江苏大学-常微分方程-4-2 -高阶线性方程解一般理论、基本解组

Wronsky 行列式恒等于 0，这是否和教材 P124 定理 4 矛盾？如果不矛盾，它该例说明了什 么？ 解：当 t ≥ 0 时， W[x1 (t), x 2 (t)] =
x1 (t) x 2 (t) t2 0 == =0. x1 ' (t) x 2 ' (t) 2t 0
当 t < 0 时， W[x1 (t), x 2 (t)] =
2 2
例 41.
ห้องสมุดไป่ตู้
验 证 x1 = e , x 2 = e
t
−t
为 方 程 x' '− x = 0 的 基 本 解 组 ， 并 求 出 满 足 初 始 条 件
x(0) = 1, x' (0) = 1 的特解，其中 x' ' =
解：直接代入验证知， e − e = 0, e
t t −t
d2x . dt 2 − e − t = 0 ，因此， x1 = e t , x 2 = e − t 为方程的两个解 et et e−t = −2 ≠ 0 ，因此，由解函数线性 − e−t
t
dW = 0. dt ψ = 0 . 得证. ψ
由行列式定义的函数的导数公式（参见《数学分析》下 P124 习题 8） ，我们得到
ϕ dW ϕ ' ψ' ϕ ψ = + = ϕ ' ψ' ϕ ' ' ψ' ' − q(t)ϕ dt
（2）仿照（1）可证（a）
ψ ϕ = −q(t) − q(t)ψ ϕ
di x dt i
t=t0
= x i 的唯一解
αx1 (t), βx 2 (t), x1 (t) + x 2 (t), αx1 (t) + βx 2 (t) 都是齐次线性微分方程(*)的解.
（2）设 x1 (t), x 2 (t),⋯ , x k (t) 都是定义在[a, b]上函数，若存在不全为零的常数 c1 , c 2 ,⋯ , c k 使得 c1x 1 (t) + c 2 x 2 (t) + ⋯ c k x k (t) = 0, t ∈ [a, b] ，则称 x1 (t), x 2 (t),⋯ , x k (t) 在区间 [a, b] 上 线性相关，否则则称 x1 (t), x 2 (t),⋯ , x k (t) 在区间[a, b]上线性无关.
为非零函数. 线性方程柯西问题解的存在唯一性定理：考察上述 n 阶非齐次线性微分方程，若
a i (t), f(t), i = 1,2,⋯ , n 都 是 [a, b] 上 连 续 函 数 ， 则 对 ∀t 0 ∈ [a, b] 和 任 意 n 个 实 数 x 0 , x1 ,⋯ , x n −1 ，方程 (**) 存在满足初始条件 x(t 0 ) = x 0 , x (i) (t 0 ) = x = ϕ (t), t ∈ [a, b] .
dnx d n −1x dx + a (t) + ⋯ + a n −1 (t) + a n (t)x = 0 为 n 阶齐次线性微分方程; 1 n n −1 dt dt dt
dnx d n −1x dx 称 n + a1 (t) n −1 + ⋯ + a n −1 (t) + a n (t)x = f(t) 为 n 阶非齐次线性微分方程，其中 f(t) dt dt dt
dnx d n −1x dnx d n −1 x 和 + a (t) + ⋯ + a (t)x = f (t) + a (t) + ⋯ + a n (t)x = f 2 (t) 的解. 1 n 1 1 dt n dt n −1 dt n dt n −1
x1 dW x1 ' x 2 ' x1 x 2 = + = x1 ' x 2 ' x1 ' ' x 2 ' ' − a1 (t)x1 '−a 2 (t)x1 dt
结论成立.
x2 x x2 = −a 1 (t) 1 − a1 (t)x 2 '−a 2 (t)x 2 x1 ' x 2 '
t
（b）求解方程 W '+ a1 (t) W = 0 得到，满足 W(t 0 ) = 1 的解 W(t) = e
t −t
函数. 下面验证它们是线性无关的. W[x1 , x 2 ] =
t −t
无 关 判 定 定 理 知 ， x1 = e , x 2 = e
是 线 性 无 关 的 . 因 此 ， 证 x1 = e , x 2 = e
为方程
x' '− x = 0 的基本解组. 方程的通解为 x = c1e t + c 2 e − t ， c1 , c 2 为任意常数.
∫t0 −a1 (s)ds
.
此时相应的 x 2 (t) 和 x1 (t) 是线性无关的， 它们构成了原齐次线性方程的基本解组， 因为它们 Wronsky 行列式不为零. 改写 W(t) = e t0
∫
t
− a1 (s)ds
为 x 1 x 2 '− x 1 ' x 2 = e
−
∫t0 a1 (s)ds
件 是 W '+a 1 (t) W = 0 , 其 中 W = W[x1 (t), x 2 (t)] . (b) 方 程 的 通 解 为
1 ∫ −a1 (s)ds x = c1x1 (t) + c 2 x1 ( t ) ∫ 2 e t0 dt ，其中 c1 , c 2 为任意常数. x1 (t)
（3）已知 x = e t 是微分方程 x' '+ q(t)x = 0 一个特解， 试求该方程的通解， 并确定函数 q(t) ？ 证明： （1）记 W(t) = W[ϕ (t), ψ(t)] ，下证
声明：以下总假设方程（*）和（**）满足柯西问题解的存在唯一性定理条件. 2. 齐次线性方程 (*)解的叠加原理、函数的线性无关性、 Wronsky 行列式、方程（*）的通 解结构 (证明细节参见教材 ) （1）叠 加 原 理 ： 设 x1 (t), x 2 (t) 为 齐 次 线 性 微 分 方 程 （ * ） 的 解 函 数 ， 则
t
t
t
得到解函数 x 2 (t) = x1
∫
1 − ∫t0 a1 (s)ds . 因此，由齐次线性方程通解结构定理知，结论成立. e 2 x1
（3）记 x1 (t) = e t ，由上述公式得到， x 2 (t) = e t
t −t t −t
∫e
− 2t
dt = e − t . 因此，原方程一个基本解
x1 (t) x 2 (t) 0 t 2 = = 0. x1 ' (t) x 2 ' (t) 0 2t
这说明 Wronsky 行列式恒等于 0. 考察方程 c1 x1 (t) + c 2 x 2 (t) = 0, t ∈ R . 当 t ≥ 0 时，上述方程为 c1 t = 0 ，得到 c1 = 0 ； 当 t < 0 时，上述方程为 c 2 t = 0 ，得到 c 2 = 0 . 这说明函数组 x1 (t), x 2 (t) 在 R 上线性无关. 这是否和教材 P124 定理 4 并不矛盾！原因是定理 4 中函数组为齐次线性方程的解函数.
t
，由 x1 (t) ≠ 0 再次改写上述方程为
x' 1 − ∫ a1 (s)ds ，这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到， x 2 ' = 1 x 2 + e t0 x1 x1 x2 = e ∫
x1 '(t) dt x1 (t) −
t
(∫ e
∫
x 1 ' (t) dt x1 (t)
1 − ∫t0 a1 (s)ds 1 − ∫ a1 (s)ds e dt + C) = x1 ( ∫ 2 e t0 + C) ， 特 别 地 ， 取 C=0 x1 x1
（3）设 x1 (t), x 2 (t),⋯ , x n (t) 都是定义在[a, b]上具有 k-1 阶连续导函数的函数， 则称如下行
x 1 (t) x 2 (t) ⋯ x n (t) x1 ' (t) x 2 ' (t) ⋯ x n ' (t) 列 式 W(t) = W[x1 (t), x 2 (t),⋯ , x n (t)] = 为这些函数 ⋮ ⋮ ⋮ (n −1) (n −1) (n −1) x1 (t) x 2 (t) ⋯ x n (t)
（2）Liouville 公 式 ： 考 察 二 阶 齐 次 线 性 方 程 x' '+ a 1 (t)x'+a 2 (t) x = 0 ， 其 中 x' ' =
d2x , dt 2
a i (t) ∈ C[a, b], i = 1,2 . 假设 x1 (t) 为方程的一个非零解，则(a)函数 x 2 (t) 为方程的解充要条
Wronsky 行列式. （4）函数组线性相关的必要条件： 设 x1 (t), x 2 (t),⋯ , x n (t) 都是定义在[a, b]上具有 k-1 阶连 续导函数的函数，若它们线性相关，则它们的 Wronsky 行列式恒为零. （5）方程（*）解函数线性无关充要条件：设 x1 (t), x 2 (t),⋯ , x n (t) 都是定义在[a, b]上方程 （*）的解函数，则它们线性无关 ⇔ 它们的 Wronsky 行列式在[a, b]上处处不为零. （6）若 n 个函数 x1 (t), x 2 (t),⋯ , x n (t) 都是方程（*）的解函数且线性无关，则称其构成了 方程（*）的一个基本解组. （7）齐次线性方程（*）的通解结构定理：设 x1 (t), x 2 (t),⋯ , x n (t) 构成了方程（*）的一个