正弦定理练习1111

合集下载

正弦定理习题及答案

正弦定理习题及答案一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B＝2，sin A＝，则b的值为( )A．2 B．4C．6 D．8解析：　由正弦定理得b＝＝＝4.答案：　B2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC是( )A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．锐角三角形解析：　∵sin2A＝sin2B＋sin2C.∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2∴△ABC是直角三角形．答案：　C3．在△ABC中，若A＝60°，C＝75°，b＝6，则a等于( )A. B．2C. D．3解析：　∵B＝180°－(60°＋75°)＝45°，∴a＝＝＝3.答案：　D4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是( )A．b＝10，A＝45°，B＝70° B．a＝60，c＝48，B＝100°C．a＝7，b＝5，A＝80° D．a＝14，b＝16，A＝45°解析：　D中，b sin A＝8，a＝14，所以b sin A<a<b，所以三角形有两个解．故选D.答案：　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．解析：　∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，设＝＝＝k，则a＝k sin A＝k，b＝k sin B＝k，c＝k sin C＝.∴a∶b∶c＝2∶∶1.答案：　2∶∶16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b ＝2，A＝60°，则tan B＝________.解析：　由正弦定理得sin B＝＝×＝，根据题意，得b<a，故B<A＝60°，因此B为锐角．cos B＝＝.故tan B＝＝.答案：　三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)在△ABC中，已知A＝30°，a＝，b＝2，求B.(2)在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝2，求B.解析：　(1)在△ABC中，由正弦定理可得＝，解得sin B＝∵b>a，∴B>A.∴B＝45°或135°.(2)在△ABC中，由正弦定理可得＝，解得sin B＝，∵b<a，∴B<A.∴B＝45°.8．在△ABC中，若sin B＝＝，且B为锐角，试判断△ABC的形状．解析：　∵sin B＝，且B为锐角，∴B＝45°.∵＝.∴由正弦定理得＝，又∵A＋C＝135°，∴sin(135°－C)＝sin C，整理得cos C＝0.∴C＝90°，A＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．☆☆☆9．(10分)△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a cos A＝b cos B，求的取值范围．解析：　∵a cos A＝b cos B，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B.∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.如果A＝B，则a＝b不符合题意，∴A＋B＝.∴＝＝sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin(A＋)，∵a≠b，C＝，∴A∈且A≠，∴∈(1，)．。

正弦定理试题及答案

正弦定理练习题一一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（）A.26B.36C.22D.32 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = . 三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b .正弦定理练习题二一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A 2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（） A.75° B.60° C.45° D.30° 4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解 5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 367.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.1038.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4 ,cos 2B =552，求△ABC 的面积.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.正弦定理练习题一答案一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（）A.26B.36C.22D.32 ［答案］C ［解析］设所求边长为x,由正弦定理得，︒30sin x =︒45sin 4,∴x =22,故选C. 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π［答案］ C ［解析］由A a sin ＝B b sin ,得sin B =a A b sin ,∴sin B =130sin ·3︒ =23　,∴B =3π或32π.3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：1［答案］ D ∴A =90°,B =60°,C =30°∴a ：b ：c =sin A ：sin B ：sin C =1：23　：21=2：3：1. 二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = ［答案］1由正弦定理，得32sin3π=B sin 1,∴sin B =21.∵∠C 为钝角∴∠B 必为锐角，∴∠B =6π,∴∠A =6π,∴a=b =1. 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = .［答案 2［解析］由已知，得∠C =180°-105°-45°=30°，∵B b sin =Ccsin ∴c =B C b sin sin =︒︒45sin 30sin 22=222122⨯=2.三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b . ［解析］ ∵A+B+C =180°,∴C =105°. ∵B b sin =C c sin ,∴b =C B c sin sin =︒︒105sin 30sin 10, 又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝23×22+21×22=426+,∴b=5(26-).正弦定理练习题二答案一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A ［答案］ D［解析］由正弦定理，得A a sin ＝B b sin ,∴a =B A b sin sin ,在△ABC 中，0<sin B ≤1,故Bsin 1≥1,∴a ≥b sin A .2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 ［答案］ B ［解析］设b+c =4x ,c+a =5x ,a+b =6x (x >0), 从而解出a =27x ,b =25x ,c =23x . ∴a ：b ：c =7：5：3.∴sin A ：sin B ：sin C =7：5：3.3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（） A.75° B.60° C.45° D.30° ［答案］ B ［解析］由题意，得21×4×3sin C ＝33,∴sin C =23,又0°<C <90°，∴C =60°.4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解［答案］ A ［解析］对于A ，由于a=b sin A ,故应有一解；对于B ，a>b ,A =150°,故应有一解；对于C,a<b sin A ,故无解；对于D ，c sin B<b<c ,故有两解.5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π［解析］ ∵A a sin =B b sin ,∴sin A =22,∴A =4π或A =43π,又∵a ＞b ,∴A ＞B ,∴A =4π或43π,∴选C.6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 36 ［答案］ D ［解析］由正弦定理，得︒60sin 15=B sin 10∴sin B =1560sin 10︒=152310⨯=33. ∵a>b,A =60°,∴B 为锐角.∴cos B =B sin -12 =2331）（-=36.7.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.103［答案］ B ［解析］由已知得A =75°,sin A =sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=426+, c=A C a sin sin =︒︒⨯75sin 45sin 10=10(3-1) 8.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 ［答案］ C 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .［答案］2［解析由正弦定理得sin B =a b ·sin A =31-×23=21, 又∵b =1<a =3,∴B<A =3π,而0<B <π,∴B =6π,C =2π, 由勾股定理得c =22b a +=31+=2.10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . ［解析］ ∵A =60°，C =45°，∴B =75°, ∴最小边为c ,由正弦定理，得B b sin ＝Ccsin , ∴︒75sin 2=︒45sin c ],又∵sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30=22×23+22×21＝426+,∴c =︒︒⨯75sin 45sin 2＝426222+⨯＝23-2. 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . ［解析］由正弦定理，得b a =B A sin sin , ∴a =25b 可转化为B A sin sin =25.又∵A =2B ，∴B B s i n s i n 2=25,∴cos B =45. 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .［答案］62+83［解析］设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的边长分别为c 、a 、b . 由tan B =3,得B ＝60°，∴sin B =23，cos B =21.又cos C =31,∴sin C =C 2cos 1-＝222.由正弦定理，得c =BC b sin sin =2332263⨯=8.又∵sin A =sin(B+C )=sin B cos C +cos B sin C =63+32,∴S △ABC =21bc sin A =21×36×8×(63+32)=62+83.三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .［解析］由正弦定理得，sin A =b B a sin =245sin 3︒⨯＝2223⨯=23，∵a ＞b ,∴A ＞B=45∴A 为锐角或钝角（或a sin B ＜b ＜a ），∴A =60°或A =120°当A =60°时，C =180°-45°-60°=75°， sin75°=sin(45°+30°)=22×23+22×21=426+,c=B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=224262　+⨯=226+，当A =120°时，C =180°-45°-120°=15°， sin15°=sin(45°-30°)= 426-,c =B C b sin sin ＝︒︒45sin 15sin 2=224262　-⨯ =226-∴A =60°,C =75°,c ＝226+，或A =120°，C =15°，c =226-.14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4π,cos 2B =552，求△ABC 的面积. ［解析］由题意知cos2B =552,则cos B =2cos 22B-1=53，∴B 为锐角,∴sin B =54,sin A =sin(π-B-C )=sin(53π-B )= 1027由正弦定理，得c ＝A C a sin sin =1027222　⨯=710.∴S △ABC =21ac sin B =21×2×710×54=78.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.［解析］设方程的两根为x 1、x 2,由韦达定理得x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B ,由题意得b cos A =a cos B , 由正弦定理得2R sin B cos A =2R sin A cos B , sin A cos B -cos A sin B =0. 即sin （A-B ）=0.在△ABC 中，∵A 、B 为其内角，∴0＜A ＜π,0＜B ＜π,-π＜A-B ＜π.∴A-B =0，即A=B .∴△ABC 为等腰三角形.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.［解析］（1）因为b=a cos C ,所以由正弦定理得： sin B =sin A cos C ,从而sin(A+C )=sin A cos C ,所以sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C[；所以cos A sin C =0.由于sin C ≠0.所以cos A =0 所以∠A =3π,所以△ABC 为直角三角形. (2)∵斜边a =12.不妨设∠C 最小，则C c sin =12,且sin C =31,∴c =4,从而b =22c a -=82,∴S △ABC=21bc =162.。

正弦定理经典练习题

《正弦定理、余弦定理、解斜三角形》一、复习要求：1．掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。

2．用正弦、余弦定理判断三角形的形状。

二、知识点回顾（1）正弦定理：,22sin sin sin ∆====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径），（∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinCa=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC(2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bc a c b A 2cos 222-+= , (轮换得另二式)余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – bc 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 - 2﹒a ﹒b =a 2+b 2 - 2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c) 三、典型例题分析：例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求b c 的范围分析：角边比转化，可用正弦定理解：1cos 4cos 22cos sin )2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B B B B B BB Cb cA+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０，1cos 22<C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。

解：2122cosA 222==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1∴4sinBsin(1200-B)=11sin 22sin 31)sin 21cos 23(sin 42=+⇒=+⇒B B B B B B con B 22sin 3=⇒ ∴332tan =B ∴2B=300 或2100B>C , ∴2B=2100 即 B=1050∴A=600 B=1050 C=150练习2：在∆ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小（2）若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c例３：如图，已知Ｐ为∆ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝θ 求证cot θ=cotA+cotB+cotC 解：在∆ABC 中，APB cPB ∠=sin sin θ [][]θθππ+--=∠-∠-=B cABO BAP csin sin ＝B c sin 同理C a C PB sin )sin(=-θ ∴C C C a C C a B c sin )sin cos cos (sin sin )sin(sin sin θθθθ-=-= ∴sinAsinBsinCcos θ=sinAsinBcosCsin θ+sin 2C sin θ CABa cb θ A B CPθθ∴C B A BA B A B A C B A C C cot cot cot sin sin sin cos sin sin cot sin sin sin cot cot ++=++=+=θ 四：作业１．在∆ABC 中，a+b=366+ 030=∠A 060=∠B 求边c 的长２．在∆ABC 中，Ｓ是它的面积，a,b 是它的两条边的长度，Ｓ＝)(4122b a + 求这个三角形的各内角．３．已知圆Ｏ的半径为Ｒ，它的内角三角形ＡＢＣ中，２Ｒ（sin 2A-sin 2C ）=B b a sin )2(- 成立，求三角形ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值．。

(完整word)正弦定理练习题

第一章解三角形一、选择题。

1。

在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于（ )A 。

30 º B. 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º 2。

在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为（） A 。

3π B.6πC.6π或6π5D 。

3π或3π2 3。

△ABC 中，下述表达式：①sin （A + B ）+ sin C ;②cos(B + C )+ cos A ； ③2tan 2tanCB A +，其中表示常数的是（） A. ①和② B. ①和③C 。

②和③ D. ①②③4。

在△ABC 中，“A = B ”是“sin A = sin B ”的( ) A. 充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C. 充要条件 D 。

即不充分又不必要条件5. 已知 a ，b ，c 是△ABC 三边的长，若满足等式(a + b - c )（a + b + c )= ab ，则∠C 的大小为（ ) A 。

60º B 。

90º C 。

120º D 。

150º6. 若△ABC 满足下列条件: ① a = 4，b 10，A 30; ② a 6，b 10,A 30； ③ a 6，b 10,A 150； ④ a12,b10，A150； ⑤ a + b + c = 4，A 30，B 45.则△ABC 恰有一个的是( )A 。

①④B 。

①②③ C. ④⑤ D 。

①②⑤ 7。

△ABC 中，若 sin(A + B ）sin （A — B ）= sin 2C ,则△ABC 是( ) A 。

锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形D 。

等腰三角形 8. △ABC 中，若a ，b ，c 成等差数列，则∠B 的取值范围是( ）A. ⎝⎛⎥⎦⎤3π 0， B 。

正弦定理练习题(含答案)资料

正弦定理练习题(含答案)正弦定理复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。

1.1.1正弦定理练习、典例

工具
第一章解三角形
栏目导引
1．(1)已知 A＝45°，B＝30°，c＝10.求 b.
(2)在△ABC 中，若 A＝105°，B＝45°，b＝2 2，求 c. 解析： (1)∵A＋B＋C＝180，∴C＝105°.
又∵sin 105°＝sin(45°＋60°)
＝sin 45°·cos 60°＋cos 45°·sin 60°
答案：
32 2
工具
第一章解三角形
栏目导引
4．已知：△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、 C 及 c.
解析：根据正弦定理，得
sin A＝asibn B＝
3sin 45°＝ 2
23，
∵b<a，∴B<A，∴A＝60°或 120°.
①当 A＝60°时，C＝180°－(60°＋45°)＝75°，
∴c＝sinb B＝11＝2. 2
(3)根据正弦定理，sin A＝asibn B＝
3sin 1
120°＝32>1.
因为在△ABC 中，A<180°－B＝60°.所以，A 不存在，即
无解．
工具
第一章解三角形
栏目导引
[题后感悟] (1)正弦函数y＝sin x的值域是[－1,1]，据此可判断是否有解．
A＝sinb
B＝
c sin
C成立吗？
工具
第一章解三角形
栏目导引
1．正弦定理在一个三角形中，各边和它们所对角的正弦的比相等，即sina A＝sinb B＝sinc C .
2．解三角形 (1)把三角形的三边和它们的对角叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．

正弦定理小练

正弦定理小练第一篇：正弦定理小练正弦定理练习题一、选择题.1.在△ABC 中，b = 8，c =83，S△ABC =16，则∠A 等于()A.30 ºB.60ºC.30º 或150ºD.60º 或120º2.在△ABC中，若3a = 2b sin A，则∠B为()A.πB.ππ36C.π6或5π6D.3或2π3.△ABC中，下述表达式：①sin(A +B)+ sinC；②cos(B + C)+ cosA；③tanA+B2tanC2，其中表示常数的是()A.①和②B.①和③C.②和③D.①②③5.已知 a，b，c 是△ABC三边的长，若满足等式(a + bB)= sin2 C，则△ABC 是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.△ABC 中，若其面积 S =14(a2 + b2-c2)，则∠C =()A.π2B.π3C.π4D.π二、填空题.1.在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4，那么cos C等于2.若△ABC的三内角∠A，∠B，∠C满足sin A = 2sinCcos B，则△ABC为.3.若△ABC的三边长分别为4，5，7，则△ABC的面积=，内切圆半径=.三、解答题.1.在△ABC中，A = 45°，B : C = 4 : 5，最大边长为10，求角B，C，△ABC外接圆半径R及面积S.第二篇：正弦定理正弦定理的说课稿大家好，今天我向大家说课的题目是《正弦定理》。

下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。

一教材分析本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。

正弦定理练习题

正弦定理练习题在三角形ABC中，已知角A=60度，角B=45度，边BC=6，则边AC的长度为：在三角形ABC中，已知角A=30度，角C=90度，若三角形ABC的斜边AB的长为2√3，则直角边BC的长度为：在三角形ABC中，已知角A=60度，角B=45度，边BC的长为6，则边AC的长为：在三角形ABC中，已知角A=45度，角B=60度，边BC的长为6。

求边AC的长。

在三角形ABC中，已知角A=30度，角C=90度，直角边BC的长为4。

求斜边AB的长。

在三角形ABC中，已知角A=60度，角B=90度，斜边BC的长为8。

求直角边AC的长。

本节内容是在学生学习了任意三角形的基础上，进一步学习正弦定理和余弦定理。

通过正弦定理和余弦定理，学生可以解决任意三角形中的边角问题。

根据课程标准的要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定本节课教育教学目标是：(1)知识与技能：通过探究正弦定理的证明过程，学生能够理解正弦定理的含义，并能用它解决任意三角形中的有关问题。

(2)过程与方法：通过观察、思考、分析、推理、归纳、猜想等思维活动，学生能够发现正弦定理的结论，并能够用它解决一些实际问题。

(3)情感态度价值观：通过探究正弦定理的过程，学生能够感受到数学的乐趣和价值，同时培养学生的数学意识和实践能力。

(1)教学重点：探究正弦定理的证明过程，并能用它解决任意三角形中的有关问题。

(2)教学难点：证明正弦定理的过程以及在解决任意三角形问题中的应用。

本节课采用探究式教学方法，通过创设问题情境，引导学生进行自主探究和合作交流，从而发现正弦定理的结论并掌握其证明方法。

同时，在教学过程中，注重启发式教学方法的运用，通过问题引导、探究活动等方式，激发学生的思维和兴趣，提高学生的学习积极性和主动性。

本节课需要学生掌握正弦定理的证明方法和应用，因此需要学生认真听讲、积极思考、自主探究、合作交流，并尝试解决一些实际问题。

同时，在教学过程中，教师可以通过问题引导、探究活动等方式，引导学生进行思考和探究，帮助学生掌握正弦定理的证明方法和应用。

正弦定理训练测试题（含答案）

正弦定理训练测试题（含答案）正弦定理⼀、单选题（共15题；共30分）1.（2020⾼⼀下·⼤庆期末）已知的三个内⾓的对边分别为，且满⾜，则等于（）A. B. C. D.2.（2020⾼⼀下·六安期末）设的内⾓所对的边分别为，若，则的形状为（）A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形D. 等腰三⾓形3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆⾯积为（）A. B. π C. 2π D. 4π4.在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，为使此三⾓形有两个，则a满⾜的条件是（）A. B. C. D.5.（2020⾼⼀下·抚顺期末）在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2 ，C＝30°，则B等于（）A. 30°B. 60°C. 30°或60°D. 60°或120°6.（2020⾼⼀下·南昌期末）在中，，，，则（）A. B. C. D.7.（2020⾼⼀下·牡丹江期末）已知的内⾓的对边分别为，若，则等于（）A. B. C. D.8.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）在中，，那么（）A. B. C. 或 D.9.（2020⾼⼀下·台州期末）在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. 2 D.10.（2020⾼⼀下·⾦华⽉考）在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）A. B. C. D.11.（2020·南昌模拟）已知中⾓所对的边分别为，若，则⾓A等于( )A. B. C. D.12.（2020·漯河模拟）设锐⾓的三内⾓A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为( )A. B. C. D.13.（2020⾼⼀下·太原期中）在锐⾓三⾓形中，已知，则的范围是( )A. B. C. D.14.（2020⾼⼀下·怀仁期中）在△ABC中，，则三⾓形解的情况是（）A. ⼀解B. 两解C. ⼀解或两解D. ⽆解15.（2020⾼⼀下·沈阳期中）的内⾓的对边分别为,且, ，，则⾓C=( )A. B. C. 或 D. 或⼆、填空题（共4题；共5分）16.（2020⾼⼆下·嘉兴期末）已知中，，是的中点，且，则________.17.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）已知中，，则⾓A等于________.18.（2020⾼⼀下·温州期末）在中，，，点M在上，且，则________，________．19.（2020⾼⼀下·六安期末）在中，⾓所对的边分别是，若，则⾓C的⼤⼩为________.三、解答题（共5题；共35分）20.（2020⾼⼀下·深圳⽉考）在中，已知，，，求的值．21.（2019⾼三上·杭州期中）在中，a，b，c分别为⾓A，B，C所对边的长，且.（Ⅰ）求⾓B的值；（Ⅱ）若，求的⾯积.22.（2019⾼⼆上·榆林⽉考）在中，，，分别是⾓，，的对边，且，，．求：（1）的值．（2）的⾯积．23.（2019·贵州模拟）在中，内⾓的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知，的⾯积为，求的周长.24.（2018·天津）在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.（Ⅰ）求⾓B的⼤⼩；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和的值.答案解析部分⼀、单选题1.【答案】D【解析】【解答】由题,根据正弦定理可得,所以,因为在中, ,所以,因为,所以,故答案为：D【分析】利⽤正弦定理化边为⾓可得,则,进⽽求解.2.【答案】B【解析】【解答】∵，由正弦定理得：，∵，∴，，故三⾓形为直⾓三⾓形，故答案为：B.【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为⾓的正弦，利⽤两⾓和公式化简求得的值进⽽求得A，判断出三⾓形的形状.3.【答案】B【解析】【解答】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.故答案为：B.【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.4.【答案】C【解析】【解答】为使此三⾓形有两个，即bsinA＜a＜b，∴2 × ＜a＜2 ，解得：3＜a＜2 ，故答案为：C．【分析】为使此三⾓形有两个，只需满⾜bsinA＜a＜b，即可求a范围．5.【答案】D【解析】【解答】由c＝2，b＝2 ，C＝30°，由正弦定理可得：，，由⼤边对⼤⾓可得：，解得60°或120°．故答案为：D.【分析】由正弦定理可解得，利⽤⼤边对⼤⾓可得范围，从⽽解得A的值．6.【答案】C【解析】【解答】∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，B为锐⾓，∴．故答案为：C【分析】由已知利⽤正弦定理可得，结合，可得B为锐⾓，可求．7.【答案】D【解析】【解答】因为，故.故答案为：D.【分析】利⽤正弦定理可求的值.8.【答案】D【解析】【解答】由正弦定理得，因为，∴，所以，从⽽．故答案为：D．【分析】由正弦定理求C，然后再得A⾓．9.【答案】B【解析】【解答】根据正弦定理可得，即，解得，故答案为：B.【分析】直接利⽤正弦定理，结合题中所给的条件即可得结果.10.【答案】D【解析】【解答】解：在中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，利⽤正弦定理：，整理得：．故答案为：D．【分析】直接利⽤正弦定理的应⽤和三⾓函数值的应⽤求出结果．11.【答案】B【解析】【解答】由及正弦定理可得，⼜，所以，解得或（舍），⼜，所以.故答案为：B【分析】由正弦定理可得，结合解⽅程组即可得到答案.12.【答案】A【解析】【解答】且为锐⾓三⾓形，，，⼜，，，，，由正弦定理得：，.故答案为：A.【分析】根据锐⾓三⾓形的特点和可确定的取值范围，进⽽求得的取值范围；利⽤正弦定理可得到，进⽽求得结果.13.【答案】C【解析】【解答】，⼜，，锐⾓三⾓形，∴，故，故.故答案为：C.【分析】根据正弦定理得到，计算，得到答案.14.【答案】D【解析】【解答】过点A作AD⊥BD．点D在∠B的⼀条边上，∵h＝csinB＝6 3 3＝b＝AC，因此此三⾓形⽆解．故答案为：D．【分析】由csinB＞b，即可得出解的情况．15.【答案】B【解析】【解答】由正弦定理，，所以，⼜，则，所以，故答案为：B。

正弦定理练习题典型题(含答案)

正弦定理一1、在ABC ∆中，060A ∠=，6a =，3b =，则ABC ∆解的情况（）A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定2、在△ABC 中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为( ) A ．B ．2C ．2D ．43、在ABC △中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边,已知1,2a b ==，3cos 2A =，求角C ．4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ．（1）求角A 的值；（2）求sinB ＋sinC 的取值范围．5、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2csinA ．（1）求角C 的值；（2）若c=，且S △ABC =，求a+b 的值．参考答案1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】解：在ABC △中，3cos 2A =，得6A π=，又1,2a b ==，由正弦定理得sin sin a b A B=， ∴sin 2sin 2b A B a ==，又b a >，得4B π=或4B 3π=，当4B π=时，6412C ππ7π=π--=；当4B 3π=时，6412C π3ππ=π--=， ∴角C 为127π或12π． 4、【答案】（1）A ＝；（2）(，]．试题分析：（1）要求解，已知条件中有角有边，一般情况下我们可以利用正弦定理把边化为角的关系，本题acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，由正弦定理可化为sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，于是有sin()2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，而sin 0B ≠，于是1cos 2A =，3A π=；（2）由（1）23CB π=-，且203B π<<，2sin sin sin sin()3B C B B π+=+-，由两角和与差的正弦公式可转化为3sin()6B π+，再由正弦函数的性质可得取值范围. 试题解析：（1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ．从而sinB ＝2sinBcosA ．因为sinB ≠0，所以cosA ＝．因为0＜A ＜π，所以A ＝．（2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(－B)＝sinB ＋sincosB －cos sinB ＝sinB ＋cosB ＝sin(B ＋)．因为0＜B ＜，所以＜B ＋＜．所以sinB ＋sinC 的取值范围为(，]．考点：正弦定理，两角和与差的正（余）弦公式，正弦函数的性质.5、【答案】试题分析：（1）由a=2csinA 及正弦定理得sinA=2sinCsinA ，又sinA≠0，可sinC=．又△ABC 是锐角三角形，即可求C ．（2）由面积公式，可解得ab=6，由余弦定理，可解得a 2+b 2﹣ab=7，联立方程即可解得a+b 的值的值．试题解析：解：（1）由a=2csinA 及正弦定理，得sinA=2sinCsinA ，∵sinA≠0，∴sinC=．又∵△ABC 是锐角三角形，∴C=．（2）∵c=，C=， ∴由面积公式，得absin =，即ab=6.①由余弦定理，得a 2+b 2﹣2abcos=7，即a 2+b 2﹣ab=7.②由②变形得（a+b ）2=3ab+7.③将①代入③得（a+b ）2=25，故a+b=5.考点：正弦定理．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．正弦定理二1、在ABC ∆中，o 60A =，3a =2b =B 等于 ( )A. o 45B.o 135C. o 45或o 135D. 以上答案都不对2、在ABC ∆中，若ab c b a 2222+=+，则C =（）A ．030B ．0150C ．045D ．01353、在△ABC 中，若30A =，8a =，b =ABC S ∆等于（）A ．．．．4、设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5、已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且222a b c ab +-=（1）求角C（2）若3a c ==，求角A 的大小。

111正弦定理课后习题.doc

1.1.1正弦定理1.在厶ABC 中，若 sin 2A = sin 2B+sin 2C,则ZV1BC 的形状是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不能确定解析：用正弦定理可以将条件：sin 2/4 = sin 2B + sin 2C 化为a = h 2 + c 2,故此三角形是直角三角形.答案：B2・在△ABC 中，b=30, c=15, C=26°,则此三角形解的情况是（） A. 一解 B.两解 C.无解D.无法确定解析：因为b = 30, c= 15, 0 = 26°,所以少bsin C,又c<b,所以此三角形有两解.答案：B答案：B5.在ZV1BC 中，若 3 = 60。

，sinA=|, BC=2,贝\\ AC= ___________ 解析：根据正弦定理得AC = 答案：3羽A 兀 A.巨r 兀 B ・6 7171 C. 4D. 3解析：由正弦定理得孟 -• 所以 sinA_£,所以 A - 2 . Sill D Z3答案：D4.在厶ABC 屮，A = 60°f "-VH ‘ 则sinA + sinB+sinC'"」(A 座xx • 3B.警26^3 J 3D. 2^3a +b + c解木斤：由“一 2/?siii A, b 一 2/?sin B 、c - 27?sin C 付・▲・・“■ sin ti + sin csin A sin 60°3.在锐角△ ABC 中，角所对的边长分别为°、方.若2«sin B=血,贝I 」角A 等于（） )解析：••匕：方：c = 1 ： 3 ： 5, ••" = 3Q , c = 5G .由正弦定理得 sin B = 3sin A, sin C = 5sin2sin A - sin B 2sin 4 - 3sin 4 1 sin C 5sin A 5答案：-I7.己知厶ABC 中，A, B, C 的对边分别为a, b, c,若a=c=石+迈，且A=75。

正弦定理练习题

正弦定理练习题正弦定理练习题正弦定理是解决三角形问题中常用的重要定理之一。

它描述了三角形中边长和角度之间的关系，能够帮助我们求解未知的边长或角度。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固对正弦定理的理解和应用。

练习题一：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。

如果我们知道边长a和角度B，如何求解边长b呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和角度B已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：b = a*sinB/sinA练习题二：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。

如果我们知道边长a和b，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和b已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(A+B) = sin(180°-C)由此可得：C = 180° - (A+B)练习题三：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。

如果我们知道边长a、b和角度A，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a、b和角度A已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(180°-A-B) = sin(A+B)由此可得：C = A + B通过以上的练习题，我们可以看到正弦定理在解决三角形问题中的重要性。

它不仅可以帮助我们求解未知的边长或角度，还能够帮助我们理解三角形的性质和关系。

正弦定理练习题(经典)

正弦定理演习题【1 】1．在△ABC 中,A ＝45°,B ＝60°,a ＝2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.144．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( ) A.6B ．2C.3D. 26．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形8．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________.9．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________.10．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.11．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解．12 . 断定知足下列前提的三角形个数（1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解正弦定理1．在△ABC 中,∠A ＝45°,∠B ＝60°,a ＝2,则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.运用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ,求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C ＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°,由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中,a ,b ,c 分离是角A ,B ,C 所对的边,若A ＝105°,B ＝45°,b ＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°,由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.4．在△ABC 中,角A .B .C 的对边分离为a .b .c ,A ＝60°,a ＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不合错误a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22,又∵a >b ,∴B <60°,∴B ＝45°. 5．△ABC 的内角A .B .C 的对边分离为a .b .c .若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( )A.6B ．2 C.3D. 26sin120°＝2sin C, ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角,则C ＝30°,∴A ＝30°,△ABC 为等腰三角形,a ＝c ＝ 2.6．在△ABC 中,a ∶b ∶c ＝1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.7．在△ABC 中,若cos A cos B ＝b a,则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ,∴cos A cos B ＝sin B sin A, sin A cos A ＝sin B cos B ,∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B ,或A ＋B ＝π2. 8．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B ＝30°,则△ABC 的面积为( ) A.32B.34 C.32或3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ,求出sin C ＝32,∵AB ＞AC , ∴∠C 有两解,即∠C ＝60°或120°,∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 9．在△ABC 中,角A .B .C 所对的边分离为a .b .c ,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C, 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ,∴A ＜C ＝π3,∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中,已知∠A ＝30°,∠B ＝120°,b ＝12,则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°,∴a ＝c ,由a sin A ＝b sin B 得,a ＝12×sin30°sin120°＝43,∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c ＝2,则此三角形有________组解．解析：∵Bb Cc sin sin =,有B sin 3430sin 2=︒,得sinB=13＞ ∴此三角形无解．答案：0一,二,二,无。

正弦定理练习题及答案1-1-3学生

2018/3/7星期三正弦定理练习题及答案1-1-3
班级______姓名______
一、填空题：
1．在△ABC中，已知a、b和角A，若角A为锐角，则当满足条件_______________时，三角形有两解;
2．在△ABC中，已知a、b和角A，若角A为直角，则当满足条件_______________时，三角形无解;
3．在△ABC中，已知a、b和角A，若角A为钝角，则当满足条件_______________时，三角形无解;
4．在△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，且∠A＝120°，a＝23，b＝4，那么满足条件的△ABC的个数为________个．
二、选择题
5．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是
() A．x>2 B．x<2 C．2<x<2 2 D．2<x<2 3
6．在△ABC中，a＝λ，b＝3λ，∠A＝45°，则满足此条件的三角形个数是
() A．0 B．1 C．2 D．无数个
三、解答题
7．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，∠A＝105°；
(2)a＝10，b＝20，∠A＝80°；
(4)a＝23，b＝6，∠A＝30°.
8．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.。

正弦定理练习题(打印版)

正弦定理练习题（打印版）
# 正弦定理练习题
## 一、选择题
1. 在三角形ABC中，已知a=3，b=4，c=5，求角A的正弦值。

A. 1/3
B. 1/4
C. 1/5
D. 2/5
2. 若三角形ABC的内角A、B、C的正弦值分别为sinA、sinB、sinC，且a=5，b=7，c=8，求sinC。

A. 3/4
B. 4/5
C. 5/8
D. 8/7
## 二、计算题
1. 在三角形ABC中，已知a=7，b=8，A=45°，求B和C的度数。

2. 已知三角形ABC的边长分别为a=5，b=7，c=6，求角A的正弦值。

## 三、证明题
1. 证明：在任意三角形ABC中，如果a=b，那么sinA=sinB。

2. 证明：在三角形ABC中，如果sinA+sinB+sinC=2，那么三角形ABC 是直角三角形。

## 四、应用题
1. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，求这个三角形的面积。

2. 在三角形ABC中，已知b=8，c=10，B=60°，求边长a。

## 五、综合题
1. 已知三角形ABC的边长a，b，c和对应的角A，B，C，求证：
a/sinA = b/sinB = c/sinC。

2. 在三角形ABC中，已知a=9，b=12，C=90°，求角A和B的度数以及三角形ABC的面积。

注意：请在解答时，确保计算过程清晰，步骤合理，结果准确。

正弦定理练习题及答案1-1-1

正弦定理第1课时一、选择题 1．(2009·福建)已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° [答案] B[解析] 由题意，得12×4×3sin C ＝33，∴sin C ＝32，又0°<C <90°，∴C ＝60°.2．在△ABC 中，已知(b ＋c ) ∶ (c ＋a ) ∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 [答案] B[解析] 设b ＋c ＝4x ，c ＋a ＝5x ，a ＋b ＝6x (x >0)，从而解出a ＝72x ，b ＝52x ，c ＝32x .∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3. 3．在△ABC 中，a ＝10，B ＝60°，C ＝45°，则c 等于( )A ．10＋ 3B ．10(3－1)C ．10(3＋1)D ．10 3 [答案] B[解析] A ＝75°，sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝6＋24，c ＝a sin C sin A ＝10×sin45°sin75°＝10(3－1)．4．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( )A ．a >b sin AB ．a ＝b sin AC ．a 2B ．x <2C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3 [答案] C[解析] 由题设条件可知⎩⎨⎧x >2x sin45°<2，∴2<x <2 2.6．在△ABC 中，a ＝λ，b ＝3λ，∠A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个[答案] A[解析] ∵a ＝λ<b sin45°＝3λ×22＝62λ，∴无解．故选A. 7．△ABC 中，a ＝2，b ＝2，B ＝π6，则A 等于( )A.π3B.π4C.π4或3π4D.π3或2π3 [答案] C[解析] a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝22，∴A ＝π4或A ＝3π4，又∵a ＞b ，∴A ＞B ，∴A ＝π4或3π4，∴选C.8．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.833B.2393C.2633D ．2 3[答案] B[解析] 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 二、填空题9．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝2.则此三角形的最小边长为__________． [答案] 23－2 [解析] ∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝75°，∴最小边为c ，由正弦定理，得b sin B ＝csin C，∴2sin75°＝c sin45°，又∵sin75°＝sin(45°＋30°) ＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴c ＝2×sin45°sin75°＝2×226＋24＝23－2.10．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝________.[答案] 54[解析] 由正弦定理，得a b ＝sin Asin B，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.11．(2009·珠洲高二检测)在△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，且∠A ＝120°，a ＝23，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的个数为________个．[答案] 0[解析] ∵a ＝23，b ＝4，∴a 120°(这显然不可能)， ∴满足条件的三角形不存在．12．已知a 、b 、c 是△ABC 中的∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则C ＝________.[答案] 60°或120°[解析] S ＝12ab sin C ，a ＝4，b ＝5，S ＝5 3.∴sin C ＝32.∵C 为△ABC 的内角，∴C ＝60°或120°.三、解答题13．已知△ABC 中，BC ＝a ，AB ＝c ，且tan Atan B ＝2c －b b，求A .[解析] 由已知条件及正弦定理可得sin A cos A ·cos Bsin B ＝2sin C －sin B sin B，化简整理得 sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos A ， ∴sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C (1－2cos A )＝0，∵sin C ≠0，∴1－2cos A ＝0，cos A ＝22，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°. 14．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a ＝7，b ＝8，∠A ＝105°； (2)a ＝10，b ＝20，∠A ＝80°； (3)b ＝10，c ＝56，∠C ＝60°； (4)a ＝23，b ＝6，∠A ＝30°. [解析] (1)∵a ＝7，b ＝8， ∴a 90°，∴无解． (2)a ＝10，b ＝20，a 20·sin60°＝103， ∴a <b ·sin A ，∴无解．(3)b ＝10，c ＝56，b <c ，∠C ＝60°<90°，∴有一解．∵sin B ＝b sin C c ＝10·sin60°56＝22，∴∠B ＝45°，∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝75°.∴a ＝b sin A sin B ＝10·sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．(4)a ＝23，b ＝6，a b sin A ，∴有两解．由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝6sin30°23＝32，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝90°， c ＝a sin C sin A ＝23sin90°sin30°＝43；当∠B ＝120°时，∠C ＝30°， c ＝a sin C sin A ＝23sin30°sin30°＝2 3.15．(2009·全国Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B . [解析] 由cos(A －C )＋cos B ＝32及B ＝π－(A ＋C )得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，∴cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝32，∴sin A sin C ＝34.又∵b 2＝ac ，由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C ，∴sin 2B ＝34，∴sin B ＝32.∴B ＝π3或2π3.若B ＝2π3时，边b 为最大边，∴b >a ，b >c ，∴b 2>ac 这与已知b 2＝ac 矛盾，∴B ≠2π3.故B ＝π3.16．(2008·宁夏、海南文)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值；(2)求AE .[解析] (1)∵∠BCD ＝90°＋60＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°.sin30°＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理，得 AE sin ∠ABE ＝ABsin ∠AEB ，即AE sin(45°－15°)＝2sin(90°＋15°)，故AE ＝2sin30°cos15°＝2×126＋24＝6－ 2.17．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．[解析] 设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .由tan B ＝3得，B ＝60°，∴sin B ＝32，cos B ＝12.又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223.由正弦定理，得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝36＋23，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×36×8×(36＋23)＝62＋8 3.。