盐城市高三调研数学试卷及答案

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高三试卷数学-江苏省盐城市联盟校2024届高三上学期第一次学情调研检测数学试卷及参考答案

2023-2024学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题(总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。

第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选e1+A．B．C．D．二、多项选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）II 卷（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．不需要写出解答过程，请把答四、解答题：（本大题共6小题，共70分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算求值：（1）︒-︒︒︒155sin 155cos 20sin 110sin 22；19．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？20．已知函数x x a x f 2cos 2sin )(+=，且|6(|)(π-≤f x f ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）为坐标原点，复数i t f z i z )(2,4221+-=--=在复平面内对应的点分别为B A ,，求OAB ∆面积的取值范围．21．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且C b C b c a sin 3cos 2+=+.（1）求角B ；（2）若3=b ，D 为AC 的中点，求线段BD 长度的取值范围.2023-2024学年第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学参考答案及评分标准17．【详解】(1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12...............................................................................6分(2)解：αQ 、β都为锐角，则0αβ<+<π，()()()111sin sin sin cos sin cos 147βαβααβαααβ∴=+-=+-+=⨯⨯⎡⎤⎣⎦．则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-+<-413211131mmmm，解得312m<<，.............................11分所以实数m的取值范围是312m m⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．...........................12分19.【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为y cm，所以阴影部分的面积163360002S xy xy=⨯==，所以12000xy=，.......2分又60x=，故200y=，由图可知20220AD y=+=cm，350230AB x=+=cm..................4分海报纸的周长为()2220230900⨯+=cm...............................5分故海报纸的周长为900cm...........................................6分（2）由（1）知12000xy=，0x>，0y>，()()35020360501000326050100049000 ABCDS x y xy x y xy x y=++=+++≥+⋅+=，.................................................................9分当且仅当65x y=，即100x=cm，120y=cm时等号成立，此时，350AB=cm，140AD=cm....................................11分故选择矩形的长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少.20.【详解】（1）∵f（x）≤|f（﹣）|，即当x＝时函数f（x）取到最值，又f（x）＝asin2x+cos2x＝，其中tanφ＝（a≠0），∴[f（﹣）]2＝a2+1，代入得[asin2（﹣）+cos2（）]2＝a2+1，即（）2＝a2+1，解得（a+）2＝0，∴a＝﹣，..............3分f（x）＝﹣sin2x+cos2x＝﹣2sin（2x﹣），.........................5分（2）由（1）可得：f（x）＝﹣2sin（2x﹣），由复数的几何意义知：A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f（t）），.....................7分∴S△ABC＝＝|f（t）+4|＝﹣2sin（2x﹣）+4，当2x﹣＝2kπ﹣，k∈Z，即x＝kπ﹣，k∈Z 时，S△OAB 有最大值6；......9分当2x﹣＝2kπ+，k∈Z，即x＝kπ+，k∈Z 时，S△OAB 有最小值2；........11分∴S △OAB ∈[2，6]．.............................................................12分21.【详解】（1）因为2cos 3sin a c b C b C +=+所以sin 2sin sin cos 3sin sin A B B C B C +=+，则()sin 2sin sin cos 3sin sin B C B B C B C ++=+，即sin cos cos sin 2sin sin cos 3sin sin B C B C B B C B C ++=+，所以2sin 3sin sin cos sin B B C B C =-，又()0,B π∈，则sin 0B ≠，所以3sin cos 2B B -=，即sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，.....................2分由()0,B π∈，得5,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，...........................3分所以62B ππ-=，所以23B π=；.................................................5分（2）因为2222cos b a c ac B =+-，所以229a c ac ++=，..........................................6分因为D 为AC 的中点，所以()12BD BA BC =+，则()222221922444a c ac ac BD BA BC BA BC +--=++⋅==，..........8分因为23sin sin sin a b c A B C===，故()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12-，最小值为21e 12-+；...............7分（2）()21ln 22x g x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝，对()1,x ∀∈+∞，21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭恒成立，变形为ln 122x a x a x <--⎛⎫ ⎪⎝⎭对()1,x ∀∈+∞恒成立，......................9分令()(),1,ln x h x x x ∈=+∞，则()21ln x h x x -'=，当()1,e x ∈时，()0h x '>，()ln x h x x=单调递增，当()e,+x ∈∞时，()0h x '<，()ln x h x x =单调递减，其中()10h =，()ln e 1e e e h ==，当1x >时，()ln 0x h x x =>恒成立，......10分故画出()ln x h x x=的图象如下：其中122y x a a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--恒过点()2,1A ，又()210111h -'==，故()ln x h x x =在()1,0处的切线方程为1y x =-，......11分又()2,1A 在1y x =-上，结合图象可得此时1y x =-在()(),1,ln x h xx x ∈=+∞上方，另外由图象可知当122y x a a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--的斜率为0时，满足要求，当122y x a a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--的斜率小于0时，不合要求，。

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题 Word版含解析

故可得，
又，故可得，
当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15.如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段，，的中点.
【答案】
【解析】
【分析】
求出正四棱柱的体积，和正四棱锥、球的体积，从而得出需去除的石料的体积，再由公式计算出质量．
【详解】依题意知，正四棱柱的体积 .四棱锥的底面为正方形，高，所以其体积 .球M的半径r最大为1，此时其体积 .故该雕刻师需去除的石料的体积 .又，所以该雕刻师需去除的石料的质量为 .

盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1.设全集，集合，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
由补集的运算法则可得解.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.
【详解】解：执行程序框图，有
，；
不满足条件，，；
不满足条件，，；
不满足条件，，；
…
不满足条件，，；
不满足条件，，；
满足条件，退出循环，输出 .
故答案为：240.
【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本知识的考查.
7.已知是公差不为零的等差数列，为其前项和．若成等比数列，且，则数列的前项和为______．

2024届江苏省南京市、盐城市高三上学期期末调研数学及答案

盐城市、南京市2023—2024学年度第一学期期末调研测试高三数学 2024.01注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第 Ⅰ 卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2＋3i)(2－3i)＝A ．5B ．－1C ．1D ．72．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x )，则A ∩B ＝A ．{0，1，2}B ．{1}C ．{0}D ．(0，2)3．已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y ≥2是xy ≥1的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．下列函数中是偶函数的是A ．y ＝e x ＋eB ．y ＝e x －eC ．y ＝e ＋e e －eD ．y ＝(e x ＋e )(e x －e )5．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有A ．140种B ．44种C ．70种D ．252种6．已知反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象是双曲线，其两条渐近线为x 轴和y 轴，两条渐近线的夹角为π2，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y ＝±x ，由此可求得其离心率为2．已知函数y ＝33x ＋1x的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y ＝33x 和y 轴，则该双曲线的离心率是A ．3 B ．23 C ．233 D ．4337．已知直线l 与椭圆x 9＋y 3＝1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若|AM |＝|BN |，则l 的倾斜角是A ．π6B ．π3C ．π4D ．5π128．平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，|a ＋b ＋c |＝1，则(a ＋c )·(b ＋c )的最小值是A ．－3B ．3－23C ．4－23D ．－23二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动．某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”．经统计发现甲村的评分X 和乙村的评分Y 都近似服从正态分布，其中X ~N (70，σ12)，Y ~N (75，σ22)，0＜σ1＜σ2，则A ．X 对应的正态曲线比Y 对应的正态曲线更扁平B ．甲村的平均分低于乙村的平均分C ．甲村的高度满意率与不满意率相等D ．乙村的高度满意率比不满意率大10．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，满足a 3＝2a 1＋a 2，则下列说法中正确的有A ．若{a n }是正项数列，则{a n }是单调递增数列B ．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 一定是等比数列C ．若存在M ＞0，使|a n |≤M 对n ∈N *都成立，则{|a n |}是等差数列D ．若存在M ＞0，使|a n |≤M 对n ∈N *都成立，则{S n }是等差数列11．设M ，N ，P 为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象上三点，其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，已知M ，N 是函数f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2＋2MN ·NP ＝0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是(－12，0)，则A ．A ＝2B ．ω＝π2C ．φ＝π4D ．函数f (x )在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ·QN ＜012．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝2，四棱锥P －ABCD 的外接球为球O ，则A ．AB ⊥BC B ．V P －ABCD ＞2V P －ACDC ．V P －ABCD ＝2V O －ABCD D ．点O 不可能在平面PBC 内第 Ⅱ 卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．满足f (xy )＝f (x )＋f (y )的函数f (x )可以为f (x )＝ ▲ ．(写出一个即可)14．tan π8－1tan π8＝ ▲ ．15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞1)的焦点，从点F 出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点(10，1)，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E ：(x －116)2＋y 2＝1相切，则p 的值是 ▲ ．16．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝n 2(n ∈N *)，则a 100＝ ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)17．(本小题满分10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋S n ＝1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足a n b n ＝cos n π2，求{b n }的前50项和T 50．18．(本小题满分12分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AB ＝AA 1＝2，∠A 1AB ＝π3，侧面CDD 1C 1⊥底面ABCD ．(1)求证：平面A 1BC ⊥平面CDD 1C 1；(2)求直线AB 1和平面A 1BC 1所成角的正弦值．(第18题图)19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c tan B＝(2a－c)tan C．(1)求角B的大小；(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝23，求BD长的最大值．20．(本小题满分12分)春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是14，项目B和C中奖的概率都是25．(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券．求每位顾客获得奖券金额的期望；(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ln xx(m∈R)．(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：1＋ln2＜m＜2＋ln6．22．(本小题满分12分)已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点是F1，F2，顶点A(0，－2)，点M是双曲线C上一个动点，且|MF12－MF22|的最小值是85．(1)求双曲线C的方程；(2)设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点．若O，A，G，H四点共圆，求点P 的坐标．。

2020盐城三模高三调研考试数学试题含答案

2020盐城三模盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}11,022<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M = ▲ .2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ▲ .5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .6．若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 ▲ .7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足2=，NC PN =，记三棱锥BMN A -的体积为2V ，则12V V = ▲ .8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若c a ca bB A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ . 9．已知数列{}{}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列 {}n a 的前n 项和n S = ▲ .10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4π=x 对称，则θ的最小正值．．．．为 ▲ . 11．若存在．．实数()4,0∈x ，使不等式01623<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足3231+=,则ABAC的取值范围是 ▲ .13．设函数()xb ax x x f 222⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若圆()16:221=+-y m x C 与圆()16:222=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设3()f x m n =⋅-．（1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的41圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设lSr f =)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．）．18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：1222=+y ax 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为21-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小满分16分）设函数xe x xf )()(ϕ=，)(ln )(x xx g ϕ=，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥⎦⎤-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，32. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.23.（本小题满分10分）设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S . （1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式.江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟调研考试。

江苏省盐城市亭湖区伍佑中学2025届高三适应性调研考试数学试题含解析

江苏省盐城市亭湖区伍佑中学2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞2．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个3．设 2.71828...e ≈为自然对数的底数，函数()1xxf x e e -=--，若()1f a =，则()f a -=( )A ．1-B ．1C ．3D ．3-4．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（） A ．2B ．1C ．12D ．05．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（）A ．221111a b <++ B ．33a b >C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+6．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm7．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤ D ．21,2n n n ∃>≤8．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-9．已知直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（） A ．64B ．104C ．55D ．15510．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（） A ．23B ．2C ．3D ．111．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A ．21313B ．413C ．77D ．4712．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =，则AC 边上的高为（） A 5 B ．2C 5D 15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022届江苏省盐城市2021-2022学年高三(上)期中调研考试数学试卷及答案

盐城市2022届高三年级第一学期期中考试数学试题(本试卷满分150分，考试时间120分钟)第I 卷 (选择题共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M ＝[－1，1]，N ＝{x |x 2－2x ≤0}，则M ∪N ＝A ．[－1，1]B ．[0，1]C ．[－1，2]D ．[－1，0] 2．设f (x )＝x ＋9x(x ∈R )，则“x ＞0”是“f (x )＞6”的条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要 3．若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足z z -＝z 2，则A ．a ＝0，b ≠0B ．a ≠0，b ＝0C ．a ＝0D ．b ＝0 4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n 4，则a 6的值为A ．220B ．224C ．21024D ．24096 5．下列向量一定与向量→a|→a |－→b|→b |垂直的是A ．→a|→a |＋→b|→b | B ．→a|→b |－→b |→a | C ．→a ＋→b D ．→a －→b6．已知sin(2θ－π6)＝－13，θ∈(0，π2)，则sin(θ＋π6)＝A ．63 B ．33 C ．23 D ．137．若函数y ＝sin2x 与y ＝sin(2x ＋φ)在(0，π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0，2π)，则φ的取值范围是A ．[π，2π)B ．[π2，π]C ．(π，2π)D ．[π2，π)8．函数f (x )＝ln x －m (x －1)x ＋1的零点最多有_____个．A ．4B ．3C ．2D ．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列数列一定是等比数列的有A ．a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…B ．a 1＋a 3，a 3＋a 5，a 5＋a 7，…C ．S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，…D ．S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…10．如图，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，点P 是圆O 上第一象限内的动点，将点P 绕原点O 逆时针旋转π3至点Q ，则→OA ·(→OQ －→OP )的值可能为A ．－1B ．－32 C ．－22 D ．－1211．已知函数f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ，下列说法正确的有A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )的最小正周期为2πC ．函数f (x )的值域为(1，2]D ．函数f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π212．若正实数x ，y 满足ln y －ln x ＞y －x ＞sin y －sin x ，则下列不等式可能成立的有A ．0＜x ＜1＜yB ．y ＞x ＞1C ．0＜y ＜x ＜1D ．0＜x ＜y ＜1第II 卷 (非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝2x，则g (2)＋g (－2)＝． 14．试写出一个先减后增的数列{a n }的通项公式：a n ＝．15．若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p ＝12(a ＋b ＋c )，则该三角形的面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，这就是著名的“秦九韶－海伦公式”，若△ABC 的周长为8，AB ＝2，则该三角形面积的最大值为．16．函数f (x )＝ln(1＋x )在x ＝0处的切线方程为．由导数的几何意义可知，当x 无限接近于0时，ln(1＋x )x 的值无限接近于1．于是，当x 无限接近于＋∞时，(1＋2x )x的值无限接近于．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的图象Γ与y 轴交点的纵坐标为32，Γ在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )在[0，π2]上的值域．18．(12分)已知数列{a n }是首项为1－2i(i 为虚数单位)的等差数列，a 1，5，a 3成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和为S n ，求|S 10|．19．(12分)在△ABC 中，点D 在边BC 上D 为∠A 的角平分线，AC ＝AD ＝10，CD ＝2． (1)求sin ∠BAC 的值； (2)求边AB 的长．20．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1， a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1()a n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *，a n 2n ＋1，n ＝2k ，k ∈N *.(1)求证：a 2n ＋1－a 2n －1＝2； (2)设b n ＝a 2n －1＋a 2n2n，求{b n }的前n 项和S n ．21．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝cos B ，b ＝cos A ． (1)求证：存在△ABC ，使得c ＝1； (2)求△ABC 面积S 的最大值．22．(12分)设函数f (x )＝e x－x 2＋m ln(x ＋2)－2．(1)求证：当m ＝0时，f (x )＞0在x ∈(2，＋∞)上总成立； (2)求证：不论m 为何值，函数f (x )总存在零点．盐城市2022届高三年级第一学期期中考试数学试题(本试卷满分150分，考试时间120分钟)第I 卷 (选择题共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M ＝[－1，1]，N ＝{x |x 2－2x ≤0}，则M ∪N ＝A ．[－1，1]B ．[0，1]C ．[－1，2]D ．[－1，0]2．设f (x )＝x ＋9x(x ∈R )，则“x ＞0”是“f (x )＞6”的条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要3．若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足z z -＝z 2，则A ．a ＝0，b ≠0B ．a ≠0，b ＝0C ．a ＝0D ．b ＝04．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n 4，则a 6的值为A ．220B ．224C ．21024D ．24096【答案】C5．下列向量一定与向量→a|→a |－→b|→b |垂直的是A ．→a|→a |＋→b|→b | B ．→a|→b |－→b |→a |C ．→a ＋→bD ．→a －→b6．已知sin(2θ－π6)＝－13，θ∈(0，π2)，则sin(θ＋π6)＝A ．63 B ．33 C ．23 D ．13所以cos2(θ＋π6)＝13，sin 2(θ＋π6)＝12[1－cos2(θ＋π6)]＝12(1－13)＝13，7．若函数y ＝sin2x 与y ＝sin(2x ＋φ)在(0，π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0，2π)，则φ的取值范围是A ．[π，2π)B ．[π2，π]C ．(π，2π)D ．[π2，π)8．函数f (x )＝ln x －m (x －1)x ＋1的零点最多有_____个．A ．4B ．3C ．2D ．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列数列一定是等比数列的有A．a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…B．a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…C．S2，S4－S2，S6－S4，…D．S3，S6－S3，S9－S6，…10．如图，点A是单位圆O与x轴正半轴的交点，点P是圆O上第一象限内的动点，将点P 绕原点O 逆时针旋转π3至点Q ，则→OA ·(→OQ －→OP )的值可能为A ．－1B ．－32C ．－22D ．－12【答案】ABC故答案为ABC11．已知函数f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ，下列说法正确的有A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )的最小正周期为2πC ．函数f (x )的值域为(1，2]D ．函数f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π2【答案】AD 【解析】12．若正实数x，y满足ln y－ln x＞y－x＞sin y－sin x，则下列不等式可能成立的有A．0＜x＜1＜y B．y＞x＞1 C．0＜y＜x＜1 D．0＜x＜y＜1第II卷(非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x，则g(2)＋g(－2)＝．14．试写出一个先减后增的数列{a n }的通项公式：a n ＝．15．若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p ＝12(a ＋b ＋c )，则该三角形的面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，这就是著名的“秦九韶－海伦公式”，若△ABC 的周长为8，AB ＝2，则该三角形面积的最大值为．16．函数f (x )＝ln(1＋x )在x ＝0处的切线方程为．由导数的几何意义可知，当x 无限接近于0时，ln(1＋x )x 的值无限接近于1．于是，当x 无限接近于＋∞时，(1＋2x )x的值无限接近于．【答案】y=x; e 2解析：11(0)0,(),1,x f f x k +'===切线：y=x四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的图象Γ与y 轴交点的纵坐标为32，Γ在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )在[0，π2]上的值域．【解析】18．(12分)已知数列{a n }是首项为1－2i(i 为虚数单位)的等差数列，a 1，5，a 3成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和为S n ，求|S 10|．【解析】19．(12分)在△ABC 中，点D 在边BC 上D 为∠A 的角平分线，AC ＝AD ＝10，CD ＝2． (1)求sin ∠BAC 的值； (2)求边AB 的长．20．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1， a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1()a n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *，a n 2n ＋1，n ＝2k ，k ∈N *.(1)求证：a2n＋1－a2n－1＝2；(2)设b n＝a2n－1＋a2n2n，求{b n}的前n项和S n．【解析】21．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝cos B，b＝cos A．(1)求证：存在△ABC，使得c＝1；(2)求△ABC面积S的最大值．【解析】22．(12分)设函数f(x)＝e x－x2＋m ln(x＋2)－2．(1)求证：当m＝0时，f(x)＞0在x∈(2，＋∞)上总成立；(2)求证：不论m为何值，函数f(x)总存在零点．【解析】。

江苏省盐城市高三第二次调研考试数学试卷

数学试题(总分160分,考试时间120分钟)参考公式：球的体积公式343V R π=(R 为球的半径). 柱体的体积公式V Sh =(其中S 为底面积,h 为高).线性回归方程的系数公式为1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．设复数3z i =-,则||z = ▲ . 2．已知函数y =A ,N 为自然数集,则A N = ▲ .3．直线1:210l x my ++=与直线2:31l y x =-平行的充要条件是m = ▲ . 4．执行如图所示的伪代码,输出的结果是▲ .(第4题)俯视图左视图主视图(第5题)5．某几何体的三视图如图所示,主视图与左视图中两矩形的长和宽分别为4与2，俯视图中两同心圆的直径分别为4与2，则该几何体的体积等于 ▲ .6．双曲线221169x y -=的顶点到它的渐近线的距离为 ▲ . 7．已知5cos(),(0,)6132ππθθ+=∈，则cos θ= ▲ . 8．已知,x y 之间的一组数据如下表:对于表中数据,现给出如下拟合直线:①1y x =+、②21y x =-、③55y x =-、④32y x =,则根据最小二乘思想得拟合程度最好的直线是 ▲ (填序号). 9．数列{}n a 满足11(*)2n n a a n N ++=∈,11a =,n S 是{}n a 的前n 项和,则21S ＝ ▲ . 10．国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值V （美元）与其重量ω(克拉) 的平方成正比，若把一颗钻石切割成重量分别为,()m n m n ≥的两颗钻石,且价值损失的百分率=100⨯%原有价值-现有价值原有价值(切割中重量损耗不计),则价值损失的百分率的最大值为 ▲ .11．如图所示的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n （n ≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加，则第1n +行中第2个数是 ▲ （用n 表示）.12．已知函数()ln xf x ex -=+(e 是自然对数的底数),若实数0x 是方程()0f x =的解,且1020x x x <<<,则1()f x ▲ 2()f x (填“＞”，“≥”，“＜”，“≤”). 13．已知,,O A B 是平面上不共线三点，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，若||7OA =，||5OB =，则()OP OA OB -的值为 ▲ .14. 已知关于x 的方程3||3x kx x =+有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 ▲ . 1223434774511141156162525166(第11题)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)等可能地取点),(y x P ，其中[3,3],[0,3]x y ∈-∈．（Ⅰ）当,x Z y Z ∈∈时，求点P 满足||y x ≤的概率；（Ⅱ）当,x R y R ∈∈时，求点P 满足y x >的概率．16．(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,090ACB ∠=，,,E F G 分别是11,,AA AC BB 的中点，且1CG C G ⊥.(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面； (Ⅱ)求证：CG ⊥平面11AC G .17．(本小题满分14分)已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且tan tan tan )1B C B C +=.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)现给出三个条件：①1a =；②2sin b B =；③21)0c b -=.试从中选择两个条件求ABC ∆的面积(注：只需选择一个方案答题,如果用多种方案答题,则按第一种方案给分).18．(本小题满分16分)已知椭圆2221x y m m m+=+的右焦点为F ,右准线为l ，且直线y x =与l 相交于A 点.(Ⅰ)若⊙C 经过O 、F 、A 三点,求⊙C 的方程；(Ⅱ)当m 变化时, 求证：⊙C 经过除原点O 外的另一个定点B ； (Ⅲ)若5AF AB <时,求椭圆离心率e 的范围.19．(本小题满分16分)设首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,q 为非零常数,已知对任意正整数,n m ,m n m m n S S q S +=+总成立.（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）若不等的正整数,,m k h 成等差数列，试比较m hm ha a ⋅与2k k a 的大小；（Ⅲ）若不等的正整数,,m k h 成等比数列，试比较11m h mha a ⋅与2k ka 的大小.20．(本小题满分16分)已知12()|31|,()|39|(0),xxf x f x a a x R =-=⋅->∈,且112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩.(Ⅰ)当1a =时,求()f x 在1x =处的切线方程；(Ⅱ)当29a ≤<时,设2()()f x f x =所对应的自变量取值区间的长度为l (闭区间[,]m n 的长度定义为n m -),试求l 的最大值；(Ⅲ)是否存在这样的a ，使得当[)2,x ∈+∞时,2()()f x f x =?若存在,求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）自圆O 外一点P 引圆的切线,切点为A ,M 为PA 的中点,过M 引圆的割线交圆于,B C 两点,且00100,40BMP BPC ∠=∠=,试求MPB ∠的大小.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵1010,210012M N ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试求曲线cos y x =在矩阵1M N -变换下的函数解析式.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）C已知圆C 的参数方程为24cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=⎩,若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,试求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程.D.（选修4—5：不等式选讲）已知实数,0m n >,求证:222()a b a b m n m n++≥+.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P —ABC 中,PA ⊥平面ABC ，PA =1，AB ⊥AC ，AB =2，AC =2，E 为AC 中点.（Ⅰ）求异面直线BE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角P —BE —C 的平面角的余弦值.23． (本小题满分10分)设,,m n N m ∈≥3n ≥3,()(1)(1)m nf x x x =+++. (Ⅰ)当m n =时,()f x 展开式中2x 的系数是20,求n 的值； (Ⅱ)利用二项式定理证明:A BCPE①1111(1)(1)0nmk kk knm k k kC kC ++==-+-=∑∑； ②111100113131221111n m nm k k k k n m k k C C k k n m ++++==--+=+++++∑∑.数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2.{}0,1,2 3.23- 4.25 5.283π 6.1258.③ 9.6 10.50%(填0.5，12都算对)11.222n n ++ 12.＜ 13.12 14.0k >或14k <-二、解答题：本大题共6小题，计90分.15.解:（Ⅰ）当,x Z y Z ∈∈时，点P 共有28个，而满足||y x ≤的点P 有19个，从而所求的概率为11928P =………………………………………………………………………(7分) （Ⅱ）当,x R y R ∈∈时,由[3,3],[0,3]x y ∈-∈构成的矩形的面积为18S =,而满足y x >的区域的面积为1272S =，故所求的概率为1234S P S ==……………………………………(14分)16.证:(Ⅰ)连接AG 交BE 于D ,连接,DF EG .∵,E G 分别是11,AA BB 的中点，∴AE ∥BG 且AE =BG ,∴四边形AEGB 是矩形.∴D 是AG 的中点………………………………………………………………………………(3分)又∵F 是AC 的中点,∴DF ∥CG ……………………………………………………………(5分)则由D F ⊂面,CG BEF ⊄面,得CG ∥BEF 面………………………………………(7分)(注:利用面面平行来证明的,类似给分)(Ⅱ) ∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面111A B C ,∴1C C ⊥11AC .又∵011190AC B ACB ∠=∠=,即11C B⊥11AC ,∴11AC ⊥面11B C CB ………………………(9分) 而CG ⊂面11B C CB ,∴11AC ⊥CG ……………………………………………………………(12分)又1CG C G ⊥,∴CG ⊥平面11AC G ……………………………………………………………(14分)17. 解:(Ⅰ)由tan tan tan )1B C B C +=,得tan tan 1tan tan B C B C +=-,所以t a n ()B C +=………………………………………………(4分)则tan tan()A B C =-+=,所以6A π=……………………………………………………(7分)(Ⅱ)方案一：选择①③.∵A=30°,a=1,2c -(3+1)b=0，所以c =，则根据余弦定理，得2221)2b b =+-，解得b=2,则c=226+…………………(11分)∴41321226221sin 21+=⨯+⨯⨯==∆A bc S ABC …………………………………(14分)方案二：选择②③. 可转化为选择①③解决,类似给分. (注：选择①②不能确定三角形)18. 解:（Ⅰ）22222,,a m m b m c m =+=∴=,即c m =,(,0)F m ∴,准线1x m =+,(1,1)A m m ∴++……………………………………………………(2分)设⊙C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将O 、F 、A 三点坐标代入得：200220F m Dm m D E =⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩,解得02F D m E m =⎧⎪=-⎨⎪=--⎩………………………………………………………(4分) ∴⊙C的方程为22(2)0x y mx m y +--+=……………………………………………………(5分)（Ⅱ）设点B 坐标为(,)p q ,则22(2)0p q mp m q +--+=,整理得： 222()0p q q m p q +--+=对任意实数m都成立……………………………………………(7分)∴22020p q p q q +=⎧⎨+-=⎩,解得00p q =⎧⎨=⎩或11p q =-⎧⎨=⎩, 故当m 变化时，⊙C 经过除原点O 外的另外一个定点B (1,1)-……………………………(10分)（Ⅲ）由B (1,1)-、(,0)F m 、(1,1)A m m ++得(1,1)AF m =---,(2,)AB m m =--- ∴2225AF AB m m ⋅=++<,解得31m -<<……………………………………………(12分)又20m m m ⎧+>⎨>⎩ ,∴01m <<………………………………………………………………(14分)又椭圆的离心率e ===01m <<）……………………(15分)∴椭圆的离心率的范围是0e <<………………………………………………………(16分) 19. (Ⅰ)证:因为对任意正整数,n m ，m n m m n S S q S +=+总成立,令1n m ==，得211S S qS =+,则21a qa =…………………………………………(1分) 令1m =，得11n n S S qS +=+ (1) , 从而211n n S S qS ++=+ (2), (2)－(1)得21n n a qa ++=,(1)n ≥…………………………………………………………………(3分)综上得1n na qa +=(1n ≥,所以数列{}n a 是等比数列…………………………………………(4分)（Ⅱ）正整数,,m k h 成等差数列，则2m h k +=,所以22221()22m h m h k +>+=, 则22222111m h m mm hhhk mh m hm h a a a q a q a q --+--⋅==……………………………………………………(7分)①当1q =时，221m h k k m h ka a a a ⋅==………………………………………………………………(8分)②当1q >时，222222111()m h k m hm hk k kk k k m h k a a a q a qa q a +----⋅=>==…………………………(9分)③当01q <<时，222222111()m h k m h m hkk kk k k mhk a a a qa qa q a +----⋅=<==……………………(10分)（Ⅲ）正整数,,m k h 成等比数列，则2m h k ⋅=,则112m h k+>=, 所以1111121121111()(m h m hmh m h m hm h mha a a a qa q a q q q+--+--⋅===，2221()kkka a q q=……………(13分) ①当1a q=,即11a q=时，112m h kmh ka a a⋅=22kkq a ==……………………………………………(14分)②当1a q>,即11a q>时，111122211()()m h m h k mh a a a a q q q q+⋅=>2k k a =………………………………(15分)③当1a q<,即11a q<时，111122211()()mh m h k m h a a a a q q q q+⋅=<2k k a =………………………………(16分)20. 解: (Ⅰ)当1a =时,2()|39|x f x =-.因为当3(0,log 5)x ∈时,1()31x f x =-,2()93x f x =-, 且3log 512()()2310231025100x f x f x -=⋅-<⋅-=⋅-=,所以当3(0,log 5)x ∈时,()31x f x =-,且31(0,log 5)∈……………………………………(3分)由于()3ln3xf x '=,所以(1)3ln 3k f '==,又(1)2f =, 故所求切线方程为2(3ln3)(1)y x -=-,即(3ln3)23ln30x y -+-=…………………………………………………………………(5分)(Ⅱ) 因为29a ≤<,所以33990log log 2a <≤,则 ① 当39log x a≥时,因为390x a ⋅-≥,310x->, 所以由21()()(39)(31)(1)380xxxf x f x a a -=⋅---=--≤,解得38log 1x a ≤-,从而当3398log log 1x a a ≤≤-时,2()()f x f x = ……………………………………………(6分)② 当390log x a≤<时,因为390x a ⋅-<,310x-≥, 所以由21()()(93)(31)10(1)30x x x f x f x a a -=-⋅--=-+≤,解得310log 1x a ≥+, 从而当33109log log 1x a a≤<+时,2()()f x f x = (7))③当0x <时,因为21()()(93)(13)8(1)30x x x f x f x a a -=-⋅--=-->, 从而2()()f x f x =一定不成立………………………………………………………………(8分)综上得,当且仅当33108[log ,log ]11x a a ∈+-时,2()()f x f x =, 故33381042log log log [(1)]1151l a a a =-=+-+- …………………………………………(9分) 从而当2a =时,l 取得最大值为312log 5…………………………………………………(10分)(Ⅲ)“当[)2,x ∈+∞时,2()()f x f x =”等价于“21()()f x f x ≤对[)2,x ∈+∞恒成立”,即“|39||31|31x x x a ⋅-≤-=-(*)对[)2,x ∈+∞恒成立” ……………………………………(11分)① 当1a ≥时,39log 2a≤,则当2x ≥时,39log 39390xa a a ⋅-≥⋅-=,则(*)可化为3931x x a ⋅-≤-,即813x a ≤+,而当2x ≥时,8113x +>,所以1a ≤,从而1a =适合题意………………………………………………………………(12分) ② 当01a <<时,39log 2a>. ⑴ 当39log x a >时,(*)可化为3931x xa ⋅-≤-,即813x a ≤+,而8113x +>, 所以1a ≤,此时要求01a <<…………………………………………………………(13分)⑵ 当39log x a =时,(*)可化为90311xa≤-=-,所以a R ∈,此时只要求01a <<………………………………………………………(14分)(3)当392log x a ≤<时,(*)可化为9331x xa -⋅≤-,即1013x a ≥-,而101139x -≤, 所以19a ≥,此时要求119a ≤<…………………………………………………………(15分) 由⑴⑵⑶,得119a ≤<符合题意要求.综合①②知,满足题意的a 存在,且a的取值范围是119a ≤≤………………………………(16分)数学附加题部分21.A .解：因为PA 与圆相切于点A,所以2MA MB MC =⋅.而M 为PA 的中点,所以PM=MA,则2,PM MBPM MB MC MC PM=⋅∴=. 又BMP PMC ∠=∠,所以BMP PMC ∆∆,所以MPB MCP ∠=∠……………………(5分)在PMC ∆中,由0180CMP MPC MCP ∠+∠+∠=,即02180CMP BPC MPB ∠+∠+∠=,所以000100402180MPB ++∠=,从而020MPB ∠=……………………………………………………………………………(10分)B ．解:11002M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以1M N -=11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……………………………(5分)即在矩阵1M N -的变换下有如下过程,122x x x y y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 则1cos 22y x ''=,即曲线c o s y x =在矩阵1M N -的变换下的解析式为2c o s 2y x =……(10分)C ．解:由题设知,圆心(2,0),C P ,故所求切线的直角坐标方程为60x +=……………………………………………………………………………(6分)从而所求切线的极坐标方程为cos sin 60ρθθ+=………………………………(10分)D．证:因为,0m n >,利用柯西不等式,得222()()()a b m n a b m n++≥+…………………………(8分)即222()a b a b m n m n++≥+………………………………………………………………………(10分) 22．解: (Ⅰ)以A 为原点,AB 、AC 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0),B(2，0，0),C(0，2，0),E(0，1，0),P(0，0，1), 所以(B E =-,2cos(,)5||||BE PC BE PC BE PC ==……………………………(4分) 故异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为2|cos(,)|5BE PC =……………………………………(5分)(Ⅱ)作PM⊥BE 交BE(或延长线)于M,作CN⊥BE 交BE(或延长线)于N,则存在实数m 、n,使得(1)PM mPB m PE =+-,(1),CN nCB n CE =+-即(2,1,0).CN n n =-- 因为,PM BE CN BE ⊥⊥,所以150,510PM BE m CN BE n =-==--=,解得11,55m n ==-,所以2424(,,1),(5555P M C N =-=--…………………………………(8分) 所以2c o s (,)3||||P M C N PM C N P M C N ==-,即为所求二面角的平面角的余弦值………………(10分)23．解：(Ⅰ) 当m n =时,()2(1)nf x x =+,所以2x 的系数为22n C ,则由2210n C =,解得5n =……………………………………………………………………(4分)(Ⅱ) ①由0122(1)m k k m m m m m m m x C C x C x C x C x +=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+,求导得 11211(1)2m k k m m m m m m m x C C x kC x mC x ---+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+（m ≥3）. 令1x =-,得121102(1)(1)k k m m m m m m C C kC mC --=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-,即11(1)0mk kmk kC +=-=∑,同理11(1)0nk kn k kC +=-=∑, ∴1111(1)(1)0n mk kk knm k k kC kC ++==-+-=∑∑………………………………………………………(7分)③ 将0122(1)m k k m mm m m m m x C C x C x C x C x +=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+,两边在[0，2]上积分,得2201220(1)()m k k m mm m m m m x dx C C x C x C x C x dx +=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎰⎰,根据微积分基本定理,得1102211(1)()0011mm k k m k x C x m k ++=+=++∑,即110131211m mk k m k C k m ++=-=++∑,同理可得110131211n nk k n k C k n ++=-=++∑, 所以111100113131221111n m nm k k k k n m k k C C k k n m ++++==--+=+++++∑∑………………………………(10分)。

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题(含答案解析)

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则AB =______.2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________. 3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈．若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______．8．如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=______．11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44-+=O x y ，动点P在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．14．已知函数()f α={}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）求证：//AB EF ．16．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c =（1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =，求BE 的长.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．18．如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，OB =，AOB 90∠=.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆倍，试确定AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？ 19．设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，（1）当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值. 20．对于*,∀∈n N 若数列{}n x 满足11,+->n n x x 则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,+m m 是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1+=+n n a b n 试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 21．已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -. 22．在极坐标系中，已知圆:C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.23．设2012()n r nr n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.24．一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n 份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n ，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ.参考答案1．{}0,1 【分析】先化简集合A ,再根据交集运算法则求出A B .【详解】因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =, 所以{}0,1AB =,故答案为:{}0,1. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题. 2．2 【分析】对复数z 进行化简，然后根据纯虚数的概念，得到a 的值. 【详解】复数()()12z a i i =++222a i ai i =+++()()221a a i =-++因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =. 故答案为：2 【点睛】本题考查复数的运算，根据复数的类型求参数的值，属于简单题. 3．38 【分析】根据平均成绩求出a 的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．【详解】5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80， 78858269580a ∴++++=⨯，解得：86a =，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的方差等于38. 故答案为：38．【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别. 4．34【分析】由已知可得2240a ∆=-≥，解得1a ≤，可知当1,0,1a =-时满足要求，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】方程220x x a ++=有实根，2240a ∴∆=-≥，解得1a ≤ 1,0,1a ∴=-时满足要求，则方程220x x a ++=有实根的概率为34. 故答案为：34【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题. 5．1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6．8【分析】根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距. 【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=，所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a -=，得a b ==因此，双曲线的焦距为248=⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7．2 【分析】由{}n a 为等差数列，且*n N ∈，可得0q =，又根据等差中项，可得1516a a +=，即可求出5S 的值，代入公式，即可求解. 【详解】因为*n N ∈，由等差数列的性质可得0q =，又1a 与5a 的等差中项为8，所以1516a a +=，即()1555402a a S +⨯==，所以251040p -=，即2p =，所以202p q +=+=，故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列的前n 项和公式的应用，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题． 8．{|1}m m ≤ 【分析】由题意利用基本不等式可得4912x x+≥，即可得出m 的不等式5712m +≤，求解出m 的范围．【详解】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式4957x m x+≥+恒成立，又当0x >时，4912x x +≥=，当且仅当49x x =，即23x =时，49x x +取得最小值12，故5712m +≤，解得 1.m ≤ 故答案为：{|1}m m ≤ 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的范围，考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求和的最小值，属于基础题． 9．[2,)+∞ 【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g ===所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞ 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 10．72-【分析】根据等边三角形的性质、平面向量的线性运算，用,AB AH 分别表示出,AN EG ，再求AN EG ⋅．【详解】由已知得1222AN AB CN AB AH =+=+，3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH =-+=-+=-+-=-+，所以221112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭．因为等边三角形的边长为2，所以221117611222222AN EG ⋅=-⨯+⨯⨯⨯+⨯=-．故答案为：72- 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、平面向量的线性运算，数量积的运算，考查学生的运算求解能力.11．383r π 【分析】设出圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面中，由球O 与圆锥相切可设出底面和母线SB 的切点分别为C 和D ，接着由三角形的相似求得h 、R 、r 三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h 的函数，利用导函数求最值. 【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~，BC SCOD SD ∴=，即R r =，R ∴==，∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-，22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>，()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增，则3min 8()(4)3V h V r r π==. 故答案为：383r π.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.12．()3,1-【详解】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数()f x 在R 上是增函数，即可得到不等式233a a a +<+，即可求解．详解：由函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，得()()()(),00,0,0x x e x f x x e x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，又由()()233f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<．点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．13．20(,4)3-. 【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围.【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2P A ，=∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+81633-x =0，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83， ∵动点P在直线x −b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+81633-x =0相交， ∴圆心到直线的距离83d =<， ∴4164163333b --<<-+，即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．2m ≤【分析】设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得()f PQ PB α=-，利用线段差的几何意义可得实数m 的取值范围.【详解】== 设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f PQ PB α==-，如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又2QB ==，故()f α的最大值为2.因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()max 2m f α≤=，故2m ≤.故答案为：2m ≤. 【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.15．（1）见解析；（2）见解析【详解】分析：（1）由PC ⊥平面ABCD 可得CD PC ⊥，结合CD AC ⊥可证CD ⊥平面PAC .（2）先由//CD AB 证明//CD 平面PAB ，从而得到//CD EF ，故//AB EF .详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PCAC C =，∴CD ⊥平面PAC .（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF平面PAB EF = 又CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF∴//AB EF点睛：（1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.16．（1）6C π=；（2）1BE = 【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC 中把边和角都解出来，然后在BCE 中利用余弦定理求解；解法三：将BE 用,BA BC 表示，平方后求出BE 的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+，又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.由于sin 0B =≠，则1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a c ab bc+-+-=+，化简得2sin b C b =.因为0b >，所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得2sin b C b =.因为0b >.所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C==3b =. 又因为2AE EC =，所以2233AE AC b ==，即2AE =. 在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===，所以1BE =.【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==.由余弦定理得3b ==. 因为2AE EC =，所以113EC AC ==.在BCE ∆中，6C π=，BC =1CE =由余弦定理得1BE ===所以1BE =.【解法3】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==. 因为2AE EC =，所以1233BE BA BC =+. 则()()22221111||2|44|344319992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭ 所以1BE =.【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题.17．（1）22132x y +=；（20y ±=．【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解．【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则c a b a =⇒=⇒= 22:132x y C ∴+=；（2）当直线l 为0y =时，1,1AF a c FB a c =+==-=，不满足2AF FB =；所以设直线l ：1x ty =+，联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323t y y y y t t --+=⋅=++，又()2221211222112245123242223t y y y y y t y y y y y t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-⇒+=-⇒==--+, 212t t ∴=⇒= 故直线l：1x y =+0y ±=．【点睛】本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．18．（1）12km （2）15︒（3）当且仅当15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km【分析】（1）根据题意可得60OAB ∠=︒，在AOM ∆中，利用余弦定理求出OM =，从而可得222OM AM OA +=，即OM AN ⊥，进而可得OAN ∆为正三角形，即求解.（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，利用三角形的面积公式ON θ=，在OAN ∆中，利用正弦定理可得cos ON θ=，从而cos θθ=，即1sin22θ=，即求解. （3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON =AOM ∠中，利用正弦定理可得()sin 60OM θ=+︒，利用三角形的面积公式可得()1sin302sin c s 360o OMN S OM ON θθ∆=⋅⋅︒=+︒，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在OAB ∆中，4OA =，OB =90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，OMN OAM S ∆∆，11sin30sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⋅，即ON θ=，在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得ON =从而cos θθ=，即1sin22θ=，由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON = 又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=︒+︒，得()sin 60OM θ=+︒， ()1sin302sin 60cos 3OMN S OM ON θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒== ∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km .【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用，三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题.19．（1）(1)y e x =-；（2）单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞；（3）2【分析】（1）当0a =时，可得()()1x f x x e =-，()xf x xe '=，求出()1f ，()1f '，即可求出切线方程；（2）求出()()x x x f x xe ae x a e '=-=-，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可；（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，即：()()120x x x e a e e -+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x x x e a e e ->-恒成立；即()min 12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立，令()()12x x x e g x e e -=-，根据导数求其最值，即可求得答案.【详解】（1）当0a =时，可得()()1xf x x e =-， ∴()x f x xe '=，可得：()10f =，()1f e '=∴所求切线方程为(1)y e x =-（2）()()()12x x f x x e a e e =-+-∴()()x x x f x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =.当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；∴()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞.（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立即：()()120x x x e a e e -+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x x x e a e e ->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立. 令()()12x x x e g x e e -=-，()2,x ∈+∞，()()()222x x x e e ex g x ee -'=-，令()2x h x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20x h x e e '=->，∴()2x h x e ex =-在()2,+∞上单调递增.又()2240h e e =-<，()3360h e e =->，∴()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x e ex =，()02,3x ∈∴()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，∴()()()()()0000000min 01122,3222x x x e x ex g x g x x e e ex e --====∈--，∴()02,3a x <∈，故整数a 的最大值为2.【点睛】本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值，解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.20．（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}nb ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <- 因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项. 由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅>所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +-> 即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．21．1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出矩阵A 的逆矩阵1A -，再矩阵的乘法求出1A B -的乘积. 【详解】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 即1010220101a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12. 从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.所以11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查求矩阵的逆矩阵和矩阵的乘法，属于基础题. 22．2 【解析】分析：ρθ=两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得圆的直角坐标方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果.详解：圆C：ρθ=直角坐标方程为220x y +-=，即(222x y -+=直线l ：()4R πθρ=∈的直角坐标方程为y x =圆心C 到直线l的距离1d ==所以AB =2=,点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y yxρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23．（1）1211n n +-+（2）答案见解析【分析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案;（2）当q n =时,r n r r n a C n -=,可得1n n A n +=,令1x =,得(1)n n B n =+,故当1,2n =时,1(1)n n nn +<+, 当3n ≥时,1(1)n nnn +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案; 【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+- 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,r n rr n a C n -=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+=⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.24．（1）23（2）①详见解析②23142n n n-+ 【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算2ξ=，3，4，⋯，3n -的概率，得出分布列和数学期望．【详解】解：（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）①在8n ≥时，313111113131332(2)n n n n n n n C C C C P C C C C nξ-----==⋅+⋅=211111311112121141311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P C C C C C C C C n ξ-----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P C C C nξ----==⋅=⋅ 同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P k C C C n ξ--------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P k C C C nξ-----=-=⋅⋅=ξ∴的分布列为：②2311122345(4)(3)E n n n n n n n nξ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅ 23142n n n-+=【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率计算，离散型随机变量及其分布列与期望的计算，属于中档题．。

2010-2023历年江苏省盐城市高三年级第三次调研考试数学试卷

2010-2023历年江苏省盐城市高三年级第三次调研考试数学试卷第1卷一.参考题库(共20题)1.右图是一个算法的流程图，则输出的值是▲2.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是▲3.已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围。

4.在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C D1内，若1D1P⊥平面PCE，试求线段D1P的长。

5.命题“”的否定▲ .6.已知l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l∥m，mα，则l∥α；③若lα，mβ，α∥β，则l∥m；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ其中真命题是▲ .（写出所有真命题的序号）7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是▲ .8.如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O 的直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，N，则当取最小值时，CN= ▲9.已知直线与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是▲10.已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：11.如图，在△ABC中，∠ABC=900，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为________▲_______12.如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为▲ .13.已知数列的前n项和，则正整数k的最小值为▲ .14.已知函数（1）当a=0时，求与直线x-y-10 =0平行，且与曲线y=f(x)相切的直线的方程；（2）求函数的单调递减区间；（3）如果存在，使函数在x=-3处取得最大值，试求b的最大值。

15.已知复数（i为虚数单位），则复数的虚部为▲ .16.设等比数列的前n项和为S n，已知（1）求数列通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列。

【数学】盐城中学2022-2023学年高三上学期开学质量检测数学试题含解析

江苏省盐城中学高三年级开学质量检测数学试卷2022.08一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合321xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}221B x a x a =-<<+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎤⎥⎝⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.已知i 为虚数单位，则复数11i iz i i+=++等于（）A.1322i -+ B.1322i - C.3122i - D.3122i -+3.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3πB.3π和2C.6π和D.6π和24.一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知1m >，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（）A.15B.16C.17D.185.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)1n n S a +=(n *∈N ).记1n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n项和，则使64n T >成立的最小正整数为（）A.5B.6C.7D.86.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，点M 是过原点O 且倾斜角为60︒的直线l 与椭圆C 的一个交点，且1212MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.2C.1- D.27.已知函数())x x f x e e x -=-+，则不等式f (x )＋f (2x －1)＞0的解集是（）A.(1，＋∞）B.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(－∞，1)8.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O （О为球心）的球面上，ABC 为等边三角形，2AB BD ==，AD =AC BD ⊥，则二面角A CD O --的正切值为（）A.3B.6C.3D.6二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A.()00g = B.()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增C.()g x 的图象关于4x π=-对称 D.()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是110.若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111((22-=+x y n ，则（）A.0x <且1y <-B.m 的最大值为3-C.n 的最小值为7D.22m n ⋅<11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱AD 上的动点，平面α过点E 且与平面11A DC 平行，则（）A.11B E CD ⊥ B.三棱锥111E BCD -的体积为定值C.1D E 与平面11A DC 所成的角可以是3π D.平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线长之和为12.已知点F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点，直线l 过点()()0,0D m m >交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，11FA y =+.设O 为坐标原点，12,2x x P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线,PA PB 与x 轴分别交于,M N 两点，则以下选项正确的是（）A.2p =B.若1m =，则0OA OB ⋅=C.若m p =，则OAB 面积的最小值为 D.,,,M N P F 四点共圆三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()526012611mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =，则m =___________；14.已知函数21,0,()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点之和为___________.15.平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －8)2＝1，圆C 2：(x －6)2＋(y ＋6)2＝9，若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周，则圆C 的方程是________．16.对任意100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式2121e m mx x m m -+>-恒成立，则正实数m 的取值范围为______.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①()()()sin sin sin sin A C a b c B C -=-+，②()2222cos 2a b c a c B a+--=，③()sin cos 6a B C B b π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．（1）求B（2）若b =ABC ∠的平分线交AC 于点D，且5BD =，求ABC 的面积．18.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n项和为)*1,1,,2n n S a a n N n ==∈≥.（1）求证；数列是等差数列，并求{}na 的通项公式；（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1,22,2,12⎡⎤-=-=⎣⎦，求22212111n a a a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦ 的值.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD ∥BC ，BC =2AD ，60ABC ∠=︒，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F 四点共面．（1）求证：F 为PC 的中点；（2）若△PAD 为等边三角形，二面角P AD B --的大小为120︒，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值．20.乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方.（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；（2）假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X 的分布列及数学期望.21.已知曲线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =，过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B .（1）求证：直线AB 与x 轴相交于定点N ；（2）试探究x 轴上是否存在定点M 满足ANM BNM S AMS BM= 恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.22.已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--恰有三个零点()123123,,x x x x x x <<.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：①123x x a +>-；②232e x x +>.（两者选择一个证明）江苏省盐城中学高三年级开学质量检测数学试卷2022.08一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合321x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}221B x a x a =-<<+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先解分式不等式，化简集合A ，再由A B ⊆，即可列出不等式求出结果.【详解】因为{}3322220012111x x x x A x x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫---=≤=≤=≤=-<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬+++⎩⎭⎩⎭⎩⎭，又{}221B x a x a =-<<+，A B ⊆，所以21212a a -≤-⎧⎨+>⎩，解得112a <≤.故选：B.【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，涉及分式不等式的解法，属于基础题型.2.已知i 为虚数单位，则复数11i iz i i+=++等于（）A.1322i -+ B.1322i - C.3122i - D.3122i -+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算算出答案即可.【详解】()()()()21111311111222i i i i i i i z i i i i i i i -+++=+=+=+-=-++故选：C 3.函数()sincos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和 B.3π和2C.6πD.6π和2【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sincos sin co 3s 3323234x x x x f x x π=+=+⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==.故选：C ．4.一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知1m >，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（）A.15B.16C.17D.18【答案】C 【解析】【分析】由题意得22A A 62n mn +-=，化简计算可得3112m n m -=-，由于1m >，0n >，可得3112m m ->，从而可求出18m <≤，经验证可得答案【详解】原来n 个车站有2A n 种车票，新增了m 个车站，有2A n m+种车票，由题意得22AA 62n m n +-=，即()(1)(1)62m n m n n n ++---=，整理得2262mn m m +-=，∴3112m n m -=-，∵1m>，0n >，∴3112m m ->，∴2620m m --<，解得112m +<<，即18m <≤.当3,4,5,6,7,8m =时，n 均不为整数，只有当2m =时，15n =符合题意，∴17m n +=，故现在有17个车站.故选：C.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且)1n n S a +=(n *∈N ).记1n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n项和，则使64n T >成立的最小正整数为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】根据,n n S a 之间的关系证明{}n a 为等比数列，然后再证明{}n b 也是等比数列，由此求解出nT .根据不等式结合指数函数单调性求解出n 的取值范围，从而确定出n 的最小整数值.【详解】解析：由)1n n S a -+=，可知)111n n S a +++=∴)()1110n n n n S S a a ++--+-=1n n a +=.1n =时，)111a a +=1a =，∴0n a ≠，∴12n n a a +=，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列.∴211221122n n n n n n n n b a a a b a a a +++++⎛==== ⎝⎭.又1122b a a ==，∴数列{}n b是以2为首项，以12为公比的等比数列.∴1122111212n nn T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎥⎪⎝⎭⎥⎣⎦-.又64nT >，∴1631264n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即61112642n⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴6n>.又n *∈N ，∴n 的最小值为7.故选：C .6.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，点M 是过原点O 且倾斜角为60︒的直线l 与椭圆C 的一个交点，且1212MF MF MF MF +=- ，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.2C.1- D.2【答案】C 【解析】【分析】由1212MF MF MF MF +=- 分析可得出△12MF F 为直角三角形，再结合条件及椭圆定义得到2,c a +=即得.【详解】不妨设M 在第一象限，由1212MF MF MF MF +=-，两边平方后化简得：12·0MF MF = ，所以12MF MF ⊥ .在Rt △12MF F 中，∵2260,,MOF OM c OF c ∠=== ，∴2160MFF ∠= ，21,,MF c MF ==由椭圆定义可知：212,MF MF c a +==所以离心率1c e a ==.故选：C.7.已知函数())x x f x e e x -=-+，则不等式f (x )＋f (2x －1)＞0的解集是（）A.(1，＋∞）B.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.(－∞，1)【答案】B 【解析】【分析】先分析出()f x 的奇偶性，再得出()f x 的单调性，由单调性结合奇偶性可解不等式.【详解】()f x 的定义域满足0x >x x >≥，0x ->在R 上恒成立.所以()f x 的定义域为R())x x f x e e x --=-+则()()))x x x x e e x f e e f x x x --⎡⎤⎡⎤-++-+⎣⎦-=⎣+⎦))ln10x x =++==所以()()f x f x =--，即()f x 为奇函数.设())g x x =，由上可知()g x 为奇函数.当0x ≥时，y =y x =均为增函数，则y x =在[)0,∞+上为增函数.所以())g x x =在[)0,∞+上为增函数.又()g x 为奇函数，则()g x 在(],0-∞上为增函数，且()00g =所以()g x 在R 上为增函数.又x y e =在R 上为增函数，x y e -=在R 上为减函数所以x x y e e -=-在R 上为增函数，故()f x 在R 上为增函数由不等式()()210f x f x +->，即()()()2112f x f x f x >--=-所以12x x >-，则13x >故选：B8.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O （О为球心）的球面上，ABC 为等边三角形，2AB BD ==，AD =且AC BD ⊥，则二面角A CD O --的正切值为（）A.3 B.6C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】若E 为AC 中点，连接,BE DE ，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面ADC ⊥面ABC ，结合已知条件有△ADC 为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，若F 为DC 中点，连接,EF OF ，易知EFO ∠即为二面角A CD O --的平面角，即可求其正切值.【详解】若E 为AC 中点，连接,BE DE ，由ABC 为等边三角形，则BE AC ⊥，又AC BD ⊥，且BE BD B ⋂=，∴AC ⊥面BDE ，又DE ⊂面BDE ，即AC DE ⊥，由题设，BE =，1AE DE CE ===，而2BD =，∴222DE BE BD +=，即DE BE ⊥，又AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂面ABC ，∴DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADC ，则面ADC ⊥面ABC ，由上可得：DC =，则222DC AD AC =+，故△ADC 为等腰直角三角形，∴综上，四面体ABCD 的球心O 为△ABC 的中心，即BE 靠近E 的三等分点，若F 为DC 中点，连接,EF OF ，易知：EFO ∠即为二面角A CD O --的平面角，由上BE AC ⊥、DE BE ⊥且AC DE E = ，,AC DE ⊂面ADC ，可得BE ⊥面ADC ，又EF ⊂面ADC ，则BE EF ⊥，即OE EF⊥，∴tan OE EFO EF ∠=，而,332BE OE EF ===，∴tan 3EFO ∠=.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据线线垂直、勾股定理，结合线面、面面垂直的判定证面ADC ⊥面ABC 且△ADC 为等腰直角三角形，即可确定四面体球心的位置，再由二面角的定义找到其平面角，最后由已知条件求其正切值即可.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A.()00g = B.()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增C.()g x 的图象关于4x π=-对称 D.()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是1【答案】AC 【解析】【分析】由周期求出ω，由图象变换求得()g x 的解析式并化简，然后由正弦函数的性质判断各选项．【详解】由题意222ππω=，2ω=，所以()cos(4)6f x x π=-，1()cos[4(]cos(4sin 4662g x x x x πππ=+-=+=-，()sin 2=-g x x ，(0)0g =，A 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220,x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =递增，()g x 递减，B 错；()sin(142g ππ-=--=是最大值，C 正确；,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，sin 2y x =的最小值是12-，()g x 的最大值是12，D 错；故选：AC ．10.若实数x ，y 满足1221xy ++=，m x y =+，111()(22-=+x y n ，则（）A.0x <且1y <- B.m 的最大值为3-C.n 的最小值为7 D.22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数的性质判断A ，利用基本不等式判断B 、C ，根据指数幂的运算判断D ；【详解】解：因为1221xy ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <，同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确；又1122x y +=+≥=1222x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当11222x y +==，即1x =-，2y =-时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确；又()111111112222222244x y x y x y x y n+-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭1145592222y x x y ++⋅=+≥++，当且仅当1142222y x x y ++⋅=，即2log 3x =-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()111112((22222222mx y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y ++⨯=+，因为302y ⨯>，所以1222x y +<+，即22m n ⋅<，故D 正确；故选：ABD11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱AD 上的动点，平面α过点E 且与平面11A DC 平行，则（）A.11B E CD ⊥B.三棱锥111E B C D -的体积为定值C.1D E 与平面11A DC 所成的角可以是3πD.平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线长之和为【答案】AB 【解析】【分析】由11CD C D ⊥、111B C CD ⊥可证得1CD ⊥平面11AB C D ，由线面垂直的性质可证得A 正确；由线面平行的判定可知//AD 平面111B C D ，知点E 到平面111B C D 的距离为1，由棱锥体积公式可知B 正确；以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，假设线面角为3π，利用线面角的向量求法可构造方程，由方程无解知C 错误；将底面ABCD 和侧面11CDD C 展开到同一平面，可得交线的轨迹，由平行关系可知EG AC ==D 错误.【详解】对于A ，四边形11CDD C 为正方形，11CD C D ∴⊥；11B C ⊥ 平面11CDD C ，1CD ⊂平面11CDD C ，111B C CD ∴⊥，又1111B C C D C =I ，111,B C C D ⊂平面11AB C D ，1CD ∴⊥平面11AB C D ；1B E ⊂ 平面11AB C D ，11B E CD ∴⊥，A 正确；对于B ，1111////AD A D B C ，AD ⊄平面111B C D ，11B C ⊂平面111B C D ，//AD ∴平面111B C D ，又E AD ∈，∴点E 到平面111B C D 的距离即为11AA =，111111111111113326E B C D B C D V S AA -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，B 正确；对于C ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()11,0,1A ，()0,0,0D ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，则()11,0,1DA = ，()10,1,1DC =，设平面11A DC 的法向量(),,n x y z = ，则110DA n x z DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，解得：1y =，1z =-，()1,1,1n ∴=- ；设()(),0,001E λλ≤≤，则()1,0,1D E λ=-，111cos ,D E n D E n D E n ⋅∴<>==⋅ 若1D E 与平面11A DC 所成的角为3π，则11cos ,2D E n <>= ，方程无解，1D E ∴与平面11A DC 所成的角不能为3π，C 错误；对于D ，设平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线分别为,EF FG ，则//EF AC ，1//FG C D ，将底面ABCD 和侧面11CDD C 沿CD 展开到同一平面，则,,E F G 三点共线且//EG AC，EG AC ∴==D 错误.故选：AB .12.已知点F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点，直线l 过点()()0,0D m m >交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，11FA y =+.设O 为坐标原点，12,2x x P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线,PA PB 与x 轴分别交于,M N 两点，则以下选项正确的是（）A.2p =B.若1m=，则0OA OB⋅=C.若m p =，则OAB面积的最小值为D.,,,M N P F 四点共圆【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线焦半径公式可直接构造方程求得2p =，知A 正确；设:l y kx m =+，与抛物线方程联立可得1212,x x y y ，由向量数量积的坐标运算可知B 错误；由1212OABSOD x x =⋅-≥ C 正确；表示出直线PA 方程后，可求得M 点坐标，进而得到1AP MF k k =-⋅，知AP MF ⊥，同理可得BP NF⊥，由此可知D 正确.【详解】对于A ，由抛物线焦半径公式得：1112pFA y y =+=+，解得：2p =，A 正确；对于B ，由题意知：直线l 斜率存在，设:l y kx m =+，由224x py y y kx m⎧==⎨=+⎩得：2440x kx m --=，124x x m ∴=-；由1m=得：124x x =-，则()21212116x x y y ==，12123OA OB x x y y ∴⋅=+=-，B 错误；对于C ，若2mp ==，则1280x x =-<，不妨设120x x <<，则()122111222OABSOD x x x x =⋅-=⨯⨯-≥= （当且仅当12x x -==时取等号），即OAB面积的最小值为，C 正确；对于D ，直线PA 的斜率为2112111212144222PAx x x y m x k x x x x x -+===+--，∴直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，令0y =得：()2111124x x y x x -=-=-，∴点M的横坐标为12M x x =，即1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线MF 的斜率1110202MF k x x -==--，1AP MF k k ∴=-⋅，AP MF ∴⊥，同理可得：BP NF ⊥，,,,M N P F ∴四点共圆，D 正确．故选：ACD ．【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用的问题，本题D 选项中，证明四点共圆的基本思路是能够通过说明两条直线斜率乘积为1-，得到两条直线互相垂直，进而得到四边形对角互补，得到四点共圆.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()526012611mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =，则m =___________；【答案】1-【解析】【分析】求出()51x +展开式的通项，从而求得m ；【详解】因为5260126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+其中()51x +展开式的通项为15r r r TC x +=，令1r =，则11255TC x x ==，令2r =，则2223510T C x x ==，所以()()51+1mx x +展开式中2x 项为2210+55x mx x x ⋅=，故1m =-，故答案为：1-14.已知函数21,0,()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点之和为___________.【答案】12【解析】【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点，从而得解．【详解】解：0x 时，10x +=，1x =-，由()1f x =-，可得11+=-x 或2log 1x =-，2x ∴=-或12x =；0x >时，2log 0x =，1x =，由()1f x =，可得11x +=或2log 1x =，0x ∴=或2x =；∴函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点为2-，12，0，2，所以所有零点的和为1120222-+++=故答案为：12．15.平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －8)2＝1，圆C 2：(x －6)2＋(y ＋6)2＝9，若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周，则圆C 的方程是________．【答案】2281x y +=【解析】【分析】由题知圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径，圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径，进而设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r 得2222121,9r CC r CC =+=+，再结合距离公式解方程即可得答案.【详解】解：圆C 平分圆C 1等价于圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径．同理圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)C a ，半径为r ，则()222x a y r -+=，所以2222121,9r CC r CC =+=+，即()()()222222481669a r a r⎧-+-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得20,81.a r =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为2281x y +=．故答案为：2281x y +=16.对任意100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式2121e m mx x m m -+>-恒成立，则正实数m 的取值范围为______.【答案】103m <≤或3m ≥【解析】【分析】将不等式右边通分后再分类讨论，当10mx ->时，通过构造函数并研究其单调性来解决不等式问题.【详解】由2121em mx x m m-+>-，有212211em mx x mx m m m-+->-=.当10mx -≤时，不等式显然成立，又100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1m x ≤，即310m ≤时不等式恒成立，又m 为正实数，所以3010m <≤；当10mx->时，令1mx t -=，则22e mtm t ->，即有2222ln ln ln ln m t t m m m t t ->-⇒+>+，令()ln f x x x =+，易知()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以22ln ln m m t t +>+，即2()()f m f t >，所以2m t >，即211mx x mm m -⇒+>>，所以1103m m +≥，解得3m ≥或103m <≤（m 为正实数）.综上可知：103m <≤或3m ≥.故答案为：103m <≤或3m ≥四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①()()()sin sin sin sin A C a b c B C -=-+，②()2222cos 2a b c a c B a+--=，③()sincos 6a B C B b π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．（1）求B （2）若b =ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且5BD =，求ABC 的面积．【答案】（1）=3B π（2析】【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为π，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S =+△△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可【小问1详解】选择条件①：根据正弦定理，可得：()()()a c abc b c -=-+可得：222a cb ac +-=根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac +-==()0,,=3B B ππ∈∴选择条件②：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2ab Ca c Bb C a-=根据正弦定理，可得：(2sinsin )cos sin cos A C B B C-=整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A=+=可得：1cos 2B=()0,,=3B B ππ∈∴选择条件③：易知：A B C π++=可得：sin cos()6a A Bb π=-根据正弦定理，可得：sin sin cos(sin 6A AB B π=-可得：1sin cos()62BB B Bπ=-=+整理可得：tan B =()0,,=3B B ππ∈∴【小问2详解】根据题意，可得：ABCABD BCDS S S =+△△△可得：111sin sin sin 23256256ac πππ=⨯+⨯整理可得：54ac ac +=根据余弦定理，可得：2222cos b a c ac ABC=+-∠可得：2213=a c ac +-，即2()313a c ac +-=可得：225()482080ac ac --=解得：4ac =或5225ac =-（舍）故1=sin 23ABCSac π=△18.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n项和为)*1,1,,2n n S a a n N n ==∈≥.（1）求证；数列是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1,22,2,12⎡⎤-=-=⎣⎦，求22212111n a a a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦ 的值.【答案】（1）证明见解析，21na n =-（2）1【解析】【分析】（1）用1n n S S --替换给定关系中的n a()12n -=≥，由此求出2,n S n =进而求出n a .（2）对21na 适当放大为2144n n-，再利用裂项相消法求其前n 项和，再确定这个和所在区间即可得解.【小问1详解】因为na=2n ≥时，1n n S S --=+，即=+，而0na >0>()12n -=≥所以数列1==为首项，公差为1的等差数列；()111n n =+-⨯=，则2,n S n =当2n ≥时，121n a n n n ==+-=-，又11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-.【小问2详解】222111(21)441n a n n n ==--+，当2n ≥时，22111114441n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭，故22212111111111111151111412231444n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++=+-<+= ⎪-⎝⎭⎝⎭ ，当1n=时，211514a =<，所以对任意的*n ∈N ，都有2221211154n a a a +++< ，又222212111111n a a a a +++≥= ，所以22212111514n a a a ≤+++< .所以222121111n a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ .19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD ∥BC ，BC =2AD ，60ABC ∠=︒，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F四点共面．（1）求证：F 为PC 的中点；（2）若△PAD 为等边三角形，二面角P AD B--的大小为120︒，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明AD ∥平面PBC ，再根据线面平行的性质定理即可证明EF ∥AD ,即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关各点坐标，求得平面ADFE 的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】证明：四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，∴AD ∥平面PBC ．由题意A 、D 、E 、F 四点共面，平面ADFE平面PBC =EF ，∴AD ∥EF ，而AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，∵E 是棱PB 的中点，∴F 为PC 中点．【小问2详解】如图，以BC 为x 轴，连接BC 中点O 和AD 中点G ,以OG 为y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为AB =CD ，BC =2AD ，60ABC ∠=︒设AD =a ，则BC =2a ，AB CD a==，所以33,(,,0),(,0,0),(,,0),(,0,0)222223a a OG a A B a D a C a =--，33(,,0),(,0,0)22BD a a AD a == ，因为△PAD 为等边三角形，所以PG ⊥AD ，由题意知OG AD⊥,所以∠PGO 为二面角P AD B--的平面角，又二面角P AD B --的大小为120︒，所以120PGO∠=︒，因为PG ⊥AD ，GO ⊥AD ，,,PG GO G PG GO =⊂ 平面PGO，所以AD ⊥平面PGO ，过P 作PH 垂直于y 轴于点H ，因为PH ⊂平面PGO ，所以AD ⊥PH ，又PH ⊥GH ，,GH AD ⊂平面ABCD ，GH AD G= ，所以PH 垂直于平面ABCD ，且60PGH∠=,3,,22244PG a PH a a GH a ==⨯==，244OH OG GH a a a =+=+=，∴30,,44P a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为E ，F 分别为PB ，PC 的中点，所以33(,,),(,,),(0,,)288288388a a E a F a AE a a -=- ，设平面ADFE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n AE n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以30880ay az ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，取z=1，n = ，设BD 与平面ADFE 所成角为θ，则3sin |cos ,|4a BD θ=〈〉= n ，即直线BD 与平面ADFE所成角的正弦值为4．20.乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方.（1）假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；（2）假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）1627（2）X 1234p34316364164数学期望为8564.【解析】【分析】（1）分析出两种情况，甲乙再打3个球，这三个均为甲赢和甲乙再打4个球，其中前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，分别求出概率，相加即为结果；（2）求出X 的可能取值为1，2，3，4，及对应的概率，写出分布列，求出期望值.【小问1详解】设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A ，则事件A 中包含事件B 和事件C ，事件B ：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C ：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜.事件B ：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则()33328327p B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，事件C ：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则()223212833327p C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；则()()()8816272727p A P B P C =+=+=【小问2详解】X 的可能取值为1，2，3，4.()314p X ==，()13324416p X ==⨯=，()1133344464p X ==⨯⨯=，()1111444464p X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X 1234p34316364164其中()331851234416646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.即数学期望为8564.21.已知曲线2:2(0)Cy px p =>的焦点为F ，曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =，过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B .（1）求证：直线AB 与x 轴相交于定点N；（2）试探究x 轴上是否存在定点M满足ANM BNM S AMS BM= 恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，()4,0M -【解析】【分析】（1）由焦半径公式代入求解p ，从而得抛物线方程；设直线方程:=+AB l x ty n ，联立方程组，通过OA OB ⊥可得n 的值，即可求出定点坐标；（2）由题意得出x 轴为AMB ∠的角平分线，将韦达定理代入所给条件求解即可．【小问1详解】解：()0,Q x p 在22y px =，即202p px =，解得02p x =，所以022p QF x p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，故抛物线为24y x =，易知直线AB 的斜率不为0，故设:=+AB l x ty n ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立224404x ty n y ty n y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，故124y y t +=，124y y n =-，所以222121244y y x x n =⋅=，因为OA OB ⊥，则2121240OA OB x x y y n n ⋅=+=-= ，则4n =或0n =（舍)，故(4,0)N ．【小问2详解】解：假设存在设(),0M m ，其中4m ≠，因为ANM BNM S AM S BM = ，那么AM AN BM BN =，则x 轴为AMB ∠的角平分线，若1m x =，则AM 垂直于x 轴，x 轴平分AMB ∠，则BM 垂直于x 轴，则直线AB 的方程为4x =，此时4m n ==，而M ，N 相异，故1m x ≠，同理2m x ≠故AM与BM 的斜率互为相反数，即12122112120y y x y x y m x m x m y y ++=⇒=--+1221121212(4)(4)2324444ty y ty y ty y t m y y y y t +++-⇒==+==-++为定值．故当(4,0)M -时，ANM BNM S AM S BM = 恒成立．22.已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--恰有三个零点()123123,,x x x x x x <<.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：①123x x a +>-；②232e x x +>.（两者选择一个证明）【答案】（1）()111e e 1a <<+-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令ln x t x =转化为2(1)10(*)t a t a +-+-=在(-∞，1]e 上有两不等实根1t ，212()t t t <．从而得出参数a 的范围，（2）设函数ln ()x h x x =在1x =处的切线:1l y x =-，记切线l 与1y t =，2=t t 的交点的横坐标分别为1x '，2x '，又由ln 1x x x≤-可得1111ln 1x t x x =<-，从而可证明①；根据对数均值不等式可证明②．【小问1详解】()0f x =可以等效化简为ln ln 110x x a x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即令ln x t x =，由ln x t x =，则21ln x t x -'=，令21ln 00e x t x x -'=>⇒<<，21ln 0e x t x x -'=<⇒>，故ln x t x=在()0e ，单调递增，在(e,)+∞单调递减，当e x =时，1et =，所以ln 1e x t x =≤，且当1x >时，ln 0x t x =>,当01x <<时，ln 0x t x =<，ln x t x =的图像如下图所示，题意等价于()2110t a t a +-+-=(*)，必有两个实根1t ，212()t t t <．判别式2(1)4(1)0a a ∆=--->，有3a <-或1a >，两根情况讨论如下：①当110,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21e t =时，从而将21e t =代入(*)式，得211e ea =+-，又12211e et t a =-=--，有12e 10e e e 1t =-=-<--不符合题意，故舍去；②当10t ≤，210,et ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令2()(1)1g t t a t a =+-+-，)i 当10t =时，有10a -=，得1a =，此时(*)式为20t =，不符合题意；)ii 当10t <时，则有2(0)10111(1)10e e e g a g a a =-<⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+-⋅+-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得111e(e-1)a <<+，综上知a 的取值范围为11,1e(e-1)⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【小问2详解】选①由（1）知112a t --=，212a t -+=，考虑函数2()ln h x x x x =-+，故()()211()21=1x x h x x x x -+-'=-+，当1x >时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>，故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故()(1)0h x h ≤=，因此2ln 0x x x -+≤，故得：ln 1x x x-，记直线:l 1y x =-，l 与1y t =，2=t t 的交点的横坐标分别为1x '，2x '，则11x '=，21x '=，又11111ln 11x t x x x ='-=<-，则11x x '<，同理22x x '<，故12123x x x x a +>'+'=-．若选②先证：对任意的0a b >>，有ln ln 2a b a b a b->-+，记()()()()2221114()ln 21,()111x x p x x x p x x x x x x --'=->=-=+++，当1x >时，()0p x '>，故()p x 在()1+∞，上单调递增，因此()(1)0p x p ≥=，故1ln 201x x x -->+，不妨设0a b >>,取1a x b =>，代入1ln 201x x x -->+得：1ln 20ln 201a a a a b b a b b a b b--->⇒->++，则ln ln 2a b a b a b ->-+故对任意的0a b >>，有ln ln 2a b a b a b->-+，选②：32322232323232ln ln ln ln 22x x x x t x x x x x x x x t -===>⇒+>-+由于210,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故23222e x x t +>>【点睛】本题考查利用导数研究函数零点问题，考查复合方程的根的问题．解得本题的关键是先令ln x t x=，先研究出其性质大致图像，然后将问题转化为2(1)10(*)t a t a +-+-=在(]0-∞，和10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个实根1t ，212()t t t <，从而使得问题得以解决，证明不等式时，主要采用了放缩法以及利用对数不等式对任意的0a b >>，有ln ln 2a b a b a b -+<-进行证明,属于难题．。

盐城中学年高三第五次调研考试数学试卷及答案

盐城中学08-09学年度第一学期高三年级第五次调研考试数学试题（理）必做题部分（本部分满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1、已知向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R c b a ∈=-==ααα，实数,m n 满足,ma nb c +=则22(3)m n -+的最大值为 .2、对于满足40≤≤a 的实数a ，使342-+>+a x ax x 恒成立的x 取值范围_ 3、扇形OAB 半径为2，圆心角∠AOB ＝60°，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则⋅的值为4、已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值是．5、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即“[x ]是不超过x 的最大整数” ．在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x ．这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =__________ .6、若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，则使得关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率为7、方程θθcos 2sin =在[)π2,0上的根的个数8、|x log |y 2=的定义域为]b ,a [ , 值域为]2,0[ 则区间]b ,a [ 的长度a b -的最小值为9、若数列{}n a 的通项公式为)(524525122+--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=N n a n n n ，{}n a 的最大值为第x 项，最小项为第y项，则x+y 等于 10、若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立.且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,则当 14x ≤≤时,yx的取值范围 . 11、已知函数()f x 满足()12f =，()()()111f x f x f x ++=-，则()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为 .12、已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则ω的取值范围是 . 13、与圆x 2 + y 2-4x=0外切，又与Y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是14、设集合{}1,2,3,,nS n =，若n X S ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）。

盐城市、南京市2023届高三年级期末考试数学参考答案

盐城市、南京市2022－2023学年度第一学期期末调研测试高三数学参考答案 2023.01一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．D 3．D 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．9．AC 10．BCD 11．BD 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．80 14．13 15．[0，＋∞) 16．q 2；1024注：第14题满足0＜ω≤13都可．四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：（1）因为a 1＝3，所以a 1－2×1－1＝0．由于等比数列中的各项都不可能为0，故数列{a n －2n －1}不是等比数列． ·························· 2分由a n ＋1＝3a n －4n ，得a n ＋1－2(n ＋1)－1＝3(a n －2n －1)．因为a 1－2×1－1＝0，所以a n －2n －1＝0，从而a n ＝2n ＋1． ···································································································· 5分（2）由（1）可得b n ＝(2n －1)·2n (2n ＋1)(2n ＋3)＝2n ＋12n ＋3－2n2n ＋1．····················································· 7分则S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(225－213)＋(237－225)＋…＋(2n 2n ＋1－2n －12n －1)＋(2n ＋12n ＋3－2n2n ＋1) ＝2n ＋12n ＋3－23． ··································································································· 10分18．（本小题满分12分）解：（1）在△APC 中，因为AP ⊥CP ，且AP ＝CP ，所以∠CAP ＝π4．由AC ＝2，可得AP ＝2．又∠BAC ＝π3，则∠BAP ＝π3－π4＝π12．在△APB 中，因为∠APB ＝2π3，∠BAP ＝π12，所以∠ABP ＝π－2π3－π12＝π4，则AB sin 2π3＝2sin π4，解得AB ＝3，从而S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×2×32＝32． ··················································· 5分（2）在△ABC 中，由7＝4＋AB 2－2AB ，解得AB ＝3（AB ＝－1舍去）． ··················································································· 7分令∠CAP ＝α，则在△APC 中AP ＝2cos α．在△ABP 中，∠BAP ＝π3－α，所以∠ABP ＝π－2π3－(π3－α)＝α， ········································ 9分则AB sin ∠APB ＝AP sin ∠ABP ，即3sin 2π3＝2cos αsin α，得tan α＝33． ················································· 11分因为α∈(0，π3)，所以α＝π6，从而AP ＝2×32＝3． ····················································· 12分19．（本小题满分12分）解：（1）由题意可得x －＝(2＋4＋6＋8＋10)÷5＝6，y －＝(80＋95＋100＋105＋120)÷5＝100，则∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝(2－6)×(80－100)＋(4－6)×(95－100)＋(6－6)×(100－100)＋(8－6)×(105－100)＋(10－6)×(120－100) ＝80＋10＋0＋10＋80＝180，∑5i ＝1(x i －x －)2＝(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＝16＋4＋0＋4＋16＝40，可得^b＝∑ni ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2＝18040＝92，··········································································· 2分 ^a ＝100－92×6＝73， ·························································································· 3分故y 关于x 的回归直线方程为^y ＝92x ＋73． ···································································· 4分令x ＝12，得^y ＝127， ······························································································ 5分据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3000×127150＝2540人． ················· 6分（2）提出假设H 0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关．则K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝150(65×20－55×10)2120×30×75×75＝256≈4.17．································· 10分因为P (K 2≥3.841)＝0.05，而4.17＞3.841，故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关． ··································· 12分20．（本小题满分12分）（1）证明：设AC ∩BD ＝O ，在平面P AC 内过点A 作AH ⊥PO ，垂足为H ．因为平面P AC ⊥平面PBD ，平面P AC ∩平面PBD ＝PO ，所以AH ⊥平面PBD ． ······························································································ 3分又BD ⊂平面PBD ，所以BD ⊥AH ．因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A ．因为BD ⊥AH ，P A ∩AH ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AH ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ．又因为PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥P C ．………………………………………………………………6分（2）在△ABD 中，由AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，可得BD ＝22．由（1）知BD ⊥AC ，则V P －ABCD ＝13S ABCD ×P A ＝13×12×22×AC ×2＝4，解得AC ＝32， ····································································································· 8分以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示空间直角坐标系A －xyz ，得A (0，0，0)，B (2，0，0)，D (0，2，0)，C (3，3，0)，P (0，0，2)，所以平面P AD 的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．设平面PCD 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，又PD →＝(0，2，－2)，PC →＝(3，3，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧PD →·n 2＝0，PC →·n 2＝0，得⎩⎨⎧2y －2z ＝0，3x ＋3y －2z ＝0，取z ＝3，则x ＝－1，y ＝3，故平面PCD 的一个法向量为n 2＝(－1，3，3)， ······················· 10分则cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－11×1＋9＋9＝－1919， ························································ 11分从而平面P AD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为1919． ·············································· 12分21．（本小题满分12分）解：（1）设C (m ，n )，又A (－2，0)，则由AC ＝5，得(m ＋2)2＋n 2＝5．又m 24＋n 2＝1，解得m ＝0(m ＝－163舍去)． (第20题图)又点C 在x 轴上方，则n ＞0，故n ＝1，从而点C 坐标为(0，1)．因为D 为线段AC 的中点，所以点D 坐标为(－1，12)，故k AC ＝12，k OP ＝k OD ＝－12． ······················································································ 2分方法1由于直线MN 过原点且与直线平行AC ，则直线MN 的方程为y ＝12x ．由于点P ，M 在x 轴上方，则y M ＞0，y P ＞0．由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 24＋y 2＝1，解得y M ＝22，则x M ＝2，故M (2，22)，则OM →＝(2，22)．由⎩⎨⎧y ＝－12x ，x 24＋y 2＝1，解得y P ＝22，则x P ＝－2，故P (－2，22)，则OP →＝(－2，22)，从而cos ∠POM ＝OP →·OM→|OP →||OM →|＝－2＋122＋12×2＋12＝－35． ··················································· 4分方法2由于直线MN 过原点且与直线平行AC ，则k OM ＝k AC ＝12．又k OP ＝－12，可得∠AOP ＝∠BOM ，则∠POM ＝π－2∠MOB ．因为k OM ＝12，所以tan ∠BOM ＝12，故cos ∠BOM ＝255，从而cos ∠POM ＝cos(π－2∠MOB )＝－cos2∠BOM ＝－(2cos 2∠BOM －1)＝－35． ·················· 4分方法3由于直线MN 过原点且与直线平行AC ，则∠POM ＝＜OP →，OM →＞＝＜OP →，AC →＞＝＜OD →，AC →＞．又OD →＝(－1，12)，AC →＝(2，1)，则cos ∠POM ＝cos ＜OD →，AC →＞＝OD →·AC →|OD →||AC →|＝－2＋121＋(12)2·22＋1＝－35． ····························· 4分（2）设点C (x 0，y 0)，由A (－2，0)可得D (x 0－22，y 02)，则k AC ＝k OM ＝y 0x 0＋2，k OP ＝k OD ＝y 0x 0－2，从而k OM ·k OP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 02x 02－4＝1－x 024x 02－4＝－14． ························································· 6分由于直线OM 的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为y ＝kx ，k ＞0由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，解得x 2＝41＋4k 2，y 2＝4k 21＋4k 2，则OM 2＝4＋4k 21＋4k 2． ······································· 8分由k OM ·k OP ＝－14可得k OP ＝－14k ，同理可得OP 2＝1＋16k 21＋4k 2，方法1 则OM 2·OP 2＝4＋4k 21＋4k 2·1＋16k 21＋4k 2． ·················································································· 10分令1＋4k 2＝t ，t ＞1，则OM 2·OP 2＝(t ＋3)(4t －3)t 2＝－9(1t )2＋9·1t ＋4≤254（当t ＝2，即k ＝12时取等号，），又PQ ·MN ＝4OM ·OP ，则PQ ·MN 的最大值为10． ························································· 12分方法2 则OM 2＋OP 2＝4＋4k 21＋4k 2＋1＋16k 21＋4k 2＝5，所以OM ·OP ≤OM 2＋OP 22＝52，当且仅当OM ＝OP ＝102时取等号．又PQ ·MN ＝4OM ·OP ，则PQ ·MN 的最大值为10． ························································· 12分22．（本小题满分12分）（1）解：当x ＞－1时，g (x )＝x ＋1e x ＋x 2－1，则g'(x )＝2x e x (e x －12)． ··········································· 1分令g'(x )＝0，可得x 1＝－ln2＞－1，x 2＝0，列表分析如下：由表可知，g (x )在x ＝0处取得极小值，且g (0)＝0．又g (－1)＝0，从而g (x )的最小值为0． ········································································ 5分（2）证明：由（1）可知，当x ＞－1时，g (x )≥0，即x ＋1e x≥1－x 2(当且仅当x ＝0时取等号)，记h (x )＝1－x 2，则在区间(－1，0)和(0，＋∞)上，都有f (x )＞h (x )恒成立．又f '(x )＝－xex ，则f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，从而f(x)＞0在(－1，0)和(0，＋∞)上恒成立． ······························································8分由于x1≠x2，f(x1)＝f(x2)＝t，则可得0＜t＜1，不妨设－1＜x1＜0＜x2．又h(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，h(0)＝1，不妨设h(x3)＝h(x4)＝t，其中－1＜x3＜0＜x4，则在(－1，0)上，f(x1)＝h(x3)＜f(x3)，可得－1＜x1＜x3＜0，在(0，＋∞)上，f(x2)＝h(x4)＜f(x4)，可得0＜x4＜x2，从而|x1－x2|＞|x3－x4|．由于x3，x4为方程h(x)＝t的两个实根，解得x3＝－1－t，x4＝1－t，则|x3－x4|＝21－t，从而|x1－x2|＞21－t，命题得证．··············································································12分。

江苏省盐城市高三年级第一次调研考试数学试题

数学试题参考公式:球的体积公式为343V R π=,其中R 为球的半径. 柱体体积公式为V S h =底. 锥体体积公式为13V S h =底. 线性回归方程的系数公式为1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑.必做题部分（本部分满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．(1)(12)i i -+= ▲ .2．函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '= ▲ . 3．抛物线y 2=4x 的焦点坐标是 ▲ .4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ▲ . 5．已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 ▲ .6．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM>AC 的概率是 ▲ .7．如果实数,x y 满足不等式组10220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥1≤≤，则22x y +的最小值为 ▲ .8．阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ▲ .主视图左视图俯视图第4题图9．在△OAB 中,(2cos ,2sin )OA αα=, (5cos ,5sin )OB ββ=,若5OA OB ⋅=-,则OAB S ∆= ▲ . 10．定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 ▲ .11．设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则数列{}n a 的通项公式n a =▲ . 12．若函数2()xf x x a=+(0a >)在[)1,+∞,则a 的值为 ▲ . 13．从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点21,F F 的视角为直角，1AF 的延长线交椭圆于B ，且2AF AB =，则椭圆的离心率为 ▲ . 14．某同学在研究函数 f (x) =x1 + | x | (x R∈) 时，分别给出下面几个结论：①等式()()0f x f x -+=在x R ∈时恒成立； ②函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点.其中正确结论的序号有 ▲ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（本小题满分14分）已知向量(sin a θ=,(1,cos )b θ=,(,)22ππθ∈-.第8题图(Ⅰ)若a b ⊥,求θ；(7分)(Ⅱ)求||a b +的最大值.(7分)16．（本小题满分14分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；(6分)(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3分)(参考公式: 1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑)17．（本小题满分15分）如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中,BC DB =, DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点. (Ⅰ)求证：//11D B 面BD A 1；(5分) (Ⅱ)求证：MD AC ⊥；(5分)(Ⅲ)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面D D CC 11. (5分)MAB CD A 1B 1C 1D 118.（本小题满分15分）已知圆O:222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F.若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分) (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. (5分)19．（本小题满分16分）如图是一个面积为．．．1．的三角形,现进行如下操作.第一次操作:分别连结这个三角形三边的中点,构成4个三角形,挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示),并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作:连结剩余的三个三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形(如图②中阴影部分所示),同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作: 连结剩余的各三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形,同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……,如此下去.记第n 次操作后剩余图形的总面积为a n.(Ⅰ)求1a 、2a ；(4分)(Ⅱ)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14,问至少经过多少次操作?(5分) (Ⅲ)求第n 次操作后,挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和S n .(7分)20．（本小题满分16分）设函数322()21f x x mx m x m =---+-(其中2m >-)的图象在2x =处的切线与直线y=－5x+12平行. (Ⅰ)求m 的值；(4分)(Ⅱ)求函数)(x f 在区间[0,1]的最小值；(4分) (Ⅲ)若0a ≥,0b ≥,0c ≥ ,且1a b c ++=, 试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明:222911110a b c a b c ++≤+++. (8分)① ②附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）一、选做题：请在下列4小题中任做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内,多做者按所做的前2题给分.1．（选修4—1：几何证明选讲）已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC. (Ⅰ)求证：FB=FC ；(Ⅱ)若AB 是△ABC 外接圆的直径，0120EAC ∠=，BC=6，求AD 的长.2．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到的点1(0,3)P - (Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)求矩阵A 的特征值及特征向量.3．（选修4—4：坐标系与参数方程）从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ,在OM 上取一点P ,使12OM OP ⋅=. (Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设R 为l 上的任意一点,试求RP 的最小值.4．（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin a b c θθ+<，22θθ<二、必做题：本大题共2小题,每小题10分,计20分,请把答案写在答题纸的指定区域内. 5．求由曲线y=x 3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积.FEDCBA6．一个人随机地将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中去，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了，设放对了的个数有ξ种.(Ⅰ)求ξ的分布列；(Ⅱ)求ξ的期望值.江苏省盐城市2007—2008学年度高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准必做题部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）：。

江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期12月初调研考试数学试卷及答案

盐城市2022～2023学年第一学期高三年级12月初调研考试数学试卷2022.12.03注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共150分。

调研时间120分钟。

2．将选择题的答案填涂在答题卡的对应位置，非选择题的答案写在答题卡的指定栏目内。

一、单项选择题：共8题，每题5分，共40分。

每题只有一个选项最符合题意。

1. 已知集合A ={x|y =ln(x −1)}，B ={x|x 2−x −6<0}，则A ∩B =( )A. {x|1<x <2}B. {x|1<x <3}C. {x|x >−2}D. {x|x >1}2. 已知正六棱台的上､下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为( )A. 32√3B. 28√3C. 24√3D. 20√33. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，给出以下条件，其中一定可以推出{a n }为等比数列的条件是( )A. S n =2a n −1B. S n =2n +1C. a n+1=2a nD. {S n }是等比数列4. 新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时检测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量X n 与扩增次数n 满足lgX n =nlg(1+p)+lgX 0，其中p 为扩增效率，X 0为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率p 约为( ) (参考数据：1015≈1.585，10−15≈0.631)A. 0.369B. 0.415C. 0.585D. 0.6315. 已知函数y =f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，且f(x +1)为奇函数，当x <1时，f(x)=−x 2−2x ，则f(x)=12的所有根之和等于( )A. 4B. 5C. 6D. 126. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =3π4，tanC =34，b =2，则△ABC 的面积S =．( ) A. 6B. 4C. 3√2D. 2√27. 如图所示，边长为2的正△ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在点A 的另一侧作半圆弧BC ⏜，点P 在圆弧上运动，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A. [2,3√3] B. [4,3√3] C. [2,4] D. [2,5]8.已知函数f(x)=x−e2+ln exe−x，若f(e2020)+f(2e2020)+⋯+f(2018e2020)+f(2019e2020)=20192(a+b)，其中b>0，则12|a|+|a|b的最小值为( )A. 34B. 54C. √2D. √22二、多选题：本大题共4小题，共20分。

盐城市高三调研数学试卷及答案

盐城市高三数学学情调研检测姓名：_________班级：________ 得分：________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.1. 已知复数11z i =-，21z i =+,那么21z z =_________。

2. 已知向量,a b 满足||3,||5,||7a b a b ==-=，则,a b 的夹角为3. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。

4. 已知点(1,2)P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos αααα+-＝5. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 6. .在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为7. 在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 8. 某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是9. .已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10. △ABC 中，π2C =，1,2AC BC ==，则()2(1)f CA CB λλλ=+-的最小值是 . 11. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

江苏省盐城市第一中学2019-2020届高三6月调研考试数学试题(含附加卷)附答案

盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学试题 2020.06一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．2．设121i z i i +=+-，则||z =_________. 3．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________． 4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 5．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为6．阅读如图所示的程序框，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是______.7．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，且59a =，则数列{}n a 的前n 项和为______．8．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______..9．已知函数f （x ）()2111x x log x x ≤⎧=⎨-⎩，，＞，则函数(())1y f f x =-的所有零点构成的集合为_____.10．若对任意1x >-，不等式2122x a x x +≤++恒成立，则a 的取值范围是______. 11．在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m 、高为4m 的正四棱柱形的石料1111ABCD A B C D -中，雕出一个四棱锥O ABCD -和球M 的组合体，其中O 为正四棱柱的中心，当球的半径r 取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg .（最后结果保留整数，其中 3.14π≈，石料的密度32.4g/p cm =，质量m pV =）12．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，对角线BD 为圆的直径，5AB =，4=AD ，1CD =，点E 在BC 上，且()310AE AB R t AC t ∈=+u u u r u u u r u u u r ，则AE AC ⋅u u u r u u u r 的值为________． 13．已知函数()211ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)1,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行()12x x ≠，则12x x +的取值范围为______.14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22S a bc+的最大值为______ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本题满分14分)如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点. （1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：1C E ⊥平面BDE .16．(本题满分14分) 在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B，C 的对边，已知()3,m a c b =-u r ，()cos ,cos n B C =-r ，且m n ⊥u r r . （1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC V 的面积为64，求ABC V 的周长.17．(本题满分15分)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（1）求()f x 的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?18．(本题满分15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线:10m x y -+=经过椭圆C 的上顶点，直线:10n x +=交椭圆C 于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,AP BP 分别交直线:40l x +=于,Q R 两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：OQ OR ⋅uuu r uuu r （O 为坐标原点）为定值．。

江苏省盐城市2023-2024学年高三第一学期学情调研考试数学试题(含答案)

江苏省盐城市2023-2024学年高三第一学期学情调研考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合P＝{x|y＝}，Q＝{y|y＝}，则P∩Q＝( )A. ∅B. [0，＋∞)C. [－1，＋∞)D. [1，＋∞)2. 若复数z满足zz＝2，则|z|为( )A. 1B.C. 2D. 43. 若数列{a n}满足a n＋1＝，n∈N*，则“a1＝2”是“{a n}为单调递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图，某炮兵从地平面A处发射一枚炮弹至地平面的另一处B，假设炮弹的初始速度为v0，发射方向与地平面所成角为α(0＜α＜)，根据物理知识可知，在不计空气阻力的情况下，炮弹飞行过程中的水平距离x＝(v0cos α)t，竖直距离y＝(v0sin α)t－gt2，其中t为炮弹的飞行时间，g为重力加速度，对于给定的初始速度v0，要使炮弹落地点的水平距离AB最大，则发射角α应为( )A. B. C. D.5. 若函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)在(0，)上单调，则ω的取值范围是( )A. (1，＋∞)B. [1，＋∞)C. (0，1)D. (0，1]6. 在各项为正数的无穷等差数列{a n}中，公差d≠0，若数列{}的前n项和为S n，则( )A. S2n＝B. S2n＞C. S2n＜D. 以上均不对7. 若x＞0，y＞1，则＋的最小值为( )A. 1B. 4C. 8D. 128. 已知a＝－2，b＝ln 2，c＝1－，则( )A. b＞c＞aB. b＞a＞cC. a＞b＞cD. c＞b＞a二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9. 在复数范围内，方程x2＋x＋1＝0的两根记为x1，x2，则( )A. x1＋x2＝1B. x1x2＝1C. |x1－x2|＝D. x1－x2＝±10. 在△ABC中，|＋|＝|－|＝4，·＝4，则( )A. B＝B. A＝C. AC＝2D. △ABC的面积为411. 已知数列{a n}满足a n＋2a n－1＝k n，n∈N*，n≥2，则( )A. 当k＝0且a1≠0时，{a n}是等比数列B. 当k＝1时，是等比数列C. 当k＝－2时，是等差数列D. 当k＝－3且a1＝－3时，是等比数列12. 在△ABC中，若A＝nB(n∈N*)，则( )A. 对任意的n≥2，都有sin A＜n sin BB. 对任意的n≥2，都有tan A＜n tan BC. 存在n，使sin A＞n sin B成立D. 存在n，使tan A＞n tan B成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若不等式x2－2x≤a对任意a∈[0，3]都成立，则实数x的取值范围是________．14. 在△ABC中，已知AB＝3，AC＝4，BC＝3，则·的值为________．15. 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，x1＋2x3＝x2，则a＋b的最大值为________．16. 若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，则称点P为△ABC的勃罗卡点，α为△ABC的勃罗卡角．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若勃罗卡点P满足＝＝，则∠ABC与勃罗卡角α的正切值分别为________、________．(第1空2分，第2空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x.(1) 求g(x)的最小值；(2) 求函数h(x)＝的值域．18.(本小题满分12分)已知正项递增等比数列{a n}的前n项和是S n，且S3＝91，a1a3＝81.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 记a n的个位数为b n，求数列{a n b n}的前2n项和T2n.19.(本小题满分12分)若函数f(x)＝2sin (ωx＋)在(0，π)内恰有两个零点，其中ω∈N*.(1) 求ω的值；(2) 若f(x)＝，求的值．20.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足c＝2，(2a＋c)cos B＋b cos C＝0.(1) 若A＝，求△ABC的面积；(2) 若点D满足＝2，△BCD的面积是2，求的值．21.(本小题满分12分)“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．“大衍数列”{a n}的前几项分别是0，2，4，8，12，18，24，…，且{a n}满足a n＝其中k∈N*.(1) 求a2k(用k表示)；(2) 设数列{b n}满足b n＝其中k∈N*，T n是{b n}的前n项的积．求证：ln T n≤n2－n，n∈N*.22.(本小题满分12分)已知f(x)＝e x(1－x).(1) 求函数g(x)＝f(x)＋e x－e的最大值；(2) 设f(x1)＝f(x2)＝t，x1≠x2，求证：x1＋x2＜2t－－1.数学答案及评分标准1. D2. B3. A4. B5. D6. B7. C8. C9. BC　10. ABC　11. ACD　12. AD13. [0，2]　14. －8　15. 16. 17. 解：(1) ∵f(x)＋g(x)＝e x, ①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，∵f(x) 为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵g(x) 为偶函数，∴g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝e－x, ②由①②得f(x)＝(e x－e－x)，g(x)＝(e x＋e－x)，(2分)由基本不等式得e x＋e－x≥2＝2, 当且仅当x＝0时取等号，故[g(x)]min＝1.(5分)(2) h(x)＝＝＝＝1－，(6分)h(x)的定义域为(－∞，＋∞)，设t＝e2x＋1，y＝1－，由指数函数的性质可得t的取值范围是(1，＋∞)，由反比例函数的性质可得的取值范围是(0，2)，故1－的取值范围是(－1，1)，故函数h(x)的值域为(－1，1).(10分)注：h(x)＝的解析式化简为1－得1分；值域(－1，1)两个边界值对1个得2分；其他方法参照评分．18. 解：(1) 设等比数列{a n}的公比为q.∵数列{a n}为正项递增的等比数列，∴a1>0，q>1，则S3＝a1(1＋q＋q2)＝91，a1a3＝q2＝81，(3分)解得故a n＝9n－1.(5分)(2) 当n为奇数时，a n的个位数为1，b n＝1，(6分)当n为偶数时，a n的个位数为9，b n＝9，(7分)故T2n＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a2n b2n＝(a1b1＋a3b3＋…＋a2n－1b2n－1)＋(a2b2＋a4b4＋…＋a2n b2n)＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋9(a2＋a4＋…＋a2n)(9分)＝＋9[]＝(81n－1).(12分)19. 解：(1) 由f(x)＝0，得ωx＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝，(3分)因为f(x)在(0，π)内恰有两个零点，且ω∈N*，所以<π≤，所以ω＝2.(6分)(2) 由f(x)＝，得sin (2x＋)＝，设x－＝θ，则sin (2θ＋＋)＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝，(10分)所以|sinθ|＝，即|sin (x－)|＝.(12分)20. 解：(1) 由(2a＋c)cos B＋b cos C＝0，得2sin A cos B＋sin C cos B＋sin B cos C＝0，即2sin A cos B＋sin A＝0，∵A，B∈(0，π)，∴ cos B＝－，B＝.(2分)又A＝，所以C＝，由＝得b＝，∵ sin ＝sin (－)＝，∴b＝6＋2，(5分)∴S△ABC＝(6＋2)·2·＝6＋2.(6分)(2) ∵＝2，S△BCD＝2，∴S△ABC＝6，∴·2·a·＝6，得a＝12，(9分)令∠ADB＝θ，则＝，＝，∴＝＝3，∴＝6.(12分)21. (1) 解：a2＝a1＋2，a3＝a2＋2，a4＝a3＋4，a5＝a4＋4，…，a2k－2＝a2k－3＋2k－2，a2k－1＝a2k－2＋2k－2，a2k＝a2k－1＋2k，将以上各式累加得a2k＝2k＋2[2＋4＋6＋…＋(2k－2)]＝2k＋2··＝2k2，k≥2，当k＝1时，a2k＝2k2也成立，故a2k＝2k2，k∈N*.(6分)注：也可由递推公式先得到a2k＝a2k－2＋4k－2，再累加得a2k＝2k2.(2) 证明：由(1)可知，当n是偶数时，a n＝，当n是奇数时，a n＝，所以b n＝n2.(8分)以下先证明：当x>0时，ln x≤x－1.设f(x)＝x－1－ln x，则f′(x)＝1－＝，令得x>1，令得0<x<1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(1)＝0，∴ ln x≤x－1，(10分)∴ ln n≤n－1，n∈N*，∴ ln T n＝ln (12·22·32…·n2)＝2ln (1·2·3…·n)＝2(ln 1＋ln 2＋…＋ln n)≤2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，即ln T n≤n2－n，n∈N*.(12分)22. (1) 解：g(x)＝e x(1－x)＋e x－e，g′(x)＝－x e x＋e，(1分)当x≤0时，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0]上单调递增，当x>0时，设φ(x)＝g′(x)，φ′(x)＝－(x＋1)e x<0，∴g′(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g′(1)＝0，所以当x∈(0，1)，g′(x)>0，∴g(x)在(0，1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)，g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减，综上，g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，[g(x)]＝0.(4分)max(另解：g(x)＝－(e x－e)(x－1)，当x≠1时，g(x)<0，而g(1)＝0，所以当x＝1时，[g(x)]＝0).max(2) 证明：f′(x)＝－x e x，当x<0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，当x>0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当x＝0时，[f(x)]max＝1，当x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)<0且单调递减，所以0<t<1.不妨令x1<0<x2<1，设h(x)＝－e x＋e，由(1)可知，f(x)≤h(x)，当且仅当x＝1时取等号，设h(x′2)＝t，则x′2＝1－∈(0，1)，t＝h(x′2)>f(x′2)，所以t＝f(x2)>f(x′2)，由f(x)在(0，1)上单调递减可知，x2<x′2，即x2<1－.(*)(8分)记p(x)＝x＋1，x≤0，设F(x)＝f(x)－p(x)＝e x(1－x)－x－1，x≤0，(10分)F′(x)＝－x e x－，记m(x)＝F′(x)，则m′(x)＝－(x＋1)e x，当x∈(－∞，－1)时，m′(x)>0，F′(x)单调递增；当x∈(－1，0)时，m′(x)<0，F′(x)单调递减，所以当x＝－1时，[F′(x)]max＝－<0，所以F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，又F(0)＝0，所以F(x)≥0，所以f(x)≥p(x)，当且仅当x＝0时取等号．令p(x′1)＝t，则x′1＝2t－2∈(－2，0)，t＝p(x′1)<f(x′1)，所以t＝f(x1)<f(x′1)，由f(x)在(－∞，0)上单调递增可知，x1<x′1＝2t－2，(**)由(*)和(**)得x1＋x2<2t－－1.(12分)。