第七讲散射一、散射截面

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第七讲散射一、散射截面

（3-5）
为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数
Al kAl,
l l l 2
将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在 r 情形下通解的渐近形式
( r , ) r
l 0

Al 1 sin kr l l Pl (cos ) kr 2
分别比较等式两边 e
ikr
1
1
和e
ikr
前边的系数，即得
1 i l l 2 l 0
Ae
l 0 l

1 i ( l l ) 2
Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)i e
Pl (cos )
（3-11）
Ae
l 0 l
1 i ( l l ) 2
弹性散射，否则称为非弹性散射。
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。散射截面：
设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然 ds dn 2 d r dn N

i 2 l
Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)Pl (cos )
l 0

1 i 2 l f ( ) ( 2 l 1 ) ( e 1) Pl (cos ) 2ik l 1

第七章量子散射理论

r →∞ eikz → ∑ (2l + 1)ii l ⋅ l =0
∞
1 1 sin k r − lπ Pl (cos θ ) 2 kr
（2）两个散射波表达式联立比较确定 f (θ )
116
∑ kr
l
Al
sin(kr − lπ 2 + δ l ) Pl (cos θ ) = ∑ (2l + 1)ii l ⋅
114
dn =
u A f (θ ,ϕ ) 2 r
2
d S = u A f (θ ,ϕ ) 2 d Ω
这也就是单位时间内散射到立体角 d Ω 中的粒子数。上式中 u 为粒子速度。又由于入射粒子流密度 J
J = A 2u
可得散射微分截面为
σ (θ ,ϕ ) =
dn = f (θ ,ϕ ) 2 J dΩ
所以，整个问题的关键是取散射振幅 f (θ , ϕ ) 。求解散射问题有很多方法：如分波法、格林函数法、波恩近似法等，但每种方法都有其适用范围。另外，在轴对称时，散射振幅与 ϕ 无关。 f (θ , ϕ ) → f (θ ) 。轴对称二、分波法分波法是在中心力场作用下粒子散射截面一个普遍计算方法。 1、物理思想（1）入射波为平面波，其按守恒量的本征态展开为
dn = σ (θ ,ϕ ) J d Ω
σ (θ ,ϕ ) =

散射概念

1 1
Al i (kr− 2lπ +δl ) −i (kr− 2lπ +δl ) =∑ [e −e ]P (cosθ ) l l =0 2ikr
另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数
eikr ψ (r,θ )r → ∞ e + f (θ ) r
ikz
∞
（3-6）
（3-7）
将平面波 e ikz 按球面波展开
1
（3-9）
eikr ∞ (2l + 1)i l i ( kr− 2lπ ) −i ( kr− 2lπ ) ψ (r,θ )r → ∞ f (θ ) +∑ [e −e ]PL (cosθ ) r l =0 2ikr
1 1
（3-10）
（3-6）和（3-10）两式右边应相等，即
1 −i ( kr − lπ +δ l ) Al i ( kr − 1 lπ +δl ) ∑ 2ikr[e 2 − e 2 ]Pl (cosθ ) l =0 ∞
δl的物理意义：的物理意义：
由（3-8），（3-9）知， kr − 1 l π 是入射平面波的第 2
l 个分波的位相；由
1 （3-6）知， kr − l π + δ l 是散射波第l个分波的位相。所以，δl是入射波经 2
散射后第l个分波的位相移动（相移）。

散射理论[1]

散射的描述：可以用势散射描述，也可用其他的形式（如轨道与自旋相互作用描述）说明：本章仍是属于定态及非束缚态的范畴。散射的物理过程是，一束入射粒子沿一定方向行进，在某一区域受到另一靶核粒子（散射中心）的作用，使入射粒子偏离原来运动方向，实验上我们在远离散射区的各个方向对粒子出现的几率进行探测。我们关注的是弹性散射，散射的核心是散射截面------本章的重点。
这也是入射粒子流强度即N的值。散射波的几率流密度是：
2 i i ik v 2 ik 2 2 Jr [ 2 2 ] f ( , ) 2 2 2 f ( , ) . 2 r r 2 r r r
它表示单位时间内穿过球面单位面积上的粒子数。
4 U (r )r sin(Kr)dr; K 0
4 即 q( ) 2 2 K
2 2
0

0
0
rU (r ) sin( Kr )dr
0
;
若势能U (r )已知，由此式可算出微分散射截面。
结束语
一、量子力学的基本原理 1、微观体系的状态由波函数ψ所完全描写，归一化的波函数ψ的模平方给出了t时刻在（x,y,z)处找到粒子的几率密度。波函数有不定常数相因子；波函数一般是单值、连续和有限的。在量子力学中的状态之所以采用这种描写方式，是由于微观粒子具有波粒二象性；一切实物粒子都具有波粒二象性即德布罗意原理是量子力学的思想基础；

弹性散射,非弹性散射 s分波的微分散射截面第七章散射理论

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在出射波边界条件下的自由粒子格林函数； (2) 写出一个沿正 x 方向的入射波能量本征函数所满足的积分方程，并在玻恩近 V0 ( x a/2) 似下求势能为 V(x) 的反射概率. 讨论 E 在什么范围取值时，所 0 ( x a/2) 采用的近似准确度较高.
2. 设有某种球对称电荷分布，电荷密度为ρ(r) ，具有下述性质：r→∞ ，ρ(r) 迅速趋于零： d 3 x (r) 0, (r)r 2 dr A, 今有一束质量为 m ，电荷 e，动量为 p k 的粒子，沿 z 轴方向入射. 受这个电荷分布产生的静电场作用而发生散射，试用一级玻恩近似计算向前散射(θ=0)的微分截面.
第七章散射理论
一、概念与名词解释 1. 弹性散射，非弹性散射二、计算 1. 粒子受到势场 U(r)=α/r 2 散射，求 s 分波的微分散射截面. 2. 慢速粒子受到势能为 U(r)=α/r 4 的场散射，求 s 分波的散射截面. 3. 用玻恩近似法求粒子在势能 U(r)=U0exp(- α2 r2) 的场中散射时的散射截面. 4. 用玻恩近似法求粒子被势场 U(r)=U0exp(-r/a) 散射时的微分散射截面. 5. 用玻恩近似法求粒子在势场 U(r)= α/r 2 (α>0)中散射的微分散射截面. Ze 2 /r - r/b (r a) 6. 用玻恩近似法求粒子在势能为 U(r) b a 2 /Ze 2 的场中散射 (r a), 0 时的微分散射截面. 7. 考虑中子束对双原子分子 H2 的散射. 中子束沿 z 方向入射，两个氢原子核位于 x=+a 处 . 中子和电子无相互作用，中子与氢原子核即质子之间的短程作用可取为试用玻恩近似计算散 V( r ) -V0 [ (x - a) (y) (z) (x a) (y) (z)]. 不考虑反冲，射振幅及微分截面. 8. 若散射势是定域可分离势 r ' V r ' ' v(r)v(r' ), 写出并求解ψ(+) 的积分方程，求散射振幅和这种势场下的玻恩近似. 三、综合题 1. 考虑一个质量为 m 的粒子在一维势 V(x) 上的散射. (1) 证明 G E (x) 1 eikx dk 是能量为 E 的与时间无关的薛定谔方程 2 - E - 2 k 2 /2m i

散射一散射截面

Rl (r)Ylm ( , ) 由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成
Rl (r)Pl (cos )
方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加
(r, ) Rl (r)Pl (cos )
l
（3-2）
Rl(r)为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，Rl (r)Pl (cos ) 称为第l个分波，通常称l=0,1,2,3…的分波分别为s, p, d, f…分波
对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在r 处的粒子的波函数
应为入射波和散射波之和。方程（8）有两个特解
(r, , ) f ( , )eikr
(r, , ) f ( , )eikr
因此，
2 (r, ,)
f ( , ) eikr
r
2 (r, ,)
f ( , ) eikr r
2 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 2 代表向散射中心会聚的球面波，
d
2U l (r dr 2
)
k
2U
l
(r
)
0
由此求得： U l (r) Al sin(kr l)
Rl
(r)r
Al kr
sin kr
1 2
l
l
（3-5）
为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数
Al kAl,
l

第七讲散射理论

一、散射现象的一般描述

1、什么是散射？

简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：

粒子流

散射中心

如：原子物理中的α粒子散射实验。 2、散射的分类：

弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。

在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。 3、散射的经典力学描述

从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）

b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。例如在α粒子的散射实验中，有

cot 422M b Ze θ

υπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系）那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：

凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体

之中。环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。且

401

()()4sin 2

Ze d d M σθπευΩ

= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。

设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即

散射截面的量纲

散射截面（Scattering Cross Section）是物理学中用来描述散射过程中粒子与目标之间相互作用的一个物理量。它的量纲是面积（面积的量纲是长度的平方）。通常，散射截面以平方米（m²）或其他等效单位来表示。

散射截面的物理意义是，它告诉我们在特定散射过程中，如果粒子出现在特定位置，与目标相互作用的可能性有多大。因此，它可以看作是一个概率或交互面积的度量。

散射截面的大小取决于多种因素，包括入射粒子的能量、散射角度、目标的性质等。不同类型的粒子和目标可能具有不同的散射截面，这是研究核物理、粒子物理、原子物理和散射现象的重要参数。

第7章散射理论

第七章散射理论

本章介绍：前面讨论了薛定谔方程中的束缚态问题。而对于能量连续的散射态，能级间隔趋于零，因此一般说来，不能用微扰论来处理。另一方面，微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究，对于了解许多实验现象十分重要，所以，建立一套散射理论无论从实验上看，还是使理论更加完善上看，都是完全必要的。本章将分别就弹性散射和非弹性散射，按入射粒子的能量高低，分别建立不同的散射理论，并介绍了分波法和玻恩近似两种处理散射问题的近似方法。

7.1 散射截面

在经典力学中，弹性散射是按照粒子在散射过程中，同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。在量子力学中，一般说来，除非完全略去粒子之间的相互作用势能，否则，动量将不守恒。因此，在量子力学中，不可能按经典力学的公式来定义弹性散射。在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动量交换，粒子由内部运动状态决定，则这种碰撞过程成为弹性散射。如果在散射过程中粒子内部运动状态有所变化，如激发、电离等则称为非弹性散射。本章只讨论弹性散射问题。

考虑一束入射粒子流向粒子A 射来，取粒子流入射方向为z 轴。A 为散射中心。为讨论方便起见，假定A 的质量比入射粒子大得多，由碰撞引起的A 的运动可以忽略。

应当指出，散射过程是两体问题。因为它涉及两个互相散射的粒子。对于两体问题，最好的处理方法是采用质心坐标系。因为在质心坐标系中，一个两体问题将被归结为一个粒子因为与质心的相互作用而被散射。另一粒子的运动可对称给出。从而归结为单体问题。如果散射中心粒子A 的质量比入射粒子大得多，可以认为质心就在A 上，这样就使问题处理简单多了。

散射理论ppt课件

散射理论
Maxwell 方程组

光波是电磁波，光波在介质中的传播与介质的特性有关，并且服从 Maxwell 电磁场方程。因此，光波在介质中的传播规律。 Maxwell方程组：
H E , D t E H J ， B 0 t
物质方程： D E r 0 E , B H r 0 H J E 边界条件： n ( D1 D2 ) , n ( E1 E 2 ) 0 n ( B1 B2 ) 0, n ( H 1 H 2 )

散射振幅函数为：
2l 1 S1() (all b ll ) ) l 1 l(l 1

2l 1 S2() (all b ll ) ) l 1 l(l 1 其中 a l 和 b l 为Mie系数，它们与球形颗粒的大小、颗

粒的形状和介质的折射率有关。 l , l 是与散射角有关的函数，其表达式为：

（3）吸收截面将颗粒在单位时间内吸收的光能量用单位时间内投射到某一面积上的能量来描述，该面积C abs 即为吸收截面。（4）吸收系数吸收截面与颗粒迎着光传播方向的投影面积之比即为吸收系数。于是有 C E / I , K E / I S abs abs 0 abs abs 0 p
E E exp( k x ) exp[ i ( k x t )] 0 I R

散射理论

利用数学知识将平面波 eikz 按球面波展开（公式见梁昆淼
r2
r2
f ( ,) 2
也是散射波的粒子流密度，它表示单位时间内穿过垂直
径向的单位球面面积的粒子数，所以单位时间穿过球面积 dS
的粒子数是：
dn
J r dS
v r2
f ( ,) 2 dS v f ( , 2 d N f ( , 2 d
（9）
与 q( ,) 的定义（1）式 dn q(,)Nd 比较得 q( ,) f ( ,) 2 ，
弹性散射：入射粒子与靶粒子只有动能交换，内部结构状态并无变化（此时体系的机械能守恒，本书只讲此种情况）。
非弹性散射：粒子内部状态有所改变（如原子的电离或激发，核与粒子的激发），系统的机械能部分地变成粒子的内能。
二、散射截面 1. 散射中心：设靶粒子 A 的质量远大于入射粒子的质量，形成所谓固定的散射中心，A 称为散射中心。
3、重要性：（1）研究散射现象，可以揭示粒子的性质和粒子间的相互作用，
如卢瑟福原子核模型，大角散射要求力场很强，必须由核模型提供这样的力场。（2）研究粒子碰撞可揭示粒子结构、核结构和核力等。散射是研究物质和作用力性质的重要方法。
4、复杂性：散射问题的薛定谔方程很少能严格求解，多数用近似方法，根
概率流密度=入射粒子流密度，这是因为每单位体积内只有一个粒子。

散射散射截面

即
(r)r Aeikz f ( ,) eikr
（9）
r
为方便起见，取入射平面波 eikx的系数A=1，这表明 | 1 |2 1 ，入射粒子束单
位体积中的粒子数为1。入射波几率密度（即入射粒子流密度）
Jz

i 2
1

* 1
z
1*
1 z

（4）
令
k2

2E 2
V
(r)

2 2
U (r)
方程（4）改写为
2 [k 2 V (r)] 0
（5）
由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为r 。因此，在计算时q( ,) ，仅需考虑 r 处的散射粒子的行为，即仅需考虑 r
三、分波法
讨论粒子在中心力场中的散射。粒子在辏力场中的势能为U (r)，状态方程
Байду номын сангаас
2 [k 2 V (r)] 0
（3-1）
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照§3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为
Rl (r)Ylm ( , ) 由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成
知道了散射振幅 f ( ,) ，也就能求出微分散射截面，f ( ,) 的具体形式通过求 schrödinger方程（5）的解并要求在 r 时具有渐近形式（9）而得出。

量子力学知识：量子力学中的散射理论

导言

量子力学是20世纪物理学的一项伟大成就，是描述微观世界的理

论基础。其中散射理论是量子力学的重要内容，能够解释许多实验现象。本文将介绍散射理论的概念、基本原理、散射截面、碰撞、应用

等方面。

概念

散射是指由一个物体向一些其他物体发射，进而产生反射、衍射、透射、吸收等效应过程。量子力学中的散射则是指一束微粒照射到一

个势能中心区域时，微粒被分为散射波和反射波，散射波随机在空间

中波动，而反射波则继续绕过障碍物。

基本原理

量子散射是基于量子力学的。通过波函数解决薛定谔方程，再将

波函数用于量子散射中，使得我们可以准确预测原子和分子的行为，

以及它们如何响应磁场和电场。散射振幅则是散射概率振幅的实部和

虚部的和。它是散射过程中非常有用的物理量，可以用于计算散射截面等性质。

散射截面

散射截面是描述反应物粒子与靶层粒子之间相互作用的物理量。在量子力学中，散射截面表示为σ。散射截面是所有粒子散射实验的重要参数。具体而言，散射截面是由横截面积和投射的概率因子组成的。高散射截面表示更多的散射事件即发生了更多的碰撞，反之则表示相对较少的碰撞。

碰撞

散射理论的另一方面是描述粒子之间的碰撞，并称为量子碰撞理论。在量子碰撞理论中，与散射理论类似，利用波函数解决薛定谔方程，预测粒子的行为以及它们如何响应磁场和电场。但与散射理论不同的是，碰撞理论还考虑了粒子之间的相互作用。从传统物理的角度来看，在碰撞过程中，质量和速度非常关键。但是在量子力学中，位置和动量更重要。

应用

散射理论在许多领域都有着非常广泛的应用，其中最流行的应用之一就是物质分析。例如，在质谱仪（Mass Spectrometers）中，它们利用这种技术评估高斯束的真实大小以及其他参数。同样，医疗科学也可以使用散射理论技术，例如用于放射治疗。

散射

1 i ( kr l l ) 2 1 i ( kr l l ) 2
分别比较等式两边 e 和 e
ikr
ikr
前边的系数，得
20
三、分波法 (续6)
Chapter.6 .Scattering
Ae
l 0 l
l 0 l

1 i ( l l ) 2
Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1) i e
Chapter.6 .Scattering
Chapter.6
散
射
scattering
1
一
散射截面
Chapter.6 .Scattering
散射过程：方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。靶粒子的处在位置称为散射中心。
ikx
方程（8）有两个特解
(r, , ) f ( , )e
ikr
(r, , ) f ( , )e ikr
10
二、散射振幅 (续4)
ikr
Chapter.6 .Scattering
e 2 (r , , ) f ( , ) 因此 r ikr e 2 (r , , ) f ( , ) r 2 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 2 代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。在 r 处，散射粒子的波函数是入射平 1 eikz 和球面散射波 2 之和。即面波

散射讲义

下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法——分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。
三、分波法
讨论粒子在中心力场中的散射。粒子在辏力场中的势能为U (r)，状态方程
2 [k 2 V (r)] 0
（3-1）
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照§3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为
（3-2）代入（3-1），得径向方程
1 r2
d dr
r 2
dRl dr
k 2
V (r)
l
(l r2
1)
Rl
(r
)
0
令
Rl
(r)
Ul (r) r
，代入上方程
（3-3）
d 2U l dr 2
k 2
V
(r)
l
(l r2
1)
U
l
(r
)
0
（3-4）
考虑方程（3-4）在 r 情况下的极限解，令 r 方程（3-4）的极限形式
(r, )r
l0
Al kr
sin kr
1 2
l
l
Pl
(cos
)
l0
A [e l
i
(
kr
1 2
l
l

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（3-14）
可见，求散射振幅f()的问题归结为求 l ，求l的具体值关键是解径向波函数 R(r)的方程（3-3）
l的物理意义：
1 k r l 是入射平面波的第 l 个分波的位相；由由（3-8），（3-9）知， 2 1 k r l l 是散射波第l个分波的位相。所以，l是入射波经（3-6）知， 2
2 | f ( , ) |2 r
（11）
单位时间内，在沿( , ) 方向d立体角内出现的粒子数为
dn J r ds | f ( , ) | 2

r
2
ds | f ( , ) | 2 Nd
（12）
比较（1）式与（12），得到
q ( , ) | f ( , ) | 2
（3-5）
为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数
Al kAl,
l l l 2
将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在 r 情形下通解的渐近形式
(r , )r
l 0

Al 1 sin kr l l Pl (cos ) kr 2
（13）
由此可知，若知道了f ( , )，即可求得 q( , ) ，f ( , ) 称为散射振幅，所以，对于给定能量的入射粒子，速率 v 给定，于是入射粒子流密度N= v 给定，只要知道了散射振幅 f ( , ) ，也就能求出微分散射截面，f ( , ) 的具体形式通过求 schrö dinger方程（5）的解并要求在 r 时具有渐近形式（9）而得出。
1 1
分别比较等式两边 e
ikr
和e
ikr
前边的系数，即得
1 i l 2 l 0
Ae

1 i ( l l ) 2
Ae
l 0 l
l 0
l
Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)i l e
Pl (cos )
（3-11）
1 i ( l l ) 2
Pl (cos ) (2l 1)i e
l l 0

1 i l 2
Pl (cos )
（3-12）
用 Pl (cos ) 乘以（12）式，再对从 0 积分，并利用Legradrer多项式的正交性

0
Pl (cos )Pl (cos ) sin d
1 i ( l l ) 2
故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q(， )，则单位时间内通过此截面q(，)的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。
q( , ) N
总散射截面：
dn d

0
（2）
Q q( , )d

2 0
2 k 2 0
令
（6）（7）

r
将（6）式写成 ˆ 2 2 L2 k 2 0 2 r r 在 r 的情形下，此方程简化为
2 k 2 0 r 2
（8）
此方程类似一维波动方程，我们知道：对于一维势垒或势阱的散射情况
综合之，则有： dn Nd 或
dn q( , ) Nd
（1）
比例系数q(，)的性质： q(， )与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是，的函数。 q(，)具有面积的量纲
dn [q] L2 Nd
位体积中的粒子数为1。入射波几率密度（即入射粒子流密度）
i 1* 1 Jz 1* 1 2 z z i (ik 1 1* ik 1* ) 2

k

N
（10）
散射波的几率流密度
* i 2 * 2 2 Jr 2 2 r r
第七讲散射
一、散射截面
散射过程：方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。靶粒子的处在位置称为散射中心。
ds θ
Z
散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。
弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称
(r , , ) f ( , )e ikr
e ikr 因此， 2 (r , , ) f ( , ) r e ikr 2 (r , , ) f ( , ) r
2 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 2 代表向散射中心会聚的球面波，
Al i ( kr 1 l l ) i ( kr 1 l l ) 2 [e 2 e ]Pl (cos ) l 0 2ikr
另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数
e ikr (r , )r e f ( ) r
ikz

（3-6）
1 1
（3-10）
（3-6）和（3-10）两式右边应相等，即
i ( kr l l ) Al i ( kr 2 l l ) 2 e ]Pl (cos ) 2ikr[e l 0 1 1
e ikr (2l 1)i l i ( kr 2 l ) i ( kr 2 l ) f ( ) [e e ]PL cos r l 0 2ikr
(r, ) Rl (r ) Pl (cos )
l
（3-2）
Rl(r)为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，Rl (r ) Pl (cos ) 称为第l个分波，通常称l=0,1,2,3…的分波分别为s, p, d, f…分波（3-2）代入（3-1），得径向方程
1 d 2 dRl 2 l (l 1) r k V (r ) 2 2 Rl (r ) 0 r dr dr r
（3-3）
令 Rl (r ) U l (r ) ，代入上方程
r
d 2U l 2 l (l 1) k V (r ) 2 2 U l (r ) 0 dr r
（3-4）
考虑方程（3-4）在 r 情况下的极限解，令 r 方程（3-4）的极限形式 d 2U l (r ) k 2U l (r ) 0 dr 2 由此求得： U l (r ) Al sin(k r l) A 1 Rl (r )r l sin kr l l kr 2
q( , ) sindd
（3）
[注] dn 由（2）式知，由于N、可通过实验测定，故而求得 q( , ) 。
d
量子力学的任务是从理论上计算出 q( , )，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。
二、散射振幅
现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态schrö dinger方程 2 2 U (r ) E （4） 2
（3-7）
将平面波 e ikz 按球面波展开
e e
ikz
ikr cos
(2l 1)i l jl (kr) Pl (cos )
l 0
1 ( kr) r 2

（3-8）
式中jl(kr)是球贝塞尔函数
jl (kr) 2kr J
l
1 1 sin kr l kr 2
(2l 1)(2l 1)e
散射后第l个分波的位相移动（相移）。
ห้องสมุดไป่ตู้
微分散射截面
1 2 q ( ) | f ( ) | (2l 1) Pl (cos )e i l sin l k l 1
总散射截面
2
（3-15）
Q q ( )d 2 q ( ) sin d
2 2 k 2 2 k
令
k2
2E 2
2 V (r ) 2 U (r )
方程（4）改写为
2 [k 2 V (r )] 0
（5）
由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为r 。因此，在计算时 q( , ) ，仅需考虑 r 处的散射粒子的行为，即仅需考虑 r 处的散射体系的波函数。 V r 时， (r ) 0 ，方程（5）变为设
2 ll 2l 1
1 i l 2
可以得到
Al e
(2l 1)i e
l
即 Al (2l 1)i l e i l (2l 1)e
1 i ( l l ) 2
（3-13）
将此结果代入（3-11）式
(2l 1)e
l 0

i 2 l
Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)Pl (cos )
k x Aeikx Be ikx
k x ce ikx
式中 e 为入射波或透射波， e ikx 为散射波，波只沿一方向散射。对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在r 处的粒子的波函数应为入射波和散射波之和。方程（8）有两个特解
ikx
(r , , ) f ( , )e ikr
不是散射波，应略去。在 r 处，散射粒子的波函数是入射平面波 1 e ikz 和球面散射波 2 之和。即 e ikr ikz (r )r Ae f ( , ) （9） r
e ikx 的系数A=1，这表明 | 1 | 2 1 ，入射粒子束单为方便起见，取入射平面波
1
i ( kr l ) i ( kr l ) 1 2 2 [e e ] 2ikr 利用（3-8），（3-9），可将（3-7）写成
1
（3-9）
e ikr (2l 1)i l i ( kr 2 l ) i ( kr 2 l ) (r , )r f ( ) [e e ]PL (cos ) r 2ikr l 0
弹性散射，否则称为非弹性散射。
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。散射截面：
设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然
dn
ds d 2 r
dn N
l 0

1 f ( ) (2l 1)(e i 2 l 1) Pl (cos ) 2ik l 1
1 (2l 1)e i l (e i l e i l ) Pl (cos ) 2ik l 1
1 (2l 1)e i l sin l Pl (cos ) k l 0
下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法——分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。
三、分波法
讨论粒子在中心力场中的散射。粒子在辏力场中的势能为U (r )，状态方程
2 [k 2 V (r )] 0
（3-1）
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照§3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为 Rl (r )Ylm ( , ) 由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成 Rl (r ) Pl (cos ) 方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加

第七讲 散射 一、散射截面