高一数学期中试题
余姚中学2023学年第一学期期中考试高一数学试题(含答案)
A. 54 cm2
B. 48 cm2
C. 27 cm2
D. 9 cm2
4.函数 f (x) | x2 1| 的大致图象为( ) x
A
B
C
D
5.已知函数 f (x) log2 (2 x) 的值域为 ,1 , 则函数 f (2 x ) 的定义域为( )
A. [0, )
B. [0, 2)
C. [0,1)
9.下列说法正确的是( )
A.
10
化成角度是
18
B.
120
化成弧度是
5 6
C. 330 与 750 的终边相同
D.
若 sin
cos
1 ，则 tan 2
cos sin
2
10.用二分法求函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个零点的近似值 ( 精确度为 0.1) 时，依次计算得到如下数据：
11.函数
f
(x)
x 1 | x
(x |
R)
，以下四个结论正确的是(
)
A. f (x) 的值域是 (1,1)
B.
函数 y
f (x) 的图像与函数 g(x) log2
x x
1 1
图像的交点为
x1
,
y1
,
x2
,
y2
,
x3
,
y3
,,
xm
,
ym
，则
x1 x2 x3 xm 2
C.
若规定
f1(x)
f (x) | x2 1| f (x) ， x
该函数为奇函数，故 A 错误；
当 x 0 时， f (x) | x2 1| 0 ，故 D 错误； x
广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学考试用时：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{3P x x =∈≥N 或0}x ≤，{}2,4Q =，则()P Q =N （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =，所以(){}1,2,4P Q =N ，故选：D ．2.命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（ ）A.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+B.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∉+C.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∈+D.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∈+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是“()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+.故选：A. 3.函数()f x =的定义域是（ ） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞【答案】D 【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】()f x =的定义域满足1020x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞C. ()2,∞+D. [2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】对x 的范围分类，把(f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．【详解】()32,1121,1223,2x x f x x x x x x −≤=−+−=<< −≥，作出函数()f x 的图像如图所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞， 故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()af x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以23a =，所以()23f x x ==，因为2013<<， 因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢， 故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .6. 函数31()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数81ln y x =与31803x y − =−−在()0,∞+上均为增函数，所以()f x 在()0,∞+上为增函数．因为()281ln 2830f =−<，()381ln 3810f =−>， 所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内． 故选：B7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（ ）A. 11,2 −B. 1,12−C. 1,12D. ()2,1−【答案】A 【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则221,2b a a−+=−−=，解得1,1a b =−=−， 故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,2x ∈−. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −. 故选：A .8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则(1)(1)f g =（ ） A. 22e 1e 1+− B. 22e 1e 1−+C. 221e 1e −+D. 221e 1e +−【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()111e g f −−−−=有()()111e g f −+=， 又()()11e g f −=，所以()121e e g −=+，()121e ef −=−， 所以()()12121e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()1f x x =+与21()1x g x x −=−B. ()1f t t =−与()1g x x =−C. ()ln e x f x =与()g x =D. ln ()e x f x =与()g x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；对于C ，函数()()f x x x =∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；对于D ，()()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误． 故选：BC10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数1y x x=+的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m ab m b+<+ D. “11a b>”是“a b <”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误， 对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0， 由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；对于C ，()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m ab m b+<+，故C 正确， 对于D ，①若11a b>，则当0a >，0b >时，则0a b <<， 当0a <，0b <时，则0a b <<， 当a ，b 异号时，0a b >>．的②若a b <，则当a ，b 同号时，则11a b >， 当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b<， 所以“11a b>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．故选：BC11. 下列命题正确的是（ ）A. 函数212log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1x xy −=+在R 上单调递增C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减D. 函数13xy =与3log y x =−的图像关于直线y x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()21e 1x f x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >， 故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错； 对于B ，()21e 1x f x =−+， 由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>， 所以1e 1x y =+在R 上单调递减，2e 1xy =−+在R 上单调递增， 因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增， 又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；对于D ，由于函数13xy =与13log y x =（即3log y x =−）互为反函数．所以两函数图象关于y x =对称，D 正确． 故选：BCD.12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ） A. ()D x 的解析式为()R 1,,0,.x Q D x x Q ∈ = ∈B. ()D x 的值域为[]0,1C. ()D x 的图像关于直线1x =对称D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确． 对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =，所以()()1D D x =，所以D 正确． 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.110.752356416(4)−−−++++=________．【答案】414##1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：11111430.752364353355426416(4)[()](2)(2)22233−−−−+=+−+++⋅ 221141821033444=−+++==． 故答案：414. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________． 【答案】52##2.5 【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =，b =，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x −+=的两个实数根， 由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=， 则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a ba b b a b a a ba ba ba b++−⋅++=+===−=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或12t =， 不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +==+=．故答案为：52.15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=，则2x y +的最小值是__________． 【答案】8 【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号.所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．【答案】3,32 −+ ． 【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222T t =−− ，t ≤≤上的范围，由二次函数的性质即可求解.【详解】()124T x y xy =−++，设x y t +=，则212t xy −=， 所以221124212t T t t t −=−+⋅=−．因为22x y xy + ≤，所以22124t t −≤．所以t ≤≤又213222T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+．故答案为：3,32 −+ 四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}(,)|1Ax y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m ==++．（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；（2）若1a =，且A B ∩≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）11,22A B=−（2）[]2,1−． 【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若1a =，0m =，则(){},|Bx y y x ==． 由1y x y x =−=− ，得1212x y= =− ． 所以11,22A B =−． 【小问2详解】由()211x y y mx x m −==+++消去y，得210mx m +++=①． 因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．当0m =时，方程①可化为1=−，解得x =，所以1y ， 所以0m =符合要求．当0m ≠时，要使方程①有解，必须(()2Δ410m m =−+≥，即220m m +−≤，解得21m −≤≤， 所以21m −≤≤，且0m ≠． 综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式2514x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ． （1）求集合A ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,4（2）[)1,4．【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.【小问1详解】 解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044x x x x −−−=≤−−， 即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．【小问2详解】解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，由不等式()2220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤， 当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问1详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−+−=−， 因为()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =−−=−+， 所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>． 【小问2详解】易如()()200f f −==，当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()22f a a a =+； 当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与的隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．（1）求k 的值；（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.【答案】（1）1k =（2）18万元．【解析】【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.【小问1详解】由题知()116h =，所以3232161k −=+， 解得1k =；【小问2详解】由（1）知，()()32320201h x x x =−≤≤+， 所以()()323220201f x x x x =−−≤≤+， 所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++， 因为()3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211x x =++，即3x =时取等号， 所以()341618f x ≤−=， 所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．21. 已知23()21x x a f x −−=+， （1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．的【答案】（1）13− （2）41,3【解析】【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=，得出方程，进而求得实数a 的值； （2）令()0h x =，得到()23210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞上有两个不相等的根， 方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞，即可求解. 【小问1详解】 解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++， 可得232312121x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立， 因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13a =−． 【小问2详解】 解：由232()()1x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+， 所以()23210x x a a −−++=， 两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=． 令2x t =，因为1x >−，所以12t >， 于是方程可化为2210at at −+=，（*） 问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞上有两个不相等的根，显然0a ≠， 方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意； 若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>， 故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<． 综上可得，实数a 的取值范围是41,3． 方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=， 所以10a a−>，即a<0或1a >，①此时，1t −=，即1t =±，其中11,2 +∞ ，则112−>12<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：①()()()4f x y f x f y +=+−；②(2)6f =；③当0x >时，()4f x >．（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析 （2）[]1,3【解析】的【分析】（1）令2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．【小问1详解】解：令2x =，0y =，可得()04f =．函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，令1x y x +=，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−， 因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>， 所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R【小问2详解】解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，即()()ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ， 又由()26f =，所以()()()ln 3e 122ln 32xf a x a f −++−−≤ ， 因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立， 根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，则13e 0x a a <+ >，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤， 可得1334ex <+≤，所以03a <≤ ①， 又由（*）式可化为()()2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+= ， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x xa a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()()3e 1e 10x x a +−≥成立， 因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立， 即max1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②． 由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
高一年级第一学期期中考试数学试卷及其参考答案
高一年级第一学期期中考试数学试卷（基础模块第一章、第二章）一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列表示正确的是（）．A.{ 0 }＝∅B.｛全体实数｝＝ＲＣ.{ a }∈{ａ,ｂ,c } D.{ x∈R∣x2+1＝0 }＝∅2.已知全集U={ 0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，B={2,3,4}，则（U C A）B＝（）．A.{2}B.{0,2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,3,4,5}3.已知A={ (x,y) | 2x-y=0 }，B={ (x,y) | 3x+2y=7 }，则A B＝（）．A.{(2,1)}B.{1,2}C.{(1,2)}D.{x=1,y=2}4．设A={ x | 0< x < 1 }，B={ x | x < a } ，若A⊆B，则a的取值范围是（）．A.[1,＋∞) B.(－∞,0]C.[0,＋∞)D.(－∞,1]5.已知集合A={ x | x2＋14= 0 }，若A∩R =∅，则实数ｍ的取值范围是（）．A.m<1B.m≥1C.0<m<1D.0≤m<16.“A⊆B”是“A B＝A”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.不等式21-+xx≤0的解集为（）．A.{ x | x≥2}B.{ x | x≥2或x<－1 }C.{ x|－1<x≤2 }D.{x| x≥2或x≤－1 }8.已知a<b<0，c>0，那么（）．A.a2<b2B.a b<1C.ca<cb D.ca>cb9.绝对值不等式| 2x－3 |<5的解集是（）．A.{ x | x<－1或x>4 }B.{ x |－1<x<4 }C.{ x | x<－1 }D.{ x | x>4 }10.与不等式－x2－2x＋3>0同解的不等式(组)是（）．A. x2＋2x－3>0B. (x＋3)(x－1)<0C.x+3>0x-1D.x+3<0x-1>0⎧⎨⎩a 、b 、c 的大小顺序是（ ）． A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b12.若实数0<a <1，则)0>1(a-x)(x-a的解集为（ ）． A.{ x |1<x<a a } B.{ x | 1<<a x a} C.{ x | 1< >x a 或x a } D.{ x | 1<a >x 或x a}二、填空题（每小题4分，共16分）13.设全集U={ 1,2,3,4,5 },A={ 2,5 }，则U C A 的所有子集的个数为 _________． 14.符合条件｛ａ｝⊆Ｍ ｛ａ，ｃ，ｄ｝的集合Ｍ的个数是 _________．15.设ａ，ｂ为实数，则“ａ2＝ｂ2”是“ａ＝ｂ”的 _________条件．(填充分或必要)16.不等式2+2m x x+n>0的解集是(11,32-)，则不等式2-nx +2x-m >0的解集是 _________．三、解答题（共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 17.已知U={ x |－2<x<7 ,x ∈N }，A={ 1,2,4 }，B={ 2,3,5}．求: ⑴ A U B ；⑵ A B ；⑶ B C C U U A；⑷ B C C U U A ．(12分)18.若集合A={ x | mx 2＋2x －1 = 0 , m ∈R , x ∈R }中有且仅有一个元素，那么m 的值是多少？(12分)19.设集合A={ x | x 2－3x ＋2 = 0 }，B = { x | x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0 }，若A B = { 2 }，求实数ａ的值．(12分) 20.解不等式x+23-x≤1．(12分) 21.设全集为R ，A={ x | |x-1|<3 }，B={ x | x 2－x －2≥0 },求A B ，A U B ，A CB ．(12分)22.已知集合A={ x | x 2－x －12 ≤0 }，集合B={ x | m －1≤x ≤2m ＋3 }，若A U B=A ，求实数m 的取值范围．(14分)高一年级第一学期期中考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、 8 14、 3 15、 必要 16、 （－2,3）三、解答题：（22题14分，17~21题每题12分，共计74分）17.解：U={ 0,1,2,3,4,5,6 }. ⑴A U B={1,2,3,4,5}.⑵A B={2}.⑶B C C U U A ={ 0,3,5,6 }U { 0,1,4,6 }={ 0,1,3,4,5,6, }. ⑷ B C C U U A={ 0,3,5,6 } { 0,1,4,6 }={ 0,6 }.18. 解：当m=0时, A=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,符合题意.当m ≠0时,要使集合A 中有且仅有一个元素,必须 方程mx 2＋2x －1 = 0有两个相等实数根, ∴ 2∆=2+4m =0, 即m=－1,综上所述,m=0或m=－1. 19. 解：A={ 1,2 }∵ A B={ 2 }, ∴ 2 B, ∴ 2是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0的根,把x=2代入此方程得2a +4a+3=0, ∴ a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={ -2,2 }, A B={ 2 },符合题意. 当a=-3时,B={ 2 }, A B={ 2 },符合题意. 综上所述,a 的值为-1或3. 20. 解：原不等式⇔x+2-13-x ≤0⇔x+2-(3-x)3-x ≤0⇔2x-13-x≤0 ⇔2x-1x-3≥00≠⎧⇔⎨⎩x-3(2x-1)(x-3)≥012⇔x ≤或x>3, ∴ 解集为12{x |x ≤或x>3}. 21. 解：解|x-1|<3得-2<x<4, 故A=(-2,4).解x 2－x －2≥0得x ≤－1或x ≥2, 故B=(-∞,-1]∪[2,+∞).∴ A B=(-2,-1]∪[2,4),A U B=R,A C B=(-2,4) (-1,2)=(-1,2).22.解: 解x2－x－12 ≤0得－3≤x≤4, 故A=[-3,4],由A U B=A，知B A，∴⎧⎪⎨⎪⎩m-1≤2m+3,m-1≥-3,2m+3≤4,即12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m≥-4,m≥-2,m≤,∴ -2≤m≤12.。
河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
郑州一中2022～2023学年上学期期中考试高一（数学）试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分。
2．考试时间：120分钟。
3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合，，则（ ）A ．B ． C ．D ．2．已知非空数集A ，B ，命题p ：对于，都有，则p 的否定是（ ）A ．对于，都有B ．对于，都有C ．，使得D ．，使得3．函数f (x )＝2x ＋13－x－(x ＋3)0的定义域是（ ）A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B. (－∞，－3)∪(－3，3)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，3)4.祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如果在等高处的截面积相等，则体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A ，B 的体积相等，q ：A ，B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A.充分必要条件 B ．充分不必要条件C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.关于的不等式的解集为，则关于的不等式 的解集为 （ ）A ．B ．C ．D ．6.定义在上的偶函数满足：对任意的，有{}0,1,2,3,4,5A ={}15B x x =∈-<<N A B = {}2,3,4{}1,2,3,4{}0,1,2,3,4{}0,1,2,3,4,5x A ∀∈x B ∈x A ∀∈x B ∉x A ∀∉x B ∉0x A ∃∈0x B ∈0x A ∃∈0x B∉x 220ax bx ++>(1,2)-x 220bx ax -->(2,1)-(,2)(1,)-∞-+∞ (,1)(2,)-∞-+∞ (1,2)-R ()f x [)()12120,,x x x x ∈+∞≠，则，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7.函数的图象大致为（ ）A ． B ． C ． D ．8．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．610C ．12D ．1210二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)．9．下列叙述正确的是( )A.若P ＝{(1，2)}，则B.{x |x >1}⊆{y |y ≥1}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}，则M ＝ND.{2，4}有3个非空子集10．若 则( )A ．B ．C ．D．11．若，则下列关系正确的是( )A ．B ．CD ．12．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是()()21210f x f x x x -<-()2f -()2.7f()3f -()()()2.732f f f <-<-()()()2 2.73f f f -<<-()()()32 2.7f f f -<-<()()()3 2.72f f f -<<-()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c ，，S S =1=)2p a b c ++（146a b c +==，P ∅∈0a b >>22ac bc >a c b c ->-22a b>11a b <4455x y x y ---<-x y <33y x -->>133y x-⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x ()g x R ()f x ()g x偶函数，且，则下列说法正确的是( )A ．为偶函数B ．C ．为定值D ．第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分．）13．已知集合A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{a 2，1}，若B ⊆A，则实数a 的值是 ．14．若,则的取值范围是 ．15．已知函数(且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．16．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x 的最大整数.例如：，.已知函数，，若，则________；不等式的解集为________．四、解答题（本题共6小题，17题10分其它题均为12分，共70分．） 17．（本小题10分）（1）求值：；（2）已知，求值：.18．（本小题12分）设集合，集合．(1)若，求和(2)设命题，命题，若是成立的必要条件，求实数的取值范围．19．（本小题12分）在①，②这两个条件中任选一个，补()()2x f x g x +=()()f g x ()00g =()()22g x f x -()()2,02,0x x x f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩33(1)(32)a a +<-a y =0a >1a ≠[1,2]a []y x =[]x [ 2.1]3-=-[3.1]3=()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈5()2f x =x =()f x x ≤()31211203320.2521624------⨯⨯+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11223(0)a a a -+=>22111a a a a --++++{|13}A x x =-<<{|22}B x a x a =-<<+2a =A B A B:p x A ∈:q x B ∈p q a []2,2x ∀∈-[]1,3x ∃∈充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)若______，，求实数a 的取值范围．20.（本小题12分）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，设月产量为台，当不超过400台时总收入为元，当超过400台时总收入为80000元.(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）21．（本小题12分）已知不等式的解集为.(1)求的值，(2)若，，，求的最大值.22．（本小题12分）已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围．0m n <<()24f x x ax =++2a =-()f x []22-,()0f x ≥x x 214002x x -x P x 5111133x +≤≤（（）[],a b a b ，0m >0n >0bm n a ++=mn m n+()2211a f x a a x+=-0a >()f x ()0,+∞,m n ()f x [,]m n a。
高一数学期中考试试题及答案
1.已知全集 U={0, 1 , 2, 3, 4},2.设集合M x 0 x 2 , N高一数学期中考试试题第I 卷选择题（共60 分）、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） M={0 , 1, 2} , N={2 , 3}，则(C u M )n N =A • 2,3,4B • 2C • 3D •0,1,2,3,4y 0 y 2 ,给出如下四个图形，其中能表示从集合 M 到集合N 的A.[ 4, )B. [0,5]C. [ 4,5] 25. 3log342733lg0.01 lneA. 14B. 0C. 1 6.在映射f : AB 中，A B{(x,y)|x, y 在集合B 中的像为A. ( 1, 3)B. (1,3)C. (3,1)D. [ 4,0]D. 6R}，且 f : (x, y) (x y, x y)，则 A 中的元素(1,2)D. ( 3,1)7.三个数a 0.312, b log 20.31 , c 2。
31之间的大小关系为函数关系的是3.设 f x 3x 3x 8，用二分法求方程 3x 3x 8 1,2内近似解的过程中得 f 1 0, f 1.5 0, f 1.25 0 ,则方程的根落在区间 A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C.(1.5,2) D. 不能确定 4.二次函数f （x ） x 24x (x [0,5])的值域为12.若函数f (x)为定义在R 上的奇函数，且在(0,)内是增函数，又f(2) 0,则不等式xf(x) 0的解集为-A . ( 2,0) U(2,)B. ( , 2)U(0,2) 一已知函数y f (x)在R 上为奇 函数，且当 x 0时， f(x) x 22x ，贝析式为A . f(x) x(x 2)B .f(x) x(x 2) C. f(x) x(x 2)D.f(x)x(x 2)函数y a x 与ylog a x(a 0,且a 1)在同一坐标系中的图像只可能是8. x 0时，函数f(x)的解10.设 log a 2 2 0，则9. A. 0 B. D.11.函数 f(x) 4x 5在区间［0, m ］上的最大值为5, 最小值为1，则实数m 的取值范围是A.[2,B.[2,4] C. [0,4] D.(2,4] C. ( , 2)U(2,) D. ( 2,0) (0,2)13.函数 f(X )2x 3 (x Xz2(x 2)，则f ［f( 3)］的值为2)x 0在区间 a, b 上高一数学期中考试答题卷、选择题：(本大题小共12题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四 第II 卷非选择题(共90分)、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16 分)14.计算： log 4 3 log 9 815. 二次函数y kx 24x 8在区间［5,20］上是减少的，则实数 k 的取值范围为 _____________________ 16. 给出下列四个命题：① 函数y |x|与函数y c x)2表示同一个函数；② 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；2 2③ 函数y 3(x 1)的图像可由y 3x 的图像向右平移1个单位得到； ④若函数f (x)的定义域为［0,2］，则函数f(2x)的定义域为［0,4］； ⑤设函数f x 是在区间a,b 上图像连续的函数，且 f a f b 0 ,则方程 至少有一实根；个选项中，只有一项是符合题目要求的)其中正确命题的序号是________________ •(填上所有正确命题的序号)已知函数f(x) 2x1 2x 1 .三、解答题：(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分12分)已知全集U R，集合A XX 4,或x 1，B x 3 x 1 2，(1)求AB、(C U A) (QB)；(2)若集合M x2k 1 x 2k 1是集合A的子集，求实数k的取值范围.18. (本题满分12分)⑴判断函数f(x)的奇偶性，并证明;⑵利用函数单调性的定义证明： f (x)是其定义域上的增函数19. (本题满分12分)已知二次函数f(x) x2 2ax 1 a在区间0,1上有最大值2，求实数a的值20. (本题满分12分)函数f (x) log a(3 ax)(a 0,a 1)(1)当a 2时，求函数f (x)的定义域;(2)是否存在实数a，使函数f (x)在［1,2］递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由21. (本题满分13分)广州亚运会纪念章委托某专营店销售，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向广州亚组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售 400枚，而每增加一元则减少销售 100 枚，现设每枚纪念章的销售价格为X元.(1) 写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x(元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2) 当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出最大值.22. (本题满分13分)设f(X)是定义在R上的奇函数，且对任意 a、b R，当a b 0时，都有丄® 理0. a b(1)若a b，试比较f (a)与f (b)的大小关系；(2)若f(9X2 3X) f (2 9X k) 0对任意x [0,)恒成立，求实数k的取值范围题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBCBDCAABBD• 2分 • 4分6分 10分12分 • 1分x 1 x 22x1参考答案131 13.15・(,0)(0, ] 16.8 410三、解答题： 17.(1)B x 3 x 1 2 x 2 x 3ABx1x 3 ,(C U A) (C U B) xx1,或x 3(2)由题意：2k 11 或 2k 14 ,5解得：k 1或k 5.218.(1) f (x)为奇函数.2x2， 2x1 2x20,又 2x11 0,2x210，又 f( x)2 %1 1 2x2X1 f (x)2 x 1 1 2x2X 1f (x)为奇 :函数(2) f(x) 1 22x 1任取 x 1、 x 2 R , 设x 1 X 2 ,2x 1 0, f (x)的定义域为R ， 2f(xj f(X 2)(1 J J(1 X 21)2(11)2(2x1 2x2) 0 1)(2x21)f(xj f(X 2)0， f(xjf(X 2).f (x)在其定义域R 上是增函数12分、选择题: 、填空题:③⑤19.函数f (x)的对称轴为：x a ,当a 0时，f(x)在［0,1］上递减, f (0) 2，即1 a 2, a 1 ；当0 a 1时，f(x)在［0,a ］递增，在［a,1］上递减, 与0 a 1矛盾；综上：a 1或a 2 20. ( 1 )由题意：f(x) log 2(3 2x)， 3 2x f (a)2，即 a 2a 12，解得：a12分0，即 卩 x所以函数f(x)的定义域为( (2)令 u 3 ax ，则 u 3 ax 在［1,2］上恒正, a 0, a 3 a 2 0，即卩 a (0,1) (%)又函数f(x)在［1,2］递减， u 3 ax 在［1,2］上单调递减, 1，即 又 函数f (x)在［1,2］的最大值为 1， f(1) 即 f (1) log a (3 a 1) 1，3 ax 在［1,2］上单调递减,a d,|)11分 3 3 a 2与a (1,2)矛盾，12分依题意y[2000 400(20 x)](x 7), 7 x 20, x N [2000 100(x 20)](x 7), 20 x 40, x N400[(x 2佝281],7 x20, x Ny47 21089100[(x 2)4 ], 20 x 40, x N定义域为x N 7 x 40400[(x 16)2 81], 7 x 20, x Na 不存在. ⑵•- y 2 100[(x 21. (1) •••当 0 当20 综上：当x 16时, x 20时，则x ^089], 20 x 40,x N ' 4 16 , Y max 32400 (元)47 2 ， Y max该特许专营店获得的利润最大为 x 40时，则x 27225 (元) 32400 元. 10分13分22. (1)因为a b ，所以a b 0 ,由题意得： ―0，所以 f(a) f( b) 0 , a b又f (x)是定义在R 上的奇函数,f (9x 2 3x ) f (2 9x k) 0对任意x[0, )恒成立，f (9x 2 3x )f (2 9x k) ，即 f(9x 2 3x)f(k 2 9x ),.....9分9x 2 3xk 2 9x,k x3 92 3 x对任意 x [0,)恒成立，即k 小于函数u 3 9X2 3X,x [0,)的最小值...... 11分xxx21 2 1令 t 3x，则 t [1,) u 3 9x 2 3x 3t 22t 3(t- 1, 3 3k 1..... 13 分。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2 + 5C. y = 1/xD. y = -4x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B等于（）A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}3. 若sinα=0.6，则cosα的值是（）A. 0.8B. -0.8C. -0.4D. 0.44. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|的最小值是（）A. 5B. 2C. 1D. 45. 不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 3]C. [1, 3]D. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)6. 已知数列1, 3, 5, 7, ...，其第n项an等于（）A. 2n - 1B. 2n + 1C. 2nD. n + 17. 若a + b + c = 0，则a^2 + b^2 + c^2 =（）A. 0B. 2abC. 2bcD. 2ac8. 函数y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4的极大值点是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知tanθ = 2，求sin^2θ + cos^2θ的值是（）A. 1B. 5C. 3D. 410. 下列哪个选项是二元一次方程（）A. x^2 + y = 7B. 3x + 2y = 10C. x^2 - y = 0D. 2x/3 + y/4 = 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列的首项是5，公差是3，则其第10项是_________。
12. 若函数f(x) = x^2 - 2x在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) = ________。
13. 已知三角形ABC中，∠A = 90°，a = 3，b = 4，则c=_________。
广东省第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 已知集合，，，则（ ） {}1,2,3,4,5,6,7U ={}1,2,4,5A ={}1,3,5,7B =()U A B = ðA.B. C. D.{}3,6{}2,4{}1,2,4,5,6{}3,5,7【答案】C【解析】【分析】由题意和补集、交集的运算依次求出和． U B ð()U A B ð【详解】解：因为全集，2，3，4，5，6，，，3，5，，{1U =7}{1B =7}所以，4，，{2U B =ð6}又，2，4，，则，2，4，5，， {1A =5}(){1U A B = ð6}故选：C ．2. 命题：“，”的否定是（ ）0x ∀>e 1x >A. ，B. ，C. ，D. ， 0x ∀>e 1x ≤0x ∀≤e 1x ≤0x ∃>e 1x ≤0x ∃≤e 1x ≤【答案】C【解析】.【详解】命题“”的否定为0e 1x x ∀>>，“”.0e 1x x ∃>≤，故选：C3. 设，则“”是“”的（ ） x ∈R 1x >11x <A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】解不等式得到或，根据范围的大小关系得到答案.1x >0x <【详解】，即，故或，故“”是“”的充分不必要条件. 11x <10x x -<1x >0x <1x >11x<故选：A4. 已知，则的定义域为（ ）()f x =()f x A . B.()(),11,3-∞⋃()(),22,4-∞⋃C. D.()(),00,2-∞ (),2-∞【答案】A【解析】【分析】根据题意建立不等式解出即可.【详解】函数要有意义则：或， 1011303x x x x x -≠≠⎧⎧⇒⇒<⎨⎨-><⎩⎩13x <<所以函数的定义域为：.()(),11,3-∞⋃故选：A.5. 若，则下列不等式不能成立的是（ ）0a b <<A. B. C. D. 22a b >11a b >a b >11a b a >-【答案】D【解析】A ，B ，C 正确，再举例说明D 错误..【详解】因为，所以，，，，0a b <<0a b +<0a b -<0ab >0b a ->又，所以，所以成立，22()()a b a b a b -=-+220a b ->22a b >，所以，110b a a b ab --=>11a b >，所以，0a b a b -=-+>a b >取可得，，，所以不成立，2,1a b =-=-11=121a b =---+112a =-11a b a <-11a b a >-故选：D.6. 若两个正实数x ，y 满足，且恒成立，则实数m 的取值范围是（）211x y +=222x y m m +>+A. B.()[),24,-∞-+∞ (][),42,-∞-+∞ C. D. ()4,2-()2,4-【答案】C【解析】【分析】结合基本不等式，求得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可2x y +228m m +≤求解.【详解】由题意，两个正实数x ，y 满足， 211x y+=则，2142(2)()448y x x y x y x y x y +=++=++≥+=当且仅当，即时，等号成立， 4y x x y=4,2x y ==又由恒成立，可得，即，222x y m m +>+228m m +≤(4)(2)0m x +-≤解得，即实数m 的取值范围是.42m -<<()4,2-故选：C.【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中利用基本不等式求得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查推理与运2x y +228m m +≤算能力.7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）()()2,12225,1a x ax x f x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪+-<⎩R A.B. C. D.81,5⎛⎫- ⎪⎝⎭81,5⎛⎤- ⎥⎝⎦(]1,2-()1,2-【答案】B【解析】【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解. 【详解】由题意，解得， 122201232a a a a ⎧≤⎪⎪+>⎨⎪⎪-≥-⎩815a -<≤故选：B8. 若函数，则的值域为（ ）()2,2312x x x f x x ⎧+<≤⎪=-≤≤()f x A. B. C. D.72⎤⎥⎦11(3,37(3,]2113⎤⎥⎦【答案】D【解析】【分析】分别求和时值域,即可求得的值域.23x <≤12x -≤≤()f x 【详解】① 在上单调递增， ()2f x x x=+(23]， 当时,的值域为: ∴23x <≤()2f x x x =+()f x ()()()23f f x f <≤即: 的值域为: ()f x 113,3⎛⎤ ⎥⎝⎦②()f x 令 是开口向上的二次函数,对称轴是: 2103t x x =+-32x =当时, 12x -≤≤ , min 103(1)16t =+--=2max 3349103224t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故值域是: ∴4964t ≤≤()f x 72⎤⎥⎦的值域为: ()fx 117113,=323⎛⎤⎤⎤⋃ ⎥⎥⎥⎝⎦⎦⎦故选:D.【点睛】本题考查了分段函数求值域问题.求分段函数值域时,要先求出每段函数的值域,在求其并集.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知集合A ，B 均为R 的子集，若，则（ ）A B ⋂=∅A.B. R A B ⊆ðR A B ⊆ðC.D.A B ⋃=R ()()R R A B R ⋃=ðð【答案】AD【解析】【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案 【详解】如图所示根据图像可得,故A 正确；由于 ，故B 错误； ,故C 错误R A B ⊆ðR B A ⊆ðA B R ⊆()()()R R RA B A B R ⋃=⋂=ððð故选：AD10. 若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）20ax bx c ++>()1,2-A. B. a<00a b c ++>C. 关于的不等式解集为 D. 关于的不等式解集为x 230bx cx a ++>()3,1-x 230bx cx a ++>()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】【分析】先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A 、B ；对于C 、D ：把不0,a <,2b a c a =-=-等式转化为，即可求解.230bx cx a ++>2230x x +->【详解】因为不等式的解集为，20ax bx c ++>()1,2-所以，故，此时，所以A 正确, B 正确； 0,1,2b c a a a<-==-,2b a c a =-=-20a b c a ++=->，解得：或.所以D 正确；C 错22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->3x <-1x >误.故选：ABD11. 下列命题中正确的是（ ）A. 当时，B. 当时， 1x >12x x +≥0x <12x x +≤-C. 当D. 当 01x <<2≥2x ≥+≥【答案】ABCD【解析】【分析】直接使用基本不等式可判断ACD ；根据，使用基本不等式可判断B.0x ->【详解】A 中，因为，由基本不等式可知成立； 1x >12x x +≥B 中，因为，所以，所以，所以成立； 0x <0x ->12x x-+≥-12x x +≤-C 中，因为成立； 01x <<2≥D 中，因为. 2x ≥+≥故选：ABCD 12. 已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，则（ ） ()f x 0x ≥()22f x x x =-A. 的最小值为-1()f x B. 在上单调递减()f x ()2,0-C. 的解集为()0f x >()(),22,∞∞--⋃+D. 存在实数x 满足())20f x f x ++-=【答案】ACD【解析】【分析】根据题意当时，作出其图象，然后再由偶函数的性质作出的图象，0x ≥()22f x x x =-0x <通过观察函数图象即可判断.【详解】依题意，作出函数的图象，如图所示：()f x观察图象可得：的最小值为-1，A 正确；()f x在和上单调递减，B 错误；()f x (),1-∞-()0,1的解集为，C 正确；()0f x >()(),22,∞∞--⋃+令，则有，D 正确；2x =()()()()020200f f f f ++=+=故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知集合，若，则非零实数的数值是______．{}{}1,2,31,A B m ==，3m A -∈m 【答案】2【解析】【详解】由题，若 则 此时B 集合不符合元素互异性，故32,m -=1,m =1;m ≠若则符合题意；若则不符合题意.31,m -=2,m =33,m -=0,m =故答案为214. 已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______．:1p x >3x <-:q x a >q p a 【答案】[)1,+∞【解析】【分析】依题意可得推得出推不出，即可求出参数的取值范围；q p p q 【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，q p q p p q 又或，，:1p x >3x <-:q x a >所以，即；1a ≥[)1,a ∈+∞故答案为：[)1,+∞15. 若幂函数为偶函数，则 ________ .()21m y m m x =--m =【答案】2【解析】【分析】利用幂函数和偶函数的定义即可求解.【详解】∵函数为幂函数，()21my m m x =--∴，解得或，21=1m m --2m =1m =-又∵为偶函数， m y x =∴，2m =故答案为：.216. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数[](),a b a b <()y f x =()f x [],a b 的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.若函数()[],,y f x x a b =∈[],a b [],a b ()f x 存在“保值”区间，则实数的取值范围为___________.()()20f x x m m =+≠m 【答案】31[1,)(0,)44--⋃【解析】【分析】由二次函数的性质可得的单调递增区间为，递减区间为，()()20f x x m m =+≠(0,)+∞(,0)-∞分、分别求解，再取并集即得答案.[],(0,)⊆+∞a b [],(,0)a b ⊆-∞【详解】因为函数的单调递增区间为，递减区间为， ()()20f x x m m =+≠(0,)+∞(,0)-∞所以当时，[],(0,)⊆+∞a b 则有，即方程有两个不相等的正根，22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩20x x m -+=所以，解得； 1400m m ->⎧⎨>⎩104m <<当时，[],(,0)a b ⊆-∞则有，22a m b b m a⎧+=⎨+=⎩则，，1a b +=-2211a m a b m b⎧+=--⎨+=--⎩即方程有两个不相等的负根，210x x m +++=所以，解得； 14(1)010m m -+>⎧⎨+>⎩314m -<<-当时，此时，则，与题设矛盾；0a =(0)0f =0m =当时，则， 0b =2()0(0)f a a m f m a ⎧=+=⎨==⎩即，解得或(舍去)；20m m +=1m =-0m =综上所述：实数的取值范围为：. m 31[1,)(0,44--⋃故答案为：31[1,)(0,44--⋃【点睛】关键点晴：对于新概念题，理解概念的定义是关键，本题的关键是从题意中得出[],(0,)⊆+∞a b 或. [],(,0)a b ⊆-∞四，解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，，.{}|114A x x =≤-<{}|23B x x =-<≤{}|2121C x a x a =-<<+（1）若，求实数的取值范围；C A ⊆a （2）若，求实数的取值范围.()A B C Í a 【答案】（1） 3,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2） 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据子集之间的关系列出不等式即可求解.（2）将转化成子集关系即可求解.()A B C ⊆ 【小问1详解】因为，所以.{}|114A x x =≤-<{}|25A x x =≤<因为，且 所以 C A ⊆C ≠∅2,215,3212,2a a a a ≤⎧+≤⎧⎪⇒⎨⎨-≥≥⎩⎪⎩解得. ； 322a ≤≤3,22a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，，所以 {}|23A B x x =≤≤ ()A B C ⊆ 212,213,a a -<⎧⎨+>⎩解得.故的取值范围为. 312a <<a 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭18. 已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对()223(22m m y f x x m --+==-<<)m Z ∈()0,∞+任意的，都有.x ∈R ()()0f x f x -+=（1）求同时满足①②的幂函数的解析式，()f x （2）在（1）条件下，求时的值域.[]0,3x ∈()f x 【答案】（1）()3f x x =（2）[]0,27【解析】【分析】（1）由②得函数为奇函数，对m 分类讨论判断即可；（2）利用函数单调性求值域.【小问1详解】对任意的，都有，∴是奇函数.x ∈R ()()0f x f x -+=()f x 且，则当时，，满足①不满足②； 22m -<<m ∈Z 1m =-()2f x x =当时，，满足①②； 0m =()3f x x =当时，，不满足①②.1m =()1f x =故幂函数的解析式为； ()f x ()3f x x =【小问2详解】，，故的值域为.[]0,3x ∈()[]30,27f x x =∈()f x []0,2719. 已知命题，命题.2: 12,0p x x a ∀≤≤-≥22:, 220q x x ax a a ∃∈+++=R （1）若命题为真命题，求实数的取值范围；p ⌝a （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.p q ⌝a 【答案】（1）；（2）.{}|1a a >{}|01a a <≤【解析】【分析】（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；p （2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交p a q a q a 集可得．【详解】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，. 12x ≤≤214x ≤≤2: 12,0p x x a ⌝∃≤≤-<1a ∴>实数的取值范围是.∴a {}|1a a >(2)由(1)知命题为真命题时，. p 1a ≤命题为真命题时，，解得为真命题时，.q ()224420a a a ∆=-+≥0,a q ≤∴⌝0a >，解得，即实数的取值范围为. 10a a ≤⎧∴⎨>⎩01a <≤a {}|01a a <≤20. 已知函数是定义在上的奇函数，且 ()221x b f x ax +=+R ()11f =（1）求的值 ,a b （2）用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值． ()f x []26，[]26，【答案】（1）1,0a b ==（2）证明见解析； max min 412(),()537f x f x ==【解析】【分析】（1）由求解；(0)0,(1)1f f ==（2）利用单调性定义求解.【小问1详解】解：由，(0)0,(1)1f f ==可得，1,0a b ==此时，符合题意；()()2222,()11x x f x f x f x x x =-==-=-++【小问2详解】设，1212,[2,6],x x x x ∀∈<， 221212211222221212222(1)2(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++， 22121212122112211222222212121222222()2()2()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---+---===++++++由，1226x x £<£，21210,10x x x x ->->故，12())0(f x f x ->所以在上单调递减， ()f x []26，此时. max min 412()(2),()(6)537f x f f x f ====21. 已知函数，且的解集为．2()3(,)f x ax bx a b R =++∈()0f x ≤[1,3]（1）求的解析式；()f x （2）设，在定义域范围内若对于任意的，使得恒成立，()()41x h x f x x =+-12x x ，()()12h x h x M -≤求M 的最小值．【答案】（1）；（2． 2()43f x x x =-+【解析】【分析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意 (1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得 14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -… 2(),2x h x x R x =∈+当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令，当，当取等号， 2()g x x x=+0,()xg x >…x =当当取等号，0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞ ()(0)h x x ⎡⎫⎛∈⋃≠⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝综上， ()h x ⎡∈⎢⎣M ⎛∴-= ⎝…min M ∴=【点睛】关键点点睛：利用函数单调性研究函数带参最值问题.22. 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在函数的图像（弹道曲线）上，其中k 与发射221(1)(0)20y kx k x k =-+>方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.（1）确定k 的值使炮弹恰好击中坐标为的目标P ；(2,3)（2）时，求关于k 的函数解析式，并求炮的最大射程；0y =()x f k =（3）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少【答案】（1）或；2k =8k =（2）；10千米； ()220(),01k f k k k =>+（3）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标，理由见解析.a 【解析】【分析】（1）根据题意点在在函数的图像上，即可解出k ； ()2,3P 221(1)(0)20y kx k x k =-+>（2）令，将x 表示为k 的函数，即可求出x 的最大值； 0y =（3）炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，即可求出a 的范围. 0k >221(1)=3.220ka k a -+【小问1详解】由题意，点在在函数的图像上， ()2,3P 221(1)(0)20y kx k x k =-+>故， 2212(1)2320k k -+⋅=解得或；2k =8k =【小问2详解】在中，令，得， 221(1)(0)20y kx k x k =-+>0y =221(1)=020kx k x -+由实际意义和题设条件知， 00x >k >，故， 220(),01k x f k k k ==>+ ∴， 2202020===10112k x k k k≤++当且仅当时取等号，1k =∴炮的最大射程是10千米；【小问3详解】当不超过6千米时，炮弹可以击中目标.∵,所以炮弹可以击中目标等价于存在，使成立， 0a >0k >221(1)=3.220ka k a -+ 即关于的方程有正根，k 22220640a k ak a -++= 由，得， ()()222204640a a a ∆=--+≥6a ≤ 此时， ，0k ==> ∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标.a。
江苏省无锡市天一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
D．若 a - b Î[0] ，则整数 a ， b 属同一类
四、多选题
12．已知函数 f ( x), g ( x) 是定义在 R 上的函数，其中 f（x）是奇函数，g（x）是偶函
数，且
f（x）+g（x）＝ax2﹣x，若对于任意
x1
>
x2
>
1，都有
g
( x1 )
x1
-
g ( x2
x2
)
>
4
，则实
数 a 可以为（ ） A．3
数不是同一函数，故 A 错误；
B.两个函数的定义域为 R ,且 y = x2 = x ，所以两个函数是同一函数，故 B 正确；
C. y =
x
5 +
3
x2 -2
的定义域为
ìï5 - x2
í ïî
x
+
3
³0 -2¹
0
，解得：
-
5£x£
5 ，且 x ¹ -1 ，与 y =
5- x2 x +1
的定义域相同，并且在定义域下去绝对值得
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1．C 【分析】利用交集的定义即可求解.
参考答案：
【详解】由题意可知， A Ç B = {x -1 £ x < 3} Ç{0,1, 2,3} = {0,1, 2} .
故选：C. 2．A 【分析】写出该命题的否定即可.
【详解】“ "x Î Z ， x2 + 2x + m £ 0 ”的否定是“ $x Î Z ， x2 + 2x + m > 0 ”. 故选：A 3．B 【解析】利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可.
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。
A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。
A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。
A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。
A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。
___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。
___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。
___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 不确定5. 下列哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e < 2.72C. √3 > √2D. log2(3) > log3(2)6. 已知等差数列的首项为a1 = 3，公差为d = 2，第5项a5的值是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 4C. 8D. 169. 抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等比数列的首项为a1 = 2，公比为r = 3，求第4项a4的值。
A. 162B. 486C. 729D. 1458二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0，其中d^2 + e^2 - 4f > 0时，表示______。
12. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) =______。
13. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的补集∁_R M = {x | ______ }。
14. 函数y = log_2(x)的定义域是{x | x > ______ }。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。
2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。
3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。
4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。
高一数学必修一期中试卷及答案
高一数学必修一期中试卷及答案1、已知，当时，求（）． [单选题] * A．7B．-7(正确答案)C．0D．无法确定2. 下列语句中是集合的是（） [单选题] *A.浙江的所有高楼大厦的全体B.面积较小的三角形的全体C.与0相差不多的数的全体D.中国队的女排运动员的全体(正确答案)3．的定义域是（）． [单选题] *A．（-∞，0）B．（0，＋∞）C．（－∞，＋∞）(正确答案)D．∅4．函数，则当时，（）． [单选题] *A．1B．10(正确答案)C．-10D．-35．已知 A={a,0}，B={1,2}, A∩B={1}，则（）． [单选题] * A．1(正确答案)B．1，2C．2D．06．，此函数是（）函数． [单选题] *A．一次函数B．二次函数(正确答案)C．反比例函数D．正比例函数7．选出下列选项中正确的一项，4（）． [单选题] * A．∈(正确答案)B．∉C．D．8．，，则的结果是（）． [单选题] *A.{1,2,3,4,5,6}B．{1,2,3,4,6}C．{2,6}(正确答案)D．∅9．集合，用区间的形式表示出来是（）． [单选题] *A． (－∞,7)B． (0,7)C． (7, ＋∞)(正确答案)D．∅10．已知m，n为实数，则∣m∣=∣n∣是的（）条件． [单选题] * A．充分B．必要C．既不充分也不必要D．充分必要(正确答案)11．比较大小（） [单选题] *A．>B．<(正确答案)C．≥D．≤12. 下列关系正确的是（） [单选题] *A.0∈c80937d345258f239c80937d345258f239b630bd428ad-20221229-13401620.png' />B.π∈QC. ∈R(正确答案)D. ∈Q13.下列关系中，正确的是（） [单选题] *A. ∅∈{a}B.a∉{a}C.{a}∈{a，b}D.a∈{a，b}(正确答案)14. 设集合M={x|x}，a=4，则下列正确的关系是（） [单选题] *A.a∉M(正确答案)B.{a}∈MC. a∈MD.{a}∉M15. 集合M={x|2≤x≤8，且x Z}，则集合M元素个数为（） [单选题] *A.6B.64C.7(正确答案)D.12816. 集合A={1,2,4,7,9}，B={1,3,5,6,7,9}，则A B=（） [单选题] *A.{1,2,3,4,5,6,7,9}B.{1,7,9}(正确答案)C.{2,4,3,5}D. ∅17. 若M={2,4,6}，N={1,3}，则M N=（） [单选题] *A.{1,2,4}B.{1,2,3,4,6}(正确答案)C. ∅D.{ ∅}18. 集合M={(x ，y)|x+y=2}，N={(x ，y)|x-y=4}，则集合M N为（） [单选题] *A.x=3，y=-1B.（3，-1）C.{3， -1}D.{（3，-1）}(正确答案)19. 设集合A={1},B={1,2},C={1,2,3},则(A B) C=（） [单选题] *A.{1，2，3}B.{1，2}(正确答案)C.{1}D.{3}20. 已知全集U=R，A={x|x1}，则=（） [单选题] *A.{x|x>1}B.{x|0C.{x|x<1}(正确答案)D. ∅21．下列命题正确的是（） [单选题] *A. 若a＞－(正确答案)b，则c＋a＞c－bB．若a＞b，则a－b＞2d则ac＞bdD．若a＞b,c＞b,则a＞c22．若a>b，则（）． [单选题] *A．b ²≤a ²B．a²＞b²C．a²≤b²D．以上都不对(正确答案)23．若，则下列关系式中正确的是（）． [单选题] * A． 2x＞x²＞xB． x²＞2x＞xC． 2x＞x＞x²(正确答案)D． x²＞x＞2x24．不等式的解集为（）． [单选题] *A． (－∞,2)∪(3, ＋∞)B． (－∞,-1) ∪(6, ＋∞)(正确答案)C．(2,3)D．(-1,6)25．不等式+->0的解集为（）． [单选题] *A．(–1,3)(正确答案)B．(–3,1)C．(-∞,–1 )∪(3,+ ∞)D．(-∞,3)26．解集为{x|x<–2或x>3}的不等式为（）． [单选题] * A．(x+1)(x-2)<0B．(x+2)(x-3)>0(正确答案)C．x2–2x–3>0D．x2-2x-3<027．若不等式的解集是(-4,3)，则c的值等于（）． [单选题] * A．12B．-12(正确答案)C．11D．-1128．若|m-5|=5-m，则m的取值是（）． [单选题] *A．m >5B．m≥5C．m<5D．m≤5．(正确答案)29．求不等式︱-1︱≤2的解集为（）． [单选题] *A．(-∞,3]B．[-1,+∞)C．[-1，3](正确答案)D．(-∞,-1)∪(3，+∞)30．设不等式的解集为(-1，2)，则=（）． [单选题] *A．1/4B．1/2C．2/3D．3/2(正确答案)31．已知函数的定义域是（） [单选题] * A．{x|x≥1}(正确答案)B．{x|x≤1}C． {x|x＞1}D． {x|x＜1}32．与函数相等的函数是（） [单选题] * A． y=(x+1) ºB． y=t＋1(正确答案)C．D． y=|x＋1|33．设函数f(x)＝则f(3)＝（） [单选题] * A．0.2B．3C．2/3(正确答案)D．13/934．函数的定义域为（） [单选题] * A． (1, ＋∞)B． [1, ＋∞)C． [1,2)D．［1,2) ∪(2, ＋∞)(正确答案)35．已知函数，其定义域为（） [单选题] *A.{x|x≥1或x≤-3}B． {x|-1≤x≤3}C．{x|x≥3或x≤-1}(正确答案)D． {x|-3≤x≤1}36．已知函数，则f(f(4))＝（） [单选题] *A．－2B．0C．4(正确答案)D．1637．已知函数f(x)=ax³+bx＋4（a,b不为零）,且,则等于（） [单选题] *A．-10B．-2(正确答案)C．-6D．1438．设函数f(x)=x²+2(4-a)x+2在区间 (-∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（） [单选题] *A．a≥-7B．a≥7(正确答案)C．a≥3D．a≤-739．已知函数，若，则的值是（）． [单选题] * A．-2(正确答案)B．2或-2.5C．2或-2D．2或-2或-2.540．一个偶函数定义在[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是（）[单选题] *A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7(正确答案)D．这个函数在其定义域内有最小值是－741.如果偶函数在区间（0，1）上是减函数且最大值为3，则在区间（-1，0）上是（） [单选题] *A．增函数且最大值为3(正确答案)B．增函数且最小值为3C．减函数且最大值为3D．减函数且最小值为342．本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（） [单选题] *A．B．(正确答案)C．D．43．930°=（） [单选题] *A．B．C．D．(正确答案)44．将轴正半轴绕原点逆时针旋转30°，得到角α，则下列与α终边相同的角是（） [单选题] *A．330°B．-330°(正确答案)C．210°D．-210二、判断题，正确的打√，错误的打×（每小题2分，共6题，共12分）1. 集合可以写成． [判断题] *对(正确答案)错2．是一个函数解析式． [判断题] *对错(正确答案)3．集合，集合，则集合． [判断题] *对错(正确答案)4．是空集． [判断题] *对错(正确答案)5．． [判断题] *对(正确答案)错6．，其中元素一共有5个． [判断题] *对(正确答案)错。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高一年级第一学期期中考试数学试卷考试时间120分钟，满分150分。
卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则C B A= （）A. B. C. D.2.若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A. B. C. D.3.函数y=的图象是（）A. B. C. D.4.幂函数在时是减函数，则实数m的值为A. 2或B.C. 2D. 或15.若函数y=f（x）的定义域是（0，4]，则函数g（x）=f（x）+f（x2）的定义域是（）A. B. C. D.6.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.7.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）表达式是（）A. B. C. D.8.函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝-1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=|lg x|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A. B. C. D.10.若函数f（x）=，且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.若在区间上递减，则a的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=则函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为（）A. 1B. 3C. 4D. 6卷Ⅱ(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.方程的一根在内，另一根在内，则实数m的取值范围是______．14.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是______ ．15.当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______ ．16.已知函数的定义域为D，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，18-22题12分）17.计算下列各式的值：（1）（2）．18.已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19.已知函数，且．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的解集．20.已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f（kx2）＋f（2x－1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21.“绿水青山就是金山银山”，随着我国经济的快速发展，国家加大了对环境污染的治理力度，某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察，发现该厂产生的废气经过过滤排放后，过滤过程中废气的污染物数量千克/升与时间小时间的关系为，如果在前个小时消除了的污染物，（1）小时后还剩百分之几的污染物（2）污染物减少需要花多少时间（精确到小时）参考数据：22.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．第一学期期中考试高一年级数学试卷答案1.【答案】A解：因为A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}，则C B A=[3，+∞) ,故选A．2.【答案】C解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，则选：C．3.【答案】B解：函数y=是奇函数，排除A，C；当x=时，y=ln＜0，对应点在第四象限，排除D.故选B．4.【答案】B解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m =-1，故选B．5.【答案】A解：∵函数f(x)的定义域为(0,4],∴由,得,即0＜x≤2,则函数g(x)的定义域为(0,2],故选:A.6.【答案】C解：∵函数f（x）=e x+4x-3在R上连续，且f（0）=e0-3=-2＜0，f（）=+2-3=-1=-e0＞0，∴f（0）f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x-3的零点所在的区间为（0，）.故选C．7.【答案】D解：设x＜0，则-x>0，∵当x≥0时，，∴f（-x）=-x（1+）=-x（1-），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）=x（1-），故选D．8.【答案】D解：∵函数f（x）为奇函数，若f（1）=-1，则f（-1）=-f（1）=1，又∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，-1≤f（x-2）≤1，∴f（1）≤f（x-2）≤f（-1），∴-1≤x-2≤1，解得：1≤x≤3，所以x的取值范围是[1，3].故选D．9.【答案】C解：因为f（a）=f（b），所以|lg a|=|lg b|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．10.【答案】D解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得a∈[4，8），故选D．11.【答案】A解：令u=x2-2ax+1+a，则f（u）=lg u，配方得u=x2-2ax+1+a=（x-a）2 -a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．12.【答案】C解：令f（x）=1，当时，,解得x1=-，x2=1，当时，,解得x3=5，综上f（x）=1解得x1=-，x2=1，x3=5，令g（x）=f[f（x）]-1=0，作出f(x)图象如图所示：由图象可得当f（x）=-无解，f（x）=1有3个解，f（x）=5有1个解，综上所述函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为4，故选C.13.【答案】(1,2)解：设f(x)=x2-2mx+m2-1，则f(x)=0的一个零点在(0,1)内，另一零点在(2,3)内．∴，即，解得1<m<2．故答案为(1,2).14.【答案】[-1，0）解：作出函数的图象如下图所示，由图象可知0＜g（x）≤1，则m＜g（x）+m≤1+m，即m＜f（x）≤1+m，要使函数的图象与x轴有公共点，则，解得-1≤m＜0．故答15.案为[-1，0）．【答案】．解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m-5．∴m的取值范围是．故答案为：．．利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．16.【答案】[5，+∞）解：函数的定义域为：x≤2，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，令t=≥0，可得2x=4-t2，所以f（t）=5-t2-t，是开口向下的二次函数，t≥0，f（t）≤5，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是：m≥5．故答案为：[5，+∞）．求出函数的定义域，利用换元法结合函数的性质，求解实数m的取值范围．本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，函数恒成立体积的应用，是基本知识的考查．17.【答案】解：（1）原式===；-----------（5分）（2）原式===log39-9=2-9=-7．----（10分）18.【答案】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}，----（1分）则A∪B={x|-2＜x≤7}，----（3分）又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|-2＜x＜1}；----（5分）（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①当A=∅时，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4，----（7分）②当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得-1＜m＜，----（11分）综上可得：m的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，）．----（12分）19.【答案】解：（1），若要式子有意义，则,即，所以定义域为. ----（4分）（2）f(x)的定义域为，且所以f(x)是奇函数. ----（8分）（3）又f(x)>0，即，有.当时，上述不等式,解得. ----（12分）20.【答案】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即，则b=1，经检验，当b=1时，是奇函数，所以b=1；----（3分）（2），f（x）在R上是减函数，证明如下：在R上任取，，且，则，因为在R上单调递增，且，则，又因为，所以，即，所以f（x）在R上是减函数； ----（7分）（3）因为，所以，而f（x）是奇函数，则，又f（x）在R上是减函数，所以，即在上恒成立，令，，，，因为，则k<-1.所以k的取值范围为. ----（12分）21.【答案】解：（1）由已知，∴，当时，，故小时后还剩的污染物. ----（5分）（2）由已知，即两边取自然对数得：，∴，∴污染物减少需要花32小时. ----（12分）22.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；----（3分）（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；----（7分）（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．----（12分）2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试题说明:本试卷分为第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共三个大题，22个小题。
浙江省金华市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
金华2023学年第一学期期中考试高一数学试题卷（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知{}{}1,2,2,3P Q ==，若{},M x x P x Q =∈∉，则M =（）A.{}1 B.{}2 C.{}3 D.{}1,2,3【答案】A 【解析】【分析】由集合M 中元素的特征，对元素进行判断.【详解】1P ∈且1Q ∉，则1M ∈；2P ∈且2Q ∈，则2M ∉，所以{}1M =.故选：A2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B.3.已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.}{1a a ≤-B.}{13a a -<<C.}{13a a -≤≤ D.}{31a a -<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得21Δ(1)4202a =--⨯⨯<，解不等式即可求出答案.【详解】因为命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以21Δ(1)4202a =--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选：B ．4.若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x1234()f x 2341x1234()g x 2143A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】从外到内逐步求值．【详解】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D5.某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了a km ，觉得有点累，休息后沿原路返回b km （b a <）.想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s 与时间t 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同确定函数图象即可．【详解】第一段时间，该生骑车为直线方程形式，单调递增．第二段实际休息，此时距离起点的距离不变，此时休息期间为常数，然后原路返回，此时距离减小，为递减函数，然后调转车头继续前进，此时距离逐步增加，所以图象C 合适．故选：C ．6.某食品加工厂生产某种食品，第一个月产量为100kg ，第二个月的增长率为a ，第三个月的增长率为b ，这两个月的平均增长率为x ，（a b x ，，均大于零），则（）A.2a bx += B.2a b x +≤C.2a bx +>D.2a bx +≥【答案】B 【解析】【分析】计算出两种方式增长的第三年的产量，从而构建a b x ，，的等式，再利用基本不等式计算a b x ，，的不等关系.【详解】第二个月的增长率为a ，第三个月的增长率为b ，则第三个月的产量为()()1001+1kg a b +这两个月的平均增长率为x ，则第三个月的产量为()21001kg x +所以()()()21001+11001a b x +=+，计算可得1x +=11122a b a b++++≤=+所以2a bx +≤，当且仅当a b =时取得等号.故选：B.7.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x R ≥∈．A.若()f a b ≤，则a b≤ B.若()2b f a ≤，则a b≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b≥【答案】B 【解析】【详解】可设2(0)(){2(0)x x x f x x -≥=<，则f （x ）满足题意.易知(1)25=5,f =≤-但1＞−5,排除A.(2)4|3|=3f ，=≥但2＜3,排除C.(2)42=221,f -=≥-<，但排除D.故选B.8.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若A ＝{1，2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()1C B =或()3C B =，进而讨论a 的范围，确定出()C B ，最后得到答案.【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =，由20x ax +=，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-或a >0，-a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -<<时，方程220x ax ++=无实根，若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<<或0a <<，则()2C B =，不符合题意.所以{0,S =-，故()3C S =.故选：B .【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0∆时，容易遗漏a =0时的情况，注意仔细分析题目.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列结论正确的是（）A.2log 42= B.lg101= C.3log 232= D.ln e 1-=【答案】ABC 【解析】【分析】根据对数的性质，逐项判断即可得出结果.【详解】根据对数的性质可知，2log 42=，lg101=，3log 232=，ln e 1-=-，故ABC 正确；D 错误.故选：ABC.10.下列命题中，正确的是（）A.若22a bc c<，则a b <B.若ac bc >，则a b >C.若a b <，那么11a b>D .已知,a b c d <<，则a c b d+<+【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式性质逐项判断，或取特值验证即可.【详解】A 选项：由22a b c c<可知0c ≠，所以20c >，故2222a b c c c c ⨯<⨯，即a b <，A 正确；B 选项：当0c <时，10c<，所以11ac bc c c ⨯<⨯，即a b <，B 错误；C 选项：取2,3a b =-=，满足a b <，但1123<-，即11a b <，C 错误；D 选项：由不等式可加性可知D 正确.故选：AD11.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=⋅⋅⋅，k 、b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A.0k <B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是15小时【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可知120e b =，202030e e e k b k b +==⨯，求得101e 2k=，进而可得0k <，可判断A ；利用单调性可判断B ；计算10e k b +可判断C ；计算30e k b +可判断D.【详解】对于A ，由题可知120e b =，202030e e e k b k b +==⨯，则201e 4k =，故101e 2k=，所以100k <，则0k <，A 正确；对于B ，由A 可知，y kx b =+在R 上是减函数，且e x y =在R 上是增函数，所以e kx b y +=在R 上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B 错误；对于C ，由A 可知，10101ee e 120602k bk b +=⨯=⨯=小时，C 正确；对于D ，由A 可知，330301e ee 120152k bkb+⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭小时，D 正确.故选：ACD.12.已知函数()f x 满足对任意,,()()2()2()x y f x y f x y f x f y ∈++-=+R 恒成立，则（）A.(0)0f =B.(3)9(1)1f f =+C.64(1)(8)f f =- D.函数(3)f x -的图象关于直线3x =对称【答案】ACD 【解析】【分析】通过赋值法得到()()0,1f f 等的值，进而得到函数()f x 的性质，逐一判断即可【详解】对于A ：令0x y ==，得(0)(0)2(0)2(0)f f f f +=+，则(0)0f =，所以A 正确；对于B ：令1x y ==，则()()241f f =，令2,1x y ==，得()()()()312221f f f f +=+，即()()391f f =，所以B 错误；对于C ：令0x =，得()()2()f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以()f x 为偶函数，令2x y ==，得()()()()4042161f f f f +==，令4x y ==，得()()()()8044641f f f f +==，又()f x 为偶函数，所以()()()88641f f f -==，C 正确；对于D ：由C 可知()f x 为偶函数，所以()3f x -为()f x 向右平移3个单位得到，此时关于直线3x =对称，D 正确，故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()2log 11x +=，则实数x 的值为________．【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算可得解.【详解】由()2log 11x +=，可得()22log 1log 2x +=，12x ∴+=，解得1x =.故答案为：1.14.已知正实数x ，y 满足：11x y +=，则xy的最大值为______.【答案】14【解析】【分析】利用不等式()214ab a b ≤+，直接计算即可.【详解】2111144x x x y y y ⎛⎫=⨯≤+= ⎪⎝⎭，当且仅当112x y ==，即1,22x y ==时取得等号；故x y 的最大值为14；故答案为：14.15.若1a >，且不等式()40x a x a ⎛-⎫⎪⎝⎭-<的解集中有且仅有四个整数，则a 的取值范围是_______．【答案】(]4,5【解析】【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而求出结果.【详解】不等式()40x a x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭-<，当12a <<时，4a a <，不等式的解集为4,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数为2,3,4,5，则456a <≤，此时2435a ≤<，与12a <<矛盾；当2a =时，4a a=，不等式的解集为∅，不符合题意；当2a >时，42a a >>，不等式的解集为4,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若不等式解集中有且仅有四个整数，则这四个整数可能为2,3,4,5或1,2,3,4，当这四个整数为2,3,4,5时，则56a <≤且412a≤<，无解，当这四个整数为1,2,3,4时，则401a<<且45a <≤，解得45a <≤，综上可知，实数a 的取值范围是(]4,5．故答案为：(]4,5．16.已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】【详解】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a <综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设集合2{|320}A x x x =-+=，非空集合()22{|150}B x x a x a =+-+-=.（1）若{2}A B = ，求实数a 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a =-或1a =（2）{}3a a =-【解析】【分析】（1）由2B ∈，代入后解方程并检验是否满足题意．（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，再根据集合包含关系分类求解．【小问1详解】由题意得{}2320{1,2}A xx x =-+==∣，{2}A B ⋂= ，2B ∴∈222(1)250a a ∴+-⨯+-=即242250a a +-+-=化简得：2230a a +-=(3)(1)0a a +-=解得：3a =-或1a =，检验：当3a =-，{}{}24402B x x x =-+==，满足{2}A B = 当1a =，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{2}A B = ，3a ∴=-或1a =【小问2详解】A B A ⋃=，故B A ⊆，①当B 为单元素集，则Δ0=，即()22(1)450a a ---=，得73a =或3a =-，当73a =，23B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭不含题意，舍；当3a =-，{2}B A =⊆符合.②当B 为双元素集，则{,2}1B A ==，则有2121125aa +=-⎧⎨⨯=-⎩，无解，综上：实数a 的取值范围为{}3a a =-18.化简或计算下列各式：（1）411111336642263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）已知lg 2,lg 3a b ==，用a ，b 表示312log 5（3）已知11224a a-+=，求1a a --的值．【答案】（1）553124a b （2）311a b-+（3）±【解析】【分析】(1)由指数幂的运算性质直接求得答案；(2)利用对数的运算性质以及换底公式将312log 5化为lg 2和lg 3表示的形式，则答案可得；(3)先求114a a -+=，再求1122a a --=±，最后利用平方差公式求1a a --的结果.【小问1详解】()4111411111511533663264363421226263=43a b a b a b a b a b +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--÷-= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】()3333333125345122512log log log log log log log 5=-=⨯-=+-10lglg lg 5lg lg 1lg 23lg 2lg 3lg 3lg 3lg 3lg 3lg 3lg 3222211212121-==-+-+-=+-=+，又lg 2,lg 3a b ==，所以31231log 15a b-=+；【小问3详解】211122242a a a a --⎛⎫== ++⎝⎭+⎪，所以114a a -+=，211122212a a a a --⎛⎫=+⎝-⎭-=⎪，所以1122a a --=±，111112222a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫-=± ⎪+ ⎪⎝⎭=-⎭⎝.19.已知函数()()()12,2x f x g x x x a +=-=（1）解不等式()4xf x >；（2）求()f x 在区间[)1,-+∞上的值域；（3）对任意[)11,x ∈-+∞，总存在[)22,x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，求a 的取值范围【答案】（1）(,1)-∞（2）[1,)+∞（3）34a ≤【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式即可；（2）根据指数函数的单调性求值域；（3）由题意转化为()g x 的值域包含()f x 的值域，根据二次函数分类讨论求解即可.【小问1详解】由题意，()4xf x >，即可得124x x +>，即22x >，解得1x <，即不等式的解集为(,1)-∞.【小问2详解】因为()12x f x +=为增函数，所以[)1,x ∈-+∞时，110()221f x -+≥==，即函数的值域为[1,)+∞.【小问3详解】由（2）知，任意[)11,x ∈-+∞，总存在[)22,x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，即()g x 在[)2,+∞上的最小值min ()1g x ≤，对()()2g x x x a =-，①当20a =，即0a =时，2()g x x =在[)2,+∞上单调递增，故2min ()(2)241g x g ===≤不成立；②当20a <，即a<0时，()()2g x x x a =-在[)2,+∞上单调递增，故min ()(2)2(22)1g x g a ==-≤，解得34a ≥，又a<0，故无解；③当20a >，即0a >时，()()2g x x x a =-的对称轴2x a =≤时，()()2g x x x a =-在[)2,+∞上单调递增，故min ()(2)2(22)1g x g a ==-≤，解得34a ≥，故324a ≤≤，当对称轴2x a =>时，2min ()()(2)1g x g a a a a a ==-=-≤成立.综上，34a ≤.20.第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完.当020x <≤时，每万台的年销售收入（万元）与年产量x （万台）满足关系式:1802t x =-;当20x >时，每万台的年销售收入（万元）与年产量x （万台）满足关系式:2000900070. (1)t x x x =+-+（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，利用年销售收入减去固定成本及可变成本即可写出利润y （万元）关于年产量x (万台）的函数解析式.（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出020x <≤、20x >上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.【小问1详解】由题意，当020x <≤时，年收入为(1802)x x -，当20x >时，年收入为2000900070(1)x x x x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，故年利润为(1802)8050,0202000900070805020(1)x x x x y x x x x x x ---<≤⎧⎪=⎛⎫⎨+---> ⎪⎪+⎝⎭⎩，，即2210050,0209000101950201x x x y x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩，.【小问2详解】当020x <≤时，2210050y x x =-+-，由函数图象开口向下，对称轴方程为25x =可知函数单调递增，所以当20x =时，max 1150y =，当20x >时，9000900010195010(1)196021960136011y x x x x ⎡⎤=--+=-+++≤-=⎢++⎣⎦，当且仅当900010(1)1x x +=+时，即29x =时等号成立，因为13601150>，所以当年产量为29万台时，该公司获得年利润最大为1360万元.21.已知幂函数()()212m f x m m x +=-为偶函数．（1）求函数()f x 的解析式．（2）设函数()()()()211g x qf f x q f x ⎡⎤+-⎣⎦=-+，问是否存在实数()0q q <，使得()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在区间()4,0-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()2f x x=（2）存在，130q =-【解析】【分析】（1）直接根据幂函数的定义结合奇偶性即可得结果；（2）把()f x 作为一个整体，(],4x ∈-∞-时，()[)16,f x ∈+∞，()4,0x ∈-时，()()0,16f x ∈，结合二次函数的单调性可得q 的值．【小问1详解】因为()()212m f x m m x +=-为幂函数，所以221m m -=，解得1m =或12m =-，又因为()()212m f x m m x +=-为偶函数，所以1m =，所以函数()f x 的解析式为()2f x x =.【小问2详解】存在，理由如下：由（1）知()()()()()()()2211211g x qf f x q f x qfx q f x =-+-+=-+-⎡⎣⎦+⎤.由于()20f x x =≥，因而当(],4x ∈-∞-时，()[)216,f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(],4-∞-上单调递减，则外层函数()2211y qt q t =-+-+在[)16,+∞上单调递增；当()4,0x ∈-时，()()20,16f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在上()4,0-单调递减，则外层函数()2211y qt q t =-+-+在()0,16上单调递减.所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-.所以存在130q =-满足题设条件.22.已知函数()221f x x x ax =--+，（a ∈R ，a 为常数）．（1）讨论函数()y f x =的奇偶性；（2）若函数()y f x =有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）记()()f xg x x =，若()y g x =与2y =在()0,∞+有两个互异的交点12,x x ，且12x x >，求证：21432x x a -<-．【答案】（1）见解析（2）10a -<<或01a <<（3）见解析【解析】【分析】（1）利用奇偶函数的定义分析讨论即可；（2）分类讨论11x -<<，1x ≤-或1x ≥时，()f x 的大致图象，结合图象即可得解；（3）分类讨论01x <<与1x ≥时，()g x 的大致图象，从而得到2101,1x x <<>，22122x a x -+=，112a x -+=，从而利用分析法将问题一路转化为证()()22224110x x +-<，由此得解.【小问1详解】（1）()221f x x x ax =--+，定义域为R ，关于原点对称，又()()()22221()1f x x x a x x x ax -=----+-=---，故当0a =时，()()f x f x -=，函数()f x 为偶函数，当0a ≠时，()(),()()f x f x f x f x -≠-≠-，故函数为非奇非偶函数.【小问2详解】因为()221f x x x ax =--+，当210x -<，即11x -<<时，()221f x x ax =-++，此时()f x 开口向下，对称轴为4a x =，且()01f =，当210x -≥，即1x ≤-或1x ≥时，()1f x ax =-，所以当0a >时，()1f x ax =-在(],1-∞-，[)1,+∞上单调递增，且()11f a =-，()11f a -=--，则()f x 的图象如下：显然，当()110f a =-<，即01a <<时，()f x 有3个零点；当a<0时，()1f x ax =-在(],1-∞-，[)1,+∞上单调递减，且()11f a =-，()11f a -=--，则()f x的图象如下：显然，当()110f a -=--<，即10a -<<时，()f x 有3个零点；当0a =时，()221f x x x =--为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意；综上：10a -<<或01a <<.【小问3详解】因为()221f x x x ax =--+，所以当01x <<时，()212f x x ax =-+，则()()12f x g x x a x x==-+，易知()g x 在()0,1上单调递减，当1x ≥时，()1f x ax =-+，则()()1f x g x a x x==-+，易知()g x 在[)1,+∞上单调递增，因为()y g x =与2y =在()0,∞+有两个互异的交点12,x x ，所以()y g x =与2y =在()0,1与[)1,+∞各有且只有一个交点，又12x x >，所以2101,1x x <<>，且22122x a x -+=，112a x -+=，则22122a x x -=-，112a x -=，故221112x x x -=，即2221211x x x -=，则212221x x x =-，要证21432x x a -<-，即证21221432x x x x -<-，即证2121230x x x +-<，只需证22222312021x x x x +-<-，即证()222222222212130x x x x -+--<，即证42224310x x --<，即证()()22224110x x +-<，因为201x <<，所以2201x <<，则2222410,10x x +>-<，所以()()22224110x x +-<显然成立，证毕.【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是熟练掌握基本初等函数的大致图象，结合图象得到22122x a x -+=，112a x -+=，从而利用分析法将问题转化为单变量不等式，由此得解.。
新高一期中考试数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 顶点在x=1处的抛物线B. 顶点在x=0处的抛物线C. 顶点在x=2处的抛物线D. 顶点在x=-1处的抛物线2. 下列各数中，属于无理数的是：A. √4B. √9C. √16D. √253. 已知等差数列{an}的公差d=2，首项a1=1，则第10项a10的值为：A. 19B. 20C. 21D. 224. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为：A. (3,2)B. (2,3)C. (1,4)D. (4,1)5. 已知复数z=3+4i，则|z|的值为：A. 5B. 7C. 9D. 116. 已知等比数列{bn}的公比q=2，首项b1=3，则第5项b5的值为：A. 48B. 96C. 192D. 3847. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为：A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的图像是：A. 在x=1处有极小值B. 在x=1处有极大值C. 在x=1处有拐点D. 在x=1处无极值也无拐点9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=2an-1，首项a1=2，则S5的值为：A. 62B. 72C. 82D. 9210. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆C的半径为：A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知等差数列{an}的公差d=3，首项a1=1，则第n项an=______。
12. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z对应的点在______。
13. 已知函数f(x) = (x-1)^2 + 2，则f(x)的图像是______。
高一上学期期中数学试题(含参考答案)
高一上学期期中数学试题一、单选题（本大题共8小题）1. 已知集合{}2Z160U x x =∈-≤∣，集合{}2Z 340A x x x =∈--<∣，则UA =（ ）A ．{14xx ≤≤∣或4}x =- B ．{41xx -≤≤-∣或4}x = C ．{}4,3,2,1,4---- D ．{}4,3,2,1----2. 24x =是2x =-的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若,,a b c R ∈，a b >则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b<B ．22a b <C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 4. 设函数()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，若()3f a =，则实数=a （ ）A ．2B ．2-或2C ．4-或2D ．4-5. 幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（ ）A ．27B ．9C ．19D ．1276. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A ．4y x = B ．1y x=C ．y =D ．3y x =7. 若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭8. 已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，且满足()()()1,12f xy f x f y f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，则不等式()()232f x f x +-≥-的解集为（ ） A ．[]1,2 B ．][(),12,-∞⋃+∞C ．()()0,12,3D ．][()0,12,3⋃二、多选题（本大题共4小题）9. 已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是（ ）A ．=AB B ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈10. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，则下列说法正确的有（ ） A ．0a >B ．0a b c ++<C ．24c a b ++的最小值为6D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或11. 下列说法正确的是（ ）A ．偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，则1a =B ．若函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，则f x y =的定义域是(]3,5-C ．奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D ．若集合{}2|420A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12. 已知定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，且满足以下条件：①()()R,x f x f x ∀∈-=；② ()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项成立的是（ ）A ．()f x 在(),0∞-上单调递减，B ．()()53f f -<C ．若()()12f m f -<，则3m <D ．若()0f x x>，则()()1,01,x ∈-⋃+∞三、填空题（本大题共3小题）13. 已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时()()1f x x x =+，则()3f -= ． 14. 已知1x >，则1411y x x =++-的最小值是 ． 15. 已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，且满足()()()2,01f x f x f +=-=，则()()()()()12320212022f f f f f +++++= .四、双空题（本大题共1小题）16. 已知函数()22,31,3x x x c f x c x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若0c ，则()f x 的值域是 ；若()f x 的值域是[]1,3-，则实数c 的取值范围是 .五、解答题（本大题共6小题）17. （1）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？（2）根据定义证明函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 已知命题2120p x x a ∀≤≤-≥：，，命题22R +2+2+=0q x x ax a a ∃∈：，. (1)若命题p 的否定为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 为真命题，命题q 为假命题，求实数a 的取值范围.19. 已知函数()f x A ，集合={1<<1+}B x a x a -.(1)当=2a 时，求R A B ⋂（）；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围.20. 已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图象关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图象； (3)直接写出函数()g x 的单调区间．21. 已知函数()223,R f x x bx b =-+∈. (1)求不等式()24f x b <-的解集；(2)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.22. 设函数()()22,52(0)1x f x g x ax a a x ==+->+，(1)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x ≥，求实数a 的取值范围； (2)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.参考答案1. 【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合U 和A ，根据补集的概念即可求得答案.【详解】解不等式2340x x --<得14,{Z 14}{0123}x A x x -<<∴=∈-<<=∣，，，, 由2160x -≤,可得44x -≤≤，{}Z 44{432101234}U x x ∴=∈-≤≤=----∣，，，，，，，，， {}4,3,2,1,4U A ∴=----故选：C. 2. 【答案】B【分析】先解方程24x =，进而判断出.24x =是2x =-的必要不充分条件. 【详解】①当24x =时，则2x =±，∴充分性不成立，②当2x =-时，则24x =，∴必要性成立，∴24x =是2x =-的必要不充分条件. 故选：B. 3. 【答案】D【分析】通过反例1a =，1b ，0c 可排除ABC ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b，则1111a b=>=-，221a b ==，则A 、B 错误； 若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥，21011c ∴<≤+，又a b >，2211a bc c ∴>++，则D 正确.故选：D. 4. 【答案】B【分析】根据()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，分0a ≤和 0a >讨论求解. 【详解】解：()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，当0a ≤时，13a -+=，则2a =-， 当0a >时，令24a =，则2a =， 故实数2a =-或2， 故选：B. 5. 【答案】A【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数m 的值，得到幂函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意， 即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A. 6. 【答案】D【分析】根据幂函数的单调性与奇偶性分析判断.【详解】对于A ：∵()44x x -=，则4y x =是偶函数，故A 错误； 对于B ：∵11=--x x ，则1y x=为奇函数，在()(),0,0,-∞+∞单调递减，但在定义域上不单调，故B 错误；对于C :y =[)0,∞+，在定义域上单调递增，但定义域不关于原点对称，即y =C 错误；对于3D :y x =在定义域R 上单调递增，且33()x x -=-，即3y x =为奇函数，故D 正确； 故选：D. 7. 【答案】B【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可. 【详解】不等式234y x m m +<-有解，2min 3,0,04y x m m x y <⎛⎫∴+->> ⎪⎝⎭，且141x y +=，144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时取“="，min 44y x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，故234m m ->，即()()1340m m +->，解得1m <-或4,3m >∴实数m 的取值范围是()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭. 故选：B. 8. 【答案】D【分析】由赋值法得()42f =-，由函数的单调性转化后求解，【详解】由于()()()f xy f x f y =+，令1x y ==得()()121f f =，即()10f =，则()()11122022f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()21f =-， 即有()()4222f f ==-，由于对于0x y <<，都有()()f x f y >，则()f x 在()0,∞+上递减， 不等式()()232f x f x +-≥-即为()()234f x x f ⎡⎤-≥⎣⎦.则20302(3)4x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得01x <≤或23x ≤<，即解集为][()0,12,3⋃. 故选：D9. 【答案】CD【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∵{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∴2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∴(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误． 故选：CD ． 10. 【答案】BC【分析】由不等式与方程的关系得出02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，从而得到：5b a =-，6c a =，且a<0，再依次对四个选项判断即可得出答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪∴+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得：5b a =-，6c a =，且a<0，故选项A 错误；5620a b c a a a a ++=-+=<，故选项B 正确；()2243641964c a a a b a a ++⎛⎫==-+-≥ ⎪+-⎝⎭， 当且仅当13a =-时等号成立，故选项C 正确；20cx bx a -+<可化为：2650ax ax a ++<，即26510x x ++>，则解集为1123x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，故选项D 错误；综上所述选项B 、C 正确， 故选：BC. 11. 【答案】BC【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，可判断A 项错误；根据抽象函数定义域的求解法则，以及使得分式根式有意义，可列出不等式组，可判断B 项正确；根据条件可得()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可求得()2f -与()4f -的值，代入即可得出C 项正确；由题意可知，方程2420ax x -++=至多有一个解，对a 是否为0讨论，可得D 项错误.【详解】由偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，可得210a a -+=，解得13a =，A 错；因为函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤，即5215x -≤-≤.所以函数()f x 的定义域为[]5,5-.要使f x y =5530x x -≤≤⎧⎨+>⎩，解得35x -<≤，即y =(]3,5-，B 对；因为，奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为-1， 则()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可得，()()221f f -=-=，()()448f f -=-=-， 则()()()24228115f f -+-=⨯-+=-，则C 项正确；因为集合{}2420A x ax x =-++=∣中至多有一个元素， 所以方程2420ax x -++=至多有一个解，当0a =时，方程420x +=只有一个解12x =-，符合题意；当0a ≠时，由方程2420ax x -++=至多有一个解，可得Δ1680a =+≤，解得2a ≤-. 所以，0a =或2a ≤-，则D 项错误. 故选：BC. 12. 【答案】AD【分析】由①可得，()f x 为偶函数.由②可得，()f x 在()0,∞+上单调递增.后分析选项可得答案.【详解】由()()()21121221,0,,,0f x f x x x x x x x ∞-∀∈+≠>-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数.对于A 选项，因()f x 在()0,∞+上单调递增，且()f x 为偶函数，则()f x 在(),0∞-上单调递减，故A 正确.对于B ，C 选项，因()f x 为偶函数，则()()f x f x =.又()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()()553,f f f -=>故B 错误；()()()()1212f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图像是连续不断的，则有12m -<，解得13,m -<<故C 错误；对于D 选项，由()0f x >及()10f -=得：()()11f x f x >⇔>，解得1x <-或1x >，由()0f x <得：()()11f x f x <⇔<，解得11x -<< 则()0f x x>可化为：()00f x x ⎧>⎨>⎩或()00f x x ⎧<⎨<⎩，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故D 正确.故选：AD13. 【答案】－12【分析】利用奇函数的性质()()f x f x -=-即可得到答案. 【详解】因为()y f x =为奇函数，所以()()f x f x -=-， 故()()()3331312f f -=-=-⨯+=-． 故答案为：－12. 14. 【答案】9【分析】将目标式变形，利用基本不等式即可得出其最值． 【详解】1x >，10x ->，()(11414152415911x x x x x ∴++=-++-=--， 当且仅当()1411x x -=-即3=2x 时取等号， 32x ∴=时， 1411y x x =++-取最小值9． 故答案为：9． 15. 【答案】1-【分析】由()()2f x f x +=-知函数是周期为4的周期函数，再结合偶函数可求()()()()1234f f f f ，，，的值，从而可求()()()()()12320212022f f f f f +++++的值.【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，即函数是周期为4的周期函数；根据题意，()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，则有()()11f f -=，又由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()111f f f -=-=，所以()()110f f =-=，由()()2f x f x +=-，可得()()()()201,310f f f f =-=-=-=， 则()()()()12340f f f f +++=， 所以()()()()()12320212022f f f f f +++++()()()()()()5051234121f f f f f f ⎡⎤=+++++=-⎣⎦. 故答案为：1-.16. 【答案】 [1,)-+∞ 1[,1]3.【分析】作出函数()f x 的图象，根据二次函数与反比例函数的图象与性质，结合图象，即可求解.【详解】由0c 时，函数()22,301,03x x x f x x x⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，当[3,0]x ∈-时，函数()22f x x x =+，可得函数()f x 在[3,1]--上单调递减，在[1,0]-上单调递增， 且()()(3)3,11,00f f f -=-=-=，所以函数的值为[1,3]-； 当(0,3]x ∈时，函数()1f x x =为单调递减函数，其值域为1[,)3+∞， 综上可得，函数()f x 的值域为[1,)-+∞； 作出函数()f x 的图象，如图所示， 若函数()f x 的值域为[1,3]-，当1y =-时，即221x x +=-，解得=1x -， 当3y =时，即223x x +=，解得3x =-或1x =， 当13x=时，可得13x =，结合图象，可得实数c 的取值范围是1[,1]3.故答案为：[1,)-+∞；1[,1]3.17. 【答案】（1）应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元）；（2）证明见解析.【分析】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，解不等式()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦即得解；（2）利用函数单调性的定义证明.【详解】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，由题意得()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦，即2302000,x x -+<方程230200x x -+=的两个实数根为1210,20x x ==，2302000x x ∴-+<解集为{1020}x x <<∣， 又15,1520x x ≥∴≤<，故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元），才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.（2）证明：()12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，有()()()211212121212121212121211111x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由()12,1,x x ∈+∞，得121,1x x >>.所以12121,10x x x x >->. 又由12x x <，得120x x -<.于是()12121210x x x x x x --<，即12y y <. 所以，函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 【答案】(1)(1,)+∞ (2)(0,1]【分析】（1）先求出p ⌝，然后利用其为真命题，求出a 的取值范围即可； （2）由（1）可知，命题p 为真命题时a 的取值范围，然后再求解q 为真命题时a 的取值范围，从而得到q ⌝为真命题时a 的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，当12x ≤≤时，214x ≤≤， p ⌝：存在12x ≤≤，20x a -<为真命题，则1a >， 所以实数a 的取值范围是(1,)+∞；（2）由（1）可知，命题p 为真命题时，1a ≤， 命题q 为真命题时，2244(2)0a a a ∆=-+≥，解得0a ≤， 所以q ⌝为真命题时，0a >，所以1>0a a ≤⎧⎨⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围为(0，1]． 19. 【答案】(1){3<1x x -≤-或}34x ≤≤(2){3}aa ≤｜【分析】（1）求出定义域，得到{-34}A xx =<≤｜，进而计算出RB 及()R A B ⋂；（2）分B =∅与B ≠∅，列出不等式，求出a 的取值范围. 【详解】（1）要使函数()f x 40+3>0x x -≥⎧⎨⎩，解得：34x -<≤， 所以集合{-34}A x x =<≤｜. 2a =，∴{}{}=1<<1+=1<<3B x a x a x x --， ∴{=1RB x x ≤-或}3x ≥，∴{=3<1RA B x x ⋂-≤-或}34x ≤≤；（2）B A ⊆，①当B =∅时，11a a -≥+，即0a ≤，满足题意；②当B ≠∅时，由B A ⊆，得1<1+131+4a a a a --≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得：03a <≤，综上所述：a 的取值范围为{}3a a ≤.20. 【答案】(1)1()f x x -=(2)作图见解析(3)递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞【分析】(1)利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图象性质即可得解.(2)由(1)求出函数()g x ，再借助反比例函数、对称性作出()g x 的图象.(3)根据(2)中图象特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因幂函数()22()55m f x m m x -=-+，则2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-∞+∞，()f x 是奇函数，图象关于原点对称，则1m =，当4m =时，函数2()f x x =是R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，关于原点不对称，所以幂函数()f x 的解析式是1()f x x -=（2）因函数()|()|g x f x =，由(1)知，1()||g x x =，显然()g x 是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，1()g x x =在(0,)+∞上单调递减，其图象是反比例函数1y x =在第一象限的图象，作出函数()g x 第一象限的图象，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图象，如图，（3）观察(2)中图象得，函数()g x 的递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞. 21. 【答案】(1){|11}x b x b -<<+(2)答案见解析【分析】（1）根据题意解一元二次不等式即可；（2）分类讨论函数单调区间，找到最小值点，由最小值为1，求出系数b ，再求函数在区间内的最大值.【详解】（1）若()24f x b <-，即22234x bx b -+<-，则()()110x b x b ⎡⎤⎡⎤---+<⎣⎦⎣⎦，∵11b b -<+，所以11b x b -<<+，故不等式()0f x <的解集为{|11}x b x b -<<+.（2）因为()223f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()1421f b -=+=，解得32b =-， 故函数()y f x =的最大值为()27413f b =-=；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上单调递减，∴函数()y f x =的最小值为()2741f b =-=，解得32b =（舍去）； ③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上单调递减，在(],2b 上是单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()231f b b =-=，解得b =b =（舍去），故函数()y f x =的最大值为()1424f b -=+=+综上所述： 当32b =-时，()f x 的最大值为13；当b =()f x 最大值为4+22. 【答案】(1)5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据题意，分别求出两个函数的最小值，将问题等价转化为min min ()()g x f x ≤，解不等式即可求解；(2)根据题意，分别求出两个函数的值域，然后将问题等价转化为()f x 在[0,1]上值域是()g x 在[0,1]上值域的子集，结合集合的包含关系即可求解.【详解】（1）因为()()()2221221214111x x f x x x x x -+⎡⎤===++-⎢⎥+++⎣⎦，利用1y x x =+函数图像性质可知()f x 在[]0,1上单调递增，于是()f x 在0x =处取得最小值，即()min ()00f x f ==，因为()52g x x a α=+-，注意到0a >，则()g x 在[]0,1上单调递增，于是()g x 在0x =处取得最小值，即()min ()052g x g a ==-，由题意可得：520a -≤，即得5,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由(1)可知：()f x 在1x =处取得最大值，即()max ()11f x f ==于是当[]0,1x ∈时，()f x 的值域[]0,1A = ()g x 在1x =处取得最大值，即()max ()15g x g a ==- 于是当[]0,1x ∈时，()g x 的值域[]52,5B a a =-- 要使得对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x = 根据()f x 与()g x 的连续性可知A B ⊆成立 则52051a a -≤⎧⎨-≥⎩，解得5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数a 的取值范围为5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
高一数学期中试卷带答案
高一数学期中试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面.其中恒成立的为（ ）A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④ 2.设、，集合{1，+，}={0，，}，求、的值。
3.方程2x 2+9xy+10y 2–7x –15y+k=0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x –y+2=0垂直的直线方程是A ．x+y –1=0B ．x+y –2=0C ．x+y+1=0D ．x+y+2=0 4.设函数，则是（ ）A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数 5.已知函数，则=（ ）A ．B ．C ．D ．6.角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R ，a ≠0，则tan α的值是 A ．B ．－C ．或－D ．17.是虚数单位，复数( ) A ．B ．C ．D ．8.已知集合，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn ）图是（ ）9.则（ ）A ．B ．C ．D ．10.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的内部爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．11.在等比数列{a n }中，a 4＝6，则a 2a 6的值为( ) A ．4 B ．8 C ．36 D ．32 12.若直线与互相垂直，则a 等于（ ）A ．3B ．1C ．0或D ．1或－3 13.若是方程的解，则属于区间( ) A ． B ．C ．D ．14.直线与直线互相垂直，则实数（ ）A ．2B ．C ．D ．-315.已知三条直线a,b,c,若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，那么直线a 和c 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面16.已知集合M="{" -1，1, -2，2}，集合N="{" y ∣y =，x M}，则M∩N 是（ ）A ．{ 1, 2}B ．{ 1，4}C ．{ 1}D ．17.圆心角为1350，面积为Ｂ的扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为Ａ，则Ａ:Ｂ等于 A ．B ．C ．D ．18.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a+b+c=0”，求证”索的因应是（）A．a﹣b＞0B．a﹣c＞0C．（a﹣b）（a﹣c）＞0D．（a﹣b）（a﹣c）＜019.如图所示的韦恩图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，则=（）A．B．C．D．20.已知函数的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则=（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题21.设等差数列的公差，，若是与的等比中项，则k 的值为 .22.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
泰安第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题2023.5一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()1i 1i z -=+，则z = A.22B.1C.D.22.若,m n 表示两条不重合的直线,,,αβγ表示三个不重合的平面,下列命题正确的是A ．若m αγ⋂=,n βγ= ,且//m n ,则//αβB ．若,m n 相交且都在,αβ外,//m α,//n α,//m β,//n β,则//αβC ．若//m n ,n α⊂,则//m αD ．若//m α,//n α,则//m n4.已知2a =，3b =．若a b a b +=-，则23a b +=425.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）．若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点S ），从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为A. B.16mC. D.12m6.如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n =>，则m n +的值为A ．2B ．3C ．92D ．57.已知4sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=A.210 B.3210C.22D.72108.函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移()0θθ>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为A.3πB.6πC.12π D.724π二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是A ．22i 1=B ．复数32i z =-的共轭复数的虚部为2C ．若13i -是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则8q =-D ．若复数z 满足i 1z -=，则z 的最大值为210.下列说法正确的是A ．已知向量()1,3a = ，()cos ,sin b θθ= ，若a b ⊥ ，则3tan 3θ=-B ．已知向量()2,3a = ，(),2b x = ，则“a ，b的夹角为锐角”是“3x >-”的充要条件C ．若向量()()4,31,3a b =- = ，，则a 在b 方向上的投影向量坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数2(4)(2)i m m +-+ (R)m ∈是纯虚数，则m =___________.14.需要测量某塔的高度，选取与塔底D 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，现测得75DAB ∠= ，45ABD ∠= ，96AB =米，在点A 处测得塔顶C 的仰角为30 ，则塔高CD 为__________米.15.公元前6世纪，毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值，这一数值近似可以表示为2sin18m =︒,若24m n +=，则cos 27m =︒______.四､解答题：本题6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知,,a b c是同一平面内的三个向量，()1,2a = .(1)若c = ，且//c a ，求c的坐标；(2)若52b = ，且2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角θ.．19.（12分）已知ABC 中，D 是AC 边的中点．3BA =，7BC =，7BD =(1)求AC 的长；(2)BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．20.（12分）已知函数()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围．泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题解析2023.5一､单项选择题：1.B2.B3.D4.A5.C6.A7.A8.C二､多项选择题：9.BD 10.ACD 11.ACD 12.ACD11.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin C B B C A a A +==，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以1a =，若2B C A +=，且πB C A ++=，所以π3A =，由余弦定理得22222π1cos cos 322b c a b c A bc bc+-+-===，由0,0b c >>，可得2212b c bc bc +=+³，即1bc ≤，则ABC面积11sin 22bc A ≤=ABC，故A 正确；对于B ，若π4A =，且1a =，由正弦定理得1πsin sin 4b B=，所以πsin sin4B b b =，当sin 1B =1=，所以b =时有一解，故B 错误；对于C ，若C =2A ，所以π2π3B A A A =--=-，且ABC 为锐角三角形，所以π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ64A <<，所以2cos 2A ⎛∈ ⎝⎭，由正弦定理sin sin a cA C =得1sin sin 22cos sin sin C A c A A A⨯===∈，故C 正确；对于D ，做OD BC ⊥交BC 于点D 点，则D 点为BC 的中点，且1BC =，设OBD αÐ=，所以cos BDBOα=，所以211cos 22BD BC BO BC BO BC BO BC BD BC BOα⋅=⋅=⋅⨯=⋅==，故D 正确.12.【详解】由题意，PC 的中点O 即为-P ABC 的外接球的球心，设外接球的半径为R ，则34108π33R π=，得3R =，在Rt PAB 中，222PA AB PB +=,故222PB BC PC +=,即222224PA AB BC PC R ++==，而2AB =，所以2232PA BC +=，鳖臑-P ABC 的体积()()22111116232663P ABC V AB BC PA BC PA BC PA -=⨯⋅⋅=⋅⋅≤⋅+=，当且仅当4BC PA ==时，取得等号，故max 16()3P ABC V -=，故A 项正确，B 项错误;而1823C ABO O ABC V V V --===，故C 项正确;设-P ABC 的内切球半径为r ，由题意知三棱锥-P ABC 的四个侧面皆为直角三角形，由等体积法1111116322223P ABC V AB BC PA AC PA PB BC r -⎛⎫=⨯⋅+⋅+⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭，而2AC ==6PC =,得(1632r +⋅=，所以r =，故D 项正确,三､填空题：13.214.15.16.216【详解】以ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边ABC21sin BCr r A=⇒=，设11(1,0),(,(,),(cos ,sin )2222A B C P αα---，则1(1cos ,sin ),(cos sin )2PA PB αααα=--=---，1(cos ,sin )2PC αα=--，所以(12cos ,2sin )PC PB αα+=---，所以()1cos PA PB PC α⋅+=-，因为1cos 1α-≤≤，所以01cosα2£-£，所以()PA PB PC ⋅+的最大值为2．四､解答题：17.【详解】（1）设向量(),c x y = ，因为()1,2a = ，c =r ，c a ∥，所以2x y==⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=-⎩,所以()2,4c =r 或()2,4c =-- ；（2）因为2a b + 与2a b -垂直，所以()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以222420a a b a b b -⋅+⋅-= 而52b =，a == ，所以5253204a b ⨯+⋅-⨯= ，得52a b ⋅=- ，a 与b的夹角为θ，所以52cos 12a b a bθ-⋅===-⋅，因为[]0,θπ∈，所以θπ=.18.【详解】（1）设圆锥的底面半径为r ，高为h.由题意，得：2r π=，∴r =，∴3h =∴圆锥的侧面积16S rl ππ===,底面积223S r ππ==,∴表面积129S S S π=+=.（2）由（1）可得：圆锥的体积为211133333V r h πππ==⨯⨯=.又圆柱的底面半径为2r =322h =，∴圆柱的体积为2233922428r hV πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.∴剩下几何体的体积为12915388V VV πππ=-=-=.19.【详解】（1）设AD DC x ==，由余弦定理可得22cosADB CDB∠=∠==又cos cos ADB CDB ∠∠=- 2=1x ∴=，即2AC =.（2）由（1）知223271cos 2322A +-==⨯⨯，因为0A π<<，所以3A π=，由ABE ACE ABC S S S += 可得，1113sin 302sin 3032sin 60222AE AE ︒︒︒⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯，即5AE =，解得5AE =.20.【详解】(1)()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2coscos 2sin 2cos sin 6644x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 222222x x x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭1sin 2cos 2sin 2+226x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，令222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈，所以,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)函数()y f x k =-在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，即曲线sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线y k =在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点.设26t x π=+，则sin ,y t =且,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又因为1sin 62π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由图象可知，若要使sin y t =与y k =区间,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，则()11,0,12k ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭.21.【详解】（1）选择①，在ABC 中，由余弦定理得222222222a c b a c b a b c b ac a+-+-=+⋅=+，整理得222a b c ab +-=，则2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,πC ∈，所以π3C =.选择②，可得sin cos sin cos cos a A B b A A C +=，在ABC中，由正弦定理得，2sin cos sin sin cos cos A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，则sin cos sin cos A B B A C +=，即()sin A B C +=，因为πA B C ++=，因此sin cos C C =，即tan C =又()0,πC ∈，所以3C π=.选择③，在ABC22(2cos1)2cos 2CC C =--=-，cos 2C C +=，即πsin 16C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，所以ππ7π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ62C +=，从而π3C =.（2）由（1）知，π3C =，有2π3ABC BAC ∠+∠=，而BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ，即有π3ABI BAI ∠+∠=，于是2π3AIB ∠=，设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，且π03θ<<，在ABI △中，由正弦定理得，4π2πsin sin sin()sin33BI AI AB AIB θθ====∠-，所以)4sin π3(BI θ=-，4sin AI θ=，所以ABI △的周长为3234sin(4si π)n θθ-+3123cos sin )4sin 22θθθ=-+π23232sin 4sin()233θθθ=++=++由π03θ<<，得ππ2π333θ<+<，所以当ππ32θ+=，即π6θ=时，ABI △的周长取得最大值423+22.【详解】（1）记F 为AB 的中点，连接,DF MF ，如图1，因为,F M 分别为,AB AE 的中点，故//MF EB ，因为MF ⊄平面,EBC EB ⊂平面,EBC 所以//MF 平面EBC ，又因为ADB 为正三角形，所以60DBA ∠=︒，DF AB ⊥，又BCD △为等腰三角形，120BCD ∠=︒，所以30DBC ∠=︒,所以90ABC ∠=︒，即BC AB ⊥，所以//DF BC ，又DF ⊄平面,EBC BC ⊂平面,EBC 所以//DF 平面EBC ，又DF MF F ⋂=，,DF MF ⊂平面DMF ，故平面//DMF 平面EBC ，又因为DM ⊂平面DMF ，故//DM 平面BEC .（2）延长,CD AB 相交于点P ，连接PM 交BE 于点N ，连接CN ，过点N 作//NQ AE 交AB 于点Q ，如图2，因为//DM 平面ECB ，DM ⊂平面PDM ，平面PDM 平面ECB CN =，所以//DM CN ，此时,,,D M N C 四点共面，由（1）可知，2,60,BC CD PCB CB BP ==∠=︒⊥，得30,4CPB PC ∠=︒=，故4263PN CP PM DP ===，又因为//NQ AE ，所以23NQ PN AM PM ==，则有3112223NQ NQ AE AM ==⨯=，故13BN NQ BE AE ==.N。
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2010—2011学年度第一学期模块质量检测试卷
高一数学（必修一）
一、选择题（12×3分=36分） 1．若全集{}{}{}5,4,2,4,3,1,5,4,3,2,1===N M S ，则（C S M ）∩（C S N ）=（ ） （A ）∅ （B ）{}3,1 （C ）{}4 （D ）{}5,2
2．集合{}{}
221,65M y y x N y y x x ==-==-+-，则M N = ( )
（A ）{}(1,0),(2,3) （B ）(][),41,-∞-+∞ （C ）[1,4]- （D ）∅
3．设{}{}M 02,02x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列四个图形，如图所示，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的是（ ）
（
（A ） （B ） （C ） （D ）
4．已知元素(,)x y 在映射f 下的象是(,)x y x y +-，那么（1，2）在f 下的原象是（ ）
(A)（1，2） (B)（3，－1） (C)（21
23,-） (D)（2321,-）
5．函数1
1
22+-=x x y 的值域是（ ）
(A)（－1，1） (B)(]1,1- (C)[)1,1- (D)[]1,1-
6 ）
（A ）4
a
（B ）3
4a
（C ）112a
(D)1
4
a -
7．若函数()y f x =的定义域为[]2,2-，则函数y f =的定义域为（ ）
（A ）[]4,4- （B ）[]2,2- （C ）⎡⎣ （D ）[]0,4
8．三个数0.76,60.7,60.7log 的大小关系为( )
(A)60.7＜60.7log ＜0.7
6 （B ）60.7＜0.76＜60.7log （C ）60.7log ＜0.76＜60.
7 （D ）60.7log ＜60.7＜0.76
9．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是增加的，且13()0f =，则不等式()0f x >的解集为（ ）
（A ）()13,-∞- （B ）()13,+∞ C ）()13,-∞-⋃()13,+∞ （D ）无法确定
10．在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）
(A)(1.4,2) (B)(1,1.4) (C)(1,1.5) (D)(1.5,2)
11.某商品价格前两年每年递增20℅，后两年每年递减20℅，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )
（A ）减少7.84℅ （B ）增加7.84℅ （C ）减少9.5℅ （D ）不增不减
12．函数22y x =-的图像是由函数2246y x x =-++经过怎样的变换得到的（ ）
（A ）向左平移1个单位，向上平移8个单位 （B ）向右平移1个单位，向上平移8个单位 （C ）向左平移1个单位，向下平移8个单位 （D ）向右平移1个单位，向下平移8个单位
二、填空题（6⨯3分=18分） 13．方程1193x -=的解是 ；
14．()2
lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+= ；
15．设函数()log (a f x x =是奇函数，则a = ；
16．函数213
log (2)y x x =-的单调递增区间为 ；
17．幂函数()f x 的图像过点()2,8，则118()f --的值为
18．已知函数2,(0);()(3),(0)
x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(5)f = .
三、解答题（共46分）
19．（本小题8分）判定函数4
()3f x x x
=+
+在区间(0,2)的单调性并证明你的结论．
20．（本小题8分）已知奇函数()f x 是定义在(3,3)-上的减函数，若(2)(21)(0)f m f m f -+->，求实数m 的取值范围．
21．（本小题10分）已知当m R ∈时，函数2()(1)f x m x x a =-+-的图像和x 轴总有公共点，求实数a 的取值范围．
22．（本小题10分）已知函数22()962f x x ax a a =--+-在区间11
33,-⎡⎤⎣⎦上有最大值6-，求实数a 的值．
23．（本小题10分）设函数2()lg(21)f x ax x =-+ ①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围； ②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围；
③若()f x 在(4,)+∞上是增加的，求实数a 的取值范围．
附加题（本小题记5分，但总分不超过100分）
设二次函数()f x 满足：(1)(1)0f -=，21
(2),()2
x x R x f x +∈≤≤恒成立，求()f x。