浅谈构造法在解三角题中的应用

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构造法在三角函数中应用

构造法在三角函数中应用构造法是一种通过构造图形、几何等方式解决问题的数学方法。

在三角函数中，构造法有着广泛的应用。

本文将探讨几个例子来展示构造法在三角函数中的应用。

例一：三平方恒等式三平方恒等式是指在直角三角形中，直角边的宽度与两个直角边的平方之和是相等的。

构造法可以用来解释三平方恒等式。

假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。

我们可以利用构造法来证明a^2+b^2=c^2首先，我们假设有一个正方形，其中每边的长度都是c。

然后，在正方形的内部构造一个直角三角形，直角边的宽度为a，另一个直角边的宽度为b。

通过构造法，我们可以发现，直角三角形与正方形共同形成了一个更大的正方形。

这个新的正方形的边长为a+b，而其面积是c^2、另一方面，这个新的正方形也可看作是由四个直角三角形构成，它们与原始的直角三角形完全一样。

因此，新的正方形的面积可以用这四个直角三角形的面积之和来表示。

根据直角三角形的面积计算公式S=1/2*底*高，我们可以得到：c^2 = 4 * (1/2 * a * b) = 2ab另一方面，我们知道，新的正方形的边长为a+b。

因此，它的面积可以通过边长的平方来表示：c^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2将两个等式相等，我们可以得到a^2+b^2=c^2，即三平方恒等式。

例二：三角函数和单位圆在三角函数中，单位圆是非常重要的。

单位圆是一个半径为1的圆，在圆心处有一个角度为0的点，以及该点开始沿着圆周方向逆时针旋转的角度。

当我们沿着单位圆逆时针旋转一个角度时，对应的圆周的点的坐标可以通过三角函数来表示。

例如，当旋转角度为θ时，点的坐标为(c osθ, sinθ)。

这可以通过构造法来证明。

我们可以将单位圆与坐标轴相交的点相连，构造一个直角三角形。

假设旋转的角度为θ，θ所对应的直角三角形的两个直角边的宽度分别为cosθ和sinθ。

根据直角三角形的定义，我们可以通过cosθ和sinθ计算出旋转角度为θ时，对应的圆周的点的坐标。

构造法在高中数学解题中的应用方法

构造法在高中数学解题中的应用方法一、引言高中数学是学生的重要学科之一，也是学生学习数理知识的基础。

在高中数学学习中，构造法是一种重要的解题方法，它可以帮助学生解决许多数学问题。

构造法是通过构造一些特定的对象或图形，从而找到问题的解决方法。

在高中数学解题中，构造法的应用方法非常丰富，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。

本文将介绍构造法在高中数学解题中的应用方法，以及一些常见的例题解析。

1. 定义法在解决高中数学问题中，构造法的一个重要应用方法是定性定义法。

通过定义一些特定的概念或对象，可以帮助学生更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。

在解决平面几何问题时，可以通过定义某些特定的角度、线段或图形来简化问题，从而更容易找到解决方法。

2. 图形构造法3. 数学模型构造法4. 逻辑推理构造法5. 等价转化构造法三、构造法在高中数学解题中的实例分析1. 例题一已知正方体的一条对角线长为a，求其表面积和体积。

解析：通过构造正方体的一个侧面，可以将问题转化为求正方体的一个侧面的面积和一个侧面的体积。

然后通过等价转化构造法，可以将问题转化为求正方体的一个侧面的面积和一个侧面的体积。

然后通过数学模型构造法，可以构造一个函数模型，通过求导数的方法，可以求出正方体的一个侧面的面积和一个侧面的体积。

最后通过逻辑推理构造法，可以得出正方体的表面积和体积的表达式。

已知直角三角形ABC，AB=3，BC=4，求AC的长度。

解析：通过构造直角三角形ABC的三条边，可以得到等边三角形ABC。

然后通过图形构造法，可以求得等边三角形ABC的高和底边，并得到等边三角形ABC。

通过等价转化构造法，可以将问题转化为求等边三角形ABC的高和底边。

然后通过逻辑推理构造法，可以得出等边三角形ABC的高和底边的表达式。

最后通过数学模型构造法，可以构造一个函数模型，通过求导数的方法，可以求出等边三角形ABC的高和底边的值，从而求得AC的长度。

四、总结在学习高中数学过程中，学校应该更加重视构造法的教学，培养学生的数学思维和解题能力，提高他们解决数学问题的效率和准确性。

构造法在三角证明中的应用

例３如图,在 △ABC 中,∠C ＝９０°,AD 平分 ∠BAC,
分析:取 BD 中点 P,连 PM ,PN ,由三角形三边关系可得. 五、构造全等三角形、相似三角形
全等三角形有轴对称形、中心对称形、旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个相等角关于某一直线成轴对称就可以添加对称轴构造全等三角形.当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连接或过两端点添平行线.
相似三角形有平行线型,相交线型,旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为１),可添加平行线得平行线型相似三角形.
人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的, 当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系, 使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略. 当然,在具体问题中还要具体分析.数学是死的,也是活的. 如果它的模型掌握了 ,便可以不变应万变 .
等腰三角形主要的性质:等边对等角,等角对等边,三线合一
构造等腰三角形的 “四个方法 ”: １．“角平分线＋平行线”构造等腰三角形;２．“角平分线＋垂线”构造等腰三角形;３．应用 “垂直平分线”构造等腰三角形 ;４．用 “三角形中角的２倍关系 ”构造等腰三角形 . 例１如图,AB ＝AC,∠BAC ＝９０°,∠１＝ ∠２,CE ⊥ BE,求证:BD ＝２CE.

简述三角变换与构造法在三角问题中的应用

１通过构造函数、构造图形等途径来解三角问题侈已知０ｃｓ１２ｏｏ０１１ｏ＋ａｅｓ２＋… ＋口ｅｓＬＬｏｏ＝０ａｃ（ｌ１＋２ｏ（＋） … ＋ｓｃ１＝，Ｉｓ￣＋）ｎｃｓｏ１＋ｏｃ（ｏ￣＋）０，
２１００生
咖）（ｎ）＋，
６＋一）ｃｂ＋ｙＣ Ⅱ ＋０＝，（ｂ＋（ｘ口 — ）一（６一）０
即
２ｂｘ＋Ⅱ ｃ一ｂ一Ｃ＝０．
ｂ＋Ｃ２—０２
— 一
于（ｇ）ａ订詈：是：ｔ＝（＋）（ｔ２詈ｎｔ＝，ａ孚ｎ詈
ａＣＳ２）＋… ＋Ｏ（／＋Ｂ０２Ｏ（＋０ＣＳＯＪ）＝．
于是
ｓ（０＋ｉ３。）＝１ｎ．
３０。＋＝９．０。
证明构造函（）数，＝∑ ｃ（卢，∈ ｏＯ＋）ｓ／
Ｒ，得
因此
又由是锐角，得
（）２＋一２・ｃｓ９。）＝．２ｏ（０一４
据此构造图形，作共边可ＡＡＤ与 △ＢＤ（图１所Ｃｃ如
示）使Ａ，Ｃ＝、２Ｃ，／，Ｄ＝／１
ＢＣ＝２，ＺＡＣＤ＝，日ＣＤ＝．
９０。一．
因此＝６。０．
＿０１０厂）＝）＝，（
２运用三角公式代换。套用三角公式解决问题三角公式在表达上具有各种不同的特点．这些
ｆ３：ｏｅＯ一ｉｎ］（） ∑ Ｏ￣／［Ｓｓａｉ＝ｎｓ＃

浅谈构造法在解题中的应用

摘要构造法作为数学解题中的一种重要的思想方法，它是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识与解决原问题的一种方法.构造法的内涵十分丰富并且没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊的实际问题为基础，针对一些数学问题的特点而采用相应的解决办法.合理运用构造法不仅可以提高解题效率，而且也能够发展学生的思维能力和创新意识.鉴于此，本文的重点主要体现在构造法在解题中的应用.具体来说，本文主要基于构造法的理论简介，探讨它在不等式、函数、以及其他特例中等问题的相关应用.关键词:构造法，解题，应用Analysis to application of structured method insolving problemsAbstractStructured method as an important method of thinking in mathematics problem solving, it is based on the special question condition and conclusion, constructs some new mathematical forms, and with the help of a method to recognize and solve the original problem. The content of structured method is very rich and has no completely fixed models to be applied to practical problems, It is based on a wide range of practical problems of universality and particularity, for some of the features of mathematical problems and solutions using the corresponding method. Proper and rational use of the structured method can not only improve the efficiency of solving the problems, but also develop the students' t thinking ability and sense of innovation. In view of this, the focus of this paper is mainly reflected in construction method in solving the problem. Specifically, This paper is mainly based on the theory of structured method, explores it in the inequality, function, and other special medium problems in related practical applications.Keywords: structured method, problem solving, application目录一、引言 (1)二、构造法的理论简介 (1)（一）构造法 (1)（二）构造法的历史过程 (2)1.构造法与构造主义 (2)2.直觉数学阶段 (2)3.算法数学阶段 (2)4.现代构造数学阶段 (3)（三）构造法的特征 (3)三、构造法在解题中的应用 (3)（一）构造法在不等式中的应用 (3)1.构造函数 (4)2.构造向量 (5)3.构造数列 (5)4.构造几何模型 (6)（二）构造法在函数中应用 (7)1.构造函数 (7)2.构造方程 (8)3.构造复数 (10)4.构造级数 (10)5.构造辅助命题 (11)（三）构造法在其他特例中的应用 (12)1.构造新的数学命题 (12)2.构造递推关系 (13)3.构造反例 (14)4.构造实际模型 (14)四、结束语 (15)参考文献 (16)致谢 (16)一、引言数学的学习过程离不开解题，美国数学家哈尔莫斯也曾说过“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏”.一个好的问题解决方式往往有多种.而数学思维方法是解数学题的灵魂，构造法作为一种传统的数学思想方法，在数学产生时就存在.历史上有不少数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾用构造法解决过数学上的很多问题.数学蕴含着丰富的美，构造法则起到了锦上添花的作用.近几年来，构造法在中学数学中也有了很高的地位.利用造法解题需要有扎实的基础知识、较强的观察能力、创造思维和综合运用能力等.构造法反映了数学发现的创造性思维特点，我们所学的“构造”并不是“胡思乱想”，不是随便“编造”出来的，而是以我们所掌握的知识为背景，以具备扎实的能力为基础，通过仔细观察，认真分析去发现问题的每一个环节以及它们的联系，进而为寻求解题方法创造条件.在运用构造法解题的步骤中，不仅可以巩固学生的基本知识，还能培养学生观察、分析、联想、猜测等数学能力，激发学生的创造性思维.所以在数学教学中，应注重对学生在日常训练中运用构造法解题，使学生体会数学知识间的内在联系和相互转化，能创造性的构造数学模型，巧妙的解决问题，从而获得学习的轻松感和愉悦感，培养与增强了学生学习数学的积极性，提高他们的解题能力.构造法作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用.本文从构造函数、构造方程等常见构造及特殊构造出发，浅谈构造法在数学解题中的应用.二、构造法的理论简介（一）构造法构造法是数学中的一种基本方法，它是指当某些数学问题使用通常办法或按定势思维去解决很难奏效时，根据问题的条件和结论特征，从新的角度，新的观点观察、分析、解释对象，抓住反映问题的条件和结论之间的内在联系，把握问题的数量、结构等关系的特征，构造出满足条件或结论的新的对象，或构造出一种新的问题形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象（或问题形式）中清楚地展现出来，从而借助该数学对象（或问题形式）简捷的解决问题的方法.构造法是解决各类数学题常用而且重要的方法之一，它在解决不同题目时的思考方式灵活多样,构造的形式也不尽相同，如何系统的理解和掌握构造及其构造的思路对数学学习就显得十分必要和重要.本文结合数学实际阐述了构造法在数学解题中的重要性和必要性.我们在解题过程中出于某种需要，要么把题设条件中的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型上得以展现，要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题得以解决.在这种思维过程中，对已有的知识和方法采取分解、组合、变换、类比限定、推广等手段进行思维的再创造，构造新的式子或图形来帮助解题.所谓“构造法”即是在解题中利用已知条件和数学知识所具备的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决.总之用构造法解题的关键就是搞清对什么进行构造，构造成什么，以及如何构造的问题.（二）构造法的历史过程1.构造法与构造主义从数学产生的那天起，数学中构造性的方法也就伴随着产生了.但是构造性方法这个术语的提出，直接把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，与数学基础的直觉派是密切相关的.直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出了一个著名的口号：“存在必须是被构造的”.这就是构造主义.2.直觉数学阶段直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性.他认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论,并且批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”.3.算法数学阶段“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论所引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除，只限于研究那些可以能行的定义或构造的对象”，这就是布劳威创立直觉数学的想法.由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”的阶段.4.现代构造数学阶段1967年比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段.他通过重建现代分析的一个重要组成部分，重新激发了构造法的活力.实际上，构造法在古代数学的建立与发展中也起着重要的作用.以西方的《几何原本》和中国的《九章算术》为例，尽管两者在逻辑推理方式上迥异，但在运用构造性方法方面却有着一些共同之处.我国古代数学所采用的构造方法，注重问题解决的能行性，数学家吴文俊曾指出，《九章算术》中的开方术经过一千多年发展到宋代的增开方与正负开方术的求方程根的数值解法是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就.由此可知，在数学发展之初，大量的直观经验需要加以总结和提高，构造方法此时就体现出极强的应用价值，所以在中西方古代数学中产生了深远的影响.（三）构造法的特征一般来说，构造法具有如下两个基本特征：1．对所讨论的对象能有较为直观的描述.2．不仅能判明某种数学结论的存在，而且能够实现运演操作并求出表述的结果，利用构造法证明某个问题，具有简捷易懂，说服力强的特点.当我们遇到复杂的问题或实际问题而无从下手解决时，如果我们恰到好处的构造出一个数学模型来，便会有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.三、构造法在解题中的应用理解和掌握构造思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃，构造法的前提和基础是熟悉相关的概念，很多数学问题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用构造思想，能使解答别具一格，耐人寻味. （一）构造法在不等式中的应用不等式是研究数的性质、方程函数等的重要工具之一，在函数的单调性和极值问题中，不等式的应用非常重要.但在不等式的证明中，掌握有一定的难度，而构造法是一种极具创造性的解题方法,体现了各种数学解题方法.下面谈谈怎么用构造法解决在不等式中的相关应用.函数是数学知识的中心之一，方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，因此方程和不等式都是函数的特殊表现形式.利用函数的性质来解决不等式问题也是一种行之有效的办法.例1.已知R e d c b a ∈,,,,,且满8a b c d e ++++=,2222216a b c d e ++++=,试确定e 的最大值.（美国第七届中学数学竞赛题）分析：根据222228,16a b c d e a b c d e +++=-+++=-这两个式子构造以d c b a ,,,为系数的二次函数作为辅助工具手段，从中转化出e 的不等式.解：由于222228,16a b c d e a b c d e +++=-+++=-,构造二次函数：()()()2222242f x x a b c d x a b c d =++++++++()()()()2222x a x b x c x d =+++++++0≥. 由已知条件得：()()22481616e e -≤-, 解得：1605e ≤≤当d c b a ===时，有=max e 165. 例2.已知(),,1,1a b c ∈-，求证2abc a b c +>++. 分析：因为()()()212abc a b c bc a b c +-++=-+--,所以构造一次函数y kx b =+的形式，根据k 的正负来判断函数的单调性.解：∵()()212abc a b c bc a b c +-++=-+--,∴可构造函数()()(1)2,1,1f x bc x b c x =-+--∈-,∵(),1,1b c ∈- 所以1<bc 即01<-bc ,∴ ()f x 在R 上是单调减函数,∵()1,1a ∈-,∴()()()()11110f a f b c bc b c >=--+=-->,即()120bc a b c -+-->.平面向量是数学教学中非常重要的教学工具，它不仅反应数量关系，而且体现位置关系，所以充分利用向量模型可以解决、几何及三角等数学问题，实现数形之间的转化，其解题思路简单，尤其是对几何问题，效果更显著.例3.已知1,0,=+>b a b a ,≤分析：观察此题的结构，左边是和的形式，右边是常数，对左边的式子稍加变形就能表示出两个向量的坐标,然后计算出两个向量的模，再结合数量积和模的关系就构造了一个不等式，从而结论得证.证明：设()1,1=m ,()12,12++=b a n 则有,1212+++=⋅b a n m , 与2=m ,21212=+++=b a n , 因为n m n m ≤⋅,所以≤解后反思：本例通过构造二维向量，利用向量数量积的定义及性质来求最大值，大大降低了本题求最大值的难度，在求最值中，巧妙构造适当的向量，会收到直观明快，出奇制胜的效果，同时也体现了向量解决问题的优越性.例4.已知a ,b ,c 均为正数,求函数y =值.解：构造向量()a x ,=α , ()b x c ,-=β ,原函数为：()()22b a x c x y ++-+≥+=βα ()22b a c ++=,即y 3.构造数列数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法出现在数学解题中，在解决诸多数学问题尤其是在不等式证明中，通常可以构造一个数列，利用数列的性质和求和运算来解题，很有使用价值.例5.()2112n ⋅⋅⋅++.证明：()2112n x n =⋅⋅⋅++,,,2,1 =n()()221112122n n x x n n +-=+++ ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=2321n n n 04932322<++-++=n n n n ， 1n n x x +∴<),2,1( =n 即{n x }是递减数列,于是n x 120x <=<,()2112n ⋅⋅⋅++. 此题的巧妙之处在于恰当的构造了一个辅助数列{n x }，而利用数列自身的性质，将难于证明的问题变易，使问题迎刃而解.例6.求不超过8的最大整数.分析：如果把8展开去计算，计算量比较大且相当麻烦，想到是的共轭根式，而0<<1,我们先去计算8+8 问题就简化多了.解：x y 则y x +=222,16xy x y =+=, ()28844442x y x y x y +=+-()[]442222222y x y x y x --+=()2256832=--61472=.即8+8=61472.因为0<8<1,所以不超过8的最大整数为61471.本例题通过对偶思想，构造对偶数列8，使问题得到巧妙解决. 4.构造几何模型如果原问题的已知条件，数量关系有比较明显的几何意义或者是以某一种形式可以和几何图形建立联系，那么我们就可以把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式.例7.m >，()0m n >>.分析：由隐含条件可知0m n >>和22m n -的形式考虑到可以构造一个直角三角形ABC ，如图所示使AB m =，BC n =，90C ︒∠=，显然AC =， 0m n >> ，2mn n >，222mn n >,222mn n n ∴->n >; n m >>.数形结合是针对具体问题的特点而构造出的几何模型，是借用一类问题的性质，来研究一类问题的思维方法，是丰富学生联想，拓展学生思维，培养学生创造意识和创造思维的手段之一.数形结合有助于找到解答思路，也常使解答简捷，是一种很常用的解题法，一些不等式问题若能发现其几何意义，合理巧妙地构造图形，则可达到事半功倍的效果.（二）构造法在函数中应用构造函数需牢固掌握各类初等函数的性质.构造函数的过程要求我们敏锐地观察、正确地判断、合理地选择适当的函数，并准确运用函数的性质.有些数学问题本质上就是将其中某些变化的量建立起联系来构造函数，再利用函数性质就能解决，其基本思想就是将数学问题转化为函数问题来解答，它的用途非常广泛，常见的有不等式的证明、解方程、做辅助函数等，下面谈谈如何用构造法解决在函数中的应用.1.构造函数例8.(一般形式的中值定理)设f 和g 是闭区间[]b a ,上的两个连续函数,在开区间()b a ,内都可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得()()[]()()()[]()ξξf a g b g g a f b f '-='-.分析:将结果中的ξ换成变量x ,可得()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f '-='-,作恒等变换()()[]()()()[]()0='--'-x f a g b g x g a f b f , 则 ()()[]()()()[]()()0='---x f a g b g x g a f b f ,积分得()()[]()()()[]()C x f a g b g x g a f b f =---,作辅助函数()()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f x F ---=.BC A证明: 作辅助函数:()()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f x F ---=,显然()x F 在闭区间[]b a ,上满足Rolle 理的条件,故在()b a ,内至少存在一点ξ,使得()0='ξF 即()()[]()()()[]()ξξf a g b g g a f b f '-='-.从一般形式的中值定理的证明看出:微分中值类问题中的证明,关键是构造一个辅助函数,构造方法一般从结论出发,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,具体的构造方法如下:将欲证结论中的ξ换成x ,然后等式两端积分,再将积分结果移项,使等式一端为常数,则等式的另一端即为所求的辅助函数. 2.构造方程方程是数学解题的一个重要工具，对于很多数学问题，根据其已知条件，数量关系构造出与结论相关的函数方程，在已知与未知之间搭起桥梁，通过对辅助方程及方程的性质（比如求根、找根与系数的关系、找判别式等）的研究，来解决原问题，使解答简捷、合理.例9. 设R y x ∈,且322=++y xy x ，求22y xy x +-的最值.分析：观察已知条件所给的两个代数式的结构特点，设22x xy y k -+=,则易得到22x y +与22x y 的等式.联想到将22,x y 看作是某一个方程的两个根，则代数式的最值问题转化为方程是否有解的问题，问题就容易解决多了.解：由已知322=++y xy x ，并设22x xy y k -+=,可得2232k x y ++= , 222694k k x y -+= 所以22,x y 是关于t 所构造函数方程22369024k k k t t +-+-+=的两个根, 2236902k k k +⎛⎫∴∆=--+≥ ⎪⎝⎭或21090k k -+≤. 19k ∴≤≤当y x ==1时，221x xy y -+=；当3,3x y ==时,22y xy x +-=9.综上可知22y xy x +-的最小值为1,最大值为9. 例10.设242210,210a a b b +-=--=且210,0ab a -≠≠.求2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.分析：通过仔细观察，可将2210,0a a a +-=≠变为211210a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再由 ()222210b b --= 发现21,b a可看作是2210x x --=的两个根，同时2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭等价为2000221b b a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭构造函数方程使问题变得简单.解：将2210,a a +-=变形为211210a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0a ≠ ,()222210b b --=,∴21,b a是2210x x --=的两个根, 即212b a+=，211b a =-.所以2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()200020002211211b b aa ⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭.例11.锐角,,αβγ满足222sin sin sin 12sinsinsin222222αβγαβγ++=-,求证αβγπ++=.证明：已知条件可视为关于sin2α的一元二次方程，由题意可得222sin 2sin sin sin sin sin 10222222αβγαβγ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由2222224sin sin 4sin sin 14cos cos 222222βγβγβγ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭, 因为,,αβγ为锐角，即,,222αβγ也均为锐角，由一元二次求根公式得sinsinsincoscoscos 2222222αβγβγβγ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭, 又022απ<< ，则sin02α>，再由022βγπ<+<，则有2222aβγπ+=-，故αβγπ++=. 3.构造复数复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题可以转化为复数问题，虽然数的结构会变得复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔天空”.复数内容的增加使学生更加全面的认识数的概念，也把学生的思维打开，而不是局限于实数那个狭小的范围内.例12.求函数y =.分析：可以看作是2x i +的模,可以看作是()13x i -++的模,然后利用复数模的性质求解.解：设()12122,1315z x i z x i z z i =+=-++⇒+=+, 因为1212z z z z +≥+,≥=当 1z ,2z 同向时，即12x x-=时 ,25x =.综上可知y .4.构造级数级数与函数、数列、导数等诸多知识密切的联系在一起，根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个级数，然后依据理论，使问题在新的关系下得到转化而获解.下面就是一个构造级数的例子.例 13.设{}n x 的定义如下：()()12121,,,3,42n n n x a x b x x x n --===+=⋅⋅⋅ 求lim n n x →∞.解析：构造级数11()k k k x x ∞-=-∑ 设00x = 具体的写出{}1k k x x --如下：()02112x x b a b a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭,()()()13221221111222x x x x x x x b a ⎛⎫-=+-=--=-- ⎪⎝⎭,()()()24332332111222x x x x x x x b a ⎛⎫-=+-=--=-- ⎪⎝⎭,……,()2112k k k x x b a --⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,……,因此lim n n x →∞=11()k k k x x ∞-=-∑()()2211223k k b a a a b -∞=⎛⎫=--+=+ ⎪⎝⎭∑. 本题中的级数11()k k k x x ∞-=-∑就是构造的级数，它通过合适的构造，使原问题变得更加简单易求. 5.构造辅助命题在解决某些数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么我们不妨构造一个辅助命题作为依据，只要证明了这个命题是真命题，原命题就迎刃而解.这种解决数学问题的方法，称为构造辅助命题.例14.解方程53232+=--x x x . （1）分析：直接去原方程的绝对值符号得53232+=--x x x . （2）如果方程（1）与（2）同解，问题就容易解决.但在初等数学中没有定理可用来解决直接判定这两个方程是否同解.注意到方程（1）的定义域为R ,而对于任何R x ∈恒有()()03532322>+=++--x x x x ，于是可构造辅助命题：设方程()()x x f ϕ=. （3）的定义域为A ,如果对于任何A x ∈，恒有()()0>+x g x f ，那么方程（3）与方程()()x x f ϕ=. （4）同解.证明：先证（3）的解是（4）的解. 设1x 是（3）的任一解，则()()11x x f ϕ=，两边平方得()()[]()()[]01111=+⋅-x x f x x f ϕϕ;()()11x x f ϕ=∴.再证（4）的解必是（3）的解.设2x 是（4）的任一解，则()()22x x f ϕ=，上式可改写为()()22x x f ϕ=，这表明2x 是方程（3）的解，命题得证. 根据上述辅助命题，解例题方程（1）只需解方程（2); 解得：1-=x 或7=x .下列方程也可根据这个辅助命题求解： (1).;311x x x -=-++ (2).x x x -=-+7322.（三）构造法在其他特例中的应用综合上面，我们所列举构造法的一些应用，其实构造法的应用不仅仅这些，还有其他的,下面我们列举一些其他的构造法，可以让我们更进一步去研究构造法的应用. 1.构造新的数学命题当一些问题直接证明（或求解）较困难时，可以寻找与之等价（或接近）的较易证明的另一问题，比如构造原命题的逆否命题、构造矛盾命题等.例15.求证在自然数集中，存在()N n n ∈+,12个连续的自然数，使得前1+n 个自然数的平方和等于后n 个数的平方和.分析：这是一个证明存在性的问题，直接证明不易入手，但可以从题目的“连续”和“12+n ”的条件发现这12+n 个数中，中间的那个数（即第1+n 个数）是关键.不妨设这个数为m ，则第一个数为n m -，第12+n 个数为n m +，这样就把问题转化为：求以m 为未知数的方程，()()21221∑∑==+=+-nk nk k m m k m 的自然数解，此方程不难求解，移项得()()[]02122=++--∑=m k m k m n k ,化简得 ()0122=+-m n n m ,解得 0=m （舍去），()()N n n n m ∈+=,12.即存在第一个数为()12+n n ，第1+n 个数为()122+n n ，最后一个数为()32+n n 的12+n 个连续自然数，符合题目所求.2.构造递推关系根据函数方程和递推关系之间的联系，根据已知条件和各种定理以及相应的运算法则，构造一个递推关系，能产生意想不到的效果.例16.设12,x x 是方程2310x x ++=的两个根，试求7712x x +的值. 分析：令()12()n n f n x x n N =+∈ ，由12123,1x x x x +=-=()13f =-, ()27f =, ()2f n +=2212n n x x +++()()()1112121212n n n n x x x x x x x x ++=++-+()31()f n f n =-+-重复迭代就可以任意算出()f n 的值，这里()13f =-,()27f =,()318f =-,()447f =; ()5123f =-,()6322f =, ()7843f =-,所以7712x x +=-843.例17.用1,2两个数字写成n 位数，其中任意相邻的两位不全为1，记n 位数的个数为()n f ，求()10f .解:把满足条件的n 位数分成两类:第一类以1开头的数，其第二位数必是2,因此划去这两个数字共有()2-n f ;第二类以2开头，则第二位可以是1，也可以是2,划去第一位数字2，共有()1+n f 个数.所以()()()21-+-=n f n f n f . 因为()21=f ,()32=f ,所以()53=f ,()84=f ,()135=f ,()216=f ,()347=f ; ()558=f ,()899=f ,()14410=f . 即10位数共有144个. 3.构造反例为了说明一个问题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例，这个过程叫做构造反例.选择特殊值，极端的情形，常常都是构造反例，反例是用已知为真的事实去揭露另一个判断的虚假性.例18.若命题x ,y 为无理数，则“y x ”也为无理数是否成立? 如果从正面回答这个问题有点难度，因此构造范例如下：解：（12==y x ,（2,有2yx ===⎪⎭.论它是有理数还是无理数，都给这个命题提供了反例，避免了从正面去证明这个命题. 4.构造实际模型数学源于生活而又应用于生活，当遇到抽象问题时，一时难以下笔，则可以考虑从实际生活中找原型，并将数学问题放到实际生活情境中去研究，巧妙地构造出新的数学模型，化抽象为具体，化复杂为简单，从而使问题求解带来意想不到的结果.构造模型就是换一种问题语境，其目的在于，为抽象的数学形式寻求某种具体背景，以便于通过直观的意义来解决问题.例19.求方程10=+++w z y x 有多少组正整数解?分析:这是一个不定方程问题,若用代数法进行讨论非常繁琐,若通过构造法将其转化为组合问题,则此题很容易得到解答.即构造10个相同的小球,放在4个盒子中,则每个盒子不空的总的放法即为方程解的组数.其又相当于将10个小球排成一排放在两条竖线之间,则球与球之间构成9个空位,在9个空位间划3条竖线,将每两条竖线间的小球依次装人4个盒子中,共有3C =84种装法,所以原方程有84组正整数解.9可见,通过构造模型可使抽象的数学问题具体化,形象化,从而使问题易于解答.构造法是数学中主要的解题方法之一，具有扎实的基本理论、基本运算的功底，是综合的分析解决问题的基础.同时多方位地、多角度的构造辅助问题，有机的将科学知识融汇贯通，提高解决问题的能力.构造法的应用还有很多，需要针对不同的数学问题采用其相应的构造方法，这里不能一一枚举，但通过以上几例可见，构造法在解题应用中不但具有把问题由繁化简，由难化易，由抽象化具体的转化功能，而且还具有保证解答正确的“保险”功能，因此构造法是解决数学问题应用甚广的一种方法.在解决数学问题中若能巧妙恰当地运用构造法，则可以达到事半功倍的效果.四、结束语笔者在形成论文的过程中，参考了大量的文献资料,对构造法在解题中的应用有了更深层次的理解和认识.在此系统的介绍了构造法的理论简介以及在不同类型题中的相关应用，使我们更进一步的了解构造法的有关知识，为更好的运用打下坚实的基础.同时，从本文的例子可以看出，构造法在解题中有意想不到的功效，它能使问题得到很快解决.但它也不拘一格，我们应具体问题具体分析，多种构造法要学会灵活运用.构造法的核心是根据题设条件，结论特征恰当构造一种新的数学对象.它在许多问题的解决过程中显示出令人瞩目的特殊作用，往往能化繁为简，化难为易，得到简捷明快，出奇制胜的效果，它已成为解决数学问题的重要方法.用构造法解决问题正是学习者主动建构知识的过程，在这个过程中，对自己已有的知识经验进行调整，整合或者重新组合，从而构造出新的数学对象，这样新旧知识发生冲突，从而引发认知结构的重组，构成新的认知结构，培养人们分析问题时的创新能力.同时提高我们作为学习者的学习、研究的能力，为将来成为优秀的数学教师打好基础、做好准备.参考文献[1] 高桐乐,数学解题中的基本模型构造.第二版1989 ,（11）.[2] 杜军涛,巧妙构造解题.考试周刊.2012年第31期.[3] Singh R,Green JH.The relation between career decisionmaking strategies and person-job fit:A study of job changers. Journal of Vocational Behavior,2004,64(1):198～221.[4] 王梅杰,构造法在解决数学问题中的应用法[J].教育科学2011,（12）.[5] 梁法驯,数学解题方法[M].华中理工大学出版杜,2000.[6] 张同君,陈传理,竞赛数学解题研究[M].高等教育出版社, 2005.11.[7] 郑兴明,构造向量巧解垂直问题.中学语数外（高中版），2003.[8] Judith A.McLaughlin.Understanding Statistics in theBehavioral Sciences.Wads worth Group,2002:320～321.[9] 宋波,例析构造数列解题.福建中学数学.2012年第7期.[10] 杨麦秀,构造法在数学分析中的应用.太原师范专科学校学报2001.[11] 戴再平,数学方法与解题研究[M].高教出版社.[12] 王子兴,数学教学论[M].广西师范大学出版社，1992.1.[13] 侯敏义,数学思维数学方法论.东北师范大学出版社.1991.[14] 陈自强,数学解题思维方法引导[M].中南工业大学出版社.1995.6.。

浅议构造法在数学中的作用

浅议构造法在数学中的作用1. 引言1.1 构造法的定义构造法是数学中一种重要的解题方法，它是通过构造出具体的对象或者结构来解决问题的方法。

在数学中，构造法通常包括直接构造出所需对象、通过归纳法逐步构造出解、通过反证法推导出矛盾等方式。

构造法的基本思想是通过建立数学对象之间的关系，从而达到解决问题的目的。

通过构造法，我们可以更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方案。

构造法在数学中具有广泛的应用，涉及代数、几何、组合数学、数论、概率论等多个领域。

构造法的核心是通过建立有效的构造方法和技巧，解决一系列复杂的数学问题。

通过构造法，我们可以深入理解数学的内在规律，提高解决问题的效率和准确性。

构造法在数学领域中具有重要的地位和作用，对于推动数学的发展和教育具有积极的意义。

1.2 构造法在数学中的重要性构造法在数学中起着至关重要的作用。

它不仅是数学研究中常用的方法，也是数学教学中的重要内容。

构造法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，促进数学领域的发展。

构造法在数学中的重要性体现在它对解决问题的作用上。

通过构造法，我们可以借助具体的步骤和方法找到问题的解决方案，为数学理论的发展提供实际的指导。

构造法不仅可以用于证明定理和命题，还可以用于解决实际问题，推动数学领域的研究进展。

构造法在数学教育中的重要性也不可忽视。

通过教授构造法，可以帮助学生培养逻辑思维和创造性思维能力，提高他们解决问题的能力和数学素养。

构造法可以激发学生对数学的兴趣，让他们更好地理解和掌握数学知识，为将来深入研究数学打下坚实的基础。

2. 正文2.1 构造法在代数中的应用构造法在代数中的应用是一种重要的数学方法，通过构造法，我们可以更好地理解和解决代数问题。

在代数中，构造法常常被用于证明存在性和唯一性问题，以及构造出满足特定条件的对象。

一种常见的代数问题是求解某种结构的存在性问题，比如群、环、域等代数结构。

通过构造法，我们可以构造出满足特定条件的结构，从而证明其存在性。

构造法在高考数学解题中的应用探究

构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法是一种具有实用性和创造性的解题方法，它在高考数学解题中起着重要的作用。

本文将从几何、代数和组合三个方面探究构造法在高考数学解题中的应用。

构造法在几何题中的应用广泛而重要。

在解决平面几何问题时，构造法可以通过描绘
图形、连接线段等方式，帮助我们直观地理解问题，并且可以有助于我们发现问题中隐藏
的规律和特点。

在解决圆心角问题时，我们可以通过画圆和连接线段来辅助解题。

在解决
相似三角形问题时，我们可以通过画出高度、中位线等辅助线，来构造相似的三角形，从
而解决问题。

构造法使我们的解题过程更加直观、灵活，能够帮助我们更好地理解和解决
几何问题。

构造法在代数题中的应用也非常重要。

在解决代数方程和方程组问题时，构造法可以
帮助我们建立等式、推导关系，并通过构造特殊的数值来验证和求解问题。

在解决二次方
程问题时，我们可以通过构造法将二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。

在解
决线性方程组问题时，我们可以通过构造法构造出满足条件的数值，从而求解方程组。

构
造法可以帮助我们深入理解代数的性质和运算规律，并通过具体的数值分析和验证来解决
问题。

构造法在高考数学解题中具有重要的应用价值。

在几何、代数和组合这三个方面，构
造法帮助我们直观地理解问题、建立等式和推导关系，并通过构造特殊的数值或图形来解
决问题。

它不仅提高了解题的效率和准确性，还培养了我们的创造思维和解决问题的能力。

在高考数学备考过程中，我们应该充分利用构造法，并通过大量的练习和实践来提升解题
能力。

构造法在高考数学解题中的应用探究

构造法在高考数学解题中的应用探究1. 引言1.1 构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是一种在数学问题中常用的解题方法，它利用构造新对象或者研究已有对象的性质来解决问题。

在高考数学中，构造法被广泛运用于各种类型的题目中，包括代数、几何、概率、数学建模以及解答题等。

通过构造法，可以更加灵活地解决问题，提高解题效率。

在代数题中，构造法常常用于证明方程的解法是否正确或者求解特定的解。

通过构造新的代数式或者等式，可以更加直观地理解问题，简化解题过程。

构造法可以用于证明一元二次方程有两个不同实数根的情况。

在几何题中，构造法可以用来构造特殊的图形或者角度，从而推导出问题的解。

通过构造各种几何图形，可以更清晰地看到几何关系，简化证明过程。

构造法可以用来证明三角形的角平分线相交于内心。

在概率题中，构造法可以用来构造特定的概率空间或者事件，帮助求解概率问题。

通过构造不同的概率模型，可以更好地理解问题，找到解题思路。

构造法可以用来计算抛硬币的概率问题。

在数学建模中，构造法可以用来构造数学模型，帮助分析实际问题。

通过构造各种数学模型，可以更准确地描述实际情况，指导解决问题的方法。

构造法可以用来建立人口增长的数学模型。

2. 正文2.1 构造法在代数题中的应用构造法在代数题中的应用是高考数学解题中的重要部分。

代数题通常涉及方程、不等式的求解以及函数的性质等内容，而构造法的运用可以帮助我们简洁而有效地解决这些问题。

在代数题中，构造法可以被应用于方程组的解法。

通过构造合适的方程组，我们可以很快地得到未知数的取值。

在解二元一次方程组时，我们可以通过构造一个新的方程来消去其中一个未知数，从而简化求解过程。

构造法还可以被用于不等式的证明。

通过构造一个或多个具体的数值来验证给定的不等式是否成立，我们可以快速判断不等式的真假。

构造法也可以帮助我们找到不等式的最优解。

在函数的性质证明中，构造法同样可以发挥重要作用。

通过构造一个特殊的函数形式，我们可以验证函数的性质，并推断出一些重要结论。

构造法在高考数学解题中的应用探究

构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是数学解题中的一种非常重要的方法，它可以通过构造出特定的某个实例来解决问题。

在高考数学中，构造法被广泛应用，特别是在几何、代数和组合题型中。

在几何题型中，构造法可以被用于推导探究几何性质。

以三角形为例，当我们需要证明某些性质时，可以通过构造出一个特殊的三角形来展示性质的正确性。

例如，当我们需要证明中位线重合于三角形的重心时，可以构造一个等边三角形，这时中位线就恰好重合于三角形的重心。

这种构造法可以大大简化证明过程，并使证明更加清晰直观。

在代数题型中，构造法可以用于找到规律和解决方程。

以找规律为例，假设我们需要求一个数列的第 n 项的值，但没有规律可以直接求解。

此时，可以通过构造数列的前几项，观察数列中的规律，然后推测出通项公式。

如果是解方程的题型，可以通过构造一个特殊的解，来验证方程的解的正确性。

在解非线性方程时，构造法尤为重要。

例如，当我们需要求解一个含有分式的方程时，可以通过构造一个合适的分式，使得原方程等价于一个易于求解的线性方程，从而求解原方程。

在组合题型中，构造法可以用于寻找方法，并验证答案的正确性。

以排列组合为例，当我们需要求解某种排列组合的方法数时，可以通过构造一个可行的方案来进行计数。

例如，当我们需要求解将一个字符串分成 k 段的方法数时，可以通过构造一个方案，先在字符串中插入 k-1 个分隔线，然后对字符和分隔线进行排列组合。

通过这种构造方法，我们可以方便地进行计数，并验证计算结果的正确性。

总之，构造法在高考数学解题中拥有非常广泛的应用。

通过构造合适的实例，可以大大简化问题的求解过程，使得问题更加清晰明了，同时还能够验证答案的正确性。

因此，在备考高考数学时，我们应该加强对构造法的掌握，并运用得当。

构造法在高中数学解题中的应用方法

构造法在高中数学解题中的应用方法构造法是一种常用的解题方法，在高中数学中有着广泛的应用。

它通过巧妙地构造一些数学对象或者利用某些数学性质，来解决问题。

下面将介绍构造法在高中数学解题中的常见应用方法。

1.构造图形构造图形是构造法的一种常见应用方法。

在解决几何问题时，我们可以通过构造一些特殊的图形，来辅助求解。

要证明一个角为直角，可以通过构造一个等腰直角三角形；要证明两条线段相等，可以构造两个相等的线段等等。

通过构造图形，我们可以更加直观地理解问题，并且根据构造出的特殊图形进行推理和证明。

2.构造等式构造等式是构造法的另一种常见应用方法。

在解决代数问题时，我们可以通过构造一些特殊的等式，利用等式的性质和关系来推导和求解。

要解方程组可以通过构造一个与原方程组等价的等式，从而利用等式的性质消去未知数。

又要证明两个多项式恒等，可以通过构造一个等式，使得等式两边的多项式进行运算后得到相同的结果。

通过构造等式，我们可以把复杂的问题转化为更简单的等式求解问题。

3.构造序列4.构造方法构造方法是构造法的一个重要应用。

在解决问题时，我们可以通过构造一种方法或者算法，来找到问题的解决思路。

要证明一个命题成立，可以通过构造一个反证法，假设命题不成立，然后推导出矛盾；要解决一个最优化问题，可以通过构造一个函数或者模型，然后利用函数的性质进行优化。

通过构造方法，我们可以建立问题与数学方法之间的联系，从而解决问题。

构造法是一种重要的解题方法，在高中数学中有着广泛的应用。

通过构造图形、构造等式、构造序列和构造方法等，我们可以更加直观地理解问题，利用数学性质和关系进行推理和证明，以达到解决问题的目的。

希望通过这些介绍，能够帮助到学生在高中数学中更好地运用构造法解题。

浅议构造法在数学中的作用

浅议构造法在数学中的作用
构造法在数学中具有重要的作用，主要体现在解决数学问题、证明数学定理以及推动数学发展等方面。

构造法可以帮助解决数学问题。

数学问题的解决往往需要找到一种可行的方法或者构造一个满足条件的对象，这就需要运用构造法。

对于“如何切割一个蛋糕，使得每一块都有相同的大小和形状？”这个问题，通过构造法，我们可以想到通过将蛋糕切成相等的扇形，从而满足要求。

构造法在证明数学定理时发挥重要作用。

证明数学定理的过程往往需要从已知条件出发，通过引入新的定义、概念或者构造新的对象，然后利用这些新的内容推导出结论。

构造法提供了一种有效的思路和手段，可以通过构造出特定的例子或者对象来证明定理的正确性。

对于“任意正整数n，存在两个连续的n次方数之间恰好有n个整数。

”这个定理，可以通过构造法证明，构造出了满足条件的例子。

构造法还可以推动数学的发展。

构造法是一种创造性的思维模式，通过构造和创造新的对象，可以不断推动数学的发展。

很多数学分支的发展都离不开构造法的应用和推广。

几何学中的构造问题，通过不断寻找和创造新的构造方法，推动了几何学的发展。

而在代数学中，通过构造新的代数结构，如域、群、环等，不断推动了代数学的发展。

构造法在数学中扮演着重要角色。

通过构造法，我们可以解决数学问题，证明数学定理，推动数学的发展。

在日常的学习和研究中，我们要善于运用构造法，积极发挥其在数学中的作用，提升自己的数学思维能力和创造力。

构造法在高中数学解题中的应用方法

构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种常用的数学解题方法，特别适用于几何问题的解决。

下面我们将介绍在
高中数学解题中构造法的应用方法。

一、构造辅助线：
1. 构造线段、角的等分线：通过构造等分线可以将原先复杂的形状简化为几个简单
的相等的部分，便于解题。

2. 构造三角形的高线、中线、角平分线：通过利用三角形的性质，可以确定三角形
的一些特殊线段，从而解题。

3. 构造平行线、垂直线：通过构造平行线和垂直线，可以得到一些等角关系、相似
三角形等，从而解题。

二、构造形状：
1. 构造圆、三角形、四边形：通过构造几何形状，可以利用其性质来解题。

2. 构造相似形：通过构造相似形状，可以利用相似三角形等性质来解题。

三、构造特殊点：
1. 构造重心、垂心、外心、内心：通过构造特殊点，可以利用它们的性质来解题。

2. 构造交点、中点：通过构造交点和中点，可以得到一些等分线段、等角关系等，
从而解题。

四、构造长度关系：
1. 构造比例关系：通过构造长度的比例，可以利用这些比例关系来解题。

2. 构造勾股定理：通过构造特殊的长度关系，可以利用勾股定理来解题。

构造法是一种灵活但有效的解题方法，在高中数学解题中应用广泛。

通过构造辅助线、形状、特殊点和长度关系等，可以利用它们的性质来解决各种几何问题。

在解题过程中要
善于观察和发现，合理运用构造法，提高解题的效率和准确性。

浅析构造法在三角函数解题中的应用

利用立体几何中长方体的基本性质解三角函数也是一种新的思路与解题途径.
例 5 若锐角琢，茁，酌满足 cos2琢 +cos2茁 +cos2酌 =1，则 tan琢·tan茁·tan酌的最小值是多少？
思路分析院锐角琢，茁，酌满足cos2琢+cos2茁+cos2酌=1这一条件可以令我们联想长方体的长、宽、高的平方和等于其对角线的平方这一性质，因此解决这一问题可以进行长方体的构造. 令长方体的三棱长分别为a，b，c ，对角线长是 1 ，三棱和对角线所形成的角分别是琢，茁，酌，
B
腰直角三角形，因此可尝试构造等
腰直角三角形来进行解题. 如图1，
作Rt吟A BC，令蚁C=90毅，BC=A C=1， A 则A B= 姨 2 ，在A C上取一点D，记
D
C
图1
蚁CDB=x，则BD=
1 sinx
，CD=cotx，A
D=1-cotx，利用A
D+
DB逸A B= 姨
2
，可得
1 sinx
-cotx逸姨
2
-1，当且仅当 x =
仔 4
时，等号成立.
蓘蓡所以，当x沂
仔，仔 42
时， 1 sinx
+1逸
姨
2
+cotx.
二尧构造一元二次方程
一些题目看似难度很大，但一旦寻得题目本质并进行方程的构造以后就会简单很多，题目轻松得解的同时还会令解题者在奇妙的解题构思中获得乐趣与激情.
例 2 已知 A ，B，C 为吟A BC 的三个内角，sinA 屹

构造法在高中数学解题中的应用方法

构造法在高中数学解题中的应用方法构造法在高中数学解题中的应用方法构造法是一种数学解题方法，通过构造出符合题目要求的具体例子或特殊性质，来证明或推导出一般性的结论。

它在高中数学解题中有着广泛的应用，特别是在几何问题和代数问题中常用。

在几何问题中，构造法常常被用来构造符合题目要求的图形。

在证明两条垂直平分线相交于一个点时，可以通过构造两条垂直平分线的交点，来证明这个结论。

在证明三角形的性质时，也可以通过构造特殊的角度或边长来推导出一般性的结论。

在代数问题中，构造法常常被用来构造出满足特定条件的方程或函数。

在证明关于二次方程的性质时，可以通过构造一个满足特定条件的二次方程，来推导出一般性的结论。

在求解方程组或不等式时，构造法也常常被用来构造出满足条件的解集。

构造法的应用方法可以总结为以下几个步骤：1. 分析题目要求，确定需要构造的对象或性质。

需要构造一个特定的图形、一个满足特定条件的方程等等。

2. 根据题目条件和要求，确定构造的具体步骤和方法。

确定构造一个特定角度的方法是通过画一条与其他角度相等的角，或者确定构造一个方程的方法是通过设立一个满足特定条件的系数等等。

3. 进行实际的构造过程。

根据确定的方法，进行具体的构造过程，得到符合题目要求的对象或性质。

4. 利用构造出的对象或性质，进行证明或推导过程。

如果是证明问题，可以利用构造出的对象或性质来构造出一般性的结论，或者进行逆向推理。

如果是求解问题，可以利用构造出的对象或性质来得到解集的一般性特点。

构造法在高中数学中的应用举例：1. 证明点到直线的距离公式。

通过构造垂直于直线的垂线，并计算垂线的长度，来推导出点到直线的距离公式。

2. 求解二元一次方程组。

通过构造一个方程组，其中一个方程的两个系数相等，来得到相应的解集。

3. 证明勾股定理。

通过构造一个直角三角形，其中两条直角边的长度符合特定关系，来证明勾股定理的一般性。

4. 求解不等式。

通过构造一个满足特定条件的变量取值范围，来确定不等式的解集。

浅议构造法在数学中的作用

浅议构造法在数学中的作用【摘要】构造法在数学中起着重要的作用，它是解决数学问题的有效方法之一。

本文主要围绕构造法在数学中的基本概念、在解决数学问题中的应用、在数学研究中的推动作用、在数学教学中的重要性以及在数学领域的发展前景展开讨论。

构造法不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以激发我们的创造力和解决问题的能力。

通过学习和掌握构造法，我们可以更好地应对数学挑战，拓展数学研究的领域，推动数学领域的发展。

掌握构造法对于数学学习和研究具有重要意义，我们应该重视构造法在数学中的作用，并为未来构造法在数学研究中的发展做出更多努力和探索。

【关键词】构造法、数学、概念、应用、推动作用、教学、发展前景、总结、未来发展、重要性1. 引言1.1 概述【浅议构造法在数学中的作用】构造法在数学中起着重要的作用，它是一种重要的思维方法和解决问题的手段。

通过构造法，我们能够利用已知条件和定理，逐步构造出新的结论和解决方案。

构造法在数学研究和教学中都有着不可替代的作用，它能够帮助我们更深入地理解数学问题的本质，同时也能够激发我们对数学的兴趣和热情。

在实际的数学问题中，构造法能够帮助我们找到新的解决方案，尤其是在一些复杂的问题中，构造法能够提供一种清晰的思路和方法，帮助我们更快地解决问题。

在数学研究中，构造法常常被用来构建新的数学理论和证明新的数学定理，推动了整个数学领域的发展。

在数学教学中，构造法也被广泛应用，它能够帮助学生更好地理解数学概念，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。

2. 正文2.1 构造法在数学中的基本概念构造法是一种通过创造性的方法来解决数学问题的思维方式。

它强调通过构建模型、定义概念、建立关系等方式来解决问题，而不是依赖于传统的推理和证明方法。

构造法注重直观性和实用性，通过构造具体的数学对象或结构来探索问题的本质。

在几何学中，构造法常常用来证明关于图形的性质，通过作图、画图等方式来展现问题的解决思路。

浅议构造法在数学中的作用

浅议构造法在数学中的作用构造法在数学中是一种非常重要的方法论，它在数学领域中发挥着举足轻重的作用。

构造法在数学中的应用不仅能够帮助我们更深入地理解数学问题，还可以为数学研究提供新的思路和方法。

本文将从构造法的概念入手，深入探讨构造法在数学中的作用及其重要性。

一、构造法的概念构造法是一种通过构造对象来解决问题的数学方法。

它通常与证明法相对应，证明法是一种通过逻辑推理来解决问题的方法。

构造法强调通过具体的构造步骤来得到问题的解答，而证明法则是通过逻辑推理和数学推导来证明结论的真实性。

构造法在数学中有着广泛的应用，它可以应用于各个数学领域，如代数、几何、组合数学等。

构造法通常包括几个基本步骤：首先是确定构造对象的性质和特点，然后是通过一系列的构造步骤逐渐得到所要求的对象，最后是证明构造的对象符合问题的条件和要求。

二、构造法在数学中的作用1. 帮助理解数学问题构造法在数学中的一个重要作用是帮助我们更深入地理解数学问题。

通过具体的构造步骤，我们可以更加直观地看到问题的解决过程，从而更好地理解问题的本质和规律。

构造法可以帮助我们从不同的角度去理解一个数学问题，有时候一个问题可能通过传统的证明法很难解决，而通过构造法，我们可以从具体的构造过程中找到问题的解答。

2. 提供新的思路和方法构造法在数学中还可以为数学研究提供新的思路和方法。

在许多复杂的数学问题中，传统的证明法可能无法得到有效的结果，而构造法则可以为我们提供一个全新的思路和解决方法。

通过构造对象，我们可以探索问题的内在结构和规律，从而得到新的研究方法和技术。

构造法可以激发数学家们的创造力和想象力，为数学研究带来新的突破和进展。

3. 解决实际问题1. 代数中的构造法在代数中，构造法常常被用来解决一些具体的方程和不定方程问题。

通过构造两个式子之间的线性组合，我们可以得到新的方程，从而解决一些复杂的代数方程。

构造法也经常被用来证明某些代数结论，如通过构造多项式的特定形式，我们可以得到一些关于多项式的性质和结论。

构造法在高中数学中的应用

构造法在高中数学中的应用构造法是一种在高中数学中广泛应用的解题方法，它通过建立几何图形或者数学模型来解决问题。

在不同的数学领域中，构造法有不同的应用，包括平面几何、三角函数、代数和数列等方面。

通过构造法，可以更好地理解数学概念，加深对数学知识的掌握。

一、几何图形的构造在平面几何中，构造法被广泛用于构造各种几何图形和解决相关问题。

例如，在求解三角形的问题中，可以利用构造法来确定三角形的各个特殊点，如重心、外心、内心和垂心等。

通过构造这些点，可以帮助我们更好地理解三角形的性质及其相关定理。

另外，在证明几何定理中，构造法也起到重要的作用。

通过构造出符合题目要求的几何图形，可以更清晰地展示证明过程，使证明更加直观和易于理解。

二、三角函数的构造在三角函数中，构造法可以帮助我们理解和推导三角函数的性质，解决各种相关问题。

例如，可以通过构造单位圆来引入正弦函数和余弦函数，并探讨它们的定义、性质和图像。

利用构造法，可以直观地理解三角函数在不同角度上的取值和变化规律。

此外，在解三角方程和求解三角函数的最值等问题中，也可以利用构造法来辅助求解。

通过构造适当的几何图形，可以将三角函数的性质和问题的条件联系起来，进而解决问题。

三、代数方程的构造在代数中，构造法可以帮助我们解决各种代数方程的问题。

例如，在求解二次方程的根时，可以通过构造一个完全平方来得到解的形式。

通过构造完全平方，可以清晰地展示解的求取过程，并且能够更好地理解二次方程的根与系数之间的关系。

另外，在解决代数方程组的问题时，构造法也是一种有效的解题方法。

通过构造适当的方程组，可以将问题的条件和未知数之间的关系直观地呈现出来，从而更容易得到解。

四、数列的构造在数列中，构造法被广泛应用于生成函数和递归关系的构造。

通过构造数列的生成函数，可以推导出数列的通项公式，进而求解各种数列相关的问题。

构造法可以帮助我们更好地理解数列的性质和演化规律。

此外，在数列求和问题中，构造法也有其独特的应用。

浅议构造法在数学中的作用

浅议构造法在数学中的作用构造法在数学中起着非常重要的作用，它是数学研究中用来得到解决方案的一种方法。

构造法是一种通过建立模型或找到一个实际存在的例子来解决问题的方法。

在数学中，构造法被广泛应用于各个领域，从初等数学中的几何问题到高等数学中的复杂理论证明。

本文将浅议构造法在数学中的作用，并通过具体案例来说明其重要性。

构造法在初等数学中扮演着非常重要的角色。

在几何学中，构造法可以帮助我们理解和证明各种几何定理。

在证明某个三角形内切圆存在的时候，我们可以通过构造内切圆的方法来得到答案。

在解决各种几何问题时，构造法也可以帮助我们找到解决方案。

在解决圆的切线问题时，我们可以通过构造切线的方法来找到切线的方程。

构造法在初等数学中的作用是不可或缺的。

我将通过一个具体案例来说明构造法在数学中的作用。

假设我们有一个有限集合S，我们需要找到一个S的子集合A，使得A的元素之和大于给定的某个值M。

在解决这个问题时，我们可以通过构造法来得到解决方案。

我们可以从S中挑选一个最小的元素加入到A 中，然后再从剩余的元素中挑选一个次小的元素加入到A中，以此类推，直到A的元素之和大于M为止。

通过这种构造法，我们可以得到一个满足条件的子集合A，从而解决了这个问题。

构造法在数学中发挥着非常重要的作用。

它不仅可以帮助我们理解和证明各种数学定理，还可以帮助我们解决各种数学问题。

在数学研究中，构造法是一种非常有用的工具，通过它我们可以得到各种精彩的解答。

构造法在数学中的作用是不可替代的，它将继续在数学研究中发挥着重要的作用。

高中数学：构造法在解三角题中的应用(1)

高中数学：构造法在解三角题中的应用（1）
一、构造方程
例1、已知锐角满足
，求证：。

证明：已知条件可视为关于的一元二次方程
因为是锐角，所以也均为锐角，由一元二次方程求根公式得：
又则，再由，则有，故
二、构造函数
例2、在斜△ABC中，证明sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2
证明：构造函数
因为
（因为sinA<1，sinB<1）
而f(x)在（0，1）上单调递减（因为sinAsinB-1<0）
所以f(x)在（0，1）上恒有f(x)>0
故f(sinC)>0
代入整理得：sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2
三、构造不等式
例3、设α、β是锐角，且满足，求证：
证明：因为α、β是锐角，则均大于0 所以①
同理②
由①+②结合已知得，于是①，②等号同时成立
即有且
有
故结论得证。

四、构造数列
例4、已知，求的值。

解：由条件，可知构成一个等差数列。

设其公差为d，则
由
可得
解得
又因为，所以，故应舍去。

所以，则
故
五、构造向量
例5、已知，求锐角α、β。

解：由已知得①
构造向量
由于
所以
又由，有
即
所以
将代入①并整理得：
则。