第10章力法

第 10 章
力 法
§10.9 温度变化和支座移动时 超静定结构的内力
超静定结构有多余约束。 超静定结构在没有荷载作用时，只要有发 生变形的因素，如支座移动、温度变化、 材料收缩、制造误差等，都可以产生内力， 自内力。 这种内力称为自内力 自内力
在某些结构中自内力甚至超过活载内力 自内力甚至超过活载内力！ 自内力甚至超过活载内力 思考：混凝土上缘 上缘开裂还是下缘 下缘开裂？ 思考 上缘 下缘
自由项： ∆ it = ∑ N iαtl + ∑
力法典型方程
h
α∆t
∫ M ds
i
（续）
温度变化在静定基上不产生内力，最后内力仅由 多余力引起。据叠加法，最后内力：
M = M1 X1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 温度变化，求位移时，须加上温度变化在静定基 上引起的位移（与内力产生的弹性变形叠加）：
M = M1 X1 + M 2 X 2 + M 3 X 3
求原结构某位移 某位移时，须加支座移动对位移的影响 须加支座移动对位移的影响。 某位移 须加支座移动对位移的影响 公式： 公式 ∆ K = ∑ ∫ M K Mds + ∆ Kc , 其中 ∆ Kc = −∑ RK c
EI
（算例） 算例）
（续）
悬臂 ∆ Kc = − 简支 ∆ Kc
∑R c = 0
a = −∑ R c = 2
（续）
沿 X i 方向的位移条件校核 位移条件校核式： 位移条件校核 荷载作用
∆i = ∑ ∫ MiM ds = 0 EI
温度变化
其中
MiM ∆i = ∑ ∫ ds + ∆ it = 0 (或位移已知值） EI ∆t ∆ it = ∑ α ∫ M i ds + ∑ αt0 ∫ N i ds h MiM ds − ∑ Ri c = 0 (或位移已知值） EI
支座移动 ∆ i = ∑ ∫
（续）
计算超静定结构位移的一般公式 计算超静定结构位移的一般公式： 一般公式
（当三种外因 三种外因同时作用时） 三种外因
MM NN QQ ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ k ds + EI EA GA α∆t +∑∫M ds + ∑ ∫ N αt0 ds − ∑ R c h
■
温度变化时， 温度变化时，超静定刚架算例：
（续）
解：（1）温度变化分析：
（2）取力法基本体系如左图； （3）列力法基本方程：
（4）计算系数和自由项：
（5）解方程： 得
（续）
（6）作内力图
注意： 注意：
（1）温度变化引起的内力与杆件 EI成正比。 温度变化引起的内力与杆件 成正比 成正比。 （2）弯矩图的纵坐标出现在降温面一侧（出现拉应力）。 弯矩图的纵坐标出现在降温面一侧（出现拉应力）。 弯矩图的纵坐标出现在降温面一侧
§10.9.2 支座移动时的内力计算
支座移动在超静定结构中将产生内力。 支座移动在超静定结构中将产生内力
• 原因 原因：超静定结构受结构变形牵制，产生支座反 刚体位移， 力，同时产生内力。而静定结构仅发生刚体位移 刚体位移 不产生弹性变形和内力
（续）
力法分析支座移动，与其它外因比较 力法分析支座移动，与其它外因比较：
（续）
t1 t1 t2 t1 t1 t1 t2
X3
t1
X1 X2
δ11 X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1t = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2t = 0 δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3t = 0
解：（1）选取力法基本体系，如图b；
（2）列力法基本方程 （3）计算系数和自由项
（4）解方程 （5）作内力图，如图e、图f。（由
得 ）
（续）
思考：如何求该超静定梁跨中挠度 思考 如何求该超静定梁跨中挠度？ 如何求该超静定梁跨中挠度
l 2
P =1
C
M图
MM ∆C = ∑ ∫ ds − ∑ R c EI 1 1 l l 5 3EIθ 3 l =− ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ − ( − × θ ) = lθ EI 2 2 2 6 l 2 16
典型方程的自由项不同；
h
X1
X2
B X3
A
B
A
l
a
ϕ
b
基本体系
三次超静定结构，取简支刚架为基本结构。
（续）
力法典型方程为： 力法典型方程
δ11 X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1c = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 c = −ϕ δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3c = −a
M = M1 X1 + M P 跨中挠度：
M = M1 X1
跨中挠度：
M = M1 X1
跨中挠度：
MM ∆K = ∫ dx EI
l 2
P =1
M
MM dx + ∆ Kt EI α∆t ∆ Kt = ∫ Mdx + 0 h α∆tl 2 = 8h ∆K = ∫
∆K = ∫
MM 5a dx + ∆ Kc = EI 16
M K Mds ∆K = ∑ ∫ + ∆ Kt EI M K Mds α∆t = ∑∫ + ∑ N K αtl + ∑ ∫ M K ds EI h
（续）
温度变化时，变形条件校核公式为：
M i Mds ∆i = ∑ ∫ + ∆ it = 0 （或实际位移值） EI 温度变化时，超静定结构内力与各杆刚度绝对 值有关。
t1 t2 t2＞t1
§10.9.1 温度变化时的内力计算
温度变化时静定与超静定结构的区别：
静定：产生变形和位移，不引起内力； 超静定：产生受限的变形和位移，同时产生 内力。
温度变化和荷载作用时力法方程的差别：
同点：外因与多余未知力共同作用于静定的 同点 基本结构； 异点：力法方程中仅自由项不同（系数与外 异点 因无关）。
δ11 X 1 + ∆1c = −a
l3 δ11 = 3EI
α∆t
h α∆tl 2 = 2h
∫ M dx
1
∆1c = −∑ R c = 0
（续）
3 X 1 = ql (↑) 8 最后弯矩图：
3EIα∆t X1 = − (↓) 2hl 最后弯矩图：
3EIa X 1 = − 3 (↓) l 最后弯矩图：
∆ 式中， 1c , ∆ 2 c , ∆ 3c 分别代表基本体系上由于支座移
动引起的沿 X 1 , X 2 , X 3 方向的位移。 求自由项公式 ∆ = − 公式： 公式 ic 被动外力虚功 被动外力虚功） Ri c （被动外力虚功 ∑
（续）
求得：
b 1 ∆1c = −(− × b) = l l b 1 ∆ 2 c = −( × b) = − l l ∆ 3c = 0
1 1
X1 = 1
1 1
X2 =1 B 0 A
h
h
0
A
1
B
A 0
X3 =1
B
1 l
M1 、 1 R
1 l
1 l
M2、2 R
1 l
M3 、 3 R
0
（续）
原结构在赘余力处的实际支座位移（右边项 右边项）： 右边项
∆1 = 0 , ∆ 2 = −ϕ , ∆ 3 = −a
注意：负号表示实际位移与赘余力所设方向相反； 注意 B支座在竖向虽有位移，但不在赘余力方向。 B 最后内力仅由赘余力 仅由赘余力引起，由叠加原理得： 最后内力仅由赘余力
小 结
荷载作用
q
温度变化
t1 t2 t1 t2
支座移动
EI,l a
t2＞t1
EI,l
EI,l
q
δ11 X 1 + ∆1P = 0
δ11 =
3
X1
δ11 X 1 + ∆1t = 0
l δ11 1
X1
a
l 3EI M 1M P ∆1 P = ∫ dx EI ql 4 =− 8EI