2018年人教版九年级数学 《一元二次方程的根与系数的关系》参考教案
2018-2019学年最新人教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案-优质课教案
一元二次方程的根与系数的关系课型：新知课学习目标：1、探索一元二次方程根与系数的关系式；2、熟练运用一元二次方程根与系数的关系式解决相关问题。
学习重点：一元二次方程根与系数的关系。
学习难点：运用一元二次方程根与系数的关系式解决相关问题类型1、2。
学习方法：探究法、讨论法、小组合作法学习过程：一、回顾复习(1分钟)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式是。
二、自主探究（5分钟）(自学课本41页例4前面的内容)设方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1、x2，试求出x1+x2、x1·x2的值。
三、归纳总结（2分钟）可以发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2与系数a、b、c有如下关系：x1+x2= ，x1·x2= 。
四、初步应用（5分钟）下列方程的两根和与两根积各是多少？(1)x2－3x+1=0 (2) 3x2－2x=2 (3)2x2+3x=0把方程化为一般形式，以便确定a、b、c的值。
五、合作探究（20分钟）类型1：求含有方程两根的代数式的值。
已知 x 1、x 2是方程x 2-4x+1=0的两个根，求x 12+x 22，(x 1-x 2)2的值。
解：由根与系数的关系得：x 1+x 2= ，x 1x 2 =x 12+x 22 = (x 1+x 2)2 - =(x 1-x 2)2 =( )2 – 4x 1x 2 =对应练习：已知方程x 2-4x-2=0的两根为x 1、x 2，不解方程，求下列各式的值。
(1) x 12+x 22 (2) x 12x 2+x 1x 22 (3) (x 1+1)(x 2+1)解此类题目时：(1)正确写出方程的两根和与积：(2)把要求的代数式变得含有方程的两根和与积，再代入求值.(1) x 12+x 22 =(2) x 12x 2+x 1x 22=(3) (x 1+1)(x 2+1)=类型2：已知一元二次方程的一个根，不解方程求另一个根及字母系数的值。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关》教案、教学设计
根据学生的个体差异，布置不同难度的课后作业，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，针对学生在课堂上的表现，进行有针对性的辅导，解决他们在学习过程中遇到的问题。
7.教学评价，持续改进
通过课堂提问、作业批改、测验等方式，了解学生的学习效果，对教学方法和策略进行调整，以提高教学质量。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的求解方法有初步的了解。在此基础上，他们对一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的探究欲望，但可能对根的判别式和韦达定理的理解还不够深入。因此，在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导他们通过观察、思考、总结，逐步理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
1.培养学生对待数学问题的认真态度，严谨治学，克服困难，勇于探索。
2.培养学生用数学的眼光观察世界，认识世界，增强学生的数学应用意识。
3.培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中体验成功，树立自信心。
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂的开始，我将通过一个贴近学生生活的实际问题来导入新课：“同学们，假设我们班要举行一次篮球比赛，已知比赛场地上有两个篮筐，分别距离地面一定高度。现在我们需要计算出篮球从地面抛起，到达篮筐高度时的速度。这个问题可以通过一元二次方程来求解，那么如何找到这个方程的根呢？”这个问题既能够引起学生的兴趣，又能让学生感受到数学与生活的紧密联系。
此外，学生在解决实际问题时可能会遇到一定的困难，需要教师耐心指导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学应用能力。同时，学生的个体差异较大，教师应关注每个学生的学习进度，针对性地进行教学辅导，使他们在原有基础上得到提高。
《一元二次方程的根与系数的关系》教案
21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学内容由一元二次方程的求根公式推导一元二次方程根与系数的关系，并用根与系数的关系求方程另一根及字母系数的值及一些代数式的值等运用．教学目标1．知识与技能：会用求根公式推导根与系数的关系，并利用它不解方程，解决一些与方程的根有关的问题．2．过程与方法：不解方程，直接用根与系数的关系求方程的另一根，及有关x 1、x 2的对称式的代数式的值．教学重难点熟练用求根公式，不解方程而直接解决与方程的根有关的问题．教学过程一、教师导学问题：方程x 2＋x －6＝0的两个根．x 1＝________，x 2＝________，x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0)的两个根x 1＝________，x 2＝________，x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．二、合作与探究由上面的问题可知，x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)，两根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．分析：∵x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a这就是一元二次方程根与系数的关系．【例1】若x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值： (1)1x 1＋1x 2(2)x 21＋x 22 (3)(x 1－x 2)2 (4)(x 1＋1)(x 2＋1)分析：利用根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，再将所有式子用x 1＋x 2，x 1x 2表示，再整体代入求解即可．解：略．【例2】已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两实根为α，β，且1α＋1β＝－1，求m 的值． 分析：1α＋1β＝α＋βαβ，由根与系数关系代入求出m 的值，但是m 的值必须满足一元二次方程有两实根，即满足Δ＝b 2－4ac ≥0.解：m ＝3.三、巩固练习1．已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝__12__． 2．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值． 解：m 1＝－11(舍去)，m 2＝3.3．关于x 的方程x 2－23x ＋m ＝0的一个根为3＋1，求方程的另一根，及m 的值．解：另一根为3－1，m ＝2.四、能力展示已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋(2a －1)x ＋a 2＝0的两个实数根，且(x 1＋2)(x 2＋2)＝11，求a 的值． 解：a 1＝5(舍去)，a 2＝－1.五、总结提升本节课应掌握不解方程，利用根与系数的关系解决关于x1＋x2与x1x2有关代数式值的问题或求方程的根或字母系数的值．六、布置作业教材P16练习。
一元二次方程的根与系数的关系-人教版九年级数学上册教案
一元二次方程的根与系数的关系——人教版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解一元二次方程解的概念和性质，掌握求方程解的方法；2.学会熟练运用求根公式及应用一元二次方程解决实际问题；3.掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系；4.培养分析、解决实际问题的能力和兴趣。
二、教学重点与难点1.教学重点：掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系。
2.教学难点：能够运用一元二次方程解决实际问题。
三、教学过程1.复习回顾通过让学生进行口算或板书，回忆一元二次方程的定义和一些基本概念例如：二次项的系数、判别式等。
2.引入新知1.学生通过求解以下方程来感受一元二次方程根的划分：x2−2x+1=0，x2−2x+2=0，x2−2x+3=02.通过口算讨论发现，x2−2x+1=0这个方程有极特殊的一点，即方程的两根重合。
这便引出了一元二次方程解的概念和性质。
3.讨论不同的二次项系数对一元二次方程的根的影响。
4.讲解一元二次方程的解法，介绍求根公式并让学生观察、理解其含义。
3.例题讲解1.练习使用求根公式求解一元二次方程。
2.通过题目的加减乘除，让学生掌握如何将实际问题建立为一元二次方程，运用一元二次方程解决实际问题。
4.拓展练习通过配合精心设计的习题，引导学生总结一元二次方程根的数量和系数的关系。
5.归纳总结1.让学生回想本节课学过的知识点。
2.教师要求学生口头或书面介绍一元二次方程，比如：定义、图像、根的数量等方面的内容。
四、课后作业1.完成课本相关练习和拓展试题。
2.结合生活实际，自编3道一元二次方程及其解决实际问题的例题，写在作业本上。
五、教学反思在本节课的备课过程中，从实际出发，将一元二次方程的解和实际联系起来，让学生能够欣赏数学课程应用的实际面貌，从而激发学生的数学兴趣。
同时，在教学中也要注重实际情况的演示和练习，让学生能够充分接触到不同情境下使用一元二次方程等的运算过程，从而更加灵活地应用数学。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。
3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。
教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。
2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。
过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。
1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。
3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
2018年人教版初三上册数学(一元二次方程根与系数关系)专题教案
变式训练
1、已知关于 的方程 。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。
（2） 取何值时，方程有两个正根。
（3） 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4） 取何值时，方程至少有一根为零？
题型四：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值．
(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根．
(2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数．
(3)不解方程，可以利用韦达定理求关于 的对称式的值，如
等等．说明：如果把含 的代数式中 互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于 的对称式．
(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程．
3．已知a，b是方程x21=0的两根，求a22a 的值．
二.选择题
1.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（）
A.
B.
C.
D.
2.如果一元二次方程 的两个根为 ，那么 与 的值分别为（）
A. 3，2B.
C. D.
3.如果方程 的两个实数根分别为 ，那么 的值是（）
A. 3B. C. D.
4.如果 是方程 的两个根，那么 的值等于（）
A. B.3C. D.
课程主题：一元二次方程根与系数关系
教学内容
1、同步学校知识理解
2、上次课作业分析与讲解
1、一元二次方程 的求根公式为 。
2、一元二次方程 根的判别式为：
（1）当b2-4>0时，一元二次方程20（a≠0）有两个不相等实数根即x1= ，x2= ．
（2）当-40时，一元二次方程20（a≠0）有两个相等实数根即x12= ．
(人教版九年级上册数学)21.2《一元二次方程的根与系数的关系》名师教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程根与系数关系相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器绘制抛物线，观察不同a, b, c值对根的影响。
-对于实际问题的转化，教师可以提供多个不同背景的例子，如几何问题、物理问题等，指导学生如何提取关键信息，建立一元二次方程模型，并运用根与系数的关系求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如分配资源、计算面积等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的根与系数关系这一部分内容兴趣浓厚，但同时也存在一些理解上的难点。首先，韦达定理的两个公式记忆和运用上，部分学生还存在困难。在讲解过程中，我通过具体的方程例子进行推导，希望能帮助他们更好地记忆和理解。然而，从学生的反馈来看，可能还需要在课后加强个别辅导，确保每个人都能掌握。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
一元二次方程的根与系数的关系》教案
一元二次方程的根与系数的关系》教案一元二次方程的根与系数的关系知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，能够使用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并解决一些简单的问题。
过程与方法】通过探究一元二次方程根与系数的关系，培养学生的观察思考、归纳概括能力和解决问题的能力，渗透整体的数学思想和求简思想。
情感态度】通过学生自主探究，发现根与系数的关系，增强研究的信心，培养科学探究精神。
教学重点】根与系数的关系及运用。
教学难点】定理的发现及运用。
一、情境导入，初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们的数学学科中更蕴藏着大量的规律。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们一起去探究，感受一次当科学家的滋味。
二、思考探究，获取新知解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？教学说明】通过让学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式可知：x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a则有以下结果：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
三、运用新知，深化理解1.求下列方程的两根之和与两根之积。
1）x2-6x-15=0；2）5x-1=4x2；3）x2=4；4）2x2=3x。
2.已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.1）求k的取值范围；2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值。
2018-2019年初中人教版九年级数学上册课题一元二次方程的根与系数的关系优质课教学设计
课题：一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．【学习重点】一元二次方程的根与系数的关系． 【学习难点】让学生从具体方面的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．情景导入 生成问题旧知回顾：(1)一元二次方程的一般式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．(2)一元二次方程的求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)．自学互研 生成能力知识模块一 探究一元二次方程根与系数的关系 【自主探究】阅读教材P 15～P 16的部分，完成以下问题：1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1＋x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程 x 1x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2x 2＋6x －16＝0 －82 －6 －16x 2－2x －5＝0 6＋1 －6＋12 －5 2x 2－3x ＋1＝0 112 32 12 5x 2＋4x －1＝0－115－45－152.利用求根公式推导根与系数的关系：ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a，得：x 1＋x 2＝－b a __x 1x 2＝c a． 【合作探究】3．思考：如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x ＋ca ＝0(a≠0)，则以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0(a≠0)． 知识模块二 利用根与系数的关系求值 【自主探究】范例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2＋2x ＋1＝0解：x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 (2)5x －5＝6x 2－4. 解：x 1＋x 2＝56，x 1·x 2＝16【合作探究】仿例：求下列方程的两根之和与两根之积． (1)2x 2＋3＝7x 2＋x解：x 1＋x 2＝－15，x 1·x 2＝－35(2)2x 2＝3x解：x 1＋x 2＝32，x 1·x 2＝0变例：已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 解：设方程的另一根为x 1，则－3x 1＝－92，∴x 1＝32. ∴x 1＋(－3)＝32＋(－3)＝－k2，解得k ＝3.∴另一根为32，k 的值为3.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究一元二次方程根与系数的关系 知识模块二 利用根与系数的关系求值当堂检测 达成目标【当堂检测】1．若x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－1． 2．已知x ＝1是方程x 2＋mx －3＝0的一个根，则另一个根为－3，m ＝2． 3．若方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根分别为2和－3，则a ＝1，b ＝－6． 4．已知a ，b 是方程x 2－3x －1＝0的两根，求b a ＋ab的值．解：∵a＋b ＝3，ab ＝－1，∴b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝32－2×（－1）－1＝－11. 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。
教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。
教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。
教学资源：1. 教材；2. ppt。
教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。
Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。
Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。
Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。
Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。
例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对讲授新知部分的内容，进行讨论。讨论主题包括：判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系等。
2.讨论要求：小组成员要积极参与，发表自己的观点，倾听他人的意见，共同探讨问题。每个小组选出一个代表，汇报本组讨论成果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，及时解答学生的疑问，引导他们深入探讨问题。
（五）总结归纳
1.学生自主总结：让学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程根与系数的关系及其应用，归纳解题方法。
2.教师点评：教师对学生的总结进行点评，强调重点知识点，指出易错点，提醒学生注意。
3.课堂小结：对本节课的教学内容进行梳理，形成知识结构，为学生后续学习奠定基础。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
7.关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导。对学习困难的学生，要进行耐心辅导，帮助他们克服困难；对优秀生，要适当提高要求，激发他们的潜能。
8.定期组织课堂小结，让学生在总结中回顾所学知识，形成系统的知识结构。同时，鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.作业难度分层，满足不同学生的学习需求；
3.作业形式多样，注重培养学生的实践能力和团队合作精神；
4.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题，提高数学应用能力；
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
（二）教学难点
1.判别式的推导及其与根的关系的理解；
2.在实际问题中，如何构建一元二次方程模型，并运用根与系数的关系进行求解；
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案一、教学目标
知识与技能：
掌握、运用一元二次方程的根与系数关系。
在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值
过程与方法：
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程，体会由特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观：
1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合
作交流的学习习惯。
2、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
二、教学重难点
重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
三、教学用具
普通教学工具、多媒体工具
四、教学过程。
一元二次方程根与系数的关系教案-人教版(优秀教案)
一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：() 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：￥() 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：() 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-【例】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：() 22310x x -+=() 24912y y +=() 25(3)60x x +-=解：() 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．() 原方程可化为：241290y y -+=2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．（() 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：() 方程有两个不相等的实数根；() 方程有两个相等的实数根()方程有实数根；() 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-() 141203k k ->⇒<； () 141203k k -=⇒=； &() 141203k k -≥⇒≥； () 141203k k -<⇒<． 【例】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-． 综上知：1,0x y =-=《二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：,22b b x x a a-+--==所以：1222b b b x x a a a-+--+=+=-，12244ac cx x a a⋅==== 定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥． >【例】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：() 2212x x +；()1211x x +； () 12(5)(5)x x --； () 12||x x -．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-() 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=()121212112220072007x x x x x x +-+===- () 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-() 12||x x -====%说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．() 方程两实根的积为；() 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．分析：() 由韦达定理即可求之；() 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．解：() ∵方程两实根的积为 ~∴222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩所以，当4k =时，方程两实根的积为．() 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥． #【例】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．() 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．() 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：() 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． ∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩}∴222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．()∵222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：() 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．() 本题综合性较强，要学会对41k +为整数的分析方法． !组．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )．2k >．2,1k k <≠且 ．2k <．2,1k k >≠且．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )．2．2-．12．92．已知菱形的边长为，两条对角线交于点，且、的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于()．3-．5．53-或．53-或^．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )．M ∆=．M ∆>．M ∆<．大小关系不能确定．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )．20-．2．220-或．220或．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 ．．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为，则k 的值是 ．．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p ，q ． $．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a ，b ，c ．．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于．您是否同意他的看法请您说明理由． ．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n 的值．．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． () 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；() 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值． ．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．() k 取何值时，方程存在两个正实数根 …()k 的值．组．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． () 求k 的取值范围； () 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于．-() 求实数k 的取值范围； () 若1212x x =，求k 的值． 第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案组． ． ． ． ．．2,a c b b c +=≠且 ． ． 或3-．1,3p q =-=-．3,3,0a b c ===．正确．．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=-．3(1) (2)22k k ≥=组．13(1)112k k <≠且() 不存在 ．1m = ()当3k =时，方程为310x +=，有实根；() 当3k ≠时，0∆>也有实根．．() 314k k ≥≠且 ； () 7k =．。
数学教案-一元二次方程的根与系数的关系(一)
数学教案－一元二次方程的根与系数的关系(一)一、教学目标 1.把握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数； 2.通过根与系数的教学，进一步培育同学分析、观看、归纳的力量和推理论证的力量； 3.通过本节课的教学，向同学渗透由特别到一般，再由一般到特别的熟悉事物的规律。
教学重点和难点：二、重点难点疑点及解决方法 1.教学重点：根与系数的关系及其推导。
2.教学难点：正确理解根与系数的关系。
3.教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。
4.解决方法；在实数范围内运用韦达定理，必需留意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必需是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要依据题目分析题中有没有隐含条件和。
三、教学步骤（一）教学过程 1.复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
（2）解方程①，②。
观看、思索两根和、两根积与系数的关系。
在老师的引导和点拨下，由沉重得出结论，老师提问：全部的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2.推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。
设是方程的两个根。
∴ ∴以上一名同学板书，其他同学在练习本上推导。
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。
（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1.假如的两个根是，那么。
假如把方程变形为。
我们就可把它写成。
的形式，其中。
从而得出：结论2.假如方程的两个根是，那么。
结论1具有一般形式，结论2有时给讨论问题带来便利。
练习1.（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）此组练习的目的是更加娴熟把握根与系数的关系。
3.一元二次方程根与系数关系的应用。
（1）验根。
（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。
①；②；③；④；⑤。
验根是一元二次方程根与系数关系的简洁应用，应用时要留意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要留意中的负号。
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21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
教学内容
本节课主要学习用公式法解一元二次方程。
教学目标
知识技能
掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
数学思考
通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
解决问题
培养学生准确快速的计算能力．
情感态度
通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
重难点、关键
重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．
难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
关键：掌握一元二次方程的求根公式，•并应用求根公式法解简单的一元二次方程．教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
一、复习引入
【问题】（学生总结，老师点评）
1.用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识解答问题．
【设计意图】
复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．
二、 探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
【问题】
已知ax 2+bx+c =0（a ≠0）且b 2
-4ac ≥0，试推导它的两个根为x 1=2b a -
x 2 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax 2+bx =-c
二次项系数化为1，得x 2+b a x =-c a
配方，得：x 2+b a x +（2b a ）2=-c a +（2b a
）2
即（x +2b a ）2=22
44b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
∴2244b ac a
-≥0
直接开平方，得：x +2b a =±2a
即x =2b a
-
∴x 1=2b a -+，x 2=2b a
- 【说明】 这里a
ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式
【活动方略】
鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．
【设计意图】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。
【思考】
利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？
（1）2320;x x -+=
（2）2222-=-x x
（3）24320x x -+=
【活动方略】
在教师的引导下，学生回答，教师板书
引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：
（1）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在042≥-ac b 的前提
下，把c b a ,,的值代入a
ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）中，可求得方程的两个根；
（3）我们把公式a
ac b b x 242-±-=（042≥-ac b ）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；
（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【设计意图】
主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
三、 反馈练习
教材P 16 练习题．
补充习题：
用公式法解下列方程．
（1）x 2-5x -6=0 （2）7x 2+2x -1=0 （3）3x 2-5x +2=0
（4）5x 2+2x -6=0 （5）4x 2-7x +2=0 （6）2x 2-12x -32
=0 【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对知识的掌握情况.
四、 应用拓展
例：某数学兴趣小组对关于x 的方程（m +1）22m x ++（m -2）x -1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m +1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020
m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x
13
4
±=
x1=1，x2=-1 2
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-1
2
．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-1 3
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；
当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-1
3
．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生应用方程有关的知识解题，进一步掌握公式法。
作业。