2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何重点强化课4直线与圆课件文
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第八篇 平面解析
.
解析:设点 P(x,y),则|PA|= |PB|=
x 1 y2 ,
2
x 4
2
y2 ,因为|PA|=
1 |PB|, 2
所以两边平方得(x-1)2+y2= 化简得 x +y =4.
答案:x2+y2=4
2 2
1 [(x-4)2+y2], 4
5.下面结论正确的是 ①确定圆的几何要素是圆心与半径.
解得 D=-4,E=-2,F=-5. 所以所求圆的方程为 x2+y2-4x-2y-5=0. 化为标准方程为(x-2) +(y-1) =10.
答案:(2)(x-2)2+(y-1)2=10
2 2
反思归纳
(1)求圆的方程,一般采用待定系数法.
①若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程.
②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择设圆的一般方程. (2)在求圆的方程时,常用到圆的以下几个性质:
3.圆的一般方程如何化为标准方程? 提示:配方法.
知识梳理
1.圆的定义与方程
(1)圆的定义
在平面内,到 定点 的距离等于 定长的点 的轨迹叫做圆. (2)圆的方程
标准 方程 一般 方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心 (a,b) ,半径 r
D E , 2 2
x +y +Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
2 2 ⑥若点 M(x0,y0)在圆 x +y +Dx+Ey+F=0 外,则 x 02 + y 02 +Dx0+Ey0+F>0. 2 2 2 2
最新-2018届高考数学一轮复习 第8章第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 精品
∴x1＝－4 或x2＝0 ，
y1＝ 0
y2＝ 2
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
法二：两方程联立，得方程组
x2＋ y2－2x＋10y－24＝0 x2＋ y2＋2x＋2y－ 8＝0
，
两式相减得 x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的
方程；
由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
A2＋B2 _d_<_r__⇔直线与圆相交； _d_＝__r _⇔直线与圆相切；
_d_>_r__⇔直线与圆相离．
(2)代数方法： 由Axx－＋aB2y＋＋Cy－＝b0，2＝r2，
消元，得到一元二次方程判别式为 Δ，则 _Δ_>_0__⇔直线与圆相交； _Δ_＝__0_⇔直线与圆相切； _Δ_<_0__⇔直线与圆相离．
【解】 法一：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的 方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴当 Δ＞0 时，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相 交，即直线与圆有两个公共点； 当 Δ＝0 时，即 m＝0 或 m＝－43时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点；
(2)若 a＝ 2，过点 M 的圆的两条弦 AC， BD 互相垂直，求 AC＋BD 的最大值．
解：(1)由条件知点 M 在圆 O 上， 所以 1＋a2＝4.则 a＝ ± 3. 当 a＝ 3时，点 M 为(1， 3)，kOM＝ 3， k 切线＝－ 33，
此时切线方程为 y－ 3＝－ 33(x－1)， 即 x＋ 3y－4＝0.
圆与圆的位置关系
1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆 圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不 采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程 可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．
2018版高考数学一轮总温习 第8章节 平面解析几何 8.3 圆的方程讲义 理
2．用几何法求圆的方程 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
【变式训练 1】 (1)[2015·全国卷Ⅱ] 过三点 A(1,3)， B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( )
(2)[2017·河南百校联盟]经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆
心 在 直 线 2x － y － 3 ＝ 0 上 的 圆 的 方 程 为 (x_－ __2_)_2_＋__(_y－ ___1_)2_＝ __1_0_．
解 析 设 圆 的 方 程 为 (x－ a)2 ＋ (y－ b)2 ＝ r2(r>0)， 则
y－b x－a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形
如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值
问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为
动点到定点；的距离的平方的最值问题．
(2)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用
几何性质，借助几何直观求解，否则可用代数法转化为函
5
5－2
B. 5
C. 5－2
7 D.
5
5－2
[解析] 如图所示，点 P 在半圆 C(实线部分)上，且由 题意知，C(1,0)，点 Q 在直线 l：x－2y－6＝0 上．过圆心 C 作直线 l 的垂线，垂足为 A，则|CA|＝ 5，|PQ|min＝|CA|－2 ＝ 5－2.
命题角度 4 建立目标函数求最值问题
所以yx的最大值为 3，最小值为－ 3.
命题角度 2 截距型最值
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 重点强化训练4 直线与圆 文 新人教A版(2
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重点强化训练（四) 直线与圆A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．（2017·西安质量预测)命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x ＋4y－3＝0垂直"成立的（)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A［两直线垂直的充要条件是6a＋3×4＝0，解得a＝－2，命题p是命题q成立的充要条件．]2．（2017·深圳五校联考)已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为( )A．2 B．－2C．1 D．－1D[因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆（x＋1）2＋（y－3)2＝9,若圆（x＋1)2＋（y－3）2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称,则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3），所以－1＋3m ＋4＝0,解得m＝－1.]3．已知圆C1：（x－a）2＋(y＋2)2＝4与圆C2：（x＋b）2＋（y＋2）2＝1相外切，则ab的最大值为( ）A.错误!B。
错误!C.错误!D．2错误!C[两圆外切，则｜C1C2|＝r1＋r2＝2＋1＝3.∴（a＋b)2＋(－2＋2)2＝9，则（a＋b)2＝9。
全国通用2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何重点强化课4直线与圆课件文新人教A版
＋(y－2)2＝1 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－53或－35
B．－32或－23
C．－54或－45
D．－43或－34
(1)C (2)D [(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝ 0，
由x2＋x＋y＝y＝4，7， 解得yx＝＝13，， 则直线过定点(3,1)． (2)由已知，得点(－2，－3)关于 y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反 射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)． 设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y＋3＝k(x －2)，即 kx－y－2k－3＝0. 由反射光线与圆相切，则有 d＝|－3k－k22－＋21k－3|＝1， 解得 k＝－43或 k＝－34.]
重
重
点
点
一
第八章 平面解析几何
三
重点强化课(四) 直线与圆
重
重 点 二
点 强 化 训
练
[复习导读] 1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的 方程、直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜 率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及 直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考 查.3.另外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简 化运算．
2018高考数学(文)一轮复习课件：第八章 平面解析几何 第4讲 课件
【解析】
mx－y＋1－m＝0， (1)法一：由 2 消去 2 x ＋（y－1） ＝5，
y，
整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为 Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交． |m| 法二： 由题意知， 圆心(0， 1)到直线 l 的距离 d＝ <1< 5， 2 m ＋1 故直线 l 与圆相交． 法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1，1)，因为点(1，1) 在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交．
[通关练习] 1．已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外， 则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是( B ) A．相切 C．相离
l 2 l，则2 ＝
注意：常用几何法研究圆的弦长有关问题．
1.教材习题改编 直线 l：x＋ 3y－4＝0 与圆 C：x2＋y2＝4 的 位置关系是( C ) A．相交过圆心 C．相切 B．相交不过圆心 D．相离
|－4| [解析] 圆心坐标为(0，0)，圆心到直线 l 的距离 d＝ ＝2＝ 2 r，所以直线 l 与圆 C 相切．故选 C.
(2)由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，所 |1＋m－2－m| 2 以 <1 ，即 1 ＋ m >1， 2 1＋ m 所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系． (2)代数法：联立方程后利用 Δ 判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判 断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法， 点与圆的位置关系法适用于动 直线问题．
2018年高考数学理一轮复习课件 第八章 平面解析几何 第1讲 课件 精品
Ax ＋By＋C＝0 平面直角坐标系内 ____________ (A2＋B2≠0) ____________ 的直线都适用
1．辨明四个易误点 (1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都 有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． (2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围． (3)直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件，当截距为 0 时可用点斜式． (4)由一般式 Ax＋By＋C＝0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否 A 为 0，当 B＝0 时，k 不存在；当 B≠0 时，k＝－ . B
第八章
平面解析几何
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直 线的方程
1．直线的倾斜角
正向 与直线________ 向上 方向之间所成的角叫 (1)定义：x 轴________
做这条直线的倾斜角．当直线与 x 轴平行或重合时，规定它
0° ． 的倾斜角为_______
[0，π) (2)倾斜角的范围为____________ ．
3π 2y＋1－（－3） 2y＋4 [解析] tan ＝ ＝ ＝y＋2， 4 2 4－2 因此 y＋2＝－1，y＝－3.
3．(2017· 烟台模拟)如果 AC＜0，BC＜0，那么直线 Ax＋By ＋C＝0 不通过( C ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限
D．第四象限 A [解析] 由题意知直线的斜率 k＝－ ＜0，直线在 y 轴上的截 B
3．直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 适用范围 不含直线 x＝x1 不含垂直于 x 轴的直线
y－y1＝k(x－x1) 点斜式 斜率 k 与点(x1，y1) ______________
斜率 k 与直线在 y 轴上的截距 b
斜截式
y＝kx＋b ____________
2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 精品
[变式训练 1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有
且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0
B.2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0
D.x－2y－7＝0
(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线 l：x－ 3y＋6＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，
值是( )
A．－2 或 12
B.2 或－12
C．－2 或－12
D.2 或 12
D [由圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为 1，所以|3×1＋324＋×412－b|
＝1，解得 b＝2 或 12.]
4．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截 得的弦长为__________．
[易错与防范] 1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线 与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．
2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且 只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不 存在的情况，以防漏解．
∵圆 C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0 与直线 x－ 3y＋ 3－2＝0 相切， ∴圆心(－2,1)到直线 x－ 3y＋ 3－2＝0 的距离 d＝ 14＋3＝2＝r，4 分 ∴圆 C 的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.5 分
(2)若圆 C 上有两点 M，N 关于直线 x＋2y＝0 对称，则可设直线 MN 的方程为 2x－y＋c＝0.7 分
4π [圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 化为标准方程是 C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圆心 C(0，a)，半径 r＝ a2＋2.|AB|＝2 3，点 C 到直线 y＝x＋2a 即 x－y ＋2a＝0 的距离 d＝|0－a＋2 2a|，由勾股定理得2232＋|0－a＋2 2a|2＝a2＋2，解得 a2＝2，所以 r＝2，所以圆 C 的面积为 π×22＝4π.]
2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系学案文
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系 设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，设d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.d <r Δ>0 d ＝r Δ＝0 d >r Δ<01．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5< 6.且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．答案：B2．(必修②P132A 组第5题改编)直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|9＋1＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝4⎝⎛⎭⎪⎫5－52＝10，即|AB |＝10.答案：103．(2016·新课标全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以(|a |2)2＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2.所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.答案：4π知识点二 圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).d >r 1＋r 2 无解 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解4．(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2 2.则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．答案：B5．(必修②P133A 组第9题改编)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0得4x －4y ＋8＝0，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0热点一 直线与圆的位置关系【例1】 (1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．b ∈(－1,1] B ．b ＝－ 2C ．b ＝± 2D ．b ∈(－1,1]或b ＝－ 2【解析】 (1)方法1：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．方法2：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．(2)由x ＝1－y 2知，曲线表示半圆(如图)，让直线y ＝x ＋b 在图形中运动，可知当－1<b ≤1时，与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b |2＝1，求得b ＝2(舍去)或b ＝－ 2.【答案】 (1)A (2)D(2017·重庆沙区模拟)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．－4<m <2C ．m <1D ．－3<m <1解析：由直线与圆相交的充要条件，得|1＋m |2<2⇔－3<m <1，所以直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0<m <1，故选A.答案：A热点二 圆的切线、弦长问题 考向1 有关切线问题【例2】 过点P (1，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，求：(1)切线方程； (2)直线AB 的方程； (3)线段AB 的长度．【解】 (1)当切线的斜率存在时，设直线方程为y ＋3＝k (x －1)，即kx －y －k －3＝0， 由|4k －2－k －3|k 2＋1＝3，解得k ＝815. ∴切线方程为8x －15y －53＝0.当切线斜率不存在时，易知直线x ＝1也是圆的切线，∴所求切线方程为8x －15y －53＝0或x ＝1.(2)以PC 为直径的圆D 的方程为 (x －52)2＋(y ＋12)2＝172.∵圆C 与圆D 显然相交，∴直线AB 就是圆D 与圆C 公共弦所在直线．∴直线AB 方程为3x ＋5y －13＝0.(3)由S △PAC ＝12·3·5＝12·34·12|AB |，得|AB |＝153417.考向2 有关弦长问题【例3】 (2017·承德模拟)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2【解析】 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 【答案】 D(1)(2017·陕西宝鸡模拟)已知条件p ：k ＝3，条件q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切，则綈p 是綈q 的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·阜新模拟)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.解析：(1)若直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切，则有2k 2＋1＝1，解得k ＝±3，所以綈p 是綈q 的必要不充分条件，故选B.(2)因为(1－2)2＋(2)2＝3<4，所以点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，即直线l 交圆的弦长最短，此时圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l .因为2－01－2＝－2，所以所求直线l 的斜率k ＝22. 答案：(1)B (2)22热点三 圆与圆的位置关系【例4】 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B ．32 C.94D ．2 3【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.【答案】 C1．把例4条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解：由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，②由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程．2．将例4条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条切线，故两圆外离， 故a ＋b2＋－2＋2>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3. 又圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 两式相减得：2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：11．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．3．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].直线与圆的最值与范围问题【例】 (1)设点P 是函数y ＝－4－x －2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a－3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________．(2)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是______________．【解析】 (1)函数y ＝－4－x －2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆．令点Q的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x2－3，即x －2y －6＝0，如图所示．由于圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋－2＝5>2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.(2)因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径 1.所以|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1.由基本不等式mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋2 2.【答案】 (1)5－2 (2)[2＋22，＋∞) 解题策略：已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：如图，作OP ⊥AC 于点P ，OQ ⊥BD 于点Q ，则OP 2＋OQ 2＝OM 2＝3，于是AC 2＋BD 2＝4(4－OP 2)＋4(4－OQ 2)＝20.又AC 2＋BD 2≥2AC ·BD ，则AC ·BD ≤10，所以S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ≤12×10＝5，当且仅当AC ＝BD ＝10时等号成立．故四边形ABCD 面积的最大值为5.答案：A。
2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件 第八章 解析几何 第4讲
• 注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上． • (2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0) (x －a)(x－a)＋(y －b)(y－b)＝r 的切线方程为 ____________________________. • 3．圆的弦长的求法 • (1)几何方法 • 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长 的一半及半径构成的直角三角形来计算．
0 0 2
(2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式
1 1＋ 2|yA－yB| 2 k |AB|＝ 1＋k |xA－xB|＝____________________.
说明：运用圆的几何性质，求弦长或已知弦长求其他量的值时，采用几何方 法直观、简便． 知识点二 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种：相离、外切、相交、内切、内含，用来判断圆与 圆的位置关系的方法主要有两种：
圆与圆 的 位置关
(1) 能 根 据 给 定 直 线、圆的方程判 断直线与圆的位 置关系；能根据 给定两个圆的方 ★★★ 程 判 断 两 圆 的 位 ★★ 置关系． 5年5考 (2) 能 用 直 线 和 圆 的方程解决一些 简单的问题． (3) 初 步 了 解 用 代
知 识 梳 理
知识点一 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．用来判断直线与圆的位置 关系的方法主要有两种： (1)代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方
• 2．空间点的坐标 • 设点P(x，y，z)为空间坐标系中的一点，则 (－x，－y，－z) 点P (x，－y，－z) • (1)关于原点的对称点是 (－x，y，－z) __________________； (－x，－y，z) • (2)关于x轴的对称点是 __________________ (x，y，－z) ； • (3)关于y轴的对称点是__________________ ； • (4)关于z轴的对称点是__________________
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r
+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.
B.
C.2
)
D.
√
解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,
解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.
2018高考一轮数学(课件)第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
__________．
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(1)A
(2)x＋2y－5＝0
[(1)法一：∵圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝
|m| m2＋1
<1< 5. 故直线 l 与圆相交． 法二：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆 C：x2＋(y－1)2
A．2x＋y－5＝0
B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0
D．x－2y－7＝0
(2)已知直线 l：x－ 3y＋6＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分
别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|＝__________.
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2．圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
方法 几何法：圆心距 d 与 r1，代数法：联立两个圆的方程
位置关系 相离
高三一轮总复习
2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d＝ 42＋1＝
17. ∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]
2018版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系模拟演练文
2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·黄冈中学模拟]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－2≤ 2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 D解析 圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，∴圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 2(2,1)，半径r 2＝1.∴两圆心的距离d ＝－1－2＋－1－2＝13，r 1＋r 2＝3，∴d >r 1＋r 2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．3．[2017·湖北七市联考]将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切答案 B解析 依题意得，直线l 的方程是y ＝tan150°(x －1)＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．4．[2017·丽水模拟]若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x ＋2y ＝0截得的弦长为4，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5 D ．(x ＋5)2＋y 2＝5答案 B解析 设圆心为(a,0)(a <0 )，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d ＝|a ＋2×0|12＋22＝1，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为：(x ＋5)2＋y 2＝5.5．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7 B ．2 2 C ．3 D. 2答案 A解析 如图，在Rt △PAB 中，要使切线PB 最小，只需圆心与直线y ＝x ＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP |min ＝42＝22，故|BP |min＝22－12＝7.6．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案 2 2解析 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝－2＋－2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.7．[2017·太原模拟]圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________．答案 (x －1)2＋(y －2)2＝5解析 由于圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a >0)，又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d 等于圆的半径r .由a >0，得到d ＝2a ＋2a ＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号，所以圆心为(1,2)，半径r ＝5，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.8．已知直线l 过点(－4,0)且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为________________．答案 x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0解析 ①当斜率不存在时，l 的方程为x ＝－4. 圆心到l 的距离d ＝|－4－(－1)|＝3.此时弦长为252－32＝8. 符合题意．②当斜率存在时，设为k ，其方程为y ＝k (x ＋4)， 由题意，|AB |＝8， 故圆心到l 的距离d ＝3，即|3k －2|1＋k2＝3， 解得k ＝－512.此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0，综上，所求直线方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.9．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点M 的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 解 (1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r ＝2， 当过点M 的直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心(1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当过点M 的直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋－2＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过点M 的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋－2＝2，解得a ＝0或a ＝43. (3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 10．过平面内M 点的光线经x 轴反射后与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切于A ，B 两点． (1)若M 点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程； (2)若|AB |＝3144，求动点M 的轨迹方程．解 (1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则此直线方程可以设为y ＋1＝k (x －5)，即kx －y －5k －1＝0(*)．又反射光线与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切， 所以|－2－5k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝－1或－723，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x ＋y －4＝0或7x ＋23y －12＝0.(2)设动点M 的坐标为(x ，y )(y ≥0)，则反射光线所在直线必过点M 关于x 轴的对称点Q (x ，－y )，设动弦AB 的中点为P ，则|AP |＝3148，故|CP |＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫31482＝28.由射影定理|CP |·|CQ |＝|AC |2，得|CQ |＝228＝82，即x 2＋－y －2＝82，即x2＋(y ＋2)2＝128(y ≥0)．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·东莞模拟]已知点(4a,2b )(a >0，b >0)在圆C ：x 2＋y 2＝4和圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝4的公共弦上，则1a ＋2b的最小值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1答案 A解析 将两圆方程作差得x ＋y －2＝0，即为两圆的公共弦所在的直线方程，因为点(4a,2b )在两圆的公共弦上，故2a ＋b ＝1(a >0，b >0)．由基本不等式得1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝2＋4a b ＋b a ＋2≥4＋24＝8，当且仅当b a ＝4ab，即b ＝2a 时取等号．12.如图所示，直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＝4交于M ，N 两点，若满足C 2＝A 2＋B 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 A解析 原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|C |A 2＋B2＝1，又圆的半径为2，所以∠MON＝120°，所以OM →·ON →＝|OM →|·|ON →|cos ∠MON ＝2×2×cos120°＝－2.故选A.13．[2016·全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案 4解析 设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos30°＝4.14．[2015·全国卷Ⅰ]已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1， 解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.。
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[规律方法] 标．
1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐
2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的 求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．
[对点训练1] (2017· 福建龙岩二模)已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－ 2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为( A．7 C．11 B．9 D．16 )
于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点， 则△AOB面积的最小值为__________．
3
1 1 [由题意知A m，0 ，B 0，n ，圆的半径为2，且l与圆的相交弦长为2，则
圆心到弦所在直线的距离为 3. 1 1 2 2 ∴ 2 2＝ 3⇒m ＋n ＝3， m ＋n 1 1 1 1 1 S△AOB＝2 m n ＝ 2mn ≥ 2 2＝3，即三角形面积的最小值为3.] m ＋n
[规律方法]
ห้องสมุดไป่ตู้
1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题
几何化，利用数形结合思想解题． 2．(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂 直于l. (2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的 是过这点的直径． (3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d， l 及半弦长2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
重点3
☞角度1 圆的切线
直线与圆的综合问题
如图1，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A， B(B在A的上方)，且|AB|＝2. (1)圆C的标准方程为________________； (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为__________．
(1)(x－1)2＋(y－ 2 )2＝2 (2)－ 2 －1 [(1)由题意知点C的坐标为(1， 2 )， 圆的半径r＝ 2. 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2.
重 点 一
重点强化课(四)
直线与圆
重 点 三
重 点 二
重 点 强 化 训 练
[复习导读]
1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方
程、直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的 关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与 圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另 外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算．
[规律方法]
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，
求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用 到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中 垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
B [直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行， ∴2n＝m(n－1)， ∴m＋2n＝mn， 2 1 又m>0，n>0，得m＋n＝1.
2 1 2n 2 m ∴2m＋n＝(2m＋n)m＋n＝5＋ m ＋ n ≥5＋2
2n 2 m m ·n ＝9.
2n 2m 当且仅当 m ＝ n 时取等号． ∴2m＋n的最小值为9.]
(2)在(x－1)2＋(y－ 2)2＝2中， 令x＝0，解得y＝ 2± 1，故B(0， 2＋1)． 2＋1－ 2 直线BC的斜率为 ＝－1， 0－1 故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋ 2＋1. 令y＝0，解得x＝－ 2－1， 故所求截距为－ 2－1.]
☞角度2
直线与圆相交的弦长问题 (2017· 郑州质检)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交
(1)C (2)C [(1)由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对 称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即 点C(－2,2)． ∴过点C(－2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2， 整理得y2＋4x－4y＋8＝0.
(1)C (2)D [(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝ 0，
2x＋y＝7， 由 x＋y＝4， x＝3， 解得 y＝1，
则直线过定点(3,1)．
(2)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射 光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)． 设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－ 2)，即kx－y－2k－3＝0. |－3k－2－2k－3| 由反射光线与圆相切，则有d＝ ＝1， 2 k ＋1 4 3 解得k＝－3或k＝－4.]
重点2
圆的方程
)
(1)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称， 过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( A．y2－4x＋4y＋8＝0 C．y2＋4x－4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0 D．y2－2x－y－1＝0
(2)(2015· 全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点， 则|MN|＝( A．2 6 C．4 6 ) B．8 D．10
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， D＋3E＋F＋10＝0， 则4D＋2E＋F＋20＝0， D－7E＋F＋50＝0， D＝－2， 解得E＝4， F＝－20.
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋2 6或y＝－2－2 6， ∴M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)， ∴|MN|＝4 6.]
x y [对点训练2] (2017· 河北唐山二模)直线l： 4 ＋ 3 ＝1与x轴、y轴分别相交于点 A，B，O为坐标原点，则△OAB内切圆的方程为__________．
(x－1)2＋(y－1)2＝1 径为|m|.
[由题意，设△OAB的内切圆的圆心为M(m，m)，则半
x y 直线l的方程4＋3＝1可化为3x＋4y－12＝0， |3m＋4m－12| 由题意可得 ＝m，解得m＝1或m＝6(不符合题意，舍去)． 2 2 3 ＋4 ∴△OAB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
→· → ＝x x ＋y y ＝(1＋k2)x x ＋k(x ＋x )＋1 OM ON 1 2 1 2 1 2 1 2 4k1＋k ＝ ＋8. 1＋k2
4k1＋k 由题设可得 2 ＋8＝12，解得k＝1， 1＋k 所以直线l的方程为y＝x＋1. 故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2. 12分
重点1
( ) A．(1，－3) C．(3,1)
直线方程与两直线的位置关系
(1)(2017· 江西南昌模拟)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点
B．(4,3) D．(2,3)
(2)(2017· 济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋ (y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) 【导学号：66482389】
☞角度3
直线、圆与相关知识的交汇 (2015· 全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2
＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； →· → ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. (2)若OM ON
[解] (1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1. |2k－3＋1| 因为直线l与圆C交于两点，所以 2 <1， 1＋k 4－ 7 4＋ 7 解得 3 <k< 3 .
4－ 所以k的取值范围为 3
2分
7 4＋ 7 ， 3 .
5分
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0. 41＋k 7 所以x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2. 1＋k 1＋k 8分