2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题12

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2014年新课标Ⅰ卷高考理科数学试卷真题及解析

数f ( x), 则y f ( x)在[0, ]上的图像大致为( C )
y
y
1
1
NP
x 0 MA
0
πx 0
πx
A
B OM OP cos x cos x
y
y
f ( x) MN OM sin x
1
1
sin x cos x 1 sin 2 x
0
πx 0
πx
2
C
D
7.执行下图的程序框图, 若输入的a, b, k分别为1, 2, 3, 则
p3 : ( x, y) D, x 2 y 3, p4 : ( x, y) D, x 2 y 1.
其中真命题是( C )
y
A. p2 , p3
B. p1 , p4
C . p1 , p2
D. p1 , p3
作可行域如图所示, x y 1 直线OA的方程为x 2 y 0, 所以( x, y) D, x 2 y 0 O p1 , p2正确
输出M
n n1 b M a b M a 1 b
结束
8.设 (0, ), (0, ), 且 tan 1 sin , 则( B )
2
2
cos
A.3
2
C.3
2
B.2
2
D.2
2
tanα sinα 1 sin β , sinαcos β cos α cos αsin β cosα cos β
2i(1 i) 2i
1 i
D. 1 i
3.设函数f ( x), g( x)的定义域都为R, 且f ( x)是奇函数,
g( x)是偶函数, 则下列结论正确的是( )
A. f ( x)g( x)是偶函数

2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）数学理一、选择题(共12小题，每小题5分)1.已知集合A={x|x2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x≤2}，则A∩B=( )A.[-2，-1]B.[-1，2)C.[-1，1]D.[1，2)解析：A={x|x2-2x-3≥0}={x|x≥3或x≤-1}，B={x|-2≤x≤2}，则A∩B={x|-2≤x≤-1}，答案：A2. =( )A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i解析：==-(1+i)=-1-i，答案：D.3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A. f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f(x)|g(x)|为奇函数，答案：C.4.已知F为双曲线C：x2-my2=3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.B.3C.mD.3m解析：双曲线C：x2-my2=3m(m＞0)可化为，∴一个焦点为(，0)，一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=.答案：A.5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.B.C.D.解析：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24-2=16-2=14种情况，∴所求概率为=.答案：D.6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0，π]的图象大致为( )A.B.C.D.解析：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，答案：C.7.执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=( )A.B.C.D.解析：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4.不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=.答案：D.8.设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα=，则( )A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=解析：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin(α-β)=cosα.由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关. 排除选项A，B后验证C，当时，sin(α-β)=sin()=cosα成立.答案：C.9.不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1： (x，y)∈D，x+2y≥-2 p2：∃(x，y)∈D，x+2y≥2p3：∀(x，y)∈D，x+2y≤3 p4：∃(x，y)∈D，x+2y≤-1其中真命题是( )A.p2，p3B. p1，p4C. p1，p2D. p1，p3解析：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x-2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥-2 区域的上方，故A：∀(x，y)∈D，x+2y≥-2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃ (x，y)∈D，x+2y≥2，故p2：∃(x，y)∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀(x，y)∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤-1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃(x，y)∈D，x+2y≤-1错误；综上所述，p1、p2正确.答案：C.10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=( )A.B.3C.D.2解析：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为-2，∵F(2，0)，∴直线PF的方程为y=-2(x-2)，与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，答案：B.11.已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )A.(2，+∞)B. (1，+∞)C. (-∞，-2)D. (-∞，-1)解析：当a=0时，f(x)=-3x2+1=0，解得x=，函数f(x)有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′(x)=3ax2-6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：∵x→+∞，f(x)→-∞，而f(0)=1＞0，∴存在x＜0，使得f(x)=0，不符合条件：f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去.当a＜0时，f′(x)=3ax2-6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：而f(0)=1＞0，x→+∞时，f(x)→-∞，∴存在x0＞0，使得f(x0)=0，∵f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜-2.综上可知：a的取值范围是(-∞，-2).答案：C.12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A.6B. 6C. 4D. 4解析：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴.AC==6，AD=4，显然AC最长.长为6.答案：B.二、填空题(共4小题，每小题5分)13. (x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.（用数字填写答案）解析：(x+y)8的展开式中，含xy7的系数是：=8.含x2y6的系数是=28，∴(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为：8-28=-20.答案：-2014.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.解析：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A.答案：A.15.已知A，B，C为圆O上的三点，若=(+)，则与的夹角为.解析：在圆中若=(+)，即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，答案：90°16.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，则△ABC面积的最大值为 .解析：△ABC中，∵a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，∴利用正弦定理可得 4-b2=(c-b)c，即 b2+c2-bc=4.再利用基本不等式可得4≥2bc-bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，答案：.三、解答题17.（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n-1，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：a n+2-a n=λ(Ⅱ)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由.解析：(Ⅰ)利用a n a n+1=λS n-1，a n+1a n+2=λS n+1-1，相减即可得出；(Ⅱ)对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d.可得λ=a n+2-a n=(a n+2-a n+1)+(a n+1-a n)=2d，.得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可.答案：(Ⅰ)∵a n a n+1=λS n-1，a n+1a n+2=λS n+1-1，∴a n+1(a n+2-a n)=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2-a n=λ.(Ⅱ)①当λ=0时，a n a n+1=-1，假设{a n}为等差数列，设公差为d.则a n+2-a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=-1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列.②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d.则λ=a n+2-a n=(a n+2-a n+1)+(a n+1-a n)=2d，∴.∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4.此时可得，a n=2n-1.因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列.18.（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求P(187.8＜Z＜212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.附：≈12.2.若Z-N(μ，σ2)则P(μ-σ＜Z＜μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ＜Z＜μ+2σ)=0.9544.解析：(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200，150)，从而求出P(187.8＜Z＜212.2)，注意运用所给数据；(ii)由(i)知X～B(100，0.6826)，运用EX=np即可求得.答案：(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=15 0.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200，150)，从而P(187.8＜Z＜212.2)=P(200-12.2＜Z＜200+12.2)=0.6826；(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100，0.6826)，所以EX=100×0.6826=68.26.19.（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(Ⅰ)证明：AC=AB1；(Ⅱ)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值.解析：(1)连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；(2)以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值.答案：(1)连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，(2)∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A(0，0，)，B(1，0，0，)，B1(0，，0)，C(0，，0)∴=(0，，)，==(1，0，)，==(-1，，0)，设向量=(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则，可取=(1，，)，同理可得平面A1B1C1的一个法向量=(1，-，)，∴cos＜，＞==，∴二面角A-A1B1-C1的余弦值为20.（12分）已知点A(0，-2)，椭圆E：+=1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程；(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解析：(Ⅰ)设F(c，0)，利用直线的斜率公式可得，可得c.又，b2=a2-c2，即可解得a，b；(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2).由题意可设直线l的方程为：y=kx-2.与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ.通过换元再利用基本不等式的性质即可得出.答案：(Ⅰ)设F(c，0)，∵直线AF的斜率为，∴，解得c=.又，b2=a2-c2，解得a=2，b=1.∴椭圆E的方程为；(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2).由题意可设直线l的方程为：y=kx-2.联立，化为(1+4k2)x2-16kx+12=0，当△=16(4k2-3)＞0时，即时，，.∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=.∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号.满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：.21.（12分）设函数f(x)=ae x lnx+，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处得切线方程为y=e(x-1)+2.(Ⅰ)求a、b；(Ⅱ)证明：f(x)＞1.解析：(Ⅰ)求出定义域，导数f′(x)，根据题意有f(1)=2，f′(1)=e，解出即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)＞1等价于xlnx＞xe-x-，设函数g(x)=xlnx，函数h(x)=，只需证明g(x)min＞h(x)max，利用导数可分别求得g(x)min，h(x)max；答案：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=+，由题意可得f(1)=2，f′(1)=e，故a=1，b=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=e x lnx+，从而f(x)＞1等价于xlnx＞xe-x-，设函数g(x)=xlnx，则g′(x)=1+lnx，∴当x∈(0，)时，g′(x)＜0；当x∈(，+∞)时，g′(x)＞0.故g(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，从而g(x)在(0，+∞)上的最小值为g()=-.设函数h(x)=，则h′(x)=e-x(1-x).∴当x∈(0，1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，+∞)时，h′(x)＜0，故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，从而h(x)在(0，+∞)上的最大值为h(1)=-.综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.四、选做题(22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分)选修4-1：集合证明选讲22.（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.(Ⅰ)证明：∠D=∠E；(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.解析：(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；(Ⅱ)设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形.答案：(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；(Ⅱ)设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由(Ⅰ)知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形.选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.解析：(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.答案：(Ⅰ)对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）.对于直线l：，由①得：t=x-2，代入②并整理得：2x+y-6=0；(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ).P到直线l的距离为.则，其中α为锐角.当sin(θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ+α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为.选修4-5：不等式选讲24.若a＞0，b＞0，且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由.解析：(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值. (Ⅱ)根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6.答案：(Ⅰ)∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号.∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4.(Ⅱ)由(1)可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立.。

2014届高考总复习理科数学试题

2014届高考总复习理科数学试题（3）本试卷共6页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()()21i 2z --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为２．已知集合,A B 均为全集{}12U =，，3,4的子集，且()C U A B ⋃={}4,{}1B =，2,则 3. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项和10S =A.85B.135C.95D.234．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n , 下列命题中真命题是A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bC.若//,a b b α⊂,则//a αD.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是95,则6．将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是7．给出下列四个结论：①若命题2000:R,10p x x x ∃∈++<，则2:R,10p x x x ⌝∀∈++≥； ② “()()340x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件；③命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则m ≤0”；④若0,0,4a b a b >>+=，则ba11+的最小值为1．其中正确结论的个数为8. 已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．设二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ,则=A ．10．一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x = 处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为焦．11．设z kx y =+，其中实数,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则k = .12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2,AOB ∆的面积为3,则p = .13．在区间[]-33，上随机取一个数x ，使得125x x -++≤成立的概率为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆C 的参数方程为13cos (13sin x y ααα=+⎧⎨=-+⎩为参数），点Q 的极坐标为（2，4π）．若点P 是圆C 上的任意一点，,P Q 两点间距离的最小值为 .15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB __________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量()()()B A B A m --=→sin ,cos ，()B B n sin ,cos -=→,且53-=⋅→→n m ．（１）求sin A 的值；（２）若42a =,5b =,求角B 的大小及向量BA −−→在BC −−→方向上的投影． 17．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图3是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品. （1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率． 18．(本小题满分14分)如图4，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ,ADC ∠=︒90，1AB AD PD ===,2CD =．(1) 求证：//BE 平面PAD ； (2) 求证：平面PBC ⊥平面PBD ；确定λ的值(3) 设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=u u u r u u u r,试使得二面角Q BD P --为︒45．19．（本小题满分1４分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<L 都有．20．(本小题满分14分)已知椭圆R ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且过点132⎛⎫⎪⎝⎭，．（１）求椭圆R 的方程；（２）设A 、B 、M 是椭圆上的三点，若3455OM OA OB −−→−−→−−→=+，点N 为线段AB 的中点，C 、D 两点的坐标分别为6,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求证：22NC ND +=．21．（本小题满分14分）已知函数)0,0(112)1ln()(>≥-+++=a x x ax x f ．（1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值；（2）求)(x f 的单调区间；（3）若1=a 且0<b ，函数bx bx x g -=331)(，若对于)1,0(1∈∀x ，总存在)1,0(2∈x 使得)()(21x g x f =，求实数b 的取值范围．理科数学参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案C A C B A D CA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2014年高考新课标1理科数学真题及答案详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B AA.]1,2[--B.]1,1[-C.)2,1[-D.)2,1[（2）=-+23)1()1(i i A.1＋i B.－1＋i C.1－i D.－1－i （3）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A.)()(x g x f 是偶函数B.|)(|)(x g x f 是奇函数C.)(|)(|x g x f 是奇函数D.|)()(|x g x f 是奇函数（4）已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A.3B.m 3C.3D.m 3 （5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.81 B.85 C.83 D.87（6）如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（7）执行右面的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1，2，3，则输出的M=A.320 B.516 C.27 D.815 （8）设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 A.32παβ-=B.22παβ-= C.32παβ+=D.22παβ+=（9）不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ∀∈+≥-， 2:(x,y)D,x 2y 2p ∃∈+≥， 3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是A.23,p pB.14,p pC.12,p pD.13,p p （10）已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QFA.27B.25 C.3 D.2 （11）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.(),2-∞-C.()1,+∞D.(),1-∞- （12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A.B.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ （15）已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()+=21，则AB 与的夹角为_______．（16）已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则A B C ∆面积的最大值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数，（Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .12.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=。

2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学全国Ⅰ卷试卷及参考答案与试题解析

2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学全国Ⅰ卷全国1卷试卷及参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0},B＝{x|－2≤x＜2},则A∩B＝( )A.[1,2)B.[－1,1]C.[－1,2)D.[－2,－1]2.(5分)＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数4.(5分)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C.m D.3m5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. C. D.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y＝f(x)在[0,π]的图象大致为( )A. B. C.D.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M＝( )A. B. C. D.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα＝,则( )A.3α－β＝B.3α＋β＝C.2α－β＝D.2α＋β＝9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题：p 1：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2 p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2p 3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3 p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p310.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若＝4,则|QF|＝( )A. B.3 C. D.211.(5分)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x＞0,则实数a的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(2,＋∞)C.(－∞,－1)D.(－∞,－2)12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6B.6C.4D.4二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若＝(＋),则与的夹角为.16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a＝2且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC,则△ABC面积的最大值为.三、解答题17.(12分)已知数列{an }的前n项和为Sn,a1＝1,an≠0,anan＋1＝λSn－1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明：an＋2－an＝λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列？并说明理由.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8＜Z＜212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附：≈12.2.若Z～N(μ,σ2)则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明：AC＝AB1；(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角A－A1B1－C1的余弦值.20.(12分)已知点A(0,－2),椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程；(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.21.(12分)设函数f(x)＝ae x lnx＋,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y＝e(x－1)＋2.(Ⅰ)求a、b；(Ⅱ)证明：f(x)＞1.选修4-1：几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB ＝CE.(Ⅰ)证明：∠D＝∠E；(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB＝MC,证明：△ADE为等边三角形.选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线C：＋＝1,直线l：(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 选修4-5：不等式选讲24.若a＞0,b＞0,且＋＝.(Ⅰ)求a3＋b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a＋3b＝6？并说明理由.2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0},B＝{x|－2≤x＜2},则A∩B＝( )A.[1,2)B.[－1,1]C.[－1,2)D.[－2,－1]【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.【解答】解：由A中不等式变形得：(x－3)(x＋1)≥0,解得：x≥3或x≤－1,即A＝(－∞,－1]∪[3,＋∞),∵B＝[－2,2),∴A∩B＝[－2,－1].故选：D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.【解答】解：＝＝－(1＋i)＝－1－i,故选：D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【解答】解：∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x),f(－x)•g(－x)＝－f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,|f(－x)|•g(－x)＝|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,f(－x)•|g(－x)|＝－f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.|f(－x)•g(－x)|＝|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,故选：C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.4.(5分)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C.m D.3m【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.【解答】解：双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)可化为,∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为＝0,∴点F到C的一条渐近线的距离为＝.故选：A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题.5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. C. D.【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24＝16种情况, 周六、周日都有同学参加公益活动,共有24－2＝16－2＝14种情况,∴所求概率为＝.故选：D.【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y＝f(x)在[0,π]的图象大致为( )A. B. C.D.【分析】在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.【解答】解：在直角三角形OMP中,OP＝1,∠POM＝x,则OM＝|cosx|,∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)＝OM|sinx|＝|cosx|•|sinx|＝|sin2x|,其周期为T＝,最大值为,最小值为0,故选：C.【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M＝( )A. B. C. D.【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.【解答】解：由程序框图知：第一次循环M＝1＋＝,a＝2,b＝,n＝2；第二次循环M＝2＋＝,a＝,b＝,n＝3；第三次循环M＝＋＝,a＝,b＝,n＝4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M＝.故选：D.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα＝,则( )A.3α－β＝B.3α＋β＝C.2α－β＝D.2α＋β＝【分析】化切为弦,整理后得到sin(α－β)＝cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(α－β)＝cosα,则答案可求.【解答】解：由tanα＝,得：,即sinαcosβ＝cosαsinβ＋cosα,sin(α－β)＝cosα＝sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(α－β)＝sin()＝cosα成立.故选：C.【点评】本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题.9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题：p 1：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2 p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2p 3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3 p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【分析】作出不等式组的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可. 【解答】解：作出图形如下：由图知,区域D为直线x＋y＝1与x－2y＝4相交的上部角型区域,p1：区域D在x＋2y≥－2 区域的上方,故：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2成立；p 2：在直线x＋2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内,∃(x,y)∈D,x＋2y≥2,故p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2正确；p 3：由图知,区域D有部分在直线x＋2y＝3的上方,因此p3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3错误；p 4：x＋2y≤－1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1错误；综上所述,p1、p2正确；故选：C.【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题.10.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若＝4,则|QF|＝( )A. B.3 C. D.2【分析】求得直线PF的方程,与y2＝8x联立可得x＝1,利用|QF|＝d可求.【解答】解：设Q到l的距离为d,则|QF|＝d,∵＝4,∴|PQ|＝3d,∴不妨设直线PF的斜率为－＝－2,∵F(2,0),∴直线PF的方程为y＝－2(x－2),与y2＝8x联立可得x＝1,∴|QF|＝d＝1＋2＝3,故选：B.【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.11.(5分)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x＞0,则实数a的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(2,＋∞)C.(－∞,－1)D.(－∞,－2)【分析】由题意可得f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),f(0)＝1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.【解答】解：∵f(x)＝ax3－3x2＋1,∴f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),f(0)＝1；①当a＝0时,f(x)＝－3x2＋1有两个零点,不成立；②当a＞0时,f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞,0)上有零点,故不成立；③当a＜0时,f(x)＝ax3－3x2＋1在(0,＋∞)上有且只有一个零点；故f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞,0)上没有零点；而当x＝时,f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞,0)上取得最小值；故f()＝－3•＋1＞0；故a＜－2；综上所述,实数a的取值范围是(－∞,－2)；故选：D.【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题.12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6B.6C.4D.4【分析】画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.【解答】解：几何体的直观图如图：AB＝4,BD＝4,C到BD的中点的距离为：4,∴.AC＝＝6,AD＝4,显然AC最长.长为6.故选：B.【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为－20 .(用数字填写答案)【分析】由题意依次求出(x＋y)8中xy7,x2y6,项的系数,求和即可.【解答】解：(x＋y)8的展开式中,含xy7的系数是：8.含x2y6的系数是28,∴(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为：8－28＝－20.故答案为：－20【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 A .【分析】可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.【解答】解：由乙说：我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说：我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故答案为：A.【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若＝(＋),则与的夹角为90°. 【分析】根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论.【解答】解：在圆中若＝(＋),即2＝＋,即＋的和向量是过A,O的直径,则以AB,AC为邻边的四边形是矩形,则⊥,即与的夹角为90°,故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a＝2且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC,则△ABC面积的最大值为.【分析】由正弦定理化简已知可得2a－b2＝c2－bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解：因为：(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC⇒(2＋b)(a－b)＝(c－b)c⇒2a－b2＝c2－bc,又因为：a＝2,所以：,△ABC面积,而b2＋c2－a2＝bc⇒b2＋c2－bc＝a2⇒b2＋c2－bc＝4⇒bc≤4所以：,即△ABC面积的最大值为.故答案为：.【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.三、解答题17.(12分)已知数列{an }的前n项和为Sn,a1＝1,an≠0,anan＋1＝λSn－1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明：an＋2－an＝λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列？并说明理由.【分析】(Ⅰ)利用an an＋1＝λSn－1,an＋1an＋2＝λSn＋1－1,相减即可得出；(Ⅱ)对λ分类讨论：λ＝0直接验证即可；λ≠0,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.可得λ＝an＋2－an＝(an＋2－an＋1)＋(an＋1－an)＝2d,.得到λSn＝,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.【解答】(Ⅰ)证明：∵an an＋1＝λSn－1,an＋1an＋2＝λSn＋1－1,∴an＋1(an＋2－an)＝λan＋1∵an＋1≠0,∴an＋2－an＝λ.(Ⅱ)解：①当λ＝0时,an an＋1＝－1,假设{an}为等差数列,设公差为d.则an＋2－an＝0,∴2d＝0,解得d＝0,∴an ＝an＋1＝1,∴12＝－1,矛盾,因此λ＝0时{an}不为等差数列.②当λ≠0时,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.则λ＝an＋2－an＝(an＋2－an＋1)＋(an＋1－an)＝2d,∴.∴,,∴λSn＝1＋＝,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ＝4.此时可得,an＝2n－1.因此存在λ＝4,使得{an}为等差数列.【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8＜Z＜212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附：≈12.2.若Z～N(μ,σ2)则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544. 【分析】(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出；(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200,150),从而求出P(187.8＜Z＜212.2),注意运用所给数据；(ii)由(i)知X～B(100,0.6826),运用EX＝np即可求得.【解答】解：(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200,s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200,150),从而P(187.8＜Z＜212.2)＝P(200－12.2＜Z＜200＋12.2)＝0.6826；(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X～B(100,0.6826),所以EX＝100×0.6826＝68.26.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明：AC＝AB1；(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角A－A1B1－C1的余弦值.【分析】(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10＝CO,进而可得AC＝AB1；(2)以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.【解答】解：(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,又B10＝CO,∴AC＝AB1,(2)∵AC⊥AB1,且O为B1C的中点,∴AO＝CO,又∵AB＝BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,∴OA,OB,OB1两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y 轴的正方向,的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系,∵∠CBB 1＝60°,∴△CBB 1为正三角形,又AB ＝BC, ∴A(0,0,),B(1,0,0,),B 1(0,,0),C(0,,0)∴＝(0,,),＝＝(1,0,),＝＝(－1,,0),设向量＝(x,y,z)是平面AA 1B 1的法向量,则,可取＝(1,,), 同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量＝(1,－,),∴cos ＜,＞＝＝,∴二面角A －A 1B 1－C 1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)已知点A(0,－2),椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为,F 是椭圆的右焦点,直线AF 的斜率为,O 为坐标原点.(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 【分析】(Ⅰ)通过离心率得到a 、c 关系,通过A 求出a,即可求E 的方程； (Ⅱ)设直线l ：y ＝kx －2,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)将y ＝kx －2代入,利用△＞0,求出k的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ 的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程.【解答】解：(Ⅰ) 设F(c,0),由条件知,得又,所以a ＝,b 2＝a 2－c 2＝1,故E 的方程.….(5分)(Ⅱ)依题意当l ⊥x 轴不合题意,故设直线l ：y ＝kx －2,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)将y＝kx－2代入,得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0,当△＝16(4k2－3)＞0,即时,从而又点O到直线PQ的距离,所以△OPQ的面积＝,设,则t＞0,,当且仅当t＝2,k＝±等号成立,且满足△＞0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为：y＝x－2或y＝－x－2.…(12分)【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.21.(12分)设函数f(x)＝ae x lnx＋,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y＝e(x－1)＋2.(Ⅰ)求a、b；(Ⅱ)证明：f(x)＞1.【分析】(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)＝2,f′(1)＝e,解出即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－,设函数g(x)＝xlnx,函数h(x)＝,只需证明g(x)min ＞h(x)max,利用导数可分别求得g(x)min,h(x)max；【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝＋,由题意可得f(1)＝2,f′(1)＝e,故a＝1,b＝2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)＝e x lnx＋,∵f(x)＞1,∴e x lnx＋＞1,∴lnx＞－,∴f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－,设函数g(x)＝xlnx,则g′(x)＝1＋lnx,∴当x∈(0,)时,g′(x)＜0；当x∈(,＋∞)时,g′(x)＞0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,＋∞)上单调递增,从而g(x)在(0,＋∞)上的最小值为g()＝－.设函数h(x)＝xe－x－,则h′(x)＝e－x(1－x).∴当x∈(0,1)时,h′(x)＞0；当x∈(1,＋∞)时,h′(x)＜0,故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,从而h(x)在(0,＋∞)上的最大值为h(1)＝－.综上,当x＞0时,g(x)＞h(x),即f(x)＞1.【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.选修4-1：几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB ＝CE.(Ⅰ)证明：∠D＝∠E；(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB＝MC,证明：△ADE为等边三角形.【分析】(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D＝∠CBE,由CB＝CE,可得∠E＝∠CBE,即可证明：∠D＝∠E；(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A＝∠CBE,进而可得∠A＝∠E,即可证明△ADE为等边三角形.【解答】证明：(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠D＝∠CBE,∵CB＝CE,∴∠E＝∠CBE,∴∠D＝∠E；(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB＝MC知MN⊥BC,∴O在直线MN上,∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A＝∠CBE,∵∠CBE＝∠E,∴∠A＝∠E,由(Ⅰ)知,∠D＝∠E,∴△ADE为等边三角形.【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线C：＋＝1,直线l：(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x＝2cosθ、y＝3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程；(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.【解答】解：(Ⅰ)对于曲线C：＋＝1,可令x＝2cosθ、y＝3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l：,由①得：t＝x－2,代入②并整理得：2x＋y－6＝0；(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ＋α)＝－1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ＋α)＝1时,|PA|取得最小值,最小值为.【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.选修4-5：不等式选讲24.若a＞0,b＞0,且＋＝.(Ⅰ)求a3＋b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a＋3b＝6？并说明理由.【分析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3＋b3的最小值. (Ⅱ)根据 ab≥2及基本不等式求的2a＋3b＞8,从而可得不存在a,b,使得2a＋3b＝6.【解答】解：(Ⅰ)∵a＞0,b＞0,且＋＝,∴＝＋≥2,∴ab≥2,当且仅当a＝b＝时取等号.∵a3＋b3 ≥2≥2＝4,当且仅当a＝b＝时取等号,∴a3＋b3的最小值为4.(Ⅱ)∵2a＋3b≥2＝2,当且仅当2a＝3b时,取等号.而由(1)可知,2≥2＝4＞6,故不存在a,b,使得2a＋3b＝6成立.【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.。

2014年高考理科数学总复习试卷第12卷

2014年高考理科数学总复习试卷第12卷本试卷共3页，共21题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂的答案无效。

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数25-i 的共轭复数是（） A ．i --2 B ．i +-2 C ．i +2 D ．i -22．函数11)(-=xx f 的定义域为（） A ．)1,(-∞ B ．]1,(-∞ C ．)1,0( D ．]1,0(3．如图是某城市100位居民去年的（）月均用水量（单位：t ）的频率分布直方图，月均用水量在区间 )5.2,5.1[的居民大约有： A ．37位 B ．40位 C ．47位 D ．52位 4．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ ，则32z x y =+的最大值是（）A ．90B ．80C ．70D ．405．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A ．331cm B ． 31cm C ．23cm D ．23cm 10.0 20.0 30.040.0 50.0月均用水量t /频率/组距o 5.01 5.12 5.23 5.34 5.4正视图侧视图俯视图 cm 2 cm 1 cm 26．平面直角坐标系中)2,1(=a ，5=⋅b a ，23||=+b a ，则||b 等于（）A ．3B ．3C ．2D ．27．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，30=B , ABC ∆的面积为23，则b 等于（） A ．31+ B ．32+ C ．231+ D ．232+ 8．若函数(1)4a x y e x -=+（x ∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是（） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)2,(2*1≥∈++=-n N n n S S n n ，11a =，则5S = ．10．过抛物线241x y =焦点的直线与此抛物线交于A 、B 两点，A 、B 中点的纵坐标为2，则弦AB 的长度为．11．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是．12．命题m x f R x p ≥∈∀)(,:，则命题p 的否定p ⌝是． 13．若关于x 的不等式2010|2|||<+-++a x a x 的解集为非空集合，则实数a 的取值范围是．（二）选做题（考生在14～15题小题中选做一题，两题全答的只计算前一题的得分） 14．（《几何证明选讲》选做题）如图：已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，3PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，2BC =，则圆O 的半径R = ．15．（《坐标系与参数方程》选做题）已知曲线1C 的参数方程为]2,2[(sin cos 2ππθθθ-∈⎩⎨⎧==y x ）；以x 轴的正半轴为极轴建立极PACB O坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(cos sin )m ρθθ+=，若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则m 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)22sin(cos sin 2)(π++=x x x x f ．（1）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）设]3,0[π∈x ，求)(x f 的值域．17．（本小题共13分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．（1）求甲、乙两人都被分到A 社区的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（3）设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，求ξ的分布列和ξE 的值． 18．（本小题共13分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点．（1）求证：EF ∥平面SAD ；（2）设CD SD 2=，求二面角D EF A --的余弦值． 19．（本小题满分14分）ABEFCSD已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的长半轴是短半轴的3倍，直线20x y -+=经过椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设一条直线 l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求AOB ∆面积的最大值．20．（本小题满分14分）已知}{n a 是各项为正数的等比数列，且1002534231=++a a a a a a ，4是2a 和4a 的一个等比中项．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若}{n a 的公比)1,0(∈q ，设n n n a a b 2log ⋅=，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 21．（本小题满分14分）设函数22()21f x tx t x t =++-（]1,1[-∈x ）．（1）若0>t ，求()f x 的最小值()h t ；（2）对于（1）中的()h t ，若(0,2]t ∈时，2()24h t t m m <-++恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：1． B 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 7．A 8．B 二、填空题：9． 23 10． 6 11． ),1()0,1(∞+- 12． R x ∈∃0，使m x f <)(0 13． )1004,(-∞∈a 14．2615． )5,1[ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解： )22sin(cos sin 2)(π++=x x x x fx x 2cos 2sin +=)42sin(2π+=x……………………3分（1）)(x f 的最小正周期为ππ=22；……………………4分令： 224222πππππ+≤+≤-k x k解得： 883ππππ+≤≤-k x k ∴)(x f 的单调递增区间为 )(]8,83[Z k k k ∈+-ππππ ……… ……7分（3）若30π≤≤x ，则 1211424πππ≤+≤x ，4sin 426)64sin(12sin 1211sinπππππ<-=-== ∴1)42sin(426≤+≤-πx ，2)42sin(2213≤+≤-πx 即)(x f 的值域为]2,213[-……………12分17．解：（1）记甲、乙两人同时到A 社区为事件A E ，那么2223431()18A A P E C A ==，即甲、乙两人同时到A 社区的概率是118． ………………3分（2）记甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么3323431()6A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是5()1()6P E P E =-=． ………………7分（3）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“(1,2)i i ξ==”是指有i 个同学到A 社区，则224223431(2)3C A P C A ξ===．所以2(1)1(2)3P P ξξ==-==，ξ的分布列是34312321=⨯+⨯=ξE ． ………………13分18．解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥，E 为AB 的中点，故,GF AE AEFG∥为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ．所以EF ∥平面SAD ． ………………6分（2）不妨设2DC =，则4,2,SD DG ADG ==△为等腰直角三角形, 取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥， EF DH ⊥, 2=DH ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM AE∥，∴HM EF ⊥．连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角 ……………10分2tan 21DH DMH HM ∠===, 33cos =∠DMH 所以二面角A EF D --的余弦值为33． ………………13分解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， ξ1 2P23 13ABEFCSD02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． EF 中点)21,21,21(M ,111,,,(1,0,1)2220MD EF MD EF MD EF⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭⋅=⇒⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF ⋅=⇒⊥，所以向量MD 和EA的夹角等于二面角A EF D --的平面角．3cos ,3MD EA MD EA MD EA⋅<>==⋅．所以二面角A EF D --的余弦值为33． 19．解：（1） 20x y -+=与x 轴的交点为)0,2(:-F ，∴ 2=c又 b a 3=，2222=-=b a c ∴3=a ，1=b椭圆C 的方程为：2213x y +=． ………………5分（2）设11()A x y ，，22()B x y ，． ① 当AB x ⊥轴时，23:±=x l ,)23,23(A 、)23,23(-B 或)23,23(-A 、)23,23(--B则： 3AB =………………6分② 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．由已知2321m k =+，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，………8分)19(3)1)(13(12)6(2222>+=-+-=∆k m k km122631kmx x k -+=+，21223(1)31m x x k -=+． ∴ 22221(1)()AB k x x =+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++44)1132(22≤+-+-=k ． …………12分当且仅当011322=-+k ，即33k =±时等号成立．由①、②可知：max 2AB =．∴ 当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 133222S AB =⨯⨯=．……14分 20．解：（1）}{n a 是各项为正数的等比数列，且1002534231=++a a a a a a∴ 1002244222=++a a a a ，100)(242=+a a 即：1042=+a a由 ⇒⎩⎨⎧===+1641024242a a a a ⎩⎨⎧==8242a a 或⎩⎨⎧==2842a a ………………5分 ① 当 ⎩⎨⎧==8242a a 时，2(24242-==⇒==q q a a q 舍去）， 1222--==n n n q a a② 当 ⎩⎨⎧==2842a a 时，21(2141242-==⇒==q q a a q 舍去），n n n q a a --==5222………………7分（2）若10<<q ，则: n n n q a a --==5222 n a n -=5log 2==n n n a a b 2log n n -⋅-52)5( ………………9分∴ 424⋅=n S +n n -⋅-++⋅+⋅5232)5(2223 =-n S 12 324⋅+n n -⋅-++⋅+⋅4122)5(2223两式相减得：=-n S 12424⋅)2222(5123n -++++- nn -⋅--42)5(n n n ---⋅-----=41132)5(21)21(264 n n n S -⋅-+=52)3(96 ………………14分21．解：（1）23()()1f x t x t t t =+-+- ，① 若1-<-t ，即1>t 时，)(x f 在]1,1[-上单调递增，)(x f 的最小值为122)1(2-+-=-t t f ；② 若01<-≤-t ，即10≤<t 时，则)(x f 在]1,1[-上的最小值为1)(3-+-=-t t t f ；∴⎩⎨⎧-+--+-=1221)(23t t t t t h ),1(]1,0(+∞∈∈t t ． ……………6分（2）令=+=t t h t g 2)()(⎩⎨⎧-+--+-1421323t t t t ]2,1(]1,0(∈∈t t ． ……………7分 ①10≤<t 时，由2()330g t t '=-+≥，∴)(t g 在]1,0(单调递增；……9分②21≤<t 时，1)1(2142)(22+--=-+-=t t t t g)(t g 在]2,1(上单调递减，由①、②可知，()g t 在区间]2,0(上的最大值为1)1(=g ．…………11分所以2()24h t t m m <-++在(0,2]内恒成立，等价于2()4g t m m <+在(0,2]内恒成立，即只要214m m <+，解2410m m +->得：52--<m 或52+->m所以m 的取值范围为),52()52,(∞++----∞ ． ……………14分。

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学第Ⅰ卷 (选择题共60分）一．选择题:共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥｝，B={x |－2≤x ＜2＝,则A B ⋂=A .［—2，—1]B 。

[-1，2）C .[-1,1］D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C 。

1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B 。

|()f x |()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x ｜是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B 。

3C 。

3mD 。

3m5。

4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C 。

58D 。

786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π］上的图像大致为7。

执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1，2,3,则输出的M =A 。

203 B 。

165 C .72D 。

1588。

设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C 。

32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D 。

人教A版高考理科数学一轮总复习课后习题第12章概率课时规范练60 随机事件的概率

课时规范练60 随机事件的概率基础巩固组1.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率为710的事件是( )A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡2.(安徽芜湖期末)抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A 为“向上的点数为1或4”,事件B 为“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是( ) A.A 与B 互斥 B.A 与B 对立 C.P(A+B)=23D.P(A+B)=133.抽查10件产品,设事件A 为“至少有2件次品”,则事件A 的对立事件为( ) A.至多有2件次品 B.至多有1件次品 C.至多有2件正品D.至少有2件正品4.如果事件A 与B 是互斥事件,且事件A ∪B 发生的概率是0.64,事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的3倍,则事件A 发生的概率为( )A.0.64B.0.36C.0.16D.0.845.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率为1235.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为( )A.17B.1235C.1735D.16.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是.7.已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=34,某人猜测事件A∩B 发生,则此人猜测正确的概率为.8.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率是0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率是0.3,设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率;(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.9.从A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下.(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.综合提升组A.事件A发生的概率P(A)等于事件A发生的频率f n(A)B.一枚质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是1,说明这个骰子掷6次一6定会出现一次3点C.掷两枚质地均匀的硬币,事件A为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,事件B为“两枚都是正面朝上”,则P(A)=2P(B)D.对于两个事件A,B,若P(A∪B)=P(A)+P(B),则事件A与事件B互斥11.在一次班级聚会上,某班到会的女同学比男同学多6人,从这些同学中,则这班参加聚会的同学随机挑选一人表演节目.若选到女同学的概率为23的人数为.12.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命(单位:小时),现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图:甲品牌乙品牌(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.创新应用组13.把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,向量m=(a,b),n=(1,2),则向量m与向量n不共线的概率是( )A.16B.1112C.112D.11814.下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).(1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只写出结论,不要求证明)(2)求此人到达该市当日空气质量优良的概率;(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.答案：课时规范练1.A2.C 解析:事件A与B不互斥,当向上点数为1时,两者同时发生,故事件A与B也不对立.事件A+B表示向上点数为1,3,4,5之一,所以P(A+B)=46=23.故选C.3.B4.C 解析:设P(A)=x,则P(B)=3x,因为事件A与B是互斥事件,所以P(A ∪B)=P(A)+P(B)=x+3x=0.64,解得x=0.16.故选C.5.C 解析:设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A 与B 互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735,即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为1735.故选C.6.54,43解析:由题意可知{0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,则{0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得{1<a <2,54<a <32,a ≤43,故54<a ≤43. 7.14解析:因为事件A ∩B 与事件A ∪B 是对立事件,所以P(A ∩B )=1-P(A ∪B)=1-34=14.8.解: 记A 表示事件“该车主购买甲种保险”,B 表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”,C 表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”,D 表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”. (1)由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A ∪B, 所以P(C)=P(A ∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.(2)因为D 与C 是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2. 9.解: (1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计概率,可得所求概率为0.44.(2)选择L 1的有60人,选择L 2的有40人,故由调查结果得频率分布如下表: 所用时10~20~30~40~50~(3)记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.用频率估计概率及由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.10.C 解析:频率与试验次数有关,总在概率附近摆动,故选项A错误;概率是指这件事发生的可能性,故选项B错误;P(A)=24=12,P(B)=12×12=14,所以P(A)=2P(B),故选项C正确;在几何概型中选项D中的结论不成立.故选C.11.18 解析:设该班到会的女同学有x人,则该班到会的共有(2x-6)人,所以x2x-6=23,解得x=12,故该班参加聚会的同学有18人.12.解: (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5+20100=14,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据频数分布图可得寿命不低于200小时的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200小时的产品是甲品牌的频率是75145=1529.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.13.B 解析:若m与n共线,则2a-b=0,而(a,b)的可能情况有6×6=36(种).符合2a=b的有(1,2),(2,4),(3,6),共3种.故共线的概率是336=112,从而不共线的概率是1-112=1112.14.解: (1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(2)设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(A i)=113,且A i∩A j=⌀(i≠j,j=1,2,…,13).设B为事件“此人到达当日空气优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=613.(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A,即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150,且小于300”,由题意可知P(A)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=813.。

2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =（）（A ）[]2,1-- （B ）[)1,2- （C ）[]1,1- （D ）[)1,2 【答案】A【解析】∵{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，{}22B x x =-≤<，∴{}21AB x x =-≤≤-，故选A ．（2）【2014年全国Ⅰ，理2，5分】()()321i 1i +=-（）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】D【解析】∵32(1i)2i(1i)1i (1i)2i++==----，故选D ．（3）【2014年全国Ⅰ，理3，5分】设函数()f x ，()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（）（A ）()()f x g x 是偶函数（B ）()()f x g x 是奇函数（C ）()|()|f x g x 是奇函数（D ）|()()|f x g x 是奇函数【答案】C【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()f x 为偶函数，()g x 为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得()|()|f x g x 为奇函数，故选C ．（4）【2014年全国Ⅰ，理4，5分】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（）（A （B ）3 （C （D ）3m 【答案】A【解析】由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+)F ，一条渐近线y =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d =，故选A ．（5）【2014年全国Ⅰ，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）（A ）18 （B ）38 （C ）58（D ）78【答案】D【解析】由题知()1F ，)2F 且220012x y -=，所以())120000,,MF MF x y x y ⋅=-⋅-2220003310x y y =+-=-<，解得0y <<，故选D ．（6）【2014年全国Ⅰ，理6，5分】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】B【解析】如图：过M 作MD OP ⊥于D ，则sin PM x =，cos OM x =,在Rt OMP ∆中，cos sin 1cos sin sin 212x x OM PM MD x x x OP ⋅⋅===⋅=，∴()1sin 2(0)2f x x x π=≤≤，故选B ．（7）【2014年全国Ⅰ，理7，5分】执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（）（A ）203（B ）165 （C ）72 （D ）158【答案】D【解析】输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===；2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M =，故选D ．（8）【2014年全国Ⅰ，理8，5分】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（）（A ）32παβ-= （B ）22παβ-=（C ）32παβ+=（D ）22παβ+=【答案】B 【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+，()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<，∴2παβα-=-，即22παβ-=，故选B ．（9）【2014年全国Ⅰ，理9，5分】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（）（A ）2p ，3p （B ）1p ，4p （C ）1p ，2p （D ）1p ，3p 【答案】C【解析】作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，故选C ．（10）【2014年全国Ⅰ，理10，5分】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（）（A ）72 （B ）52（C ）3 （D ）2【答案】C【解析】过Q 作QM l ⊥于M ，∵4FP FQ =，∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==，故选C ．（11）【2014年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（）（A ）()2,+∞ （B ）(),2-∞- （C ）()1,+∞ （D ）(),1-∞-【答案】B【解析】解法一：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=，当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意．当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且00x >，只需2()0f a>，即24a >，2a <-，故选B ．解法二：由已知0a ≠，()3231f x ax x =-+有唯一的正零点，等价于3113a x x =⋅-有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->， ()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，故选B ．（12）【2014年全国Ⅰ，理12，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）（A ）（B ）（C ）6 （D ）4 【答案】C【解析】如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,AB BC AC DB DC =====6DA ==，故最长的棱的长度为6DA =，故选C ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年全国Ⅰ，理13，5分】8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为．（用数字填写答案）【答案】20-【解析】8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r r r r T C x y r -+==，∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y ==， ∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y ⋅-⋅=-，故系数为20-．（14）【2014年全国Ⅰ，理14，5分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．【答案】A【解析】由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ．（15）【2014年全国Ⅰ，理15，5分】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．【答案】090【解析】∵1()2AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090．（16）【2014年全国Ⅰ，理16，5分】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为．【解析】由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221c o s 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年全国Ⅰ，理17，12分】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．解：（1）由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-=．……6分（2）由题设11a =，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由（1）知31a λ=+假设{}n a 为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=；证明4λ=时，{}n a 为等差数列：由24n n a a +-=知：数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为 4的等差数列2143m a m -=-，令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =-，令2,n m =则2n m =， ∴21n a n =-(2)n m =，∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{}n a 为等差数列． ……12分（18）【2014年全国Ⅰ，理18，12分】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示100件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．12.2．若2(,)ZN μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为：()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……6分（2）（ⅰ）由（1）知(200,150)Z N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=． ……9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=． ……12分（19）【2014年全国Ⅰ，理19，12分】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥．（1）证明：1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值．解：（1）连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥又 1B O CO =，故1AC AB =． ……6分（2）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为AB BC =，所以BOA BOC ∆≅∆，故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB BC =，则0,0,A ⎛ ⎝⎭，()1,0,0B ，1B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1AB ⎛= ⎝⎭，111,0,A B AB ⎛== ⎝⎭，111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100nAB nA B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x -=⎨⎪-=⎪⎩所以可取(1,3,n =，设m 是平面的法向量，则11110m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取(1,m =，则1cos ,7n m n m n m ==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17． ……12分（20）【2014年全国Ⅰ，理20，12分】已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．解：（1）设(),0F c，由条件知2c=，得c c a =，所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=． ……6分（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,2x = 从而21221434k PQ x k -=-=，又点O到直线PQ的距离d =，所以OPQ ∆的面积12OPQ S d PQ ∆==，设243k t -，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++，当且仅当2t =，k =等号成立，且满足0∆>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：2y x - 或2y =-．.……12分（21）【2014年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为(1)2y e x =-+．（1）求,a b ；（2）证明：()1f x >．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b ==． ……6分（2）由（1）知，12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e ->-，设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e =-． (8)分设函数2()x h x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为1(1)h e=-．综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x > .……12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2014年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =．（1）证明：D E ∠=∠；（2）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ∆为等边三角形．解：（1）由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠又CB CE =，CBE E ∴∠=∠，所以D E ∠=∠ ……5分（2）设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥，所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形． ……10分（23）【2014年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线22:149x y C +=，直线2:22x tl y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．解：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）直线l 的普通方程为260x y +-=．……5分（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为4cos 3sin 6|d θθ=+-，则||5sin()6|sin30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA当sin()1θα+=时，||PA ． ……10分（24）【2014年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）若0a >，0b >且 11a b+=．（1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．解：（111a b +，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立．故33a b +≥，且当a b ==时等号成立，所以33a b +的最小值为 ……5分（2）由（1）知，23a b +≥，由于6，从而不存在,a b ，使得236a b +=． ……10分。

2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题11

第节空间向量在立体几何中的应用【选题明细表】一、选择题1.(2012大同月考)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,有可能使l∥α的是( D)(A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0)(B)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l∥α,则a·n=0.而选项A中a·n=-2.选项B中a·n=1+5=6.选项C中a·n=-1,选项D中a·n=-3+3=0,故选D.2.(2012广东六校联合高三质量调研)在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM与CN所成角α的余弦值为( A)(A)(B)(C)(D)解析:以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,∴=,=.故·=0×1+×0+1×=,||==,||==,∴cos α===,即直线AM与CN所成角α的余弦值为.故选A.3.如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( B)(A)EF至多与A1D,AC之一垂直(B)EF⊥A1D,EF⊥AC(C)EF与BD1相交(D)EF与BD1异面解析:以D点为坐标原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.4.如图所示,ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E、F分别是棱AB、BC 上的动点,且AE=BF.当A1、E、F、C1共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为( B)(A)(B)(C)(D)解析:以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时,A1、E、F、C1共面,设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得可取n1=(-1,2,1),同理可得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为=.故选B.5. (2013成都高三模拟)如图所示,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则BB1与平面AB1C1所成的角为( A)(A)(B)(C)(D)解析:取AB中点O为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(-1,0,0),B 1(-1,0,3),C1(0,,3),=(0,0,3),=(-2,0,3),=(-1,,3).设n=(x,y,z)为平面AB1C1的法向量,则即令x=3,则n=(3,-,2).设BB1与平面AB1C1所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|= ||==.∴θ=.故选A.二、填空题6.已知在长方体ABCD A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到平面AB1D1的距离是.解析:如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则即解得x=2z且y=-2z,不妨设n=(2,-2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为d,则d==.答案:7.(2012合肥月考)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C AB D的余弦值为,M、N分别是AC、BC的中点,则EM、AN所成角的余弦值等于.解析:过C点作CO⊥平面ABDE,垂足为O,取AB中点F,连接CF、OF,则∠CFO为二面角C AB D的平面角,设AB=1,则CF=,OF=CF·cos∠CFO=,OC=,则O为正方形ABDE的中心,如图所示建立直角坐标系Oxyz,则E,M,A,N,=,=,cos<,>==.答案:三、解答题8. (2013成都市高三模拟)在四棱锥P ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD, AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.(1)设平面PAB∩平面PCD=m,求证:CD∥m;(2)求证:BD⊥平面PAC.证明:(1)因为AB∥CD,CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB.因为CD⊂平面PCD,平面PAB∩平面PCD=m,所以CD∥m.(2)因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B(4,0,0),P(0,0,4),D(0,2,0),C(2,2,0),所以=(-4,2,0),=(2,2,0),=(0,0,4),所以·=(-4)×2+2×2+0×0=0,·=(-4)×0+2×0+0×4=0,所以BD⊥AC,BD⊥AP.因为AP∩AC=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.9.如图所示,已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD的中点.(1)证明:PE⊥BC;(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值. (1)证明:以H为原点,HA、HB、HP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,设HA=1,则A(1,0,0),B(0,1,0).设C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0),则D(0,m,0),E.可得=,=(m,-1,0).因为·=-+0=0,所以PE⊥BC.(2)解:由已知条件及(1)可得m=-,n=1,则P(0,0,1).=,=(-1,0,1).易知为平面PEH的一个法向量.∴|cos<,>|==,因此直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.10.(2013成都市双流中学高三月考)如图所示,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1;(2)求二面角C1AD C的余弦值;(3)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定E点位置,若不存在,说明理由.(1)证明:连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABC A1B1C1是直三棱柱得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD.因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解:由于ABC A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,故BA、BC、BB1两两垂直.如图所示建立空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),D(0,1,0).所以=(-2,1,0),=(-2,2,1).设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z),则有所以取y=1,得n=（,1,-1）.易知平面ADC的一个法向量为v=(0,0,1).由于二面角C1AD C是锐角且cos<n,v>==-.所以二面角C1AD C的余弦值为.(3)解:假设存在满足条件的点E.因为E在线段A1B1上,A1(2,0,1),B1(0,0,1),故可设E(λ,0,1),其中0≤λ≤2.所以=(λ-2,0,1),=(0,1,1).因为AE与DC1成60°角,所以=.即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角.11.如图所示,在直三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.(1)求证:CD=C1D;(2)求二面角A A1D B的平面角的余弦值;(3)求点C到平面B1DP的距离.(1)证明:连接AB1与A1B交于点F,则F为AB1的中点,再连接DF.∵PB1∥平面BDA1,PB1⊂平面PB1A,平面PB1A∩平面BDA1=DF,∴PB1∥DF,∴D为AP的中点.在△PAA1中,DC1∥AA1,∴C1为A1P的中点,易得△ACD≌△PC1D,∴CD=C1D.(2)解:以A1为原点,分别以A1B1、A1C1、A1A所在直线为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系.∵AB=AC=AA1=1,∴B1(1,0,0),P(0,2,0),D,B(1,0,1),C(0,1,1),由于A1B1⊥平面AA1D,∴平面AA1D的一个法向量n1=(1,0,0).设平面BA1D的法向量为n2=(x,y,z).∵=(1,0,1),=,∴取z=2,∴∴n2=(-2,-1,2).∴cos<n 1,n2>==-.由图形可得,二面角A A1D B的平面角的余弦值为.(3)解:设平面B1DP的法向量为n3=(x',y',z'),∵=(-1,2,0),=,∴取z'=2,则y'=1,x'=2,∴n3=(2,1,2),又=,∴点C到平面B1DP的距离d===.。

2014年高考全国Ⅰ卷理科数学试题(含答案解析)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4．考试结束后．将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ={x |2230x x --≥}，B ={x |−2≤x ＜2}，则A∩B =（A ）[−2, −1]（B ）[−1, 2）（C ）[−1, 1]（D ）[1, 2）（2）32(1)(1)i i +-= （A ）1i +（B ）1i -（C ）1i -+（D ）1i --（3）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（A ）()f x ()g x 是偶函数（B ）|()f x |()g x 是奇函数（C ）()f x |()g x |是奇函数（D ）|()f x ()g x |是奇函数（4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（A （B ）3 （C （D ）3m（5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（A ）18（B ）38（C ）58（D ）78（6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（7）执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1, 2, 3，则输出的M = （A ）203（B ）165 （C ）72（D ）158（8）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（A ）32παβ-= （B ）32παβ+= （C ）22παβ-=（D ）22παβ+=（9）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-. 其中真命题是（A ）2p ，p 3 （B ）1p ，4p （C ）1p ，2p（D ）1p ，p 310．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = （A ）72（B ）52（C ）3 （D ）211．已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（A ）（2，+∞）（B ）（−∞，−2）（C ）（1，+∞）（D ）（−∞，−1）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（A ）62 （B ）42 （C ）6 （D ）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2014届高考数学一轮复习第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测理新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第12课时）（新人教A 版）一、选择题1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：选B.∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.故选B.2．(2013·威海调研)函数y ＝4xx 2＋1( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，有最小值－2D ．无最值解析：选C.∵y ′＝x 2＋－4x ·2x x ＋＝－4x 2＋4x ＋.令y ′＝0，得x ＝1或－1，f (－1)＝－42＝－2，f (1)＝2.结合图象故选C.3．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：选A.f ′(x )＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f (0)＝m 最大，∴m ＝3，而f (－2)＝－37，f (2)＝－5，∴f (x )min ＝－37.4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4解析：选C.∵f ′(x )＝2x ＋2＋a x，f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立，所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x )，0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C.5．(2011·高考湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D.由题意|MN |＝t 2－ln t (t ＞0)，不妨令h (t )＝t 2－ln t ，则h ′(t )＝2t －1t，令h ′(t )＝0，解得t ＝22，因为t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22时，h ′(t )＜0，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞时，h ′(t )＞0，所以当t ＝22时，|MN |达到最小．二、填空题6．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，则x ＝m 2，由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值是________，最小值是________．解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，端点f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，所以y 的最大值是π2，最小值是－π2.答案：π2 －π28．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的函数关系为P ＝24200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50000＋200x (元)．则该厂每月生产________吨该产品才能使利润达到最大，最大利润是________万元．(利润＝收入－成本)解析：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝(24200－15x 2)x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因f (x )在[0，＋∞)内只有一个极值点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200吨产品时的利润达到最大，最大利润为315万元．答案：200 315 三、解答题9．(2011·高考北京卷)已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与↘ ↗所以，f (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.10．(2011·高考江苏卷)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0，所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 x ≤480000 x ＞，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 解析：选D.由题意得，总成本函数为 C ＝C (x )＝20000＋100x ，所以总利润函数为P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000 x 60000－100xx ＞，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x x ，－100 x ＞，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大．2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]； ②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于0. 其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选C.∵f (0)＝0，∴c ＝0，∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝－1f －＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－13－2a ＋b ＝－1. 解得a ＝0，b ＝－4，∴f (x )＝x 3－4x ，∴f ′(x )＝3x 2－4.令f ′(x )＝0，得x ＝±233∈[－2,2]，∴极值点有两个．∵f (x )为奇函数，∴f (x )max ＋f (x )min ＝0. ∴①③正确，故选C. 二、填空题3．(2013·嘉兴质检)不等式ln(1＋x )－14x 2≤M 恒成立，则M 的最小值是________．解析：设f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，则f ′(x )＝[ln(1＋x )－14x 2]′＝11＋x －12x ＝－x ＋x －＋x， ∵函数f (x )的定义域需满足1＋x ＞0，即x ∈(－1，＋∞)．令f ′(x )＝0得x ＝1，当x ＞1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝ln2－14.∴要使ln(1＋x )－14x 2≤M 恒成立，∴M ≥ln2－14，即M 的最小值为ln2－14.答案：ln2－144．将边长为1 m 的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则梯形的周长为3－x ，梯形的面积为12·(x ＋1)·32·(1－x )，所以s ＝－x212x ＋32－x＝43·－x21－x 2(0＜x ＜1)．由s (x )＝43·－x21－x 2，得 s ′(x )＝43·x －－x 2－－x2－2x－x 22＝43·－x －x －－x 22. 令s ′(x )＝0，且0＜x ＜1，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′(x )＞0. 故当x ＝13时，s 取最小值3233.答案：3233三、解答题5．(2013·大同调研)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (a 、b 为常数，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值、最小值．解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )为奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋1＝0b ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13b ＝0.∴f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，∴当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，g (x )单调递减，当x ∈(－2，2)时，g (x )单调递增，又g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，∴g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.。

2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题2-推荐下载

【选题明细表】
一、选择题
第节命题及其关系、充要条件
知识点、方法
四种命题
充分必要条件的判断
充分必要条件的探求
充分必要条件的应用
1.“若 b2-4ac<0,则 ax2+bx+c=0 没有实根”,其否命题是( C )
(A)若 b2-4ac>0,则 ax2+bx+c=0 没有实根
(B)若 b2-4ac>0,则 ax2+bx+c=0 有实根
(C)若 b2-4ac≥0,则 ax2+bx+c=0 有实根
(D)若 b2-4ac≥0,则 ax2+bx+c=0 没有实根
解析:由原命题与否命题的关系知选 C. 2.(2012 年高考山东卷)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是
减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( A )
3
3
8.(2012 长沙模拟)若方程 x2-mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 . 解析:方程 x2-mx+2m=0 对应二次函数 f(x)=x2-mx+2m,∵方程 x2mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3,∴f(3)<0,解得 m>9, 即:方程 x2-mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 m>9. 答案:m>9 9.已知 α:x≥a,β:|x-1|<1.若 α 是 β 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围为 . 解析:α:x≥a,可看作集合 A={x|x≥a}, β:|x-1|<1, ∴0<x<2, ∴β 可看作集合 B={x|0<x<2}. 又∵α 是 β 的必要不充分条件,

2014届高三理科数学知识点复习试题(附答案)

2014届高三理科数学知识点复习试题（附答案）第节等差数列【选题明细表】知识点、方法题号等差数列的基本运算1、3等差数列的性质2、4、5、9等差数列的判定8、11等差数列的最值问题6、7综合应用问题10、12一、选择题1.(2012年高考重庆卷)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5等于(B)(A)7(B)15(C)20(D)25解析:∵{an}是等差数列,∴⇒∴S5=5a1+d=5×(-1)+10×2=15,故选B.2.(2012年高考福建卷)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:∵a1+a5=2a3=10,∴a3=5,又∵a4=7,∴d=2,故选B.3.(2013天津市新华中学月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=3(a2+a8),则的值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:由S5=3(a2+a8)得,=3×2a5,即5a3=6a5,所以=,故选D.4.(2012金华一中月考)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=3(a2+a8),则等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由等差数列的性质可知,S5=5a3,a2+a8=2a5,因为S5=3(a2+a8),所以5a3=3×2a5,=,故选A.5.(2012厦门市高三上学期期末质量检查)在等差数列{an}中,an>0,且a1+a2+…+a10=30,则a5•a6的最大值等于(C)(A)3(B)6(C)9(D)36解析:∵a1+a2+…+a10=30,即=30,a1+a10=6,∴a5+a6=6,∴a5•a6≤=9,故选C.6.(2012北京海淀)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(B)(A)6(B)7(C)8(D)9解析:∵an+1-an=-3(n∈N*),∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前k项和最大,则有∴∴≤k≤,∵k∈N*,∴k=7.故满足条件的n的值为7.故选B.二、填空题7.(2012西安八校联考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为米.解析:设树苗放在第i个树坑旁边(如图),那么各个树坑到第i个树坑距离的和是s=(i-1)×10+(i-2)×10+…+(i-i)×10+(i+1)-i]×10+…+(20-i)×10=10×i×i--i×(20-i)+]= 10(i2-21i+210),所以当i=10或11时,s的值最小,最小值是1000,所以往返路程的最小值是2000米.答案:20008.已知数列{an}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10=.解析:由=+知,数列为等差数列,则=1+(n-1),即an=.∴a10==.答案:9.(2012烟台高三质检)由正数组成的等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则=.解析:由==,∴取n=3,则有==.答案:三、解答题10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2+a4=14,S7=70.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,则数列{bn}的最小项是第几项?并求出该项的值.解:(1)设公差为d,则有即解得所以an=3n-2.(2)数列{bn}的最小项是第4项,Sn=1+(3n-2)]=,所以bn==3n+-1≥2-1=23.当且仅当3n=,即n=4时取等号,故数列{bn}的最小项是第4项,该项的值为23.11.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=+n-4(n∈N*).(1)求证:数列{an}为等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).当n≥2时,有2Sn-1=+n-5,又2Sn=+n-4,两式相减得2an=-+1,即-2an+1=,也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,则an+an-1=1.而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此数列{an}为等差数列.(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.12.(2013南充市第一次适应性考试)设数列{an}的各项都为正数,其前n 项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是和an的等差中项.(1)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)证明:++…+(1)解:由已知,2Sn=+an,且an>0.当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1.当n≥2时,有2Sn-1=+an-1.于是2Sn-2Sn-1=-+an-an-1,即2an=-+an-an-1,于是-=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.(2)证明:因为an=n,则Sn=,==2.所以++…+=2++…+=2。

2014版高考数学一轮总复习第12讲函数与方程课件理新人教A版

1 B．(0,1)，f(2) 1 1 D．(0，2)，f(4)
1 1 【解析】因为 f(0)<0，f(2)>0，所以 f(0)· 2)<0， f( 1 0＋2 1 1 则 x0∈(0，2)，第二次计算 f( 2 )＝f(4)，故选 D.
3.方程 0.9x－x＝0 的实数解的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3
【解析】 (2)函数 f(x)的零点个数，即为方程 f(x)＝0 的根的个数．
x>0 x≤0 由 2 或，－2＋lnx＝0 x ＋2x－3＝0
得 x＝－3(x＝1 舍去)或 x＝e2，有两根，故函数 f(x)的零点个数为 2，选 B.

二
二分法
【例 2】用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度为 0.1)．
【解析】由于 f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，所以 f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算列表如下：端(中)点中点函数值零点所在区间 |an－bn| 坐标符号 [1,1.5] 1.25 1.375 1.3125 f(1.25)<0 f(1.375)>0 [1.25,1.5] [1.25,1.375] 0.5 0.25 0.125
f(1.3125)<0 [1.3125,1.375] 0.0625
因为|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，所以函数的零点落在区间长度小于 0.1 的区间 [1.3125,1.375]内，故函数零点的近似值为 1.3125.