数学专升本考试试题

高等数学（二）命题预测试卷（二）

一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选

项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．下列函数中，当1→x 时，与无穷小量)1(x -相比是高阶无穷小的是（ ）

A ．)3ln(x -

B ．x x x +-232

C ．)1cos(-x

D ．12-x 2．曲线x

x y 1

33+

-=在),1(+∞内是（ ） A ．处处单调减小 B ．处处单调增加 C ．具有最大值 D ．具有最小值 3．设)(x f 是可导函数，且1)

()2(lim

000

=-+→h

x f h x f x ，则)(0x f '为（ ）

A ．1

B ．0

C ．2

D ．

2

1 4．若1

)1(+=x x

x f ，则⎰10)(dx x f 为（ ）

A ．2

1

B ．2ln 1-

C ．1

D ．2ln 5．设x

u

xy u z ∂∂=,

等于（ ） A ．z zxy B ．1-z xy C ．1-z y D ．z y

二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在

题中横线上。 6．设2yx e z xy +=，则

)

2,1(y

z ∂∂= ．

7．设x e x f x ln )(+='，则='')3(f ．

8．x x x f -=

1)(，则=)1

(x

f ． 9．设二重积分的积分区域D 是4122≤+≤y x ，则⎰⎰=D

dxdy ． 10．x

x x

)211(lim -

∞→= ．

11．函数)(21

)(x x e e x f -+=的极小值点为 ．

12．若31

4

lim

21=+++-→x ax x x ，则=a ． 13．曲线x y arctan =在横坐标为1点处的切线方程为 ． 14．函数⎰=2

sin x tdt y 在2

π=

x 处的导数值为 ．

15．=+⎰-1

122cos 1sin dx x

x

x ． 三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。 16．（本题满分6分）

求函数⎪⎩⎪⎨⎧

=≠==0 00

1arctan )(x x x

x f 的间断点．

17．（本题满分6分）

计算1

21lim 2

--++∞

→x x x x ．

18．（本题满分6分）

计算⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++→x x x x 1

)1(arcsin ln lim ．

19．（本题满分6分）

设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01

)1ln(0 )(1

x x x xe x f x ，求)(x f '．

20．（本题满分6分）

求函数)sin(y x y +=的二阶导数．

21．（本题满分6分）

求曲线342)(x x x f -=的极值点．

22．（本题满分6分）

计算⎰+dx x x 1

2

3

．

23．（本题满分6分）

若)(x f 的一个原函数为x x ln ，求⎰⋅dx x f x )(．

24．（本题满分6分）

已知⎰∞-=

+0

22

1

1dx x k ，求常数k 的值．

25．（本题满分6分）

求函数5126),(23+-+-=y x x y y x f 的极值．

26．（本题满分10分）

求⎰⎰+D

dxdy y x )(2，其中D 是由曲线2x y =与2y x =所围成的平面区域．

27．（本题满分10分）

设⎰-=a

dx x f x x f 02

)()(，且常数1-≠a ，求证：)

1(3)(3

+=⎰

a a dx x f a

．

28．（本题满分10分）

求函数x

x

y ln =

的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．

参考答案

一、选择题

1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 二、填空题

6．122+e 7．3

1

3+e

8．11-x 9．π3

10．2

1-e

11．0=x

12．5 13．)1(2

1

4

-=

-x y π

14．4

sin 2

ππ 15．0

三、解答题

16．解 这是一个分段函数，)(x f 在点0=x 的左极限和右极限都存在．

2

1arctan lim )(lim 00π

-==-→-→x x f x x

21arctan lim )(lim 00π

==+→+→x x f x x

)(lim )(lim 00x f x f x x +

→-

→≠

故当0→x 时，)(x f 的极限不存在，点0=x 是)(x f 的第一类间断点．