第一单元 1.1.1 第1课时集合的含义 Word版含答案

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学案1：1.1.1第1课时集合的含义

1．1．1集合的含义使用说明：“自主学习”10分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。

“巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。

能力展示5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“∈”关系的意义.。

.(2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合.(3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.(4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性).(5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度.学习重点：集合概念的形成。

学习难点：理解集合的元素的确定性和互异性.学习过程（一）自主学习阅读课本，完成下列问题：1、一般地，我们把研究对象称为.，把一些元素组成的总体叫做。

2、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。

3、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。

4、集合通常用大写的拉丁字母表示，如。

元素通常用小写的拉丁字母表示，如。

5、如果 a 是集合A 的元素,就说 a 属于A ,记作 ,读作” ”。

如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于A ,记作，读作” ”。

6、非负整数集（或自然数集），正整数集，整数集，有理数集，实数集。

答案：1.元素集合2. 确定的3. 互不相同4. A,B,C a,b,c5. a ∈A a 属于集合A a ∉A a 不属于集合A6. N N*或N + Z Q R（二）合作探讨1、.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x,y )|y =x 2-1}是同一个集合； (3)1,23,46,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素； (4)集合{(x,y )|xy ≤0,x,y ∈R }是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3答案：A2.已知集合A 由x ＜1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A 解析：很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．答案： C（三）巩固练习1．如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素，其中：x ＝a ＋b 2(a ，b ∈Q )，则下列元素中不属于集合M 的元素个数是______个．①x＝0，②x＝2，③x＝3－22π，④x＝13－22，⑤x＝6－42＋6＋4 2.解析：①当a＝b＝0时，x＝0；①正确；②当a＝0，b＝1时，x＝2，②正确；③当a＝3，b＝－2π时，b∉Q，x＝3－22π∉M，③不正确；④当x＝3，b＝2时，x＝3＋22＝13－22，④正确；⑤x＝6－42＋6＋42＝2－2＋2＋2＝4当a＝4，b＝0时，x＝4，⑤正确．答案： 12．已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．解析：∵－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，∴a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上可知，a＝0，或a＝1.(四)个人收获1、集合的概念2、集合元素的三个特征，其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3、常见数集的专用符号.（五）预习内容预习集合的表示法。

第1章 1.1 1.1.1 第1课时集合的含义

集合1．1.1 集合的含义与表示第一课时集合的含义[新知初探]1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．元素与集合的关系[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a ∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．常用的数集及其记法[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合．( )(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )答案：(1)√(2)×(3)×2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )A．0∈N B．π∈QC.2∈Q D．－1∉Z答案：A3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是( )A．0 B．1C．－1 D．0或1答案：A4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．答案：2集合的基本概[例1] 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．[答案] B1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合．其中正确的有________．(填序号)解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．答案：①③[例2] (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0. [答案] (1)C (2)0,1,2元素与集合的关系[活学活用]2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 3．用适当的符号填空：已知A ＝{x|x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x|x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B.解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z. 所以17∈A.令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z.所以－5∉A.令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ，所以17∈B. 答案：∈ ∉ ∈[例3] 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________．集合中元素的特性及应用[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案] －1[一题多变]1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝2，或a＝－ 2.2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C ．4D ．0解析：选B 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A.故选B.5．由实数－a ，a ，|a|，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a>0，－a ，a<0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b________A ，ab________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A. 答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x<a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________. 解析：∵x ∈N,2<x<a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6. 答案：69．设A 是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<6，3a<6，解得a<2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.层级二应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，ba ，b.若集合A 与集合B 相等，则b－a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a≠0，∴a ＝－b ， ∴ba＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a|a ＋|b|b ＋|ab|ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>36．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或17．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.11 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A.∵12∈A ，∴11－12＝2∈A.∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠11－a ，∴集合A 不可能是单元素集．。

高一数学必修一第一章 1.1 1.1.1 集合的含义与表示

合A，记作 a∉A .
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2．常用的数集及其记法
常用的自然
有理
正整数集整数集
实数集
数集数集
数集
记法 N N*或N＋
Z
Q
R
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观察下列集合： (1)中国古代四大发明组成的集合； (2)20的所有正因数组成的集合； (3)不等式x－2≥3的解集； (4)所有正偶数组成的集合．
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问题1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？提示：(1)(2)中的元素可以一一列举出来． (3)(4)中的元素不能一一列举，因为元素有无穷多个．问题2：设(3)(4)中的元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来．提示：(3)中元素x≥5；(4)中的元素x＝2n，n∈N＋.
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7．用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合．
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解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为 {x|x＝2n，n∈N*}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N*，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N*}． (3)第一象限内的点的横坐标大于0，且纵坐标大于0，故平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合为{(x，y)|x>0， y>0}.
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1．集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明．集合中的元素是确定的．
2．集合是由元素组成的，元素与集合是“属于” 或“不属于”的关系．
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3．集合的表示法常见的有描述法与列举法．一般是当集合中元素的个数较多或无限时，用描述法；当集合中元素的个数较少时，用列举法．

高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义人教A版必修1

(2)已知集合 M 中含有三个元素 2，a，b，集合 N 中含有三个元素 2a,2，b2，且 M＝N，求 a，b 的值．
解 (1)因为－3∈A，所以 a－2＝－3 或 2a2＋5a＝－3，解得 a＝－1 或 a＝－32.
当 a＝－1 时，A 中三个元素分别为－3，－3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去．
【跟踪训练 2】 (1)用符号“∈”或“∉”填空． ①0.3· ____∉____N*；②1____∈____N； ③1.5_____∉___Z；④2 2____∉____Q； ⑤2＋ 3____∈____R；⑥若 x2＋1＝0，则 x____∉____R. (2)设 x∈R，集合 A 中含有三个元素 3，x，x2－2x. ①求实数 x 应满足的条件； ②若－2∈A，求实数 x 的值．
集合，且 2∈A，则实数 m 为( )
A．2
B．3
C．0 或 3 D．0,2,3 均可
解析 ∵2∈A，∴m＝2 或 m2－3m＋2＝2，当 m＝2 时， m2－3m＋2＝0 与集合互异性矛盾．当 m2－3m＋2＝2 时，m ＝0(舍去)或 m＝3，符合题意，故 m＝3.
4．m，n∈R，由两个数mn ，1 组成的集合 P 与由两个元素 n,0 组成的集合 Q 相等，则 m＋n 的值等于____1____．
解 (1)由－3∈A 且 a2＋1≥1，可知 a－3＝－3 或 2a －1＝－3，
当 a－3＝－3 时，a＝0；当 2a－1＝－3 时，a＝－1. 经检验，0 与－1 都符合要求． ∴a＝0 或－1. (2)当 x＝0,1，－1 时，都有 x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故 x＝－1.
或a＝14， b＝12.
解法二：∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．

第一章 §1 1.1 第1课时集合的概念

§1集合1．1集合的概念与表示第1课时集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”与“不属于”关系.4.记住常用数集的表示符号并会应用．知识点一元素与集合的概念1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的、顺序任意的．思考某班所有的“追梦人”能否构成一个集合？答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系关系说法记法属于a属于集合A a∈A不属于a不属于集合A a∉A思考符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？答案不能，符号“∈”和“∉”具有方向性，必须左边是元素，右边是集合．知识点三常见的数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N＋或N*Z Q R R＋1．组成集合的元素一定是数．(×)2．接近于0的数可以组成集合．(×)3．元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相同的．(×)4．一个集合中可以找到两个相同的元素．(×)一、对集合的理解例1(多选)考察下列每组对象，能构成集合的是()A．2 020年全国高考数学试卷中的所有难题B．中国各地美丽的乡村C．参加我市新冠防治的志愿者D．不小于3的自然数答案CD解析A中“难题”，B中“美丽的”标准不明确，不符合确定性；CD中的元素标准明确，均可构成集合，故选CD.反思感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列说法中，正确的是()A．“不超过20的非负数”构成一个集合B．用实数2,0,2,0组成的集合有4个元素C．“3的近似值的全体”构成一个集合D．由甲、乙、丙三人组成的集合与丙、乙、甲三人组成的集合不同答案 A二、元素与集合的关系例2(1)下列关系式中正确的个数为()①2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z；⑤0∈N.A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①∵2是无理数，∴2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确；⑤0是自然数，故⑤正确．(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为__________．答案2,1,0解析由题意可得，3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0，因此A中元素有2,1,0.反思感悟判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练2给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．三、集合中元素特性的简单应用例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.(学生)反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练3已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可答案 B解析由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾；当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B.1．现有下列各组对象：①著名的数学家；②某校今年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点．其中能构成集合的是()A．①③B．②③C．③④D．③④⑤答案 D解析①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合．2．(多选)下列结论正确的是()A．0∈N＋ B.2－7∉QC．0∉Q D．8∈Z答案BD3．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答案 D解析因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．答案10解析由集合元素的互异性知，集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．5．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．答案②④解析因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．(2)常用数集的表示．(3)集合中元素的特性及应用．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．1．下列各组对象能构成集合的有( ) ①接近于1的所有正整数； ②小于0的实数； ③(2 020,1)与(1,2 020)． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．0组答案 B解析 ①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合． 2．(多选)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B. 5 C.34 D ．－7 答案 BD解析由题意知a 应为无理数．3．给出下列关系：①13∈R ；②7∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 13是实数，①正确；7是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.4．已知集合A 中的元素x 满足x －1<3，则下列各式正确的是( ) A ．3∈A 且－3∉A B ．－3∈A 且3∈A C ．3∉A 且－3∉A D ．3∉A 且－3∈A 答案 D解析 ∵3－1＝2>3，∴3∉A ，又－3－1＝－4<3，∴－3∈A . 5．已知集合M 是由满足y ＝12x ⎝⎛⎭⎫其中x ∈N ＋，12x ∈Z 的实数y 组成的，则M 中含有的元素个数为( ) A ．4B ．6C．8 D．12答案 B解析由题意，可知y可取的值为1,2,3,4,6,12，共6个，故选B.6．用符号“∈”或“∉”填空：设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.答案∈∉解析矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.7．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．答案－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合中元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________. 答案 6解析∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴知a＝6.9．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值．解(1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2符合题意．故x＝－2.10．若集合A中含有a－2，a2＋4a,10三个元素，若－3∈A，求实数a的值．解由－3∈A得，a－2＝－3或a2＋4a＝－3.若a－2＝－3，解得a＝－1，此时a2＋4a＝1－4＝－3，集合A中的元素为－3，－3,10，不满足元素的互异性，所以a＝－1，舍去．若a2＋4a＝－3，解得a＝－3或a＝－1(舍去)．当a ＝－3时，a －2＝－5，此时集合A 中的元素为－5，－3,10，符合条件．综上，a ＝－3.11．集合A 中只含有三个元素2,4,8，若a ∈A ，且8－a ∈A ，则a 为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．0答案 B解析若a ＝2，则8－a ＝8－2＝6∉A ；若a ＝4，则8－a ＝8－4＝4∈A ；若a ＝8，则8－a ＝8－8＝0∉A ，故选B.12．(多选)已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．－1∈MB ．1∈MC ．2∈MD ．3∈M 答案 AD解析 ①当x ，y 均为正数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为3；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y |y |＋xy |xy |的值为－1；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为－1，所以集合M 的元素有－1,3.13．由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．2 答案 C解析由题意知a 2≠4,2－a ≠4，a 2≠2－a ，解得a ≠±2，且a ≠1，结合选项知C 正确，故选C.14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．答案 1,2解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A 中元素为0,1,2，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是1,2.15．已知集合M 有2个元素x ,2－x ，若－1∉M ，则下列说法一定错误的是________． ①2∈M ；②1∈M ；③x ≠3. 答案 ②解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，2－x ≠－1，x ≠2－x .解得x ≠－1，x ≠1且x ≠3，当x ＝2或2－x ＝2，即x ＝2或0时，M 中的元素为0,2，故①可能正确；当x ＝1或2－x ＝1，即x ＝1时，M 中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确． 16．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，根据上述条件求出实数a 的值．解 ∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意．综上所述，a ＝－3.。

第一章 1.1 1.1.1 第一课时集合的含义

第一课时
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集合的概念
[提出问题] 观察下列实例： (1)山东天成书业集团的所有员工； (2)平面内到定点 O 的距离等于定长 d 的所有的点；
x＋1≥3 (3)不等式组 2 x ≤9
的整数解；
(4)方程 x2－5x＋6＝0 的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．
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问题1：上述实例中的研究对象各是什么？
[例3] 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数
a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素， ∴a≠1. 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性． ∴a＝－1.
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[类题通法] 关注元素的互异性根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．
不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“ 2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如 2 是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．
[答案] A
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(2)[解]
①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对
象不具有确定性，所以不能组成集合． 3 6 1 1 ②不正确．由于＝，－2＝，由集合中元素的互异性知， 2 4 2 3 1 这个集合是由 1，，这三个元素组成的． 2 2 ③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，所以它们仍表示同一个集合．
x2，若A＝B，求实数x，y的值．
解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0. (1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍

1.1集合的概念1.1.1集合的含义教案Word版含答案

第一章集合与常用逻辑用语集合的概念【素养目标】1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于〞关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题．【重点】用元素与集合的“属于〞关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．【难点】集合元素特性的应用．1.1.1 集合的含义要点整合夯根底根底知识(1)河北?红对勾?书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；(3)一次函数()0y kx b k =+≠的图象上的假设干个点；(4)不超过2019的非负数．提示：(1)能构成集合．河北?红对勾?书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．(2)“滑得很快〞无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快〞无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手〞不能构成一个集合．(3)“假设干个点〞是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数()0y kx b k =+≠的图象上的假设干个点〞不能构成一个集合． (4)任给一个实数x ，可以明确地判断x 是不是“不超过2019的非负数〞，即“02019x ≤≤〞与“0x <或2019x >〞，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2019的非负数〞能构成一个集合．思考2：假设集合A 由0,1与x 三个元素组成，那么x 的取值有限制吗？为什么？提示：有限制，0x ≠且1x ≠.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．知识点二元素与集合的关系如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作∉.思考3：假设集合A 是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A ,5与A 有什么关系？提示：1A ∈,5A ∉.思考4：常用的数集符号N ，*N ，N ＋有什么区别？提示：(1)N 为非负整数集(即自然数集)，而*N 或N ＋表示正整数集，不同之处就是N 包括元素0，而*N 或N ＋不包括元素0.(2)*N 和N ＋的含义是一样的，初学者往往误记为*N 或N＋，为防止出错，对于*N 和N ＋可形象地记为“星星(*)在天上，十字架(＋)在地下〞．思考5：用符号“∈〞或“∉〞填空．(1)1∈*N ；(2)3-∉N ；(3)13∈Q ；∉Q ；(5)12-∈R .典例讲练破题型题型探究类型一集合的概念【例1】以下所给的对象能构成集合的是__(1)(4)(5)______． (1)所有的正三角形；(2)高中数学必修第一册课本上的所有难题； (3)比拟接近1的正数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； (6)参加里约奥运会的年轻运发动．【解析】(1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合．因“难题〞的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；(3)不能构成集合．因“比拟接近1〞的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合； (4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生〞；(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点〞；(6)不能构成集合．因为“年轻〞的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．【通法提炼】判断元素能否构成集合，关键是集合中元素确实定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，假设标准明确那么可以构成集合，否那么不可以. 【变式训练1】以下对象能组成集合的是( )B.某个班级中学习好的所有同学C.2018年全国高考数学试卷中所有难题D.屠呦呦实验室的全体工作人员【解析】D 中的对象都是确定的，而且是不同的．A 中的“近似值〞，B 中的“学习好〞，C 中的“难题〞标准不明确，不满足确定性，因此A ，B ，C 都不能构成集合．类型二集合中元素的特性命题视角1：集合元素的互异性【例2】集合A 中含有两个元素a 和2a ，假设1A ∈，求实数a 的值．【分析】此题中集合A 中有两个元素且1A ∈，根据集合中元素的特点需分1a =或21a =两种情况讨论，另外还要注意集合中元素的互异性．根据集合中元素确实定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．【解析】假设1A ∈，那么1a =或21a =，即1a =±. 当1a =时，2a a =，集合A 有一个元素，∴1a ≠. 当1a =-时，集合A 含有两个元素1，1-，符合互异性．∴1a =-. 【通法提炼】当一个集合中的元素含字母时，可根据题意并结合集合中元素确实定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.【变式训练2】(1)假设集合M 中的三个元素是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是( D ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形(2)由2a ,2a -,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，那么实数a 的取值可以是( C ) A ．1B ．2-C ．6D ．2【解析】(1)集合中任何两个元素不相同．(2)由题意知24a ≠,24a ≠-，22a a ≠-，解得2a ≠±，且1a ≠.结合选项知C 正确．应选C命题视角2：集合元素的无序性【例3】集合A 中含有三个元素0，ba ，b ，集合B 中含有三个元素1，a b +，a ，假设A ，B 两个集合相等，求20192019a b +的值．【分析】由两个集合相等，所含元素相同列出a ，b 的关系式，解出a 与b ，再求20192019a b +的值．【解析】由两个集合相等易知0a ≠，1a ≠，故0a b +=，且1b =或1b a =.假设1b =，由0a b +=得1a =-，经验证，符合题意；假设1b a =，那么a b =，结合0a b +=，可知0a b ==，不符合题意．综上知1a =-，1b =.所以20192019201920191(10)a b =++-=. 【通法提炼】两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.【变式训练3】集合A 由1,3,5,7四个元素组成，实数a ，b A ∈，那么ab 的不同值有( B ) A ．12个B ．13个C ．16个D ．17个【解析】a ，b 是集合A 的元素，ab 的值会因a ，b 的顺序不同而不同．a ，b 所取的值按顺序分别为：1,1；3,3；5,5；7,7；1,3；3,1；1,5；5,1；1,7；7,1；3,5；5,3；3,7；7,3；5,7；7,5，其对应的ab 有13个不同的值．类型三元素与集合的关系【例4】(1)给出以下关系：①12∈RQ ；③||3∉N -；④|∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( B ) A ．1 B ．2C ．3 D ．4(2)集合A 中的元素x 满足63Nx ∈-，x ∈N ，那么集合A 中的元素为____0,1,2____．【解析】(1)12是无理数；|33|-=是自然数；|是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．(2)由63Nx ∈-，x ∈N 知0x ≥，603x ≥-，且3x ≠，故03x ≤<.又x ∈N ，故0,1,2x =.当0x =时，6320N -=∈，当1x =时，6331N-=∈，当2x =时,6362N-=∈.故集合A 中的元素为0,1,2.【通法提炼】判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.假设满足，就是“属于〞关系；假设不满足，就是“不属于〞关系.特别注意，符号“∈〞与“∉〞只表示元素与集合的关系.【变式训练4】不等式320x +>的解集为M . (1)试判断元素1-,0与集合M 的关系；(2)假设1a -是集合M 中的元素，求a 的取值范围．【解析】(1)∵21(10)3⨯+=-<-，∴1-不是集合M 中的元素，∴1M ∉-. 又30220⨯+=>，∴0是集合M 中的元素，∴0M ∈. (2)∵1a M -∈，∴()3120a -+>.∴31a >，∴13a >.课堂达标练经典1．以下各组对象不能构成集合的是(B) A ．某中学所有身高超过1.8米的大个子 B ．约等于0的实数 C ．某市全体中学生D ．北京大学建校以来的所有毕业生【解析】由于“约等于0〞没有一个明确的标准，因此B 中对象不能构成集合． 2．以下命题中，正确命题的个数是(C )①集合*N 中最小的数是1；②假设*a ∉N -，那么*a ∈N ；③假设*a ∈N ，*b ∈N ，那么a b +的最小值是2；④244x x +=的解集是{2,2}．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】*N 是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当0a =时，*a ∉N -，*a ∉N ，故②错误；假设*a ∈N ，那么a 的最小值是1，同理，*b ∈N ，b 的最小值也是1，∴当a 和b 都取最小值时，a b +取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．3．a ，b 是非零实数，代数式||||||a b ab a b ab ++的值组成的集合是M ，那么以下判断正确的选项是( B )A ．0M ∈B ．1M -∈C ．3M ∉D ．1M ∈【解析】当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是1-；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是1-.综上可知B 正确． 4．集合A 由元素1-和2构成，集合B 是方程20x ax b ++=的解，假设A B =，那么a b +=__3-__.【解析】∵A B =，∴方程20x ax b ++=的解是1-或2. ∴1a =-，2b =-，∴3a b +=-.5．集合A 由21a a -+，|1|a +两个元素构成，假设3A ∈，求a 的值．【解析】∵3A ∈，∴213a a -+=或||13a +=.①假设213a a -+=，那么2a =或1a =-.当2a =时，||13a +=，此时集合A 中含有两个3，因此应舍去．当1a =-时，||103a +=≠，满足题意． ②假设||13a +=，那么4a =-或2a =(舍去)．当4a =-时，21213a a +=≠-，满足题意．综上可知1a =-或4a =-.课时作业 A 组素养自测一、选择题1．以下各组对象能组成一个集合的是( C ) ①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③【解析】①④不符合集合中元素确实定性．应选C ．2．假设集合A 只含有元素a ，那么以下各式正确的选项是( C ) A ．0A ∈B ．a A ∉C ． a A ∈D ．a A =【解析】由题意知A 中只有一个元素a ，∴0A ∉，a A ∈，元素a 与集合A 的关系不应该用“＝〞，应选C ．3．假设以方程2560x x +=-和220x x --=的解为元素组成集合M ，那么M 中元素的个数为( C ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】方程2560x x +=-的解为2x =或3x =，220x x --=的解为2x =或1x =-，所以集合M 中含有3个元素．4．由实数x ，x -，x( A )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】x，x=-，故当0x =时，这几个实数均为0；当0x >时，它们分别是x ，x -，x ，x ，x -；当0x <，它们分别是x ，x -，x -，x -，x .最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．5．设x ∈N ，且1x ∈N，那么x 的值可能是( B ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．0或1【解析】∵1N -∉，∴排除C ；0∈N ，而10无意义，排除A 、D ，应选B ．6．如果集合A 中含有三个元素2,4,6，假设a A ∈，且6a A -∈，那么a 为( B )A ．2B ．2或4C ．4D ．0【解析】∵a A ∈，∴当2a =时，64a -=，∴6a A -∈；当4a =时，62a -=，∴6a A -∈；当6a =时，60a -=，∴6a A -∉，故2a =或4.二、填空题7．设A 表示“中国所有省会城市〞组成的集合，那么深圳__∉__A ，广州__∈__A (填“∈〞或“∉〞)．【解析】深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．8．设直线23y x =+上的点集为P ，点(2,7)与点集P 的关系为(2,7)__∈__P (填“∈〞或“∉〞)．【解析】直线23y x =+上的点的横坐标x 和纵坐标y 满足关系：23y x =+，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当2x =时，2237y =⨯+=，∴(2,7)P ∈. 9．集合A 含有三个元素1,0，x ，假设2x A ∈，那么实数x 的值为__1-__.【解析】因为2x A ∈，所以21x =或20x =或2x x =，解得1x =-,0,1.经检验，只有1x =-时，满足集合元素的互异性．三、解答题10．记方程20x x m --=的解构成的集合为M ，假设2M ∈，试写出集合M 中的所有元素．【解析】因为2M ∈，所以2220m --=，解得2m =.解方程220x x --=，即2)10()(x x -=+，得1x =-或2x =.故M 含有两个元素1-,2.11．由a ，ba ，1组成的集合与由2a ，ab +,0组成的集合是同一个集合，求20202020ab +的值．【解析】由a ，b a ，1组成一个集合，可知0a ≠，1a ≠，由题意可得0b a =，即0b =，此时两集合中的元素分别为a ,0,1和2a ，a ,0，因此21a =，解得1a =-或1a =(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此1a =-，且0b =，所以202020202020(10)1ab +-+==.B 组素养提升一、选择题1．如果a 、b 、c 、d 为集合A 的四个元素，那么以a 、b 、c 、d 为边长构成的四边形可能是( D )A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【解析】由于集合中的元素具有“互异性〞，故a 、b 、c 、d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．2．集合A 是由0，m ，232m m -+三个元素组成的集合，且2A ∈，那么实数m 的值为( B ) A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3【解析】因为2A ∈，所以2m =，或2322m m +=-，解得0m =或3m =.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得3m =，应选B ．3．(多项选择题)集合A 中元素满足31x k =-，k ∈Z ，那么以下表示正确的选项是( BC ) A ．2A -∈ B ．11A -∉ C ．231k A -∈ D ．34A -∉ 【解析】令312k -=-，解得13k =-，13-∉Z ，∴2A -∉；令3111k -=-，解得103k =-，103-∉Z ，∴11A -∉；∵2k ∈Z ，∴231k A -∈；令3134k -=-，解得11k =-，11-∈Z ， ∴34A -∈．应选BC ． 4．x ，y 都是非零实数，||||||x y xy x y y z x ++=可能的取值组成的集合为A ，那么以下判断正确的选项是( B )A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉ 【解析】当0x >，0y >时，1113z =++=；当0x >，0y <时，1111z =--=-；当0x <，0y >时，1111z =-+-=-；当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈．应选B ．二、填空题5．用适当的符号填空：{|}32,A x x k k Z ==+∈，{|}61,B x x m m Z ==-∈，那么17__∈__A ；5-__∉__A ；17__∈__B ．【解析】令3217k +=，得5k =,5∈Z ，所以17A ∈；令325k +=-，得73k =-，73-∉Z ，所以5A -∉；令6117m -=，得3m =,3∈Z ，所以17B ∈．6．假设11aa A -+∈，且集合A 中只含有一个元素a ，那么a 的值为__1-__.【解析】由题意，得11aa a -+=，∴2210a a -=+且1a ≠-，∴1a =-±7．(2021·江苏泰州期末)集合A 中含有两个元素x 和y ，集合B 中含有两个元素0和2x ，假设A ，B 相等，那么实数x 的值为__1__，y 的值为__0__. 【解析】因为集合A ，B 相等，所以0x =或0y =.①当0x =时，20x =，此时集合B 中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；②当0y =时，2x x =，解得0x =或1x =，由①知0x =应舍去，经检验，1x =符合题意，综上可知，1x =，0y =. 三、解答题8．集合A 中含有两个元素3a -和21a -. (1)假设2-是集合A 中的元素，试求实数a 的值；(2)5-能否为集合A 中的元素？假设能，试求出该集合中的所有元素；假设不能，请说明理由．【解析】(1)因为2-是集合A 中的元素，所以23a -=-或221a -=-. 假设23a -=-，那么1a =，此时集合A 含有两个元素2-,1，符合要求；假设221a -=-，那么12a =-，此时集合A 中含有两个元素72-，2-，符合要求．综上所述，满足题意的实数a 的值为1或12-.(2)不能．理由：假设5-为集合A 中的元素，那么35a -=-或215a -=-.当35a -=-时，解得2a =-，此时212215()a -⨯--==-，显然不满足集合中元素的互异性；当215a -=-时，解得2a =-，此时35a -=-显然不满足集合中元素的互异性．综上，5-不能为集合A 中的元素． 9．集合,{|},A x x m m n Z ==+∈．(1)试分别判断1x2x23(1x -=与集合A 的关系；(2)设12,x x A ∈，证明：12·x x A∈．【解析】(1)10()1x =-+=0,1-∈Z ，所以1x A ∈；221122x +==+，因为1∈Z ，但12∉Z ，所以2x A ∉；23(()1994x --+==-，因为9,4-∈Z ，所以3x A ∈．(2)因为12,x x A∈，所以可设111x m =，222x m =，且1122,,,m n m n ∈Z ，所以121212()·()x x m m =12122112())2m m n n m n m n =++．因为12122m m n n ∈Z+，2112m n m n ∈Z+，所以12·x x A∈．课堂小结本课堂需掌握的三个问题：1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性． 2．关于特定集合N ，*()N N ＋，Z ，Q ，R 等的意义是约定俗成的，解题时作为使用，不必重述它们的意义．3．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a A ∈〞与“a A ∉〞这两种结果，“∈〞与“∉〞具有方向性，左边是元素，右边是集合．。

1.1(第1课时)集合的含义学案(含答案)

1.1（第1课时）集合的含义学案（含答案）1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义学习目标1.通过实例理解集合的有关概念.2.初步理解集合中元素的三个特性.3.体会元素与集合的属于关系.4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象知识点一集合与元素的概念1集合一般地，一定范围内某些确定的.不同的对象的全体构成一个集合，通常用大写的拉丁字母来表示集合2元素集合中的每一个对象称为该集合的元素简称元通常用小写的拉丁字母来表示3集合中元素的特征确定性.无序性.互异性知识点二元素与集合的关系1若a是集合A的元素，就记作aA，读作“a属于A”2若a不是集合A的元素，就记作aA，读作“a不属于A”知识点三常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR题型一判断给定的对象能否构成集合例1判断下列每组对象能否构成一个集合1不超过20的非负数；2方程x290在实数范围内的解；3某校xx年在校的所有高个子同学；4的近似值的全体解1对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合2能构成集合3“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合4“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数，如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合反思感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是________填序号数学必修1课本中所有的难题；小于8的所有素数；直角坐标平面内第一象限的一些点；所有小的正数答案解析中“难题”的标准不确定，不能构成集合；能构成集合；中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；中没有明确的标准，所以不能构成集合题型二元素与集合的关系例2给出下列关系R；Q；|3|N；||Q；0N.其中正确的为________填序号答案解析是实数，对；不是有理数，对；|3|3是自然数，错；||为无理数，错；0是自然数，错反思感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件跟踪训练2用符号“”或“”填空________R；3________Q；1________N；________Z.答案例3集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为________答案0,1,2解析xN，N，0x2且xN.当x0时，2N；当x1时，3N；当x2时，6N.A中元素有0,1,2.反思感悟判断元素和集合关系的两种方法1直接法使用前提集合中的元素是直接给出的判断方法首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现2推理法使用前提对于某些不便直接表示的集合判断方法首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征跟踪训练3对于由元素2,4,6构成的集合A，若aA，则6aA，其中a的值是________答案2或4解析当a2时，6a4A；当a4时，6a2A；当a6时，6a0A.因此a的值为2或4.题型三元素三个特性的应用例4已知集合A含有两个元素1和a2，若aA，求实数a的值解由题意可知，a1或a2a，1若a1，则a21，不满足集合中元素的互异性，故a1.2若a2a，则a0或a1舍去，又当a0时，A中有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意综上可知，实数a的值为0.引申探究1本例若去掉条件“aA”，其他条件不变，求实数a 的取值范围解由集合中元素的互异性可知a21，即a1.2已知集合A含有两个元素a和a2，若1A，求实数a的值解若1A，则a1或a21，即a1.当a1时，集合A有重复元素，所以a1；当a1时，集合A 含有两个元素1，1，符合集合中元素的互异性，所以a1.反思感悟1解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准2本类题在解方程求得参数的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分跟踪训练4已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为________答案3解析若m2，则m23m20，不合题意；若m23m22，则m0或m3，m0时不合题意，m3时符合题意，故m3.1考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征或标准，依此特征或标准能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合2元素a 与集合A之间只有两种关系aA，aA.3集合中元素的三个特性1确定性指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合2互异性集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的3无序性集合与其中元素的排列顺序无关1下列说法不正确的是A0NB5ZCQDR答案C解析因为是无理数，所以Q.2以下对象的全体不能构成集合的个数是1高一1班的漂亮的女同学；2所有的数学难题；3北京市中考分数在580以上的同学；4中国古代四大发明；5我国的大河流；6大于3的偶数A2B3C4D6答案B解析125的元素不确定，故不能构成集合3a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是A矩形B平行四边形C菱形D梯形答案D解析由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等4设函数yx22x1图象上的点构成集合A，则点0，1________A.答案5已知集合A含有两个元素a3和2a1，若3A，试求实数a的值解3A，3a3或32a1，若3a3，则a0，此时集合A中含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则a1，此时集合A中含有两个元素4，3，符合题意，综上所述，a0或a1.。

集合的含义(附答案)

集合的含义[学习目标] 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.知识点一集合的概念1.元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.2.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.3.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.思考(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？答(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准.(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.元素确定性的含义是：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清.因此，若一组对象没有明确的判定标准，即元素不确定，则不能构成集合.知识点二元素与集合的关系思考设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？答3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.知识点三常用数集及表示符号题型一对集合概念的理解例1下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体.解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.反思与感悟判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪训练1有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面直角坐标系上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体.其中能构成集合的个数是()A.2B.3C.4D.5答案 A解析①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准.②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，小的精确度没明确标准.③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依.题型二元素与集合的关系例2下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A.1B.2C.3D.4答案 B解析①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③ 0不是正整数，所以0∈N *错误；④ |－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N *错误.故选B.反思与感悟 1.熟记常见的数集符号是解题的关键.解题时应正确区分各个符号所包含的范围，特别是弄清正整数集(N *)与自然数集(N )的区别.2.元素与集合的关系是“属于”与“不属于”的关系.跟踪训练2 给出下列关系：①12∈R ；②2∈Q ；③|－5|∉N ；④0∉N ；⑤π∈Q .其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 ∵12是实数，∴①正确.2，π是无理数，∴②、⑤都不正确.∵|－5|＝5是自然数，0是自然数，∴③、④不正确，故答案为A. 题型三集合中元素的特性及应用例3 已知集合B 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈B ，试求实数a 的值. 解 ∵－3∈B ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合B 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合B 含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.反思与感悟 1.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.2.由于集合B 含有两个元素，－3∈B ，故本题以－3是否等于a －3为标准，进行分类.3.本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分.跟踪训练3 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( ) A.3 B.2C.0或3D.0或2或3答案 A解析由题意得m ＝2，或m 2－3m ＋2＝2，得m ＝0，或m ＝2，或m ＝3.当m ＝0时，不合题意，舍去；当m ＝2时，m 2－3m ＋2＝0，不合题意，舍去；当m ＝3时，m 2－3m ＋2＝2，符合题意.忽略集合中元素的互异性出错例4 含有三个元素的集合{a ，ba ，1}，也可表示为集合{a 2，a ＋b,0}，求a ，b 的值.错解 ∵{a ，ba，1}＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎨⎧ a ＋ba ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·ba ·1＝a 2·(a ＋b )·0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.正解 ∵{a ，ba，1}＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎨⎧a ＋ba＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·ba ·1＝a 2·(a ＋b )·0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.由集合中元素的互异性，得a ≠1， ∴a ＝－1，b ＝0. 易错警示跟踪训练4 由a 2,2－a,4构成一个集合A ，且A 中含有3个元素，则实数a 的值可以是( ) A.1 B.－2 C.6 D.2 答案 C解析由题设知a 2,2－a,4互不相等，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠2－a ，a 2≠4，2－a ≠4，解得a ≠－2且a ≠1且a ≠2.所以当实数a 的值是6时，满足题意.故选C.1.下列能构成集合的是( )A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.上海市所有的中学生D.香港的高楼 2.下列三个命题：①集合N 中最小的数是1； ②－a ∉N ，则a ∈N ；③a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.下列选项正确的是( ) A.0∈N * B.π∉R C.1∉QD.0∈Z4.已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若a ∈A ，则实数a 的值是( ) A.－3 B.0或1 C.1D.－15.用符号“∈”或“∉”填空.(1)0________N *，3________Z,0________N ， 3＋2________Q ，43________Q ；(2)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ______R .一、选择题1.下列各选项中的对象不能构成集合的是( ) A.小于5的自然数 B.著名的艺术家C.曲线y ＝x 2上的点D.不等式2x ＋1>7的整数解 2.集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( ) A.0∈A B.a ∉A C.a ∈A D.a ＝A3.若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形4.已知集合A 是由不等式5x －3>0的解组成的集合，则有( ) A.－1∈A B.0∈A C.12∈A D.2∈A5.集合A ＝{x |x <5，x ∈N *}，用列举法表示集合A 正确的是( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}6.已知x ，y 都是非零实数，z ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |可能的取值组成集合A ，则( )A.2∈AB.3∉AC.－1∈AD.1∈A7.已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( ) A.2 B.2或4 C.4 D.0 二、填空题8.若a ∈N ，但a ∉N *，则a ＝________. 9.用符号“∈”或“∉”填空：(1)若集合P 由小于11的实数构成，则23________P ；(2)若集合Q 由可表示为n 2＋1(n ∈N *)的实数构成，则5________Q .10.已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________.11.由实数x ，－x ，|x |，x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有________个元素. 三、解答题12.已知集合A 只含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值.13.若集合A 中含有3个元素x,0，x 2－x ，求x 满足的条件.14.若集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数是多少？当堂检测答案1.答案 C解析 A 、B 、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合. 2.答案 A解析根据自然数的特点，显然①③不正确. ②中若a ＝32，则－a ∉N 且a ∉N ，显然②不正确.3.答案 D4.答案 C解析由于a ∈A ，则a ＝a －3或a ＝2a －1，若a ＝a －3，则有－3＝0，不成立；若a ＝2a －1，则a ＝1，此时集合A 中的两个元素是－2,1，符合题意. 5.答案 (1)∉ ∉ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉解析 (1)只要熟记常用数集的记法所对应的含义就很容易判断.(2)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的.课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析选项B 中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能构成一个集合. 2.答案 C解析由题意知A 中只有一个元素a ，∴a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，a 是否等于0不确定，所以0是否属于A 不确定，故选C. 3.答案 D解析根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形. 4.答案 D解析逐一代入检验可得D 正确. 5.答案 B 6.答案 C解析 ①当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3；②当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1；③当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1；④当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1， ∴集合A ＝{－1,3}.∴－1∈A .7.答案 B解析若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B. 二、填空题 8.答案 0解析 N 比N *多一个元素0，故a ＝0. 9.答案 (1)∉ (2)∈解析 (1)因为23＝12>11，所以23不在由小于11的实数构成的集合P 中，所以23∉P .(2)因为5＝22＋1,2∈N *，所以5∈Q . 10.答案 3解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的. 11.答案 2解析因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x ，－x ，故集合中最多含有2个元素. 三、解答题12.解若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，故a ＝1或－1.当a ＝1时，集合A 有重复元素， ∴a ≠1；∴当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合题意， ∴a ＝－1.13.解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－x ≠0，x 2－x ≠x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≠0，且x ≠1，x ≠0，且x ≠2.∴x 满足的条件是x ≠0，且x ≠1，且x ≠2.14.解若－x ＝0∈A ，则1－x ＝1∈A ，∴此时x ＝0不成立；若－x ＝1∈A ，则1－x ＝2∈A ，∴此时x ＝－1不成立；若－x ＝2∈A ，则1－x ＝3∈A ，∴此时x ＝－2不成立；若－x＝3∈A，则1－x＝4∉A，∴此时x＝－3满足条件. 综上可知B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.。

高中数学(苏教版必修一)教师用书第1章 1.1 第1课时集合的含义 Word版含解析

．集合的含义及其表示第课时集合的含义．通过实例理解并掌握集合的有关概念．．初步理解集合中元素的三个特征．(重点)．体会元素与集合的属于关系．(重点)．掌握常用数集及其专用符号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．(重点、易错易混点)[基础·初探]教材整理集合的含义阅读教材开始至倒数第四自然段，完成下列问题．．元素与集合的概念确定的一般地，一定范围内某些、不同的对象的全体构成一个集合．集合每一个中的对象称为该集合的元素，简称元．．集合中元素的特性确定性集合中元素的特性：、、．无序性互异性判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()漂亮的花可以组成集合．( ) ()在一个集合中可以找到两个(或两个以上)相同的元素．( )【解析】()×.因为“漂亮”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．()×.因为集合中的元素具有互异性，故在一个集合中一定找不到两个(或两个以上)相同的元素．【答案】()×()×教材整理元素与集合的关系阅读教材最后三个自然段，完成下列问题．．元素与集合的表示()元素的表示：通常用小写拉丁字母，，，表示集合中的元素．…，，，()集合的表示：通常用大写拉丁字母表示集合．…．元素与集合的关系∈)，是集合中的元素，记作()属于(符号：，读作∈．“”属于)，不是集合中的元素，记作∉()不属于(符号：或∉或．，读作”不属于“．常用数集及表示符号用“∈”、“∉”填空．．；－；；*；.【解析】因为不是自然数，故∉；因为－是整数，故－∈；因为是实数，故∈；因为不是正整数，故∉*；因为是有理数，故∈.。

1 第一章 11 第一章 1.1 第1课时集合的含义

数学
必修第一册
第一章集合与常用逻辑用语
自主学习素养奠基
课堂探究素养提升
随堂检测素养达标
课时作业
2．设 M 是所有偶数组成的集合，则( )
A．3∈M
B．1∈M
C．2∈M
D．0∉M
C
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3．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
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课程标准 1.通过实例，了解集合的含义． 2.理解元素与集合的属于关系． 3.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
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方法技巧判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
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课件10：1.1.1第1课时集合的含义

所有正整数的集合全体整数的集合
正整数集整数集
N*或 N＋ Z
全体有理数的集合
有理数集
Q
全体实数的集合
实数集
R
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合．( √ )
(2)新课标数学人教 A 版必修 1 课本上的所有难题能组成集合．( × ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( × )
【解析】 (1)12是实数， 2是无理数，|－3|＝3 是非负整数，|－ 3| ＝ 3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)∵a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N，若 a＝0，则 4－a＝4，此时 A＝{0,4}满足要求；若 a＝1，则 4－a＝3，此时 A＝{1,3}满足要求；若 a＝2，则 4－a＝2，此时 A＝{2}不满足要求．故有且只有 2 个元素的集合 A 有 2 个，故选 C. 【答案】 (1)C (2)C
1．集合中元素的特征
特征
含义
集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在
确定性不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成
元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现
无序性集合中的元素无先后顺序之分
2.集合相等只要构成两个集合的元__素___是__一__样__的__ ，我们就称这两个集合是相___等__的__.例如，集合{－1,1}与集合{1，－1}是相等的．
解析：由于接近于 0 的数没有一个确定的标准，因此 C 中的对象不能构成集合．故选 C. 答案：C
类型二元素与集合的关系例 2 (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R；② 2∉Q；③|－3|∈N；④|－ 3|∈Q. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 (2)满足“a∈A 且 4－a∈A，a∈N 且 4－a∈N”，有且只有 2 个元素的集合 A 的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

人教版数学必修一第一章 1.1.1 集合的含义与表示

问题
如果用A表示高一（）班学生组成的集合，表示高如果用表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高表示高一一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同）班的一位同学，表示高一（）表示高一那么a、与集合分别有什么关系？与集合A分别有什么关系学,那么、b与集合分别有什么关系？由此看出元那么素与集合之间有什么关系？素与集合之间有什么关系？
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数的值. 求实数a的值求实数的值
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？今天我们学习了哪些内容？
集合的含义集合元素的性质：确定性，互异性，无序性元素与集合的关系：，常用数集及其表示集合的表示法：列举法、描述法
第12页页习题1.1 A组第1、2、3、4题习题组、、、题
2．选择题． ⑴ 以下说法正确的( C )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定
0, a, a 2 3a + 2 }中的元素， ⑵ 已知2是集合M={ 则实数 a 为( c )
判断0与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题解析:判断一个元素是否在某个集合中关键在于解析判断一个元素是否在某个集合中,关键在于判断一个元素是否在某个集合中弄清这个集合由哪些元素组成的. 弄清这个集合由哪些元素组成的
集合的表示方法如何表示“地球上的四大洋”组成的集合? 问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合 (2) 如何表示“方程如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集的所有实数根” 的所有实数根合? ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝｛1,-2｝太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝｝把集合中的元素一一列举出来,并用花括号并用花括号｛把集合中的元素一一列举出来并用花括号｛｝括起来表示注意：元素与元素之间用逗号隔开）（注意：元素与元素之间用逗号隔开）叫做列举法集合的方法叫做列举法. 集合的方法叫做列举法用列举法表示下列集合：例1 用列举法表示下列集合：一个集合中的元素 (1)小于的所有自然数组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合小于的所有自然数组成的集合；的书写一般不考虑 2 (2)方程 x = x 的所有实数根组成的集合；顺序 ( 集合中元素的所有实数根组成的集合；方程的无序性). 的无序性 (3)由1~20以内的所有素数组成的集合以内的所有素数组成的集合. 由以内的所有素数组成的集合解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ，，，，，，，，， (2)B={0，1}. ， (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}. ，，，，，，， 1.确定性确定性 2.互异性互异性 3.无序性无序性

高中数学 1.1.1第1课时集合的含义课时作业(含解析)新人教A版必修1

课时作业(一) 集合的含义[学业水平层次]一、选择题1．(2014·遵义高一检测)以下各组对象不能组成集合的是( )A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2－1＝0的实数解D．周长为10cm的三角形【解析】因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．【答案】 B2．设集合A只含有一个元素a，则有( )A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A【解析】∵集合A中只含有一个元素a，故a属于集合A，∴a∈A.【答案】 C3．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含( )A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素【解析】由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．1【答案】 A4．集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4 C．4 D．0【解析】若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A若a＝6，则6－6＝0∉A，故选B【答案】 B二、填空题5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．【解析】方程x2－5x＋6＝0的解是2，3；方程x2－x－2＝0的解是－1，2.由集合元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．【答案】 36．(2014·石家庄高一检测)集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________ 【解析】∵P与Q相等，∴a2＝4，∴a＝±2，经检验知a＝±2满足题意，故a＝±2，【答案】±27．(2014·天津高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．【解析】因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1.又t∈A，所以t＝0或1.23 【答案】 0或1三、解答题8．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z，n ∈Z)的数构成的，判断12－3是不是集合 A 中的元素．【解】由分母有理化，得12－3＝2＋ 3.由题意可知m ＝2，n ＝1，均有m ∈Z，n ∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A .9．已知集合A 含有两个元素1，2，集合B 表示方程x 2＋ax ＋b ＝0的解的集合，且集合A 与集合B 相等，求a ，b 的值．【解】 ∵集合A 与集合B 相等，且1∈A ，2∈A ，∴1∈B ，2∈B ，∴1，2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－a ，1×2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2.[能力提升层次]1．若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 △ABC 的三边长两两不等，故选D.【答案】 D2．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )4 A ．2 B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可【解析】由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾；若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A 的元素为0，3，2，符合题意．【答案】 B3．已知集合A 中含有两个元素1和a 2，则a 的取值范围是________．【解析】由集合中元素的互异性，可知a 2≠1，所以a ≠±1，即a ∈R 且a ≠±1.【答案】 a ∈R 且a ≠±14．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．【解】 ∵2∈A ，由题意可知，11－2＝－1∈A .由－1∈A 可知，11－（－1）＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A .故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.。

(新教材)【人教A版】高一数学《1.1.1集合的含义》

1 a
【解析】1.选A.A中a=0时,显然不成立. 2.选A.a= + < + =4<5, 所以a∈A. a+1< + 2 +1=35, 4 4 所以a+1∈A,
44
a2=( )2+2 × +( )2=5+2 >5,
所以a22∉A, 2 3 3
6
=
<5,
所1 以 ∈1A.
3 2
第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念
第1课时集合的含义
1.元素与集合 (1)元素:把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母 a,b,c,…表示. (2)集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
(3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样的. (4)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.
【延伸·练】
数集A满足条件:若a∈A,则 ∈A(a≠1).若 ∈A,
求集合中的其他元素. 1 a
1
1 a
3
【解析】因为
1
∈A,所以
1
1 3
=2∈A,所以
1
2
=
3
1 1
1 2
-3∈A,所以1 3=-
1
∈A,所以
3 1
1 2
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1∈A.故当 1 ∈A
13 2
1 1 3
3
2
时,集合中的其他元素为2,-3,- 1 .
31 22
含有4个元素.其中正确的是 ( ) A.①②④ B.②③ C.③④ D.②④ 【解析】选B.①中的元素不能确定,④中的集合含有3 个元素,②③中的元素是确定的,所以②③能构成集合.

高中数学第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示

【情境导学】导入问题1:你能找出班级中比较高的同学,比较胖的同学吗? 答案:不能.比较高,比较胖没有明确的标准,是一个模糊的概念. 问题2:你能找出班级中身高在1米75以上的同学吗?体重在60 kg以上的呢? 答案:可以.有明确的判断标准.
知识探究
1.集合的概念 (1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合. (2)集合与元素的表示通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合. 通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素. 2.集合中元素的特性
简称
非负整正数整集数(或集自然数集) .
整数集有理数集
实数集
记法 N
.
N*或N+ QZ
R. .
【拓展延伸】集合语言的转换与应用集合语言的不同形态各有自己的特点,符号语言比较简洁、严谨,可大大缩短语言表达的“长度”,有利于推理、运算;图形语言易引起清晰的视觉形象, 它能直观地表达概念、定理的本质以及相互间的关系,在抽象的数学思维面前起着具体化和帮助理解的作用;文字语言比较自然、生动,它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来.集合语言与其他语言的关系如图所示.
自我检测
1.(集合元素的确定性)下列各项中,不可以组成集合的是( C ) (A)所有的正数 (B)等于2的数 (C)接近于0的数 (D)不等于0的偶数
2.(元素与集合的关系)设集合M={(1,2)},则下列关系式成立的是(
(A)1∈M
(B)2∈M
(C)(1,2)∈M
(D)(2,1)∈M
C)
3.(集合元素的互异性)若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长, 则此三角形一定不是( D ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形

高一数学人教A版必修一教案：1.1.1集合的含义与表示Word版含答案

课题：§ 1.1集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1 ）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法一一列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，研究对象统称为元素（element ），—些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3. 思考1 :课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4. 关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2 ）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5. 元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to ）A，记作a € A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to ）A，记作a A （或a A □举例）6. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N + ；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

课时作业23：1.1.1　第1课时　集合的含义

§1.1 集合1．1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义一、选择题1．已知集合A 由满足x <1的数x 构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A答案 C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．下列关系正确的个数为( ) ①2∈Q ；②0∈N *；③|－3.14|∈R ；④－23∈Q . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析因为2是无理数，所以①错误；因为0是自然数，不是正整数，所以②错误；|－3.14|＝3.14，所以③对；－23是有理数，所以④对，故正确的个数是2. 3．现有以下说法，其中正确的是( )①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案 D解析在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．4．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为()A．－5 B．－4 C．4 D．5答案 A解析因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.5．设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是() A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．a≠M答案 B解析因为集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，所以a不是集合M中的元素，故a∉M.6．已知x，y为非零实数，代数式x|x|＋y|y|的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是() A．0∉M B．1∈M C．－2∉M D．2∈M答案 D解析①当x，y为正数时，代数式x|x|＋y|y|的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式x|x|＋y|y|的值为0；③当x，y均为负数时，代数式x|x|＋y|y|的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2，故选D.7．已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是() A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A答案 C解析令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.令3k－1＝－11，解得k＝－103∉Z，∴－11∉A；∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.8．已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A,2∈A，则() A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2答案 D解析∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.二、填空题9．在方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素．答案 1解析易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．10．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2＜x ＜a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.答案 6解析 ∵x ∈N,2＜x ＜a ，且P 中只有三个元素，∴结合数轴知a ＝6.11．集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x∈N ， ∴0≤x <3且x ∈N ，∴x ＝0,1,2.当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N . ∴A 中的元素为0,1,2.三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a ,12三个元素组成，且－3∈A ，求实数a 的值．解由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意． ∴实数a 的值为－32. 13．设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x .(1)求实数x 应满足的条件；(2)若－2∈A ，求实数x 的值．解 (1)根据集合中元素的互异性，可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3，即x ≠0且x ≠3且x ≠－1.(2)因为x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，且－2∈A ，所以x ＝－2.14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，由其中任意2个不同元素的和组成的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值组成的集合中的元素是________．答案 1,2解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A 中元素为0,1,2，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值组成的集合中的元素是1,2.15．设P ，Q 为两个数集，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，求P ＋Q 中元素的个数．解当a ＝0时，由b ∈Q 可得a ＋b 的值为1,2,6；当a ＝2时，由b ∈Q 可得a ＋b 的值为3,4,8；当a ＝5时，由b ∈Q 可得a ＋b 的值为6,7,11.由集合元素的互异性可知，P ＋Q 中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．。

第一单元 1.1.1 第1课时 集合的含义 Word版含答案

学案1：1.1.1第1课时 集合的含义

第1章 1.1 1.1.1 第1课时 集合的含义

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第一章 §1 1.1 第1课时 集合的概念

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