正余弦定理 - 解析版
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理解析
正弦定理与余弦定理
教学目标
掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形。 正余弦定理及三角形面积公式．
教学重难点
掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形。
知识点清单
一.正弦定理:
1。正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，
即
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2。变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 2）化边为角：
C B A c b a sin :sin :sin ::=；
;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C
A c a = 3）化边为角：C R c
B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===
4）化角为边：
;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c
a
C A = 5）化角为边: R
c
C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin =
==
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a,
解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理
;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C
A
c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C
正余弦定理(精讲)(解析版)
，所以
B
6
．故选：B．
b c a 3 （3）A＝60°，a 3 ，由正弦定理可得， sinB sinC sinA 3 2，
2 ∴b＝2sinB，c＝2sinC，则 b c 2．故选：D．
sinB sinC
【一隅三反】
1．（2020·和县第二中学）在 ABC 中， A 45 , a 2, b 3 ，则 B （ ）
所以 c 3 .故选:A
（2）因为 ABC 为锐角三角形, sin A
5 由同角三角函数关系式可得 cos A 3
1
5 3
2
2 3
又因为 b 2 , c 3由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bc cos A
代入可得 a2 4 9 2 2 3 2 5 3
所以 a 5 故选:D
【解析】（1）由正弦定理得
sin A
c sin C
得
2 1
23 sin C
得 sin C
2
3， 2
c a ，C A ，得 C 60 或120 ，故选：B．
（2）因为 cos
A
3 5
，所以
A 为钝角， sin
A
4 5
，B
为锐角．
由
a sin A
b sin B
得
sin
B
b
sin a
4.7 正弦定理、余弦定理 - 解析版
(2)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc，则三内角 A， B，C 的度数依次是 45°，30°，105° .
解析 由题意知 a＝ 2b，a2＝b2＋c2－2bccos A，
即2b2＝b2＋c2－2bccos A，
又 c2＝b2＋ 2bc，
2 1 ∴cos A＝ 2 ，A＝45° ，sin B＝2，B＝30° ，∴C＝105° .
1 2 3 4 5
1
.
解析答案
4.(教材改编)△ABC中，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形
状为 直角三角形 .
解析 由已知得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A， ∴sin A＝sin2A，
π 又sin A≠0，∴sin A＝1，A＝ ， 2 ∴△ABC为直角三角形.
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(×)
(4) 当 b2 ＋c2 －a2>0 时，三角形 ABC 为锐角三角形；当 b2 ＋c2 －a2 ＝0 时，
三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形.( × )
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(√ )
3.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角
第27讲 正弦定理、余弦定理(解析版)
a2
c2
2ac cos
B
，得 b2
a2
52
2 a 5
1 2
，
因为 b
10
a
，所以
(10
a)2
a2
52
2
a5
1 2
，
解得 a 3，所以 b 7 .
（2）由
cos
B
1 2
，得
sin
B
3 2
由正弦定理得 sin C c sin B 5 3 5 3 .
b
7 2 14
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时， 则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
2
四、例题选讲 考点一、运用正余弦定理解三角形
例 1、（2020 届山东实验中学高三上期中）在 △ABC 中，若 AB 13, BC 3, C 120 ，则 AC =
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理 AB2 BC 2 AC 2 2BC·AC cos C 将各值代入 得 AC2 3AC 4 0
c＝4t，则 cosC a2 b2 c2 4t 2 9t 2 16t 2 1 ，∵C∈(0，π)，∴tanC
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类-(解析版)
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类
目录
一、热点题型归纳
【题型一】正余弦定理 .............................................................................................................................. 2 【题型二】求角 .......................................................................................................................................... 3 【题型三】判断三角形形状 ...................................................................................................................... 4 【题型四】面积与最值 .............................................................................................................................. 6 【题型五】周长与最值 .............................................................................................................................. 8 【题型六】角的最值 .................................................................................................................................. 9 【题型七】最值 ........................................................................................................................................ 11 【题型八】切弦互化求最值 .................................................................................................................... 13 【题型九】解三角形应用题 .................................................................................................................... 14 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 17 三、模拟检测 .. (22)
专题14 正弦定理和余弦定理（解析版）
2
2
r=1 6 =2 3
ABC 的外接圆半径 2 3
，
2
PA ⊥ 面 ABC
( ) 三棱锥外接球的半径
R2
=
r2
+
PA 2
2
=
2
3 2 + 22 = 16 ，
所以三棱锥 P − ABC 外接球的表面积 S = 4 R2 = 64 ．
故选 C．
二、填空题
7．（正弦、余弦定理与公式综合运用）ABC 的内角 A ，B ，C 的对边长分别为 a ，b ，c ，设 S 为 ABC
AB + 3 13
AC .
故选 D
5．（利用正弦定理、余弦定理求距离）如图，为了测量某湿地 A, B 两点之间的距离，观察者找到在同一条 直线上的三点 C, D, E .从 D 点测得 ADC = 67.5 ，从 C 点测得 ACD = 45 ， BCE = 75 ，从 E 点测得 BEC = 60 .若测得 DC = 2 3 ， CE = 2 （单位：百米），则 A, B 两点之间的距离为（ ）
12
34 4
∴ 2（ 3 −1）＜ sin（A + ） 1，
4
4
∴3−
3 ＜2
6
sin（
A
+
4
）
2
6，
( 故答案为 3 − 3, 2 6 .
正弦定理和余弦定理详解
正弦定理和余弦定理详解
高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．
学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．
基础知识梳理
1．正弦定理：
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝2R，其中
R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；
(3)sin A＝
a
2R，sin B＝
b
2R，sin C＝
c
2R等形式，
解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C．余
弦定理可以变形：cos A＝b2＋c2－a2
2bc，cos B
＝a2＋c2－b2
2ac，cos C＝
a2＋b2－c2
2ab.
3．S△ABC＝1
2ab sin C＝
1
2bc sin A＝
1
2ac sin B＝
abc
4R
＝1
2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，
并可由此计算R、r.
4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数
一解
两解
一解
一解 [难点正本 疑点清源]
1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大
正弦定理和余弦定理知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数的概念及运算
一、知识梳理
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的
半径)，并可由此计算R ，r .
3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：
4.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C
2.
5.三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .
二、例题精讲 + 随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )
(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.
高考数学复习解三角形专题讲解1--正余弦定理(解析版)
高考数学复习解三角形专题讲解
第1讲 正余弦定理
1．（2020•吉林二模）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
若a =3b =，2c =，则(A ∠=)
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒ 【解析】解：7a =，3b =，2c =，
∴由余弦定理得，2229471cos 22322
b c a A bc +-+-===⨯⨯，
又由(0,180)A ∈︒︒，得60A =︒， 故选：C ．
2．（2020秋•靖远县期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6
A π
=，4
B π
=
，
a =(
b =)
A
．
C
．
．【解析】解：利用正弦定理：因为
sin sin a b
A B
=
，
所以sin 21sin 2
a B
b A
=
==
故选：A ．
3．（2021•玉溪一模）在ABC ∆中，角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中6
A π
=，3b =
，
c =则sin (C =)
A ．
1
4
B
C
D ．1
【解析】解：根据题意，ABC ∆中，6
A π
=，3b =
，c =
则2222cos 3a b c bc A =+-=，
则a =
又由正弦定理：sin sin a c
A C
=
，则1
2sin sin 1c A C a ===，
故选：D ．
4．（2021•辽源模拟）在ABC ∆中，角A ，B
，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =，c =，
,(6bsinA acos B b π⎛
⎫=
+= ⎪⎝
⎭则)
A ．1B
C
【解析】解：在ABC ∆中，由正弦定理得：
专题24 正弦定理和余弦定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)
专题24正弦定理和余弦定理
最新考纲
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
.
基础知识融会贯通
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况
3.三角形常用面积公式
(1)S ＝12a ·h a (h a
表示边a 上的高)；
(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ；
(3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．
【知识拓展】 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin
A ＋
B 2＝cos
C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2
. 3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .
重点难点突破
【题型一】利用正、余弦定理解三角形
【典型例题】
已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且．
（1）若C ＝60°且b ＝1，求a 边的值；
（2）当时，求∠A 的大小．
【解答】解：（1）由，，
∴a ＝2
b •sin C ，
正弦定理和余弦定理专题及解析
正弦定理和余弦定理
教学目标掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
知识梳理
1.正弦、余弦定理
在△ABC中,若角A，B,C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定
理
正弦定理余弦定理公
式错误!＝错误!＝错误!＝2R
a2＝b2＋c2－2bc cos A；
b2＝c2＋a2－2ca cos B；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
常见变形(1）a＝2R sin A，b＝2R sin B,c＝2R sin C；
(2)sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝
错误!；
（3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C;
(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，
a sin C＝c sin A
cos A＝错误!；
cos B＝错误!；
cos C＝错误!
2。S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B＝错误!＝错误!(a＋b＋c)·r（r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3。在△ABC中,已知a,b和A时，解的情况如下:
A为锐角A为钝角
或直角
图形
诊断自测
1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
（2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A〉B。（)
(3）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素。( )
（4)当b2＋c2－a2〉0时,△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时,△ABC为钝角三角形。( ）
考点17 正余弦定理(讲解)(解析版)
考点17 正余弦定理【思维导图】
【常见考法】
考法一：正余弦定理选择
1．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
．若3,60a b A ===︒，则边c = 。
【答案】4
【解析】2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．
2．在ABC
中，2
c =
，75A =︒，45B =︒，则ABC 的外接圆面积为 。 【答案】
4
π 【解析】因为在ABC 中，75A =︒，45B =︒，所以60C =︒，
又c =r
，则21sin c r C =
==，因此ABC 的外接圆面积为21
4
S r ππ==.
3．在△ABC 中，A ＝60°，a
sin sin sin a b c
A B C
++++等于 。
【解析】由正弦定理a b c sinA sinB sinC ==，a sinA
=3
∴
sinA ，
sinB ，
sinC 则a b c sinA sinB sinC ++++
=)3sinA sinB sinC sinA sinB sinC ++++
=
3
4.在△ABC 中，cos C
2＝5
5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝ 。 【答案】4 2
【解析】因为cos C ＝2cos 2
C
2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35＝32，∴c ＝AB ＝42。
5.在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝4，cos C ＝－1
第20讲 正弦定理和余弦定理及其应用(讲)解析版
第20讲 正弦定理和余弦定理
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算 【课标解读】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预计2022年会以对正、余弦定理的考查为主，利用两定理解三角形(求三角形边或角)，解与三角形面积有关的最值问题．此外，判断三角形的形状及三角形内三角函数的计算也不容忽视．题型既可以是客观题也可以是解答题，属中档题型.
【核心知识】
知识点一 正弦定理和余弦定理
1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，
r .
3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：
知识点二 三角函数关系和射影定理
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.
2.三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B . 【高频考点】
正弦定理、余弦定理精讲精析(解析版)
正弦定理、余弦定理精讲精析
点点突破
热门考点01 正弦定理
正弦定理：
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；
a ＝2R sin_A ，
b ＝2R sin_B ，
c ＝2R sin_C ；
sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R 等形式，以解决不同的三角形问题．
面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2
ac sin B
【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】
34
π. 【解析】
由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，
即tan 1B =-，3.4
B π
∴=
故选D ． 【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．
（1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．
【答案】（1）5
sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.
【解析】
（1）由余弦定理得2222
2cos 9223252
b a
正弦定理余弦定理(解析版)
考点31 正弦定理、余弦定理
【命题解读】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾】
1．正弦定理
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．
a 2＝
b 2＋c
2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
3．三角形的面积公式
(1)S △ABC ＝1
2ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2ac sin B ； (3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．
1、 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】：A 【解析】
：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1或b ＝－4(舍去)，即AC ＝1. 2、 已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )
A ．2 5 B.5 C ．25或 5 D ．均不正确
专题6.4 正弦定理、余弦定理及其应用(精讲)(解析版)
专题6.4 正弦定理、余弦定理及其应用
【考纲要求】
1. 掌握正弦定理、余弦定理及其应用.
2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
【知识清单】
1．正弦定理 正弦定理：
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C
＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；
a ＝2R sin_A ，
b ＝2R sin_B ，
c ＝2R sin_C ；
sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R 等形式，以解决不同的三角形问题．
面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2ac sin B
2．余弦定理
余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 222
2cos c a b ac B +-=.
变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
3.实际问题中的有关概念
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．
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sin B sin A
2
2
★★☆练习 1. ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 a = 3, cos A = 6 , B = A + 。
3
2
（1） 求 b 的值；
（2） 求 ABC 的面积。
答案：（1） 3 2 （2） 3 2 2
解析：（1）由同角三角函数关系和诱导公式可得： sin A = 3 , sin B = 6 ， a = b b = 3 2 ；
（3） 大边对大角，小边对小角（在三角形中， A B sin A sin B ）
（4） 面积公式： S = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ca sin B = abc = 2R2 sin Asin B sin C
2
2
2
4R
（5） 三角函数的恒等变形：
sin(A + B) = sin C, cos( A + B) = − cos C,sin A + B = cos C , cos A + B = sin C
★☆☆练习 1. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c 。若 a cos A = b cos B ，则 ABC 的形状是（ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰或直角三角形
答案：D
解析：由 a cos A = b cos B 得 sin Acos A = sin B cos B ，即 sin 2A = sin 2B ，所以 2A = 2B 或者
．
3
答案： 4
解析：已知两边和其中一边的对角使用正弦定理， a = b sin B = 2 ，大边对大角可得 B = 。
sin A sin B
2
4
★☆☆例题 2：在 ABC 中， A = 60, AC = 4, BC = 2 3 ，则 ABC 的面积为 ．
答案： 2 3
解析： AC = BC sin B = 1 ，B = 90 ，然后用面积公式 S = 1 ab sin C = 1 ab sin( A + B) = 2 3
★☆☆练习 1. 在 ABC 中， b = 30, c = 15,C = 26 ，则此三角形解的情况是（ ）
A. 一解
B. 两解
C. 无解
D. 无法确定
答案：B
解析：由正弦定理可得 sin B 1，因为 b c ，所以 B 有钝角和锐角两种情况。
知识点要点总结：
1. 已知两角和一边，求其它两边和一角，利用正弦定理；
sin B sin C c sin C sin 2B 2cos B
5
25
★★★练习 2. 在锐角 ABC 中， A = 2B ， B, C 所对的边分别为 b, c ，则 b 的取值范围是
．
b+c
答案： (1 , 1) 32
解析：分子分母齐次式直接由正弦定理进行边化角，然后利用倍角公式化简
b
b +
2. 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其它两角，利用正弦定理；
3. 当题干中出现齐次式时，利用正弦定理进行边角互化；
4. 用正弦定理解三角形时注意三角形个数，判定依据是大边对大角。
二、余弦定理
【知识点】
1. 定义：余弦定理有两种表示形式，在 ABC 中， a2 = b2 + c2 − 2bc cos A ， cos A = b2 + c2 − a2 ； 2bc b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ， cos B = a2 + c2 − b2 ； 2ac c2 = a2 + b2 − 2ab cos C ， cos C = a2 + b2 − c2 2ab
c
=
sin
sin B B + sin C
=
sin
B
sin B + sin(A +
B)
=
sin
B
+ sin
sin B Acos B
+
cos
A sin
B
=
1+
1 2 cos2 B
+
cos
A
=
1 4 cos2
B
下面求
B
的范围，因为 ABC
是锐角三角形，所以
A
=
A
+
2B 2
B = 3B
2
，解得 6
答案：1
解析：余弦定理： BC2 = AC2 + AB2 − 2AC AB cos A ，代入可得 AC = 1
★★☆练习 2．在 ABC 中， a = 4,b = 5, c = 6 ，则 sin 2 A = ． sin C
答案：1
解 析 ： 利 用 倍 角 公 式 和 正 弦 定 理 可 得 sin 2A = 2sin Acos A = 2a cos A ， 然 后 使 用 余 弦 定 理 求
3
3 sin A sin B
（2）由面积公式 S = 1 ab sin C = 1 ab sin( A + B) = 1 ab sin(2A + ) = 1 ab cos 2A = 3 2
2
2
2
22
2
★★☆例题 3. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c 。若 a sin B cos C + c sin B cos A = 1 b ，且 a b ， 2
2. 余弦定理的作用是进行三角形的边角互化，注意三角形中其它条件的应用。特别地，已知三条边解三角
形时只能使用余弦定理。
3.
三角形内切圆半径：
r
=
a
2S +b+
c
；特别地，
r直
=
a
+
b 2
−
c
4. 三角形中的射影定理： a = b cos C + c cos B,b = a cos C + c cos A, c = b cos A + a cos B
【例题讲解】
★☆☆例题 1．在 ABC 中，若 AB = 13, BC = 3, C = 120 ，则 AC = ．
答案：1
解析：余弦定理： AB2 = AC2 + BC2 − 2AC BC cos C ，代入可得 AC = 1
★☆☆练习 1．在 ABC 中， A = 60, AC = 2, BC = 3 ，则 AB = ．
则 ABC 面积的最大值为 ．
答案： 3
解析：因为 a = 2 ，所以 (2 + b)(sin A − sin B) = (c − b)sin C (a + b)(sin A − sin B) = (c − b)sin C ，使
用 正 弦 定理 进 行角 化 边： (a + b)(a − b) = (c − b)c ， 即 a2 = b2 + c2 − bc ， 由 余 弦定 理 可得 A = 。 3
B
4
，代入上式可得
b 的取值范围是 (1 , 1) 。
b+c
32
★☆☆例题 4. 在 ABC 中， sin A = sin B ，则 ABC 的形状是（ ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 锐角三角形
答案：B
解析：由 sin A = sin B 得， A = B ，三角形为等腰三角形。
S = 1 bc sin A = 1 bc sin =
2
2
3
3 4
bc
，由 a2
=
b2
+ c2
− bc
可得 a2
2bc
− bc
=
bc, bc
4
， Smax
=
3。
★★☆练习 1. 在 ABC 中， B = ， BC 边上的高等于 1 BC ，则 cos A =
．
4
3
答案： − 10 10
解析：S = 1 BC h = 1 a 1 a = 1 ac sin B ，所以 c = 2 a ，sin C = 2 sin A ，即 sin(3 − A) = 2 sin A ，
三角形。
★☆☆例题 5. 在 ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. b = 20, A = 45,C = 80
B. a = 30, c = 28, B = 60
C. a = 14,b = 16, A = 45
D. a = 12, c = 15, A = 120
答案：C
解析：选项 C 中，由正弦定理可得 sin B 1，因为 b a ，所以 B 有钝角和锐角两种情况。
sin C
sin C
c
cos A = b2 + c2 − a2 = 25 + 36 −16 = 3 ，所以 sin 2A = 1
2bc
60
4
sin C
★★☆例题 2. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c 。若 a = 2 ，(2 + b)(sin A − sin B) = (c − b)sin C ，
2
33
★★☆练习 1. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边为 a,b, c 。若 a = 3,b = 4, c = 6 ，则
bc cos A + ca cos B + abcosC = ．
答案： 61 2
解析：由余弦定理得 bc cos A = b2 + c2 − a2 , ac cos B = a2 + c2 − b2 , ab cos C = a2 + b2 − c2 ，所以
2A + 2B = ，所以三角形是等腰或直角三角形。
★☆☆练习 2. 若 a = b = c ，则 ABC 的形状是（ cos A cos B cos C
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
） D. 等腰直角三角形
答案：C
解析：由 a = b = c 得 sin A = sin B = sin C ，即 tan A = tan B = tan C ，所以三角形是等边 cos A cos B cos C cos A cos B cos C
2
2
Байду номын сангаас
2
2
【例题讲解】
★☆☆例题 1．在 ABC 中，已知 BAC = 60,ABC = 45, BC = 3 ，则 AC = ．
答案： 2
解析：已知两角一边，使用正弦定理解三角形。 AC = BC AC = BC sin ABC = 2
sin ABC sin BAC
sin BAC
★☆☆练习 1．设 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 a = 3,sin B = 1 ,C = ，则 b =
2
23 2
3
3
4
3
2 cos A + 2 sin A = 2 sin A ，解得 tan A = −3 ， cos A = − 10 。
2
2
3
10
★★☆练习 2. 在 ABC 中，三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径为 ．
答案： 7 3 3
解析： cos A = b2 + c2 − a2 = 25 + 49 − 9 = 13 ， sin A = 1− cos2 A = 3 3 , 2R = a = 14
正、余弦定理（讲案）
一、正弦定理
【知识点】
1. 定义：在 ABC 中， a = b = c = 2R ，其中 2R 是三角形外接圆的直径 sin A sin B sin C
2. 正弦定理的作用是进行三角形的边角互化，注意三角形中其它条件的应用：
（1） 三角形内角和为180
（2） 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2bc
70
14
14
sin A 3
★★☆例题 3. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边为 a, b, c 。若 (a2 + c2 − b2 ) tan B = 3ac ，则 B =
．
答案： 或 2 33
解析： (a2 + c2 − b2 ) tan B = 2ac cos B tan B = 2ac sin B = 3ac ，所以 sin B = 3 , B = 或 2
2
2
6
★★☆练习 1. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c 。已知8b = 5c,C = 2B ，则 cosC = ．
答案： 7 25
解析： b = c b = sin B = sin B = 1 ，解得 cos B = 4 ，所以 cos C = 2 cos2 B −1 = 7 。
则 B = ．
答案： 6
解析：等式两边是齐次式，正弦定理边化角。原式转化为：sin Asin B cos C + sin C sin B cos A = 1 sin B ， 2
即 sin Acos C + sin C cos A = 1 ，所以 sin B = sin( A + C) = 1 ，因为 a b ，所以 b = 。
．
26
答案：1
解析：因为 sin B = 1 ,C = ，所以 B = ，使用正弦定理 a = b b = a sin B = a sin B = 1
26
6
sin A sin B
sin A sin(B + C)
★☆☆练习 2．在 ABC 中， a = 3,b = 6, A = 2 ，则 B =
2
2
2
bc cos A + ca cos B + ab cos C = a2 + b2 + c2 = 61
2
2
★☆☆练习 2. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边为 a, b, c 。若三角形的面积 S = 1 (a2 + b2 − c2 ) ，则 4