(人教版A版必修一)课时作业：第三章 函数的应用 3.1习题课

§3.1习题课课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点,则()A．f(0)>0,f(2)<0B．f(0)·f(2)<0C．在区间(0,2)内,存在x1,x2使f(x1)·f(x2)<0D．以上说法都不正确2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点,那么函数y＝f(x)的零点个数是()A．0B．1C．2D．1或23．设函数f(x)＝log3x＋2x－a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是()A．(－1,－log32) B．(0,log32)C．(log32,1) D．(1,log34)4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________________________________．5．函数y＝(12)x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1)6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________个．一、选择题1．已知某函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)有零点的区间大致是() A．(0,0.5)B．(0.5,1)C．(1,1.5)D．(1.5,2)2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是()A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4]3．若x0是方程lg x＋x＝2的解,则x0属于区间()A．(0,1) B．(1,1.25)C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b),并且α,β(α<β)是函数y＝f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系是()A．a<α<β<b B．α<a<b<βC．α<a<β<b D．a<α<b<β二、填空题6．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点,则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α,β满足0<α<1<β<2,则实数p 的取值范围为___________________．9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R),若方程f(x)＝0至少有一正根,则a的取值范围为________．三、解答题10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：求方程x3＋x11．分别求实数m的范围,使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0,(1)有两个负根；(2)有两个实根,且一根比2大,另一根比2小；(3)有两个实根,且都比1大．能力提升12．已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；(3)当实数a为何值时,方程f(x)＝a有三个解？13．当a取何值时,方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上．就是方程f(x)＝0的解；两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是方§3.1习题课双基演练1．D[函数y＝f(x)在区间(a,b)内存在零点,我们并不一定能找到x1,x2∈(a,b),满足f(x1)·f(x2)<0,故A、B、C都是错误的,正确的为D.]2．D[当f(x)的图象和x轴相切与y轴相交时,函数f(x)的零点个数为1,当f(x)的图象与y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时,函数f(x)有2个零点．]3．C[f(x)＝log3(1＋2x)－a在(1,2)上是减函数,由题设有f(1)>0,f(2)<0,解得a∈(log32,1)．]4．2解析作出函数y＝2x及y＝x＋2的图象,它们有两个不同的交点,因此原方程有两个不同的根．5．1.9(答案不唯一)解析令f(x)＝(12)x－lg x,则f(1)＝12>0,f(3)＝18－lg3<0,∴f(x)＝0在(1,3)内有一解,利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.6．2解析设f(x)＝4x2－6x－1,由f(－1)>0,f(2)>0,且f(0)<0,知方程4x2－6x－1＝0在(－1,0)和(0,2)内各有一解,因此在区间(－1,2)内有两个解．作业设计1．B2．B[因为f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0, 所以存在一个零点x∈[1,2]．]3．D[构造函数f(x)＝lg x＋x－2,由f(1.75)＝f(74)＝lg74－14<0,f(2)＝lg2>0,知x0属于区间(1.75,2)．]4．A[由于f(－2)＝－3<0,f(1)＝6>0,故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算．]5．A[函数g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a,b.由于y＝f(x)的图象可看作是由y＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的,所以a<α<β<b.]6．7解析区间(2,3)的长度为1,当7次二分后区间长度为1 27＝1128<1100＝0.01.7．0解析不妨设它的两个正零点分别为x1,x2.由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1,－x2,于是x1＋x2－x1－x2＝0.8．(－1,0)解析设f(x)＝x2－2x＋p＋1,根据题意得f(0)＝p＋1>0, 且f(1)＝p<0,f(2)＝p＋1>0,解得－1<p<0.9．a<0解析对ax2＋2x＋1＝0,当a＝0时,x＝－12,不符题意；当a≠0,Δ＝4－4a＝0时,得x＝－1(舍去)．当a≠0时,由Δ＝4－4a>0,得a<1,又当x＝0时,f(0)＝1,即f(x)的图象过(0,1)点,f(x)图象的对称轴方程为x＝－22a＝－1a,当－1a >0,即a <0时,方程f (x )＝0有一正根(结合f (x )的图象)；当－1a <0,即a >0时,由f (x )的图象知f (x )＝0有两负根, 不符题意．故a <0.10．解 ∵f (1.375)·f (1.4375)<0, 且|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1,∴方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根可取为区间(1.375,1.4375)中任意一个值,通常我们取区间端点值,比如1.4375. 11．解 (1)方法一 (方程思想) 设方程的两个根为x 1,x 2,则有两个负根的条件是⎩⎨⎧Δ＝4－4(m ＋1)≥0，x 1＋x 2＝－2<0，x 1x 2＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0.方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1,则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点均在y 轴左侧,结合函数的图象,有 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4(m ＋1)≥0，－b2a ＝－1<0，f (0)＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0.(2)方法一 (方程思想)设方程的两个根为x 1,x 2,则令y 1＝x 1－2>0,y 2＝x 2－2<0,问题转化为求方程(y ＋2)2＋2(y ＋2)＋m ＋1＝0,即方程y 2＋6y ＋m ＋9＝0有两个异号实根的条件,故有y 1y 2＝m ＋9<0,解得m <－9. 方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1,则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点分别在2的两侧,结合函数的图象, 有f (2)＝m ＋9<0,解得m <－9.(3)由题意知,⎩⎨⎧Δ＝4－4(m ＋1)≥0，x 1－1＋x 2－1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0(方程思想),或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4(m ＋1)≥0，－b2a ＝－1>1，f (1)＝m ＋4>0(函数思想),因为两方程组无解,故解集为空集．12．解 (1)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎨⎧x 2－4x ， x ≥4，－x 2＋4x ，x <4.图象如右图所示．(2)当x ∈[1,5]时,f (x )≥0且当x ＝4时f (x )＝0,故f (x )min ＝0； 又f (2)＝4,f (5)＝5,故f (x )max ＝5. (3)由图象可知,当0<a <4时, 方程f (x )＝a 有三个解．13．解 ①当a ＝0时,方程即为－2x ＋1＝0,只有一根,不符合题意． ②当a >0时,设f (x )＝ax 2－2x ＋1, ∵方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上,∴⎩⎨⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0,即⎩⎨⎧1>0a －2＋1<04a －4＋1>0,解得34<a <1.③当a <0时,设方程的两根为x 1,x 2, 则x 1x 2＝1a <0,x 1,x 2一正一负不符合题意． 综上,a 的取值范围为34<a <1.。