2019高中数学第一章1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4

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高中数学第一章三角函数1.4.2第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4

第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性学习目标：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么这个函数的周期为T .(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1．思考辨析 (1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin π6，则2π3是函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)所有的周期函数都有最小正周期．( ) (3)函数y ＝sin x 是奇函数．( ) [解析] (1)×.因为对任意x ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋x 与sin x 并不一定相等．(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f (x )＝5是周期函数，就不存在最小正周期．(3)×.函数y ＝sin x 的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，不关于原点对称，故非奇非偶．[答案] (1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数B [y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，它是周期为π的偶函数．]3．若函数y ＝f (x )是以2为周期的函数，且f (5)＝6，则f (1)＝________. 6 [由已知得f (x ＋2)＝f (x )，所以f (1)＝f (3)＝f (5)＝6.][合作探究·攻重难]三角函数的周期问题及简单应用求下列函数的周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4； (2)y ＝|sin x |. 【导学号：84352085】[思路探究] (1)法一：寻找非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )恒成立．法二：利用y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期．[解] (1)法一：(定义法)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4，所以周期为π.法二：(公式法)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4中ω＝2，T ＝2πω＝2π2＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.[规律方法] 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期T ＝π|ω|. [跟踪训练]1．利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R .[解] (1)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(2)因为sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4的周期为6π.三角函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x .[思路探究][解] (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1，解得定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z， ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )， ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．[规律方法] 1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f (x )与f (－x )的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． [跟踪训练]2．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. [解] (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12，∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z ，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？提示：奇函数有y ＝2sin x ，y ＝sin 2x ，y ＝5sin 2x ，y ＝sin x cos x 等．偶函数有y ＝cos 2x ＋1，y ＝3cos 5x ，y ＝sin x ·sin 2x 等．2．若函数y ＝f (x )是周期T ＝2的周期函数，也是奇函数，则f (2 018)的值是多少？提示：f (2 018)＝f (0＋1 009×2)＝f (0)＝0.(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin 2x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A ．－12B.12 C ．－32D.32[思路探究] (1)先作出选项A ，B 中函数的图象，化简选项C 、D 中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．(2)先依据f (x ＋π)＝f (x )化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3；再依据f (x )是偶函数和x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝sin x 求值．(1)D (2)D [(1)y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin 2x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.]母题探究：1.若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“11π12”，其他条件不变，结果如何？[解] f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－11π12×2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12.2．若本例(2)中的“π”改为“π2”，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π.[解] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝32.[规律方法] 1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．2．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．[当堂达标·固双基]1．如图所示的是定义在R 上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )D [观察图象易知，只有D 选项中的图象不是周期函数的图象．] 2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数A [f (x )＝2sin 2x 的定义域为R ，f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．]3．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．4 [由已知得f (x )的最小正周期T ＝2ππ2＝4.]4．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________. －3 [由已知得f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以f (5)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－3.]5．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝－2cos 3x；(2)f(x)＝x sin(x＋π).[解](1)f(－x)＝－2cos 3(－x)＝－2cos 3x＝f(x)，所以f(x)＝－2cos 3x为偶函数．(2)f(x)＝x sin(x＋π)＝－x sin x，所以f(－x)＝x sin(－x)＝－x sin x＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．。

高一数学必修第一册2019(A版)_《正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性》教学设计二

《正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性》教学设计教学设计一、问题引入观察正弦函数图象，回答下列问题.问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？问题2：正弦曲线具有什么特点？提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次.问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？提示：是.教师提出问题让学生思考.学生思考问题并回答.二、知识深化1.函数的周期性.（1）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.（2）如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做()f x 的最小正周期.教师让学生牢记概念.2.正弦函数、余弦函数的周期性是怎样的？教师提出问题，引导学生探究正弦线作正弦函数图象.师生共同作出正弦函数图象.思考1：定义域内的每一个值都有()()f x T f x +=成立，即x 的任意性这一条件重要吗？为什么？提示：重要，否则不能说()y f x =是周期函数.思考2：所有周期函数都有最小正周期吗？提示：否，如常数函数()f x c =（c 为常数，x ∈R ），所有非零实数T 都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期.3.正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称.教师引导学生自己得出结论.问题2：诱导公式sin()sin x x -=-，cos()cos x x -=体现了函数的什么性质？提示：奇偶性.师生共同总结得出：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.三、应用举例例求下列三角函数的周期：（1）3sin y x =，x ∈R ；（2）cos 2y x =，x ∈R ；（3）1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R . 教师板演（1）（2），规范解题步骤，让学生利用三角函数的周期性，通过代数变形得到等式()()f x T f x +=来求得相应周期.（1）x ∀∈R ，有3sin(2)3sin x x π+=.由周期函数的定义知，3sin y x =的周期为2π.（2）令2z x =，由x ∈R 得z ∈R ，且cos y z =的周期为2π，即cos(2)z π+ cos z =，于是cos(22)cos 2x x π+=，所以cos 2()cos 2x x π+=，x ∈R .由周期函数的定义知，cos 2y x =的周期为π.学生独立完成（3），教师评价.思考：回顾例2解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？教师引导学生阅读教材第203～204页“探究与发现”的内容.求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：（1）公式法，即将函数解析式化为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++的形式，再利用2||T πω=求得；（2）图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.课堂练习：教材第203页练习第4题.判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看()f x 与()f x -的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可以根据诱导公式先将函数解析式化简后再判断.四、归纳小结师生共同总结正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性.教学研讨本案例是通过一系列思考与问题来让学生学习新知的，设计新颖，实用性比较强.需要探讨的一点是：关于教材中的“探究与发现”内容，在实际教学中可引导学生思考是否可以将结论推广到一般周期函数？为将来学习函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质提前做好铺垫.。

2019高中数学第一章 1.4.2 第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4

第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性A 级基础巩固一、选择题1．下列函数中，周期为π的函数是( )A ．y ＝2sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 解析：根据公式T ＝2π|ω|可知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最小正周期是T ＝2π|－2|＝π. 答案：D2．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：因为f (x )是偶函数，所以0＋φ3＝π2＋k π(k ∈Z)，所以φ＝32π＋3k π(k ∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝32π. 答案：C3．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x 解析：对于D ，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．答案：D4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：由诱导公式得，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，所以该函数为周期为2π的偶函数．答案：D5.若函数f (x )＝a sin x ＋2x ＋3，且f (－1)＝7，则f (1)＝( )A.4B.－4C.1D.－1解析：函数f (x )＝a sin x ＋2x ＋3，令g (x )＝a sin x ＋2x ，则g (－x )＝－a sin x －2x ＝－g (x )，所以g (x )＝a sin x ＋2x 是奇函数，f (－1)＝g (－1)＋3＝7，g (－1)＝4，g (1)＝－4，f (1)＝g (1)＋3＝－4＋3＝－1.故选D.答案：D二、填空题6．函数f (x )＝2cos 2x ＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y 轴”)．解析：函数的定义域为R ，f (－x )＝2cos 2(－x )＋1＝2cos(－2x )＋1＝2cos 2x ＋1＝f (x )．故f (x )为偶函数，所以图象关于y 轴对称．答案：y 轴7.已知函数f (x )的周期为1.5，且f (1)＝20，则f (10)的值是_______.解析：f (10)＝f (6×1.5＋1)＝f (1)＝20.答案：208.若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π3)的最小正周期为T ，且T ∈(1，3)，则ω的最大正整数值是_______.解析：ω＝2πT ，因为T ∈(1，3)，所以2π3＜ω＜2π.所以ω的最大正整数值为6.答案：6三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin2x )；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2.解：(1)因为1＋sin2x ＞sin2x ，所以1＋sin2x ＞|sin x |≥－sin x ，所以sin x ＋1＋sin2x ＞0，所以函数f (x )的定义域为R.f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin2（－x ）]＝lg(－sin x ＋1＋sin2x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1＋sin2x ＝所以f (x )为奇函数．(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，x ∈R. 又f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4＝－cos 3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数． 10.函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ）.求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明：因为f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.[B 级能力提升] 1.设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤0，sin x （0≤x ≤π），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( ) A.1 B.22 C.0 D.－22解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2×（－3）＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：B2．已知定义在R 上的函数f (x )是以2为周期的奇函数，则方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又因为函数f (x )以2为周期，所以f (2)＝f (－2)＝f (0)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－f （1），f （－1）＝f （1），解得f (－1)＝f (1)＝0，故方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．答案：53．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．解：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6. 又因为g (x )的最小正周期为π.所以g (x )＝32的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案新人教A版必修4-新人

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性思考对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )，＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)教案新人教A版必修4(20

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1.4。

2 正弦、余弦函数的性质（二)教学目的：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程：复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课：奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？（1）余弦函数的图形当自变量取一对相反数时,函数y 取同一值。

例如：f （—3π)=21，f （3π)=21 ，即f （—3π)=f(3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(—x ）= f(x)。

以上情况反映在图象上就是：如果点（x ，y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(—x ，y ）也在函数y=cosx 的图象上,这时,我们说函数y=cosx 是偶函数。

（2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系?这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称。

第1课时正弦函数、余弦函数的性质-周期性和奇偶性-高一数学新教材配套学案(人教A版必修第一册)

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性、奇偶性【学习目标】【自主学习】一、函数的周期性1.函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数. ___________叫做这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.二、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性【小试牛刀】2.因为sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，所以函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π.( )3.函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数.( )【经典例题】题型一三角函数的周期例1 求下列函数的周期 R x x y ∈=,sin 3)1(R x x y ∈=,2cos )2(Rx x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,621sin 2)3(πxx f sin )()4(=【跟踪训练】1 (多选)下列函数中，周期为4π的是 A.y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-621πx B.y ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πxC.y ＝2sinxD.y ＝2cos 12x 题型二三角函数的奇偶性例2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221πx ，则函数f (x )为A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)判断下列函数的奇偶性. ∈f(x)＝sin xcos x ；②f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【跟踪训练】2 (1)下列函数中周期为π2，且为偶函数的是 A.y ＝sin 4xB.y ＝cos 14xC.y ＝sin )24(π+xD.y ＝cos )24(π-x(2)函数f (x )＝x2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2的奇偶性是___________.题型三三角函数奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π时，f (x )＝sin x ，则f ⎪⎭⎫⎝⎛35π 等于( )A.－12B.12C.－32D.32 变式1.在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其它不变，则f ⎪⎭⎫⎝⎛35π的值为________.2.若本例中条件变为定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx ＝－f (x )，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π＝1，则f ⎪⎭⎫⎝⎛35π 的值为________.【跟踪训练】3 (1)奇函数f (x )满足f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx ＝f (x )，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π时f (x )＝3cos x ，则f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-617π 的值为________.(2)函数y ＝f(x)是R 上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝___.【当堂达标】1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为A.π2 B.π C.2π D.4π2.(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是A.y ＝|cos x | B.y ＝sin 2xC.y ＝xD.y ＝cos 12x3.(多选)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)是R 上的偶函数，则φ的值可以是A.π2 B.π C.3π2 D.－π24.已知f (x )为奇函数，且周期为3π4，若f 1，则f _____.5.已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.【课堂小结】1.(1)周期函数的概念，三角函数的周期. (2)三角函数的奇偶性.(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用. 2.方法归纳：定义法、公式法、数形结合.3.常见误区：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期.【参考答案】【自主学习】非零常数T f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 最小的正数【小试牛刀】×××【经典例题】例1 课本例题【跟踪训练】1例2 (1) B(2)【跟踪训练】2(1)例3 D变式1：变式2【跟踪训练】3（1）【跟踪训练】3（2）【当堂达标】1.2.AC3.4.15.(1)(2)。

第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性念课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

• (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
• (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．
2π ω≠0)的周期T＝___|ω_|___．
【预习自测】函数 y＝sinx＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
() B．周期为 π 的偶函数 D．周期为 2π 的偶函数
• 【解【析答】因案为】y＝Dsinx＋π2＝cos x，所以该函数是周期为 2π 的偶函数．
|课堂互动|
条件如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的____正__数___ 结论这个最小___正__数____叫做f(x)的最小正周期
• 【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
• (1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，
b∈R)．
()
• (2)任何周期函数都有最小正周期．
• 关键点二：看f(－x)与f(x)的关系．
• 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1．
• 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称， • 又因为f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， • 所以f(x)是偶函数．
求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解．

高中数学课件：第一章 1.4 1.4.2 第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

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＋x)是奇函数对吗？ 2 π 提示：不对．∵sin( ＋x)＝cos x，∴应为偶函数． 2 π 2π π 2π 4．对于函数 y＝sin x， x∈R 有 sin( ＋ )＝sin ，能否说 6 3 6 3
是它的周期？
提示：不能．周期必须是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)．
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2．正、余弦函数的周期正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周
期函数，最小正周期为 2π ,2kπ(k∈Z且k≠0)是它们的周期．
3．正、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，图像关于原点(0,0) 中心对称；余弦函数y＝cos x(x∈R)是偶函数，图像关于 y轴对称．
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π 2π 法二：f(x)＝sin(2x＋ )中，ω＝2，∴T＝＝π. 3 2 (2)作出 y＝|sin x|的图像如图：
由图像知，y＝|sin x|的周期为π.
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本例(2)中若变为“y＝sin |x|”，它是周期函数吗？解：作出y＝sin |x|的图像知它不是周期函数．
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[悟一法]
π，则 a＝______.
2π 解析：∵ ＝π，∴|a|＝2，∴a＝± 2. |a|
答案：±2
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[研一题]
[例 2] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin(π＋x)； 1－sin x (2)f(x)＝ . 1＋sin x
[自主解答]
(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x. f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsin x＝f(x)． ∴f(x)为偶函数．

高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的周期性教案新人

课题：正弦函数、余弦函数的性质---周期性一、教学内容分析《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质，因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了，其中，通过观察函数的图象，从图象的的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用。

由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地位，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质。

正弦、余弦函数的性质的难点在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明都很容易，单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可。

二、学生学习情况分析学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．三、设计理念根据“诱思探究教学”中提出的教学模式，设计的教学过程，遵循“探索—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象与图象之间的变换关系，让学生动脑思，动手探，教师的“诱”要在点上，在精不用多。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)教案新人教A版必修4(1)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)1.知识与技能(1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义.(2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期.(3)会判断三角函数的奇偶性.2.过程与方法让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性,并借助诱导公式一给予代数论证这一过程,使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法.3.情感、态度与价值观让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质,领会从特殊推广到一般的数学思想,体会三角函数图象所蕴涵的和谐美,激发学生学习数学的兴趣.重点:周期函数的定义,以及求函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的周期.难点:正弦函数和余弦函数的周期性,以及周期函数、(最小正)周期的意义.1.已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lg x,设a=f,b=f,c=f,则()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b解析:a=f=f=f=-f,b=f=f=f=-f,c=f=f=f.∵当0<x<1时,f(x)=lg x,∴c<0,0<a<b.答案:D2.已知函数f(x)=sin,使f(x)的周期在内,求正整数k的最小值和最大值分别是多少?解:函数f(x)的最小正周期为,故,解得<k<9π,所以k的最小值为15,最大值为28.3.设有函数f(x)=a sin和g(x)=b cos(a>0,b>0,ω>0),若它们的最小正周期之和为,且f=g,f=--1,求这两个函数的解析式.解:∵f(x)的周期T1=,g(x)的周期T2=,∴T1+T2=.∴ω=2.∴f(x)=a sin,g(x)=b cos.又f=a sin a,f=a sin,g=b cos b,g=b cos=- b.又∵f=g,f=--1,∴有解得a=b=1.∴f(x)=sin,g(x)=cos.。

(浙江专版)高中数学第一章三角函数1.4.2第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4

预习课本P34～37，思考并完成以下问题 (1)周期函数的定义是什么？(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？[新知初探]1．周期函数 (1)周期函数的概念条件 ①对于函数ƒ(x )，存在一个非零常数T②当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x ) 结论函数ƒ(x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期条件周期函数ƒ(x )的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做ƒ(x )的最小正周期[点睛] 对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数 y ＝sin xy ＝cos x周期 2k π(k ∈Z 且k ≠0)2k π(k ∈Z 且k ≠0)最小正周期 2π 2π 奇偶性奇函数偶函数[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝sin π3，则π3是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期．( )(3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) (4)函数y ＝－cos π3x 是偶函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．函数ƒ(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 是( )A ．T ＝2π的奇函数B ．T ＝2π的偶函数C ．T ＝π的奇函数D ．T ＝π的偶函数答案：B3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数ƒ(x )＝sin x cos x 是______(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇三角函数的周期[典例] 求下列函数的周期．(1)ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)ƒ(x )＝|sin x |. [解] (1)[法一定义法]∵ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2π ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π3＝ƒ(x ＋π)，即ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π.[法二公式法]∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴ω＝2. 又T ＝2π|ω|＝2π2＝π.∴函数ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π. (2)[法一定义法] ∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π. [法二图象法]∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π.求函数最小正周期的常用方法除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．求下列函数的周期． (1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋3；(2)y ＝|cos x |. 解：(1)T ＝2ππ2＝4，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的周期为4. (2)函数y ＝|cos x |的图象如图所示，由图象知T ＝π.三角函数的奇偶性[典例] (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2的奇偶性．(1)[解析] ∵f (x )的定义域是R.且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． [答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2为偶函数．判断函数奇偶性的方法[活学活用]判断下列函数的奇偶性： (1)ƒ(x )＝x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝sin(cos x )．解：(1)函数ƒ(x )的定义域为R ， ∵ƒ(x )＝x cos(π＋x )＝－x cos x ，∴ƒ(－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x cos x ＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x )为奇函数．(2)函数ƒ(x )的定义域为R ，∴ƒ(－x )＝sin []cos －x ＝sin(cos x )＝ƒ(x )，∴ƒ(x )为偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的应用[典例] 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．[解] ∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数，∴ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.∴ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝32.[一题多变]1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．解：ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32.2．[变设问]若本例条件不变，求ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6的值．解：ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫19π6＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6 ＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12.3．[变条件]若本例条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3的值．解：∵ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．层级一学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2.4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称．5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 2＝sin x 2，故为奇函数． 6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的周期为________．解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性．(1)ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )．∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R.∵ƒ(－x )＝1＋sin －x ＋1－sin －x＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z，0，x ∈[2k π－π，2k π]k ∈Z ，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B.2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π23＝3π，故选A.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 解析：选D ∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：226．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期是________．解析：∵y ＝sin x2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为T ＝2π.答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sinx ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2) ＝－1ƒx(ƒ(x )≠0)．(1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒx， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒx ＋2＝－1－1ƒx＝ƒ(x )，∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是ƒ(x )的一个周期． ∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5， ∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ－1＋2＝－1ƒ1＝15.。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)导学案新人教A版必修4

1.4.2 正余弦函数的性质（1）【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念.2.会求一些简单三角函数的周期.【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期【基础知识】函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+L ）2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω= 说明：①周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； ②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）③T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（()f x c =没有最小正周期）3.求周期的方法：（1）公式法：一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω=（2）定义法：f (x+T)=f (x)（3）图像法：如果函数的图像有一定的变化规律，在某一范围内函数图像重复出现，并且图像一方（左或者右）无限延伸.|sinx |=y 或者|cosx |=y .（4）性质法：你能推出下列函数的周期吗？①)()(x f x f -=+α k x f x f +-=+)()(α（其中k 为非零常数） ②)()(x f kx f ±=+α（其中k 为非零常数）③)(1)(1)(x f x f x f +-=+α， )(1)(1)(x f x f x f -+=+α④)2()1()(---=x f x f x f⑤)(x f 关于a x =和b x =对称⑥)(x f 关于)0,(a 和)0,(b 对称⑦)(x f 关于a x =和)0,(b 对称【例题讲解】例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin = ③12sin()26y x π=-，x R ∈．例2 求下列三角函数的周期：①y=sin(-x+3π)；② y=cos （-2x ）；③y=3sin(2x +5π).例3 求下列函数的周期： ①y=|sinx|；②y=|cosx|.【达标检测】1、设0≠a ，则函数)3sin(+=ax y 的最小正周期为（）A 、a πB 、||a πC 、a π2D 、||2a π2、函数1)34cos(2)(-+=πkxx f 的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（）A 、13B 、12C 、11D 、103、求下列函数的最小正周期：（1）=-=T xy ),23sin(ππ .（2）=+=T x y ),62cos(ππ .4、已知函数)3sin(2πω+=x y 的最小正周期为3π，则=ω .5、求函数的周期：（1）x y cos 21=周期为： . （2）43sin x y =周期为： . （3）x y 4cos 2=周期为： . （4）x y 2sin 43=周期为： . 6、cosx sinx y +=是周期函数吗？如果是,则周期是多少？7、函数)sin()(x x f ω=)0(>w 在[0,4]与x 轴有9个交点，求ω的取值范围.【问题与收获】参考答案：例1： ① π2 ② π ③ π4例2： ① π2 ② π ③ π4例3： ① π ② π达标检测：1、D 2、A 3、π6 ，1 4、 6±5、 π2，38π， 2π， π 6、是周期函数，周期T=2π，k 为正整数，最小正周期为2π. f (x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cos(x)|+|-sin(x)|=|sin(x)|+|cos(x)|=f(x)。

高中数学第一章1.4.2正弦函数余弦函数的性质第1课时问题导学案新人教A版必修

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时一、与三角函数周期有关的问题活动与探究1求下列函数的周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．迁移与应用下列函数中，周期为π的函数为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4三角函数周期的主要求法：方法一：定义法；方法二：公式法，对于y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，周期T ＝2π|ω|；方法三：观察法(图象法)．二、正弦、余弦的奇偶性活动与探究2判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝cos x 1－sin x； (3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1．迁移与应用若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A ．π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π3判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．另外，当知道函数奇偶性求参数时，要注意诱导公式五或六的运用．当堂检测1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 2．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．非奇非偶函数3．下列函数中周期为π2，且为偶函数的是( ) A ．y ＝sin 4x B ．y ＝cos 14x C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π2 4．若函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为4π，则ω＝__________． 5．函数f (x )＝sin x ·cos x 的奇偶性是__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)非零常数T 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) 非零常数T (2)最小的正数预习交流1 (1)提示：不是．如f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有的非零实数T 都是它的周期，不存在最小正数．(2)提示：不唯一．若f (x ＋T )＝f (x )，则f (x ＋nT )＝f (x )(n ∈N )．2．2k π(k ∈Z ) 2π3．奇偶课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)利用代换z ＝2x ＋π3，将求原来函数的周期转化为求y ＝sin z 的周期求解，或利用公式求解．(2)作出函数图象观察求解．解：(1)方法一：令z ＝2x ＋π3， ∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数y ＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数y ＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，∴自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π．方法二：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3中，ω＝2， ∴T ＝2π|2|＝π．(2)作出y ＝|sin x |的图象如图：由图象易知y ＝|sin x |的周期为π．迁移与应用 C 解析：利用周期公式T ＝2πω，可知C 中函数周期T ＝2π2＝π．故选C ．活动与探究2 思路分析：首先看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系．解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称．∵f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，∴f (x )＝sin x cos x 为奇函数．(2)函数应满足1－sin x ≠0，∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然定义域不关于原点对称， ∴f (x )＝cos x 1－sin x为非奇非偶函数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1，∴函数的定义域为{ x |}x ＝2k π，k ∈Z ，定义域关于原点对称．当cos x ＝1时，f (－x )＝0，f (x )＝±f (－x )．∴f (x )＝1－cos x ＋cos x －1既是奇函数又是偶函数．迁移与应用 C 解析：∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1． ∴sin φ3＝±1． ∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2．故选C ．【当堂检测】1．D 解析：易知T ＝2π12＝4π，故选D ． 2．A 解析：∵f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，∴f (－x )＝－sin(－x )＝sin x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．3．C 解析：显然周期为π2的有A 和C ，又因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，故选C ．4．12 解析：由T ＝2πω得2πω＝4π，∴ω＝12． 5．奇函数解析：f (－x )＝sin(－x )·cos(－x )＝－sin x ·cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．。

正弦、余弦函数的周期性与奇偶性(第1课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修)

周期函数的周期不止一个 . 例如, 2 , 4 , 6 , , 以及 2 , 4 , 6 ,
都是正弦函数的周期. 事实上 , k Z且k 0, 常数 2k 都是它的周期.
如果在周期函数f ( x )的所有周期中存在一个最小的正数 , 那么这个最
小正数就叫做f ( x )的最小正周期.
1

(1)() = (− 2 + 2 );
(2)() = ∙ ;
(3)() = (1 − ) − (1 + ).
解：(1)据题意，定义域为实数R，关于原点对称.
1

1
1
∵() = (− 2 + 2 ) = (− 2 ) = 2 ，
线关于y轴对称. 这个事实, 也可由诱导公式
sin( x ) sin x , cos( x ) cos x 得到, 所以
正弦函数是奇函数 , 余弦函数是偶函数.
思考:
知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性
质有什么帮助?
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1
4
3
2

o

-1
7
f ( x ) ( x 1)2 . 求f (3), f 的值.
2
T 2, f (3) f (1) 0,
2
1
7
7

3 3
f f 2 f 1
4
2
2

2 2
题型分类讲解
余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具
有哪些性质?
根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的

高中数学第一章1.4.2正弦函数余弦函数的性质互动课堂学案

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质互动课堂疏导引导1.周期性(1)周期函数:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x 值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)正弦函数的周期从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数,2k π(k∈Z 且k≠0)是它的周期,最小正周期是2π.正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2k π)=sinx(k∈Z )得到.由sin(x+2k π)=sinx(k∈Z )可知当自变量x 的值每增加或减少2π的整数倍时,正弦函数值重复出现,即正弦函数具有周期性,且周期为2k π(k∈Z ),最小正周期为2π.类似地,可以探索余弦函数的周期为2k π,最小正周期为2π.2.奇偶性(1)正弦函数y=sinx(x∈R )是奇函数,①由诱导公式 sin(-x)=-sinx 可知上述结论成立.②反映在图象上,正弦曲线关于原点O 对称.③正弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心为(k π,0);正弦曲线也是轴对称图形,其所有对称轴方程为x=k π+2π,k∈Z . (2)余弦函数的奇偶性与对称性①奇偶性:由诱导公式知cos(-x)=cosx,可知余弦函数是偶函数,它的图象关于y 轴对称. ②对称性:余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是(k π+2π,0)(k∈Z );余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x=k π(k∈Z ).3.单调性(1)正弦函数的单调性在正弦函数的一个周期中,由正弦曲线可以看出,当x 由-2π增加到2π时,sinx 由-1增加到1;当x 由π增大到3π时,sinx 由1减小到-1,情况如下表:由正弦函数的周期性可知:正弦函数y=sinx 在每一个闭区间［-2π+2k π, 2π+2k π］(k∈Z)上,都从-1增大到1,是增函数;在每一个闭区间［2π+2k π, 23π+2k π］(k∈Z )上,都从1减小到-1,是减函数. (2)余弦函数的单调性通过观察余弦函数的图象,可得余弦函数的单调性.余弦函数在每一个闭区间［2k π,(2k+1)π］(k∈Z )上都是减函数,它的值由1减小到-1;在每一个闭区间［(2k+1)π,2(k+1)π］(k∈Z )上都是增函数,它的值由-1增大到1.4.最值从正弦函数、余弦函数的图象可以看出,它们的值域都为［-1,1］.对正弦函数来说,当x=2k π+2π (k∈Z )时,取得最大值1;当x=2k π-2π (k∈Z )时,取得最小值-1. 对余弦函数来说,当x=2k π(k∈Z )时,取得最大值1;当x=2k π+π(k∈Z )时,取得最小值-1. 活学巧用1.求下列函数的周期: (1)y=sin21x;(2)y=2sin(3x -6π). 解析:(1)如果令m=21x,则sin 21x=sinm 是周期函数且周期为2π. ∴sin(21x+2π)=sin 21x, 即sin ［21 (x+4π)］=sin 21x. ∴y=sin 21x 的周期是4π. (2)∵2sin(3x -6π+2π)=2sin(3x -6π), 即2sin ［31(x+6π)-6π］=2sin(3x -6π), ∴2sin(3x -6π)的周期是6π. 答案:(1)4π;(2)6π.2.若函数f(x)是奇函数,当x ＞0时,f(x)=x 2-sinx,当x ＜0时,求f(x)的解析式.解析:设x ＜0,则-x ＞0.∵x＞0时,f(x)=x 2-sinx,∴f(-x)=x 2-sin(-x)=x 2+sinx.又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴-f(x)=x 2+sinx.∴f(x)=-x 2-sinx.答案:f(x)=-x 2-sinx(x ＜0).3.写出函数y=sin(2x+4π)图象的对称轴方程及对称中心坐标. 解析:令2x+4π=k π+2π (k∈Z )得x=2πk +8π(k∈Z ), 令2x+4π=k π(k∈Z )得x=2πk -8π (k∈Z ). ∴函数y=sin(2x+4π)图象的对称轴方程为x=2πk +8π (k∈Z ),对称中心坐标为(2πk -8π,0)(k∈Z ). 答案:对称轴方程x=2πk +8π (k∈Z ),对称中心(2πk -8π,0)(k∈Z ). 4.求y=cos(4π-x)的单调递增区间. 解析:函数y=cos(4π-x)=cos(x-4π),∴y=cos(4π-x)的单调递增区间就是y=cos(x-4π)的单调递增区间,由下式确定:2k π-π≤x -4π≤2k π,k∈Z . ∴2k π-43π≤x≤2k π+4π,k∈Z ,即函数y=cos(4π-x)的单调递增区间是［2k π-43π,2k π+4π］,k∈Z . 5.若sinx=a-1有意义,则a 的取值范围是____________________.解析:∵|sinx|≤1,∴|a -1|≤1.∴-1≤a -1≤1.∴0≤a≤2.答案:0≤a≤26.y=4cos2x,x∈R 有最值吗?若有,请写出最大值、最小值的x 的集合.解析:函数y=4cos2x 取最大值的集合为{x|2x=2k π,k∈Z },即{x|x=k π,k∈Z }. 同理,函数y=4cos2x 取最小值的集合为{x|x=k π+2π,k∈Z }.。

人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.4.2正弦函数、余弦函数的周期性》教案(1)

1.4.2正弦函数、余弦函数的周期性（第一课时）【教学目标】知识目标：认识正弦函数、余弦函数的周期性；理解周期函数的定义能力目标：掌握函数周期和最小正周期定义，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生根据函数图像进一步导出函数的周期性，领会从特殊推广到一般、数形结合的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学习数学的兴趣和积极性.【重点难点】教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用。

【教学过程】一、观察图象，创设情景观察图象：文字语言：正弦函数图象按照一定的规律不断重复地取得，规律是每隔2π重复出现一次符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．结论：对于函数()f x ，自变量增加或减少一个定值，函数值就重复出现，象这样的函数称周期函数。

正弦函数图象按照一定的规律不断重复取得，余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们称为周期性.二、提出定义，突破难点1．周期函数的定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．，都有 ()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有sin()sin 424πππ+=，55sin()sin 424πππ+=，能否说2π是它的周期？（2）若函数()f x 的周期为T ，则2T 也是()f x 的周期吗？为什么？（3）请同学们根据上述定义举出几个周期函数？2．最小正周期的定义对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

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