北京市东城区2017届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

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2017届北京市东城区高三上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞06．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．8．数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=．10．若x，y满足，则x+2y的最大值为．11．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．16．已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．20．已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，由集合交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可．【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=﹣．故选：D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线和圆相切得到关于k的方程，解出即可．【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切，则由得：（1+k2）x2﹣6kx+9=0，故△=72k2﹣36（1+k2）=0，解得：k=±1，故“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的充分不必要条件，故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，S的值，可得当S=时不满足条件S ≤，退出循环，输出k的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件S≤，执行循环体，k=2，S=满足条件S≤，执行循环体，k=4，S=+满足条件S≤，执行循环体，k=6，S=++满足条件S≤，执行循环体，k=8，S=+++=不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8．故选：B．5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞0【考点】函数单调性的性质．【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可．【解答】解：x，y∈R，且x＞y＞0，对于A：当x=，y=时，tan=，tan=，显然不成立；对于B：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；对于C：lnx+lny＞0，即ln（xy）＞ln1，可得xy＞0，∵x＞y＞0，那么xy不一定大于0，显然不成立；对于D：2x﹣2y＞0，即2x＞2y，根据指数函数的性质可知：x＞y，恒成立．故选D6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，∵f（0）=0，∴不等式f（x+1）≥0等价为f（x+1）≥f（0），则x+1≥0，得x≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞），故选：C7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B．8．数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．【考点】散点图．【分析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=﹣1．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i是纯虚数，∴2a+2=0，4﹣a≠0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．10．若x，y满足，则x+2y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】设z=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，2）此时z=2+2×2=6．故答案为：611．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay=0，点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：=1，解得a=．故答案为：．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．【考点】三角形中的几何计算．【分析】利用余弦定理求BC，利用面积公式求出AD．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理可得BC==，=，∴AD=，故答案为，．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用特殊值法，不妨设△ABC是等腰直角三角形，腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，利用坐标法和向量共线，求出点D的坐标，即可得出λ的值．【解答】解：根据题意，不妨设△ABC是等腰直角三角形，且腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），∴=（1，0），=（0，1）；∴=+=（，），∴=﹣=（﹣，）；设点D（0，y），则=（﹣1，y），由、共线，得y=，∴=（0，），=（0，1），当时，λ=．故答案为：．14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=1；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是a＞1．【考点】分段函数的应用．【分析】若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t≤0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a＞1，故答案为：1，a＞1三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．a1=3，a4=24得q3==8，q=2．所以a n=3•2n﹣1．又数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列，所以a n+b n=4+（n﹣1）=n+3．从而b n=n+3﹣3•2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=n+3﹣3•2n﹣1．数列{n+3}的前n项和为．数列{3•2n﹣1}的前n项和为=3×2n﹣3．所以，数列{b n}的前n项和为为﹣3×2n+3．16．已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）根据函数的部分图象得出最小正周期T以及x0的值；（Ⅱ）写出f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间[0，]上的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴函数的最小正周期为T==π；…因为点（0，1）在f（x）=2sin（2x+φ）的图象上，所以2sin（2×0+φ）=1；又因为|φ|＜，所以φ=，…令2x+=，解得x=，所以x0=π+=；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤；当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值﹣1．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．…18．设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，计算f′（0）=0，求出a的值检验即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围判断函数的单调性结合f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求出a 的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为，所以f′（x）=﹣，因为f（0）为f（x）的极小值，所以f′（0）=0，即﹣=0，所以a=1，此时，f′（x）=，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在x=0处取得极小值，所以a=1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数，所以f（x）＞f（0）=0，所以f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．因此，当a＜1时，f（x）=ln（x+1）﹣＞ln（x+1）﹣＞0，f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．当a＞1时，f′（x）=，所以，当x∈（0，a﹣1）时，f′（x）＜0，因为f（x）在[0，a﹣1）上单调递减，所以f（a﹣1）＜f（0）=0，所以当a＞1时，f（x）＞0并非对x∈（0，+∞）恒成立．综上，a的最大值为1．…19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意得，求出b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），求出p点的坐标，由B，Q，P三点共线，得，联立方程组求解得x3，y3，再结合已知条件能求出λ值，则的值可求．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），∵点P在直线AO上且满足|PO|=3|OA|，∴P（3x1，3y1）．∵B ，Q ，P 三点共线， ∴．∴（3x 1﹣x 2，3y 1﹣y 2）=λ（x 3﹣x 2，y 3﹣y 2），即，解得，∵点Q 在椭圆C 上，∴．∴．即，∵A ，B 在椭圆C 上，∴，．∵直线OA ，OB 的斜率之积为，∴，即．∴，解得λ=5．∴=|λ|=5．20．已知集合A n ={（x 1，x 2，…，x n ）|x i ∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n ）}．x ，y ∈A n ，x=（x 1，x 2，…，x n ），y=（y 1，y 2，…，y n ），其中x i ，y i ∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n ）．定义x ⊙y=x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ．若x ⊙y=0，则称x 与y 正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A 4中与x 正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x ⊙y |x ，y ∈A n }．若m ∈B ，证明：m +n 为偶数；（Ⅲ）若A ⊆A n ，且A 中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A 中最多可以有多少个元素．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由子集定义直接写出答案；（Ⅱ）根据题意分别表示出m，n即可；（Ⅲ）根据两个元素均正交的定义，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素即可．【解答】解：（Ⅰ）A4中所有与x正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）．…（Ⅱ）对于m∈B，存在x=（x1，x2，…，x n），x i∈{﹣1，1}，y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}；使得x⊙y=m．令，；当x i=y i时，x i y i=1，当x i≠y i时，x i y i=﹣1．那么x⊙y=．所以m+n=2k﹣n+n=2k为偶数．…（Ⅲ）8个，2个n=8时，不妨设x1=，x2=（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）．（1，1，1，1，1，1，1，1）在考虑n=4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x1，x2搭配，可形成8种情况．所以n=8时，A中最多可以有8个元素．…N=14时，不妨设y1=（1，1…1，1），（14个1），y2=（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y1与y2正交．令a=（a1，a2，…a14），b=（b1，b2，…b14），c=（c1，c2，…c14）且它们互相正交．设a、b、c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外a、b相应位置数字都相同的共有m个，c、b相应位置数字都相同的共有n个．则a⊙b=m+k﹣（14﹣m﹣k）=2m+2k﹣14．所以m+k=7，同理n+k=7．可得m=n．由于a⊙c=﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）=0，可得2m=7，m=矛盾．所以任意三个元素都不正交．综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．…2017年1月21日。

【最新经典文档】2017- 北京市东城区高三(上)期末数学试卷和答案(理科)

16．（ 13 分）中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段装箱高质量发展阶段．货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用．某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了 2017 年下半年某周五个工作日人
17．（ 14 分）如图，在四棱锥 E﹣ABCD中，平面 ADE⊥平面 ABCD，O， M 为线段 AD，DE的中点，四边形 BCDO是边长为 1 的正方形， AE=DE，AE⊥DE．（Ⅰ）求证： CM∥平面 ABE；
（Ⅱ）求直线 DE 与平面 ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）点 N 在直线 AD 上，若平面 BMN⊥平面 ABE，求线段 AN 的长．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．（5 分）若复数（ 1+i）（a﹣i）为纯虚数，则实数 a= 10．（ 5 分）在（ 1+2x） 5 的展开式中， x2 的系数等于
．．（用数字作答）
11．（5 分）已知 { an} 是等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 a1=6，a4+a6=4，则 S5=
=20．
故答案为： 20．
12．（5 分）在极坐标系中，若点
范围为（1，+∞）．【解答】解：极坐标
圆圆 ρ=2cos，θ 转化为： x2+y2﹣ 2x=0，整理得：（ x﹣ 1） 2 +y2=1，由于：点 A 在圆的外部，
则：
＞ 1，
解得： m＞ 1 或 m＜ 0，由于： m＞ 0，所以： m＞ 1．即： m∈（ 1， +∞）．故答案为：（ 1， +∞）．
5．（5 分）已知函数

2017,5东城高三数学试题及参考答案(理科)校正稿

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ðA ．{|2x x ≤-或2}x ≥B ．{|2x x <-或2}x >C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x ≤≤- 2．下列函数中为奇函数的是A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y D ．||e x y -=3．若,x y 满足10,0,0x y x y y -++⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥则2x y +的最大值为A ．1-B ．0C ．12D ．2 4．设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和．若15172a a +=，244a a =，则6=S A ．2716 B ．278C ．634 D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261-)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5,1,2n v x ===，则程序框图计算的是 A ．5432222221+++++ B ．5432222225+++++ C ．654322222221++++++ D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是 A ．若A B p ，B C p ，则A C pB ．若A B p ，BC p 同时不成立，则A C p 不成立 C ．A B p ，B A p 可同时不成立D ．A B p ，B A p 可同时成立第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为．10．在极坐标系中，直线cos sin 10r q q +=与圆2cos (0)a a r q >=相切，则a = ． 11．某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有种．（用数字作答）12．如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=︒，30ADB ∠=︒，1BC =， 2DC =，1cos 4BCD ∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA =．14．已知函数|1|,(0,2],()min{|1|,|3|},(2,4],min{|3|,|5|},(4,).x x f x x x x x x x -∈=--∈--∈+∞⎧⎪⎨⎪⎩① 若()f x a =有且只有一个根，则实数a 的取值范围是_______．② 若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是_______．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 15.（本小题13分）已知函数()2cos 2()f x x a x a =+⋅∈R ．（Ⅰ）若()26f =π，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在7[,]1212ππ上单调递减，求()f x 的最大值．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择 8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17.（本小题共14分）如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ^平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，2EA ED AB EF ===，EF AB ∥，M 为BC 中点．（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ；（Ⅱ）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ^？若存在，求CG CF的值；若不存在，说明理由．设函数2()()e ()x f x x ax a a R -=+-⋅∈．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（Ⅱ）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围．19.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF的对称点在直线MF 上．20.（本小题共13分）对于n 维向量12(,,,)n A a a a =鬃?，若对任意{1,2,,}i n 巫鬃均有0i a =或1i a =，则称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B ，定义1(,)||ni i i d A B a b ==-å．（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，求(,)d A B 的值；（Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若1(1,1,1,1,1)A =且满足：1(,)2i i d A A +=，*i ÎN ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)；（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若112(1,1,,1)A个=鬃?且满足：1(,)i i d A A m +=， *m N Î，1,2,3,i 鬃?=，若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A个鬃?=，j A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m ．东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）C （4）B （5）D （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）(1,2) （10）1 （11）14（12）21 （13 （14）(1,)+∞ (4,2)(2,4--U 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()2cos 2=2666f a πππ=⋅+⋅⋅， ………3分所以31222a +?． ………5分所以1a =． ………6分（Ⅱ）由题意(22)f x x x)x ϕ=+，其中tanϕ=．………8分所以T =π，且712122πππ-=， ………9分所以当12x π=时，max ()sin()126y f ϕππ==+．所以=+23k k ϕππ(∈)Z ． ………10分所以tanϕ=3a =． ………11分所以π())3f x x =+． ………12分所以()f x 的最大值为 ……………………13分（16）（共13分）解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”（1,2,,9i = ）. 根据题意，1()9i P A =，且()i j A A i j =乒 . …………1分（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则47B A A = . …………2分C所以47472()()()()9P B P A A P A P A ==+=. …………5分（Ⅱ）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2， …………6分4784781(0)()()()()3P X P A A A P A P A P A ===++= ，…………7分356935694(1)()()()()()9P X P A A A A P A P A P A P A ===+++= ，…………8分12122(2)()()()9P X P A A P A P A ===+=． …………9分所以X 的分布列为分故X 的期望14280123999EX =???．…………………11分（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取CD 中点N ，连结,MN FN ．因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以MN ∥BD ．又BD ⊂平面BDE 且MN Ë平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ，因为EF ∥AB ，2AB EF =，所以EF ∥CD ，EF DN =．所以四边形EFND 为平行四边形．所以FN ∥ED ．又ED ⊂平面BDE 且FN Ë平面BDE ，所以FN ∥平面BDE ， ………2分又FN MN N = ，所以平面MFN ∥平面BDE ． ………3分又FM Ì平面MFN ，所以FM ∥平面BDE ． …………4分C（Ⅱ）取AD 中点O ，连结EO ，因为EA ED =，所以EO ^因为平面ADE ^平面ABCD 所以EO ^平面ABCD ，EO 因为AD AB =，60DAB ∠=所以△ADB 为等边三角形．因为O 为AD 中点，所以AD BO ^．因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -．…………6分由题意得，(2,0,0)A ，B ，(C -，(2,0,0)D -，E ，(1F -．………7分(3,CF =，DE = ，(0,BE =-．设平面BDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BE DE ì?ïíï?î n n 即0,0.y z x ì-=ïíï=î 令1z =，则1y =，x =-所以(,1)=-n ．………9分设直线CF 与平面BDE 成角为α，sin |cos ,|αCF =< n 所以直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值为10． ……………………10分（Ⅲ）设G 是CF 上一点，且CG CFλ=，[0,1]λ∈．……………11分因此点(34,)G λ-+．……………12分(34,)BGλ=-．由0BG DE ? ，解得49λ=．所以在棱CF 上存在点G 使得BG ^DE ，此时49CG CF =．………14分解：（Ⅰ）当0a =时，因为2()e x f x x -=?，所以2'()(2)e x f x x x -=-+?， …………1分'(1)3e f -=-． …………2分又因为(1)e f -=， …………3分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为e 3e(1)y x -=-+，即3e 2e 0x y ++=． ……………………4分（Ⅱ）“对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ³成立”等价于“在区间[0,2]上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”． …………………5分因为2215()1()24g x x x x =--=--，所以()g x 在[0,2]上的最大值为(2)1g =．2'()(2)e ()e x x f x x a x ax a --=+?+-?2e [(2)2]x x a x a -=-+-- e (2)()x x x a -=--+ 令'()0f x =，得2x =或x a =-． …………………7分 ① 当0a -?，即0a ³时，'()0f x ³在[0,2]上恒成立，)(x f 在[0,2]上为单调递增函数， ()f x 的最大值为21(2)(4)e f a =+?, 由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?． ……………9分 ② 当02a <-<，即20a -<<时，当(0,)x a ∈-时，'()0f x <，()f x 为单调递减函数，当(2)x a ∈-，时，'()0f x >，()f x 为单调递增函数．所以()f x 的最大值为(0)f a =-或21(2)(4)e f a =+?, 由1a -?，得1a ?；由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?．又因为20a -<<，所以21a -<?． ……………11分 ③ 当2a -?，即2a ?时，'()0f x £在[0,2]上恒成立，()f x 在[0,2]上为单调递减函数，()f x 的最大值为(0)f a =-，由1a -?，得1a ?，又因为2a ?，所以2a ?．综上所述，实数a 的值范围是1a ?或2e4a ?．……………………13分解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2a =． ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分（Ⅱ）“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB Ð”．……………6分设直线AM 的方程为(2)(0)y k x k =+?，则(2,4),(2,2)N k E k ．……7分设点00(,)M x y ，由22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî得2222(34)1616120k x k x k +++-=，得2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+î……9分 ① 当MF x ^轴时，01x =，此时12k =?．所以3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?．此时，点E 在BFM Ð的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+，即EF 平分MFB Ð． ……10分 ② 当12k 贡时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k==--，所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分所以点E 到直线MF 的距离2d2=22|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==．即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义1(,)||niii d A B a b ==-å，可得(,)4d A B =. …………………………4分（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,,m A A A A L ，使得1(1,1,1,1,1)A =，(0,0,0,0,0)m A =.因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i =个分量1变化了21i n -次之后变成0，所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n -+-+-+-+- 123452(2)1n n n n n =++++--次，此数为奇数.又因为*1(,)2,i i d A A i +=?N ，说明i A 中的分量有2个数值发生改变，进而变化到1i A +，所以共需要改变数值2(1)m -次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0). ……………9分（Ⅲ）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =. ……………13分易见当m 为12的因子1,2,3,4,6,12时，给 (1分). 答出5,8,10m =给(1分).答出7,9,11m =中任一个给(1分)，都对给(2分)。

2017届东城区普通校高三第一学期联考理科数学试卷及答案

2017届东城区普通校⾼三第⼀学期联考理科数学试卷及答案东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考试卷⾼三数学（理科）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试⽤时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

祝各位考⽣考试顺利！第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题列出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．若集合{}20M x x =->，{}(3)(1)0N x x x =--<，则M N =(A) {}23x x << （B ）{}1x x < （C ）{}3x x > （D ）{}12x x << 2. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是（A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤ （D ）若1a b +<，则a b <3. “2x >”是“24x >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 4. 已知数列{}n a 为等差数列，且1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 5. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（A ）lg y x = （B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =6．曲线 331x y =在x=1处切线的倾斜⾓为（A ）1 （B ）4π- （C ）4π（D ）54π7. 要得到函数sin24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移π（B ）向右平移π单位（C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8π单位 8．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是（A ）12log y x =（B ）21x y =- （C ）212y x =-(D) 3y x =- 9．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b c a << （D ）b a c <<10．如图，是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下⾯判断正确的是（A ）在区间（－2,1）上)(x f 是增函数（B ）在（1,3）上)(x f 是减函数（C ）在（4,5）上)(x f 是增函数（D ）当4=x 时，)(x f 取极⼤值11．已知数列}{n a 为等⽐数列，274=+a a ，865-=?a a ，则101a a +的值为（A ）7 （B ）5- （C ）5 （D ）7-12. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分．13. 函数)1lg()(-=x x f 的定义域是______________.14. 已知53sin =α，且α为第⼆象限⾓，则αtan 的值为 . 15. 若曲线21232-+=x x y 的某⼀切线与直线341+-=x y 垂直，则切点坐标为 .16. 在ABC ?中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 17．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R)满⾜f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．18．①命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；②函数2()2xf x x =-的零点有2个；③若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0；④函数[]sin (,)y x x ππ=∈-图象与x 轴围成的图形的⾯积是π-πsin d S x x =；⑤若函数f (x )＝a x －5x >6 ，? ??4－a 2x ＋4 x ≤6 ，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为（1，8）．其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本⼤题共4⼩题，共60分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．19．（本⼩题满分14分）已知函数2()cos cos f x x x x -．（Ⅰ）求()f x 的最⼩正周期；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最⼤值及相应的x 的值．20. （本⼩题满分14分）在锐⾓ABC ?中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .21.（本⼩题共14分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，410a =，且3a ，6a ，10a 成等⽐数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(*)n an b n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和公式.22.（本⼩题共18分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 在[1,3]上的最⼩值；（Ⅱ）若存在1[,e]ex ∈（e 为⾃然对数的底数，且e =2.71828 ）使不等式22()3f x x ax ≥-+-成⽴，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若)(x F 的导函数为)(x f ，试写出⼀个符合要求的)(x F （⽆需过程）.东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考试卷答题纸⾼三数学（理科）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉第Ⅰ卷1_______2_______3_______4_______5_______6_______7_______8_______9______10______11_______12______13. 14.15. 16学号17. 18. 19解：20. 解：21. 解：号学22. 解：东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考答案⾼三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法⾃⼰根据情况相应地给分）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉⼀.选择题1 A2 C3 A4 B5 D6 C7 C8 B9 B 10C 11D 12A⼆.填空题13. {x | x >1 } 14. 43-15. （1，2）16.①③（写对⼀个给2分，写错⼀个不得分）三．解答题19．解：（Ⅰ）因为11()2cos 2222--1sin(2)62x π=--，所以22T ππ==，故()f x 的最⼩正周期为π. …………………… 7分（Ⅱ）因为 02x π≤≤，所以52666x πππ--≤≤．所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最⼤值12. ………………14分20．解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在ABC ?中，sin 0C >，所以sin 4C =. ……………………………………………7分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==.因为ABC ?是锐⾓三⾓形，所以cos C =，cos A =.所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=A=，所以a =…………………………14分 21．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，⼜410a =，可得310a d =-，6102a d =+， 10106a d =+．由3a ，6a ，10a 成等⽐数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =．由0d ≠,可得1d =．14310317a a d =-=-?=，所以1(1)6n a a n d n =+-=+． …………………7分（Ⅱ）由2(*)n an b n =∈N ，6n a n =+，可得62n n b +=.所以1612128b +==．因为716222n n n n b b +++==，所以数列{}n b 是⾸项为128，公⽐为2的等⽐数列．所以{}n b 的前n 项和公式为7128(12)212812n n n S +-==--．………14分 22．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，当1(0,)ex ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当1(,)ex ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．所以函数)(x f 在[1,3]上单调递增．⼜(1)ln10f ==，所以函数()f x 在[1,3]上的最⼩值为0． …………………7分（Ⅱ）由题意知，22ln 3,x x x ax ≥-+-则32ln a x x x ≤++．若存在1[,e]ex ∈使不等式2只需a ⼩于或等于32ln x x x++的最⼤值．设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x+-'=+-=．当1[,1)x e∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当(1,e]x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增．由11()23e e e h =-+ +，3(e)2e e h =++，12()(e)2e 40e eh h -=-->，可得1()(e)eh h >．所以，当1[,e]e x ∈时，)(x h 的最⼤值为11()23e e eh =-++．故123e ea ≤-++． ………………14分（Ⅲ）4ln 2)(22x x x x F -=………………18分。

东城区2017-2018第一学期理科答案8稿

东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）B （6）C （7）A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1- （10）40 （11）20 （12）(1,)+∞ （13）1，222x y -=等（14）23π，②④ 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解:（Ⅰ）因为2a =，2sin sin A C =，由正弦定理sin sin a cA C=，得4c =．（Ⅱ）由21cos 22cos 14C C =-=-，得23cos 8C =.因为02C π<<，得cos 4C =．所以sin C ==方法一：因为2sin sin A C =，所以sin 88A A == 所以所以1sin 2ABC S ac B ∆== 方法二：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2120b -=，解得b =b =．sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =π-+=+=+=+=所以1sin 2ABC S ab C ∆==（16）（共13分）解：（I ）由于收盘价的中位数为169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a =169. （II ）由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以ξ的所有可能取值为0,1,2.33351(0)10C P C ξ===，2132353(1)5C C P C ξ⋅===，1232353(2)10C C P C ξ⋅===. 所以ξ的分布列为故ξ的数学期望1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. （III ）168.（17）（共14分）证明：（Ⅰ）取线段AE 中点P .连接BP 、MP . 因为点M 为DE 中点，所以//MP AD ，12MP AD =. 又因为B C D O 为正方形，所以//BC AD ，BC AD =，所以//BC MP ，BC MP =.所以四边形BCMP 为平行四边形，所以//CM BP . 因为CM ⊄平面ABE ，BP ⊂平面ABE ，所以//CM 平面ABE . （Ⅱ）连接EO .因为AE DE =，O 为AD 中点，所以EO AD ⊥.. 因为EO ⊂平面ADE ，平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =所以 ,EO OB EO OD ⊥⊥ 又因为正方形BCDO ，所以OB OD ⊥. 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -.()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1E ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，()1,1,0AB = ，()0,1,1AE =，则有0,0.AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1y =-，则1x z ==，即平面ABE 的一个法向量为()1,1,1m =-.()0,1,1DE =-，cos ,DE DE DE⋅=== m m m . 所以直线DE 与平面ABE（Ⅲ）设ON OD λ= ，所以()0,,0N λ=，所以()1,,0NB λ=- ，111,,22MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ .设平面BMN 的法向量为(),,n u v w =，则有0,0.NB n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110.22u v u v w λ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 令1v =，则()0,1,1n =. 因为0CN n ⋅=，则,21u w λλ==-.即平面BMN 的一个法向量为(),1,21n λλ=-.因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ⋅=.解得23λ=，所以53AN =.（18）（本题满分共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得21ln 21)('2--=x x x f ，且32)1(=f . 所以0)1('=f .所以曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为32=y . （Ⅱ）设()'()g x f x =，（1x e e<<）则211'()x g x x x x-=-=.令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：则()(1)0g x g ≥=，即'()0f x ≥，当且仅当1x =时，'()0f x =. 所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又e e e f 2161)(3-=，所以a 的最小值为为31162e e -. （19）（本题满分共14分）解：（I ）由题意得22121.a ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0∆>.设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于 “QF 平分MQN ∠ ”，且12,x t x t ≠≠，又等价于“12120QM QN y yk k x t x t+=+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-，① ②所以(20)Q -，.当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等. 故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等. （20）（共13分）解：（I ）1，1，3，4，5.（II ）1i =时，由111a ≤≤知11a =，由题意知111b a =≥，结论成立；2i ≥时，设(1)i a k k i =≤≤，若1k =，则i i b a ≥；若2k i ≤≤，则由1211,2,,1k a a a k -≤≤≤- 知121,,,k a a a - 均不与i a 相等. 于是()1i a k τ≥-，()1i i i b a k a τ=+≥=. 综上，(1,2,,)ii b a i n ≥= .（III ）当1i =时，由111a ≤≤知11a =，结论成立；当2i ≥时，假设121,,,i a a a - 中存在一项和i a 相等，设为k a .在数列121,,,,,,k i i a a a a a - 中，由1i i a a -≠，i k a a =可知，第i 项之前与i a 不相等的项比第k 项之前与k a 不相等的项至少多了一项1i a -，则()()i k a a ττ>. 于是()1()1i i k k b a a b ττ=+>+=，可得i i k k a b b a =>=，与i k a a =矛盾. 于是121,,,i a a a - 均不与i a 相等，则()1i i i a b a i τ==+=. 综上，若数列A 相邻两项均不相等，且B 与A 为同一个数列，则(1,2,,)i a i i n == .。

北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．445．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．306．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=；△ABC的面积为．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤2，即B=，∵A={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数===，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在2017-2018学年高考题的前几个题目中．3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用充分必要条件定义判断求解．解答：解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B点评：本题考查了充分必要条件定义，很容易判断．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．44考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合已知求得a6，再由S11=11a6得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a3+a9=4，得2a6=4，a6=2．∴S11=11a6=11×2=22．故选：C．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．5．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．30考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s 的值为30．解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．解答：解：当a≤0时，2a＞，解得，﹣1＜a≤0；当a＞0时，＞，解得，0＜a＜．∴a∈（﹣1，0]∪（0，），即为a∈（﹣1，）．故选D．点评：本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．几何体的直观图如图，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据条件若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），等价PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围解答：解：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=45°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜45°恒成立0．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=45°，否则，这样的点Q是不存在的；∵点P（x0，y0）在直线x+2y﹣4=0上，∴x0+2y0﹣4=0，即y0=∵|OP|2=x02+y02=x02+（）2=x02﹣2x0+4≤4，∴x02﹣2x0≤0，解得，0≤x0≤，∴x0的取值范围是故选：B点评：本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为y2=2x．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出该抛物线的焦点坐标和准线方程，然后，根据它们之间的距离为为p，根据题意，得p=1，从而得到其方程．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线方程为x=﹣，它们之间的距离为p，根据题意，得p=1，所以抛物线的标准方程为：y2=2x故答案为：y2=2x．点评：本题重点考查了抛物线的定义、简单几何性质等知识，属于中档题．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为11．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（3，﹣2），此时z=3×3﹣（﹣2）=9+2=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=4；△ABC的面积为3．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：根据已知和余弦定理可求c的值，从而有三角形的面积公式解得所求．解答：解：由余弦定理可得：cosB=，代入已知可得：=，解得c=4，c=﹣1（舍去），∴S△ABC=acsinB=3，故答案为：4，3．点评：本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=﹣．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：用向量共线的充要条件是存在实数λ，及向量相等坐标分别相等列方程求解即可．解答：解：∵向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），∴λ+=k（﹣2），k﹣λ=0且1+2k=0解得k=﹣，故答案为：﹣．点评：考查向量共线的充要条件的应用．考查计算能力．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；从而交替使用以化简．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即∴f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；故f（8）+f（9）==f（﹣8+4）+f（﹣9+4）=f（﹣4）+f（﹣5）=﹣（f（4）+f（5））=﹣（f（0）+f（﹣1））=﹣f（﹣1）=f（1）=1；故答案为：1．点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设∠MBH=α，∠NBH=β，根据三角函数关系得到，根据三棱锥的体积公式，结合三角函数的辅助角公式进行求解即可．解答：解：由题意值V M﹣PNB=V P﹣MNB=S△MNB=×，过B作BH⊥AC于H，如图：易知，当MN取最小值时，M，N一定在点H两边，不妨设∠MBH=α，∠NBH=β，由BH=知，V M﹣PNB==，，∴V M﹣PNB======，当且仅当时，取等号．故答案为：点评：本题主要考查空间三棱锥的体积的计算，利用三角函数法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数的有界性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图先求得A，T，ω的值，当x=时，f（x）=﹣1，可得φ的值，从而可求f（x）的解析式．（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（2x﹣），由x∈，可得﹣≤2x﹣≤，即可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（1）由图可知，A=1，==，T=π，所以ω=2．当x=时，f（x）=﹣1，可得sin（2×+φ）=﹣1．∵|φ|＜∴φ=∴求f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+）；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）=sin=sin（2x﹣）的图象，故g（x）=sin（2x﹣），∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤当2x﹣=，即x=时，g（x）有最大值为1；当2x﹣=﹣，即x=0时，g（x）有最小值为﹣；点评：本题主要考察了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）分解等差数列和等比数列的性质建立方程关系即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法即可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由a2=3，a5=6得，解得a1=2，d=1，则a n=2+n﹣1=n+1．∵数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．∴b1﹣2a1=b1﹣4=3，解得b1=7，则b n﹣2a n=3•3n﹣1=3n，则b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；（Ⅱ）∵b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；∴数列{b n}的前n项和S n=+（3+32+33+…+3n]=+=n（3+n）+（3n﹣1）．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列和的求解，利用分组求和法以及等比数列和等差数列的求和公式是解决本题的关键．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．点评：本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后求得x=1处的导数值，进一步求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求出原函数的导函数=．然后分a=，a＞，0＜a＜三种情况求解函数的单调区间；（3）把f（x）≥g（x）转化为ax﹣lnx≥0，分离参数a得，构造函数，求函数h（x）在上的最小值得a的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2x﹣5lnx﹣，，f′（1）=﹣1，又f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣1=0；（2）=．当a=时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞时，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当0＜a＜时，当时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（3）f（x）≥g（x）等价于ax﹣（2a+1）lnx﹣≥﹣2alnx﹣，即ax﹣lnx≥0，分离参数a得，．令，若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，即a≥h（x）min．，当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数．而h（）=﹣e，h（e2）=．∴h（x）在上的最小值为﹣e，∴a≥﹣e．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=2，b=1，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），设直线l的方程是y=（x﹣m）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由短轴长为2，离心率为，则b=1，=，a2﹣b2=c2，解得a=2，c=，即有椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∴直线l的方程是y=（x﹣m），联立椭圆x2+4y2=4，⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，x1x2=，∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x1﹣m）2+（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+（x2﹣m）2=====5（定值）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．考点：递归数列及其性质；数列的函数特性；数列的求和．专题：新定义．分析：（Ⅰ）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束．（Ⅱ）中（i）的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案．（ii）的解答要抓住B经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4=502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．解答：（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列A：2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．…（3分）（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，所以|a1﹣a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．…（5分）当a1≥a2≥a3时，可得由a+b+2=2012，得2（a1﹣a3）=2012，即a=1006，故b=1004．…（7分）当a3≥a2≥a1时，同理可得a=1006，b=1004．…（8分）（ⅱ）方法一：由B：b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b﹣2，b，2；2，b﹣2，b﹣4；b﹣4，2，b﹣6；b﹣6，b﹣8，2；2，b﹣10，b﹣8；b﹣12，2，b﹣10．由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B经过6×83=498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．…（13分）方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为x+2，x，2（x≥2），则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x﹣2，2（不考虑顺序）．所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列B：1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．…（13分）点评：此题需要较强的逻辑思维能力及计算能力，通过计算发现和归纳出其规律，进而得出答案．。

数学文卷·2017届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测(带答案和解析)

东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）集合{}11Αx x =-<<，{}|(2)0Βx x x =->，那么ΑΒ=（A ）{}|10x x -<< （B ）{}|12x x -<< （C ）{|01}x x << （D ）{|0x x <或2}x > （2）在复平面内，复数i(1i)z =+，那么||z = （A ）1 （B（C ）（D ）2（3）已知实数,x y 满足3,2,2.x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩那么2z x y =+的最小值为（A ）2 （B ）3（C ）4（D ）5（4）已知函数()sin(),R f x x x ωϕ=+∈ (其中0,ωπϕπ>-<<)的部分图象,如图所示.那么)(x f 的解析式为（A ）()sin()2f x x π=+（B ）()sin()2f x x π=-（C ）()sin(2)2f x x π=+（D ）()sin(2)2f x x π=- （5）下列四个命题：①0x ∃∈R ，使200230x x ++=；②命题“00,lg 0x x ∃∈>R ”的否定是“x ∀∈R ，0lg <x ”；③如果,a b ∈R ，且a b >，那么22a b >；④“若βα=，则βαsin sin =”的逆否命题为真命题.其中正确的命题是（A ）① （B ）②（C ）③ （D ）④（6）过抛物线24yx =的焦点作一条直线与抛物线相交于,A B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（A ）有且仅有一条（B ）有且仅有两条（C ）有无穷多条（D ）不存在（7）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：① 估计样本的中位数为4800元； ② 如果个税起征点调整至5000元，估计有%50的当地职工会被征税； ③ 根据此次调查，为使%60以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调整至5200元. 其中正确结论的个数有（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（8）对于给定的正整数数列{}n a ，满足1n n n a a b +=+，其中n b 是n a 的末位数字，下列关于数列{}n a 的说法正确的是（A ）如果1a 是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n必有相同的项；（B ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n必没有相同的项；（C ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n只有有限个相同的项；（D ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n有无穷多个相同的项.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

数学-北京人大附中2017届高三(上)期末试卷(理)(解析版)

北京人大附中2017届高三（上）期末试卷卷一一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（4分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（4分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣4．（4分）给定原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列命题形式正确的是（）A．逆命题：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否命题：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否命题：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．（4分）双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=06．（4分）已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．（4分）已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣8．（4分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列命题中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．11．（5分）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|=，|PF2|=．12．（5分）已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．（5分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．（5分）已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M 的轨迹为C（I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞.16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4 （1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|卷二一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．（10分）已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|P A|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．（10分）在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则=．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．（16分）如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD 将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案卷一一、选择题1．A【解析】当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．C【解析】由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，可知：=+，=，==，=﹣+．故选：C．4．A【解析】原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆命题是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否命题是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否命题是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定命题是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．C【解析】由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即：x±y=0．故选：C6．C【解析】由题意得a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．D【解析】由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．A【解析】曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题9．【解析】∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．-4【解析】∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．2.5 1.5【解析】椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，|PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．【解析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得：=+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．（1，2]∪[3，+∞）【解析】命题p为真时，实数m满足△=m2﹣4＞0且﹣m＜0，解得m＞2，命题q为真时，实数m满足△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，p∨q为真命题、p∧q为假命题，∴p，q一真一假；①若q真且p假，则实数m满足1＜m＜3且m≤2，解得1＜m≤2；②若q假且p真，则实数m满足m≤1或m≥3且m＞2，解得m≥3；综上可知实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．14．【解析】（I）设M（x，y），又A（0，2），点B（0，﹣2），∴，即，∴曲线C的方程为；（Ⅱ）设PQ方程：y=kx+m，代入椭圆4x2+y2=4，整理得：（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0．△=4k2m2﹣4（k2+4）（m2﹣4）=16（k2﹣m2+4）．．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．∴==0．化简得：5m2=4（1+k2），即．点O到直线PQ的距离d==．则===，由≥，得：|OP|•|OQ|≥．∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥2=．∴S△OPQ=|OP|•|OQ|≥．故答案为：，．三、解答题15．解：（1）2﹣3=2（2，﹣1，﹣2）﹣3（1，1，﹣4）=（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）=（1，﹣5，8）．|2﹣3|==3．（2）∵cos＜，＞===，＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．16．（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．卷二一、填空题18．（2，2）或（2，﹣2）【解析】（I）设P（x，y），则|P A|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|P A|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|P A|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19． 3【解析】（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=，=，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题20．解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．。

2017东城高三期末数学理

东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科） 2017.1本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

）（1）已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =（A ）{|13}x x << （B ）{|14}x x << （C ）{|23}x x << （D ）{|24}x x << （2）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =-（D ）12x =-（3）“1k =”是“直线0kx y --与圆229x y +=相切”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）6 （B ）8（C ）10 （D ）12（5）已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（A ）tan tan 0x y -> （B ）sin sin 0x x y y -> （C ）ln ln 0x y +> （D ）220xy->正（主）视图俯视图侧（左）视图时间（天）（6）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则(1)0f x +≥的解集为（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞ （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）23 （B ）43（C ）2 （D ）83（8）数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率0.6n r =(*1n nn na a r n a +-=∈N ，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率n r 会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率n r 的规律描述正确的是10（C ）时间10时间（天）（D ）0.0.0.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017年北京市东城区高三一模数学(理)

2． 2
（Ⅱ）设 A, B 是椭圆 C 的左，右顶点， P 为椭圆上异于 A, B 的一点，以原点 O 为端点分别
作与直线 AP 和 BP 平行的射线，交椭圆 C 于 M , N 两点，求证：△ OMN 的面积为
定值．
（ 20）（本小题共 13 分）
已知集合 A { a1, a2,L , an }, ai R ,i 1,2, L , n ，并且 n 2 ．定义
.
由题意知， E = A2B1 A3B1 A3 B2 .
因此 P( E) = P( A2B1) + P( A3B1) + P( A3B2 )
= 0.58 .
答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为
0.58 .
,, 11 分
（Ⅲ）此结论不正确 .
,,,,,,,,,,,
13 分
（ 17）（共 14 分）
北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（理科）
学校 _____________ 班级 _______________ 姓名 ______________ 考号 ___________
本试卷共 5 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
象在区间 [ , ] 上单调递减，则 m 的最小值为
12 12
（ A）
12
（ B）
6
（ C）
4
（ D）
3
（ 8）甲抛掷均匀硬币 2017 次，乙抛掷均匀硬币 2016 次，下列四个随机事件的概率是 0.5
的是
①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多 .
②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少 .

(完整版)2017年高考北京理科数学试题及答案(解析版),推荐文档

2017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2017 年北京，理 1，5 分】若集合 A {x | –2 x 1} ， B {x | x –1或x 3}，则 A B =（）（A） {x | –2 x 1}（B） {x | –2 x 3}（C） {x | –1 x 1}（D） {x |1 x 3}【答案】A【解析】 A B x 2 x 1，故选 A．（）【2017 年北京，理 2，5 分】若复数 1 ia i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（）（A） ,1（B） , 1（C）1, （D）1, 【答案】B【解析】z1iaia11ai，因为对应的点在第二象限，所以a1 0，解得： a 1 ，故选1 a 0B．（）【2017 年北京，理 3，5 分】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）（A）23 （B）2（C） 5 3（D）8 5【答案】C【解析】k 0 时，0 3 成立，第一次进入循环11k 1, s 2 ，1 3 成立，第二次进入循环，1k2, s2 13，23成立，第三次进入循环k3,s3 21 5，33否，输出22332s5，3故选 C．x 3，（）【2017 年北京，理 4，5 分】若 x y 满足 x y 2，则 x 2 y 的最大值为（），y x，（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域， z x 2 y 表示斜率为 1 的一组平行线，当过点 C 3, 3时，2目标函数取得最大值zmax323 f(9x)，故3x选 (1D．（）【2017 年北京，理 5，5 分】已知函数)x ，则 f (x) （） 3 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数（A）是奇函数，且在 R 上是增函数（D）是偶函数，且在 R 上是减函数（C）是奇函数，且在 R 上是减函数【答案】A1【解析】 f x 3x 1x 1 x 3x f x，所以函数是奇函数，并且 3x 是增函数， 1x 是减函数，根 3 3 3 据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选 A．（）【2017 年北京，理 6，5 分】设 m，n 为非零向量，则“存在负数，使得 m n”是“ m n < 0 ”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 0 ，使m n，即两向量反向，夹角是1800，那么m n m n cos1800 m n0，反过来，若 m n0，那么两向量的夹角为900,1800，KS5U 并不一定反向，即不一定存在负数，使得m n，所以是充分不必要条件，故选 A．（）【2017 年北京，理 7，5 分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）（A） 3 2（B） 2 3（C） 2 2（D）2【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线， l 22 22 22 2 3 ，故选 B．（）【2017 年北京，理 8，5 分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361 ，而可M观（测参宇考宙数中据普：通lg物3质 0的.4原8 子）总数 N 约为1080 ．则下列各数中与 N 最接近的是（）（A） 1033【答案】D【解析】设 M x 3361N1080（B） 1053（C） 1073（D） 109333613618093.28，两边取对数，lgxlg 1080lg 3 lg10 361 lg 3 80 93.28 ，所以 x 10，即 M 最接近1093 ，故选 D． N第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

北京市东城区2017届高三数学二模(理)试题(含答案)

1v x +北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校_________班级___________姓名___________考号_________本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ð（A ）{|2x x ≤-或2}x ≥ （B ）{|2x x <-或2}x >（C ）{|22}x x -<< （D ）{|22}x x -≤≤ （2）下列函数中为奇函数的是（A ）co s y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C ）y =（D ）||ex y -=（3）若,x y 满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值为（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）2（4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a +=，244a a =，则6=S （A ）2716（B ）278（C ）634（D ） 632（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（A ）5432222221+++++ （B ）5432222225+++++（C ）654322222221++++++ （D ）43222221++++BDAPPAP（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（A ）（B ）（C ）（D ）（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B p ，B C p ，则A C p （B ）若A B p ，B C p 同时不成立，则A C p 不成立（C ）A B p ，B A p 可同时不成立（D ）A B p ，B A p 可同时成立第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线 Word版含答案

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于．2、（西城区2017届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x = （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=3、（东城区2017届高三上学期期末）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =- （D ）12x =-4、（丰台区2017届高三上学期期末）设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为．5、（海淀区2017届高三上学期期末）抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．36、（昌平区2017届高三上学期期末）在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7、（海淀区2017届高三上学期期末）已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．12y x =-+B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =-8、（石景山区2017届高三上学期期末）若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是．9、（通州区2017届高三上学期期末）“>1m ”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、（东城区2017届高三上学期期末））若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =_______．11、（北京昌平临川育人学校2017届高三上学期期末）设双曲线=1的两焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上的一点，若PF 1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（）A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（昌平区2017届高三上学期期末）椭圆C 的焦点为1(F ,2F ，且点M 在椭圆C 上.过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点,点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）.(I) 求椭圆C 的标准方程；(II)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标.2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(0)A ,B 不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．3、（西城区2017届高三上学期期末）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅ 为定值．4、（东城区2017届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB 的斜率之积为34-，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．5、（丰台区2017届高三上学期期末）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．7、（石景山区2017届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．8、（通州区2017届高三上学期期末）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．参考答案一、选择、填空题1、32、B3、D4、535、B6、A7、A 8、( 9、A 1011、解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，得F 1（﹣2，0），F 2（2，0），渐近线为，由对称性，不妨设PF 1与直线平行，可得，由得，即有，，•=﹣×+（﹣）2=﹣．故选B ．二、解答题1、解：(I)法一设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得22222,211,a b c a b c ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分法二设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得c =12214a MF MF =+==.所以2a =， 2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分 (II)法一当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+.由221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y .则22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩特殊地，当A 为(2,0)时，12=-k ，所以2423=-x ，223=-x ，243=y ，即24(,)33-B .所以点B 关于y 轴的对称点24(,)33D ，则直线AD 的方程为(2)=--y x . 又因为当直线l 斜率不存时，直线AD 的方程为0=x ，如果存在定点Q 满足条件，则(0,2)Q . 所以111112111---===-QA y y k k x x x ，222222111---===-+--QD y y k k x x x ，又因为 121212112()2()220QA QB x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-=，所以=QA QD k k ，即,,A D Q 三点共线.即直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2)Q . …………14分法二(II)①当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+ .由221,24y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得22(12)420k x kx ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -.所以22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩因为2121AD y y k x x -=--，所以直线AD 的方程为：211121()y y y y x x x x --=---.所以21121112121y y x y x yy x y x x x x --=⋅++--+21121121112121y y x y x y x y x yx x x x x --++=⋅+--+2112212121y y x y x y x x x x x -+=⋅+--+ 2112212121(1)(1)y y x kx x kx x x x x x -+++=⋅+--+ 21122121212y y kx x x x x x x x x -++=⋅+--+ 2112212121y y kx x x x x x x -=⋅++--+21212y y x x x -=⋅+--.因为当0,2x y ==，所以直线MD 恒过(0,2)点.②当k 不存在时，直线AD 的方程为0x =，过定点(0,2). 综上所述，直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2). …………14分2、解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=．所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分（Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===．设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①．因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-．由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 3、解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而000ty nx OE y n -=-．[9分]直线M B 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而000ty nx OF y n +=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]4、解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ．因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1，因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-，所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y+=．所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=．所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………14分 5、解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. (4)分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ，则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. (13)分6、解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+ 所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.7、解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-，所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 8、解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=① 11,22c e a ==又所以② 由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在，设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y =2k -121212232()1x x x x x x +--++⑤将④代入⑤得=+21k k 322k -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k kk k k k ，……………….12分又213-=k k ，所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分。

2017北京市东城区高三一模数学理科试卷(word版含问题详解)

2017年市东城区高三一模数学（理科）学校_____________班级_____________________________考号___________本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|13}B x x =<<，则AB =（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x <<（2）已知命题:,2np n ∀∈>N ，则p ⌝是（A）,2nn ∀∈≤N （B）,2n n ∀∈<N（C）,2nn ∃∈≤N （D）,2n n ∃∈>N（3）已知圆的参数方程为1,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B（C ）2 （D）（4）已知m 是直线，,αβ是两个互相垂直的平面，则“m ∥α”是“m β⊥ ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知向量,a b 满足2+=0a b ，2⋅=-a b ，则(3+)()⋅-=a b a b（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）13 （B ）23 （C ）1 （D ）43（7）将函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度，得到函数()y f x 图象在区间[,]1212π5π-上单调递减，则m 的最小值为（A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π （8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2017届高三二模数学(理)试题【含答案】

北京市东城区2016-2017学年度高三第二次统练理科数学2017．5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}240A x x =-<，则R C A =（）A ．{2x x ≤-或}2x ≥B ．{2x x <-或}2x >C ．{}22x x -<<D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中为奇函数的是（） A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+C．y =D ．xy e-=3．若x y ，满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（）A ．1-B ．0C ．12D ．24．设a ，b 是非零向量，则“a ，b 共线”是“a b a b +=+”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和．若15241742a a a a +==，，则6S =（） A ．2716B ．278C ．634D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的512n v x ===，，，则程序框图计算的是（） A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++ C ．654322222221++++++D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A P ，两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（）AB ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜A B ，连续n 天价格分别为12n a a a ，，，，和12n b b b ，，，，令{}max 12m m M a b m n =<=，，，，，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：AB ，现有三种蔬菜A BC ，，，下列说法正确的是（）A ．若AB BC ，，则A CB ．若A B BC ，同时不成立，则A C 不成立C ．A B B A ，可同时不成立D ．A B BA ，可同时成立二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数()2i i -在复平面内所对应的点的坐标为．10．在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ+=与圆()2cos 0a a ρθ=>相切，则a = ． 11．某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有种．（用数字作答）12．如图，在四边形ABCD 中，1453012cos 4ABD ADB BC DC BCD ∠=∠===∠=，，，，，则BD = ；ABD ∆的面积为．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A B ，两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则OA = ．14．已知函数()(]{}(]{}()102min 1324min 354x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩，，，，，，，， ①若()f x a =有且只有一个根，则实数a 的取值范围是．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()()2cos 2f x x a x a R =+∈．（Ⅰ）若26f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在[，] 71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，求()f x 的最大值．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%-60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，2//EA ED AB EF EF AB M ===，，为BC 中点．（Ⅰ）求证：//FM 平面BDE ；（Ⅱ）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ⊥？若存在，求CGCF的值；若不存在，说明理由．设函数()()()2xf x x ax a e a R -=+-∈．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程；（Ⅱ）设()21g x x x =--，若对任意的[]02t ∈，，存在[]02s ∈，使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围．已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>的短轴长为()10F ，，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点A B ，的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上．对于n 维向量()12n A a a a =，，，，若对任意{}12i n ∈，，，均有0i a =或1i a =，则称A 为n 维T 向量．对于两个n 维T 向量A B ，，定义()1ni i i d A B a b ==-∑，．（Ⅰ）若()10101A =，，，，，()01110A =，，，，，求()d A B ，的值．（Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：123A A A ，，，，若()111111A =，，，，且满足：()12i i d A A +=，i N *∈．求证：该序列中不存在5维T 向量()00000，，，，．（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：123A A A ，，，，若()112111A =个，，，且满足()1i i d A A m +=，，m i N *∈，，若存在正整数j 使得()12000j A =个，，，，j A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m ．2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4＜0}，则∁R A=（）A．{x|x≤﹣2或x≥2}B．{x|x＜﹣2或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2≤x≤2}【解答】解：集合A={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，则∁R A={x|x≤﹣2或x≥2}．故选：A．2．（5分）下列函数中为奇函数的是（）A．y=x+cosx B．y=x+sinx C．D．y=e﹣|x|【解答】解：对于A非奇非偶函数，不正确；对于B，计算，正确，对于C，非奇非偶函数，不正确；对于D，偶函数，不正确，故选：B．3．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．D．2【解答】解：作出x，y满足表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由，解得A（﹣，），设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=．故选：C．4．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|=||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“|+|=||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．∴，是非零向量，则“，共线”是“|+|=||+||”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，S n是其前n项和．若a1+a5=，a2a4=4，则S6=（）A．B．C．D．【解答】解：设递增的等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a5=，a2a4=4=a1a5，解得a1=，a5=8．解得q=2，则S6==．故选：D．6．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是（）A．25+24+23+22+2+1 B．25+24+23+22+2+5 C．26+25+24+23+22+2+1 D．24+23+22+2+1 【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，v=1，x=2，i=4满足条件i≥0，执行循环体，v=3，i=3满足条件i≥0，执行循环体，v=7，i=2满足条件i≥0，执行循环体，v=15，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=31，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=63，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为63．由于25+24+23+22+2+1=63．故选：A．7．（5分）动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：对于A、B，当P位于A，B图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除A、B，对于D，其图象变化不会是对称的，由此排除D，故选C．8．（5分）据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，a n，和b1，b2，b3，…，b n，令M={m|a m＜b m，m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（）A．若A B，B C，则A CB．若A B，B C同时不成立，则A C不成立C．A B，B A可同时不成立D．A B，B A可同时成立【解答】解：若a i=b i，i=1，2，…n，则A B，B A同时不成立，故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数i（2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）．【解答】解：复数i（2﹣i）=2i+1在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，则a=1．【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ+1=0化为直角坐标方程：x+y+1=0．圆ρ=2acosθ（a＞0）即ρ2=2ρacosθ（a＞0），可得直角坐标方程：x2+y2=2ax，配方为：（x﹣a）2+y2=a2．可得圆心（a，0），半径a．∵直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，∴=a，a＞0，解得a=1．故答案为：1．11．（5分）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有14种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、选择1门B类课程，需要选择A类课程3门，则B类课程有C21=2种选法，A类课程有C43=4种选法，此时有2×4=8种选择方法；②、选择2门B类课程，需要选择A类课程2门，则B类课程有C22=1种选法，A类课程有C42=6种选法，此时有1×6=6种选择方法；则一共有8+6=14种不同的选法；故答案为：14．12．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD=，则BD= 2；三角形ABD的面积为﹣1．【解答】解：△CBD中，由余弦定理，可得，BD==2，△ABD中，利用正弦定理，可得AD==2﹣2，∴三角形ABD的面积为（2﹣2）×=﹣1，故答案为2，﹣1．13．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）∵直线l过F，倾斜角为60°，即斜率k=tanα=，∴直线l的方程为：y=（x﹣1），即x=y+1，，解得：，，由点A在x轴上方，则A（3，2），则|OA|==，则丨OA丨=故答案为：．14．（5分）已知函数，，，，，，，，①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是（﹣4，﹣2）∪（2，4）．【解答】解：①f（x）=，，，，，，，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当a＞1时，f（x）=a只有1解．②∵关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，∴将f（x）的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有3个交点，∴2＜|T|＜4，即﹣4＜T＜﹣2或2＜T＜4．故答案为：①（1，+∞），②（﹣4，﹣2）∪（2，4）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+a•cos2x（a∈R）．（Ⅰ）若f（）=2，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在[，]上单调递减，求f（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，∵．故得：a=1．（Ⅱ）由题意：f（x）=，其中tan，∴函数的周期T=π，且，所以当x=时，函数f（x）取得最大值，即f（x）max=f（）═=，∴sin（）=1，∴，k∈Z．∴tanθ==，∴a=3．故得．因此f（x）的最大值为．16．（13分）小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%﹣60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）【解答】解：设A i表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”（i=1，2，…，9）．根据题意，，且事件A i与A j互斥．…（1分）（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则B=A4∪A7．…（2分）所以．…（5分）（Ⅱ）由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，…（6分），…（7分），…（8分）．…（9分）所以X的分布列为…（10分）故X的期望．…（11分）（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…（13分）17．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）取CD中点N，连结MN、FN．因为N，M分别为CD，BC中点，所以MN∥BD．又BD⊂平面BDE，且MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB，AB=2EF，所以EF∥CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形．所以FN∥ED．又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE，所以FN∥平面BDE，…（2分）又FN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．…（3分）又FM⊂平面MFN，所以FM∥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）取AD中点O，连结EO，BO．因为EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．因为AD=AB，∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形．因为O为AD中点，所以AD⊥BO．因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．…（6分）由题意得，A（2，0，0），，，，，，，D（﹣2，0，0），，，，，，．…（7分），，，，，，，，．设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则y=1，．所以，，．…（9分）设直线CF与平面BDE成角为α，＜，＞，所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为．…（10分）（Ⅲ）设G是CF上一点，且，λ∈[0，1]．…（11分）因此点，，．…（12分），，．由，解得．所以在棱CF上存在点G使得BG⊥DE，此时．…（14分）18．（13分）设函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立，求a的取值范围．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）当a=0时，∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=（﹣x2+2x）e﹣x，…（1分），∴f′（﹣1）﹣3e．…（2分）又∵f（﹣1）=e，…（3分）∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为：y﹣e=﹣3e（x+1），即3ex+y+2e=0．…（4分）（Ⅱ）“对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立”，等价于“在区间[0，2]上，f（x）的最大值大于或等于g（x）的最大值”．…（5分）∵，∴g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）=1．f'（x）=（2x+a）•e﹣x﹣（x2+ax﹣a）•e﹣x=﹣e x[x2+（a﹣2）x﹣2a]=e﹣x（x﹣2）（x+a），令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．…（7分）①当﹣a＜0，即a＞0时，f′（x）＞0在[0，2]上恒成立，f（x）在[0，2]上为单调递增函数，f（x）的最大值为f（2）=（4+a）•，由（4+a）•≥1，得a≤e2﹣4．…（9分）②当0＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜0时，当x∈（0，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为单调递减函数，当x∈（﹣a，¬2）时，f'（x）＞0，f（x）为单调递增函数．∴f（x）的最大值为f（0）=﹣a或f（2）=（4+a），由﹣a≥1，得a≤﹣1；由（4+a）≥1，得a≤e2﹣4．又∵﹣2＜a＜0，∴﹣2＜a=1．…（11分）③当﹣a＞2，即a＜﹣2时，f′（x）＜0在[0，2]上恒成立，f（x）在[0，2]上为单调递减函数，f（x）的最大值为f（0）=﹣a，由﹣a≥1，得a≤﹣1，又因为a＜﹣2，所以a＜﹣2．综上所述，实数a的值范围是{x|a≤﹣1或a≥e2﹣4}．…（13分）19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，右焦点为F（1，0），点M是椭圆C上异于左、右顶点A，B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．【解答】解：（Ⅰ）由题意得2b=2，则b=，c=1，则a2=b2+c2=4，则a=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）证明：“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”．设直线AM的方程为y=k（x+2）（k≠0），则N（2，4k），E（2，2k）．…（7分）设点M（x0，y0），由，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，由韦达定理可知﹣2x0=，则x0=，y0=k（x0+2）=，①当MF⊥x轴时，x0=1，此时k=±．则M（1，±），N（2，±2），E（2，±1）．此时，点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，即EF平分∠MFB．…（10分）②当k≠时，直线MF的斜率为k MF==，所以直线MF的方程为4kx+（4k2﹣1）y﹣4k=0．…（11分）所以点E到直线MF的距离===|2k|=|BE|．即点B关于直线EF的对称点在直线MF上，综上可知：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．…（14分）20．（13分）对于n维向量A=（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i=0或a i=1，则称A 为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）=．（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1=（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i+1）=2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若，，，︸个且满足：d（A i，A i+1）=m，m∈N*，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得，，，︸个，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），由定义，，可得d（A，B）=4．…（4分）（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1=（1，1，1，1，1），A m=（0，0，0，0，0）．因为向量A1=（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i=1，2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）=2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数．又因为，，，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）（Ⅲ）存在正整数j使得，，，︸个，A j为12维T向量序列中的项，此时m=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）。