与三角形有关的角

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与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)

与三角形有关的角（提高）知识讲解【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．知识点三、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

专题02 与三角形相关的角(知识点串讲)(解析版)

专题02 与三角形有关的角知识网络重难突破一、三角形的内角和等于180°1. 三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为180 的方法：①添加平行线： 22112211 ②折叠：332211③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．典例1．（2021·山西九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作CD AB ⊥后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．典例2．（2021·全国）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是__．【答案】22.5°．【分析】设两个锐角度数为x °，3x °，根据直角三角形中两个锐角互余列方程求解即可．【解析】设两个锐角度数为x °，3x °，由题意得：x +3x ＝90，解得：x ＝22.5，∴较小的锐角是22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，以及一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解答本题的关键．典例3．如图，ABC 中，50A ∠=︒，点E ，F 在,AB AC 上，沿EF 向内折叠AEF ，得DEF ，则图中12∠+∠等于（）A ．130︒B ．120︒C ．65︒D ．100︒【答案】D【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF +∠AFE 的度数，再根据折叠的性质求出∠AED +∠AFD 的度数，然后根据平角等于180°解答．【解析】解：∵∠A =50°，∴∠AEF +∠AFE =180°-50°=130°，∵沿EF 向内折叠△AEF ，得△DEF ，∴∠AED +∠AFD =2（∠AEF +∠AFE ）=2×130°=260°，∴∠1+∠2=180°×2-260°=360°-260°=100°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．二. 直角三角形 ↔ 2个锐角互余直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形.典例1.（2020·利辛县启明中学八年级月考）在下列条件中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（） ①A B C ∠+∠=∠，②::1:2:3A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④A B C ∠=∠=∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合三角形的内角和为180°逐个分析4个条件，可得出①②③中∠C=90°，④能确定ABC 为等边三角形，从而得出结论．【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，此时ABC 为直角三角形，①符合题意；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A+∠B=∠C，同①，此时ABC 为直角三角形，②符合题意；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，③符合题意；④∵∠A=∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴ABC为等边三角形，④不符合题意；综上可知：①②③能确定ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是结合三角形的内角和定理逐个分析4个条件．三、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°.等于（）典例1．（2021·湖南八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，则DACA．75°B．90°C．105°D．120°【答案】C【分析】根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．【解析】解：在△AFC中，由三角形外角性质可得：∠DAC=∠DFC+∠C=60°+45°=105°，故选C．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．典例2．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD ＝30°，则∠DCE的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．典例3．（2020·山东八年级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．【答案】360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【解析】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．四. 多边形的对角线1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线．典例1．观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．n 边形有______条对角线；（无需证明）（2）若一个多边形有35条对角线，这个多边形的边数是？【答案】见解析【分析】（1）根据图形求出多边形的对角线条数；（2）设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解方程即可得出答案．【解析】解：()1观察图形可得：四边形的对角线的条数为：()43414222-⨯⨯==；五边形的对角线的条数为：()53525522-⨯⨯==；六边形的对角线的条数为：()63636922-⨯⨯==； ⋅⋅⋅依次类推：n 边形的对角线的条数为：()32n n -． ()2设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解得：110n =，27n =-（不合题意，舍去）.答：这个多边形的边数是10．【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．五. 多边形的内角和1. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．2. n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．证明方法：分割成(n-2)个三角形求内角和3.正多边形的每个内角都相等，都等于n-°；(2)180n典例1．（2021·内蒙古包头市·八年级期末）若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．不能确定【答案】A【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：n边形的内角和是（n−2）•180°，n＋1边形的内角和是（n＋1−2）•180°＝（n−1）•180°，则（n−1）•180°−（n−2）•180°＝180°，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的内角和定理是解决的关键．典例2．（2021·浙江八年级期末）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据n边形的内角和为(n-2)•180°得到(n-2)•180=540，然后解方程即可．【解析】解：设这个多边形的边数为n，∴(n-2)•180=540，∴n=5．故选：C．【点睛】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)•180°．典例3．若一个正多边形的每个内角为144︒，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n-2）180°=144°×n，解得n=10，故选：B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．典例4．一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能【答案】D【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是能理解一个四角形截取一个角后得到的图形的形状．典例5．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．10或11【答案】B【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．【解析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，则(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2为正整数，∴60-x能被180整除，又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故选B【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．六. 多边形的外角和1. 多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；2. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；典例1．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（）A．96米B．128米C．160米D．192米【答案】B【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×16=128（米）．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．典例2．（2021·山东八年级期末）如图，1234∠+∠+∠+∠的度数为__________．【答案】360︒【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．【解析】解：由多边形的外角和定理知，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故答案是：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．典例3．（2021·河北八年级期末）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，对角线BF 的延长线与边DE 的延长线交于点M ，则M ∠的大小为__________．【答案】22.5︒【分析】利用正多边形的内角和公式与外角和公式结合题意即可求出45FEM ∠=︒，67.5EFB ∠=︒，再利用三角形外角性质即可求出M ∠．【解析】解：根据正八边形的性质可知360458FEM ︒∠==︒，180(82)1358EFG ︒⨯-∠==︒，由图可知1113567.522EFB EFG ∠=∠=⨯︒=︒， ∴67.54522.5M EFB FEM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和公式以及三角形外角的性质．掌握正多边形的内角和与外角和公式是解答本题的关键．巩固训练一、单选题1．（2021·四川九年级一模）如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D 【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．【解析】解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°-80°-60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．2．（2021·全国九年级专题练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．【解析】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒，360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．3．（2020·涿州市实验中学八年级期中）下列说法中错误的是（）A ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ＝∠B ﹣∠C ，则△ABC 为直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝2∠C ，则△ABC 为直角三角形【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．【解析】解：A 、在△ABC 中，因为∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，所以∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意．B 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ﹣∠C ，所以∠B ＝90°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． C 、在△ABC 中，因为∠A ＝12∠B ＝13∠C ，所以∠C ＝90°，∠B ＝60°，∠A ＝30°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． D 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ＝2∠C ，所以∠A ＝∠B ＝72°，∠C ＝36°，△ABC 不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．4．（2021·陕西八年级期末）如图，已知12//l l ，45A ∠=︒， 2100∠=︒，则1∠的度数为（）A ．50°B ．55°C ．45°D ．60°【分析】依据12//l l ，得到1ABC ∠=∠，再根据45A ∠=︒，2100A ABC ，即可得到55ABC ∠=︒，可得出155ABC ．【解析】解：12//l l ，1ABC ∴∠=∠，又45A ∠=︒，2100A ABC ， 21004555ABC A ，155ABC故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．如图，1∠，2∠，3∠，4∠一定满足的关系式是（）A ．1234∠+∠=∠+∠B ．1243∠+∠=∠-∠C ．1423∠+∠=∠+∠D ．1423∠+∠=∠-∠【答案】D 【分析】根据外角的性质分别得到∠AEF =∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF ，从而推断出∠2–∠3=∠1+∠4．【解析】解：如图，在△BED 中，∠AEF =∠4+∠3，在△AEF 中，∠2=∠1+∠AEF ，∴∠2=∠1+∠4+∠3，即∠2–∠3=∠1+∠4，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据外角的性质得到∠AEF=∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF．6．（2021·浙江八年级期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（）A．5条B．4条C．3条D．2条【答案】C【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可．【解析】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．7．一个正多边形的一个内角是150 ，则这个正多边形的边数为（）A．2 B．3 C．9 D．12【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】解：外角是：180°-150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．8．（2021·陕西八年级期末）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．【解析】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°∴正多边形的边数是360°÷45°=8．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键．二、填空题9．（2020·辽宁七年级期中）“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是____.【答案】三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【解析】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．10．（第十三章相交线平行线（基础卷）-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为__．【答案】70°【分析】先由AB ∥MN 知∠A +∠ACN ＝180°，结合∠A 度数得出∠ACN 的度数，再由CB 平分∠ACN 知∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，最后根据三角形内角和定理可得答案．【解析】解：∵AB ∥MN ，∴∠A +∠ACN ＝180°，又∵∠A ＝40°，∴∠ACN ＝180°﹣∠A ＝140°，∵CB 平分∠ACN ，∴∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了与平行线有关的三角形内角和问题，结合角平分线的性质求解是解题的关键．11．（2020·山西八年级期末）边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．【答案】9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【解析】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．12．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，根据题意得(2)1803000n x -⨯=+变形为18016(120)2180x n ⨯++-=，由n 是正整数，0180x <<求出x 的值即可得到答案．【解析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，由题意得(2)1803000n x -⨯=+∴18016(120)2180x n ⨯++-=， ∵n 是正整数，0180x <<， ∴x=60，∴这个多边形的内角和为3060，故答案为：3060．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．13．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是144︒，那么这个多边形是_____边形．【答案】10．【分析】根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．【解析】一个多边形的每一个内角都是144︒ ∴它的每一个外角都是18014436︒-︒=︒．多边形的外角和为360︒∴边数等于角的个数3603610=︒÷︒=．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，正多边形的特点，通过外角解决问题是解题的关键．14．（2021·上海奉贤区·八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形．【答案】八【分析】多边形的内角和为()2180,n -︒外角和为360,︒ 再列方程()21803360,n -︒=⨯︒解方程可得答案.【解析】解：设这个多边形为n 边形，则()21803360,n -︒=⨯︒26,n ∴-=8,n ∴=故答案为：八【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键.15．若正多边形的一个外角为40︒，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有________条．【答案】6【分析】根据多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再根据从多边形的一个顶点出发可作的对角线为（n -3）条可求解．【解析】解：∵多边形的外角和为360︒，∴360409︒÷︒=；从它的一个顶点出发，可以引出936-=条对角线．【点睛】本题主要考查多边形的外角和对角线，掌握定理是解题的关键．16．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）如图，小张从P 点向西直走10米后，向左转，转动的角度为α，再走10米，如此重复，小林共走了100米回到点P ，则α的值是___________．【答案】36°【分析】根据题意可先确定出该多边形的边数，再利用外角和求解即可．【解析】由题可知，小张全程下来走了一个正多边形，且边数1001010n ==， ∴根据多边形的外角和定理可求得：3603610α︒==︒，故答案为：36°．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，根据题意准确判断多边形的边数是解题关键．三、解答题17．在一个直角三角形中，如果两个锐角度数之比为2:3，那么这两个锐角为多少度？【答案】见解析【分析】根据比例设两个锐角度数分别为2k ，3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．【解析】解：设两个锐角度数分别为2k ，3k ，由题意得，2390k k +=，解得18k =，所以，236k =，354k =，故这两个锐角分别为36°，54°【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，利用“设k 法”表示出这两个锐角求解更简便．18．四边形ABCD 中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数．【答案】见解析【分析】设四个内角度数分别是x °，2x °，3x °，4x °，由多边形内角和公式可得：x +2x +3x +4x =180（4-2），再解方程即可得到答案．【解析】解：设四个内角度数分别是,2,3,x x x 4x ，根据题意得：()23442180x x x x +++=-⨯，解得：36x =，272,3108,4144x x x === .答：四边形的四个内角的度数分别为：36，72，108，144 ．【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：()2180n -⨯︒（3n ≥，且n 为整数）．。

第02讲与三角形有关的角(原卷版)

第02讲与三角形有关的角课程标准学习目标①三角形的内角和定理②三角形的外角定理 1. 掌握三角形的内角和定理，并能够利用三角形的内角和定理解相关题目2. 掌握三角形的外角定理，并能够利用三角形的外角定理解相关题目。

3. 结合三角形的内角和定理，外角定理，三角形的中线、高线、角平分线解决相关题目。

知识点01 三角形的内角和定理1. 三角形内角和定理的内容：三角形的三个内角之和等于。

2. 三角形内角和定理的证明：证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。

如图：过点A 作PQ 平行于BC 。

∵PQ ∥BC∴∠B ＝；∠C ＝。

∵∠PAB ＋∠QAC ＋∠BAC ＝。

∴∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝。

题型考点：①利用三角形的内角和计算角度。

②判断三角形的形状。

1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（）A．50°B．55°C．45°D．40°【即学即练2】2．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形知识点02 直角三角形的性质与判定1.直角三角形的定义：Rt△表示直角三角形ABC。

有一个角是直角的三角形。

用ABC2.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角。

数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°∴∠A＋∠B＝。

3.直角三角形的判定：有两个角的三角形是直角三角形。

数学语言：∵∠A＋∠B＝90°∴△ABC是三角形。

题型考点：①利用直角三角形的两锐角互余以及三角形的内角和进行角度计算。

②直角三角形的判断。

【即学即练1】3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）A．145°B．125°C．65°D．55°4．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（）A．62°B．52°C．38°D．28°5．对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B ＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）个．A．1B．2C．3D．4知识点03 三角形的外角定理1.外角的定义：如图，三角形的一条边与另一条边的构成的夹角叫做三角形的外角。

与三角形有关的角

第二讲与三角形有关的角知识要点 1. 三角形的内角和三角形的内角和是1800把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

想一想，还可以怎样拼？①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图2②把和C ∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？证明：已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=1800。

2、三角形的外角（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

（4）三角形外角的和等于3600。

经典例题例1(1)在△ABC 中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=____；B ∠(2)在△ABC 中,若∠A=80°,则∠B ＋∠C=____；(3)在△ABC 中,若∠A=400，∠A=2∠B ，则∠C = 。

例2.AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 的度数为（）A ．20°B ．18° C ．38° D ．40°例3.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A ．90°B ．100°C ．130°D ．180°例4.如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（） A ．20° B ．30° C ．40° D ．50°例5.如图，C 岛在A 岛的北偏东30°方向，B 岛在A 岛的北偏东100°方向，C 岛在B 岛的北偏西55°方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？例7．如图所示，D,E分别AC，AB边上的点，DB,EC相交于点F，则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________例8、已知△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的外角度数之比为3：4：5，求∠A, ∠B, ∠C的度数，并判断△ABC的形状。

与三角形有关的角

第２讲与三角形有关得角一、知识重点1.三角形内角与定理(1)定理:三角形三个内角得与等于180°。

(2)证明方法:(3)理解与延伸:因为三角形内角与为１80°,所以延伸出三角形中很多得角得特定关系如:①一个三角形中最多只有一个钝角或直角;②一个三角形中最少有一个角不小于6０°;③直角三角形两锐角互余;④等边三角形每个角都就是60°等.(4)作用:已知两角求第三角或已知三角关系求角得度数、谈重点三角形内角与定理得理解三角形内角与定理就是最重要得定理之一,就是求角得度数问题中最基础得定理,应用非常广泛.【例1】填空:(1)在△ABC中,若∠A=８0°,∠Ｃ=２０°,则∠B=_＿＿＿＿__＿_＿°;(2)若∠A=８０°,∠B=∠C,则∠C=＿________＿°;(3)已知△ABＣ得三个内角得度数之比∠Ａ∶∠B∶∠C＝２∶3∶5,则∠B=____＿____＿°,∠C=___＿＿_＿___°。

2、直角三角形得性质与判定(１)直角三角形得性质:直角三角形得两个锐角互余、如图所示,在Rt△ABＣ中,如果∠C=９０°,那么∠A＋∠B＝90°、【例2—1】将一个直角三角板与一把直尺如图放置,如果∠α＝43°,则∠β得度数就是().A.43°ﻩＢ.4７°ﻩﻩC。

30°ﻩＤ、60°。

答案:B(2)直角三角形得判定:有两个角互余得三角形就是直角三角形.如图所示,在△ＡBC中,如果∠A+∠B＝90°,那么∠C＝90°,即△AＢC就是直角三角形.【例2－2】如图所示,AB∥ＣD,直线EF分别交AB,CD于点E,Ｆ,∠BＥＦ得平分线与∠ＤFE得平分线相交于点P,求证:△EＰF就是直角三角形、。

3.三角形得外角(１)定义:三角形得一边与另一边得延长线组成得角,叫做三角形得外角.如图,∠ＡCＤ就就是△ABC其中得一个外角.(2)特点:①三角形得一个外角与与它同顶点得内角互为邻补角,这就是内、外角联系得纽带、②一个三角形有６个外角,其中两两互为对顶角,如图所示.破疑点三角形外角得理解外角就是相对于内角而言得,也就是三角形中重要得角,一个角对一个三角形来说就是外角,而对于另一个三角形来说可能就是内角;三角形得角就是指得三角形得内角,这点要注意.【例3】在△ＡＢC中,∠A等于与它相邻得外角得四分之一,这个外角等于∠B得两倍,那么∠Ａ=____＿＿_＿__,∠B＝_______＿＿_,∠C＝__＿_＿_＿___、４、三角形外角性质(1)性质:三角形得外角等于与它不相邻得两个内角得与.如图所示:∠1＝∠Ｂ+∠C(或∠Ｂ＝∠1－∠C,∠C＝∠1—∠Ｂ)、注意:三角形得外角与不就是所有外角得与,就是每个顶点处取一个外角,就是一半数目外角得与。

第2讲与三角形有关的角(教案)

五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于三角形内角和定理的理解和应用还存在一些困难。在导入新课的时候，我尝试通过日常生活中的例子来引起学生的兴趣，但感觉效果并不如预期。我意识到，可能需要更具体、更贴近学生生活实际的例子来激发他们的好奇心。
在理论介绍环节，我尽量用简洁明了的语言解释三角形内角和的概念，并通过案例分析让学生看到这个知识点的实际应用。然而，从学生的反应来看，我可能需要更多的互动和直观演示，比如利用动态几何软件或者实物模型来直观展示内角和定理的证明过程。
实践活动中的分组讨论和实验操作，学生们表现得相当积极。他们通过合作探究，不仅加深了对三角形知识的理解，还提高了团队协作能力。但我也注意到，有些学生在操作过程中遇到了困难，我应该在之后的课程中更加关注这些学生的需求，提供更多的个别指导。
小组讨论环节，我鼓励学生们提出自己的观点，并尝试解决问题。这个过程中，我发现学生们对于三角形在实际生活中的应用有着很丰富的想象力，但有时候他们的思考方向会偏离主题。我需要在引导学生思考的同时，更好地把握讨论的方向，确保讨论内容与课程目标紧密相关。
3.培养学生的数据分析能力：通过多边形内角和公式的推导与应用，培养学生对数据进行整理、分析和解决问题的能力。
4.培养学生的数学应用意识：将三角形相关知识应用于解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识。
5.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和合作探究中，培养学生与他人沟通、协作的能力，提高团队协作精神。
总的来说，今天的课程让我认识到，作为教师，我需要不断地调整教学方法，以适应不同学生的学习风格和需求。在接下来的课程中，我会尝试更多的教学策略，比如增加互动环节，使用更多的教学工具，以及提供更具挑战性的问题来激发学生的思考。同时，我也会关注学生的反馈，及时调整教学进度和内容，确保每位学生都能跟上课程的节奏，真正理解和掌握与三角形有关的角的知识。

专题02 与三角形有关的角(八大类型)(原卷版)

专题02 与三角形有关的角（八大类型）【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【题型7 判断直角三角形】【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】1．（2023•石家庄三模）根据图中的数据，可得x+y的值为（）A．180B．110C．100D．70 2．（2023春•渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则∠C度数为（）A．32°B．34°C．36°D．38°3．（2023春•沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C＝（）A．72°B．92°C．108°D．180°4．（2023春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠B的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】5．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（2023春•东台市月考）如图，AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC，E为CA延长线上的点，过E作EG⊥BC于G，交AB于点F．（1）试说明∠3＝∠E；（2）若∠B＝32°，求∠E的度数．7．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE 为角平分线，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度数．8．（2023春•建湖县期中）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度数．9．（2023春•济南期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】10．（2023•蜀山区模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．25°11．（2023•陕西模拟）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，CE平分∠ACM，DE∥BC．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（）A．51°B．61°C．65°D．75°12．（2023•滑县二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．60°13．（2023春•泗阳县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度数（）A．60°B．65°C．70°D．75°14．（2023•长沙一模）如图，过三角形ABC顶点C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，则∠ACB的度数是（）A．105°B．85°C．80°D．75°15．（2023•定远县二模）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）A．56°B．34°C．36°D．24°16．（2023•大庆三模）如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（）A．22°B．25°C．28°D．30°17．（2023春•广饶县期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，EB、CF相交于D，则∠CDE的度数是（）A．130°B．70°C．80°D．75°18．（2023春•长沙期中）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC 交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．（1）求证：DF∥AB．（2）若∠1＝55°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．19．（2023春•盐城月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．（1）问：FG∥BC吗？为什么？（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B的度数．20．（2023春•夏邑县月考）如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．（1）求证：∠1+∠2＝180°；（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度数．21．（2023春•开福区校级月考）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D、E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E．（1）求证：BD∥AF；（2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度数．22．（2022秋•邹平市校级期末）如图，△ABC中，BE⊥AC于点E，AF是∠CAB的平分线，交BE于点F，∠C＝78°，∠CBA＝38°，求∠AFB的度数．23．（2023春•永川区期末）如图，∠B＝42°，∠1＝∠2+10°，∠ACD＝64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E．（1）请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由；（2）求∠3的度数．24．（2023春•石狮市校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．（1）求∠ADC的度数．（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．25．（2023春•鼓楼区期末）△ABC中，∠ABC平分线BD与AC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，若∠ABC＝90°，则∠EDB＝°；（2）如图2，若△ABC是锐角三角形．过点E作EF∥BC，交AC于点F．依题意补全图2，用等式表示∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系并证明；（3）若△ABC是钝角三角形，其中90°＜∠BAC＜180°．过点E作EF∥BC，交直线AC延长线于点F，直接写出∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系．25．（2023春•江都区月考）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E 是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图1，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝70°，则∠BGE＝°；②若∠A＝50°，则∠BGE＝°；③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；（2）若点E在线段DC上运动时，直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】26．（2022秋•邯山区校级期末）如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（）A．40°B．100°C．140°D．160°27．（2022秋•靖西市期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE 交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．（1）求证：∠BAE＝∠C．（2）若∠BAE＝32°，求∠B的度数．28．（2022春•交城县校级期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求∠EDF的度数．29．（2022秋•沂水县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．30．（2023春•镇江期中）已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D 是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．（1）如图1，若∠ADB'＝110°，则∠CEB'的度数是；（2）利用备用图画图并探究当CB'∥AB时，∠CB'E与∠ADB'满足的数量关系，并说明理由；31．（2022秋•城关区校级期末）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是；研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是；研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．32．（2022春•福山区期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）与∠A的数量关系．（1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝．（2）如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A′处，则∠1+∠2＝．（3）如图③，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C 的度数．（4）如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】33．（2023春•青羊区校级期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．如图，点E在△ABC的边AC上，连结BE，作∠AEB的平分线交AB于点D，在BE上取点F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，则∠C的度数为．34．（2022•西城区校级开学）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为90°，那么倍角α的度数是．35．（2022春•宛城区校级月考）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”．其中α称为“特征角”，若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为．36．（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C 最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“2倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．37．（2022秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB ⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD 是“完美三角形”，求∠B的度数．38．（2022秋•荔城区校级月考）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为，△AOB（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】39．（2023春•江北区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD 上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．40．（2023春•仪征市月考）如图，将△ABC沿射线BA方向平移到△A'B'C'的位置，连接AC'，CC'．（1）AA'与CC'的位置关系为；∠A′+∠CAC′+∠AC′C＝；（2）设∠AC'B'＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC'与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．41．（2022秋•邢台期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝°．Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．42．（2023春•虹口区期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数．【题型7 判断直角三角形】43．（2023•漳浦县模拟）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．（2023春•盐城月考）在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C ＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个45．（2023春•薛城区月考）在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】46．（2022春•源城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠ACD＝35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°47．（2023春•汨罗市期中）AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．48．（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．。

与三角形有关的角

第2讲与三角形有关的角一、知识重点1．三角形内角和定理(1）定理：三角形三个内角的和等于180°.(2）证明方法：(3)理解与延伸:因为三角形内角和为180°,所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．（4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理,应用非常广泛．【例1】填空：（1)在△AB C中，若∠A＝80°,∠C＝20°,则∠B＝__________°;(2）若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；（3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5,则∠B＝__________°，∠C＝__________°.2．直角三角形的性质与判定(1）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示,在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°。

【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（)．A．43°B．47°C．30°D．60°。

答案：B(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°,即△ABC是直角三角形．【例2－2】如图所示，AB∥CD,直线EF分别交AB，CD于点E，F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．．3．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角．（2）特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角,这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一,这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.4。

与三角形有关的角

所以∠DBC＋∠DCB＝×120°＝60°．
所以∠BDC＝180°－（∠DBC＋∠DCB）＝180°－60°＝120°．
解题后的思考：在三角形中，两内角的平分线相交构成的钝角等于90°加上第三个角的一半，即∠BDC＝90°＋∠A．
小结：三角形内角和等于180°，揭示了三角形三个内角之间的关系，同时为求角的问题提供了一个应用的平台，灵活而有技巧性地运用它，可以解决很多问题．
x°＋5x°＋6x°＝180°
解得x＝15．
则最大内角的度数为6xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝90°．
故选C．
解题后的思考：出现与三角形的内角有关的题目时，注意题目中隐含着一个相等关系——三角形三个内角的和为180°．
例2.如图所示，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°，求：
（1）∠B的度数；
三、考点分析：
三角形的内角和定理及三角形外角的性质在中考中多以填空题、选择题和计算题的形式出现，有时和其他知识结合在一起考查，一般情况下，题目的难度都不大．
知识点一：三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180°．
证明三角形内角和定理的几种辅助线的作法：
（1）如图①，过点A作DE∥BC；
（2）如图②，过BC上任意一点，作DE∥AC，DF∥AB；
思路分析：
题意分析：此题综合考查了三角形的内角和定理、三角形角平分线和高的定义以及直角三角形两个锐角互余等知识．
解答过程：因为AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠C＝40°，
所以∠CAE＝∠BAC＝（180°－∠B－∠C）＝40°．
又因为AD是BC边上的高，所以∠C＋∠DAC＝90°，
所以∠DAC＝90°－∠C＝50°，
则∠B＝∠BAD＝（180°－∠ADB）＝40°．

专题03 与三角形有关的角(知识点串讲)(解析版)

专题03 与三角形有关的角知识网络重难突破知识点一三角形的内角内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

【备注】在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

等角的补角相等，等角的余角相等。

三角形的内角构成：典例1 （2019春仓山区期末）如图，BC AE ⊥，垂足为C ，过C 作CD ∥AB .若43ECD ∠=︒，则B Ð的度数是（）A．43°B．45°C．47°D．57°【答案】C【详解】∵CD∥AB，∠ECD=43°，∴∠A=∠ECD=43°，∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=90°-43°=47°．故选C.典例2 （2017春西湖区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①【答案】A【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故选A．典例3 （2017秋越秀区期中）已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【答案】B【详解】解：∵三角形的内角和为180°,且三个内角的度数之比为1∶2∶3,∴三个内角分别为30°、60°、90°,∴这个三角形是直角三角形.故选B.知识点二三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

与三角形有关的角ppt课件

解：因为∠ADC是△ABD的外角所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°
又因为∠B=∠BAD
A 所以B 80 1 40
70°
在△ABC中： 2
B 40°
80°
D
C
∠B+∠BAC+∠C=180° ∠C=180º-40º-70º=70°
拓展与思考1
1、下面的推理题连名侦探柯南也被难住了.他希望同学们能尽快的帮他解决下面的问题.
2，有一次小明看见这样一个图，要计算： ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360 度
A B
G
C
H
F
M
D
E
国旗上的数学
A
B
E
C
D
求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
国旗上的数学
求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A
B
E
G
2 1
F
解：∵∠1是△FBE的外角 ∴∠1=∠B+ ∠E 同理∠2=∠A+∠D
复习提问引出问题
一、三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180°
B A
∠A+∠B+∠C=180°
C
观察与思考
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
B
想一想：
外角与相邻内角有什么特殊关系？
不相邻 1
内角
4
2
3
A 相邻内角 C
∠4+∠3=180°
外角与相邻内角的外角大小不能确定。
B

人教版八年级数学上册1 与三角形有关的角

(1)利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和” 这个性质, 知道其中的两个角,可求第三个角；
(2)利用“三角形的外角大于任意一个与它不相邻的外角” 这个性质, 可判断两个角的大小关系；
(3)三角形的内角和定理、三角形的外角性质常常与方程结合, 用于解决三角形中有关角度的计算和推理问题.
11.2 与三角形有关的角
(2)∵BP, CP分别平分∠ABC和∠ACD, ∴∠PBC= ∠ABC, ∠PCD= ∠ACD. ∵∠PCD是△BCP的一个外角, ∠ACD是 △ABC的一个外角, ∴ ∠P C D = ∠B P C + ∠ P B C , ∠ A C D = ∠ABC+∠A,∴∠BPC=∠PCD-∠PBC = (∠ACD -∠ABC) = ∠A =30°.
11.2 与三角形有关的角
锦囊妙计三角形的内角和、高、角平分线综合应用问题的解题策略
①抓住角平分线平分角的特点, 结合直角三角形的性质求角；②结论：从三角形的一个顶点作高和角平分线, 它们的夹角等于三角形另外两个角的差(大角减小角)的一半.
11.2 与三角形有关的角
题型八三角形内角和定理、外角性质和三角形的角平分线的综合应用
11.2 与三角形有关的角
锦囊妙计直角三角形性质的应用
(1)根据直角三角形中两锐角互余的性质,在已知一个锐角的条件下, 可求另一个锐角；
(2)根据同角(或等角)的余角相等, 可判定多个直角三角形中角相等.
11.2 与三角形有关的角
例题3 如图11-2-13所示, AB∥CD, 直线EF与AB, CD分别交于点E, F, ∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EPF是直角三角形.
A．120°

人教版八年级数学：与三角形有关的角(提高) 知识讲解

与三角形有关的角（提高）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60.【变式2】（2015春•新沂市校级月考）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．【答案】40°.解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB），=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，。

与三角形有关的角知识点总结与经典练习

与三角形有关的角知识点总结与经典练习三角形是我们初中数学中重要的几何形状之一，而与三角形有关的角也是我们必须掌握的基础知识。

本文将从三角形的内角与外角、同位角、同旁内角以及三角形内角和定理等几个方面来总结与三角形有关的角的知识点，并配以一些经典练习题，帮助读者更好地理解与掌握这些知识点。

一、三角形的内角与外角1. 内角是三角形的内部两条边之间的角，我们以A、B、C分别表示三角形的三个内角。

2. 外角是由一条边与其延长线构成的角，我们以D、E、F分别表示三角形的三个外角。

3. 三角形的内角和为180度，即A + B + C = 180°。

4. 三角形的外角和等于360度，即D + E + F = 360°。

经典练习题：1. 已知三角形ABC的内角A = 60°，B = 70°，求C的度数。

2. 三角形DEF的外角D = 90°，E = 120°，求F的度数。

二、同位角1. 同位角是指两条平行线被一条第三线所截得的对应角，它们的度数相等。

2. 在三角形中，同位角可以应用于同位旁内角、同位同旁内角及同位角的性质等方面。

经典练习题：1. 如图，在△ABC中，AB//DE，BC//EF，EF//AD。

若∠BAC = 40°，∠BCA = 70°，求∠EFD和∠EDF的度数。

三、同旁内角1. 同旁内角是指两条平行线被一条第三线所截得的内角，它们的度数互补。

2. 在三角形中，同旁内角可以应用于内角和定理等方面。

经典练习题：1. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB = 70°，求∠A 的度数。

四、三角形内角和定理1. 对于任意一个三角形ABC，有内角和定理：∠A + ∠B + ∠C = 180°。

2. 内角和定理可以应用于解三角形内角的问题，判断三角形是否存在等方面。

经典练习题：1. 已知三角形ABC满足∠A + ∠B = 100°，∠A - ∠B = 30°，求∠C 的度数。