第7章图_3
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人教版七年级地理下册课件：第7章第3节印度(共61张PPT)
典例分析：读图可知，盛行风是从海洋吹向陆地， 属于夏季风，图中所示的夏季风是西南季风，当印度半 岛盛行西南季风时，印度高温多雨，属于雨季。故选 D。
【考点训练】 读“南亚地区农作物分布图”，完成 4～5 题。
4．据图可知，下列有关南亚农作物分布叙述正确的 是( C )
A．棉花分布在东北部地区 B．小麦分布在恒河三角洲 C．水稻分布在东北部和西部沿海 D．黄麻分布在印度河平原
需要，开始发展( D )
A．双语教学
B．航天技术
C．计算机教学
D．服务外包
8．印度被称为“世界办公室”，与此称谓相关的是 (D )
A．热带季风气候，生产小麦和水稻 B．世界第二人口大国 C．西南季风不稳定，水旱灾害频繁 D．服务外包产业发展迅速
9．印度是南亚最大的国家，有“世界办公室”之称，
服务外包产业发展迅速，该产业的特点是( A )
5．右图四城市中，最适合发展棉纺织工业的是( A )
A．①
B．②
C．③
D．④
6．与印度的水灾相关的是西南季风( B )
①来得早 ②来得晚 ③退得早 ④退得晚
力不足 ⑥风力强盛
A．①③⑥
B．①④⑥
C．②③⑤
D．②③⑥
⑤风
考点三 迅速发展的服务外包产业 例 3 下列有关印度服务外包产业的说法，错误的是 (C ) A．具有信息技术含量高、利润大、资源消耗少的特 点 B．在印度的服务外包产业中，软件产业发展最快 C．印度的软件外包业务主要来自日本 D．印度软件外包产业的发源地是班加罗尔
8．服务外包产业具有信息技术含量高、__利_润_____大、 资源消耗___少_____等特点。印度软件外包产业的发源地 是__班_加__罗_尔______。
第七章交通流三参数之间的关系
对于式（7-6）若另dQ/dK=0，则可求出对应于 Qm的Km值： Nhomakorabeakm
1 kj 2
从而
Qm K m vm
K mv f 4
第四节 速度和流量的关系
由式
K v v f (1 ) Kj
可得：
v K K j (1 ) vf
代人式Q＝KV，得
v2 Q K j (v ) vf
5．已知某公路上畅行速度Vf=60km／h，阻塞密度Kj＝ 86辆／km，速度—密度关系为线性关系。试问：
（l）该路段上期望得到的最大流量是多少？ （2）此时所对应的车速是多少？
6．在长400m的道路上行驶24辆车，速度-密度为直线 关系，V=60-3/4 K，求：该道路的Vf ，Kj ，Q ， Qm 。 7．试述交通量、速度和密度之间相互的关系？
式 表明速度与流量的关系曲 线同样是一条抛物线（图7-4）
v2 Q K j (v ) vf
图7—4 速度与流量的关系
当交通密度为零时，畅行交通流的车速就可能达 到最高车速，如图中曲线的最高点A，就是畅行速度 Vf，而流量等于零。当交通密度等于阻塞密度时，速 度等于零，流量也等于零，因此，曲线通过坐标原点。
授课要求：
掌握交通流中交通流量、速度和密度各参数之间
的关系，会分析和应用三参数之间的关系。
第一节 三参数之间的关系
一、交通流的三个参数关系
描述交通流的三个参数是交通量、速度和交通密 度，它们之间的关系可以用下式表示：
Q VK
式中：Q——交通量（辆/h）；
V——速度（km／h）；
K——交通密度（辆／km）。
K v v（ ） f 1Kj
式中：Vf－一畅行速度； Kj——阻塞密度。
工程制图第7章 零件图
一组视图 完整尺寸
技术要求 标题栏
二、零件图的内容
1．视图 根据有关标准和规定，用正投影法表达零件内、外结 构的一组图形。
2．尺寸 零件图应正确、完整、清晰、合理地标注零件制造、 检验时所需的全部尺寸。
3．技术要求 标注或说明零件制造、检验或装配过程中应达到 的各项要求，如表面粗糙度、极限与配合、形状和位置公差、 热处理、表面处理等要求。
1.主视图的表达
1）形状特征的表达
能够清楚地表达主要形体的形状特征
2）加工位置的表达
反应了零件的加工位置
例如：（轴、盘类）
3）工作位置原则
反应了零件的工作位置
例如： （支架、壳体类）
2.其他视图的表达
首先读表达主要形体的其它视图，再读次要形体的视图。
二、典型零件图的视图的表达方法 1.轴、套类零件表达 ⑴ 分析形体、结构
4．标题栏 标题栏画在图框的右下角，需填写零件的名称、材 料、数量、比例，制图、审核人员的姓名、日期等内容。
§7-2 零件图的视图
一、视图表达的一般原则 1.主视图表达 2.其他视图的表达
二、典型零件图的视图的表达方法
轮盘类
支架
轴
传动装置
一、视图表达的一般原则
能正确、完整、清晰、合理地表达出零件的全部结构形状、读图 方便、画图简单。在画图前从零件的结构特点、使用功能和加工 方法等进行分析，选用了适当的视图和各种方法进行表达
基本符号上加一小圆，表示表面粗糙度是用不去除材料的 方法获得，如：铸，锻，冲压、热轧、冷轧、粉末冶金等； 或是用保持原供应状况的表面。
用任何方法获得的表面粗糙度，Ra 的上限值 3.2μ m。
用去除材料方法获得的表面粗糙度，Ra 的上 限值3.2μ m。
第7章 图-有向无环图
算法的执行步骤： 算法的执行步骤： 1、用一个数组记录每个结点的入度。将入度为零的 、用一个数组记录每个结点的入度。 结点进栈。 结点进栈。 2、将栈中入度为零的结点V输出。 、将栈中入度为零的结点 输出 输出。 3、根据邻接表找到结点 的所有的邻接结点， 并将 、根据邻接表找到结点V的所有的邻接结点 的所有的邻接结点， 这些邻接结点的入度减一。 这些邻接结点的入度减一 。 如果某一结点的入度变 为零，则进栈。 为零，则进栈。
3
2
3、找到全为零的第 k 列，输出 k 、 4、将第 k 行的全部元素置为零 、 行的全部元素置为零
…………………
7
53、4；直至所有元素输出完毕。 、 ；直至所有元素输出完毕。
1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
template<class T> int BinaryTree <T>:: NumOfOne ( node <T> *t )
{ int k=0; if (t==NULL ) //空二叉树 //空二叉树 return 0; if (t所指结点 的度为 k=1 所指结点 的度为1) k=1; d1= NumOfOne ( t->lchild); //递归求左子树叶结点数 //递归求左子树叶结点数 d2= NumOfOne ( t->rchild); } //递归求右子树叶结点数 //递归求右子树叶结点数 return (d1+d2+k);
A B
AOE网络：结点为事件，有向边指向表示事件的执行次序。 网络：结点为事件，有向边指向表示事件的执行次序。 网络 有向边定义为活动，边的权值为活动进行所需要的时间。 有向边定义为活动，边的权值为活动进行所需要的时间。
土木工程测量第七章测图3节
4、观测
⊕将经纬仪照准地形点1的标尺，
⊕上下丝及中丝读数，
⊕竖盘读数L及 ⊕水平角， ⊕记入手簿进行计算。
同法测定其它各碎部点， 结束前，应检查经纬仪的零方 向是否符合要求。
Kl ── 视距
V
── 中丝读数 ── 垂直度盘盘左读数 ── 水平度盘盘左读数
L
5、记录计算（把上、下、中丝读数，以及L、记入手簿） 。
（2）、居民地测绘
测图比例尺不同，综合取舍不一样；
外围轮廓准确测绘，内部主要街道及较 大的空地应区分出来； 散列式居民地、独立房屋应分别测绘 一般只测绘房屋的三个角或相邻的两 角 顶并量取房屋宽度。
（3）、道路测绘
①铁路：标尺应立于中心线上，直线立尺稀， 曲线立尺密；附属物按实际位置测定。
路堤测绘
后视点：A3
地 形 测 量 手 簿 仪器高 i:1.42 m 指标差 x：-1.0 高差 h /m 6.18 2.02 9.00 -4.71 -18.94
测站高程 H:207.40 m
视距 Kl 中 丝 水 平 角 竖 盘 竖 直 角 /m 读数 v 读数 L 85.0 13.5 50.6 70.0 92.2 1.42 1.42 1.42 1.60 1.00 16018 1058 23432 13536 3444 8548 8118 7934 9342 10224 411 841 1025 -343 -1225
差应<4‘，否则，应重新定向，并检查已测碎部点。 ②、立尺人员应将视距尺竖直，综合取舍碎部点， 地形复杂时绘制草图。 ③、绘图人员注意图面正确、整洁、注记清晰 并做到随测点及时展绘、检查。 ④、当该站工作结束时，应检查有无漏测、测 错，并将图面上的地物、地性线、等高线 与实地对照，发现问题及时纠正。 ⑤ 新测站：测量已测的地形点
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
计算机图形学第7章(3)PPT课件
1
0 0
R Rk
k
1
M
h
Gh
▪ Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。
*
曲线和曲面
三次Hermite样条
▪ 三次Hermite样条曲线的方程为：
p(t)TM hG h
t[0,1]
2 2 1 1
TMh t3
t2
t 13 0
3 0
2 1 1 0
1
0
0
0
*
曲线和曲面
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段 在交点处的一阶和二阶导数的比值都是常量。
*
曲线和曲面
7.1.4 样条描述
n次样条参数多项式曲线的方程：
xy((tt))abnnttnn
a2t2a1t1a0 b2t2b1t1b0
z(t)cntn c2t2c1t1c0
t[0,1]
*
曲线和曲面
x(t)
p(t) y(t) tn
*
曲线和曲面
三次Hermite样条
H(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-0.2
H0(t)
H1(t)
*
曲线和曲面
7.1.2 插值和逼近样条
▪ 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲 面的形状称为样条。
▪ 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连 续条件。
▪ 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来 描述。
*
曲线和曲面
▪ 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲
线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。P(1)Pk1 Nhomakorabea1
1
1
1C
P'(0)
第7章 图3图的遍历PPT课件
123
1
AB
E
A
7D C5 G4
7D
23
B
E
C5 G4
6F H
I
89
前进 回退
深度优先搜索过程
6F H
I
89
深度优先搜索树
7
LOGO
•由以上图示过程可知，深度遍历是一个递归的过程
8
voLidOGTOraverseGraph(AdjMatrix *g)/*算法7.3
{ int vi; for(vi=0;vi<g->vexnum;vi++) visited[vi]=False; //访问标志数组初始 for(vi=0;vi<g->vexnum;vi++) //循环调用深度遍历连通子图的操作 if (!visited[vi]) DepthFirstSearch74(g,vi); //若图g是连通图，则此循环 调用函数只执行一次 //DepthFirstSearch75(g,vi); //DepthFirstSearch77(g,vi); //BreadthFirstSearch(g,vi)9; }
w=NextAdjVertex(g,v0,w);
/*找下一个邻接点*/
}}
12
12
B
E
C4 G3
w=3
H
6
void DepthFirstSearch74(AdjMatrix *g, int v0)/*算法7.4, 未具LO体GO展开邻接矩阵(邻接表)的深度优先遍历算法*/
{ int w;
v0=‘A’ v0=‘B’ v0=‘E’ v0=‘G’
visited[v0]=True;
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
数据结构 习题 第七章 图 答案
第7章图二.判断题部分答案解释如下。
2. 不一定是连通图，可能有若干连通分量 11. 对称矩阵可存储上（下）三角矩阵14．只有有向完全图的邻接矩阵是对称的 16. 邻接矩阵中元素值可以存储权值21. 只有无向连通图才有生成树 22. 最小生成树不唯一，但最小生成树上权值之和相等26. 是自由树，即根结点不确定35. 对有向无环图，拓扑排序成功；否则，图中有环，不能说算法不适合。
42. AOV网是用顶点代表活动，弧表示活动间的优先关系的有向图,叫顶点表示活动的网。
45. 能求出关键路径的AOE网一定是有向无环图46. 只有该关键活动为各关键路径所共有，且减少它尚不能改变关键路径的前提下，才可缩短工期。
48．按着定义，AOE网中关键路径是从“源点”到“汇点”路径长度最长的路径。
自然，关键路径上活动的时间延长多少，整个工程的时间也就随之延长多少。
三．填空题1.有n个顶点，n-1条边的无向连通图2.有向图的极大强连通子图3. 生成树9. 2(n-1) 10. N-1 11. n-1 12. n 13. N-1 14. n15. N16. 3 17. 2（N-1） 18. 度出度 19. 第I列非零元素个数 20.n 2e21.(1)查找顶点的邻接点的过程 (2)O(n+e) (3)O(n+e) (4)访问顶点的顺序不同 (5)队列和栈22. 深度优先 23.宽度优先遍历 24.队列25.因未给出存储结构，答案不唯一。
本题按邻接表存储结构，邻接点按字典序排列。
25题（1） 25题（2） 26.普里姆（prim ）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal ）算法 27.克鲁斯卡尔28.边稠密 边稀疏 29. O(eloge ） 边稀疏 30.O(n 2） O(eloge) 31.(1）（V i ，V j ）边上的权值 都大的数 （2）1 负值 （3）为负 边32.(1)n-1 (2)普里姆 (3)最小生成树 33.不存在环 34.递增 负值 35.16036.O(n 2） 37. 50，经过中间顶点④ 38. 75 39.O(n+e ）40.(1）活动 （2）活动间的优先关系 （3）事件 （4）活动 边上的权代表活动持续时间41.关键路径 42.（1）某项活动以自己为先决条件 （2）荒谬 （3）死循环 43.（1）零 （2）V k 度减1，若V k 入度己减到零，则V k 顶点入栈 （3）环44.（1）p<>nil (2)visited[v]=true (3)p=g[v].firstarc (4)p=p^.nextarc45.(1)g[0].vexdata=v (2)g[j].firstin (3)g[j].firstin (4)g[i].firstout (5)g[i].firstout (6)p^.vexj (7)g[i].firstout (8)p:=p^.nexti (9)p<>nil (10)p^.vexj=j(11)firstadj(g,v 0) (12)not visited[w] (13)nextadj(g,v 0,w)46.(1)0 (2)j (3)i (4)0 (5)indegree[i]==0 (6)[vex][i] (7)k==1 (8)indegree[i]==047.(1)p^.link:=ch[u ].head (2)ch[u ].head:=p (3)top<>0 (4)j:=top (5)top:=ch[j].count(6)t:=t^.link48.（1）V1 V4 V3 V6 V2 V5(尽管图以邻接表为存储结构，但因没规定邻接点的排列，所以结果是不唯一的。
第7章图(Graphs)
7.1 图的概念及术语
v1 v3 有向边<v3, v4> V3：始点， v4: 终点 v2 v4
图的构成： • 结点集：V={v1,v2,v3,v4}, • 有向边集：E={<v1,v3>,<v1,v2>,<v3,v4>,<v4,v1>}
7.1 图的概念及术语
v1 v3 v2 v4 v1 v2
v3
为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。 • 路径长度 –非带权图的路径长度是指此路径上的边数。 –带权图的路径长度是指路径上各边的权之和
7.1 图的概念及术语
• 简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重 复, 则称这样的路径为简单路径。 • 回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。 • 连通图与连通分量 在无向图中, 若从顶点v1到顶 点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。 • 如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连 通图。 • 非连通图的极大连通子图叫做连通分量.
7.1 图的概念及术语
v1
v2
v4Βιβλιοθήκη v3路径: (1) <v1, v3>, <v3, v4> (简单路径)
(2) <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1> (环)
(3) <v3, v4>
7.1 图的概念及术语
• 路径: 在图 G＝(V, E) 中, 若存在边的序列 (vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj) 则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj )
v4 v5
数据结构：第7章 图3-最小生成树
• 按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n
个顶点、n-1 条边。
即有权图
目标：
在网络的多个生成树中，寻找一个各边权值之和最小的
生成树。
构造最小生成树的准则 ❖ 必须只使用该网络中的边来构造最小生成树；
❖ 必须使用且仅使用n-1条边来联结网络中的n个顶点；
❖ 不能使用产生回路的边。
典型用途：
(b) u={1} w={2,3,4,5,6}
0 6 1 5
6
0
5
3
1 5 0 7 5 4
5
7
0
2
3 5 0 6
4 2 6 0
i
1234
closest[i] 1 1 1 1
lowcost[i] 0 6 1 5
56 11 ∞∞
closest用于存放顶点序号 lowest存放权值
15 4 6
1 25
3
54
5
6
(c ) u={1,3} w={2,4,5,6}
1
1
4
25
6
32
54
5
6
(d) u={1,3,6} w={2,4,5}
i
1234 5 6
closest[i] 1 3 1 1 3 3
lowcost[i] 0 5 0 5 5 4
i
1234 5 6
closest[i] 1 3 1 6 3 3
生
v3 v1
成
树 v4 v2
v1
0^ 1^ 0^ 1^
2．生成森林
若一个图是非连通图或非强连通图，但有若 干个连通分量或若干个强连通分量，则通过 深度优先搜索遍历或广度优先搜索遍历，不 可以得到生成树，但可以得到生成森林，且 若非连通图有 n 个顶点，m 个连通分量或强 连通分量，则可以遍历得到m棵生成树，合 起来为生成森林，森林中包含n-m条树边。
数据结构 C语言版(严蔚敏版)第7章 图
data Fout
1
2
4
1
e6 2 4
2016/11/7
29
7.3 图的遍历
从已给的连通图中某一顶点出发，沿着一 些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点 仅被访问一次，就叫做图的遍历 ( Graph Traversal )。 图中可能存在回路，且图的任一顶点都可 能与其它顶点相通，在访问完某个顶点之 后可能会沿着某些边又回到了曾经访问过 的顶点。 为了避免重复访问，可设置一个标志顶点 是否被访问过的辅助数组 visited [ ]。
2
1 2
V2
V4
17
结论：
无向图的邻接矩阵是对称的; 有向图的邻接矩阵可能是不对称的。 在有向图中, 统计第 i 行 1 的个数可得顶点 i 的出度，统计第 j 行 1 的个数可得顶点 j 的入度。 在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得 顶点i 的度。
2016/11/7
18
2
邻接表 (出度表)
adjvex nextarc
data firstarc
0 A 1 B 2 C
2016/11/7
1 0 1
逆邻接表 (入度表)
21
网络 (带权图) 的邻接表
6 9 0 2 1 C 2 8 3 D
data firstarc Adjvex info nextarc
2016/11/7
9
路径长度 非带权图的路径长度是指此路径 上边的条数。带权图的路径长度是指路径 上各边的权之和。 简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不 互相重复, 则称这样的路径为简单路径。 回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个 顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。
1
2
4
1
e6 2 4
2016/11/7
29
7.3 图的遍历
从已给的连通图中某一顶点出发，沿着一 些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点 仅被访问一次，就叫做图的遍历 ( Graph Traversal )。 图中可能存在回路，且图的任一顶点都可 能与其它顶点相通，在访问完某个顶点之 后可能会沿着某些边又回到了曾经访问过 的顶点。 为了避免重复访问，可设置一个标志顶点 是否被访问过的辅助数组 visited [ ]。
2
1 2
V2
V4
17
结论：
无向图的邻接矩阵是对称的; 有向图的邻接矩阵可能是不对称的。 在有向图中, 统计第 i 行 1 的个数可得顶点 i 的出度，统计第 j 行 1 的个数可得顶点 j 的入度。 在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得 顶点i 的度。
2016/11/7
18
2
邻接表 (出度表)
adjvex nextarc
data firstarc
0 A 1 B 2 C
2016/11/7
1 0 1
逆邻接表 (入度表)
21
网络 (带权图) 的邻接表
6 9 0 2 1 C 2 8 3 D
data firstarc Adjvex info nextarc
2016/11/7
9
路径长度 非带权图的路径长度是指此路径 上边的条数。带权图的路径长度是指路径 上各边的权之和。 简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不 互相重复, 则称这样的路径为简单路径。 回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个 顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。
第7章 图习题及参考答案
第7章习题一、单项选择题1.在无向图中定义顶点的度为与它相关联的（）的数目。
A. 顶点B. 边C. 权D. 权值2.在无向图中定义顶点v i与v j之间的路径为从v i到达v j的一个（）。
A. 顶点序列B. 边序列C. 权值总和D. 边的条数3.图的简单路径是指（）不重复的路径。
A. 权值B. 顶点C. 边D. 边与顶点均4.设无向图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。
A. n-1B. n(n-1)/2C. n(n+1)/2D. n(n-1)5.n个顶点的连通图至少有（）条边。
A. n-1B. nC. n+1D. 06.在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的( ) 倍。
A. 3B. 2C. 1D. 1/27.若采用邻接矩阵法存储一个n个顶点的无向图，则该邻接矩阵是一个( )。
A. 上三角矩阵B. 稀疏矩阵C. 对角矩阵D. 对称矩阵8.图的深度优先搜索类似于树的（）次序遍历。
A. 先根B. 中根C. 后根D. 层次9.图的广度优先搜索类似于树的（）次序遍历。
A. 先根B. 中根C. 后根D. 层次10.在用Kruskal算法求解带权连通图的最小（代价）生成树时，选择权值最小的边的原则是该边不能在图中构成（）。
A. 重边B. 有向环C. 回路D. 权值重复的边11.在用Dijkstra算法求解带权有向图的最短路径问题时，要求图中每条边所带的权值必须是（）。
A. 非零B. 非整C. 非负D. 非正12.设G1 = (V1, E1) 和G2 = (V2, E2) 为两个图，如果V1 ⊆ V2，E1 ⊆ E2，则称（）。
A. G1是G2的子图B. G2是G1的子图C. G1是G2的连通分量D. G2是G1的连通分量13.有向图的一个顶点的度为该顶点的（）。
A. 入度B. 出度C. 入度与出度之和D. (入度﹢出度))／214.一个连通图的生成树是包含图中所有顶点的一个（）子图。
A. 极小B. 连通C. 极小连通D. 无环15.n (n＞1) 个顶点的强连通图中至少含有（）条有向边。
数据结构第7章习题答案
第7章 《图》习题参考答案一、单选题（每题1分，共16分）（ C ）1. 在一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的倍。
A ．1/2 B. 1 C. 2 D. 4 （B ）2. 在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的倍。
A ．1/2 B. 1 C. 2 D. 4 （ B ）3. 有8个结点的无向图最多有条边。
A ．14 B. 28 C. 56 D. 112 （ C ）4. 有8个结点的无向连通图最少有条边。
A ．5 B. 6 C. 7 D. 8 （ C ）5. 有8个结点的有向完全图有条边。
A ．14 B. 28 C. 56 D. 112 （B ）6. 用邻接表表示图进行广度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。
A ．栈 B. 队列 C. 树 D. 图 （ A ）7. 用邻接表表示图进行深度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。
A ．栈 B. 队列 C. 树 D. 图（ C ）8. 已知图的邻接矩阵，根据算法思想，则从顶点0出发按深度优先遍历的结点序列是（ D ）9. 已知图的邻接矩阵同上题8，根据算法，则从顶点0出发，按深度优先遍历的结点序列是A ． 0 2 4 3 1 5 6 B. 0 1 3 5 6 4 2 C. 0 4 2 3 1 6 5 D. 0 1 23465 （ D ）10. 已知图的邻接表如下所示，根据算法，则从顶点0出发按深度优先遍历的结点序列是（ A ）11. 已知图的邻接表如下所示，根据算法，则从顶点0出发按广度优先遍历的结点序列是A ．0 2 4 3 1 5 6B. 0 1 3 6 5 4 2C. 0 1 3 4 2 5 6D. 0 3 6 1 5 4 2⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100011101100001011010110011001000110010011011110A ．0 1 3 2 B. 0 2 3 1 C. 0 3 2 1 D. 0 1 2 3A．0 3 2 1 B. 0 1 2 3C. 0 1 3 2D. 0 3 1 2（A）12. 深度优先遍历类似于二叉树的A．先序遍历 B. 中序遍历 C. 后序遍历 D. 层次遍历（D）13. 广度优先遍历类似于二叉树的A．先序遍历 B. 中序遍历 C. 后序遍历 D. 层次遍历（A）14. 任何一个无向连通图的最小生成树A．只有一棵 B. 一棵或多棵 C. 一定有多棵 D. 可能不存在（注，生成树不唯一，但最小生成树唯一，即边权之和或树权最小的情况唯一）二、填空题（每空1分，共20分）1. 图有邻接矩阵、邻接表等存储结构，遍历图有深度优先遍历、广度优先遍历等方法。
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法 （3） 无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩 阵。 分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法： 将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加 法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算 布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度 为2通路数目为0，G中长 度为2的路（含回路）总数 为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度 为3的通路数目为2， G中 长度为3的路（含回路）总
图的邻接矩阵的 应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条 路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达 性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
B2第7章-第7章3一阶线性
例3.3. 求方程
的通解.
解: 方程变形为
令 z y1,
方程变形为 dz z ln x ② dx x
对应的齐次方程 dz z 0 的通解: z C x
dx x
设②的通解 z C( x) x 代入②得
则
所求的通解: y1 z x C 1 ( ln x)2 2
(C为任意常数)
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第3节
第七章
一阶线性微分方程
*** 齐次线性微分方程 *** 非齐次线性微分方程 *** Bernoulli(伯努利)方程
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形如:
d y p( x) y q( x) dx
的方程称为一阶线性微分方程
若 q (x) 0, 方程 d y p( x) y 0
①
dx
方程形如:
解法: 方程两边除
得
yn d y p( x) y1n q( x)
dx
令
z
y1n ,
则 dz dx
(1 n) yn
dy dx
dz (11 nd)z p( xp)( xz)z(1q(nx))q( x) (线性方程) dx 1n dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
伯努利 目录 上页 下页 返回 结束
②
常数变易法设②的通解为 z C( x) ex2 代入②得
C( x) x
故 C(x) 1 x2 C
2
得②的通解 z e x2 ( 1 x 2 C ) (C为 任 意 常 数)
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.5. 求解初值问题
把 z tan y, 回代得 tan y e x2 ( 1 x2 C )
人教版地理七年级下册思维导图快速记忆PPT课件第7章 我们邻近的地区和国家
记忆转化： 东南鸭站在长着芽的大洲的十字路口上看 着银太阳
01
考点练习
例：下列被称为“十字路口”的是
（
）
A.印度B.日本C.东南亚D.菲律宾
答案：C【解析】东南亚被称为十字路口
01 第三节.印度
1.地形： 南亚里面积最大人口世界第二 2.气候 （1）主要：热带，亚热带 （2）两季分明：旱季雨季 （3）影响：降雨不均粮产不定 3.经济
01
考点记忆
考点1.领土：中南半岛，马来群岛 考点2.地形：山河相间，纵列分布 考点3.气候：热带雨林，热带季风
记忆转化： 东南亚的领土—马来中南（东南鸭骑着马来到 中国南方居住） 东南亚地形—山河相间纵列分布（居住的地方 山河相间纵列分布） 中南亚的气候—热带雨林热带季风（中南鸭等 候着它的朋友热带鱼热带鸡）
例：日本由（ ）（ ）（ ）（ ） 四个大岛及数千小岛组成
A.本州，四州，九国，海南岛 B.四州，九国，马来群岛，北海道 C.九国，马来群岛，北海道，弗兰格尔岛 D.本州，北海道，四国，九州
答案D解析，就是笨呗——九四本北
01
考点记忆
考点2.日本地形 （1）海岸线曲折，多优良港湾 （2）多火山地震，富士山是其中最著名火山
记忆转化： 印度气候“热”，鸭都觉得热，含（旱）食物（10 月~5月），食物是鱼（雨），鱼流着酒（6月~9 月），酱不均，两布丁（酒流到酱涂得不均匀的 两个布丁上）
01
考点练习
例1：印度大部分地区属于哪种气候类型为主 （ ） A.温带季风气候 B.热带草原气候 C.热带季风气候
D.热带沙漠气候 答案C【解析】主要是热带季风 例2：印度的旱季是在（ ）月 A.10月~3月 B.11月~9月 C.6月~9月 D.10月~5月 答案D【解析】6月~9月是雨季
数据结构第7章图3有向无环图及其应用ppt课件
while (!StackEmpty(S)) { Pop(S，i); printf(i，G.vertices[i].data); ++count; //输出i号顶点并计数
for(p=G.vertices[i].firstarc; p; p=p->nextarc){ k=p—>adivex；//对i号顶点的每个邻接点入度减1 if(！(--indegree[k])) Push(S，k); //若入度减为0，则入栈
§7.5 有向无环图及其应用
❖有向无环图
在工程实践中，一个工程项目往往由若干个子项 目组成，这些子项目间往往有多种关系：
①先后关系，即必须在一子项目完成后，才能开 始实施另一个子项目；
②子项目之间无次序要求，即两个子项目可以同 时进行，互不影响。
§7.5 有向无环图及其应用
❖两种常用的活动网络(Activity Network)
3
4 4^
4
2 1^ 3^
1^
s
0 V1 3 V4
5 V6
4
V2 1 V3 2 V5 4
indegree[0..5] 0 0 0 0 0 0 012345
最后输出的拓扑序列为：v6v1v3v2v4v5
§7.5 有向无环图及其应用
G.vertices[0] v1
3
2
G.vertices[1] v打2 印^G.vertices[4].data
1. 输入AOV网络。令 n 为顶点个数。 2. 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之; 3. 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边; 4. 重复以上 2、3 步, 直到：
全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成 或者，图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环。这说 明图中还剩下一些顶点，它们都有直接前驱，再也找不到 没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必定存在有向环。
for(p=G.vertices[i].firstarc; p; p=p->nextarc){ k=p—>adivex；//对i号顶点的每个邻接点入度减1 if(！(--indegree[k])) Push(S，k); //若入度减为0，则入栈
§7.5 有向无环图及其应用
❖有向无环图
在工程实践中，一个工程项目往往由若干个子项 目组成，这些子项目间往往有多种关系：
①先后关系，即必须在一子项目完成后，才能开 始实施另一个子项目；
②子项目之间无次序要求，即两个子项目可以同 时进行，互不影响。
§7.5 有向无环图及其应用
❖两种常用的活动网络(Activity Network)
3
4 4^
4
2 1^ 3^
1^
s
0 V1 3 V4
5 V6
4
V2 1 V3 2 V5 4
indegree[0..5] 0 0 0 0 0 0 012345
最后输出的拓扑序列为：v6v1v3v2v4v5
§7.5 有向无环图及其应用
G.vertices[0] v1
3
2
G.vertices[1] v打2 印^G.vertices[4].data
1. 输入AOV网络。令 n 为顶点个数。 2. 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之; 3. 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边; 4. 重复以上 2、3 步, 直到：
全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成 或者，图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环。这说 明图中还剩下一些顶点，它们都有直接前驱，再也找不到 没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必定存在有向环。
相关主题
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第七章 图
连通网的） 7.4.3 (连通网的）最小生成树
问题： 问题： 7 5 9 13 假设要在 n 个城市之间 24 V6 V5 10 建立通讯联络网， 建立通讯联络网，则连通 n 17 12 个城市只需要修建 n-1条线 条线 V3 V4 18 路（可能有n(n-1)/2条线路 ， 可能有 条线路)， 条线路 如何在最节省经费的前提下 算法1:普里姆 普里姆(Prim)算法 算法 普里姆 算法 建立这个通讯网？ 建立这个通讯网？ 算法2：克鲁斯卡尔(Kruskal)算法 算法 ：克鲁斯卡尔 算法 该问题等价于： 该问题等价于： 构造网的一棵最小生成树， 构造网的一棵最小生成树，即：在 e 条带权的边中 条边（不构成回路）， ），使 权值之和” 选取 n-1 条边（不构成回路），使“权值之和”为最 小。
第七章 图
6 V2 3 V5 5 6 6 V1 1 V3 4 5 5 V4 2 V6 V1 V4 4 2 V6 V2 5 1 V3 4 V4 2 V6 V2 3 V5 5 V3 4 V1 1 V4 2 V6 V1 V1 1 V3 V1 1 V3 4 V6
V1 1 V3
第七章 图
普里姆(Prim)算法的实现： 算法的实现： 普里姆 算法的实现 在生成树的构造过程中， 在生成树的构造过程中，图中 n 个顶点分属两个集 合：已落在生成树上的顶点集 U 和尚未落在生成树上 则应在所有连接洽U中顶点和 中顶点和V-U中顶 的顶点集V-U ，则应在所有连接洽 中顶点和 中顶 的顶点集 点的边中选取权值最小的边。 点的边中选取权值最小的边。
例如: 例如 a
18 16 14
第七章 图
19 12
b
7 8
5
c
3
e f
g
27
21
d
closedge
0 a
Adjvex Lowcost
1 b d c e a 19 12 5 7
2 c d
3 d e
4 e a
5 f d
6 g a e
3
8
1421 18 16Fra bibliotek第七章 图
void MiniSpanTree_P(MGraph G, VertexType u) { //用普里姆算法从顶点 出发构造网 的最小生成树 用普里姆算法从顶点u出发构造网 用普里姆算法从顶点 出发构造网G的最小生成树 k = LocateVex ( G, u ); for ( j=0; j<G.vexnum; ++j ) // 辅助数组初始化 if (j!=k) closedge[j] = { u, G.arcs[k][j].adj }; closedge[k].lowcost = 0; // 初始，U＝{u} 初始， ＝ for (i=1; i<G.vexnum; ++i) {//选择其余 个顶点 选择其余n-1个顶点 选择其余 } } 继续向生成树上添加顶点; 继续向生成树上添加顶点 closedge[j].lowcost == 0说明第 个顶点已纳入 说明第j个顶点已纳入 说明第 个顶点已纳入U
第七章 图
k = minimum(closedge); // 求出加入生成树的下一个顶点 求出加入生成树的下一个顶点(k) printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]); // 输出生成树上一条边 closedge[k].lowcost = 0; // 第k顶点并入 集 顶点并入U集 顶点并入 for (j=0; j<G.vexnum; ++j) //修改其它顶点的最小边 修改其它顶点的最小边 if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) closedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj };
第七章 图
有向图的一个拓扑序列：设有向图有 个顶点 个顶点， 有向图的一个拓扑序列：设有向图有n个顶点， P1,P2,P3,……,Pn ; 顶点的一个序列Pj1, Pj2, … Pjn叫做 顶点的一个序列 该图的拓扑序列，如果满足对于∀ 该图的拓扑序列，如果满足对于∀ 1<i ,k<=n , i<k 有 Pji不是Pjk的后继，j1,j2,……jn是1，2，3，…，n的一 不是 的后继， ， ， ， ， 的一 个排列。 个排列。 例： A D F B C E
A，F，D，C，B，E ， ， ， ， ， H，A，C，D，E，B ， ， ， ， ，
A D F
B C E
第七章 图
C4 C2 C1 C12 C9 C10 C11 C6 C3 C7 C8 C5 课程代号 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 课程名称 程序设计基础 离散数学 数据结构 汇编语言 语言的设计和分析 计算机原理 编译原理 操作系统 高等数学 线性代数 普通物理 数值分析 先修棵 无 C1 C1,C2 C1 C3,C4 C11 C3.C5 C3,C6 无 C9 C9 C1,C9,C10
5 ∞ ∞ ∞ 3 ∞ 5 6 4 ∞ ∞ 2 ∞ ∞ 6 2 6 ∞
V4 2 V6
V1 V2 5 1 V4 3 V3 4 2 V6 V5
第七章 图
V2 V3 i 1 2 V4 V5 V6 3 4 5 ( 从V1出发 ) 出发 U {V1} V-U k
closedge
.adjvex .lowcost .adjvex .lowcost .adjvex .lowcost .adjvex .lowcost .adjvex .lowcost .adjvex .lowcost
第七章 图
AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间优先关 AOV网 用顶点表示活动， 系的有向图称为顶点表示活动的网( 系的有向图称为顶点表示活动的网(Activity On network)，简称AOV AOV网 Vertex network)，简称AOV网。 是图中有向边， 的直接前驱； 若<Vi,Vj>是图中有向边，则Vi是Vj的直接前驱； Vj 是Vi的直接后继。 的直接后继。 AOV网中不允许有回路， 有回路， AOV网中不允许有回路，若有回路，则这意味着某项活 网中不允许有回路 动以自己为先决条件。 动以自己为先决条件。 拓扑排序: 拓扑排序:求一个有向无环图的拓扑序列的过程叫拓 扑排序。 扑排序。
V1
7
V2
第七章 图
V1 13 17 V3 9 V5 12 18 V1 9 13 V3 V5 V6 10 V4 7 5 7 7 V2 5 24 V6 10 V4 V2 13 V3 V2 7 9 V5 V6 10 V4 5
V1
最小生成树可以不惟一！！ 最小生成树可以不惟一！！
第七章 图
算法1:普里姆 算法: 算法 普里姆(Prim)算法 普里姆 算法 从一个顶点u 出发构造连通网的最小生成树。 从一个顶点 0出发构造连通网的最小生成树。 是连通网， 是 上最小生成树中边的集合 上最小生成树中边的集合。 设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。 是连通网 1. 令U={u0}, (u0∈V) , TE=Φ ； Φ 2.在所有 ∈U,v∈V-U的边 在所有u∈ ∈ 的边(u,v)∈E中，找一条代价最小 在所有 的边 ∈ 中 的边（u ′,v ′）； ）； 3.将（u ′,v ′）并入集合TE，同时v ′并入U中； 将 ）并入集合 ， 并入 中 4.重复第2、3步直至 重复第 、 步直至U=V为止；此时，TE中必有 条 为止； 中必有n-1条 重复 为止 此时， 中必有 的最小生成树。 边，T=(V,{TE})为N的最小生成树。 为 的最小生成树
V1 V1 1 6 V3 0 5 V3 0 5 V3 0 5 0 0 0 0
V1 5 V1 V3 6 5 V6 V3 6 2 V3 0 6 V2 0 3 0 0
∞ ∞
V3 4 0 0 0 0
{V2,V3, 2 V4,V5,V6} {V2,V4, 5 {V1,V3} V5,V6}
{V1,V3,V6}{V2,V4,V5} 3 {V1,V3,V6, {V2, V5} V4} {V1,V3,V6, { V5 } V4,V2} {V1,V3,V6, { } V4,V2,V5} 1 4
V-U U
第七章 图
设置一个辅助数组，对当前V 集中的每个顶点， 设置一个辅助数组，对当前V－U集中的每个顶点， 记录和顶点集U中顶点相连接的代价最小的边(包括U 记录和顶点集U中顶点相连接的代价最小的边(包括U中 的顶点和权值) 的顶点和权值)： struct { VertexType adjvex; // U集中的顶点序号 集中的顶点序号 VRType lowcost; // 边的权值 } closedge[MAX_VERTEX_NUM];
第七章 图
例 V2 3 V5 V1 V1 1 V3 V1 1 V3 4 V1 V6 1 V3 4 6 5 6 V3 4 6 V6 V1 1 5 5 V4 2 V1 0 V2 1 V3 2 V4 3 V5 4 V6 5 V1 V2 5 1 V3 4 V1 V2 V3 0 1 2 ∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 ∞ 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4 V4 2 V6 V4 V5 V6 3 4 5
普里姆算法 克鲁斯卡尔算法
2) O(n
O(eloge) 稀疏图
稠密图
第七章 图
7.5 有向无环图及应用 7.5.1 拓扑排序 无向图是否存在环 判断一个无向图是否存在环： 判断一个无向图是否存在环：可深度优先遍历 图，如果在遍历的过程中取到的邻接点是一个不是其 双亲的已访问过的顶点，则说明存在环。 双亲的已访问过的顶点，则说明存在环。 对于有向图怎样来判断其是否存在环呢？ 有向图怎样来判断其是否存在环呢 对于有向图怎样来判断其是否存在环呢？可以 用求拓扑排序来判断。 用求拓扑排序来判断。 例 V1 V2 例 V1 V3 G1 V2 V4 V4 V3 G2 V5
连通网的） 7.4.3 (连通网的）最小生成树
问题： 问题： 7 5 9 13 假设要在 n 个城市之间 24 V6 V5 10 建立通讯联络网， 建立通讯联络网，则连通 n 17 12 个城市只需要修建 n-1条线 条线 V3 V4 18 路（可能有n(n-1)/2条线路 ， 可能有 条线路)， 条线路 如何在最节省经费的前提下 算法1:普里姆 普里姆(Prim)算法 算法 普里姆 算法 建立这个通讯网？ 建立这个通讯网？ 算法2：克鲁斯卡尔(Kruskal)算法 算法 ：克鲁斯卡尔 算法 该问题等价于： 该问题等价于： 构造网的一棵最小生成树， 构造网的一棵最小生成树，即：在 e 条带权的边中 条边（不构成回路）， ），使 权值之和” 选取 n-1 条边（不构成回路），使“权值之和”为最 小。
第七章 图
6 V2 3 V5 5 6 6 V1 1 V3 4 5 5 V4 2 V6 V1 V4 4 2 V6 V2 5 1 V3 4 V4 2 V6 V2 3 V5 5 V3 4 V1 1 V4 2 V6 V1 V1 1 V3 V1 1 V3 4 V6
V1 1 V3
第七章 图
普里姆(Prim)算法的实现： 算法的实现： 普里姆 算法的实现 在生成树的构造过程中， 在生成树的构造过程中，图中 n 个顶点分属两个集 合：已落在生成树上的顶点集 U 和尚未落在生成树上 则应在所有连接洽U中顶点和 中顶点和V-U中顶 的顶点集V-U ，则应在所有连接洽 中顶点和 中顶 的顶点集 点的边中选取权值最小的边。 点的边中选取权值最小的边。
例如: 例如 a
18 16 14
第七章 图
19 12
b
7 8
5
c
3
e f
g
27
21
d
closedge
0 a
Adjvex Lowcost
1 b d c e a 19 12 5 7
2 c d
3 d e
4 e a
5 f d
6 g a e
3
8
1421 18 16Fra bibliotek第七章 图
void MiniSpanTree_P(MGraph G, VertexType u) { //用普里姆算法从顶点 出发构造网 的最小生成树 用普里姆算法从顶点u出发构造网 用普里姆算法从顶点 出发构造网G的最小生成树 k = LocateVex ( G, u ); for ( j=0; j<G.vexnum; ++j ) // 辅助数组初始化 if (j!=k) closedge[j] = { u, G.arcs[k][j].adj }; closedge[k].lowcost = 0; // 初始，U＝{u} 初始， ＝ for (i=1; i<G.vexnum; ++i) {//选择其余 个顶点 选择其余n-1个顶点 选择其余 } } 继续向生成树上添加顶点; 继续向生成树上添加顶点 closedge[j].lowcost == 0说明第 个顶点已纳入 说明第j个顶点已纳入 说明第 个顶点已纳入U
第七章 图
k = minimum(closedge); // 求出加入生成树的下一个顶点 求出加入生成树的下一个顶点(k) printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]); // 输出生成树上一条边 closedge[k].lowcost = 0; // 第k顶点并入 集 顶点并入U集 顶点并入 for (j=0; j<G.vexnum; ++j) //修改其它顶点的最小边 修改其它顶点的最小边 if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) closedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj };
第七章 图
有向图的一个拓扑序列：设有向图有 个顶点 个顶点， 有向图的一个拓扑序列：设有向图有n个顶点， P1,P2,P3,……,Pn ; 顶点的一个序列Pj1, Pj2, … Pjn叫做 顶点的一个序列 该图的拓扑序列，如果满足对于∀ 该图的拓扑序列，如果满足对于∀ 1<i ,k<=n , i<k 有 Pji不是Pjk的后继，j1,j2,……jn是1，2，3，…，n的一 不是 的后继， ， ， ， ， 的一 个排列。 个排列。 例： A D F B C E
A，F，D，C，B，E ， ， ， ， ， H，A，C，D，E，B ， ， ， ， ，
A D F
B C E
第七章 图
C4 C2 C1 C12 C9 C10 C11 C6 C3 C7 C8 C5 课程代号 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 课程名称 程序设计基础 离散数学 数据结构 汇编语言 语言的设计和分析 计算机原理 编译原理 操作系统 高等数学 线性代数 普通物理 数值分析 先修棵 无 C1 C1,C2 C1 C3,C4 C11 C3.C5 C3,C6 无 C9 C9 C1,C9,C10
5 ∞ ∞ ∞ 3 ∞ 5 6 4 ∞ ∞ 2 ∞ ∞ 6 2 6 ∞
V4 2 V6
V1 V2 5 1 V4 3 V3 4 2 V6 V5
第七章 图
V2 V3 i 1 2 V4 V5 V6 3 4 5 ( 从V1出发 ) 出发 U {V1} V-U k
closedge
.adjvex .lowcost .adjvex .lowcost .adjvex .lowcost .adjvex .lowcost .adjvex .lowcost .adjvex .lowcost
第七章 图
AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间优先关 AOV网 用顶点表示活动， 系的有向图称为顶点表示活动的网( 系的有向图称为顶点表示活动的网(Activity On network)，简称AOV AOV网 Vertex network)，简称AOV网。 是图中有向边， 的直接前驱； 若<Vi,Vj>是图中有向边，则Vi是Vj的直接前驱； Vj 是Vi的直接后继。 的直接后继。 AOV网中不允许有回路， 有回路， AOV网中不允许有回路，若有回路，则这意味着某项活 网中不允许有回路 动以自己为先决条件。 动以自己为先决条件。 拓扑排序: 拓扑排序:求一个有向无环图的拓扑序列的过程叫拓 扑排序。 扑排序。
V1
7
V2
第七章 图
V1 13 17 V3 9 V5 12 18 V1 9 13 V3 V5 V6 10 V4 7 5 7 7 V2 5 24 V6 10 V4 V2 13 V3 V2 7 9 V5 V6 10 V4 5
V1
最小生成树可以不惟一！！ 最小生成树可以不惟一！！
第七章 图
算法1:普里姆 算法: 算法 普里姆(Prim)算法 普里姆 算法 从一个顶点u 出发构造连通网的最小生成树。 从一个顶点 0出发构造连通网的最小生成树。 是连通网， 是 上最小生成树中边的集合 上最小生成树中边的集合。 设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。 是连通网 1. 令U={u0}, (u0∈V) , TE=Φ ； Φ 2.在所有 ∈U,v∈V-U的边 在所有u∈ ∈ 的边(u,v)∈E中，找一条代价最小 在所有 的边 ∈ 中 的边（u ′,v ′）； ）； 3.将（u ′,v ′）并入集合TE，同时v ′并入U中； 将 ）并入集合 ， 并入 中 4.重复第2、3步直至 重复第 、 步直至U=V为止；此时，TE中必有 条 为止； 中必有n-1条 重复 为止 此时， 中必有 的最小生成树。 边，T=(V,{TE})为N的最小生成树。 为 的最小生成树
V1 V1 1 6 V3 0 5 V3 0 5 V3 0 5 0 0 0 0
V1 5 V1 V3 6 5 V6 V3 6 2 V3 0 6 V2 0 3 0 0
∞ ∞
V3 4 0 0 0 0
{V2,V3, 2 V4,V5,V6} {V2,V4, 5 {V1,V3} V5,V6}
{V1,V3,V6}{V2,V4,V5} 3 {V1,V3,V6, {V2, V5} V4} {V1,V3,V6, { V5 } V4,V2} {V1,V3,V6, { } V4,V2,V5} 1 4
V-U U
第七章 图
设置一个辅助数组，对当前V 集中的每个顶点， 设置一个辅助数组，对当前V－U集中的每个顶点， 记录和顶点集U中顶点相连接的代价最小的边(包括U 记录和顶点集U中顶点相连接的代价最小的边(包括U中 的顶点和权值) 的顶点和权值)： struct { VertexType adjvex; // U集中的顶点序号 集中的顶点序号 VRType lowcost; // 边的权值 } closedge[MAX_VERTEX_NUM];
第七章 图
例 V2 3 V5 V1 V1 1 V3 V1 1 V3 4 V1 V6 1 V3 4 6 5 6 V3 4 6 V6 V1 1 5 5 V4 2 V1 0 V2 1 V3 2 V4 3 V5 4 V6 5 V1 V2 5 1 V3 4 V1 V2 V3 0 1 2 ∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 ∞ 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4 V4 2 V6 V4 V5 V6 3 4 5
普里姆算法 克鲁斯卡尔算法
2) O(n
O(eloge) 稀疏图
稠密图
第七章 图
7.5 有向无环图及应用 7.5.1 拓扑排序 无向图是否存在环 判断一个无向图是否存在环： 判断一个无向图是否存在环：可深度优先遍历 图，如果在遍历的过程中取到的邻接点是一个不是其 双亲的已访问过的顶点，则说明存在环。 双亲的已访问过的顶点，则说明存在环。 对于有向图怎样来判断其是否存在环呢？ 有向图怎样来判断其是否存在环呢 对于有向图怎样来判断其是否存在环呢？可以 用求拓扑排序来判断。 用求拓扑排序来判断。 例 V1 V2 例 V1 V3 G1 V2 V4 V4 V3 G2 V5