江苏省扬州中学2008-2009学年第一学期开学考试(数学)

江苏省扬州中学2008-2009学年第一学期开学考试 高三数学试卷 2008．09．05．一、填空题：（每小题5分，共14题，总分70分）1．]2,0[,sin 3)(π∈=x x x f 的单调减区间为2．若复数z=1+ai （i 是虚数单位）的模不大于2，则实数a 的取值范围是3．若方程0102ln =-+x x 的解为0x ，则大于0x 的最小整数是4．设A 、B 是非空集合，定义}|{B A x B A x x B A ∉∈=⨯且．已知{}22|x x y x A -==，{}0,2|>==x y y B x ，则=⨯B A5．将函数)32sin(π+=x y 的图象上的所有点向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为6． 下列说法中，正确的有 个．①若f '（x 0）＝0，则f （x 0）为f (x )的极值点；②在闭区间[a ，b ]上，极大值中最大的就是最大值； ③若f (x )的极大值为f （x 1），f (x )的极小值为f （x 2），则f （x 1）＞f （x 2）； ④有的函数有可能有两个最小值；⑤f （x 0）为f (x )的极值点，则f '（x 0）存在且f '（x 0）＝0．7．设向量a ，b 的夹角为θ，a =（2，1），a +3b =（5，4），则sin θ=8． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为()21,n S a n a =++某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为9． 设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1(020x x ++=10． 等差数列}{n a 中，已知)(,q p p S q S q p ≠==，则q p S += ． 11．函数y=sinx 与y=cosx 在]2,0[π内的交点为P ，在点P 处两函数的切线与x 轴所围成的三角形的面积为12．已知点O 在△ABC 内部，且有42=++,则△OAB 与△OBC 的面积之比为13．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当2)(,0x x f x =≥时，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是14．已知向量)cos ,sin (),0)(sin ,cos (ββλαλαλ-=≠=OB OA ，其中O 为坐标原点，若||2||≥对任意实数βα,都成立，则实数λ的取值范围是二、解答题：（共6小题，总分90分） 15．（本题14分） 已知3)()),2(cos 2),2(cos(),3),2sin(2(2-⋅=++=+=x f x x x θθθ(1)求()f x 的解析式；(2)若0θπ≤≤，求θ，使()f x 为偶函数；(3)在(2)的条件下，求满足()1f x =，[,]x ππ∈-的x 的集合．16．（本题14分）设数列}{n a 满足当n >1时，51,41111=+=--a a a a n n n 且．（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列； （2）试问21a a 是否是数列}{n a 中的项？如果是，是第几项；如果不是，说明理由．17．（本题14分）函数y=lg （3－4x+x 2）的定义域为M ，x ∈M 时，求f （x ）=2x +2－3×4x的最值．18．（本题16分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm ．（1）设∠BAO =θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式；（2）试确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．19．（本题16分）已知函数2)(+=x x x f ．（1）判断函数)(x f 在区间),0(+∞上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x 的方程2)(kx x f =有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．B20．（本题16分）已知函数)1,0(log )(,221)(2≠>=-=a a x x g x x x f a ，如果 )()()(x g x f x h +=是增函数，且)('x h 存在零点（)('x h 是)(x h 的导函数）． （1）求a 的值；（2）设))(,(),,(212211x x y x B y x A <是函数)(x g y =的图像上两点，12120)('x x y y x g --=（)('x g 是)(x g 的导函数）．证明：201x x x <<．命题、审核：高三数学备课组扬州中学2008-2009学年第一学期开学考试高三数学试卷（理科附加题） 2008.09.05.成绩： 1.（本题10分）已知实数R b a ∈,，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31b a M 所对应的变换M T 把直线l ：3x -2y =3变换为自身，试求实数a ，b ．___________座位号__________ 姓名_____________…不……………要……………答……………题………………2.（本题10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=32521M ．（1）求M 的特征值和特征向量；（2）若向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=161α，求α3M ．3.（本题10分）已知nx )31(+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项．4.（本题10分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(,1*21N n a n S a n n ∈==． （1）试求出4321,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式； （2）证明你的猜想，并求出n a 的表达式．命题、审核：高三备课组高三数学开学考试参考答案 （2008．9．5．）一、填空题：（每小题5分，共14题，总分70分） 1． ），也可以写（232]23,2[ππππ 2． ]3,3[- 3． 5 4．),2(]1,0[+∞ 5．x y 4sin = 6．0 7．1010 8． 23π9． 2 10． -（p +q ） 11．2212． 4：1 13． ),2[+∞ 14． 33-≤≥λλ或二、解答题：（共6小题，总分90分） 15．（本题14分） 解：（1）)32sin(2)(πθ++=x x f ；（2）6πθ=；（3）}65,6,6,65{ππππθ--∈ ．16．（本题14分） 解：（1）根据题意511=a 及递推关系有0≠n a ， 取倒数得：4111+=-n n a a ，即)1(4111>=--n a a n n所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为5，公差为4的等差数列． （2）由（1）得：14)1(451+=-+=n n a n ，141+=n a n 又11141451915121=⇒+==⨯=n n a a ．所以21a a 是数列}{n a 中的项，是第11项．17． （本题14分）解：由3－4x +x 2＞0得x ＞3或x ＜1，∴M ={x |x ＞3或x ＜1}，f （x ）=－3×22x +2x +2=－3（2x －16）2+2512． ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2．∴当2x =16即x =log 216时，f （x ）最大，最大值为2512． f （x ）没有最小值．18．（本题16分） 解：（1）由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠，故10cos OB θ= 又1010OP tan θ=-，所以10101010cos cos y OA OB OP tan θθθ=++=++- 所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤（2）2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)'cos cos y θθθθθθθ-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046ππθθ≤≤∴=当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时'0y >，y 是θ的增函数；所以当6πθ=时，min 1201010102y -⨯=+= 此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离ABkm 处． 19．（本题16分） 解：（1）0)2()('2)(02>+=+=∴>x xx f x x x f x所以)(x f 在区间),0(+∞上单调递增．（作差法也可以证明）（2）原方程为22kx x x =+，令⎪⎩⎪⎨⎧<=++=>=-+=-+=00120000122)(222x kx kx x x kx kx kx x x x h即0)(=x h 有四个不同的实数解，又x =0是一个解． 所以方程还有两个正根一个负根或两个负根一个正根．（1）两个正根一个负根：无解 （2）两个负根一个正根：1>k综上可得：1>k 时，方程2)(kx x f =有四个不同的实数解．20．（1）因为)0(log 221)(2>+-=x x x x x h a ， ax a x a x a x x x h ln 1ln 2ln ln 12)('2+-=+-= 因为)(x h 在区间),0(+∞上是增函数，所以0ln 1ln 2ln 2≥+-ax a x a x 在区间),0(+∞上恒成立．若0ln ,10<<<a a 则，于是01ln 2ln 2≤+-a x a x 恒成立．又)('x h 存在正零点，故0ln 1ln ,0ln ,0ln 4)ln 2(2<===--=∆a a a a a 与或矛盾． 所以1>a由01ln 2ln 2≥+-a x a x 恒成立，又)('x h 存在正零点，故,0ln 4)ln 2(2=--=∆a a 所以e a a =⇒=1ln ． （2）001)('x x g =，于是1212012120ln ln 1x x x x x x x y y x --=⇒--= 以下证明0ln ln ,ln ln 12112112121<+----<x x x x x x x x x x x 即令x x x r x x x x x x x r ln ln )(',ln ln )(222-=+--=则 在],0(2x 上，0)('>x r ，所以)(x r 在],0(2x 上为增函数．0)()(2121=<⇒<x r x r x x ，即0ln ln 121121<+--x x x x x x ，从而得证．对于12122ln ln x x x x x -->同理可证．所以201x x x <<．附加题参考答案1．（本题10分）解：末三项的二项式系数分别为nn n n n nC C C ,,12--，由题设得：024*******=-+⇒=++--n n C C C nn n n n n解之得：n=15，n=-16（舍）（1）展开式中二项式系数最大的项是中间的项．当n=15时，分别为第8项和第9项，8881597771583,3x C T x C T ⋅⋅=⋅⋅=；（2）设第r+1项的系数最大，第r+1项和第r 项的系数分别为r r t t ,1+， 则11151513,3--+⋅=⋅=r r r rrr C t C t令11>+r r t t ，即121)115(333111515<⇒>+-=⋅⋅--r r r C C r r r r． 这就是说，当r 取小于12的自然数时，都有r r t t >+1，即第12项以前的各项，前面一项的系数都比后面一项的系数小．又当r=12时，r r t t =+1，即1312t t =． 所以展开式中系数最大的项是第12项和第13项，它们分别为121212151311*********,3x C T x C T ⋅⋅=⋅⋅=．2．（本题10分） 解：（1）易求得：58,4623,34,2214321======S S S S ； 猜想：12+=n nS n ． （2）①当n=1时，111121=+⨯=S ，显然成立；②假设当n=k 时，12+=k k S k ，则当n=k+1时，)()1()1(12121k k k k S S k a k S -+=+=+++ 所以1)1()1(22)1(221+++=++=+k k S k k k S k k ，假设也成立．根据①②可知，)1(2,12,2*+==+=∈n n nS a n n S N n n n n ． 3．（本题10分）解：设（x ，y ）为l 上任意一点，在变换M T 下变为另外一点)','(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=⇒⎩⎨⎧+=+-=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3''3''33''31''ab y bx y ab ay x x y bx y ay x x y x b a y x 根据题意有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+--293233423233329b a b a ab a ab b 或4．（本题10分）（1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=32521M 有两个特征值2,421-==λλ；属于41=λ的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=521α；属于22-=λ的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=122α． （2）213161ααα+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=∴95220832321313αλαλαM。