等比数列前n项和(1)-课件ppt

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等比数列前N项和(一)

则有am an a p aq
与你作一笔交易：一个月30天算，我每天给你5000元，而你只需第1天给我1 分钱，第2天给我2分钱，第3天给我4分钱，第4天给我8分钱，由此类推，这样的交易期为一个月，这笔交易你做吗？
这实际上是求以 1 为首项，2为公比的等比数列的前30项的和。
S30 1 2 2 2 2 (1)
2 3 29
如果用公比2乘以上面等式的两边，得到：
2S30 2 2 2 2 2 (2)
2 3 29 30
为便于对上面两式进行比较，我们将它们列在一起：
S30 1 2 22 23 229 (1)
2 S30 = 2 + 22 + 2 3 +…..+ 2 29 + 230。。。。(2) (2) – (1) : S30 = 2 30 – 1 ≈1073.74万元
错位相减法
这笔交易不能做
等比数列前n项和公式的推导
Sn a1 a2 a3 an …… (1) Sn=a1+a2+ +an=? 1
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
并能应用.
.了解等比数列的推导过程(错位相减)
an a 2 a 3 a4 因为 a a a a q 1 2 3 n 1 a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a2 a3 an1 S n a1 q S n an
因为棋盘共有64格,所以各格中的麦子数组成了一个64项的等比数列 1, 2, 22 , 23 ,263
1 2 264 1 1.841019 1 2

等比数列的前n项和PPT课件

讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放的麦粒可以堆成一座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )

等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1

∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老

Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室

Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工

等比数列及其前n项和_课件

【训练2】 (2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前 n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________. 解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝－1(舍去)或 q＝32.
答案
3 2
考向三等比数列的性质及应用
【例3】►(1)等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项和Sn＝126，则公比q＝________.
(2)等比数列{an}中，q＝2，S99＝77，则a3＋a6＋…＋a99＝ ________. [审题视点] (1)利用等比数列的性质：“若m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”； (2)把前99项分三组，再转化为a3＋a6＋…＋a99.
为非零常
数且 n≥2)，则{an}是等比数列；
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0 且 an2＋1＝an·an＋2(n∈ N*)，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列； (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．注前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
在解决有关等比数列的计算问题时，要注意挖掘隐含条件，充分利用其性质，特别是性质 “若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
【训练3】 (2012·北京东城区一模)已知x，y，z∈R，若－ 1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 ( )．
A．－3 B．±3 C．－3 3 D．±3 3 解析由等比中项知 y2＝3，∴y＝± 3，又∵y 与－1，－3 符号相同，∴y＝－ 3，y2＝xz，

第七章第三节等比数列及其前n项和课件(共54张PPT)

(2)等比中项如果 a，G，b 成等比数列，那么_G_叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a
与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒_G_2_＝__a_b_．
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_a_1_q_n_－_1___．
__n_a_1 ，q＝1； (2)前 n 项和公式：Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq，q≠1.
第七章数列
第三节等比数列及其前n项和
栏目一知识·分步落实栏目二考点·分类突破栏目三微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.通过实例，理解等比数列的概念．考情分析：等比数列的基本运算，
2．探索并掌握等比数列的通项公式等比数列的判断与证明，等比数列的
与前 n 项和的公式．
性质与应用仍是高考考查的热点，三
3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 aman＝apaq＝a2r . (2)若数列{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}、a1n 、{a2n }、{anbn}、 abnn (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an， an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
解析： (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12 (an＋bn).
又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12 的等比数列．由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．

4.3.2 等比数列的前n项和公式(第1课时)(课件)(新教材人教版选择性必修第二册)

解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，
a3＝a1q2＝12，则a8＝a1q7＝38，
a1＝48，解得q＝21，
所以 an＝a1qn－1＝48×12n－1.
(2)Sn＝a111－－qqn＝4811－－1212n＝961－12n. 由 Sn＝93，得 961－21n＝93，解得 n＝5.
类型二：等比数列前n项和的实际应用
(3)( 方法一 ) 由
Sn
＝
a11－qn 1－q
，
an
＝
a1qn
－
1
及已知条件，得
189＝a111－－22n， 96＝a12n－1，
解得na1＝＝63.，
(方法二)由公式 Sn＝a11－－aqnq及已知条件，得 189＝a1－1－962×2，解得 a1＝3. 又由 an＝a1qn－1，得 96＝3×2n－1，解得 n＝6.

解：(方法一)设小华每期付款 x 元，第 k 个月末付款后的欠款本利为 Ak，则 A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x， …
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，解得 x＝1＋1.00852＋0010.0×0814.＋00…812＋1.00810 ＝5 10－00×1.010.08028612≈880.81.
a1－an Sn＝ 1－q
Sn＝ na1
2．错位相减法求和推导等比数列前 n 项和的方法是错位相减法，一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项乘积的前 n 项和．
类型一：等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

典例 1 在等比数列{an}中，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)若 a1＝8，an＝14，Sn＝643，求 n； (2)若 S3＝72，S6＝623，求 an 及 Sn； (3)若 a6－a4＝24，a3·a5＝64，求 S8； (4)若 a3＝32，S3＝412，求 a1．
[分析] 在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．
题型二等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后 )，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)
依此类推，得： a5＝1 000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋21)－x. 则 1 000×(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ∴1 000×(32)5－x·11－－32325＝2 000．解得 x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3， …，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. (2)在等比数列{an}中，当项数为 2n(n∈N*)时，SS偶奇＝q. (3){an}是公比不为－1 的等比数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等

等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版选必修二)

高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？

15-等比数列前n项和(1)

2.5 等比数列的前n 项和（1）教材分析本节内容是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．与等差数列前n 项公式一样，等比数列前n 项和公式也是数列求和的化简式，用这个公式可以方便地求出等比数列的前n 项和．教学中可从公式的形成、特点等方面与等差数列进行类比．当然，本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破．本节课重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用．难点是由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解等比数列前n 项和公式的推导、公式的特点和公式的运用．教学目标重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式．知识点：等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点．能力点：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．教育点：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．自主探究点：如何利用相应方法推导出等比数列前n 项和公式以及在此基础上应用公式解决与之有关的问题．考试点：等比数列前n 项和公式以及在此基础上应用公式解决与之有关的问题．易错易混点：对于1 q 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．拓展点：公式推导所使用的“错位相减法”蕴含的数学思想．教具准备：多媒体课件课堂模式：学案导学一、引入新课话说灰太狼想在森林里开一个公司，但苦于资金有限，于是准备去找喜羊羊投资，喜羊羊一口答应：“行，从今天开始我连续30天往你的公司注入资金，第一天投资10000元，第二天投资20000元，第三天投资30000元，总之以后每天都比上一天多投资10000元，但作为回报，在投资的第一天起你必须返还我1元钱，第二天返还我2元钱……即后一天返还的钱数为前一天的两倍,30天后我们两清．”问：灰太狼会吃亏么？【师生活动】教师引导学生分析喜羊羊与灰太狼提出的两种方案：这在30天内喜羊羊投资与灰太狼向喜羊羊返还的钱数分别记为30'30,S S ，则每天投资的钱数构成等差数列且一月的投资总额为465000021000029301000030'30=⨯⨯+⨯=S 而每天返还的钱数则构成了一个等比数列且一月的返还总额为?22221293230=+++++= S那么如何求这个和呢？从而引出课题《等比数列的前n 项和》.【设计意图】】设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点，也和实际生活有一定联系．【设计说明】此处应结合思路板书上述两个求和的式子，方便学生下一步思考．二、探究新知师：同学们，你们知道30天后是喜羊羊还是灰太狼亏本吗？带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．【设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔．在肯定他们的思路后，教师提问学生：29322,,2,2,2,1 是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探究一：把29323022221+++++= S 记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探究二：如果把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有 30323022222++++= S 记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？生：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了．师：这就是错位相减法．【设计意图】：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机．学生在经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法的简洁，更让学生感到数学方法的魅力．师：同学们请反思，为什么（1）式两边要同乘以2呢？此时顺势引导学生将结论一般化，公比为q ，如何求前n 项和n S ？这里，让学生自主完成，学生得到公式qq a a S nn --=111，教师在巡视过程中对个别学生进行指导，然后投影学生习作，加以点评．【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．在学生推导完成后，教师继续提问师：由nn q a a S q 11)1(-=-对不对？这里对q 有没有什么要求？生：1≠q 此时.师：那等比数列中的公比能不能为1？1=q 时是什么数列？此时?=n S （这里引导学生对q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）生：1=q 时为常数列，此时1na S n =师：结合等比数列的通项公式11-=n n qa a ,如何把n S 用q a a n ,,1表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）生：qq a a S n n --=11 【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．三、理解新知学生总结，教师板书⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1(;)1(;11)1(111q na q q q a a q q a S n n n 【设计意图】：为准确地运用新知，做必要铺垫．四、运用新知例1 求等比数列,161,81,41,21前8项和；解：由已知可得，此数列是首项为,21公比为21的等比数列，其前8项和为888211211)211(21-=--=S 变式一：此数列的前多少项和是6463？变式二：求此数列第5项到第10项的和．师生活动：首先，学生独立思考，自主解题，再投影他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．例2 求和1321-+++++n aa a a 解：当1=a 时，n aa a a n =+++++-1321 当1≠a 时，aa a a a a nn --=+++++-111132 【设计意图】解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．师：最后回到初始的引入问题，可以计算出303021+-=S ，显然灰太狼比较吃亏．师：再来思考，多少天以内灰太狼才不吃亏？【设计意图】把引入课题时的悬念给予释疑，并对此引例加以变式，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．五、课堂小结以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答.本节课我们学习了哪些公式？涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1、知识点：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1(;)1(;11)1(111q na q q q a a q q a S n n n 2、思想：分类讨论的思想3、方法：错位相减法教师总结：公式的证明用到了一个新的方法——错位相减法，而错位相减法也是数列求和的一种重要方法．提醒学生，“知新”时，也要“温故”，在应用中加强对公式的理解，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．教师用多媒体展示：数学就像人类的一部特制的精密的大型望远镜或显微镜一样，它大大延伸了人们洞察自然地能力，看到了不掌握数学的人无法看到的那个世界，能使人看到那些不懂数学的人无法看到的东西．－－－张楚廷《数学文化》【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．同时加强对学生学法指导与数学文化修养的指导．六、布置作业必做：人教A 版课本61页 A 组 1、4（1）选作：1、“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？2、求和：12321-++++n nx x x【设计意图】出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．七、教后反思1.本教案的亮点是引例问题与课堂设计．引例来源于生活，能吸引学生在解决问题的过程中掌握知识点与方法；而本堂课的设计采用“问题――探究”的教学模式，自然流畅，符合学生认知规律，而且利用多媒体及学案辅助教学，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．2.本节课弱项是课堂时间有限，没有充分进行训练，这就要求学生在课下多多训练，以完成对知识和方法的巩固提高．3.由于学情不同，建议教师使用本案是灵活掌握．八、板书设计。

高中数学《等比数列前n项和公式》课件

反思与感悟解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180，或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.

必修五等比数列前n项和的公式(第一课时,精校版,优质课件)

求：Sn 解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + q n=a1q a1q (1-q)Sn=
1 1
a a
s
2
a1q3 a1qn1 a1qn
若q=1,
n
作减法
a -a qn
Sn na1
分析：解：（1）该数列为等比数列，记为{an}，其中a1=a,q=a 当q=1时,Sn=na a (1 a n ) 当q≠1时,Sn= 1 a
反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如 xn yn 的数列的和，其中 xn 为等差数列， yn 为等比数列.
思考：
1 2 3 4 n Sn n . 求和： 2 4 8 16 2
n 1 设 an 2 n n 2 n （提示：
，其中n为等差数列，，利用错位相减法求和.）
1 1 n 为等比数列，公比为 2 2
三、小结：
1.等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用； 2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公比q
引入新课
请同学们考虑如何求出这个和？
2 3 29
30 S30 1 2 S 2 1 1073741823 分
S30 2S30 1 230
30 30
即2S30 2 2 2 2 2 .
S30 1 2 2 2 2 . 2 3 29 2 2 2 2 ). 2S30 2(1 2 3 29 30
等差数列定义通项公式

等比数列的前n项和(1)

答：5年内可以使总产量达到30万吨.
练习：已知 {an } 是等比数列，请完成下表：题号 (1) (2) (3) a1
1 2
q
1 2
2 3
n
8
an
1 256
Sn
255 256
27
4
6
8
96
65
63
3
2
a1、q、n、an、Sn中知三求二
例3. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项
⑴－⑵，得
n1
n
1 q Sn a1 a1q
a1 1 q Sn 1 q
当q≠1时，

n

,
-------错位相减法
当q 1时, Sn
？ na1
Sn na1 a1 (1 q ) a1 an q Sn 1 q 1 q
n
(q 1) (q 1)
(3)已知 sn =189， q=2, an 96,求 a1 和 n.
q 1 q=-2 或（ 4）已知 a1=2,S3=6,求 a3 和 q a3 2 a3 8
a1 3, n 6
第一年为5万吨，例2 某制糖厂今年制糖5万吨，如果平均每年的产量比第二年为 5+5×10%= 上一年增加10%，那么从今年起，几年内可以使总产量达到 5（1+10% 30万吨（保留到个位） .lg1.6 0.2041,lg1.1 0.0414 ）解：由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万吨）组成一个等比数列，记为 a
小试牛刀
1.(2011 北京， 11， 5） 1 在等比数列 {an }中, 若a1 , a4 4, 则公比q 2 a1 a2 an .

等比数列求和公式演示版.ppt

方法
位相减
和的方法列求数列前 n 项和公式时应注意什么事项？
提示：在应用等比数列求和公式时，
应分 q＝1 与 q≠1 两种情况分别求解；若 q≠1，要说明为什么 q≠1.
.精品课件.
3
2．当 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式有两种形式 Sn＝a111－－qqn及 Sn＝a11－－aqnq，应用时应如何选择？
2.4.2
等比数列的求和公式 (第一课时)
.精品课件.
1
新课讲解
等比数列前 n 项和公式知识点
基本内容
基本公式
等比数列前 n 项和公式
Sn＝naqa1≠111－1－qq＝qn1＝
a1－anq 1－q
根据 q 是否为 1，有两种形式
推导等比错位相减法：解决由等比数列与
基本
两边乘公比，错
数列前 n 项等差数列对应项的积组成的数
17
跟踪练习
1. 求和 Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解：分a＝1和a≠1两种情况．
当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1；
当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann，
上式两边同乘以1a，得
1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋a.nn精＋品1，课件.
18
两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1，即Sn＝aan－an1a－－n1a2 －1. 综上所述，得 Sn＝anan2n＋－a1n1a，－－an1＝a21－，1，a≠1.
)
A．14,1
B．16，－1
C．16,1
D．14，－1
(2)设等比数列{an}的公比 q<1，前 n 项和为 Sn，已知 a3＝2，