【配套K12]三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第四章 三角函数、解三角形4 理
高三数学(理)二模金卷分项解析：专题04-三角函数与三角形(含答案)
【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】专题 三角函数与三角形一、选择题1．【2017安徽阜阳二模】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位后得到的图象的一条对称轴是 （ ） A. 4x π=B. 38x π=C. 512x π=D. 724x π= 【答案】C【解析】由题意得平移后函数为πππsin 22sin 21263y x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,对称轴为()()ππ5ππ2π,32122k x k k Z x k Z -=+∈=+∈ ,因此512x π=为一条对称轴,选C. 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.2．【2017广东佛山二模】若将函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ最小时，tan ϕ=（ ）A. 3-3【答案】B【解析】函数向左平移后得到πcos 226y x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，其图像关于原点对称为奇函数，故ππ2π62k ϕ+=+，即ππ26k ϕ=+， min ππ,tan 66ϕ==.3．【2017广东佛山二模】已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725 B. 925 C. 1625 D. 2425【答案】B点睛：本题考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.4．【2017安徽马鞍山二模】已知2cos sin αα=，则41+cos sin αα=（ ）A.12B. 32C. 12D. 23m【答案】D【解析】由22cos sin 1sin ααα==- 可得sin α=，4221111cos sin 1cos 1sinsin sin sin sin αααααααα+=+=+-=+- 12=+= ，故选D.5．【2017安徽马鞍山二模】动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为012A ⎛ ⎝⎭，12秒旋转一周． 则动点A 的纵坐标y 关于（单位：秒）的函数解析式为（ ） A. sin 36y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. cos 63y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 63y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. cos 3m 36y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为动点初始位置为012A ⎛⎝⎭，所以0t = 时， y = ，可排除选项A 、B ；又因为动点12秒旋转一周，所以函数周期为12 ，可排除选项D,故选C.6．【2017湖南娄底二模】已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（0ω>， 2πϕ<），()1f α=-， ()1f β=，若αβ-的最小值为34π，且()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的单调递增区间是（ ） A. 2,22k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， Z k ∈ B. 3,32k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， Z k ∈ C. 52,22k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦， Z k ∈ D. 53,32k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦， Z k ∈【答案】B点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质求解析式：(1) max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.7．【2017河北唐山二模】已知函数()()()cos 22f x x x ϕϕ=--（2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A. 1-2- 【答案】C8．【2017河北唐山二模】已知α， β均为锐角，且sin22sin2αβ=，则（ ） A. ()()tan 3tan αβαβ+=- B. ()()tan 2tan αβαβ+=- C. ()()3tan tan αβαβ+=- D. ()()3tan 2tan αβαβ+=- 【答案】A【解析】∵sin22sin2αβ=，∴()()()()()()()()1sin2sin2tan sin cos 3sin223tan cos sin sin2sin2sin22αβαβαβαββαβαβαββαβ+++-====-+--， 即()()tan 3tan αβαβ+=-，故选A.9．【2017安徽淮北二模】已知函数()()sin ,(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><<，其部分图像如下图，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()12sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. ()132sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()132sin 44f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D. ()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B10．【2017安徽淮北二模】已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A.718 B. 2518 C. 718- D. 2518- 【答案】A【解析】))()221cos cos cos sin cos sin cos sin 442ππαααααααα⎛⎫⎛⎫+-=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111712sin 1222918α⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，选A. 11．【2017山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A. 12⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭米 B.米 C. (1+米 D. (2+米 【答案】D【解析】由题意设(1)BC x x =>米， (0)AC t t =>米，依题设0.50.5AB AC t =-=-米，在ABC中，由余弦定理得： 22202cos60AB AC BC ACBC =+-，即()2220.5t t x tx -=+-，化简并整理得： 20.25(1)1x t x x -=>-，即0.75121t x x =-++-，因1x >，故0.751221t x x =-++≥-且仅当1x =+时取等号），此时取最小值2D 。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第四章三角函数、解三角形3理
第三节 y = Asin 3x + ©的图象和性质及其综合应用A 组 三年高考真题（2016〜2014年）1. （2015 •陕西，3）如图，某港口一天 6时到18时的水深变化曲线近似满足函数n^x + © + k ，据此函数可知，这段时间水深 （单位：m ）的最大值为（递减区间为（ 3.（2015 •安徽，10）已知函数f （x ） = A sin （ 3x + © ）（代3, ©均为正的常数）的最小正周期2 n为n ,当x =丁时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是 （ ）A. f (2)< f ( — 2)<f (0)B. f (0)< f (2)< f ( — 2)C. f ( — 2)<f (0)< f (2)D.f (2)< f (0)< f ( — 2)22i n 14.(2015 •天津，15)已知函数 f (x ) = sin x — sin x —石,x € R.(1) 求f (x )的最小正周期；3sinA.5B.62.（2015 •新课标全国I,8）函数f （x ） = cos （ 3 x + © ）的部分图象如图所示，则 f （x ）的单调A.1Lk n — -, k n + -4-2k n — 4 2k n + 3 , k € ZC.k —4,k +4，k €ZD.2k — 4, 2k +3, k € ZC.8B.(2) 求f (x)在区间・| —寸,上的最大值和最小值.5. (2015 •湖北，17)某同学用“五点法”画函数f(x) = A sin( 3 x+ 0 ) 3 >0, | $ |<今在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：3 x + $0nn3n2nx nT5 n6A sin( 3 x + $ )05—50(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f (x)的解析式;⑵将y= f (x)图象上所有点向左平行移动0 ( 0 >0)个单位长度，得到y= g(x)的图象.若6. (2014 •湖北，17)某实验室一天的温度(单位：C)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t) = 10—3cos$t —sin $t , t € [0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 C,则在哪段时间实验室需要降温?B组两年模拟精选(2016〜2015年)n1. (2016 •河北衡水中学模拟)若函数y = A sin( 3 x+ $ )( A>0, 3 >0, | $ | v-)在一个周期内的图象如图所示，M N分别是这段图象的最高点与最低点，且A. B.n12D. 7tS M S N= 0，贝y A- 3 =y = g(x)图象的一个对称中心为的最小值.2. (2016 •安徽安庆二模)已知函数f(x) = A sin( 3x + $ ) A> 0, 3 > 0, | $ | <专的部分图象如图所示，则f(x)的递增区间为()A. n1"2+2k n,C. &+ 2k n，等+ 2k n , k€ Z B.12 '辛+ 2k n , k€ Z D.+ k n , k€ Z5 n+ k n , k € Z3.(2016 •四川成都模拟)下列函数中，图象的一部分如图所示的是I n iA. y= sin j x + 云B.4.(2015 •辽宁丹东模拟关于y轴对称，则函数A. 0,专B.5.(2015 •河北正定模拟2nx =A.B.C.D.r-v■17ty = sin j2x-$ C. y = cos 4x—i' n 1D. y = cos j 2x —-^)设函数f (x) = sin i*x + 0 —, 3cos *x+ 0 j|y= f (x)的一个单调递减区间是() C.)设函数f(x) = 2si n( 3 x + o )3对称，它的周期为n ,则()f(x)的图象过点0,1f (x)在n2，牛上是减函数f (x)的一个对称中心是101< nn，且其图象D.n2的图象关于直线将f(x)的图象向右平移I o I个单位得到y = 2sin 3 x的图象6.(2016 •辽宁五校协作体模拟)已知函数f (x) = sin( 3 x +© )( 3 >0, 如图，令a n = f「则a + 屮a3 + T a2014 =7. (2016 •北京昌平区模拟)已知偶函数f (x) = A sin( co x+Q )( A>0, co >0, 0<$ <n )的部分图象如图所示，△ KLM为等腰直角三角形，/ KM h= 90°, |KL| = 1,则f£的值为8. (2016 •山东烟台模拟)已知函数f(x)=心2( 3x+° ) + 1A>0, o>0,。
高考数学复习 最新3年高考2年模拟(4)三角函数
【3年高考2年模拟】三角函数 第一部分 三年高考荟萃2012年高考数学分类汇编（1） 三角函数一、选择题1 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α= （ ）A ．-1B．CD ．12 ．（2012年高考（浙江文理））把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是3 ．（2012年高考（天津文））将函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向右平移4π个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则ω的最小值是 （ ）A ．13B ．1C ．53D ．2 4 ．（2012年高考（四川文））如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠= （ ）ABCD 5 ．（2012年高考（山东文））函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为 （ ）A ．2B ．0C ．-1 D ．1--6 ．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π47．（2012年高考（福建文））函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-8．（2012年高考（大纲文））若函数[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ= （ ）A ．2π B ．23π C ．32π D ．53π 9．（2012年高考（安徽文））要得到函数cos(21)y x =+的图象,只要将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 10 ．（2012年高考（新课标理））已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是 （ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]二、解答题 11．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π(I)求()f x 的解析式; (II)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.12．（2012年高考（陕西文））函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.参考答案一、选择题 1. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在x 轴上的伸缩变换,在x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换.【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,选A. 3. 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(sin =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D.4. [答案]B1010cos 1sin 10103ECED 2CD-EC ED CED cos 1CD 5CB AB EA EC 2AD AE ED 11AE ][22222222=∠-=∠=∙+=∠∴==++==+=∴=CED CED ）（，正方形的边长也为解析[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5. 解析:由90≤≤x 可知67363ππππ≤-≤-x ,可知 ]1,23[)36sin(-∈-ππx ,则2sin [63x y ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则最大值与最小值之和为2答案应选A.6. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈),∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A. 7. 【答案】C【解析】把4x π=-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4x π=-,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 8.答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,.【解析】由[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知,y 轴是函数()f x 图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈,而[]0,2ϕπ∈,故0k =时,32πϕ=,故选答案C. 9. 【解析】选C cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1,平移1210、【解析】选A592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另:()22πωππω-≤⇔≤,3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂ 得:315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤二、11. 【答案】:(Ⅰ)6πϕ=(Ⅱ)775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈,且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]44212. 解析:(1)∵函数()f x 的最大值为3,∴13,A +=即2A =∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期为T π= ∴2ω=,故函数()f x 的解析式为sin(2)16y x π=-+(2)∵()2sin()1226f απα=-+=即1sin()62πα-=∵02πα<<,∴663πππα-<-<∴66ππα-=,故3πα=2012年高考数学分类汇编（2）三角恒等变换一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））sin 47sin17cos30cos17-（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．22 ．（2012年高考（重庆理））设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．33 ．（2012年高考（陕西文））设向量a =(1.cos θ)与b =(-1, 2cos θ)垂直,则cos 2θ等于12C ．0D ．-14 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α= （ ）A ．-1B ．CD ．15 ．（2012年高考（辽宁理））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α= （ ）A ．-1B ．-C D ．16．（2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ）A ．-34B ．34C ．-43D ．437．（2012年高考（江西理））若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ=（ ）A ．15B ．14C ．13D ．128．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24259 ．（2012年高考（山东理））若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2=8θ,则sin θ=（ ）A ．35B ．45C D ．3410．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为 （ ）A ．[ -2 ,2]B ．C ．[-1,1 ]D ．11．（2012年高考（大纲理））已知α为第二象限角,sin cos 3αα+=,则cos 2α= （ ）A ．B ．CD 二、填空题1．（2012年高考（大纲文））当函数sin (02)y x x x π=≤<取最大值时,x =____.2．（ 2012年高考（江苏））设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____.3．（2012年高考（大纲理））当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时,x =_______________.三、解答题1．（2012年高考（四川文））已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()10f α=,求sin 2α的值.2．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.3．（2012年高考（湖北文））设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈ (1) 求函数()f x 的最小正周期; (2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.4．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.5．（2012年高考（北京文））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.6．（2012年高考（天津理））已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.7．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.8．（2012年高考（四川理））函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若0()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.9．（2012年高考（山东理））已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3Am x n A x x A ==>,函数()f x m n =⋅的最大值为6.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域. 10．（2012年高考（湖北理））已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.11．（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.12．（2012年高考（福建理））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.13．（2012年高考（北京理））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.14．（2012年高考（安徽理））设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++ (I)求函数()f x 的最小正周期;(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.参考答案一、选择题1. 【答案】:C【解析】:sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+ 2. 【答案】A【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==⇒+===-+-【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值. 3. 解析:0a b ⋅=,212cos 0θ-+=,2cos 22cos 10θθ=-=,故选C. 4. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.5. 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=-，,故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα--=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=-,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中. 6. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果.7. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===,所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化;另外,22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 8.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用.【解析】因为α为第二象限角,故cos0α<,而3sin 5α=,故4cos 5α==-,所以24sin 22sin cos 25ααα==-,故选答案A.9. 【解析】因为]2,4[ππθ∈,所以],2[2ππθ∈,02cos <θ,所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ,又81sin 212cos 2-=-=θθ,所以169sin 2=θ,43sin =θ,选D.10. 【答案】B【解析】f(x)=sinx-cos(x+6π)1sin sin )226x x x x π=-+=-,[]sin()1,16x π-∈-,()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式,利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-,求得()f x 的值域.11. 答案A【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.【解析】s i n c o s3αα+=,两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=-α是第二象限角,因此sin 0,cos0αα><,所以cos sin αα-=== 22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos2αα+所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .二、填空题 1.答案:56π 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π=-=-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.2. 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数. 【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2427217==2252550-3.答案:56π 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π=-=-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.三、解答题1. [解析](1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos2-- 21sinx 21cosx 121--+=）（ ）（4x cos 22π+=所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα). 所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-=257251814cos 212=-=+-=）（πα, [点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 2. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上,所以s i n 1,26A A π==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-+sin 2x x =2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.3. 【解析】(1)因为22()sin cos cos cos 222sin(2)6f x x x x x x x πωωωωλωωλωλ=-++=-+=-+由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 6264πππλ=-⨯-=-=即λ=故5()2sin()36f x x π=-函数()f x 的值域为[2.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.4. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sincos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-22333sin cos 444αα=+= 5. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈. 因为(s()sin x x xf x x-==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --=)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈.由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 6. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识.()=sin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+所以,()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84ππ上是减函数,又()14f π-=-,()()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-最小值为1-.【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.7. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值. 解:(1)()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为1⎡+⎣(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 8. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（ 所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567=[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想. 9.解析:(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f , 则6=A ;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时,]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 另解:由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ,令0)(='x g ,则)(234Z k k x ∈+=+πππ,而]245,0[π∈x ,则24π=x ,于是367sin6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g , 故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 10.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16ω-=±,所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ,即1()23k k ω=+∈Z . 又1(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04f =,即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=即λ=故5π()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤,有π5π5π6366x -≤-≤,所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π12sin()236x --故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-. 11.解析:(Ⅰ)210T ππω==,所以15ω=.(Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以3s i n5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α,15sin 17β,所以()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 12. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sincos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-22333sin cos 444αα=+=13. 【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x -=sin 21cos 2x x --)14x π--,{|,}x x k k Z π≠∈(1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π; (2)原函数的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-+∈,3(,]8k k k Z πππ+∈. 14. 【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-(I)函数()f x 的最小正周期22T ππ== (2)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩2012年高考数学分类汇编（3）解三角形一、选择题1 ．（2012年高考（上海文））在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.2．（2012年高考（湖南文））在△ABC 中,AC=,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（ ）ABCD3．（2012年高考（湖北文））设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为 （ ）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 4．（2012年高考（广东文））(解三角形)在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A ．B ．CD 5 ．（2012年高考（天津理））在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．24256 ．（2012年高考（上海理））在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定.7 ．（2012年高考（陕西理））在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为 （ ）A B ．2C ．12D ．12-二、填空题 1．（2012年高考（重庆文））设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____ 2．（2012年高考（陕西文））在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______3．（2012年高考（福建文））在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒则AC =_______.4．（2012年高考（北京文））在△ABC 中,若3a =,b =,3A π∠=,则C ∠的大小为___________.5．（2012年高考（重庆理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______6．（2012年高考（湖北理））设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.7．（2012年高考（福建理））已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________.8．（2012年高考（北京理））在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =___________. 9．（2012年高考（安徽理））设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是_____①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>三、解答题1．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(1)求角B 的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c 的值.2．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的分别是,,a b c .已知2,,co s 4a c A ==-. (I)求sin C 和b 的值; (II)求cos(2)3A π+的值.3．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证:,,a b c 成等比数列;(Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .4．（2012年高考（辽宁文））在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.5．（2012年高考（课标文））已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边,sin sin c C c A -. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2,ABC ∆求b ,c . 6．（2012年高考（江西文））△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA;(2)若a=3,△ABC 的面积为求b,c.7．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,内角A.B.C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .8．（2012年高考（安徽文））设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2s i n c o s s i n c o s c o s B A A C A C=+ (Ⅰ)求角A 的大小;(II) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.9．（2012年高考（浙江理））在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B C .(Ⅰ)求tan C 的值;(Ⅱ)若a 求∆ABC 的面积.10．（2012年高考（辽宁理））在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.11．（2012年高考（江西理））在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知,,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+=.(1)求证:2B C π-=(2)若,求△ABC 的面积.12．（2012年高考（江苏））在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =.(1)求证:tan 3tan B A =;(2)若cos C =求A 的值.13．（2012年高考（大纲理））(注意．．:．在试卷上作答无效．．．．．．．．) ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1,2A C B a c -+==,求C .参考答案一、选择题1. [解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b a C ,所以C 是钝角,选A. 2. 【答案】B【解析】设AB c =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==,知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯,解得h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.3. D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数,且>>A B C ,可得a b c >>,所以2,1=+=+a c b c ①;又因为已知320cos =b a A ,所以3cos 20bA a=②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc③,则由②③可得2223202b b c aa b c +-=④,联立①④,得2713600--=c c ,解得4=c 或157=-c (舍去),则6=a ,5=b .故由正弦定理可得,sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用. 4.解析:B.由正弦定理,可得sin45sin60AC BC=︒︒,所以AC ==5. 【答案】A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力. 【解析】∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8sin =10sin cos B B B ,易知sin 0B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.6. [解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 222<=-+c b a C ,所以C 是钝角,选C.7. 解析:由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”,选C. 二、填空题 1. 【答案】【解析】11,2,c o s 4a b C ===,由余弦定理得22212cos 1421244c a b a b C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C =,故sin B ==. 【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.2.解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =.3.【解析】由正弦定理得sin 45sin 60AC AC =⇒=︒︒【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力. 4. 【答案】2π【解析】222cos 2b c a A c bc+-=⇒=而sin sin c a C A =,故sin 12C C π=⇒=. 【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案. 5. 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==,由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===,由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 6.考点分析:考察余弦定理的运用.解析:由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab π+-==-⇒=7. 【答案】4-【解析】设最小边为a ,,2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为222cos4α==- 【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力. 8. 【答案】4【解析】在ABC ∆中,得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==,化简得8740c b -+=,与题目条件7b c +=联立,可解得2,4,3a b c ===,答案为4.【考点定位】 本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求解.9. 【解析】正确的是①②③①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时,22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得:3C π<三、解答题1. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【解析】(1)bsinA=acosB,由正弦定理可得sin sin sin cos B A A B ,即得tan B =3B π∴=.(2)sinC=2sinA,由正弦定理得2c a =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,229422cos3a a a a π=+-⋅,解得a =2c a ∴==.2.解:(1)在ABC ∆中,由cos 4A =-,可得sin 4A =,又由s i n s i na cA C =及2a =,c =可得sin C =由22222cos 20a b c bc A b b =+-⇒+-=,因为0b >,故解得1b =.所以sin 1C b ==(2)由cos A =,sin A =,得23cos 22cos 14A A =-=-,sin 2sin cos 4A A A ==-所以3cos(2)cos 2cossin 2sin3338A A A πππ-++=-=3.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=,sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =,再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==,则22b ac ==,∴2223cos 24a cb B ac +-==,sin C ==,∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=. 4、 【答案与解析】(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴ (2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A CB 解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π,3sin sin =4A C 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.5. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.【解析】(Ⅰ)由sin sin c C c A =-及正弦定理得sin sin sin sin A C A C C -=由于sin 0C ≠,所以1sin()62A π-=, 又0A π<<,故3A π=.(Ⅱ) ABC ∆的面积S =1sin 2bc A故bc =4, 而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8,解得b c ==2. 法二:解: 已知:A c C a c cos sin 3⋅-⋅=,由正弦定理得:A C C A C cos sin sin sin 3sin ⋅-⋅=因0sin ≠C ,所以:A A cos sin 31-=, 由公式:()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=>++=+2,tan ,0sin cos sin 22πϕϕϕa b a x b a x b x a 得:216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA , A 是∆的内角,所以66ππ=-A ,所以:3π=A(2) 1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=解得:2b c ==6. 【解析】(1)3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=-=-+=--=-则1cos 3A =. (2) 由(1)得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 7. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角B ,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案.【解析】由A.B.C 成等差数列可得2B A C =+,而A B C π++=,故33B B ππ=⇒=且23C A π=- 而由223b ac=与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin 3sin()sin 33B AC A A ππ=⇒⨯=-所以可得232223(sin cos cos sin )sin sin sin 1433A A A A A A ππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)262A A A π-+=⇒-=,由27023666A A ππππ<<⇒-<-<,故266A ππ-=或5266A ππ-=,于是可得到6A π=或2A π=. 8. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔==+⇒=在Rt ABD ∆中,AD ===9. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ) ∵cos A =23>0,∴sin A,又C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos Acos C +23sin C .整理得:tan C。
2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理文档
1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C 为( )A.π6B.π4C.π2D.2π3答案 C解析 由正弦定理得3sin B ＝33sinπ3，∴sin B ＝12，∵a ＞b,0＜B ＜π3，∴B ＝π6.∴C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝π2.2．(2015·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3D ．2答案 B解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝3， 所以BC ＝ 3.3．(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C ＝.答案 1解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin2Asin C ＝2×34×74378＝1.4．(教材改编)△ABC 中，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为． 答案 直角三角形解析 由已知得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝sin 2A ，又sin A ≠0，∴sin A ＝1，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝. 答案 π3解析 由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0. ∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C ＞0，∴3sin B －cos B －1＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是． (3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个．(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°. (3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.思维升华 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．(1)(2015·三门峡模拟)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜22D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝. 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝－cos2⎝⎛⎭⎫34π－C ＝－cos ⎝⎛⎭⎫32π－2C ＝sin2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2. (2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．② 由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 为三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin60° ＝2 3.题型三 正弦、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B解析 (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形． (2)∵cos 2B2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ， ∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示． ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为．答案 (1)D (2) 3解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos ∠BAD ，∴cos ∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.二审结论会转换例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 审题路线图：规范解答解 (1)△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[8分] 于是，cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分]sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos2A cos π6＋sin2A sin π6＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分] 温馨提醒 (1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向；(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误．[方法与技巧]1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边．[失误与防范]1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin C c ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( )A.2π3B.π3C.3π4D.5π6答案 A解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3. 3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x ＞0)．则cos C ＝(5x )2＋(11x )2－(13x )22·5x ·11x ＝－23x 2110x 2＜0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C 解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 故B ＝π3，故选C. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为．答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ， 结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32， ∴B ＝π3或2π3. 7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为． 答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为． 答案 3解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c .∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∴sin A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意得1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin2A －32sin2B ， 即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －12cos2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，所以2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，asin A ＝csin C ，得a ＝85，由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825. 10.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD 、AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ＝437.在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋(2＋3)2－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝c ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B 知7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 12．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝. 答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，B ＝π4， 根据正弦定理，有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210. 13．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝. 答案 6解析 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin120°，解得sin ∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2×sin120°sin30°＝ 6. 14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin120°cos C －2cos120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32， 又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C 2， 得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第四章三角函数、解三角形2理
第二节 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关2.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度3.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6 B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π34.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.55.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 6.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π68.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位10.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 11.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π12.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .13.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.14.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.15.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m25－1.16.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值.17.(2015·重庆，18)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性.18.(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.82.(2016·郑州检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A.2或0B.－2或2C.0D.－2或03.(2016·衡阳模拟)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π4.(2016·山东师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π65.(2015·烟台模拟)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上随机取一个数x ，则使得tan x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3的概率为( )A.13B.2πC.12D.236.(2015·广东江门模拟)函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )A.0B.π2C.πD.3π27.(2015·朝阳区模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期是2πB.图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数 8.(2016·上海静安二模)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－ cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]2.D [由题可知,y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D. 3.A [点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]4.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]5.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.] 6.B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.] 7.D [易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.]8.A [A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 9.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.]10.B [将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B.]11.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]12. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]13.2π3 [y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]14.π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]15.解 法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ). (2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。
2017版高考数学(鲁、京、津专版理)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.4 含答案
1．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）（A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0错误!π错误!2πy＝A sin(ωx＋φ）0A0－A03。
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A〉0,ω>0)的图象的步骤如下:【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1）利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（×）(2）y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √)(3）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．（√）（4)函数f(x）＝A sin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（×)(5）函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( ）A．2，错误!，－错误! B．2，错误!，－错误!C．2，错误!,－错误!D．2,错误!，－错误!答案A2．为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动错误!个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案A解析y＝sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度得到函数y＝sin 2(x ＋错误!)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．3．（2015·湖南)将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g(x）的图象，若对满足|f(x1）－g（x2)|＝2的x1，x2，有｜x1－x2｜min＝错误!，则φ等于（)A。
大高考2017版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第二节三角函数的图象与性质课件理
(5)函数 y＝sin4x－π7 的周期为________. 解析 T＝2π 4 ＝π2 .
答案
π 2
高考AB卷
学法大视野
(6)函数y＝|sin x＋2|的周期是________. 解析 y＝sin x＋2的图象在x轴上方，与y＝|sin x＋2|的图象相 同，故y＝|sin x＋2|与y＝sin x＋2周期相同为2π. 答案 2π
kπ+
π 2
,
0
,
k Ζ
kπ 2
，0，
k∈Z
对称 轴
x＝kπ ＋π2 ，k∈Z
x kπ,
k Z
无
周期
2π
2π
π
高考AB卷
学法大视野
2.周期性 (1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x
取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)
(0，1)，π2 ，0， (π，－1) ，3π2 ，0，(2π ，1).
高考AB卷
学法大视野
2.y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
y＝Asin(ωx ＋φ)(A＞0，
ω ＞0)， x∈[0，＋∞)
振幅 周期
2π
A T＝
频率
相位 初相
f＝T1＝ 2π ω x＋φ φ
2π
0
－A
0
高考AB卷
学法大视野
4.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的 图象的步骤
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最 小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期 .
2017版《3年高考2年模拟》高考数学(山西专用,理)训练：第4章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数A组基础题组1.给出下列四个命题:①角-是第二象限角;②角是第三象限角;③角-400°是第四象限角;④角-315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A. B. C.- D.-3.已知角α的终边上有一个异于原点的点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]4.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则x=( )A. B.± C.- D.-5.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.sin 2C.D.2sin 16.在与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为.7.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ是第象限角.8.在直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(,1),将点A绕O逆时针旋转90°到B点,则B点坐标为.9.角α的终边上的点P与点A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称,求++的值.10.已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长.B组提升题组11.已知角θ是第四象限角,则sin(sin θ)( )A.大于0B.大于或等于0C.小于0D.小于或等于012.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )A.1B.-1C.3D.-313.若三角形的两个内角为α,β,且sin αcos β<0,则该三角形的形状为.14.设角α是第三象限角,且=-sin ,则角是第象限角.15.如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.答案全解全析A组基础题组1.C 角-是第三象限角,故①错误;=π+,从而角是第三象限角,故②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确.故选C.2.C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A、B不正确,又因为拨快10分钟,故转过的角的大小应为圆周的.故所求角的弧度数为-×2π=-.3.A 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上,所以有-,,即-2<a≤3.4.D 依题意得cos α==x<0,由此解得x=-,选D.5.C 由题设可知,圆弧所在圆的半径r=,∴该圆心角所对的弧长为l=2r=.6.答案-π解析 2 010°=π=12π-,∴与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为-.7.答案二解析因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,所以sin θcos θ<0,2cos θ<0,即, ,所以θ为第二象限角.8.答案(-1,)解析依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,设点B的坐标为(x,y),则x=2cos 120°=-1,y=2sin 120°=,即B(-1,).9.解析由题意可知点P(a,-b),则sin α=,cos α=,tan α=-,由题意可知点Q(b,a),则sin β=,cos β=,tan β=,∴++=-1-+=0.10.解析设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α.(1)由题意可得, ,解得,或,,∴α==或6.(2)∵2r+l=8,∴S扇形=lr=l·2r≤=×=4,当且仅当2r=l,即α==2时,扇形面积取得最大值4.此时r=2,AB=2sin 1×2=4sin 1.B组提升题组11.C ∵角θ为第四象限角,∴-1<sin θ<0,令α=sin θ,则-1<α<0,∴角α为第四象限角,∴sin α=sin(sin θ)<0.12.B 由α=2kπ-(k∈Z)知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.13.答案钝角三角形解析∵sin αcos β<0,且α,β为三角形的内角,∴sin α>0,cos β<0,∴β为钝角.故三角形为钝角三角形.14.答案四解析由α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),∴kπ+<<kπ+(k∈Z),则是第二或第四象限角,又=-sin ,所以只能是第四象限角.15.解析设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,则t·+t·-=2π. 所以t=4(秒),即第一次相遇时所用的时间为4秒.设第一次相遇时,相遇点为C,则∠COx=·4=,则P点走过的弧长为π·4=π,Q点走过的弧长为π·4=π;x C=-cos ·4=-2,y C=-sin ·4=-2.所以C点的坐标为(-2,-2).。
2017届新课标高考总复习专项演练：第四章 三角函数、解三角形 4-3
4-3A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【解析】 f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |，所以周期为π，对f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |，所以为偶函数，故选C. 【答案】 C2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】 由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解． 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D. 【答案】 D3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13B ．1 C.53D ．2 【解析】 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 【答案】 D4．(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 分析三角函数图象，根据最小值求k ，再求最大值． 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) A ．0，1] B.⎣⎡⎦⎤12，1 C ．－1，2] D ．0，2]【解析】 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x 2.∵cos 2x ∈－1，1]，∴y ∈0，1]． 【答案】 A6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．【解析】 由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．【答案】 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )7．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．【解析】 f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.【答案】 28．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．【解析】 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4， 即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0，1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.【答案】 39．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．【解析】 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .10．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值． 【解析】 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 4－π3， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫πx 4＋π3. 当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3cosπ3＝32. 方法二：区间⎣⎡⎦⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎡⎦⎤23，2， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤23，2上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3sinπ6＝32. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22 C.32 D.6＋24【解析】 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，1，且|φ|<π2.代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.【答案】 A12．(2016·池州月考)已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则nm 等于( )A.332 B. 3C ．－233 D.33【解析】 由x ＝π3是函数f (x )图象的对称轴易得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴－n ＝2m sin2π3－n cos 2π3，∴－n ＝3m ＋n 2，∴3m ＝－32n ，∴n m ＝－233.【答案】 C13．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是______．【解析】 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )．【答案】 ⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )14．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－5π12，0；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22； ③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β. 其中所有真命题的序号是________． 【解析】 对于①，令x ＝－512π， 则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f ⎝⎛⎭⎫－512π＝0， 因此⎝⎛⎭⎫－512π，0为f (x )的一个对称中心，①为真命题； 对于②，结合图象知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22，②为真命题； 对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin 390°＝12<sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②.【答案】 ①②15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【解析】 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈－2a ，a ]．∴f (x )∈b ，3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第四章 三角函数、解三角形5 理
第五节 解三角形A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.5B. 5C.2D.12.(2016·全国Ⅱ，13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ . 3.(2016·山东，16)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值.4.(2016·北京，15)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.5.(2016·四川，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B.6.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B. (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小.7.(2016·全国Ⅰ，17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 8.(2015·福建，12)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________. 9.(2015·广东，11)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.10.(2015·北京，12)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.11.(2015·重庆，13)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 12.(2015·天津，13)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.13.(2015·安徽，16)在△ABC 中，A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长.14.(2015·江苏，15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值.15.(2015·湖南17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角.(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围.16.(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠Bsin ∠C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长. 17.(2015·浙江，16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值.18.(2015·陕西，17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.19.(2014·天津，12)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b －c ＝14a,2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________.20.(2014·江苏，14)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.21.(2014·新课标全国Ⅰ，16)已知a ，b ，c ，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________.22.(2014·山东，12)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________.23.(2014·辽宁，17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知B A →·B C →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值.24.(2014·北京，15)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.25.(2014·陕西，16)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值.26.(2014·安徽，16)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山西阳泉一模)在锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ab的范围是(a ，b 分别为角A ，B 的对边长)( )A.(2，3)B.(3，2)C.(0，2)D.(2，2)2.(2016·天津南开中学模拟)△ABC 中三个内角为A ，B ，C ，若关于x 的方程x 2－x cos A cosB －cos 2C2＝0有一根为1，则△ABC 一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 3.(2016·大兴区模拟)在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π44.(2015·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( ) A.1132B.5C.41D.25 5.(2016·河北邢台模拟)在△ABC 中，|AB →|＝2，|AC →|＝3，AB →·AC →<0，且△ABC 的面积为32，则∠BAC ＝ .6.(2016·山东日照一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝23sin A sin B sin C ，且a ＝2，则△ABC 的外接圆半径R ＝ .7.(2016·长沙模拟)已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边且f (c )＝1,c ＝1,ab ＝23，a >b ，求a ，b 的值.8.(2015·广东茂名模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，则c 为 . 9.(2015·东北四校一模)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为 .10.(2015·甘肃模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B.(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值.11.(2015·安阳模拟)如图，角A 为钝角，且sin A ＝35，点P ，Q 分别是角A 的两边上不同于点A 的动点.(1)若AP ＝5，PQ ＝35，求AQ 的长；(2)设∠APQ ＝α，∠AQP ＝β，且cos α＝1213，求sin(2α＋β)的值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.]2.2113 [在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.]3. (1)证明 由题意知2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.4.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4∵0＜A ＜3π4，∴π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.5.(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C . (2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B.故tan B ＝sin Bcos B＝4.6. (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B)或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cos B.又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.7.解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知,12ab sin C ＝332,又C ＝π3,所以ab ＝6,由已知及余弦定理得,a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.8.7 [S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.]9.1 [因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.]10.1 [由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.]11. 6 [由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°,从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ,所以C ＝180°-120°-30°＝30°,AC ＝2AB cos 30°＝ 6.]12.8 [∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2， ∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.]13.解 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90， 所以a ＝310.又由正弦定理，得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010.在△ABD 中，由正弦定理，得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.14.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 15.(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98. 16.解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.17.解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.18.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.法二 由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.19.－14 [由已知及正弦定理，得2b ＝3c ，因为b －c ＝14a ，不妨设b ＝3，c ＝2，所以a＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.]20.6－24[由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－14（a ＋2b ）22ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a ＝2b时取等号，所以cos C 的最小值是6－24.] 21. 3 [因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A ＝π3，又cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc≥2bc －42bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号，由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.] 22.16 [根据平面向量数量积的概念得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，当A ＝π6时，根据已知可得|AB →|·|AC →|＝23，故△ABC 的面积为12|AB →|·|AC →|·sin π6＝16.]23.解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（13）2＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.24.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC -∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B -cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos∠B ＝82+52-2×8×5×12＝49.所以AC＝7.25.(1)证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C ). (2)解 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立.∴cos B 的最小值为12.26.解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1. A [∵A ＝2B ，∴根据正弦定理得：a b ＝sin A sin B ＝2sin B cos Bsin B＝2cos B.(sin B ≠0)，∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＋C ＝180°，即C ＝180°－3B ，∵角C 为锐角，∴30°<B <60°，又0°<A ＝2B <90°，∴30°<B <45°， ∴22<cos B <32，即2<2cos B <3，则ab的取值范围是(2，3)，故选A. 2.B [依题意，可得1－cos A cos B －cos 2C2＝0，∵cos 2C 2＝1＋cos C 2＝1－cos （A ＋B ）2＝1－cos A cos B ＋sin A sin B 2 ∴1－cos A cos B －1－cos A cos B ＋sin A sin B 2＝0，整理得：cos(A －B )＝1，又A ，B 为△ABC 内角，∴A ＝B ，∴三角形为等腰三角形，故选B.]3.B [因为b >a ，由正弦定理得到sin A ＝22，∴A ＝π4，故选B.] 4.B [∵c ＝42，B ＝45°，又面积S ＝12ac sin B ＝12×42×22a ＝2，解得a ＝1，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝1＋32－2×1×42×22＝25，∴b ＝5.] 5.5π6 [在△ABC 中，S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝32，即12×2×3sin∠BAC ＝32，解得sin ∠BAC ＝12，又∵AB →·AC →<0，∴∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴∠BAC ＝5π6.]6.233[由正弦定理可得a 2＋b 2＋c 2＝23ab sin C ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，代入上式得，2(a 2＋b 2)＝23ab sin C ＋2ab cos C ， ∴2(a 2＋b 2)＝4ab ⎝⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ＝4ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6，∴a 2＋b 2＝2ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤2ab ，又a 2＋b 2≥2ab ，所以a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴a ＝b ，且C ＝π3，∴△ABC 为正三角形，∴2R ＝asin A＝2sinπ3＝433，∴R ＝233.] 7. 解 (1)由题意得f (x )＝-2sin 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).(2)由(1)和条件可得f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1.∵角C 是三角形内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32，又c ＝1，ab ＝23，∴a 2＋12a2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4，∴a ＝3或2，b ＝2或3，∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.8. 7 [∵a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，∴1534＝12ab sin C ＝12×3b sin 120°，解得b ＝5.由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49.解得c ＝7.故答案为7.]9.4或2 2 [设∠BCD ＝θ，则在△BCD 中，S △BCD ＝12×25×2sin θ＝4，即sin θ＝255,则cos θ＝±55,BD 2＝20＋4－85×⎝ ⎛⎭⎪⎫±55＝16或32，即BD ＝4或4 2. ①当BD ＝4时，4sin θ＝2sin B， 即sin B ＝55，此时AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝sin B ·BCsin 30°＝4； ②当BD ＝42时，42sin θ＝2sin B ，即sin B ＝1010，此时AC sin B ＝BC sin A， 即AC ＝sin B ·BCsin 30°＝2 2.综上，AC 的长为4或2 2.]10.解 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 则2R sin B cos C ＝6R sin A cos B －2R sin C cos B ， 故sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， 可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B.又sin A ≠0，因此cos B ＝13.(2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2，又cos B ＝13，故ac ＝6，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得a 2＋c 2＝12，所以(a －c )2＝0，即a ＝c ，所以a ＝c ＝ 6. 11.解 (1)∵∠A 是钝角，sin A ＝35，∴cos A ＝－45，在△AQP 中，由余弦定理得PQ 2＝AP 2＋AQ 2－2AP ·AQ cos A ，∴AQ 2＋8AQ －20＝0， 解得AQ ＝2或－10(舍去)，∴AQ ＝2.(2)由cos α＝1213，得sin α＝513.在△APQ 中，α＋β＋A ＝π，又sin(α＋β)＝sin(π－A )＝sin A ＝35，cos(α＋β)＝－cos A ＝45，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝513×45＋1213×35＝5665.。
2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.5 含答案
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C（α－β）) cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β））sin（α－β）＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S（α－β)) sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S（α＋β)) tan（α－β)＝错误!(T（α－β）)tan(α＋β)＝错误!(T(α＋β）)2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tan α1－tan2α。
3．公式的逆用、变形等（1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2）cos2α＝错误!，sin2α＝错误!；(3）1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2,1－sin 2α＝（sin α－cos α）2，sin α±cos α＝2sin错误!.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √）（2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)（3）公式tan（α＋β)＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)（1－tan αtan β）,且对任意角α，β都成立．( ×）（4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.（√）（5）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（√）1．化简错误!等于（）A．1 B.错误!C。
错误!D．2答案C解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
2．若错误!＝错误!，则tan 2α等于( )A．－错误! B.错误!C．－错误! D.错误!答案B解析由错误!＝错误!，等式左边分子、分母同除cos α得，错误!＝错误!,解得tan α＝－3,则tan 2α＝错误!＝错误!.3．（2015·重庆)若tan α＝错误!，tan(α＋β）＝错误!,则tan β等于（) A。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上递增最值当x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，y max＝当x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，y min＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称中心 (k π，0)(k ∈Z )(π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z )x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是______，取得最小值时，x 的取值集合为______________．答案 2 {x |x ＝6k π，k ∈Z }解析 ∵－1≤cos 13x ≤1，∴f (x )min ＝4－2×1＝2，此时的cos 13x ＝1，13x ＝2k π，∴x ＝6k π，k ∈Z .2．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为____________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z解析 sin x －cos x >0，即sin x >cos x .画出y ＝sin x 及y ＝cos x 在[0,2π]上的图象如图．由图象知原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z .3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝________. 答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 (x ∈[－π，0])的单调递减区间是______________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3解析 ∵由题意知2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，∴k π＋π6≤x ≤k π＋2π3 (k ∈Z )．又x ∈[－π，0]，∴－5π6≤x ≤－π3.5．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的零点，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,2)解析 令f (x )＝0，则m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，故－π6≤2x －π6≤5π6，设2x －π6＝t ，则m ＝2sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，根据题意并结合函数图象(图略)可知m 的取值范围是[1,2).题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为____________． (2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间[0，π2]上的值域为________．(3)函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (3)1－22 解析 (1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(3)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为____________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z . (2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是______________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例 3 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为________． 答案 ①②③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2， 故周期为π的有：①②③. 命题点2 求对称轴、对称中心例4 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f (x )的图象，下列叙述正确的有________(填正确的序号)． ①关于直线x ＝π12对称；②关于直线x ＝5π12对称；③关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称； ④关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称．(2)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.答案 (1)② (2)－π6解析 (1)由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π＜π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴①、③错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴②正确，④错误．(2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴k ＝0时，x 0＝－π6.命题点3 由对称性求参数例5 若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为________． 答案 2解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为________．答案 (1)2或－2 (2)－33解析 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.4．三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·四川改编)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是________(填正确的序号)． ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ③y ＝sin 2x ＋cos 2x ④y ＝sin x ＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，且|φ|<π2，则f (x )的单调递减区间为________________．(3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图象先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f (x )的减区间；(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．解析 (1)对于①，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意．(2)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π.∴π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 答案 (1)① (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z(3)－1或3温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图，充分利用数形结合思想； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与对称轴的交点是最值点．[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．3．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2，下列说法正确的是________(填正确的序号)． ①f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增； ②f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减； ③f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增； ④f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减． 答案 ②解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减． 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．答案 2－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________．答案 2解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4ω，将⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.4．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是___________________．①是奇函数；②在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减；③⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心； ④最小正周期为π. 答案 ③解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，①错误；在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，②错误；最小正周期为π2，④错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心，③正确．5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是__________． 答案 [0,1]解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )解析 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )． 8．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2. 9．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .10．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________________．答案 [k π－3π8，k π＋π8]，(k ∈Z )解析 由f (π8)＝－2得，f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________． 答案 32解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2， ∴ω≥32.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π 解析 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.6简单的三角恒等变换文档
1.公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；(2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (2)设α∈(π，2π)，则1－cos (π＋α)2＝sin α2.( × ) (3)在非直角三角形中有：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .( √ ) (4)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × )(5)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关.( × )1.计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.－2B.2C.－1D.1答案 D解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos2αcos2α＝1，选D. 2.2sin 235°－1cos10°－3sin10°的值为( ) A.1 B.－1 C.12 D.－12答案 D解析 原式＝2sin 235°－12⎝⎛⎭⎫12cos10°－32sin10°＝－cos70°2sin20°＝－12. 3.(教材改编)sin15°－3cos15°＝________. 答案 － 2解析 sin15°－3cos15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin45°＝－ 2.4.若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cosx2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为______. 答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x 212sin x＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin2x，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8. 5.若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.题型一 三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. 答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α) ＝268. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9等于( ) A.－18B.－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54B.－54C.43D.－43答案 (1)A (2)D解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos (－3π＋49π)＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sinπ9sin π9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.题型二 三角函数的求角问题例2 (1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4 C.π4D.2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8 B.－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B 解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a1－(3a ＋1)＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0. ∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－3π4.思维升华 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数.若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则选正弦较好.(1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.题型三 三角恒等变换的应用例3 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值. 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4， 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征.(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________.(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________.答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.8.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.思维点拨 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数.(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图像解决. 规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，[4分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分](2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[7分] 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[9分]当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减.[11分] 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.[12分] 温馨提醒 (1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，φ的确定一定要准确.(2)将ωx ＋φ视为一个整体，设ωx ＋φ＝t ，可以借助y ＝sin t 的图像讨论函数的单调性、最值等.[方法与技巧]1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换.2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.3.与三角函数的图像与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图像解决. [失误与防范]1.利用辅助角公式，a sin x ＋b cos x 转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角.2.计算形如y ＝sin(ωx ＋φ), x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 sin α＝cos α⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos2α＝0⇔cos α＝±sin α⇏sin α＝cos α，故选A. 2.已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B.13C.12D.23答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A. 3.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A.118 B.－118C.1718D.－1718答案 D解析 cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.4.若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是() A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案 A解析 ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π.∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，cos2α＝－255.∵β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. 5.函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图像关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z ). ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z ).故选C. 6.已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ的值为________. 答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7.若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________. 答案 －210解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin2α＝35. ∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)， ∴cos2α＝－45. ∴sin(2α＋π4)＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 8.若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________. 答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12， 两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12， 即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34. ∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0， ∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74.∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73. 9.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ).(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω＞0). (1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图像与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f (x )的单调递增区间. 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6≤1， 得－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1≤1， 所以函数f (x )的值域为[－3,1].(2)由题设条件及三角函数的图像和性质可知，f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z ).所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α).∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.12.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于()A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，故选D. 13.若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π答案 D解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1， 所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，故选D. 14.若sin x ＋cos x sin x －cos x＝3，tan(x －y )＝2，则tan(y －2x )＝________. 答案 43解析 由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，得tan x ＋1tan x －1＝3，即tan x ＝2.又tan(y －x )＝－tan(x －y )＝－2，所以tan(y －2x )＝tan (y －x )－tan x 1＋tan (y －x )tan x＝－2－21－4＝43. 15.已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图像的一条对称轴. (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图像是由y ＝f (x )图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值. 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos2ωx ＋3sin2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6图像的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z ). 又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。
高考复习数学理(全国通用)配套课件+配套练习：第四章
第五节解三角形A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·大兴区模拟)在△ABC中，a＝2，b＝3，B＝π3，则A等于()A.π6 B.π4 C.3π4 D.π4或3π4解析因为b>a，有正弦定理得到sin A＝22，∴A＝π4，故选B.答案 B2．(2015·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c＝42，B＝45°，面积S＝2，则b等于()A.1132B．5 C.41 D．25解析∵c＝42，B＝45°，又面积S＝12ac sin B＝12×42×22a＝2，解得a＝1，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴b2＝1＋32－2×42×22＝25，∴b＝5.答案 B3．(2014·昆明一中模拟)△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2c cos A，c＝2b cos A，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析由正弦定理，得sin B＝2sin C cos A，sin C＝2sin B cos A，即sin(A＋C)＝2sin C cos A＝sin A cos C＋cos A sin C，即sin A cos C－cos A sin C＝0，∴sin(A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，∴△ABC为等边三角形．答案 C4．(2014·乐陵一中模拟)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522 m解析 在△ABC 中，由正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，AB ＝502(m)． 答案 A 二、填空题5．(2014·湖北荆州4月)在△ABC 中，若a ＝2，∠B ＝60°，b ＝7，则BC 边上的高等于________．解析 由余弦定理得7＝4＋c 2－2×2c ×12，整理得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(c ＝－1舍去)．所以BC 边上的高为c sin B ＝3×sin 60°＝332.答案 3326．(2013·河南焦作4月)在钝角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝1，A ＝30°，c ＝3，则△ABC 的面积为________．解析 在钝角△ABC 中，由a ＝1，A ＝30°，c ＝3，利用正弦定理可知C ＝120°，得到B ＝30°，利用面积公式得S △ABC ＝12×3×1×12＝34.答案 34一年创新演练7．在△ABC 中，设三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则c ＝________.解析 已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得1＝3＋c 2－3c ，即c 2－3c ＋2＝0， 因式分解得(c －1)(c －2)＝0，解得c ＝1或c ＝2，经检验都符合题意，所以c 的值为1或2. 答案 1或2B 组 专项提升测试 三年模拟精选一、选择题8．(2014·浙江温州二模)在△ABC 中，AC →·AB→|AB →|＝1，BC →·BA →|BA →|＝2，则AB 边的长度为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析 设△ABC 各边分别为a ，b ，c ，则AC →·AB→|AB →|＝b ·cos A ＝1，同理，BC →·BA →|BA →|＝a ·cos B＝2.由余弦定理可得⎩⎨⎧b ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，a ·a 2＋c 2－b 22ac＝2，解方程组得c ＝3或0(舍)．故选B. 答案 B 二、填空题9．(2015·广东茂名模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，则c 为________．解析 ∵a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534， ∴1534＝12ab sin C ＝12×3b sin 120°，解得b ＝5.由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49. 解得c ＝7. 故答案为：7. 答案 7A ＝30°，BC ＝25，10．(2015·东北四校一模)如图，在△ABC 中，∠D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为______．解析 设∠BCD ＝θ，则在△BCD 中，S △BCD ＝12×25×2sin θ＝4，即sin θ＝255，则cos θ＝±55，BD 2＝20＋4－85×⎝ ⎛⎭⎪⎫±55＝16或32，即BD ＝4或4 2. ①当BD ＝4时，4sin θ＝2sin B ， 即sin B ＝55，此时AC sin B ＝BCsin A ， 即AC ＝sin B ·BC sin 30°＝4；②当BD ＝42时，42sin θ＝2sin B ，即sin B ＝1010，此时AC sin B ＝BC sin A ， 即AC ＝sin B ·BC sin 30°＝2 2.综上，AC 的长为4或2 2. 答案 4或2 211．(2014·长春二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________． 解析 因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72， 2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72， cos 2C －cos C ＋14＝0， 解得cos C ＝12，则sin C ＝32.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab ，ab ＝a 2＋b 2－7，3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，即ab ＝6，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 332 三、解答题12．(2015·甘肃模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B . (1)求cos B 的值；(2)若BA→·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值． 解 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ，则2R sin B cos C ＝6R sin A cos B －2R sin C cos B ， 故sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， 可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B ．又sin A ≠0， 因此cos B ＝13.(2)由BA→·BC →＝2，可得ac cos B ＝2， 又cos B ＝13，故ac ＝6， 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 可得a 2＋c 2＝12， 所以(a －c )2＝0，即a ＝c ， 所以a ＝c ＝ 6.13．(2015·安阳模拟)如图，角A 为钝角，且sin A ＝35，点P ，Q 分别是角A 的两边上不同于点A 的动点．(1)若AP ＝5，PQ ＝35，求AQ 的长；(2)设∠APQ ＝α，∠AQP ＝β，且cos α＝1213，求sin(2α＋β)的值．解 (1)∵∠A 是钝角，sin A ＝35，∴cos A ＝－45，在△AQP 中，由余弦定理得PQ 2＝AP 2＋AQ 2－2AP ·AQ cos A ，∴AQ 2＋8AQ －20＝0， 解得AQ ＝2或－10(舍去)，∴AQ ＝2. (2)由cos α＝1213，得sin α＝513. 在△APQ 中，α＋β＋A ＝π， 又sin(α＋β)＝sin(π－A )＝sin A ＝35， cos(α＋β)＝－cos A ＝45， ∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝513×45＋1213×35＝5665.一年创新演练14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C · (tan A tan C －1)＝1. (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意得2cos A cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A sin C cos A cos C －1＝1，所以2(sin A sin C －cos A cos C )＝1， 即－cos(A ＋C )＝12.所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝12.又0＜B ＜π，所以 B ＝π3.(2)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.又a ＋c ＝332，b ＝3，解得ac ＝54， 由三角形的面积公式，得 S △ABC ＝12ac sin B ＝5316.。
2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编 专题04 三角函数与三角形(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）(理）】将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．54π- B ．4π- C ．4π D ．34π【答案】C考点：1.三角函数的图象与性质；2.函数图象平移变换。
2。
【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π,且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ )A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称C ．关于点(,0)12π 对称D ．关于点5(,0)12π 对称【答案】C 【解析】试题分析：由题意2πT πω==，2ω=，把()cos 2g x x =向右平移3π个单位得()cos 2()3πf x x =-2cos(2)3πx =-27sin(2)sin(2)sin(2)2366ππππx x x =-+=-+=-，()012πf =,53()122πf =，因此函数图象关于点(,0)12π对称,故选C ．考点：三角函数的图象变换，函数的对称性．3. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位, 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 得到函数()y g x =的图象, 则函数()y g x =的图象与直线0,2,x x x π==轴围成的图形面积为（）A ．0B ．4C ．8D ．以上都不对 【答案】C考点：三角函数的图象变换，微积分基本定理．4. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】已知矩形ABCD 的边4,1AB AD ==,点P 为边AB 上一动点, 则当DPC ∠最大时，线段AP 的长为（ ）A ．1或3B ．1.5或2.5C ．2D ．3【答案】C 【解析】试题分析：如图,以点A 为原点，AB 、AD 所在直线分别为x ，y 轴，建立直角坐标系xOy,则A （0,0）,B(4，0）,C （4,1),D （0,1）, 设P （x ，0）,则04x ≤≤, （1） 当x=0时，tan tan 4CDCPD CAD AD∠=∠==；当x=4时，tan tan 4CDCPD CBD BC∠=∠==，此时CPD ∠为锐角. (2)当0〈x<4时，11tan ,tan 4APD BPC x x∠=∠=-，所以tan tan tan tan()1tan tan APD BPC CPD APD BPC APD BPCπ∠+∠∠=-∠-∠=--∠⋅∠22114441141(2)314x x x x x x x+--==-+---⋅-，当x=2时，4tan 3CPD ∠=-，此时CPD ∠最大,即所求线段AP 的长为2. 考点:三角函数的应用．5。
【高考真题汇编】2017年高考数学理科真题汇编解析：第04章三角函数
第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无 题型45 三角函数定义题——暂无 题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无 题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析 （1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y 轴对称， 则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 33339αβ⎛-=⨯-+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o sx t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t ，即6x π=时，()f x 取最大值为1．4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()co 23s i n 22si n 26fx x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无 题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==． 因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ， 故2212P Q =，从而22220sin PQ EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =. 由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为34.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． (1)求cos B ; (2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析 （1）依题得21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得c o s 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析 （1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ， 又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin 4CBD OBA ??， 所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πC B D B D C ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC ?-?-?-，解得cos BDC ?OD C B A。
2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数(K12教育文档)
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2017年高考数学理试题分类汇编:三角函数一．填空选择题1. （2017年天津卷文）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π,则 （A)2π,312ωϕ== （B ）211π,312ωϕ==-(C ）111π,324ωϕ==- （D ）17π,324ωϕ== 【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<,所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ． 2. (2017年天津卷理）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π。
若5()28f π=,()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 (A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=,24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ． 3. ( 2017年全国Ⅲ卷文)ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________15【解析】 根据正弦定理有:Bsin 660sin 30=22sin =∴B 又b c > 045=∴B 075=∴A4. (2017年新课标Ⅰ） 9．已知曲线C 1：y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2【答案】D5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 14。
2017版高考数学人教版(鲁、京、津专版理)一轮复习课件第四章 三角函数、解三角形 4.3
解析
π kπ π 由 2x≠kπ＋ ，k∈Z，得 x≠ ＋ ，k∈Z， 2 2 4
kπ π ∴y＝tan 2x 的定义域为xx≠ 2 ＋4，k∈Z .
1 2 3 4 5
解析答案
π π π 3.若函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，3]上单调递增，在区间[3，2]上 单调递减，则 ω 等于( 2 A.3 3 B.2 ) C.2 D.3
D.f(2)<f(0)<f(－2)
1 2 3 4 5
解析答案
5.函数
π y＝3－2cosx＋4 ，此时 5 的最大值为________
3π ＋2kπ(k∈Z) x＝______________. 4
解析
函数
π y＝3－2cosx＋4的最大值为
3＋2＝5，
1 2 3 4 5
解析答案
4.(2015· 安徽)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 均为正的常数)的最小 2π 正周期为 π， 当 x＝ 时， 函数 f(x)取得最小值， 则下列结论正确的是( 3 )
A.f(2)<f(－2)<f(0)
B.f(0)<f(2)<f(－2)
C.f(－2)<f(0)<f(2)
π 3π 此时 x＋4＝π＋2kπ(k∈Z)，即 x＝ 4 ＋2kπ(k∈Z).
1 2 3 4 5
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一
三角函数的定义域和值域
(1)函数 y＝ 2sin x－1的定义域为( B )
π 5π B.2kπ＋6，2kπ＋ 6 (k∈Z) π 5π D.kπ＋6，kπ＋ 6 (k∈Z)
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第四节 三角恒等变换A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，7)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.3π2D.2π2.(2016·全国Ⅱ，9)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15C.－15D.－7253.(2016·全国Ⅲ，8)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C.－1010D.－310104.(2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32 B.32 C.－12 D.125.(2014·新课标全国Ⅰ，8)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A.3α－β＝π2 B.3α＋β＝π2 C.2α－β＝π2 D.2α＋β＝π26.(2016·四川，11)cos2π8－sin 2π8＝ . 7.(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是 .8.(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.9.(2015·山东，16)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.10.(2014·新课标全国Ⅱ，14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________.11.(2014·江西，16)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值. 12.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.13.(2014·江苏，15)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广东湛江模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A.－235B.235C.45D.－452.(2016·开封二模)若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A.－15 B.－12 C.15 D.123.(2016·广东揭阳模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则sin 2x ＝( )A.－35B.105C.35 D.14.(2015·安徽淮北一模)sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A.2B.22 C. 2 D.125.(2015·甘肃模拟)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.若将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66.(2015·昆明一中一模)化简sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的结果为( )A.sin 2αB.cos 2αC.sin αD.cos α 7.(2016·河南豫东豫北模拟)已知sin α＝3cos α，则cos 2α1＋sin 2α＝ .8. (2016·湖北武汉十六中模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值.9.(2016·长春检测)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，3cos x3，函数f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域.10.(2016·菏泽模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos Ccos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的值域.11.(2015·广东茂名模拟)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R ，0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1. B [∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝π，故选B.]2. D [因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D.]3.C [设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010.]4.D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]5.C [由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β,即sin αcos β＝cos α＋sin βcosα，所以sin(α－β)＝cos α,又cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α,所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α,又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以－π2<α－β<π2,0<π2－α<π2,因此α－β＝π2－α,所以2α－β＝π2，故选C.]6. 22 [由题可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22(二倍角公式).] 7.62 [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.] 8.3 [∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.]9.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ， 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 10.1 [f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.]11.解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.12.解 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝32，∴A ·32＝32，A ＝ 3.(2)f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(－sin θ＋cos θ)]＝32，∴6cos θ＝32，cos θ＝64， 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 13.解 (1)因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310. B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.D [ sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝sin π3cos α＋cos π3sin α＋ sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.]2. A [若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos θ＋2sin θ＝0，即tan θ＝－12.故cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝－15，故选A.]3. C [tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，所以tan x ＝13，则sin 2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 1＋tan 2x ＝35.]4.D [sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，故选D.]5.A [解析 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数f (x )＝2sin(x －π6＋m )为奇函数，所以m 的最小值是π6，故选A.]6. A [4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2α， ∴sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 4α2cos 2α＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α.7.－12 [由sin α＝3cos α得tan α＝3.所以cos 2α1＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α（sin α＋cos α）2＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－12.]8. 解 (1)∵f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin 2x －1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝sin 2x ＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－12＝12－12cos 2x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3－12＝－12cos 2x ＋14cos 2x ＋34sin 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π2，则2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值分别为34，－12.9.解 (1)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，3cos x3，则函数f (x )＝a·b ＝sin x 3cos x 3＋3cos 2x 3＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，令2k π－π2≤2x 3＋π3≤2k π＋π2，(k ∈Z ).解得3k π－54π≤x ≤3k π＋π4，(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－54π，3k π＋π4，(k ∈Z ).(2)∵b 2＝ac .∴cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又－1<cos x <1，∴12≤cos x <1，∴0<x ≤π3，∴π3<2x 3＋π3≤5π9，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3≤1，∴3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32≤1＋32，即函数f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤3，1＋32.10.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ，利用正弦定理可得，2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B.∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∵B ＋C ＝2π3，0<B <π2，0<C <π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，∴3<y ≤2，即函数的值域为(3，2].11. 解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32，可得到sin π2cos φ＋cos π2sin φ＝32，所以cos φ＝32，又∵0<φ<π，∴φ＝π6.所以f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513可得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＋π6＝513，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝513，所以cos α＝－513，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝1213×22－513×22＝7226.。