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若1∠，2∠，3∠，4∠的外角和等于210︒，则BOD∠的度数为()A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒【解答】解：1∠Q、2∠、3∠、4∠的外角的角度和为210︒，12342104180∴∠+∠+∠+∠+︒=⨯︒，1234510∴∠+∠+∠+∠=︒，Q五边形OAGFE内角和(52)180540=-⨯︒=︒，1234540BOD∴∠+∠+∠+∠+∠=︒，54051030BOD∴∠=︒-︒=︒，故选：A．6．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若1∠、2∠、3∠、4∠对应的邻补角和等于225︒，则BOD∠的度数为()A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒【解答】解：Q五边形AOEFG的外角和为360︒，且1∠、2∠、3∠、4∠对应的邻补角和等于225︒，AOE∴∠的邻补角为360225135︒-︒=︒，18013545BOD ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．7．如图，在四边形ABCD 中，DAB ∠的角平分线与ABC ∠的外角平分线相交于点P ，且210D C ∠+∠=︒，则(P ∠= )A ．10︒B ．15︒C ．30︒D ．40︒【解答】解：如图，210D C ∠+∠=︒Q ，360DAB ABC C D ∠+∠+∠+∠=︒， 150DAB ABC ∴∠+∠=︒．又DAB ∠Q 的角平分线与ABC ∠的外角平分线相交于点P ，111(180)90()165222PAB ABP DAB ABC ABC DAB ABC ∴∠+∠=∠+∠+︒-∠=︒+∠+∠=︒，180()15P PAB ABP ∴∠=︒-∠+∠=︒．故选：B ．8．如图为矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a b +不可能是( )A ．360︒B ．540︒C ．630︒D ．720︒【解答】解：一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180︒的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a b +不可能是630︒． 故选：C ．9．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则(APG ∠= )A ．141︒B ．144︒C ．147︒D ．150︒【解答】解：(62)1806120-⨯︒÷=︒，(52)1805108-⨯︒÷=︒，(62)180********APG ∠=-⨯︒-︒⨯-︒⨯720360216=︒-︒-︒144=︒．故选：B ．10．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：五边形的内角和为(52)180540-︒=︒g， 所以正五边形的每一个内角为5405108︒÷=︒，如图，延长正五边形的两边相交于点O ，则1360108336032436∠=︒-︒⨯=︒-︒=︒， 3603610︒÷︒=，Q 已经有3个五边形， 1037∴-=，即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：B ．11．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是( ) A ．360︒ B ．540︒C ．180︒或360︒D ．540︒或360︒或180︒【解答】解：n 边形的内角和是(2)180n -︒g ，边数增加1，则新的多边形的内角和是(412)180540+-⨯︒=︒，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是(42)180360-⨯︒=︒， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(412)180180--⨯︒=︒， 因而所成的新多边形的内角和是540︒或360︒或180︒． 故选：D ．12．若四边形ABCD 中，:::1:4:2:5A B C D ∠∠∠∠=，则C D ∠+∠等于( ) A ．90︒B ．180︒C ．210︒D ．270︒【解答】解：:::1:4:2:5A B C D ∠∠∠∠=Q ， 253602101425C D +∴∠+∠=︒⨯=︒+++，故选：C ．13．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的2倍，则该正多边形的边数是( ) A ．3B ．4C ．6D ．12【解答】解：36021802︒⨯÷︒+7201802=︒÷︒+42=+6=∴该正多边形的边数是6．故选：C ．14．一个多边形的每一个内角都比外角多90︒，那么这个多边形的边数是( ) A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设外角是x ，则内角是180x ︒-，依题意有 18090x x ︒-=+︒，解得45x =︒， 180135x ∴︒-=︒，又Q 任何多边形的外角是360︒， ∴多边形中外角的个数是360458÷=，即这个多边形的边数是8， 故选：C ．15．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分DAB ∠，52ABD ∠=︒，116ABC ∠=︒，ACB α∠=︒，则BDC ∠的度数为( )A ．αB ．23αC ．90α-D ．2903α-【解答】解：如图，过C 作CE AB ⊥于E ，CF BD ⊥于F ，CG AD ⊥于G ， 52ABD ∠=︒Q ，116ABC ∠=︒， 64DBC CBE ∴∠=∠=︒， BC ∴平分DBE ∠， CE CF ∴=，又AC Q 平分BAD ∠， CE CG ∴=， CF CG ∴=，又CG AD ⊥Q ，CF DB ⊥， CD ∴平分BDG ∠，CBE ∠Q 是ABC ∆的外角，DBE ∠是ABD ∆的外角，11()22ACB CBE CAB DBE DAB ADB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠，22ADB ACB α∴∠=∠=︒， 1802BDG α∴∠=︒-︒，1902BDC BDG α∴∠=∠=︒-︒，故选：C ．16．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为( ) A ．1620︒B ．1800︒C ．1980︒D ．2160︒【解答】解：Q 过多边形的一个顶点共有9条对角线， 故该多边形边数为12，(122)1801800∴-︒=︒g ，∴这个多边形的内角和为1800︒．故选：B ．17．一个正多边形的一个内角是它相邻外角的5倍，则这个正多边形的边数是( ) A ．12B ．10C ．8D ．6【解答】解：设这个正多边的外角为x ︒，由题意得： 5180x x +=，解得：30x =， 3603012︒÷︒=．故选：A ．18．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，370∠=︒，则12(∠+∠= )A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒【解答】解：Q图中是一个正六边形和两个等边三角形，∠=︒-∠-︒=︒-∠，∴∠=︒-∠-︒=︒-∠，1802601202ACB1801120601BAC∠=︒-︒-∠=︒-∠，1806031203ABCQ，370∠=︒∴∠=︒-︒-∠=︒-︒=︒．ABC1806031207050︒-∠+︒-∠+︒=︒，Q，即601120250180180BAC ACB ABC∠+∠+∠=︒∴∠+∠=︒．1250故选：B．19．如图，一只蚂蚁从点A出发每向前爬行5厘米，就向左边偏转9︒，则这只蚂蚁回到点A 时，共爬行了()A．100厘米B．200厘米C．400厘米D．不能回到点A 【解答】解：36095︒÷︒⨯405=⨯=（厘米）200答：这只蚂蚁回到点A时，共爬行了200厘米．故选：B．20．如图，四边形ABCD纸片中，已知160C∠=︒，60∠=︒，四边形ABCD纸∠=︒，30BA片分别沿EF，GH，OP，MN折叠，使A与A'、B与B'、C与C'、D与D'重合，则12345678∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠的值是()A．600︒B．700︒C．720︒D．800︒【解答】解：Q四边形ABCD中，160C∠=︒，60∠=︒，BA∠=︒，30∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，3601603060110D∴∠+∠=︒-︒-︒⨯=︒，12360(180160)232034360(180110)2220∠+∠=︒-︒-︒⨯=︒，∠+∠=︒-︒-︒⨯=︒，56360(18060)2120B B∠-∠=-∠+∠'=-︒，78()60∴∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠12345678=︒+︒+︒-︒32022012060=︒．600故选：A．二．填空题（共15小题）21．过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是九边形．【解答】解：Q过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，∴多边形的边数为639+=，∴这个多边形是九边形．故答案为九．22．从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成6个三角形，则该多边形为八边形．【解答】解：628+=，则该多边形为八边形．23．从多边形的一个顶点可以作出6条多边形的对角线，则该多边形的边数是9．【解答】解：设这个多边形是n边形．依题意，得36n-=，解得9n =．故该多边形的边数是9．故答案为：9．24．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是 12 边形． 【解答】解：由题意可知，210n -=，解得12n =．所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．25．八边形的对角线共有 20 条．【解答】解：八边形的对角线条数应该是：8(83)202⨯-=， 故答案为：20．26．六边形的对角线条数共有 9 条．【解答】解：六边形的对角线的条数6(63)92-==． 故答案为：9． 27．过九边形的一个顶点有 6 条对角线．【解答】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，故答案为：628．n p 表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数41P =，五边形对角线交点个数55P =．则六边形对角线交点个数6P = 15 ；发现14n n n a n b P n a b---=g g g （其中a ，b 是常数4)n …，则12P = ．【解答】解：由画图，可得：当4n=时，41P=；当5n=时，55P=．将数值将41P=，55P=代入公式，得：4144 1445155554a ba ba ba b---⎧=⨯⨯⨯⎪⎪⎨---⎪=⨯⨯⨯⎪⎩，解得：23ab=⎧⎨=⎩，123423nn n nP n---∴=g g g，∴六边形对角线交点个数615P=，12495P=，故答案为：15，495．29．如图，在ABC∆中，50A∠=︒，若剪去A∠得到四边形BCDE，则12∠+∠=230︒．【解答】解：ABC∆Q中，50A∠=︒，18050130B C∴∠+∠=︒-︒=︒，12360B C∠+∠+∠+∠=︒Q，12360130230∴∠+∠=︒-︒=︒．故答案为：230︒．30．已知正多边形的一个外角与所有内角的和为1300︒，若从这个多边形的一个顶点出发，可以作m条对角线，则m=6．【解答】解：1300718040(92)18040︒=⨯︒+︒=-⨯︒+︒Q，∴这个多边形的边数为9，936m∴=-=，故答案为：6．31．若一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则该多边形是八边形（填该多边形的边数） ．【解答】解： 设这个多边形的边数为n ，由题意得，(2)1803603n -⨯︒=︒⨯，解得8n =，则这个多边形的边数为 8 ．故答案为： 八 ．32．某多边形内角和与外角和共1080︒，则这个多边形的边数是 6 ．【解答】解：Q 多边形内角和与外角和共1080︒，∴多边形内角和1080360720=︒-︒=︒，设多边形的边数是n ，(2)180720n ∴-⨯︒=︒，解得6n =． 故答案为：6．33．小明从P 点出发，沿直线前进10米后向右转a ，接着沿直线前进10米，再向右转a ，⋯，照这样走下去，第一次回到出发地点P 时，一共走了120米，则a 的度数是 30︒ ．【解答】解：由题意，得 1201012÷=，图形是十二边形，3601230α=︒÷=︒，故答案为：30︒．34．如果正n 边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n 的值是 6 ．【解答】解：依题意有(2)1803602n n n-=⨯g ， 解得6n =．故答案为：6．35．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108︒，则正多边形③的边数是 10 ．【解答】解：360108108144︒-︒-︒=︒，︒-︒=︒，18014436︒÷︒=．3603610故答案为：10．三．解答题（共15小题）36．探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做条；经过C点可以做条；经过D点可以做条对角线．通过以上分析和总结，图1共有条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有条对角线；图3共有条对角线；（3）探索归纳：n>，共有条对角线．（用含n的式子表示）对于n边形(3)（4）特例验证：十边形有对角线．【解答】解：经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线；（3）探索归纳：对于n 边形(3)n >，共有(3)2n n -条对角线． （4）特例验证： 十边形有10(103)352⨯-=对角线． 故答案为：（1）1，1，1，1，2；5，9；(3)2n n -；35． 37．【问题】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形， 共有多少种不同的分割方案(4)n …？【探究】为了解决上面的数学问题， 我们采取一般问题特殊化的策略， 先从最简单情形入手， 再逐次递进转化， 最后猜想得出结论 ． 不妨假设n 边形的分割方案有n P 种 ．探究一： 用四边形的对角线把四边形分割成 2 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？如图①， 图②， 显然， 只有 2 种不同的分割方案 ． 所以，42P =，探究二： 用五边形的对角线把五边形分割成 3 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第 1 类： 如图③， 用A ，E 与B 连接， 先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种不同的分割方案 ．第 2 类： 如图④， 用A ，E 与C 连接， 把五边形分割成 3 个三角形， 有 1种不同的分割方案， 可视为412P 种分割方案 ． 第 3 类： 如图⑤， 用A ，E 与D 连接， 先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种不同的分割方案 ． 所以，54444415105224P P P P P P =++=⨯=⨯=（种) 探究三： 用六边形的对角线把六边形分割成 4 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第 1 类： 如图⑥， 用A ，F 与B 连接， 先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形， 再把五边形分割成 3 个三角形， 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有5P 种不同的分割方案 ．第 2 类： 如图⑦， 用A ，F 与C 连接， 先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形 ． 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有4P 种分割方案 ．第 3 类： 如图⑧， 用A ，F 与D 连接， 先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形， 再把四边形分割成 2 个三角形， 由探究一知， 有4P 种不同的分割方案， 所以， 此类共有4P 种分割方案 ．第 4 类： 如图⑨， 用A ，F 与E 连接， 先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形， 再把五边形分割成 3 个三角形， 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案所以， 此类共有5P 种分割方案 ． 所以，6544555555221414555P P P P P P P P P P =+++=+++===（种) 探究四： 用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形， 则7P 与6P 的关系为： 6()76P P =，共有 42 种不同的分割方案 ．⋯⋯ 【结论】用n 边形的对角线把n 边形分割成(2)n -个三角形， 共有多少种不同的分割方案(4)n …？ （直 接写出n P 与1n P -的关系式， 不写解答过程） ．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成 6 个三角形， 共有多少种不同的分割方案？ （应 用上述结论， 写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1 类：如图 1 ，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成 1 个三角形P种不同的分割方案，所以，此类共有和 1 个六边形，由探究三知，有6P种不同的分割方案．6第2 类：如图 2 ，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成 2 个三角形P种不同的分割方案．所以，此类共和 1 个五边形．由探究二知，有5有5P 种分割方案 ．第 3 类： 如图 3 ，用A ，G 与D 连接， 先把七边形分割转化成 1 个三角形和 2 个四边形 ． 由探究一知， 有42P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有42P 种分割方案 ．第 4 类： 如图 4 ，用A ，G 与E 连接， 先把七边形分割转化成 2 个三角形和 1 个五边形 ． 由探究二知， 有5P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有5P 种分割方案 ．第 5 类： 如图 5 ，用A ，G 与F 连接， 先把七边形分割转化成 1 个三角形和 1 个六边形 ． 由探究三知， 有6P 种不同的分割方案 ． 所以， 此类共有6P 种分割方案 ． 所以，765456666665518222234214146P P P P P P P P P P P =++++=+⨯+⨯===（种)． 故答案为： 18 ， 42 ；【结论】： 由题意知：54104P P =⨯，65145P P =，76186P P =，⋯ 14101n n n P P n --∴=-； 【应用】 根据结论得：874810224213277P P ⨯-=⨯=⨯=． 38．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 如图1，AC 、AD 是五边形ABCDE 的对角线，思考下列问题： ①如图2，多边形12345n A A A A A A ⋯．中，过顶点1A 可以画 (3)n - 条对角线，过顶点2A 可以画 条对角线，过顶点3A 可以画 条对角线（用含n 的代数式表示） ②过顶点1A 的对角线与过顶点3A 的对角线中有重复吗？③在此基础上，你能发现n 边形的对角线总条数的规律吗？ （用含n 的代数式表示）。
6.4 多边形的内角和与外角和 北师大版数学八年级下册作业(含答案)
4 多边形的内角和与外角和必备知识·基础练(打“√”或“×”)1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以列出8条对角线，则它是十一边形．( √ )2．每条边都相等的多边形是正多边形．( × )3．多边形的外角和都等于360°.( √ )4．每个角都相等的多边形是正多边形．( × )知识点1 多边形的内角和1．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为(B)A．4 B．5 C．6 D．7【解析】设多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝540°，解得n＝5. 2．六边形的内角和为(C)A．360° B．540° C．720° D．1 080°【解析】根据多边形的内角和可得：(6－2)×180°＝720°.3．多边形的内角和不可能为(D)A．180° B．540° C．1 080° D．1 200°【解析】因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1 200°.4．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是__30__°.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠α＝180°－(540°－70°－140°－180°)＝30°.5．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是__144°__．【解析】因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠C＝（5－2）·180°5＝36°，所以∠BDM＝180°＝108°，BC＝DC，所以∠BDC＝180°－108°2－36°＝144°知识点2 多边形的外角和6．正五边形的外角和为(B)A．180° B．360° C．540° D．720°【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°.7．正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为(B)A．5 B．6 C．7 D．8【解析】设所求正n边形边数为n，则60°·n＝360°，解得n＝6.故正多边形的边数是6.8.如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为(B)A．100米B．80米C．60米D．40米【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80(m).9．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是(A)A ．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B ．每段直路要短C ．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D ．每段直路要长【解析】∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴360°5＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．10．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是__6__．【解析】设这个多边形的边数为n ，依题意，得：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6.11．若一个多边形的外角和比它的内角和的14少90°，求多边形的边数．【解析】设这个多边形是n 边形，(n －2)×180°×14－90°＝360°，解得n＝12，答：这个多边形的边数是12. 关键能力·综合练12．一个多边形的内角和是1 080°，则这个多边形的边数是(B) A．9 B．8 C．7 D．6【解析】设所求正n边形边数为n，则1 080°＝(n－2)·180°，解得n＝8.13．一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(C) A．8 B．9 C．10 D．11【解析】设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n－2)×180°，依题意得：(n－2)×180°＝360°×4，解得：n＝10，∴这个多边形的边数是10.14．(2021·咸宁质检)若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为(C)A．45° B．60° C．72° D．90°【解析】∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°＋2＝5，∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角＝360°÷5＝72°. 15．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是(C)A．360° B．540° C．630° D．720°【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，分析四个答案，只有630°不能被180°整除，所以a＋b不可能是630°.16．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于__12__．【解析】∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12.17．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝__30__度．【解析】正六边形的每个内角的度数为：（6－2）·180°＝120°，所以∠ABC＝120°－90°＝30°.618．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为__1__260°__．【解析】正n边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得360°＝n 40°，解得n＝9.(9－2)×180°＝1 260°，即这个正多边形的内角和为1 260°.19．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝__12__．＝120°，【解析】正六边形的一个内角为：（6－2）×180°6∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n＝360°÷30°＝12.20．(2021·娄底质检)一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1 260°，求多边形的边数．【解析】设多边形的边数是n，由题意得，(n－2)×180°＋360°＝1 260°，解得：n＝7.答：多边形的边数为7.21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC＝20°，求∠EBD的度数．【解析】∵∠EBC＝20°，DC⊥BC，∴∠BEC＝70°，∴∠DEB＝110°，∴∠DAB＝110°，∵AD∥BC，∴∠ABC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝70°－20°＝50°，∴∠EBD＝12∠ABE＝25°.22．(素养提升题)如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2，B3，则直线l与A1A2的夹角α＝__48__°.【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，正六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝720°6＝120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°－120°＝60°，∴∠C＝180°－60°－60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠B2B3B4＝540°5＝108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°－108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°－∠C－∠EDC＝180°－60°－72°＝48°.易错点 求多边形边数时漏解【案例】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是__10或11或12__．【解析】设多边形截去一个角的边数为n，则(n－2)·180°＝1 620°，解得n＝11，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原来多边形的边数是10或11或12.。
北师大版数学八年级下册：6.4 多边形的内角和与外角和 同步练习(附答案)
4多边形的内角和与外角和第1课时多边形的内角和知识点多边形的内角和1．多边形的内角和不可能为（）A．180°B．540°C．1 080°D．1 200°2．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°第2题图第6题图3．（n＋2）边形的内角和比n边形的内角和大（）A．180°B．360°C．n·180°D．n·360°4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．75．一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，这个多边形的内角和为（）A．720°B．900°C．1 800°D．1 440°6．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．7．一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是边形．8．小明想为校运动会设计一个内角和为2 020°的多边形图案标志，他的想法能实现吗？请你利用所学的知识加以说明．9．如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形．若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°10．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为（）A．120°B．180°C．240°D．300°第10题图第11题图11．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝.12．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？13．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是．第2课时多边形的外角和知识点多边形的外角及外角和1．正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°2．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8C．9 D．103．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A．45°B．60°C．72°D．90°4．正六边形的一个外角等于度．5．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和为．6．图1是我国古代建筑中的一种窗格．其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝度．7．一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，求n的值．8．一个n边形变成（n＋1）边形，外角和（）A．减少180° B．增加90°C．增加180° D．不变9．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4C．5 D．610．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．11．已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．12．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D，…，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程是多少米？参考答案：4 多边形的内角和与外角和 第1课时 多边形的内角和知识点 多边形的内角和1．多边形的内角和不可能为（D ） A ．180° B ．540°C ．1 080°D ．1 200°2．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（C ） A ．180° B ．360° C ．540°D ．720°第2题图 第6题图3．（n ＋2）边形的内角和比n 边形的内角和大（B ） A ．180° B ．360° C ．n ·180°D ．n ·360°4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（B ） A ．4B ．5C ．6D ．75．一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，这个多边形的内角和为（B ） A ．720° B ．900° C ．1 800°D ．1 440°6．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是140°． 7．一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是五边形．8．小明想为校运动会设计一个内角和为2 020°的多边形图案标志，他的想法能实现吗？请你利用所学的知识加以说明．解：假设这样的多边形图案存在，其边数为n. 由（n －2）·180°＝2 020°， 解得n ＝1329.因为求得的n 不是整数，所以他的想法不能实现．9．如图为长方形ABCD ，一条直线将该长方形分割成两个多边形．若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a ＋b 不可能是（C ）A．360°B．540°C．630°D．720°10．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为（C）A．120°B．180°C．240°D．300°第10题图第11题图11．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝66°.12．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？解：（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，则（n－2）·180°＝1 840°－x.∵1 840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的整数倍，∴x＝40°，n－2＝10.∴n＝12.故这个多边形的边数是12.（2）设这个多边形的边数是m，没有计算在内的内角的度数是y，则（m－2）·180°＝1 840°＋y，∵1 840°＝11×180°－140°，内角和为180°的倍数，∴y＝140°，m－2＝11.∴m＝13.故漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形．13．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是180°或360°或540°．第2课时多边形的外角和知识点多边形的外角及外角和1．正五边形的外角和为（B）A．180°B．360°C．540°D．720°2．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（D）A．7 B．8C．9 D．103．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（C）A．45°B．60°C．72°D．90°4．正六边形的一个外角等于60度．5．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和为1_260°．6．图1是我国古代建筑中的一种窗格．其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360度．7．一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，求n的值．解：多边形的外角和是360°，根据题意，得180°·（n－2）＝360°×4，解得n＝10.∴n的值为10.8．一个n边形变成（n＋1）边形，外角和（D）A．减少180° B．增加90°C．增加180° D．不变9．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（A）A．3 B．4C．5 D．610．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝30度．11．已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，由题意，得3α＋20＋α＝180.解得α＝40，即多边形的每个外角为40°.又∵多边形的外角和为360°，360÷40＝9，∴多边形的边数为9.12．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D，…，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程是多少米？解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45°，∴他走过的图形是正多边形．∴边数n＝360÷45＝8.∴8×10＝80（米）．答：小明第一次回到出发点A时所走的路程是80米．。
6.4 多边形的内角和与外角和(备作业)-八年级数学下册同步备课系列(北师大版)(解析版)
6.4多边形的内角和与外角和一、单选题1．十二边形的每个内角都相等，它的一个外角的度数是（）．A．30°B．35︒C．40︒D．45︒【答案】A【解析】【分析】由十二边形的每个内角都相等，可得这个十二边形的每个外角也都相等，再利用多边形的外角和可得答案.解： 十二边形的每个内角都相等，∴这个十二边形的每个外角也都相等，∴它的一个外角的度数是36030, 12︒=︒故选：.A【点睛】本题考查的是多边形的外角和为360︒，多边形的任何一个内角与其相邻的外角互补，掌握以上知识是解题的关键.2．已知一个多边形的内角和是1080°，则该多边形的边数为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，依此列方程可求解．解：设这个多边形的边数为n，由题意得：（n-2）•180°=1080°．解得：n=8，故选C．【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．3．一个四边形四个内角的度数之比为1:1:0.6:1，则该四边形最小内角的度数为（）A．75°B．70°C．65°D．60°【答案】D【解析】【分析】根据题意：可设这四个内角分别为：x，x，0.6x，x，再根据四边形的内角和为360︒，可求出x的值，即可求解．解：根据题意：可设这四个内角分别为：x，x，0.6x，x，∵四边形的内角和为360︒，x x x x，∴+++=︒0.6360x=︒解得：100x．∴最小内角的度数为：=⨯︒=︒0.60.610060故选：D．【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和为360度是解题的关键．4．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180 ，这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．解：设这个多边形为n边形，由题意得，（n-2）×180°=360°×2-180°，解得n=5，即这个多边形为五边形，故选：A．【点睛】本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为360°是解决问题的关键．5．所有内角都相等的18边形，它的每个内角、外角的度数是（）A．120°，60°B．140°，40°C．160°，20°D．100°，80°【答案】C【解析】【分析】根据外角和为360°以及边数，计算出每个外角的度数，再根据内角与相邻外角互补的关系得出每个内角的度数即可．解：∵内角都相等，∴每个外角也都相等，∴每个外角为：3601820︒÷=︒，则每个内角为：180°-20°=160°，故答案为：C．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和为360°以及内角与相邻外角互补的关系是解题的关键．6．已知一个多边形的外角和是其内角和的27，则下列说法正确的是（）A．过这个多边形一个顶点可做7条对角线B．它的内角和为1260°C．如果将它剪掉一个角，则还余下8个角D．它的每个外角为40°【答案】B【解析】【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的外角和是其内角和的27，列出方程，得出n的值，再逐一进行判定．解：设多边形的边数为n，根据题意得：2×（n-2）•180°=360°，7解得：n=9过这个多边形一个顶点可做9-3=6条对角线，选项A错误它的内角和为1260°，选项B正确；如果将它剪掉一个角，则还余下8个角或9个角或10个角，选项C错误；它的每个外角不一定都相等，选项D错误；故选B【点睛】本题考查了多边形的有关知识，熟练掌握相关的定义和结论是解题的关键7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1＋∠2B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2D．3∠A＝2（∠1＋∠2）【答案】B【解析】【分析】在△ABC、四边形BCDE和△A′DE中，分别根据内角和列式，三式联立再结合折叠的性质可得2∠A′＝∠1＋∠2，则知结果．解：如图，连接DE，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A′＋∠B＋∠C＝180°①．在△A′DE中∠A′＋∠A′DE＋∠A′ED＝180°②；在四边形BCDE中∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠A′DE＋∠A′ED＝360°③；①＋②﹣③得2∠A′＝∠1＋∠2，即2∠A＝∠1＋∠2．故选B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和，折叠问题的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．8．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则FAI∠=（）A．10︒B．12︒C．14︒D．15︒【答案】B【解析】利用正n边形的外角和定理计算即可如图，延长BA到点O，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAO=3606=60°，∵五边形ABGHI是正五边形，∴∠IAO=3605=72°，∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，故选B．【点睛】本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正ｎ边形的外角和定理是解题的关键．9．某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°”；乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”；丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”；丁说：“只要是多边形，外角和都是360°”．你认为正确的是()A．甲和丁B．乙和丙C．丙和丁D．以上都不对【答案】A【解析】根据多边形的内角和与外角和逐个判断即可．多边形的内角和公式为180(2)n ︒-，n 为多边形的边数当n 增加1，则内角和增加180︒，甲说法正确任意多边形的外角和都等于360︒，则乙说法错误，丁说法正确当3n =时，多边形的内角和为180︒，外角和为360︒，则丙说法错误综上，说法正确的是甲和丁故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和与外角和是解题关键．10．小学生雷雷要用一块等边三角形的硬纸片(如图(a )所示)做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图(b )所示)，他在ABC 内先画了一个等边DEF ，然后打算剪掉三个角(如四边形AMDN )，可是比划了半天，还是不知如何下手，用你学过的知识判断，若想正好剪下三个角，MDN ∠的度数应为()A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】C【解析】【分析】先根据题意、等边三角形的定义得出90,60AMD DNA A ∠=∠=︒∠=︒，再根据四边形的内角和即可得．ABC ∆ 是等边三角形60A ∴∠=︒要做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子90AMD DNA ∴∠=∠=︒由四边形的内角和可得：360AMD MD DNA AN ∠-∠∠=--∠︒909060360︒-=︒-︒-︒120=︒故选：C ．【点睛】本题考查了四边形的内角和、等边三角形的定义，依据题意，得出90AMD DNA ∠=∠=︒是解题关键．二、填空题11．正十边形的每一个外角的度数是______．【答案】36°##36度【解析】【分析】根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可．解：3601036︒÷=︒，∴正十边形的每一个外角的度数是36°，故答案为：36°．【点睛】本题主要考查了正多边形外角，熟知正多边形外角与边数的关系式解题的关键．12．如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点可以连___________条对角线．【答案】6【解析】【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．解：设此多边形的边数为n ，由题意得：（n -2）×180=1260，解得；n =9，从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=6，故答案为：6．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n -2）．13．从n 边形一个顶点出发，可以引__________条对角线，它们将此n 边形分为__________个三角形，所以n 边形内角和为__________．【答案】3n -2n -2180()n -⨯︒【解析】【分析】根据n 边形对角线的定义，可得n 边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．根据多边形内角和定理，可得n 边形内角和．解：从n 边形的一个顶点出发可以引（n −3）条对角线，它们将n 边形分成（n −2）个三角形，这些三角形的内角和等于多边形内角和即n 边形内角和为2180()n -⨯︒．故答案为：①3n -，②2n -，③2180()n -⨯︒．【点睛】本题考查多边形的性质，从n 边形的一个顶点出发，能引出（n −3）条对角线，一共有()32n n -条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n −2）个三角形．这些规律需要学生牢记．同时考查了多边形内角和定理．14．每个外角都为36°的多边形共有___条对角线．【答案】35【解析】【分析】设这个多边形为n 边形，然后根据多边形外角和为360度以及多边形对角线公式()32n n -进行求解即可．解：设这个多边形为n 边形，由题意得：36036n ÷=o o ，∴10n =，∴这个多边形的对角线条数()10103352⨯-==条，故答案为：35．【点睛】本题主要考查了多边形外角和，多边形对角线条数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．15．一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720︒，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【解析】【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．16．如图，如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________．【答案】540【解析】【分析】连接BC、AD．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解．解：如图，连接BC、AD．在四边形BCEG中，得∠E+∠G+∠ECB+∠GBC=360°，又因为∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠F=180°，∠4+∠5+∠3+∠6=∠CAF+∠BDF，即∠1+∠2+∠5+∠6=∠CAF+∠BDF，所以∠CAF+∠B+∠C+∠BDF+∠E+∠F+∠G=540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了四边形内角和定理以及三角形内角和定理，解题的关键是能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解．17．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=_______°．【答案】360【解析】【分析】根据多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形外角性质进行推理计算即可．解：如图，延长DE交AB于点G，由三角形外角性质可知：∠1=∠F+∠DEF，∠2=∠1+∠A，∴∠2=∠F+∠DEF+∠A，∴在四边形BCDG中，由四边形内角和可知：∠2+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A+∠F+∠DEF+∠B+∠C+∠D=360°．故答案为：360．【点睛】本题考查了多边形内角与外角、三角形外角性质，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理、三角形外角性质．18．如图，在ABC 中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿11B AC ∠的平分线11A B 折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠n n B A C 的平分线1n n A B +折叠，点n B 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称BAC ∠是ABC 的好角．（1）若经过n 次折叠BAC ∠是ABC 的好角，则B Ð与C ∠（设B C ∠>∠）之间的等量关系为________．（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数________．（写出一种即可）【答案】∠B=n ∠C 4、172或8、168或16、160或44、132或88°、88°【解析】【分析】（1）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A 1A 2B 2=∠C+∠A 2B 2C=2∠C ；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC 的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C ；利用数学归纳法，根据展示的三种情形得出结论：∠B=n ∠C ；（2）利用（1）的结论知∠B=n ∠C ，∠BAC 是△ABC 的好角，∠C=n ∠A ，∠ABC 是△ABC 的好角，∠A=n ∠B ，∠BCA 是△ABC 的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．解：（1）∠B=n ∠C ；如图所示，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；故答案为：∠B=n∠C．（2）由（1）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．故答案为：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．三、解答题19．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180︒，求这个多边形的边数及内角和度数．【答案】这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．【解析】【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．解：根据题意，得（n−2）•180°＝360°×4+180°，解得：n＝11．360°×4+180°=1620°则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．【点睛】本题考查了多边形内角和，解题的关键是结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．20．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数及内角和．【答案】这个多边形的边数是10，内角和为1440︒【解析】【分析】设这个多边形的边数是n ，根据多边形内角和以及外角和列出方程求解即可．解：设这个多边形的边数是n ，则()21803604n -⨯=⨯，28n -=，10n =．内角和为()1021801440-⨯︒=︒答：这个多边形的边数是10，内角和为1440︒．【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．21．（1）如图，在ABC 中，AB AC =，65BCD ∠=︒，CD AB ∥，求A ∠的度数．（2）已知一个正多边形的内角和比它的外角和的3倍多180︒，求这个正多边形每个外角的度数．【答案】（1）50A ∠=︒；（2）每一个外角的度数是40︒【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠B 的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠A 的度数；（2）根据n边形的内角和等于外角和的3倍多180°，可得方程180（n-2）=360×3+180，再解方程即可．CD AB，解：（1）∵//∴∠=∠=︒，65B BCD，=AB ACACB B∴∠=∠=︒，65∴∠=︒-︒⨯=︒；18065250A()2设这个多边形的边数为n，根据题意得：()n⨯-=⨯+，180********n=，解得9即它的边数n是9，︒÷=︒．所以每一个外角的度数是360940【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质以及多边形内角和与外角和．解题的关键是掌握多边形内角和公式，明确外角和是360°．22．求图（1）（2）中x的值．【答案】图（1）70；图（2）100°【解析】【分析】图（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，图（2）根据四边形的内角和等于360°，即可求解．解：由图（1）得：()()655x x x +︒=︒+-︒，解得：70x =；由图（2）得：106090360x x ++︒+︒+︒=︒．解得：100x =︒【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；四边形的内角和等于360°是解题的关键．23．如图是一个凹多边形，90A ∠=︒，106C ∠=︒，116∠=︒D ，100E ∠=︒；求12∠+∠的值．【答案】128︒【解析】【分析】根据题意连接FB ，进而利用多边形的内角和性质进行分析求解即可.解：连接FB ，如图：五边形BCDEF 的角度为：(52)180540︒-⨯=，由90A ∠=︒，可得90AFB ABF ︒∠+∠=，所以12540()54010611610090128C D E AFB ABF ︒︒︒︒︒︒︒∠+∠=-∠-∠-∠-∠+∠=----=.【点睛】本题考查多边形的内角和性质，熟练掌握多边形的内角和求法即(2)180n ︒-⨯（n 为边数）是解决问题的关键.24．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如下图所示就是一组正多边形．（1）观察上面每个正多边形中的∠a ，填写下表：正多边形边数456...n∠a 的度数...（2）是否存在正n 边形使得∠a ＝12°？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）18045,3630,(),n︒︒︒︒；（2）存在，15【解析】【分析】（1）根据正多边形的外角和，求得内角的度数，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得α∠的度数；（2）根据（1）的结论，将12α∠=︒代入求得n 的值即可解：（1） 正多边形的每一个外角都相等，且等于360n ︒则正多边形的每个内角为360180n︒︒-，根据题意，正多边形的每一条边都相等，则α∠所在的等腰三角形的顶角为：360180n ︒︒-，另一个底角为α∠，1360180=1801802n n α⎡︒⎤⎛⎫⎛⎫∴∠︒-︒-=︒ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当4n =时，45α∠=︒当5n =时，α∠=36︒当6n =时，α∠=30°故答案为：18045,3630,(),n︒︒︒︒（2）存在．设存在正n 边形使得12a ∠=︒，∴180()12n︒=︒，解得15n =．【点睛】本题考查了正多边形的外角和与内角的关系，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正多边形的外角与内角互补求得内角是解题的关键．25．【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将ABC 中ACB ∠的边CB 反向延长，与另一边AC 形成的ACD ∠即为ACB △的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，ABC 的外角和()()()180180180ACB CAB ABC =︒-∠+︒-∠+︒-∠．()540540180360ACB ABC CAB =︒-∠+∠+∠=︒-︒=︒．【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：(1)将下列表格补充完整．名称图形内角和外角和三角形180°360°四边形五边形…………n边形…(2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．【答案】(1)内角和分别为：360°、540°、180°（n-2）；外角和分别为：360°、360°、360°(2)135°【解析】【分析】（1）分别对图中四边形和五边形标注字母，然后根据题目中所给定的方法分别计算其内角和与外角和，最后根据规律确定出n边形的内角和与外角和即可；（2）方法一：根据（1）中内角和公式求出内角和，然后除以角的个数即可；方法二：先求出各个外角的度数，然后用180 减去一个外角的度数，即为内角度数．(1)解：四边形标定字母如图所示，连接CG，四边形分为两个三角形，∴四边形内角和为1802360︒⨯=︒，外角和为：()()()()180180180180BAG ACE CEG EGA ︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠()720BAG ACE CEG EGA =︒-∠+∠+∠+∠，720360=︒-︒，360=︒；五边形标定字母如图所示，连接DA ，DB ，五边形分为三个三角形，∴五边形内角和为1803540︒⨯=︒，外角和为：()()()()()180180180180180ABC BCD CDE DEA EAB ︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠()900ABC BCD CDE DEA EAB =︒-∠+∠+∠+∠+∠，900540=︒-︒，360=︒；当为n 边形时，可以分为()2n -个三角形，∴n 边形内角和为()2180n -⨯︒；外角和为定值360︒；故答案为：内角和分别为：360︒、540︒、()1802n ︒-；外角和分别为：360︒、360︒、360︒；(2)解：方法一：()821808135-⨯︒÷=︒，方法二：1803608135︒-︒÷=︒．【点睛】题目主要考查多边形内角和与外角和定理，理解题意，熟练掌握多边形内角和与外角和定理是解题关键．。
《同步课时卷》北师版八年级数学(下册)6.4多边形的内角和与外角和(第二课时)(附参考答案)
《同步课时卷》北师版八年级数学（下册）6.4多边形的内角和与外角和（第二课时）1.随着边数的增加,n边形的外角和( )A.不变B.增加C.减小D.不一定2.已知一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形的边数是( )A.3B.4C.5D.63.一个多边形的外角和是内角和的一半,则它的边数是( )A.7B.6C.5D.44.一个多边形的每个内角均为156°,则这个多边形是( )A.十三边形B.十四边形C.十五边形D.十六边形5.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于( )A.60°B.72°C.90°D.108°6.正五边形的外角和等于度.7.一个正多边形的每个外角都等于60°,则这个多边形为正边形.8.已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4,则各外角的度数分别为, , , .9.一个多边形的内角和与外角和的比是4∶1,它的边数是,顶点的个数是,对角线的条数是.10.一个多边形的内角和是它外角和的5倍,求这个多边形的边数.11.如图6-4-2所示,计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.图6-4-212.一个多边形的内角和是外角和的6倍,则这个多边形的边数为( )A.6B.8C.12D.1413.如图6-4-3所示,小明在操场上从A点出发,沿直线前进10米后左转40°,再沿直线前进10米后,又向左转40°,……照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了米.图6-4-314.如图6-4-4是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= .图6-4-415.若一个多边形的内角都相等,内角与它相邻外角的度数差为100°,求这个多边形对角线的条数.16.已知一个多边形有两个内角为直角,其余各角的外角都等于45°,那么这个多边形的边数是多少?17.如图6-4-5所示,在五边形ABCDE中,AB∥CD,求∠E的值.图6-4-5参考答案1.A2.B3.B4.C5.B6.3607.六8.36°72°108°144°9.10 10 3510.解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=360°×5,解得n=12.即这个多边形的边数为12.11.解:∵∠APC是△AEP的外角,∴∠APC=∠A+∠E.∵∠BOD是△DOF的外角,∴∠BOD=∠D+∠F,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠B+∠C+∠APC+∠BOD=180°×(4-2)=360°.12.D13.9014.360°15.解:(180°-100°)÷2=40°,360°÷40°=9.(9-3)×9÷2=27(条).∴这个多边形对角线有27条.16.解:(360°-2×90°)÷45°=4,4+2=6.∴这个多边形的边数是6.17.解:∵AB∥CD,∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,∴在五边形ABCDE中,∠E=540°-150°-120°-60°-160°=50°.。
北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和同步测试题
6.4 多边形的内角和与外角和同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）1. 一个n边形的内角和是外角和的2倍，则n的值为（）A.3B.4C.5D.62. 若正多边形的内角和是540∘，则该正多边形的一个外角为()A.45∘B.60∘C.72∘D.90∘3. 若正多边形的一个外角为60∘，则这个正多边形的内角和为()A.720∘B.900∘C.1080∘D.1980∘4. 如果一个正多边形的每一个外角都是36∘，那么这个多边形的边数是（）A.10B.11C.12D.135. 已知一个多边形的内角和是1260∘，则这个多边形是（）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形6. 如果一个多边形的内角和是540∘，那么这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形7. 一个正多边形每个外角都是30∘，则这个多边形边数为（）A.10B.11C.12D.138. 小明同学在计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2005∘．则n 等于（）A.11B.12C.13D.14二、填空题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）9. 五边形的外角和是________度．10. 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260∘，则这个多边形边数是________．11. 若十二边形的每一个内角都相等，那么它每个内角的度数是________．12. 已知一个正多边形的内角和为1440∘，则它的一个外角的度数为________度．13. 如果正多边形的一个外角是72∘，则这个多边形的内角和度数是________.14. 一个正多边形的每个内角度数均为135∘，则它的边数为________．15. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180∘，这个多边形的边数是________．三、解答题（本题共计8 小题，共计75分，）16. 已知多边形的一个外角与其内角和的总和为600∘，求此多边形的边数．，求这个多边形的边数及内角和．17. 已知一个多边形的外角和是内角和的2718. 已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多180∘，则这个多边形的边数是多少？19. 一个多边形除去一个内角外，其余各角之和为2 750∘，求这个多边形的边数及去掉的角的度数．20. 一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于它的相邻内角的2，求这个多边3形的外角．21. 已知四边形的一个内角是56∘，第二个内角是它的2倍，第三个内角比第二个内角小10∘．求第四个内角的大小．22. 如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五扇形（阴影部分）的面积之和．23. 如图，在四边形ABCD中，BE和DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，BE与DF 相交于点G，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如图1，若α+β＝168∘，求∠MBC+∠NDC的度数．（2）如图1，若∠BGD＝35∘，试猜想α、β所满足的数量关系式，并说明理由．（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．。
北师大版八年级下册6.4多边形的内角和与外角和练习(word无答案)
6.4多边形的内角和与外角和练习一、填空题1．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于．2．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于度．3．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．4．若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是．5．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是．6．一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是．7．一个正多边形每一个外角为36°，则这个多边形的内角和为．8．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是边形．9．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正边形．10．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为．11．已知一个多边形中，除去一个内角外，其余内角的和为1160°，则除去的那个内角的度数是．二、解答题12．一个多边形的内角和与外角和之比是5：2，求这个多边形的边数．13．求下列图形中x的值．14．一个多边形的内角和加上它的外角和等于900°，求此多边形的边数．15．小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由．16．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC+∠ADC＝°；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试求∠E的度数17．如图，小东在操场的中心位置，从点A出发，每走6m向左转60°，（1）小东能否走回点A处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由．（2）小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和．18．动手操作，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．。
北师大版八年级数学下册6.4多边形内角和和外角和同步练习
6．4 多边形的内角和与外角和(1)一、选择题1．六边形的内角和为(C)A．360°B．54 0°C．720°D．90 0°2．假设正多边形的一个内角是150°，那么该正多边形的边数是(B)A．6 B．12C．16D．183．从六边形的一个顶点出发，可以画出 m条对角线，它们将六边形分成n个三角形.那么m、n的值分别为(C)A．4，3 B．3，3C．3，4 D．4，44．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 7个三角形，那么这个多边形是(D)A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形5．一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，那么这个内角的度数为(B)A．120°B．130°C．135°D．150°6．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，那么∠ABE的度数为(B)A．30°B．36°C．54°D．72°7．如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，以下四种剪法中，符合要求的是(B)A．①② B．①③C．②④ D．③④8．把n边形变为(n＋x)边形，内角和增加了720°，那么x的值为(A)A．4 B．6C．5 D．3二、填空题9．两个完全相同的正五边形都有一边在直线 l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如下列图，那么∠AOB等于108°.10．如下列图的正六边形ABCDEF，连接FD，那么∠FDC的大小为90°．11．如图，正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，那么∠DFA36°.12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，假设MF∥A D，FN∥DC，那么∠B＝95°.三、解答题13．：四边形ABCD如下列图．(1)填空：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°；(2)请证明你的结论．(2)证明：连接AC，把四边形分成两个三角形，一个三角形内角和为180°，所以两个三角形的内角和为360°，四边形的内角和是360. 14．如下列图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，假设BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，A与∠C互补，∴∠ABC＋∠ADC360°－180°＝180°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF＋∠EBF＝90°，BE∥DF，∴∠EBF＝∠CFD，∴∠CDF＋∠CFD＝90°，故△DCF为直角三角形．15．如图，试求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值．解：因为∠D＋∠E＝∠EGC，EGC＋∠C＝∠BIG，所以∠D＋∠E＋∠C＝∠BIG.故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝(∠A＋∠B＋∠F)＋(∠D＋∠E＋∠C)＝∠A＋∠B＋∠F＋∠BIG＝360°.16．定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．(1)性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明 .：如图2，四边形ABCD是凹四边形.求证：∠BCD＝∠B＋∠A＋∠D.(2)性质应用：①如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD两角的平分线交于点E，假设∠ADC＝140°，∠AEC＝102°，求∠B的度数.②如图4，∠BOC＝58°，x＝∠A＋∠B，y＝∠C＋∠D＋∠E＋∠F，求(x＋y)的度数．解：(1)延长BC交AD于点M.∵∠BCD是△CDM的外角，∴∠BCD＝∠CMD＋∠D，同理∠CMD是△ABM的外角，∴∠CMD＝∠A＋∠B，∴∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D；(2)①如图3，设∠B＝x，∠ECB＝∠ECD＝α，EAD＝∠EAB＝β.140＝102＋α＋β由(1)可知，，102＝x＋α＋β解得x＝64°，∴∠B＝64°；②如图③，∵∠BOC＝58°，∴∠COE＝122°，∴∠A＋∠C＋∠E＝∠COE＝122°，∴∠B＋∠D＋∠F＝∠COE＝122°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 122°＋122°＝244°.。
北师大版八年级下册数学 6.4关于多边形的边数求内角和问题同步习题(含解析)
已知多边形的边数求内角和一、选择题1、如图，正三角形ABC（图1）和正五边形DEFGH（图2）的边长相同．点O为△ABC的中心，用5个相同的△BOC拼入正五边形DEFGH中，得到图3，则图3中的五角星的五个锐角均为( )A .36°B .42°C .45°D . 48°2、正八边形的内角和等于( )A .720°B .1080°C .1440°D .1880°3、如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（）A．140°B．130°C．110°D．70°4、从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则这个n边形的内角和为（）A．720°B．900°C．1080°D．1260°二、填空题5、如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为__________6、如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠1＝20°，则∠2＝__________°．7、正多边形的一个内角的度数恰好等于它的相邻外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为__________ ．8、如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=147°，∠B=121°，则∠C=__________.9、如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1= __________ ．10、如图，在六边形ABCDEF中，BA⊥FA，BC⊥DC，∠α、∠β分别是∠ABC和∠EDC的补角，∠α=55°，∠β=30°，则∠E+∠F的度数为__________．11、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=__________．12、用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=__________度．13、正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于__________ 度．三、解答题14、多边形的内角和随着边数的变化而变化．设多边形的边数为n，内角和为N，则变量N与n之间的关系可以表示为N=（n-2）•180°．例如：如图四边形ABCD的内角和：N=∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°问：（1）利用这个关系式计算五边形的内角和；（2）当一个多边形的内角和N=720°时，求其边数n．15、如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。
北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角与外角》精选练习(含答案)
北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角与外角》精选练习一、选择题1.五边形的内角和为（）A．720°B．540°C．360°D．180°2.一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．83.正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（）A.10B.11C.12D.134.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形5.一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．126.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( )A.都是钝角;B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角D.是一个锐角、一个直角7.设四边形的内角和等于a,五边形的外角和等于b,则a与b的关系是（）A.a＞bB.a=bC.a＜bD.b=a+180°8.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( )A.2:1B.1:1C.5:2D.5:49.正九边形的一个内角的度数是( )A.108°B.120°C.135°D.140°10.如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC=( )A.105°B.115°C.125°D.135°11.一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为（）A.7B.7或8C.8或9D.7或8或912.一个广场地面的一部分如图所示，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成，从里往外共10层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外界都围成一个多边形，若中央正六边形地砖的边长是1米，则第10层的外边界围成的多边形的周长是（）A．54 B．54 C．60 D．66二、填空题13.正n边形的每个内角为120°，这个正n边形的对角线条数为______条.14.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_____边形.15.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= ．（提示：由AB=AC，可得∠BAC=∠BCA）16.在五边形ABCDE中，∠A：∠B：∠C：∠D：∠E=1：2：3：4：5，则∠A的度数为 .17.如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH= 度．18.把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为__________．三、解答题19.求下列图形中x的值：20.若两个多边形的边数之比为1：2，两个多边形的内角和之和为1440°，求这两个多边形的边数.21.小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2260°．①求这个多加的外角的度数．②求这个多边形对角线的总条数．22.（1）如图①，你知道∠BOC=∠B+∠C+∠A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；（2）如图②﹣1，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °；如图②﹣2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °；如图②﹣3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °；（3）如图③，下图是一个六角星，其中∠BOD=70°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °.23.如果一个多边形的各边都相邻，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形.如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：（第22题图）（1）将下面的表格补充完整：正多边形边数 3 4 5 6 … n∠α的度数 60° 45°…（2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由.参考答案1.B2.A3.C4.C5.B6.C7.B8.D9.D.10.B11.D12.D．13.答案为：914.答案为：六.15.答案为：36°．16.答案为：36°.17.答案为：15．18.答案为：84°．19.解：（1）90+70+150+x=360．解得x=50．（2）90+73+82+（180-x）=360．解得x=65．（3）x+（x+30）+60+x+（x-10）=（5-2）×180．解得x=115．20.略21.解：①设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则（n﹣2）•180°=2260°﹣α，∵2260°=12×180°+100°，内角和应是180°的倍数，∴同学多加的一个外角为100°，∴这是12+2=14边形的内角和．②多边形的对角线的条数是=77（条）．即共有77条对角线．22.解：（1）如图①，∠BOC=∠B+∠C+∠A.（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.如图③，根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.如图④，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，∵∠GFC+∠FGC+∠C=180°，∴x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.（3）如图⑤，∵∠BOD=70°，∴∠A+∠C+∠E=70°，∴∠B+∠D+∠F=70°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=70°+70°=140°.故答案为：180、180、180、140.23.解：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：正多边形边数 3 4 5 6 … n∠α的度数 60° 45° 36° 30° … （n 180）° （3）不存在，理由如下：设存在正n 边形使得∠α=21°，得∠α=21°=（n 180）°.解得n=874，n 是正整数，n=874（不符合题意要舍去）， 不存在正n 边形使得∠α=21°.。
北师大版八年级下册数学6.4： 多边形的内角和与外角和 同步检测
第六章第四节多边形的内角和与外角和一、选择题（共11小题；共33分）1. 正五边形的一个内角是( )A. 60∘B. 72∘C. 108∘D. 120∘2. 一个多边形的内角和是900∘，这个多边形的边数是( )A. 4B. 5C. 6D. 73. 下列角度中，不能成为多边形内角和的是( )A. 600∘B. 720∘C. 900∘D. 1080∘4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和为( )A. 360∘B. 540∘C. 720∘D. 900∘5. 七边形的外角和为( )A. 180∘B. 360∘C. 900∘D. 1260∘6. 若正n边形的一个外角为60∘，则n的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 8，这个多边形的每个外角是( )7. 一个正多边形中，每个外角等于它相邻内角的23A. 15∘B. 45∘C. 36∘D. 72∘8. 若一个多边形的内角和与外角和之和是1800∘，则此多边形是( )A. 八边形B. 十边形C. 十二边形D. 十四边形9. 内角和等于外角和2倍的多边形是( )A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形10. 如果一个多边形的每个外角都相等，且小于45∘，那么这个多边形的边数最少是( )A. 8B. 9C. 10D. 1111. 若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570∘，则这个角是( )A. 90∘B. 15∘C. 120∘D. 130∘二、填空题（共12小题；共36分）12. 如图所示，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=107∘，∠B=121∘，则∠C=．13. 在四边形ABCD中，如果∠A:∠B:∠C:∠:∠D=1:2:3:4，则∠D=．14. 一个正多边形的周长为96，且内角和为1800∘，则这个多边形的边长为．15. 多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加．16. 求一个八边形的内角和．17. 在四边形ABCD中，∠D=60∘，∠B比∠A大20∘，∠C是∠A的2倍，则∠A=．18. 从一个多边形的一个顶点出发，一共能引10条对角线，则这个多边形的内角和为．19. 一个正多边形的每个外角都等于30∘，则这个多边形的边数是．20. n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7，则边数为．21. 如图所示，图形中的x=．22. 正五边形的内角和为，每个内角为，每个外角为．23. 一个多边形的最大外角为85∘，其他外角依次减少10∘，则这个多边形的边数是．三、解答题（共7小题；共84分）24. 已知多边形的每个内角都等于150∘，求这个多边形的边数．25. 一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520∘，求原多边形的边数．26. 在一个凸n边形中，有（n−1）个内角的和恰为8940∘，求边数n的值．27. 已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440∘，求这个多边形的边数．28. 一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20∘，求这个正多边形的内角和．29. 已知一个多边形的内角和与外角和之比为9:2，求这个多边形的边数．30. 如图所示，一个六边形的6个内角都是120∘，AB=1，BC=CD=3，DE=2，求AF的长．答案1. C2. D3. A4. C5. B6. C7. D8. B9. B10. B11. D12. 132∘13. 144∘14. 815. 180∘16. 1080∘17. 70∘18. 1980∘19. 1220. 921. 95∘22. 540∘，108∘，72∘23. 624. 设这个多边形的边数为n．(n−2)180∘=150∘n，解得n=12．这个多边形的边数为12．25. 可设新多边形为n边形，由题意可知，原多边形可以为n边形，（n+1）边形（n−1）边形．(n−2)×180=2520，解得n=16，∴新多边形为十六边形，∴原多边形可以是十五边形，也可以是十六边形，也可以是十七边形．26. 设此凸n边形有一个内角为α，则α=(n−2)⋅180∘−8940∘．∵0∘<α<180∘，∴0<(n−2)⋅180∘−8940∘<180∘．解得51.67<n<52.67．∵n是整数，∴n=52．27. 这个多边形的边数为n．(n−2)×180−360=1440．解得n=12．12．28. 设每个外角为x∘，则3x+20+x=180．解得x=40．故此多边形为九边形，内角和为1260∘．29. 设这个多边形的边数为x．(x−2)×180=9:2．360解得x=11．边数为11．30. 延长FA，CB，BC，ED，DE，AF，∵每个角都是120∘，可以得到3个小等边三角形，∴补全的三角形也是等边三角形，且边长为7，利用三边相等得AF=4．。
《作业推荐》北师大版八年级数学下册同步练习：6.4.多边形的内角与外角和
《作业推荐》01-多边形的内角与外角和一、单选题1.如果一个多边形的每一个内角都是120∘，则这个多边形边数是（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】先根据多边形的外角与它相邻的内角互补，求出每个外角的度数，再根据多边形的外角和是360°就可以求出多边形的边数．【详解】解：∵一个多边形的每一个内角都是120°，∴这个多边形的每一个外角都是180°−120°=60°，∴多边形的边数是：360°÷60°=6.故选：B.【点睛】本题考查正多边形的内角和问题.已知正多边形的一个内角可先求出它的每一个外角，然后根据多边形的外角和等于360°求出它的边数.也可以直接利用多边形的内角和公式求出它的边数.2.正八边形的每个外角等于（）A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】B【解析】【分析】由正多边形的外角和是360°，而且每个外角都相等，即可求．【详解】解：∵正八边形的外角和是360°，∴每个外角是360°÷8＝45°；故选：B．【点睛】本题考查正多边形的外角和，每一个外角的都相等．能够熟练掌握性质是解题的关键．3.四边形ABCD 中，如果∠A +∠C +∠D = 280︒，则∠B 的度数是（）A.20︒B.80︒C.90︒D.170︒【答案】B【解析】【分析】利用四边形的内角和等于360度即可解决问题．【详解】∵四边形内角和360°，∵A+∵C+∵D=280度，∵∵B=360°-（∵A+∵C+∵D）=360°-280°=80°．故选B．【点睛】本题利用多边形的内角和定理即可解决问题．4.如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是( )【解析】【分析】根据等要三角形的性质，依题意可得等腰三角形的顶角的度数为110°，有根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角的和可求得最大角的度数.【详解】根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及三角形内角和是180°，解得等腰三角形的顶角是180°−35°×2=110° .根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角的和，求得四边形的第四个角是90°+35°=125°.比较四边形的四个内角,最大角的度数是125°.故答案是125°.故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形外角的性质，求出等腰三角形的顶角的度数是解决本题的关键.5.如图，内角和为540∘的多边形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式(n−2)×180°即可求出多边形的边数.【详解】依题意，(n−2)×180°=540°，解得n=5，则多边形是一个五边形，故选：C.【点睛】本题主要考查了多边形内角和的计算，熟练掌握多边形内角和公式是解决此类问题的关键.6.一个多边形的每一个内角都比外角多90°，那么这个多边形的边数是（）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】【分析】一个多边形的每个内角都相等，每个内角都比外角大90°，又由于内角与外角的和是180度．设外角是x，则内角是180°-x，列方程求解即可．【详解】解：设外角是x，则内角是180°﹣x，依题意有180°﹣x＝x+90°，解得x＝45°，∴180°﹣x＝135°，又∵任何多边形的外角是360°，∴多边形中外角的个数是360÷45＝8，即这个多边形的边数是8，故选：C．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据多边形的内角与外角的关系转化为方程的问题，并利用多边形的外角和定理是解决问题的关7.若一个多边形的每个外角都是30°，则它是________边形，内角和为______．【答案】(1). 十二(2). 1800【解析】【分析】根据正多边形的性质可得：正多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数，然后利用多边形的内角和公式求内角和．【详解】∵一个多边形的每个外角都是30°，∴这是一个正多边形，∴n=360°÷30°=12，∴十二边形的内角和为：（12-2）•180°=1800°．故答案是：十二，1800．【点睛】考查了正多边形的性质和多边形的内角和，解题的关键是利用了正多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数．8.若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是_____．【答案】5【解析】【分析】先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．【详解】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∵多边形的内角和是900﹣360＝540°，∵多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n边形的内角和为：(n-2) ×180°，n边形的外角和为：360°．9.如图，已知∠1+∠2+∠3=310°，则∠4=____________【答案】50°【解析】【分析】根据多边形的外角和定理即可得出答案【详解】解：∵∠1+∠2+∠3=310°，∠1+∠2+∠3+∠4=360°∴∠4=50°故答案为：50°【点睛】此题主要考查了根据多边形的外角和定理，多边形的外角和为360°是解题的关键10.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∵BAC=∵BCA，∵EAD=∵EDA,则∠CAD度数为_____.【答案】36°【解析】【分析】根据多边形的内角和公式先求出每个内角的度数，再根据已知和三角形内角和等于180°分别求出∠BAC、∠EAD的度数，最后由角相互间的和差关系求出∠CAD度数．【详解】根据题意，得五边形每个内角的度数为108°．在△ABC中，由∠BAC＝∠BCA，∠B＝108°，得∠BAC＝1×(180°−108°)＝36°．2同理：∠EAD＝36°．所以，∠CAD＝108°−（∠BAC＋∠EAD）＝108°−72°＝36°．故填：36°．【点睛】本题考查多边形的内角和计算公式，及角相互间的和差关系，有一定的难度．三、解答题11.一个多边形的内角和比外角和的1多780°，它是几边形？3【答案】它是七边形【解析】【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)•180°和外角和等于360°列方程求解即可．【详解】解：设这个多边形边数为n，依题意得：(n−2)⋅180°=360°×1+780°，3解得：n=7，答：它是七边形．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，只要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．12.如图，求x的值．【答案】x=60【解析】根据5边形的内角和等于(5-2)×180°可得到方程，解方程可得．【详解】由已知可得2x+120+150+x+90=(5-2)×180解得x=60【点睛】考核知识点：多边形的内角和．熟记多边形内角和公式是关键．13.如图，五边形ABCDE中，AE//CD,∠A=100∘,∠B=120∘.（1）求∠C的度数；（2）直接写出五边形ABCDE的外角和.【答案】（1）140°；（2）360°【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D+∠E=180°，再根据多边形内角和定理即可求解；（2）根据多边形的外角和定理直接得到答案.．【详解】（1）∵AE∥CD，∴∠D+∠E=180°，∵五边形ABCDE中，∠A=100°，∠B=120°，∴∠C=(5－ 2)×180°−180°−100°−120°=540°−180°−100°−120°=140°．（2）根据多边形的外角和定理：五边形ABCDE的外角和是：360°．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及外角和定理，多边形的内角和为(n－ 2)×180°；多边形的外角和永远为360°．14.如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，已知EF⊥BC，求证：EF平分∠AED．【答案】见解析．【解析】【分析】利用五边形ABCDE的每个内角都相等，求出每个内角的度数，利用∠3=90°，求出∠1的度数，进而可以求出∠2，判断∠1、∠2是否相等即可．∵五边形内角和为(5－2)×180∘=540°．且五边形ABCDE的5个内角都相等∴∠A=∠B=∠AED=540°5=108°.∵EF⊥BC,∴∠3=90°.又∵四边形的内角和为360∘，∴在四边形ABFE中，∠1=360°−(108∘+108∘+90∘)=54∘又∵∠AED=108∘,∴∠1=∠2=54,∴EF平分∠AED．【点睛】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：(n−2)×180°(n≥3且n为整数)．。
北师大八年级数学下《6.4多边形的内角与外角和》课时练习含解析初中数学
八年级下册第六章第四节多边形的内角与外角和课时练习一、选择题（共10题）1.某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（）A.180°B.540°C.1900°D.1080°答案：C解析：解答：多边形的内角和公式是(n-2)·180°，内角和是180°时候是三角形；内角和是540°时候是五边形；内角和是1080°的时候是十边形，内角和是1900°时候算出来的边数不是整数，故答案是C选项分析：考查了多边形的内角和的计算2.如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（）A．6 B．9 C．14D．20答案：B解析：解答：多边形的对角线的条数公式是n(n-3)/2，本题中的多边形的边数为：(n-2)·180°=720°，可以得到n是6，把6代入n(n-3)/2得到9，故答案是B选项分析：注意通过内角和公式计算出多边形的边数，然后再通过对角线公式得出答案3.一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120°，则这个角的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°答案：A解析：解答：根据多边形的内角和公式可以知道，多边形的内角和是180°的正整数倍，所以只有A选项和120°相加是180°的正整数倍，故答案是A选项分析：考查多边形的内角和，注意内角和是180°的正整数倍4.一个多边形的内角和是外角和的5倍,那么这个多边形的边数是( )A．10 B．12 C．6D．7答案：B解析：解答：多边形的外角和是360°，那么它的5倍是1800°，根据内角和公式(n-2)·180°=1800°，可以解得n=12，故答案是B选项分析：考查多边形的外角与内角的联系，注意外角和是360°5.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和是2570°,则这个角是( )A.90°B.15°C.120°D.130°答案：D解析：解答：多边形的内角和因该是180°的整数倍，所以和A选项的和是2660°，不是180°的整数倍；和B选项的和是2585°，不是180°的整数倍；和C选项的和是2690°，不是180°的整数倍；和D选项的和是2700°，是180°的15倍；所以答案是D选项分析：注意多边形的内角和是是180°的整数倍6.在多边形的内角中,锐角的个数不能多于( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解析：解答：可以用反证法来证明，假设n边形中可以有4个锐角，那么就有n—4个钝角，那么n边形的内角和为(n-2)·180°=锐角和+钝角和；即180*（n-2)<90*4+钝角和，即180*（n-4)<钝角和，注意到（n-4)为钝角数，所以钝角和应该小于180*（n-4），与上式矛盾，故假设不成立对于锐角数大于4的情况同理可证。
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6.4多边形的内角与外角和（2）
班级：二（ ）学号：（ ）姓名：（ ）
一、课前
1．下列各式能用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A ．21x －
B ．21x x +2－
C ．2x x ++1
D ．244x x ++
2．化简22
2a b a ab -+的结果为（ ）
A ．b a -
B ．a b a -
C ．a b a
+
D ．b -
3．在同一路程里，若上坡时速为1v ，下坡时速为2v ，则上下坡的平均速度为 （ ）
A ．
2
1212v v v v + B ．
2
2
1v v + C ．21212v v v v + D ．2121v v v v +
4．小颖准备用21元钱买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则她最多还可以买（ ）支笔．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．在下列给出的条件中，能判．．定．四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A ．AB=BC ，CD ∥DA B ．AB ∥CD ，AD=BC C ．AB ∥CD ，AB=CD D ．AB=CD ，OC=OD
二、课堂
1.(1)多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
(2)在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
如图，外角有 ， 外角和是指 。
2．如图，小明沿一个五边形广场周围的小路，从点A 出发逆时针方向跑步。
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是
∠____、∠____、∠____、∠_____、∠_____。
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是________。
（3）在上图中，你能求出∠1+ ∠2+ ∠3+∠ 4+ ∠5的结果吗？你是怎样得到的？
编号：57
数学八年级下册
65
3
21
A
B D
C
E
2第1，图
（4）正多边形的外角
正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形的内角和 180° 360° 540° 720
° (2)
180n -⋅
正多边形每个内角的度数 60° 90° … 正多边形的每一个外角 120° … 正多边形的外角和
360°
三角形的外角和定理： 。
3．例题：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是x 边形，得
4．巩固练习
1．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，它是几边形？如果这个多边形的 每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？ 解：设这个多边形是x 边形，得
2．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是几边形？能确定它的每个外角的度数吗？
三、课外
1．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）
A．正六边形 B．正八边形
C．正十边形 D．正十二边形
2．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3
分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3
等于（）
A．90° B．180° C．210° D．270°
3．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_________ 。
4．一个多边形的每个外角都是120°，则这个多边形是_________边形。
5．如图，几个四边形是同一个四边形缩小（保持形状不变）而得到的。
(1)在图中标出各个四边形的外角；
(2)在缩小的过程中四边形的对应的各个外角的大小是否发生了变化？
(3)如果保持四边形的形状不变，将四边形不断缩小下去，你能想象一下最终的形状
吗？
你能借助上面的变化过程说明四边形的外角和吗？
(4)你能类似地说明五边形、六边形……一般多边形的外角和吗？
*6．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H 的和。
*7．是否存在一个多边形，它的外角都等于相邻的内角的5
1？简述你的理由。
*8．若两个多边形的边数相差1，则它们的内角和、外角和分别有什么异同？。