【数学建模学习】Matlab的数值积分
(完整版)MATLAB数值积分解读
定积分：函数f (x)在区间[a, b]上的定积分定义为
其中
b
n
I
a
f (x)dx lim max(xi )0 i1
f (i )xi
a x0 x1 L xn b, xi xi xi1,
i (xi1 , xi ), i 1, 2,L , n
6.1 数值积分基本原理
例2 求定积分:
x sin x
dx
0 (1 cos x cos x)
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
例3
分别用quad函数和quad8函数求定积分
分别为x的上、下限，c,d分别为y上、下限。
例5 计算二重定积分
x2
2 1 e 2 sin( x2 y)dydx 2 1
(1) 建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1;
%ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变 量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名 上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用 逗号分隔。立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。
建立符号表达式有以下3种方法： (1) 利用单引号来生成符号表达式。 (2) 用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
matlab高斯数值积分
matlab高斯数值积分
在MATLAB中，可以使用函数`integral`来计算高斯数值积分。
`integral`函数可以用于计算定积分，也可以用于计算无穷积分。
以下是使用`integral`函数计算高斯数值积分的示例代码：
```matlab
fun = @(x) exp(-x.^2); % 定义被积函数
a = -inf; % 积分下限（可以是负无穷）
b = inf; % 积分上限（可以是正无穷）
result = integral(fun, a, b);
在上面的示例中，我们定义了一个被积函数`fun`，然后使用`integral`函数计算了这个函数在负无穷到正无穷之间的高斯数值积分。
计算结果会保存在变量`result`中。
如果需要计算定积分，只需将积分上下限`a`和`b`设置为具体的数值即可：```matlab
fun = @(x) exp(-x.^2); % 定义被积函数
a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
result = integral(fun, a, b);
在实际使用中，还可通过设置`'RelTol'`和`'AbsTol'`选项来控制积分的精度。
MATLAB数值计算-第6章-数值积分
MATLAB数值计算(读书日记及程序编写)第六章数值积分 (2)第六章 数值积分#什么是数值积分对于函数()dx x f I ba ⎰= 只要找到被积分函数f(x)的原函数F(x),通过牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式： ())()(b F a F dx x f I ba -==⎰ 但是实际使用这种求积方法往往很困难，大量的被积函数如()0sin ≠x xx 、2x e -等等，原函数是不能使用初等函数来表达，所以不能使用上述公式。
有时候即使求得被积函数的原函数，其公式非常复杂，导致积分的计算也很困难。
如被积函数611)(xx f +=，其原函数为： ()C x x x x x x x x F ++-+++-+=1313ln 341)1arctan(61arctan 3122数值积分的基本思路：通过求面积的方式得到来得到近似的积分值。
Numerical Integration(数值积分)Quadrature(数值积分) （求积分，求面积）quad 是什么意思？#基本的数值积分公式：梯形法则和中点法则是最低准确度，辛普森法则加入了中点，精度提高，通过加入更多的点，当然得到了更高的精度。
中点法则)b a hf(M 2+= 对于3131103102==⎰x dx x 41)210(122=+⨯=+=)b a hf(M 误差为1/12梯形法则)f(b)f(a)hf(M 2+= 对于3131103102==⎰x dx x2121012=+⨯=+=)()f(b)f(a)h(M 误差为1/6辛普森法则上述现象具有普遍性，如果中点法则(M)是梯形法则(T)准确性的-2倍，这样得到新的积分法则S-T=-2(S-M)得到S=2/3M+1/3T对应的可以由两个端点a,b 和中点c=(a+b)/2推出辛普森法则)46f(b)f(c)(f(a)h S ++=复合辛普森法则如果将面积S 再分成两半[a,c],[c,b],再多执行一次，令d 和e 分别为两半的中点d=(a+c)/2, e=(c+d)/2,在两个区间上再使用辛普森法则，得到整个的公式为：))(424122b f f(e)f(c)f(d)(f(a)h S ++++=外推辛普森法则（Weddle 法则，六阶的牛顿-科斯特法则(Newton-Cotes Ruler)15)/-(22S S S Q +=组合梯形、组合辛普森等分段式的方法#辛普森积分公式的应用：要计算函数 x^2 在（0，2）内的积分，===⎰0)-2(31313203202x dx x 2.6667 将函数写成：function y=square(x)y=x.*x;调用函数，>> y=quad(@square,0,2)y =2.6667也可以f=@(x)x.^2quad(f,0,2)function y=aaa(x)y=1./(3*x-1);对于[1,1.5]区间的积分，可以得到>> y=quad(@aaa,1,1.5)y =0.1865对于[0,1]区间的积分，中间出现了无穷大(x=1/3)的时候y=quad(@aaa,0,1)Warning: Infinite or Not-a-Number function value encountered. > In quad at 109y =Inf#内置函数可以不采用调用函数，而采用内置函数的形式。
matlab 数值积分
matlab 数值积分
matlab 数值积分是利用数值方法来计算求解数学积分的一种方法。
matlab有三种通用的数值积分方法，分别为：梯形法、Simpson's 法和
三点Newton-Cotes法。
梯形法：梯形法是一种简单、快速的数值积分算法，在数值积分上不
需要计算积分函数的导数，即可应用梯形法来进行积分。
梯形法的基本思
想是将曲线上的积分任务转化为一系列的梯形的积分，从而计算出积分的
数值结果。
Simpson's 法：Simpson's 法是一种积分方法，基于把被积函数用
多项式拟合，然后根据拟合出来的多项式进行积分，以计算出积分的数值
结果。
Simpson's 法相比梯形法精度更高，因为它不仅考虑了曲线开始和
结束处的截面，而且还考虑了曲线中间部分的截面。
三点Newton-Cotes法：三点Newton-Cotes法属于更精确的数值积分
的方法，该算法基于将被积函数用三次样条拟合，然后根据拟合出来的三
次样条进行积分，以计算出积分的数值结果。
因为它考虑了曲线的截面的
情况，所以比梯形法和Simpson's 法的精度都要高。
通过matlab可以非常方便地对函数进行数值积分，其中包括梯形法、Simpson's 法和三点Newton-Cotes法三种常用的方法，这些算法都可以
运用在积分运算中，用于将曲线上的积分任务转化为一系列的梯形、多项
式或样条的积分，以计。
matlab中积分的命令
matlab中积分的命令Matlab中有多种命令可以用于数值积分，本文将介绍其中几个常用的积分命令，包括quad、quadl、quadgk和integral。
这些命令可以用于一维和多维积分，可以求解定积分和非定积分。
一、quad命令quad命令用于求解一维定积分，其语法为：Q = quad(fun,xmin,xmax)其中fun为要积分的函数句柄，xmin和xmax为积分的下限和上限。
quad命令使用自适应的数值积分方法，可以在较高的精度下求解积分。
二、quadl命令quadl命令也用于求解一维定积分，其语法为：Q = quadl(fun,xmin,xmax)quadl命令使用高斯-勒让德求积法，可以在较高的精度下求解积分。
与quad命令相比，quadl命令在处理某些特定类型的函数时更为准确和稳定。
三、quadgk命令quadgk命令用于求解一维非定积分，其语法为：Q = quadgk(fun,xmin,xmax)quadgk命令使用高斯-科特斯求积法，可以在较高的精度下求解非定积分。
与quad命令和quadl命令相比，quadgk命令对积分区间的长度不敏感，适用于各种类型的函数。
四、integral命令integral命令用于求解一维定积分和非定积分，其语法为：Q = integral(fun,xmin,xmax)integral命令根据输入的积分区间长度自动选择合适的数值积分方法，可以在较高的精度下求解积分。
与quad命令、quadl命令和quadgk命令相比，integral命令更加智能化，可以根据积分函数的特点自动调整积分算法。
除了以上介绍的命令外，Matlab还提供了其他一些用于数值积分的命令，如dblquad、triplequad和quad2d等。
这些命令可以用于求解二维和多维积分，适用于更复杂的问题。
在使用这些积分命令时，需要注意以下几点：1. 积分区间的选择：根据积分函数的特点选择合适的积分区间，以确保求解的准确性和稳定性。
matlab数值积分
Matlab数值积分引言数值积分是一种计算近似定积分的方法，通过将积分区间划分成若干小区间并计算每个小区间上的函数面积之和来逼近定积分的值。
Matlab提供了多种数值积分的方法，使得用户能够方便地进行数值积分计算。
本文将介绍Matlab中常用的数值积分函数和方法，并通过示例演示其具体用法。
数值积分函数在Matlab中，常用的数值积分函数有： - quad：用于一维定积分的自适应数值积分函数。
- dblquad：用于二维定积分的自适应数值积分函数。
- triplequad：用于三维定积分的自适应数值积分函数。
- quad2d：用于二维定积分的数值积分函数（不支持自适应）。
- integral：用于一维定积分的自适应数值积分函数（推荐使用quad替代）。
接下来将分别介绍这些函数的用法。
一维定积分quad函数quad函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数。
其语法如下：[q,err] = quad(fun,a,b)[q,err] = quad(fun,a,b,tol)[q,err] = quad(fun,a,b,tol,[],p1,p2,...)•fun是用于计算被积函数的句柄或函数名称。
•a和b是积分区间的上下限。
•tol是计算精度（可选参数，默认值为1e-6）。
•p1,p2,...是传递给函数fun的额外参数（可选参数）。
quad函数将返回两个值： - q是定积分的近似值。
- err 是估计的误差。
下面是一个使用quad函数计算一维定积分的示例：fun = @(x) exp(-x.^2); % 定义被积函数a = 0; % 积分下限b = 1; % 积分上限[q,err] = quad(fun,a,b); % 计算积分disp(['定积分的近似值：', num2str(q)]);disp(['估计的误差：', num2str(err)]);integral函数integral函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数，与quad函数功能类似。
MATLAB第十二讲 数值积分
于是得到梯形公式(1.1)的余项为
(b a) R[ f ] f ( ), (a, b). （1.10） 12
25
对中矩形公式(1.2)，其代数精度为1，可以证明
R[ f ] K f ( ), (a, b),
其中
1 1 3 3 ab 2 (b a)3 K [ (b a ) (b a)( ) ] . 2 3 2 24
1
求积公式，试确定系数A0 , A1 , B0，使公式具有尽可能高的
代数精度.
解 确成立 当 f ( x ) 1时，得
A0 A1
1
根据题意可令f ( x ) 1, x, x 2 分别代入求积公式使它精
0 1 dx 1;
1
当 f ( x ) x时，得
1 A1 B0 xdx ; 0 2
18
当 f ( x ) x 2 时，得
1 A1 x dx . 0 3 1 2 1 解得 A0 , A0 , B0 ,于是得 3 3 6 1 2 1 1 0 f ( x )dx 3 f (0) 3 f (1) 6 f (0).
1 2
1 1 3 1 3 当 f ( x ) x 时， x dx . 而上式右端为 ，故公 3 0 4 式对 f ( x ) x 3不精确成立，其代数精度为2.
sin x ( x 0), e x 等，找不到用 （1）被积函数，诸如 x 初等函数表示的原函数，或者即使能求得原函数但原函数的
2
表达式非常复杂，计算困难； （2）当 f ( x)是由测量或数值计算给出的一张数据表
时，牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题.
matlab积分运算
matlab积分运算Matlab是一种功能强大的数值计算软件，其中包含了丰富的积分运算函数。
积分运算在数学中是一种常见的数值计算方法，它可以用来求解函数的面积、曲线的弧长、物体的质量等问题。
在Matlab 中，我们可以使用不同的积分函数来进行数值积分运算，下面我将详细介绍一些常用的积分运算函数及其用法。
我们来介绍一下Matlab中最基本的积分函数——int。
int函数的基本语法为int(fun,xmin,xmax)，其中fun是被积函数，xmin和xmax分别是积分区间的下限和上限。
int函数将根据被积函数在积分区间的取值情况，自动选择适当的积分算法进行计算。
下面是一个简单的例子，演示了如何使用int函数计算函数y=x^2在区间[0,1]上的积分：```fun = @(x) x.^2;xmin = 0;xmax = 1;result = int(fun,xmin,xmax);disp(result);```上述代码中，我们首先定义了一个匿名函数fun，它表示被积函数y=x^2。
然后，我们指定了积分区间的下限xmin和上限xmax。
最后，调用int函数进行积分运算，并将结果保存在result变量中。
通过disp函数，我们可以将计算得到的积分结果输出到命令窗口中。
除了int函数，Matlab还提供了其他一些常用的积分函数，如quad、quadl、quadgk等。
这些函数在计算积分时采用了不同的算法和策略，适用于不同类型的积分问题。
例如，quad函数适用于计算一般的积分问题，quadl函数适用于计算具有奇点的积分问题，quadgk函数适用于计算具有高度非线性函数的积分问题。
下面是一个使用quad函数计算函数y=sin(x)在区间[0,pi]上的积分的例子：```fun = @(x) sin(x);xmin = 0;xmax = pi;result = quad(fun,xmin,xmax);disp(result);```在上述代码中，我们定义了一个匿名函数fun，它表示被积函数y=sin(x)。
数值分析MATLAB编程——数值积分法
数值分析MATLAB编程——数值积分法1、调用函数--f.Mfunction y=f(x)%------------------------------------------------------------函数1 y=sqrt(4-sin(x)*sin(x));%------------------------------------------------------------函数2 %y=sin(x)/x;%if x==0% y=0;%end%------------------------------------------------------------函数3 %y=exp(x)/(4+x*x);%------------------------------------------------------------函数4 %y=(log(1+x))/(1+x*x);2、复合梯形公式--tixing.M%复合梯形公式clear alla=input('请输入积分下限:');b=input('请输入积分上限:');n=input('区间n等分：');h=(b-a)/n;x=a:h:b;T=0;for k=1:n;T=0.5*h*(f(x(k))+f(x(k+1)))+T;endT=vpa(T,8)3、复合Simpson公式--simpson.M%复合Simpson公式clear alla=input('请输入积分下限:');b=input('请输入积分上限:');n=input('区间n等分：');h=(b-a)/n;x=a:h:b;S=0;for k=1:n;xx=(x(k)+x(k+1))/2;S=(1/6)*h*(f(x(k))+4*f(xx)+f(x(k+1)))+S;endS=vpa(S,8)4、Romberg算法--romberg.M%Romberg算法clear alla=input('请输入积分下限:');b=input('请输入积分上限:');n=input('区间n等分：');num=0:n;R=[num'];h=b-a;T=h*(f(a)+f(b))/2;t(1)=T;for i=2:n+1;u=h/2;H=0;x=a+u;while x<b;H=H+f(x);x=x+h;endt(i)=(T+h*H)/2;T=t(i);h=u;endR=[R,t'];for i=2:n+1for j=n+1:-1:1if j>=it(j)=(4^(i-1)*t(j)-t(j-1))/(4^(i-1)-1);elset(j)=0;endendR=[R,t'];endR=vpa(R,8)R(n,n)5、变步长算法（以复化梯形公式为例）--tixing2.M%复合梯形公式，确定最佳步长format longclear alla=input('请输入积分下限:');b=input('请输入积分上限:');eps=input('请输入误差：');k=1;T1=(b-a)*(f(a)+f(b))/2;T2=(T1+(b-a)*(f((a+b)/2)))/2; while abs((T1-T2)/3)>=epsM=0;n=2^k;h=(b-a)/n;T1=T2;x=a:h:b;for i=1:n;xx=(x(i)+x(i+1))/2;M=M+f(xx);endT2=(T1+h*M)/2;k=k+1;endT=vpa(T2,8)n=2^k。
Matlab中的数值积分和微分方法
Matlab中的数值积分和微分方法在数学和工程领域，数值积分和微分是解决问题的常见方法之一。
而在计算机科学中， Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了许多数值积分和微分的函数，使得这两个问题的解决变得更加简单和高效。
本文将探讨 Matlab 中常用的数值积分和微分方法，包括不定积分、定积分、数值微分和高阶数值微分。
我们将逐一讨论这些方法的原理和使用方法，并展示一些实际的应用案例，以帮助读者更好地理解和应用这些技术。
一、不定积分不定积分是指求一个函数的原函数。
在 Matlab 中，我们可以使用 `int` 函数来实现不定积分的计算。
例如，如果我们想求解函数 f(x) = x^2 的不定积分，可以使用下面的代码：```syms x;F = int(x^2);```这里的 `syms x` 表示将 x 定义为一个符号变量，`int(x^2)` 表示求解函数 x^2 的不定积分。
得到的结果 F 将是一个以 x 为变量的符号表达式。
除了求解简单函数的不定积分外，Matlab 还支持求解复杂函数的不定积分，例如三角函数、指数函数等。
我们只需要将函数表达式作为 `int` 函数的参数即可。
二、定积分定积分是指求函数在一个闭区间上的积分值。
在 Matlab 中，我们可以使用`integral` 函数来计算定积分。
例如，如果我们想计算函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分值，可以使用下面的代码：```y = @(x) x^2;result = integral(y, 0, 1);```这里的 `@(x)` 表示定义一个匿名函数，`integral(y, 0, 1)` 表示求解函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分。
得到的结果 result 将是一个数值。
与不定积分类似，Matlab 还支持对复杂函数求解定积分，只需要将函数表达式作为 `integral` 函数的第一个参数，并指定积分的区间。
matlab中的微分方程的数值积分
MATLAB是一种流行的数学软件，用于解决各种数学问题，包括微分方程的数值积分。
微分方程是许多科学和工程问题的数学描述方式，通过数值积分可以得到微分方程的数值解。
本文将介绍在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分，以及一些相关的技巧和注意事项。
一、MATLAB中微分方程的数值积分的基本方法1. 常微分方程的数值积分在MATLAB中，常微分方程的数值积分可以使用ode45函数来实现。
ode45是一种常用的数值积分函数，它使用4阶和5阶Runge-Kutta 方法来求解常微分方程。
用户只需要将微分方程表示为函数的形式，并且提供初值条件，ode45就可以自动进行数值积分，并得到微分方程的数值解。
2. 偏微分方程的数值积分对于偏微分方程的数值积分，在MATLAB中可以使用pdepe函数来实现。
pdepe可以求解具有定解条件的一维和二维偏微分方程，用户只需要提供偏微分方程的形式和边界条件，pdepe就可以进行数值积分，并得到偏微分方程的数值解。
二、在MATLAB中进行微分方程数值积分的注意事项1. 数值积分的精度和稳定性在进行微分方程的数值积分时，需要注意数值积分的精度和稳定性。
如果数值积分的精度不够，可能会导致数值解的误差过大；如果数值积分的稳定性差，可能会导致数值解发散。
在选择数值积分方法时，需要根据具体的微分方程来选择合适的数值积分方法，以保证数值解的精度和稳定性。
2. 初值条件的选择初值条件对微分方程的数值解有很大的影响，因此在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的初值条件。
通常可以通过对微分方程进行分析，或者通过试验求解来确定合适的初值条件。
3. 数值积分的时间步长在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的时间步长，以保证数值积分的稳定性和效率。
选择时间步长时，可以通过试验求解来确定合适的时间步长，以得到最优的数值解。
三、MATLAB中微分方程数值积分的实例以下通过一个简单的例子来演示在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分。
用matlab求数值积分的方法
用matlab求数值积分的方法
数值积分也称为数值积分法，是一种用计算机来近似求解定积分的方法。
在MATLAB中，可以使用三种数值积分方法：梯形法、辛普森法和积分变换法。
梯形法是最简单的数值积分方法之一，它通过将被积函数在区间上近似为一条直线，然后计算这条直线下的面积来近似定积分。
在MATLAB中，可以使用trapz函数来使用梯形法进行数值积分。
辛普森法是梯形法的改进版，它通过将被积函数在区间上近似为一个二次函数，然后计算这个二次函数下的面积来近似定积分。
在MATLAB中，可以使用quad函数来使用辛普森法进行数值积分。
积分变换法是一种更加精确的数值积分方法，它通过将被积函数进行一定的变换，然后将变换后的函数在区间上近似为一个多项式函数，最后计算这个多项式函数下的面积来近似定积分。
在MATLAB中，可以使用quadgk函数来使用积分变换法进行数值积分。
总之，MATLAB提供了许多数值积分的函数，选择合适的数值积分方法可以根据具体问题的要求来确定。
MATLAB教程第8章MATLAB数值积分与微分
MATLAB教程第8章MATLAB数值积分与微分1.数值积分数值积分是计算函数的定积分值的近似方法。
在MATLAB中，有几个函数可以帮助我们进行数值积分。
(1) quad函数quad函数是MATLAB中用于计算一维定积分的常用函数。
它的语法如下：I = quad(fun, a, b)其中，fun是被积函数的句柄，a和b分别是积分区间的下界和上界，I是近似的积分值。
例如，我们可以计算函数y=x^2在区间[0,1]内的积分值：a=0;b=1;I = quad(fun, a, b);disp(I);(2) integral函数integral函数是在MATLAB R2024a版本引入的新函数，它提供了比quad函数更稳定和准确的积分计算。
integral函数的语法如下：I = integral(fun, a, b)其中fun、a和b的含义与quad函数相同。
例如，我们可以使用integral函数计算函数y = x^2在区间[0, 1]内的积分值：a=0;b=1;I = integral(fun, a, b);disp(I);2.数值微分数值微分是计算函数导数的近似方法。
在MATLAB中，可以使用diff 函数计算函数的导数。
(1) diff函数diff函数用于计算函数的导数。
它的语法如下：derivative = diff(fun, x)其中，fun是需要计算导数的函数，x是自变量。
例如，我们可以计算函数y=x^2的导数：syms x;fun = x^2;derivative = diff(fun, x);disp(derivative);(2) gradient函数gradient函数可以计算多变量函数的梯度。
它的语法如下：[g1, g2, ..., gn] = gradient(fun, x1, x2, ..., xn)其中fun是需要计算梯度的函数，x1, x2, ..., xn是自变量。
例如，我们可以计算函数f=x^2+y^2的梯度：syms x y;fun = x^2 + y^2;[gx, gy] = gradient(fun, x, y);disp(gx);disp(gy);以上是MATLAB中进行数值积分和微分的基本方法和函数。
matlab数值积分
MATLAB数值积分引言数值积分是一种计算函数定积分近似值的方法，在科学计算和工程领域中广泛应用。
MATLAB作为一种强大的数值计算软件，提供了多种数值积分的函数和工具，使得计算定积分变得更加方便和高效。
本文将介绍MATLAB中的数值积分的基本概念和常用函数，并通过示例演示其使用方法。
数值积分的基本概念在数学中，定积分是求解一个函数在给定区间内的面积或曲线长度的方法。
数值积分是对定积分的数值近似计算。
在离散情况下，数值积分可以通过将区间划分为若干个小区间，计算每个小区间上函数值的加权平均来求得。
常见的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
MATLAB中的数值积分函数MATLAB提供了多种数值积分函数，包括integral、quad、quadl、quadgk等。
这些函数使用不同的数值积分方法来计算定积分的近似值，用户可以根据具体需求选择适合的函数。
integral函数integral函数是MATLAB中进行数值积分的主要函数，可以用于计算一维函数的定积分。
其基本语法格式为：Q = integral(fun,a,b)其中，fun是要计算积分的函数，a和b是积分区间的上下限，Q是计算得到的积分值。
quad函数quad函数也是用于计算一维函数的定积分，其语法格式为：Q = quad(fun,a,b)quad函数在计算定积分时，会自动选择合适的数值积分方法，以提高计算精度。
quadl函数quadl函数与quad函数类似，也用于计算一维函数的定积分，但它使用的是更高阶的数值积分方法，以获得更高的计算精度。
quadgk函数quadgk函数是一个通用的数值积分函数，适用于计算一维函数的定积分。
与quad和quadl函数不同，quadgk函数可以处理包括无穷积分在内的更多复杂情况。
其语法格式为：Q = quadgk(fun,a,b)数值积分的示例下面通过一个具体的示例来演示MATLAB中数值积分的使用。
假设我们要计算函数$f(x) = \\sin(x)$在区间$[0, \\pi]$内的定积分。
Matlab数值积分与数值微分
Matlab数值积分与数值微分M a t l a b数值积分与数值微分Matlab数值积分1.⼀重数值积分的实现⽅法变步长⾟普森法、⾼斯-克朗罗德法、梯形积分法1.1变步长⾟普森法Matlab提供了quad函数和quadl函数⽤于实现变步长⾟普森法求数值积分.调⽤格式为:[I,n]=Quad(@fname,a,b,tol,trace)[I,n]=Quadl(@fname,a,b,tol,trace)Fname是函数⽂件名，a,b分别为积分下限、积分上限；tol为精度控制，默认为1.0×10-6，trace控制是否展开积分过程，若为0则不展开，⾮0则展开，默认不展开.返回值I为积分数值；n为调⽤函数的次数.--------------------------------------------------------------------- 例如：求∫e0.5x sin(x+π)dx3π的值.先建⽴函数⽂件fesin.mfunction f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));再调⽤quad函数[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=0.9008n=365--------------------------------------------------------------------- 例如：分别⽤quad函数和quadl函数求积分∫e0.5x sin(x+π6)dx3π的近似值，⽐较函数调⽤的次数.先建⽴函数⽂件function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));formatlong[I,n]=quadl(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=198[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=365--------------------------------------------------------------------- 可以发现quadl函数调⽤原函数的次数⽐quad少，并且⽐quad函数求得的数值解更精确.1.2⾼斯-克朗罗德法Matlab提供了⾃适应⾼斯-克朗罗德法的quadgk函数来求震荡函数的定积分，函数的调⽤格式为：[I,err]=quadgk(@fname,a,b)Err返回近似误差范围，其他参数的意义与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或Inf，也可以是复数，若为复数则在复平⾯上求积分.--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinx1+cos2xdx π的数值.先编写被积函数的m⽂件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2);再调⽤quadgk函数I=quadgk(@fsx,0,pi)I=2.4674--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinxdx +∞∞的值.先编写被积函数的m⽂件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2); 再调⽤quadgk函数I=quadgk(@fsx,-Inf,Inf)I=-9.0671e+017---------------------------------------------------------------------1.3梯形积分法对于⼀些不知道函数关系的函数问题，只有实验测得的⼀组组样本点和样本值，由表格定义的函数关系求定积分问题⽤梯形积分法，其函数是trapz函数，调⽤格式为：I=Traps(X,Y)X,Y为等长的两组向量，对应着函数关系Y=f(X) X=(x1,x2,…,x n)(x1分区间是[x1,x n]--------------------------------------------------------------------- 例如：已知某次物理实验测得如下表所⽰的两组样本点.现已知变量x和变量y满⾜⼀定的函数关系，但此关系未知，设y=f(x)，求积分13.39∫f(x)dx1.38的数值.X=[1.38,1.56,2.21,3.97,5.51,7.79,9.19,11.12,13.39];Y=[3.35,3.96,5.12,8.98,11.46,17.63,24.41,29.83,32.21]; I=trapz(X,Y) I=217.1033---------------------------------------------------------------------例如：⽤梯形积分法求积分：∫e ?x dx 2.51的数值.x=1:0.01:2.5; y=exp(-x); I=trapz(x,y) I= 0.2858---------------------------------------------------------------------2. 多重数值积分的实现重积分的积分函数⼀般是⼆元函数f(x,y)或三元函数f(x,y,z)；形如：∫∫f (x,y )dxdy ba dc∫∫∫f(x,y,z)dxdydz b a d cf eMatlab 中有dblquad 函数和triplequad 函数来对上述两个积分实现.调⽤格式为： I=dblquad(@fun,a,b,c,d,tol)I=triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol)Fun 为被积函数，[a,b]为x 的积分区间；[c,d]为y 的积分区间；[e,f]为z 的积分区间.Dblquad 函数和triplequad 函数不允许返回调⽤的次数，如果需要知道函数调⽤的次数，则在定义被积函数的m ⽂件中增加⼀个计数变量，统计出被积函数被调⽤的次数.---------------------------------------------------------------------例如:计算⼆重积分I =∫∫√dxdy π2π2π2π2的值.先编写函数⽂件fxy.mfunction f=fxy(x,y) global k; k=k+1;f=sqrt(x.^2+y.^2);再调⽤函数dblquadglobalk; k=0;I=dblquad(@fxy,-pi/2,pi/2,-pi/2,pi/2,1.0e-10) I= 11.8629 k k= 37656---------------------------------------------------------------------例如：求三重积分∫∫∫4xze ?z2y?x 2dxdydz ππ1的值.编写函数⽂件fxyz1.mfunction f=fxyz1(x,y,z)global j;j=j+1;f=4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x);调⽤triplequad函数editglobalj;j=0;I=triplequad(@fxyz1,0,pi,0,pi,0,1,1.0e-10)I=1.7328jj=1340978---------------------------------------------------------------------Matlab数值微分1.数值微分与差商导数的三种极限定义f′(x)=limn→0f(x+h)?f(x)hf′(x)=limn→0f(x)?f(x?h)f′(x)=limn→0f(x+h2)?f(x?h2)h上述公式中假设h>0，引进记号：f(x)=f(x+h)f(x)f(x)= f(x)f(xh)δf(x)= f(x+h)?f(x?h)称上述?f(x)、?f(x)、δf(x)为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差分、向后差分、中⼼差分，当步长h⾜够⼩时，有：f′(x)≈?f(x) hf′(x)≈f(x) f′(x)≈δf(x)f(x) h 、?f(x)h、δf(x)h也分别被称为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差商、向后差商、中⼼差商.当h⾜够⼩时，函数f(x)在x点处的导数接近于在该点的任意⼀种差商，微分接近于在该点的任意⼀种差分.2.函数导数的求法2.1⽤多项式或样条函数g(x)对函数f(x)进⾏逼近(插值或拟合)，然后⽤逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在该点处的导数.2.2⽤f(x)在点x处的差商作为其导数.3.数值微分的实现⽅法Matlab中，只有计算向前差分的函数diff，其调⽤格式为：·DX=diff(X):计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1·DX=diff(X,n):计算向量X的n阶向前差分，例如diff(X,2)=diff(diff(X))·DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶向前差分，dim=1(默认值)按列计算差分，dim=2按⾏计算差分.--------------------------------------------------------------------- 例如：⽣成6阶范德蒙德矩阵，然后分别按⾏、按列计算⼆阶向前差分A=vander(1:6)A=111111321684212438127931102425664164131256251252551777612962163661D2A1=diff(A,2,1)D2A1=180501220057011018200132019424200255030230200D2A2=diff(A,2,2)D2A2=000084211083612457614436920004008016540090015025--------------------------------------------------------------------- 例如：设f(x)=√x3+2x2?x+12+√(x+5)6+5x+2求函数f(x)的数值导数，并在同⼀坐标系中作出f’(x)的图像.已知函数f(x)的导函数如下：f′(x)=3x2+4x?12√x3+2x2?x+12+16√()56+5编辑函数⽂件fun7.m和fun8.m functionf=fun7(x)f=sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;functionf=fun8(x)f=(3*x.^2+4*x-1)/2./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+1/6./(x+5).^(5/6)+5 ;x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun7(x),5);⽤5次多项式拟合曲线dp=polyder(p);对拟合多项式进⾏求导dpx=polyval(dp,x);对dp在假设点的求函数值dx=diff(fun7([x,3.01]))/0.01;直接对dx求数值导数gx=fun8(x);求函数f的函数在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-')可以发现，最后得到的三条曲线基本重合.--------------------------------------------------------------------- 练习：A.⽤⾼斯-克朗罗德法求积分∫dx1+x2 +∞∞的值并讨论计算⽅法的精确度.（该积分值为π）function f=fun9(x)f=1./(1+x.^2);formatlong[I,err]=quadgk(@fun9,-Inf,Inf)I=err=B.设函数f(x)=sin x⽤不同的办法求该函数的数值导数，并在同⼀坐标系中作出f′(x)的图像.已知f′(x)=x cos x+cos x cos2x?sin x+2sin x sin2x()2function f=fun10(x)f=sin(x)./(x+cos(2*x));function f=fun11(x)f=(x.*cos(x)+cos(x).*cos(2*x)-sin(x)-2*sin(x).*sin(2*x))/(x+cos(2 *x)).^2; x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun10(x),5);dp=polyder(p);dpx=polyval(dp,x);dx=diff(fun10([x,3.01]))/0.01;gx=fun11(x);plot(x,dpx,'r:',x,dx,'.g',x,gx,'-k')。
matlab 函数积分
matlab 函数积分在MATLAB中，有多种方法可以求解函数的积分。
以下是一些常用的积分函数及其用法：1. 符号积分（int命令）：不定积分：`int(s)`，求符号表达式s的不定积分。
定积分：`int(s,x)`，求符号表达式s关于变量x的定积分。
2. 数值积分（trapz函数）：trapz()函数用于向量的积分。
对于矩阵，可以设置维度，1是按列求积分，2是按行求积分。
例子：`trapz(x, y)`，计算向量x和y的梯形法积分。
3. 累积积分（cumsum函数）：累积求和函数cumsum可以对向量求定积分，返回一个向量。
例子：`cumsum(x)`，计算向量x的累积积分。
4. 数值积分（quad函数）：采用递推自适应Simpson法计算积分。
例子：`quad(fun, a, b, tol)`，计算函数fun在区间[a, b]上的积分。
5. 分段函数积分：在MATLAB中，可以使用符号积分函数处理分段函数。
首先需要将分段函数表示为符号表达式，然后使用`int`函数求解积分。
例子：`syms x; int(f(x), x, a, b)`，计算分段函数f(x)在区间[a, b]上的积分。
6. 其他积分函数：MATLAB还提供了其他积分函数，如`cumtrapz`、`dbqag`等，具体用法可以参考帮助文档。
例子：`cumtrapz(x, y)`，计算向量x和y的梯形法累积积分。
需要注意的是，在使用这些积分函数时，请确保输入的函数表达式或向量是正确的。
在求解积分过程中，如有需要，可以转换变量或使用符号函数简化计算。
matlab 函数积分
MATLAB函数积分1. 简介在MATLAB中，积分是一种常见的数学运算，用于计算函数在给定区间上的面积或曲线下的总体积。
MATLAB提供了多种函数用于数值积分，包括integral、quad、quadl和quadgk等。
这些函数可以根据不同的需求选择适合的方法进行数值积分计算。
2. integral函数2.1 定义和用途integral函数用于计算一元函数在给定区间上的数值积分。
其定义如下：Q = integral(fun,a,b)Q = integral(fun,a,b,'ArrayValued',true)Q = integral(___,Name,Value)其中，fun为要进行积分的一元函数句柄或匿名函数；a和b为积分区间的上下限；’ArrayValued’参数可选，指定是否返回数组形式的结果；Name-Value对可选，用于指定其他参数。
2.2 工作方式integral函数采用自适应Simpson法则进行数值积分计算。
它将指定区间[a, b]均匀划分成多个子区间，并使用Simpson法则对每个子区间进行近似求解。
然后将所有子区间上得到的近似结果相加得到最终结果。
2.3 示例以下是一个使用integral函数计算函数sin(x)在区间[0, pi]上的数值积分的示例：fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;Q = integral(fun, a, b);disp(Q);输出结果为：2.0000即sin(x)在区间[0, pi]上的积分结果为2。
3. quad函数3.1 定义和用途quad函数用于计算一元函数在给定区间上的数值积分。
其定义如下：Q = quad(fun,a,b)Q = quad(fun,a,b,tol)Q = quad(___,Name,Value)其中，fun为要进行积分的一元函数句柄或匿名函数；a和b为积分区间的上下限；tol参数可选，指定积分精度；Name-Value对可选，用于指定其他参数。
matlab 常微分方程 数值积分 间断点处理
MATLAB是一种流行的数学软件，常被用于解决数值计算问题。
在数学建模中，常微分方程是一个重要的领域，而MATLAB提供了许多工具来进行常微分方程的数值积分。
然而，当常微分方程存在间断点时，数值积分就变得更加复杂和有挑战性。
本文将介绍MATLAB中常微分方程数值积分的基本概念和方法，以及如何处理常微分方程中的间断点。
一、常微分方程数值积分基本概念1. 常微分方程（ODE）是描述自变量和函数的导数之间关系的方程。
常微分方程的解通常是一组函数，这些函数满足原方程。
常微分方程数值积分是通过数值方法来求解常微分方程的近似解。
2. 在MATLAB中，常微分方程数值积分的基本函数是ode45，它是一种采用龙格-库塔方法（Runge-Kutta method）的数值积分器。
ode45通过迭代计算来逼近常微分方程的解，并返回一个包含解的矩阵。
3. 通常，数值积分的精度会随着步长的减小而提高，但这也会增加计算时间。
选择合适的步长对于数值积分的精度和计算效率都是非常重要的。
在MATLAB中，可以通过设定选项参数来调整ode45的步长和其他计算参数。
二、处理常微分方程中的间断点1. 当常微分方程中存在间断点时，数值积分就会变得更加复杂。
间断点可能发生在函数本身的值上，也可能发生在函数的导数上，这会导致数值积分器无法正确估计解在间断点附近的行为。
2. 为了处理常微分方程中的间断点，可以在MATLAB中使用事件函数。
事件函数是一个在特定条件下触发的MATLAB函数，它可以用来检测常微分方程的解是否接近于一个间断点，并在这种情况下对数值积分进行调整。
3. 通过给ode45函数指定事件函数，可以让数值积分器在接近间断点时自动调整步长，以保证数值积分的精度和稳定性。
这种方法在处理常微分方程中的间断点时非常有效，能够提高数值积分的精度和计算效率。
三、总结在MATLAB中，常微分方程数值积分是一个重要的数值计算工具，在实际工程和科学计算中有着广泛的应用。
第7章 MATLAB数值积分与微分
补充比较：
• 求：
s
1
2
1 0
x dxdy
y
• • • • •
（1）符号计算法 syms x y s=vpa(int(int(x^y,x,0,1),y,1,2)) s= .40546510810816438197801311546432
• • • • • •
（2）数值积分法 format long s_n=dblquad(@(x,y)x.^y,0,1,1,2) s_n = 0.40546626724351
M t , y 为矩阵
3.全隐式常微分方程
f t , y, y 0
7.2.1 数值微分的实现 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的 函数，只有计算向前差分的函数diff，其调 用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分， DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如， diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分， dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2， 按行计算差分。
例7-5 计算二重定积分 (1) 建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki I= 1.57449318974494 ki = 1038
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Matlab 的数值积分问题
（１）求和命令sum 调用格式.
如果x 是向量,则sum(x) 给出x 的各个元素的累加和;如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量.
例3.1 调用命令sum 求向量x 的各个元素的累加和。
解:输入
x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
sum(x)
得到
ans=55
例3.2 调用命令sum 求矩阵x 的各列元素的累加和。
解:输入
x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
x=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
sum(x)
得到
ans=12 15 18
2．定积分的概念.
定积分是一个积分和的极限.
例如取x e x f =)(,求定积分⎰10dx e x
的近似值。
积分区间为[0,1],等距划分为20个子区间,
x=linspace(0,1,21);
选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值.
y=exp(x);
取区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来.
y1=y(1:20);
s1=sum(y1)/20
s1=1.6757
s1可作为定积分⎰10dx e x 的近似值。
若选取右端点:
y2=y(2:21);
s2=sum(y2)/20
s2=1.7616
s2也可以作为定积分⎰10dx e x 的近似值。
下面我们画出图象.
plot(x,y);hold on
for i=1:20
fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')
end
如果选取右端点,则可画出图象.
for i=1:20
fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],'b')
hold on
end
plot(x,y,'r')
在上边的语句中,for … end 是循环语句,执行语句体内的命令20次,fill 命令可以填充多边形,在本例中,用的是兰色(blue)填充.
可试取50个子区间看一看结果怎样.下面按等分区间计算。
syms k n
s=symsum(exp(k/n)/n,k,1,n);
limit(s,n,inf)
得结果
ans=exp(1)-1
3．计算定积分
例3.6 计算⎰10dx e x .
解:输入命令:
syms x;
int(exp(x),0,1)
得结果
ans=exp(1)-1.
这与我们上面的运算结果是一致的.
⒈ 由给定数据进行梯形求积
假设已经建立起向量T N T N y y y y x x x x ],,,[,],,,[2121 ==，则可用以下语句进行梯形求积：
sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2
MATLAB 提供的trapz()函数也可直接用梯形法求解积分问题，该函数调用格式为 S=trapz(x,y)
[例1-6-17] 试用梯形法求出),0(π∈x 区间内，函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积分值。
[求解] >> x1=[0:pi/30:pi]'; y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)];
x=[x1 x1 x1]; S=sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2
>> S1=trapz(x1,y)
[例1-6-18] 用定步长方法求解积分⎰2
/30)15cos(πdx x 。
[求解] 鉴于求解区域内被积函数有很强的振荡，可先用下述语句绘制被积函数的曲线。
>> x=[0:0.01:3*pi/2,3*pi/2];
y=cos(15*x); plot(x,y)
采用不同的步距，可分别得到积分近似结果。
>> syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % 求理论值
>> h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]
for h=h0,
x=[0:h:3*pi/2,3*pi/2]; y=cos(15*x); I=trapz(x,y); v=[v;h,I,1/15-I]; end
例12：用不同方法计算12
1x
e dx ⎰ 解 用以下几种方法计算:
1)矩形公式和梯形公式
>> h=0.01; x=1:0.01:2; y=exp(1./x);
z1=sum(y(1:100))*0.01,
z2=sum(y(2:101))*0.01,
z3=trapz(x,y),
z4=trapz(y)*0.01
结果为z1=2.0254，z2=2.0147，z3=2.0201，z4=2.0201. 由此结果可以看出，梯形算法得到的结果z3和 z4为z1和z2的平均值.
2)辛普森公式
法一：先建立M －文件
%M 函数fun1.m
function y=fun1(x)
y=exp(1./x);
>> z5=quad('fun1',1,2)
法二：
>> f=inline('exp(1./x)','x'); z6=quad(f,1,2)
法一中，使用M-文件描述被积函数，法二中使用inline 函数描述被积函数
此外，单变量函数的数值积分还可以采用数值分析中的其他算法进行求解。
基于Simpson 算法，MATLAB 提供了函数quad()、quadl()等函数，具体实现方法可参见MATLAB 帮助系统。
对于双重积分问题的数值解，MATLAB 提供的dblquad()函数可直接求出，由以下示例可见。
[例1-6-19]求解双重积分⎰⎰---+1122
22/)sin(2dxdy y x e x 。
[求解] >> f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y');
y=dblquad(f,-2,2,-1,1)
对于更一般的双重积分问题，可通过使用第三方数值积分工具箱实现。
对于三重定积分的数值求解，则可采用MATLAB 提供的triplequad()函数得出，方法类似上例。
[例1-6-20]用数值方法求解三重定积分问题⎰⎰⎰--1000224ππdzdydx xze z y x 。
[求解] >> triplequad(inline('4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z)','x','y','z'), ... 0,2,0,pi,0,pi,1e-7,@quadl)
例13：计算三重积分(sin()cos())x y x z x dxdydz Ω
++⎰⎰⎰.
其中:0x πΩ≤≤，01,11x x ≤≤-≤≤
解：
>> format long; triplequad(inline('x+y*sin(x)+z*cos(x)'),0,pi,0,1,-1,1) ans =
11.869604395451995。