空间图形的基本关系的认识
合集下载
4.1空间图形基本关系的认识
c
b
B
记作： P
β
3. 空间两条直线的位置关系有三种：A
①平行直线—— 在同一个平面内，没有公 共点的两条直线。 ②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有 一个公共点的两条直线。
α α
a
c
b
B
b 记作：a//b
a
β
a O b
记作： b O a
③异面直线— 不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。 —
b
α
b
a
a β b
α
γ
a
A （1）直线在平面内— 直线与平面有无数个 — 公共点。 （2）直线与平面相交— 直线与平面只 α 有一个公共点。 —
4. 空间直线与平面的位置关系有三种：
b
a
β
F
E
（3）直线与平面平行—— 直线与平面没有公共点。
5. 空间平面与平面的位置关系有两种：
（1）平行平面—— 没有公共点的两个平面。 （2）相交平面—— 两个平面不重合， 并且有公共点。 α
E
β
F
练习
1.思考题：
（1）没有公共点的两条直线叫做平行直线，对吗？ （2）空间两条没有公共点的直线叫做异面直线，对吗？
（3）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
（4）平面内一直线与这个平面外的一条直线一定是异面直线吗？
2.说出正方体中各对线段、线段与平面的位置关系： （1）AB和CC1； D1 （2）A1 C和BD1 ； B1 A1 （3）A1 A和CB1； （4）AC和A1 C1； （5）BC与平面A1 C1； （6）B1 C与平面AC； D （7）AB与平面AC。 A B
§4
实例分析
空间图形基本关系的认识
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b′ b
a′ ″
O
例3
例4
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
B
C
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角).
o o
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画一条直线相对 另一条直线的倾斜程度, 如图. (2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
H E F
G
相对于HF的倾斜程度可以怎样
来刻画呢?
D A
空间图形基本 关系的认识
必修2 第一章
立体几何初步
回顾：平面是无限延展的，我们见到的“平
面”只是数学里所说平面的一部分，通常用 平行四边形来表示平面. 平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等来表 示，也可以用表示平行四边形的四个顶点或 两个相对顶点的字母来表示.(有三种表示） 例如：下图中平面α ，平面ABCD，平面 AC都表示同一个平面. A D
3.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB ,
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b′ b
a′ ″
O
例3
例4
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
B
C
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角).
o o
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画一条直线相对 另一条直线的倾斜程度, 如图. (2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
H E F
G
相对于HF的倾斜程度可以怎样
来刻画呢?
D A
空间图形基本 关系的认识
必修2 第一章
立体几何初步
回顾：平面是无限延展的，我们见到的“平
面”只是数学里所说平面的一部分，通常用 平行四边形来表示平面. 平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等来表 示，也可以用表示平行四边形的四个顶点或 两个相对顶点的字母来表示.(有三种表示） 例如：下图中平面α ，平面ABCD，平面 AC都表示同一个平面. A D
3.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB ,
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课
与平面的位置关系. 如果一条直线和一个平面有无数个公共点,则称这条直线在这个 平面内.直线 l 在平面 α 内,记作 l⫋α. 如果一条直线和一个平面只有一个公共点,则称这条直线和这个 平面相交.直线 l 与平面 α 相交于点 P,记作 l∩α=P. 如果一条直线和一个平面没有公共点,则称这条直线和这个平面 平行.直线 l 与平面 α 平行,记作 l∥α. (5)空间平面与平面的位置关系. 如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.平面 α 与平 面 β 平行,记作 α∥β. 如果两个平面不重合但有公共点,则称这两个平面相交.
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
目标导航
预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
目标导航
预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
【数学】1.4.1 空间图形基本关系的认识 课件 (北师大版必修2)
第一章 立体几何初步
4.1 空间图形基本关系的认识
构成空间图形的基本元素
• 点是构成空间图形的最基本的元素
• 线可看作是具有某一特点的点的集合， 也是构成空间图形的元素 • 面也可视为无数点的集合，同时也是构 成空间图形的元素 • 它们之间有什么关系呢？
阅读课本实验分析
• • • • • 试思考以下问题 1、点和直线有什么关系？ 2、点和平面有什么关系？ 3、直线与直线有哪些关系？ 4、平面与平面有什么关系？
异面直线：不在任何一个平面内的两条直线， 作图时为了表示异面直线不共面的特点通 常用一个或两个平面来衬托
例 如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 __________对，分别是______________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
空间直线与平面的位置关 系
空间平面与平面的位置关 系
• 空间平面与平面的位置关系：平行；相 交
ห้องสมุดไป่ตู้
空间点与线的关系
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
空间直线与直线的位置关 系
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P
4.1 空间图形基本关系的认识
构成空间图形的基本元素
• 点是构成空间图形的最基本的元素
• 线可看作是具有某一特点的点的集合， 也是构成空间图形的元素 • 面也可视为无数点的集合，同时也是构 成空间图形的元素 • 它们之间有什么关系呢？
阅读课本实验分析
• • • • • 试思考以下问题 1、点和直线有什么关系？ 2、点和平面有什么关系？ 3、直线与直线有哪些关系？ 4、平面与平面有什么关系？
异面直线：不在任何一个平面内的两条直线， 作图时为了表示异面直线不共面的特点通 常用一个或两个平面来衬托
例 如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 __________对，分别是______________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
空间直线与平面的位置关 系
空间平面与平面的位置关 系
• 空间平面与平面的位置关系：平行；相 交
ห้องสมุดไป่ตู้
空间点与线的关系
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
空间直线与直线的位置关 系
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理
第十二页，共42页。
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。
空间图形的基本关系与公理(1)
分析 可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
(2)l α，P∈l，P∈α.
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.
变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
B α
A
（2）点在平面外
记作：
B
空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两
条直线.
记作：a//b a b α
b
记作： β
ab O
a O b b
③异面直线——不同在任何一个平面内
α a
a
β b
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
变式训练
下面命题中正确的个数是
( C )
①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何 一条直线平行； ③如果直线 a、b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a、 和平面α满足 a∥b， α， α， b a∥ b 那么 b∥α； ⑤如果 a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面α. A．0 B．2 C．1 D．3
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如 图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学-8.3 空间图形的基本关系与公理
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-3-
1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可 以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
考点1 考点2 考点3
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-18-
知识方法
易错易混
对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的 中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正 确答案的序号)
关闭
题图①中,直线GH∥MN; 题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
解析
答案
第八章 1 2 3 4 5
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-11-
自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只 有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交 且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能 错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
考纲要求
-3-
1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可 以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
考点1 考点2 考点3
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-18-
知识方法
易错易混
对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的 中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正 确答案的序号)
关闭
题图①中,直线GH∥MN; 题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
解析
答案
第八章 1 2 3 4 5
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-11-
自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只 有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交 且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能 错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
空间图形的基本关系
•平行平面
//
两个平面没有公共点
平面 与平面 平行
•相交平面
两个平面有公共点
平面 与平面 相交于直线 l
l
l
预习自测
例1、如图所示，下列符号表示错误的是 A. l B. P l P C. l D. P （ A）
l
例2、如图所示，在这个正方体中， BM与ED平行； CN与BM是异面直线； CN与BE是异面直线； DN与BM是异面直线. 以上四个命题中，正确命题的序号是
m
（1）
P
l
A
（2）
l
Q
（3）
m
l
n
3、“a , b 是异面直线”是指： a b 且a 不平行于b ； b 平面 且 a b ； a 平面 ， b 平面 ； a 平面 ， 不存在平面 ，能使 a 且 b 成立. 上述结论中，正确的是 （ C ） A. B. C. D.
b a
b
a A
•异面直线（两条直线不同在任何一个平面内，无交点） 直线a与b异 面
b
b
a
a
4、空间直线与平面的位置关系有三种:
•直线在平面内 直线a 在平面 内
b
a
a
•直线与平面相交 直线b与平面 相交
B
b B
•直线与平面平行
直线c与平面 平行 c //
c
5、空间平面与平面的位置关系有二种:
§4.1空间图形基本 关系的认识
教学目标
掌握空间图形的基本构成 点、线、面 的五种基本位置关系；（重点） 理解异面直线的概念；（难点） 掌握文字语言，符号语言，图形语言的相 互转化.（难点）
//
两个平面没有公共点
平面 与平面 平行
•相交平面
两个平面有公共点
平面 与平面 相交于直线 l
l
l
预习自测
例1、如图所示，下列符号表示错误的是 A. l B. P l P C. l D. P （ A）
l
例2、如图所示，在这个正方体中， BM与ED平行； CN与BM是异面直线； CN与BE是异面直线； DN与BM是异面直线. 以上四个命题中，正确命题的序号是
m
（1）
P
l
A
（2）
l
Q
（3）
m
l
n
3、“a , b 是异面直线”是指： a b 且a 不平行于b ； b 平面 且 a b ； a 平面 ， b 平面 ； a 平面 ， 不存在平面 ，能使 a 且 b 成立. 上述结论中，正确的是 （ C ） A. B. C. D.
b a
b
a A
•异面直线（两条直线不同在任何一个平面内，无交点） 直线a与b异 面
b
b
a
a
4、空间直线与平面的位置关系有三种:
•直线在平面内 直线a 在平面 内
b
a
a
•直线与平面相交 直线b与平面 相交
B
b B
•直线与平面平行
直线c与平面 平行 c //
c
5、空间平面与平面的位置关系有二种:
§4.1空间图形基本 关系的认识
教学目标
掌握空间图形的基本构成 点、线、面 的五种基本位置关系；（重点） 理解异面直线的概念；（难点） 掌握文字语言，符号语言，图形语言的相 互转化.（难点）
简单几何体及空间图形的基本关系
1•简单几何体及空间图形的基本关系1、柱、锥.台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面.对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等：平行于底面的截而绘与底而全等的多边形。
（2）棱锥几何特征：侧而、对角而都是三角形；平行于底而的截面与底而相似，其相似比等于顶点到截而距离与高的比的平方。
（3）棱台：几何特征：①上下底而是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行：③轴与底面圆的半径亚口：④侧面展开图足一个矩形。
（5）圆锥；定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底而出一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧而展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：以直角梯形的亚直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底而是两个圆；②侧而母线交于原圆锥的顶点；③侧而展开图泉一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆而旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截而是圆；②球而上任总一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图定义三视图：主视图（光线从几何体的前面向后而正投影）：左视图（从左向右）、俯视图（从上向下〉注：主视图反映了物体的高度和长度：俯视图反映了物体的长度和宽度：左视图反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的亶观图一一二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、空间点、直线、平面的位置关系公理1:如果一条直线的两点在一个平而内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理h Aw【、Bwl、Awa、Bwanlua公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平而；两平行直线确定一平面。
空间图形基本关系的认识
A.0个B.1个C.2个D.3个
请根据下图提示,完善本节知识结构图:
◎会用长方体解释点线面的位置关系.
◎学会用集合的语言表述点线面的位置关系.
◎掌握两个相交平面和一对平行平面的画法.
◎理解异面直线的含义.
1.用符号表示下列语句
（1）点A在平面 内，但在平面 外.
（2）直线 经过平面 外一点 .
1．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：
(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．
D.不同在任何一个平面内的两条直线
5.下列命题正确的个数为（）
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.
（1）（2）（3）
2.完成直线和平面的位置关系表
位置关系
线在面内
线与面相交
线与面平行
公共点
图形表示
符号表示
3.完成两个平面的位置关系表
位置关系
两平面平行
两平面相交
公线是指（）
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
请根据下图提示,完善本节知识结构图:
◎会用长方体解释点线面的位置关系.
◎学会用集合的语言表述点线面的位置关系.
◎掌握两个相交平面和一对平行平面的画法.
◎理解异面直线的含义.
1.用符号表示下列语句
（1）点A在平面 内，但在平面 外.
（2）直线 经过平面 外一点 .
1．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：
(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．
D.不同在任何一个平面内的两条直线
5.下列命题正确的个数为（）
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.
（1）（2）（3）
2.完成直线和平面的位置关系表
位置关系
线在面内
线与面相交
线与面平行
公共点
图形表示
符号表示
3.完成两个平面的位置关系表
位置关系
两平面平行
两平面相交
公线是指（）
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
空间图形基本关系的认识及公理123
【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗？ 提示：不一定，如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？ 提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重 合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个 平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法： ①空间不同的三点可以确定一个平面； ②如果线段AB在平面α内，那么直线AB一定在平面α内； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图，直线a∥b，直线l∩a=A，直线l∩b=B，求证：直
线a，b，l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α，B∈平面α，说明什么 问题？ 2.题(2)中，由a∥b可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l 共面？ 【探究提示】1.A∈平面α，B∈平面α，说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面； ②任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同 时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义 这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共 点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三 个平面，故错误. (2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案：(1)× (2)× (3)×
立体几何-空间图形的基本关系与公理1
空间图形的基本关系与公理研究对象：点、线、面的关系 三种语言：文字语言、符合语言、图形语言（看图说话）点线关系：点在线上、点在线外 点面关系：点在面上、点在面外 线线关系：平行、相交、异面线面关系：线面平行、线面相交、线在面内 面面关系：面面平行、面面相交公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：不共线的三点，可以确定一个平面。
推论1：直线和直线外的一点可以确定一个平面 推论2：两条平行直线可以确定一个平面。
推论3：两条相交直线可以确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行的传递性）。
等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所组成的锐角（或直角）相等。
异面直线a 、b 所成角：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a 、b 的平行线1l 、2l ()12//,//a l b l ，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a 、b 所成角。
如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作a b ⊥。
论证点、线共面的通法之一，即证部分元素确定一个平面，再证余下元素也在平面内。
论证点、线共面的通法之二，即根据确定平面的条件，先证各部分元素分别确定平面，再证这些平面有相同的确定平面的条件，即重合。
点共线、线共点：依据是公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
证明多点共线：通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上。
证明多线共点：可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上。
空间图形的基本关系的认识`
a b A
a、b异面
a / /b
位置关系
文字表述
图形语言
符号语言
直线l在
直线与平面
平面内 直线l 平行 于平面 直线l与平 面 交于A
l Ø
l / / l A
平面 与平
平面与平面 面 相交于l
平面 与平
l
关于异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。
§4
实例分析
空间图形的基本关系与公理
观察下列长方体，回答问题。
A
4.1 空间图形基本关系的认识
a
α
c
问题
b
B
(1) 长方体有几个顶点？ （2）长方体有几条棱？ （3）长方体有几个表面？
通常把平面用一个希腊字母，， 等字母表示， 还可以用表示平行四边形的四个顶点的字母来表示 （或用用表示平行四边形的对角顶点的两个字母来表示） 例如：
D α β C
A
记为：平面α
C
记为：平面 β
O
记为：平面 ABCD或平面AC、 平面BD
B
A
B
记为：平面ABC
记为：圆面O
位置关系
文字表述
图形语言
符号语言
点与Байду номын сангаас线
点A在直线l上
点A不在直线l上
Al Al A
A
点A在平面内
点与平面 点A不在平面
内
平行直线
直线与直 线
相交直线 异面直线
(4)不存在平面，使得a 刎平面，b
平面
3.两个平面有三个公共点，则这两个平面（ C ） B. 重合
4.直线a、b两条直线都平行于平面，则直线a、b 的位置关系是（ D ） A.平行 B. 相交 C.异面 D.可能平行、可能相交、可能异面
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
B
C
3.直线a、b两条直线都平行于平面，则直线a、b 的位置关系是（ D ） A.平行 B. 相交 C.异面 D.可能平行、可能相交、可能异面
小结：
点线
空 间 图 形 的 基 本 关 系
点面
线线
线面
在直线上 在直线外 在面上 在面外 平行 相交 共面 异面 在面内 相交 不在平面内 平行 相交 平行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为了表示异面 直线不共面的特 点，作图时通常 用一个或两个平 面衬托.
判一判:（抢答） （1）没有公共点的两条直线叫做平行直线，对 吗？ （2）分别在两个平面内的两条直线一定是异面 直线吗？
（3）平面内一直线与这个平面外的一条直线一定 是异面直线吗？ （4）既不相交也不平行的两条直线异面
换一换：
拓展： 如图所示的是一个正方体表面的一种展开图， 图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体
中相互异面的有______对.
8 个顶点、____ 12 条棱、___ 6 个表面. 长方体有____ 观察图形,讨论顶点、棱所在直线、平面的位置关系.
点、线、面如何表示呢？
1、空间点与直线的位置关系 （1）点在直线上
记作：
A l
.A
.B
l
（2）点在直线外
记作：
Bl
2、空间点与平面的位置关系
（1）点在平面内
记作：
A
H
AB与HG不是异面直线。
G
F
E D A
C B
观察正方体，你能找出3对以上的异面直线吗？
你能举出生活中异面直线的实例吗？
看一下生活中的例子：
C B
D A
立交桥中, 两条路线AB, CD
六角螺母
D C
A
B
a
b
思考：
怎么画异面直线呢？
o
有一个背景作为衬托 －－直观，空间立体 感更强！
异面直线的画法：
A．4 B．6 C．8 D．10
C
)
2．如图所示的长方体中，试指出：
(1)与平面ABCD平行的平面________；
(2)与AD平行的平面________；
(3)与AD相交的平面________；
(4)与AD异面的直线________． 答案：(1)平面A1B1C1D1； (2)平面BCC1B1与平面A1B1C1D1； (3)平面ABB1A1与平面DCC1D1； (4)BB1，CC1，A1B1，C1D1.
1.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
a
a P
（2）
A l
B
l b
（1）
练一练：
2.说出正方体中各对线段、线段与平面的位置关系： （1）AB和CC1； （2）A1 C和BD1 ； （3）A1 A和CB1； （4）AC和A1 C1； （5）BC与平面A1 C1； （6）B1 C与平面AC； （7）AB与平面AC。 A A1 D1 B1 C1
α
4、空间平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行
记作：
α
//
（2）两个平面相交
记作：
a
a
5、空间两条直线的位置关系 1、平行
没有公共点
a / /b
2、相交
只有一个公共点
a b A
没有公共点
3、异面
异面直线:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫 做异面直线。
既不相交也不平行的两条直线叫异面直线. 如图,在长方体中， 判断AB与HG是不是异面直线？
B
（2）点在平面外
记作： B
A
3、空间直线与平面的位置关系
1、直线在平面内
直线与平面有无数多个公共点 记作 a
α
a A α a a
直 2、直线与平面相交 线 直线与平面只有一个公共点 不 记作: a∩α =A 在 平 面 3、直线与平面平行 内 直线与平面没有公共点
记作： a //
面面
练习： 在三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在直线中,
（1）与直线AB成异面直线的有_____ 3 条; （2）与直线AB1成异面直线的有_____ 3 条;
C1 A1 B1
C A B
1．如图正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和 BC的中点分别
是E、F，各棱所在的直线中与直线EF异面的条数是 (