数学专升本考试试题
专升本试题2023数学及答案
专升本试题2023数学及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=2x^2+3x-5的导数是：A. 4x+3B. 2x+3C. 4x^2+6xD. 4x^2+3x2. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，圆心坐标是：A. (2, 3)B. (1, 2)C. (3, 4)D. (0, 0)3. 已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，第5项a5的值为：A. 11B. 13C. 15D. 174. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在5. 矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]的乘积AB的行列式det(AB)为：A. 22B. 30C. 36D. 44二、填空题（每题2分，共10分）6. 若f(x)=x^3-2x^2+x-2，则f'(x)=______。
7. 若曲线y=x^2-4x+3在点x=1处的切线斜率为______。
8. 一个等比数列的首项为2，公比为3，其第3项为______。
9. 若函数y=ln(x)的图像与直线y=4相交于点(a,4)，则a=______。
10. 一个矩阵的秩为2，且该矩阵的行列式为-5，则该矩阵的迹为______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。
12. 解不等式：|x-2|+|x-5|<7。
13. 计算定积分：∫(0到1) (2x+1)dx。
四、证明题（每题15分，共15分）14. 证明：若数列{an}是单调递增数列，且数列{an}的极限存在，则数列{an}是收敛的。
五、综合题（每题25分，共25分）15. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求：a. 函数f(x)的极值点；b. 函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
专升本高等数学一考试真题及参考答案.doc
专升本高等数学（一）考试真题及参考答案
专升本高等数学（一）考试真题及参考答案
一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的( )
A.高阶无穷小量
B.等价无穷小量
C.同阶但不等价无穷小量
D.低阶无穷小量
参考答案：D
参考答案：C
第3题函数f(x)=x3-12x+1的单调减区间为( )
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(-2,2)
D.(2,+∞)
参考答案：C
参考答案：A 第5题
参考答案：B
参考答案：D 第7题
参考答案：B 参考答案：A 参考答案：B
参考答案：A
二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
参考答案：1
参考答案：2
第13题设y=x2+e2，则dy=________
参考答案：(2x+e2)dx
第14题设y=(2+x)100，则Y’=_________.
参考答案：100(2+z)99
参考答案：-In∣3-x∣+C
参考答案：0
参考答案：1/3(e3一1)
参考答案：y2cosx
第19题微分方程y’=2x的通解为y=__________.
参考答案：x2+C
参考答案：1
三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第21题
第22题第23题第24题
第25题
第26题设二元函数z=x2+xy+y2+x-y-5，求z的极值.
第27题第28题。
专升本高等数学考试题及答案
一、 判断下列命题是否正确，正确的在题后的括号划“√ ”，错误的划“×”（每小题2分，共10分）1. 设函数()f x 在点0x 处连续，则0lim ()0x x f x →'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( )2. 若()f x 为可导函数，则()f x 也为可导函数 ( )3. 设()f x 在[],a a -上连续，且()()f x f x -=，则(2)0aaxf x dx -=⎰( )4. 方程2520x x -+=在区间(1,2)内必有一个正实根 ( )5. 若()1f x < ，且在区间[]0,1上连续，则()21()xF x x f t dt =--⎰是区间[]0,1上的单调增函数 ( )二、填空题（每小题2分，共10分）1. 21lim()2xx x x→∞+= . 2. 设函数211ln(),21x x y e x -+=-则dy dx= . 3. 曲线12cos y x =+在(,2)3π出的法线方程为4. 设()arcsin xf x dx x c =+⎰，则1()dx f x ⎰= . 5.72= .三．选择题（每小题2分，共10分）1.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ ）（A ）0a b +> （B ）0a b += （C ）0a b +≥ （D ）0a b +< 2 设xy x =，则dydx为 （ ）（A ）1x x x-⋅ （B ）ln xx x （C ）(ln 1)xx x + （D ）ln 1x +3[()()]aax f x f x dx -+-=⎰（ ）（A ）04()axf x dx ⎰（B ） 02[()()]ax f x f x dx +-⎰（C ） 0 （D ）前面都不正确4 设20()(2)xf x t t dt =-⎰，则它在12x =处取 （ ） （A ）极大值 （B ）极小值 （C ） 单调下降 （D ） 间断点5 直线111:314x y z L ---==-与平面:3x y z π++=的位置关系为 （ ）（A ）垂直 （B ）斜交 （C ）平行 （D ）L π在内四 计算下列各题（每小题6分，共48分）1 设(cos )(sin ),yxdy x y dx=求 2 arctan x xdx ⋅⎰341⎰4 2303cos sin x xdx π⎰5 设空间三点为(1,1,1),(2,2,2),(1,1,3)A B C ----，试写出过点A ，B,C 的平面方程及过AB 中点M 的直线MC 的方程 61⎰7 若1y ≤，计算11x x y e dx --⋅⎰8 已知参数方程()()()x u y u u u ϕϕϕ'=⎧⎨'=⋅-⎩，且()0u ϕ''≠，求22d ydx五 证明不等式（8分）1ln(x x x +⋅≥-∞<<+∞六 应用题（8分）计算a 为何值时，曲线21y x ax a =-+-与直线0,2,0x x y =-=围城的封闭图形绕轴x 旋转一周所形成的旋转体的体积最小？并求出该体积。
数学专升本考试试题(含答案解析)
数学专升本考试试题（含答案解析）一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值为M，最小值为m，则Mm的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C解析：函数f(x) = x^2 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值和最小值分别为f(1)和f(3)，计算可得M = f(1) = 0，m = f(3) = 0，所以Mm = 00 = 0，故选C。
2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)，代入S5 = 25，得到5/2 (a1 + a5) = 25，又因为a5 = a1 + 4d，所以5/2 (a1 + a1 + 4d) = 25，化简得到a1 + 2d = 5。
又因为S5 =5/2 (a1 + a5) = 5/2 (2a1 + 4d) = 5(a1 + 2d)，代入S5 = 25，得到5(a1 + 2d) = 25，解得a1 + 2d = 5。
联立两个方程，得到d = 2，故选A。
3. 若圆x^2 + y^2 = 1上的点到原点的距离为r，则r的取值范围是（）A. 0 < r < 1B. 0 ≤ r ≤ 1C. r > 1D. r ≥ 1答案：B解析：圆x^2 + y^2 = 1上的点到原点的距离为r，即r^2 = x^2 + y^2，因为x^2 + y^2 = 1，所以r^2 = 1，即0 ≤ r ≤ 1，故选B。
4. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时的导数为2，则b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时的导数为2，即f'(1) = 2，计算f'(x) = 2ax + b，代入x = 1，得到f'(1) = 2a +b = 2，解得b = 2 2a，故选A。
2023年成人高考专升本数学考试真题与答案
2023年成人高考专升本数学考试真题与答案一、选择题1. 题目：以下哪个不是函数的定义域？- A. 实数集- B. 自然数集- C. 有限集- D. 空集- 正确答案：B2. 题目：已知函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(2) 的值。
- A. 3- B. 8- C. 7- D. 9- 正确答案：C二、填空题1. 题目：求解方程 2x + 3 = 7 的解。
- 答案：x = 22. 题目：已知三角形 ABC，其中∠B = 90°，边 AC = 5，边BC = 3，求∠A 的大小。
- 答案：∠A = 45°三、计算题1. 题目：计算 2^3 × 4^2 - (5 + 3^2) 的值。
- 答案：402. 题目：已知三角形 ABC，其中∠A = 60°，边 AB = 3，边BC = 4，求边 AC 的长度。
- 答案：边AC ≈ 5.36四、简答题1. 题目：什么是平行线？如何判断两条直线是否平行？- 答案：平行线是在同一个平面内永不相交的两条直线。
判断两条直线是否平行，可以使用以下方法：- 方法1：如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
- 方法2：如果两条直线的法向量相等，则它们是平行线。
2. 题目：简述解一元一次方程的步骤。
- 答案：解一元一次方程的步骤如下：- 1. 将方程转化为标准形式，即将所有项移到等式左边，等式右边为0。
- 2. 通过合并同类项，化简方程。
- 3. 通过移项，将未知量的项移到方程的一边，使另一边为0。
- 4. 根据未知量的系数和常数项的值，进行运算，求得未知量的解。
以上为2023年成人高考专升本数学考试的真题与答案。
希望对您的备考有所帮助！注意：以上答案仅供参考，具体判断以考试官方发布的答案为准。
2023年成人高考专升本高等数学(二)真题+参考答案解析
2023年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（二）真题一、选择题（1~10小题，每题4分，共40分。
在每小给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的）1.x→∞x2+1 x2+xlim=()A.-1B.0C.12D.12.设f(x)=x3+5sin x,f'(0)=()A.5B.3C.1D.03.设f(x)=ln x-x,f'(x)=()A.xB.x-1C.1x D.1x-14.f(x)=2x3-9x2+3的单调递减区间为()A.(3,+∞)B.(-∞,+∞)C.(-∞,0)D.(0,3)5.x23dx=()A.x32+CB.35x53+C C.x53+C D.x13+C6.设函数f(x)=x ,则1-1f(x)dx=()A.-2B.0C.1D.27.连续函数f(x)满足x0f(t)dt=e x-1,求f'(x)=()A.e xB.e x-1C.e x+1D.x+18.设z=e xy,dz=()A.e xy dx+e xy dyB.e x dx+e y dyC.ye xy dx+xe xy dyD.e y dx+e x dy9.设z=14(x2+y2),∂2z∂x∂y=()A.x2B.0 C.y2D.x+y10.扔硬币5次，3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.二、填空题(11~20小题，每题4分，共40分)11.x→31+x-2x-3=lim。
12.x→∞(x+1 x-1)lim x=。
13.f(x)=e2x,则f(n)(0)=。
14.f(x)=x2-2x+4在(x0,f(x))处切线与直线y=x-1平行，x=。
15.曲线y=xe x的拐点坐标为。
16.y=2x1+x2的垂直渐近线是。
17.xx2+4dx=。
18.曲线y=x2与x=y2所围成图形的面积是。
19.+∞0xe-x2dx=。
20.z=x2+y2-x-y-xy的驻点为。
三、解答题(21~28小题，共70分。
2024年成人高考专升本《数学》考试真题附答案
2024年成人高考专升本《数学》考试真题附答案一、选择题（每题1分，共5分）A. 牛顿B. 欧拉C. 高斯D. 希尔伯特2. 设函数f(x)在区间(∞, +∞)内连续，且f(x) = f(x)，则f(x)是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 周期函数D. 非奇非偶函数A. 交换两行B. 两行相加C. 两行互换D. 两行相乘4. 若函数y = f(x)在点x0处可导，则f'(x0)表示（）A. 曲线在点(x0, f(x0))处的切线斜率B. 曲线在点(x0, f(x0))处的法线斜率C. 函数在点x0处的极值D. 函数在点x0处的拐点5. 设A、B为两个事件，若P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，P(A∩B) =0.2，则P(A|B) = （）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何实数的平方都是非负数。
（）2. 若矩阵A的行列式为零，则A不可逆。
（）3. 函数的极值点必定在导数为零的点处取得。
（）4. 概率论中的大数定律表明，随机事件的频率会随着试验次数的增加而稳定在概率附近。
（）5. 线性方程组的解一定是唯一的。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x^3 3x，则f'(x) = _______。
2. 矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式值是 _______。
3. 在平面直角坐标系中，点(1, 2)到原点的距离是 _______。
4. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则μ表示 _______。
5. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b) < 0，则根据闭区间上连续函数的零点定理，至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = _______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的条件和结论。
2. 什么是矩阵的秩？如何求矩阵的秩？3. 简述导数的物理意义。
2023年广西省专升本数学考试真题
选择题已知集合A = {1, 2, 3}，B = {x | x^2 = 4}，则A ∩B =A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. {2, 4}函数y = 3x^2 - 2x - 1的导数为A. 6x - 2B. 3x^2 - 2C. 6xD. 2x - 2下列极限中，等于0的是A. lim(x→∞) (1/x)B. lim(x→0) (sin x)/xC. lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)D. lim(x→2) (x^2 + 1)已知复数z = 1 + i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是A. 1 - iB. -1 + iC. 1 + 2iD. -1 - i下列二次函数中，图象的对称轴是直线x = 1的是A. y = x^2 + 2x + 1B. y = x^2 - 2x + 1C. y = x^2 + 2x - 1D. y = x^2 - 2x - 1在空间直角坐标系中，点P(1, 2, 3)关于平面xOy的对称点P'的坐标是A. (1, 2, -3)B. (-1, 2, 3)C. (1, -2, 3)D. (1, -2, -3)填空题函数f(x) = √(x - 1)的定义域为__________。
若直线l的方程为3x - 4y + 5 = 0，则直线l在y轴上的截距为__________。
已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则a_10 = __________。
已知圆的方程为x^2 + y^2 = 9，则圆心到点(0, 3)的距离为__________。
函数y = ln(x^2 - 1)的定义域为__________。
在复数范围内，方程x^2 + 1 = 0的解为__________。
简答题求函数y = x^3 - 3x^2 + 2的极值。
已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 0)，求三角形ABC的面积。
专升本数学考试题
专升本数学考试题一、选择题1. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(2)的值为多少？A. 0B. 1C. 2D. 32. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第n项的值为多少？A. 2n - 1B. 3n - 2C. 3n + 1D. 2n + 13. 如图所示，ABCD是一个正方形，O为AC的中点，∠ABO的度数为多少？（插入图示）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 若函数f(x)满足f(x + 3) = f(x - 2) + 1，则f(4)的值为多少？A. f(2) + 1B. f(1)C. f(2) - 1D. f(1) + 15. 在三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 15。
则三角形ABC 的斜边AB的长度为多少？A. 7B. 17C. 23D. 25二、计算题1. 将5x - 2y = 3和3x + 4y = 1联立，求出x和y的值。
2. 已知a = log2(3)，b = log4(9)，计算log2(81)的值。
3. 计算sin(30° + 45°)的值。
4. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 4，求f(-1)和f(2)的值。
5. 计算以下方程的解：2x^2 + 3x - 2 = 0。
三、解答题1. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x的导数。
2. 解方程：3^(x + 2) = 9^(x - 1)。
3. 求等差数列前n项和Sn的公式。
4. 解方程：log3(4x + 1) = 2。
5. 某商品原价为800元，现在打5折出售，再额外打9.5折，求打完折扣后的最终价格。
以上就是专升本数学考试的题目，希望能帮到你！祝你考试顺利！。
大学数学专升本考试题目及答案
大学数学专升本考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：D2. 二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0 的根是：A. 2, 3B. -2, 3C. -3, 2D. 1, 6答案：A3. 极限 lim (x->2) [(x^2 - 4)/(x - 2)] 的值是：A. 4B. 6C. 8D. 无法计算答案：B4. 以下哪个选项是连续函数？A. f(x) = 1/xB. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = x^2答案：C5. 曲线 y = x^3 在点 (1,1) 处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C6. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(n=1 to ∞) (1/n^2)B. ∑(n=1 to ∞) (1/n)C. ∑(n=1 to ∞) (1/n^0.5)D. ∑(n=1 to ∞) (n)答案：A7. 矩阵 A = [[1, 2], [3, 4]] 的行列式是：A. -2B. 2C. 6D. 8答案：A8. 方程 (x - 1)y = 3x 在 y = 0 时有：A. 唯一解B. 无穷多解C. 无解D. 解集为全体实数答案：C9. 以下哪个积分是发散的？A. ∫(0 to 1) (1/x) dxB. ∫(0 to 1) x^2 dxC. ∫(1 to 2) e^x dxD. ∫(0 to 1) x dx答案：A10. 以下哪个选项是微分方程 y'' - y' - 6y = 0 的解？A. y = e^(3x)B. y = e^(x)C. y = cos(2x)D. y = sin(3x)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 的最大值点的 x 坐标是_______。
2020年成人高等考试《数学二》(专升本)试题(网友回忆版)
2020年成人高等考试《数学二》（专升本）试题（网友回忆版）[单选题]1.()。
A.B.C.D.e6参考答案：B参考解析：[单选题]2.设函数y＝x+2sinx，则dy＝()。
A.（1-2cosx）dxB.（1+2cosx）dxC.（1-cosx）dxD.（1+cosx）dx参考答案：B参考解析：y，＝（x+2sinx）’＝1+2cosx，故dy＝y’dx＝（1+2cosx）dx[单选题]3.()。
A.3/2B.1C.2D.1/2参考答案：A参考解析：[单选题]4.设函数f（x）＝3+x5，则f’（x）＝()。
A.x4B.1+x4C.D.5x4参考答案：D参考解析：[单选题]5.()。
A.B.C.D.参考答案：B参考解析：[单选题]6.()。
A.4B.0C.2D.-4参考答案：A参考解析：[单选题]7.()。
A.B.C.D.参考答案：C参考解析：[单选题]8.3本不同的语文书和2本不同的英语书排成一排，则2本英语书恰好相邻的概率为()。
A.2/5B.4/5C.3/5D.1/2参考答案：A参考解析：[单选题]9.设函数z＝x2-4y2，则dz＝()。
A.xdx-4ydyB.xdx-ydyC.2xdx-4ydyD.2xdx-8ydy参考答案：D参考解析：[单选题]10.()。
A.3x2+2xyB.3x2+y2C.2xyD.2y参考答案：C参考解析：[问答题]1.参考答案：无参考解析：[问答题]2.参考答案：无参考解析：[问答题]3.参考答案：无参考解析：[问答题]4.参考答案：无参考解析：[问答题]5.参考答案：无参考解析：[问答题]6.求函数x＝x2+2y4+4xy2-2x的极值。
参考答案：无参考解析：[问答题]7.求曲线y＝x3-3x2+2x+1的凹凸区间与拐点参考答案：无参考解析：[问答题]8.已知离散型随机变量X的概率分布为且E（X）＝0（1）求a，b；（2）求E[X（X+1）]。
参考答案：无参考解析：[填空题]1.设函数y＝e2x，则dy＝______。
2021年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学(一)
2021年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学(一)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设lim x →0ln （1＋bx ）x＝2，则b ＝( )A ．2B ．1C ．12D ．－2 2．当x →0时，tan x 2A ．低阶无穷小量B ．等价无穷小量C ．同阶但不等价无穷小量D ．高阶无穷小量 3．设函数f (x ) 满足lim x →1f （x ）－f （1）2（x －1）＝1，则f ′(1)＝( )A ．2B ．1C ．12 D ．－1 4．设y ＝x ＋e －x，则d y|x ＝1＝( )A ．e －1d x B ．－e －1d xC ．(1＋e －1)d xD ．(1－e －1)d x5．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e )处法线的斜率为( ) A ．— 2 B ．－12C ．12D ．2 6．∫(cos x )′d x ＝( ) A ．sin x ＋C B ．cos x ＋C C ．－sin x ＋C D ．－cos x ＋C 7.⎠⎛－11 (x cos x ＋1)d x ＝3( )A ．— 2B ．— 1C ．1D ．2 8.⎠⎛1＋∞ 1x3 d x ＝( )A ．12B ．14C ．－14D ．－129．设z ＝y 5＋arctan x ，则∂z ∂y ＝( )A ．5y 4＋11＋x 2 B ．11＋x 2C ．5y 4D ．5y 4＋arctan x 10．设z ＝e2x －y，则∂2z∂x ∂y＝( )A ．－e 2x －yB ．e 2x －yC ．－2e 2x －yD ．2e 2x －y第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题(11～20小题，每小题4分，共40分) 11.lim x →03x ＋1x 2＋2x ＋3＝.12.lim n →∞ 3n 2＋5n2n 2＋4n ＋5 ＝.13．设函数f (x )＝e x－12x，则f (x )的间断点为x ＝.14．设y ＝x e x，则y ′＝.15．设y ＝y (x )是由方程y ＋e y＝x 所确定的隐函数，则y ′＝. 16．曲线y ＝1x －2的铅直渐近线方程为. 17．∫x e x 2d x ＝. 18.d d x ⎝⎛⎭⎫⎠⎛2x tan t d t ＝. 19.⎠⎛0111＋x 2 d x ＝. 20．过坐标原点且与平面3x －7y ＋5z －12＝0平行的平面方程为.三、解答题(21～28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤) 21．(本题满分8分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋a 2，x >1，－x ，x ≤1在x ＝1处连续，求a .22．(本题满分8分) 设y ＝ln x x，求d y .23．(本题满分8分) 计算∫cos x xd x .24．(本题满分8分)求曲线y ＝2x 3－6x 2的凹、凸的区间及拐点．25．(本题满分8分) 设z ＝ln (x ＋y 2)，求d z|（1.1）.26．(本题满分10分)求微分方程y ″－3y ′＋2y ＝2的通解．27．(本题满分10分)xy d x d yx＝0，y＝x和x2＋y2＝1在第一象限所围成的闭区域．计算∬D28．(本题满分10分)将y＝e x＋1展开成x的幂级数．参考答案及解析一、选择题 1．【答案】A【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换的知识点． 【应试指导】当x →0时，ln (1＋bx )～bx ，故lim x →0 ln （1＋bx ）x＝lim x →0 bxx ＝b＝2. 2．【答案】D【考情点拨】本题考查了高阶无穷小量的知识点．【应试指导】lim x →0 tan x 2x ＝lim x →0 x 2x＝lim x →0x ＝0，故当x →0时，tan x 2为x 的高阶无穷小量．3．【答案】A【考情点拨】本题考查了函数的导数的知识点．【应试指导】f ′(1)＝lim x →1f （x ）－f （1）x －1 ＝2lim x →1 f （x ）－f （1）2（x －1）＝2. 4．【答案】D【考情点拨】本题考查了函数的微分的知识点． 【应试指导】d y ＝(x ＋e －x)′d x ＝(1－e －x)d x ，因此d y|x ＝1＝(1－e －x)|x ＝1d x ＝(1－e－1)d x .5．【答案】B【考情点拨】本题考查了曲线的法线的知识点．【应试指导】y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，因此曲线在点(e ，e )处切线的斜率为y ′|x ＝e＝(ln x ＋1)|x ＝e＝2，故其法线的斜率为－12.6．【答案】B【考情点拨】本题考查了不定积分的基本性质的知识点． 【应试指导】∫(cos x )′d x ＝∫d(cos x )＝cos x ＋C . 7．【答案】D【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点．【应试指导】⎠⎛－11 (x cos x ＋1)d x ＝∫1－1 x cos x d x ＋⎠⎛－11 d x ＝⎠⎛－11d x ＝x ⎪⎪⎪1－1 ＝2. 8．【答案】A【考情点拨】本题考查了广义积分的计算的知识点． 【应试指导】⎠⎛1＋∞ 1x3 d x ＝1－3＋1 x －3＋1⎪⎪⎪＋∞1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫0－12 ＝12.9．【答案】C【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点． 【应试指导】∂z ∂y＝(y 5)′＝5y 4.10．【答案】C【考情点拨】本题考查了二元函数的高阶偏导数的知识点．【应试指导】∂z ∂x ＝e 2x －y ·2＝2e 2x －y，∂2z ∂x ∂y ＝2e 2x －y ·(－1)＝－2e 2x －y .二、填空题 11．【答案】13【考情点拨】本题考查了函数极限的四则运算的知识点． 【应试指导】lim x →0 3x ＋1x 2＋2x ＋3 ＝0＋10＋0＋3 ＝13.12．【答案】32【考情点拨】本题考查了函数极限的四则运算法则的知识点． 【应试指导】lim n →∞ 3n 2＋5n2n 2＋4n ＋5 ＝lim n →∞3＋5n2＋4n ＋5n2＝32.13．【答案】0【考情点拨】本题考查了函数的间断点的知识点． 【应试指导】函数在x ＝0处无定义，故其间断点为x ＝0.14．【答案】(x ＋1)e x【考情点拨】本题考查了函数导数的知识点．【应试指导】y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x. 15．【答案】11＋ey【考情点拨】本题考查了隐函数的求导的知识点．【应试指导】方程两边对x 求导，得y ′＋e y·y ′＝1，即y ′＝11＋e y .16．【答案】x ＝2【考情点拨】本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点． 【应试指导】当x →2时，lim x →2 1x －2＝∞，故x ＝2为曲线的铅直渐近线． 17．【答案】12e x 2＋C【考情点拨】本题考查了不定积分的第一换元积分法的知识点． 【应试指导】∫x e x 2d x ＝12 ∫2x e x 2d x ＝12 ∫e x 2d(x 2)＝12 e x 2＋C .18．【答案】tan x【考情点拨】本题考查了变上限定积分的性质的知识点． 【应试指导】d d x ⎝⎛⎭⎫⎠⎛2x tan t d t ＝tan x . 19．【答案】π4【考情点拨】本题考查了定积分的知识点． 【应试指导】⎠⎛01 11＋x2 d x ＝arctan x ⎪⎪⎪10 ＝π4 . 20．【答案】3x －7y ＋5z ＝0【考情点拨】本题考查了平面方程的知识点．【应试指导】已知所求平面与3x －7y ＋5z －12＝0平行，则其法向量为(3，－ 7，5)，故所求方程为3(x －0)＋(－7)(y －0)＋5(z －0)＝0，即3x －7y ＋5x ＝0.三、解答题21.lim x →1＋ f (x )＝lim x →1＋ ()2ax ＋a 2＝2a ＋a 2，lim x →1－ f (x )＝lim x →1－(－x )＝－1. 由于f (x )在x ＝1处连续，所以lim x →1＋ f (x )＝lim x →1－ f (x )，即2a ＋a 2＝－1.解得a ＝－1. 22．y ′＝1－ln xx2， d y ＝y ′d x ＝1－ln x x2d x . 23．令t ＝x ，则x ＝t 2，d x ＝2t d t . ∫cos xxd x ＝∫2t cos ttd t＝2∫cos t d t＝2sin x ＋C .24．y ′＝6x 2－12x ，y ″＝12x －12. 由y ″＝12x －12＝0得x ＝1.当x <1时，y ″<0，因此在区间(－∞，1)曲线是凸的； 当x >1时，y ″>0，因此在区间(1，＋∞)曲线是凹的； 当x ＝1时，y ＝－4，点(1，－4)为曲线的拐点． 25.∂z ∂x ＝1x ＋y 2 ，∂z ∂y ＝2y x ＋y 2 ， 于是d z ＝1x ＋y 2 d x ＋2yx ＋y 2d y ， 因此d z|（1，1）＝12d x ＋d y . 26．原方程对应的齐次方程的特征方程为r 2－3r ＋2＝0， 特征根为r 1＝1，r 2＝2.故原方程对应的齐次方程的通解为y ＝C 1e x ＋C 2e 2x， y *＝1为原方程的特解，所以原方程的通解为y ＝C 1e x ＋C 2e 2x＋1.27．在极坐标系中，D 可表示为π4 ≤θ≤π2，0≤r ≤1.∬Dxy d x d y ＝∫π2 π4 d θ⎠⎛01 r 2cos θsin θ·r d r＝∫π2 π4 sin θd(sin θ)·⎠⎛01 r 3d r＝12 sin 2θ⎪⎪⎪⎪π2π4·14 r 4⎪⎪⎪10＝116 . 28．ex ＋1＝e ·e x＝∑n ＝0∞ e n ！ x n (－∞<x <＋∞).。
四川2023年大专生专升本数学考试及答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.“a =1”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的（）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅=（）.A ．23-B ．32-C ．32D ．233.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（）.A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位4.函数|lg |)(x x x f -=在定义域上零点个数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．45.如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（）.A ．1B ．21C ．31D ．616.一个等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项的平均值是4，则抽取的是()A.a11B.a10C.a9D.a87.设函数f(x)=logax(a>0,且a ≠1)满足f(9)=2,则f －1(log92)等于()A.2B.2C.21 D.±28.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a,则三棱锥D —ABC 的体积为()A.63a B.123a C.3123a D.3122a 9.设O 、A 、B 、C 为平面上四个点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且a+b+c=0，a ·b=b ·c=c ·a=－1,则|a|+|b|+|c|等于()A.22B.23C.32D.3310.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦11.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（）A ．15BC ．3D ．512.设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为（）ABC ．2D二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1、如果∆ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则B 一定等于______.2、已知2tan -=α，71tan =+）（βα，则βtan 的值为______.3．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是______.4．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是______.三、大题：(满分70分)1、已知函数3()x x bf x x++=，{}n a 是等差数列，且2(1)a f =，3(2)a f =，4(3)a f =．（1）求{}n a 的前n 项和；（2）求()f x 的极值．2、已知集合A 是由a －2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a.3.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠=四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证：平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060，求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值4.设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．5.已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C （﹣1，0）的直线l 与椭圆C2交于A ，B 两个不同的点，若，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程． 6.已知函数（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论g （x ）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x ＞0，且x ≠1时，．参考答案：一、选择题：1-5题答案:CDCCC 6-10题答案:ABDCB 11-12题答案:BA 二、填空题：1、︒60;2、3；3、10；4、4.三、大题：1、【解析】（1）由3()x x b f x x++=得211(1)21b a f b ++===+，3322(2)522b ba f ++===+，3433(3)1033b ba f ++===+，由于{}n a 为等差数列，∴2432a a a +=，即(2)(10)2(5)32b b b +++=+，解得6b =-，∴22624a b =+=-+=-，3655222b a =+=-+=，461010833b a =+=-+=，设数列{}n a 的公差为d ，则326d a a =-=，首项1210a a d =-=-，故数列{}n a 的通项公式为1(1)616n a a n d n =+-=-，∴数列{}n a 的前n 项和为21()(10616)31322n n n a a n n S n n +-+-===-；（2）法一（导数法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，332226262(3)()2x x f x x x x x ++'=+==，当330x +<，即x <()0f x '<，函数()f x 在(,-∞上单调递减，当330x +>，即x >时，()0f x '>，函数()f x 在()+∞上单调递增，故函数()f x 在x =极小值为53(31f =+，无极大值．法二（基本不等式法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，当0x >时，26()1f x x x =-+为单调递增函数，故()f x 在(0,)+∞上无极值．当0x <时，则6x ->，∴2226633()1()()1()()()11f x x x x x x x x =-+=-++=-+++≥+---53131==+，当且仅当23()x x-=-，即x =综上所述，函数()f x 在x =53(31f =+，无极大值．【评注】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和、函数单调性及应用，数列与函数进行结合考查，综合性较强，属于中档题．2、解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.3.参考答案：解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------①---1分连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点，连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE -②-----3分由①②知，平面//AEF 平面BDGH ----4分（2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD -------5分取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ，建系{,,}OB OC ON设2AB BF t ==，,则()()()100,03,0,10B C F t ，，，，，13,,222t H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--------6分()131,0,0,,222t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z = 110130222n OB x t n OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,所以(10,3n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ----9分12231|cos ,|23n n t <>==+ ,所以29,3t t ==----10分所以()1,3,3CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n CF θ4.参考答案：解：（1）∵OP→·OQ →＝0，则x1x2＋y1y2＝0，-1分又P 、Q 在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得y122p ·y222p＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2222212144)(||pp y y x x ==∴-------3分又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．所以抛物线的方程为:22y x =-------------4分（2）设直线PQ 过点E(a,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=x y amy x 22消去x 得y2－2my －2a ＝0∴⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121①设直线PR 与x 轴交于点M(b,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b,并设R(x3,y3)，同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131②--7分由①、②可得32y b y a=由题意，Q 为线段RT 的中点，∴y3＝2y2，∴b=2a又由（Ⅰ）知，y1y2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4∴a ＝2．故b ＝4．∴831-=y y ∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n=0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR|取最小值245.已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C （﹣1，0）的直线l 与椭圆C2交于A ，B 两个不同的点，若，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y 轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．∴△OAB的面积为S△OAB=S△AOC+S△BOC====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或．6.已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．。
宁夏专升本考试真题数学
选择题：1. 若一元二次函数(f(x) = ax^2 + bx + c)的判别式(b^2 - 4ac)小于0，则该函数的图像与x轴的交点个数为：A) 0 B) 1 C) 2 D) 3答案：A) 02. 若在直角三角形ABC中，∠B=60°，BC=6，则AB的长度为：A) 3 B) 3√3 C) 6 D) 6√3答案：B) 3√33. 若集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={4, 5, 6, 7, 8}，则A∪B的元素个数为：A) 1 B) 2 C) 3 D) 4答案：D) 54. 若函数(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2)，则f(1)的值为：A) 0 B) 1 C) 2 D) 3答案：C) 35. 设直线L1的方程为(2x + 3y = 6)，直线L2与L1垂直且经过点(1, 2)，则直线L2的方程为：A) (2x + 3y = 6) B) (3x + 2y = 5) C) (3x - 2y = 5) D) (3x - 2y = 6)答案：D) (3x - 2y = 6)填空题：1. 若(x^2 + 6x + k)是一个完全平方的形式，求k的值。
答案：92. 在平面直角坐标系中，点A(4, -3)和点B(-1, 2)之间的距离是___。
3. 若(f(x) = 4x^2 - 2x + 1)，则f(-1)的值为___。
答案：74. 若三角形的两边长分别为6和8，且夹角为90°，则这个三角形的面积为___。
答案：245. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={3, 4, 5, 6, 7}，则A∩B的元素个数为___。
答案：3应用题：1. 一个长方形花坛的周长为30米，宽为4米，求其面积。
2. 一根长为20厘米的绳子从一端开始剪，每次剪掉的长度都是前一次的一半，问剪了多少次后，绳子的长度会小于1厘米？3. 已知函数(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4)，求f(0)的值。
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高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．下列函数中，当1→x 时，与无穷小量)1(x -相比是高阶无穷小的是（ ）A ．)3ln(x -B ．x x x +-232C ．)1cos(-xD ．12-x 2．曲线xx y 133+-=在),1(+∞内是（ ） A ．处处单调减小 B ．处处单调增加 C ．具有最大值 D ．具有最小值 3．设)(x f 是可导函数，且1)()2(lim000=-+→hx f h x f x ，则)(0x f '为（ ）A ．1B ．0C ．2D ．21 4．若1)1(+=x xx f ，则⎰10)(dx x f 为（ ）A ．21B ．2ln 1-C ．1D ．2ln 5．设xuxy u z ∂∂=,等于（ ） A ．z zxy B ．1-z xy C ．1-z y D ．z y二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。
6．设2yx e z xy +=，则)2,1(yz ∂∂= ．7．设x e x f x ln )(+='，则='')3(f ．8．x x x f -=1)(，则=)1(xf ． 9．设二重积分的积分区域D 是4122≤+≤y x ，则⎰⎰=Ddxdy ． 10．xx x)211(lim -∞→= ．11．函数)(21)(x x e e x f -+=的极小值点为 ．12．若314lim21=+++-→x ax x x ，则=a ． 13．曲线x y arctan =在横坐标为1点处的切线方程为 ． 14．函数⎰=2sin x tdt y 在2π=x 处的导数值为 ．15．=+⎰-1122cos 1sin dx xxx ． 三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分6分）求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0 001arctan )(x x xx f 的间断点．17．（本题满分6分）计算121lim 2--++∞→x x x x ．18．（本题满分6分）计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→x x x x 1)1(arcsin ln lim ．19．（本题满分6分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01)1ln(0 )(1x x x xe x f x ，求)(x f '．20．（本题满分6分）求函数)sin(y x y +=的二阶导数．21．（本题满分6分）求曲线342)(x x x f -=的极值点．22．（本题满分6分）计算⎰+dx x x 123．23．（本题满分6分）若)(x f 的一个原函数为x x ln ，求⎰⋅dx x f x )(．24．（本题满分6分）已知⎰∞-=+02211dx x k ，求常数k 的值．25．（本题满分6分）求函数5126),(23+-+-=y x x y y x f 的极值．26．（本题满分10分）求⎰⎰+Ddxdy y x )(2，其中D 是由曲线2x y =与2y x =所围成的平面区域．27．（本题满分10分）设⎰-=adx x f x x f 02)()(，且常数1-≠a ，求证：)1(3)(3+=⎰a a dx x f a．28．（本题满分10分）求函数xxy ln =的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．参考答案一、选择题1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 二、填空题6．122+e 7．313+e8．11-x 9．π310．21-e11．0=x12．5 13．)1(214-=-x y π14．4sin 2ππ 15．0三、解答题16．解 这是一个分段函数，)(x f 在点0=x 的左极限和右极限都存在．21arctan lim )(lim 00π-==-→-→x x f x x21arctan lim )(lim 00π==+→+→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x +→-→≠故当0→x 时，)(x f 的极限不存在，点0=x 是)(x f 的第一类间断点．17．解 原式=222112111lim121lim222==--+=--++∞→+∞→xxx x x x x x ． 18．解 设xx x x f 1)1(arcsin )(++=．由于0=x 是初等函数)(ln x f 的可去间断点，故 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==→→→x x x x x x x f x f 100)1(arcsin lim ln )(lim ln )(ln lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=→→xx x x x 100)1(lim arcsin lim ln1ln )0ln(==+=e e ．19．解 首先在0≠x 时，分别求出函数各表达式的导数，即 当0>x 时，)11(1)()(12111x e xxeexe x f x xxx+=⋅+='='----当01<<-x 时，[]11)1ln()(+='+='x x x f ．然后分别求出在0=x 处函数的左导数和右导数，即111lim )0(0=+='-→-x f x 0)11(lim )0(10=+='-+→+xe f xx 从而)0()0(+-'≠'f f ，函数在0=x 处不可导． 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+='-0 110 )11()(1x x x x e x f x 20．解 )sin(y x y +=)cos()cos()1)(cos(y x y y x y y x y +'++='++=' ① [])1()sin()cos()1)(sin(y y x y y x y y y x y '++-'++''+'++-=''[]2)1)(sin()cos(1y y x y y x '++-=''+-)cos(1)1)(sin(2y x y y x y +-'++-='' ②又由①解得)cos(1)cos(y x y x y +-+='代入②得2)cos(1)cos(1)cos(1)cos(y x y x y x y x y +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=' []3)cos(1)sin(y x y x +-+-= 21．解 先出求)(x f 的一阶导数：)23(464)(223-=-='x x x x x f令0)(='x f 即0)23(42=-x x 解得驻点为23,021==x x ．再求出)(x f 的二阶导数)1(121212)(2-=-=''x x x x x f ．当232=x 时，09)23(>=''f ，故1627)23(-=f 是极小值． 当01=x 时，0)0(=''f ，在)0,(-∞内，0)(<'x f ，在)23,0(内0)(<'x f故 01=x 不是极值点．总之 曲线242)(x x x f -=只有极小值点23=x ． 22．解 Θ 11)1(112222323+-=+-+=+-+=+x xx x x x x x x x x x x ∴ ⎰⎰⎰⎰+-=+-=+dx x xxdx dx x x x dx x x 1)1(12223 ⎰++-=++-=C x x x x d x )1ln(21211)1(21212222 23．解 由题设知1ln )(ln ln )ln ()(+='+='=x x x x x x x f 故⎰⎰+=⋅dx x x dx x f x )1(ln )( ⎰⎰+=xdx xdx x ln⎰+=222121ln x dx x[]22221)(ln ln 21x x d x x x +-⋅=⎰22221121ln 21x dx x x x x ⎰+-⋅=222121ln 21x xdx x x ⎰+-=C x x x +-=2241ln 21．24．解 Θ ⎰⎰⎰+⋅=+=+-∞→∞-∞-02020211lim 111a a dx x k dx x k dx x k 2)arctan (lim arctan lim 0π⋅=-⋅=⋅=-∞→-∞→k a k x k a a a又21102=+⎰∞-dx x k 故 212=⋅πk 解得π1=k ．25．解 Θ123,622-=∂∂+-=∂∂y yf x x f 解方程组⎩⎨⎧=-=+-01230622y x 得驻点)2,3(),2,3(00-B A又 Θy f C f B f A yy xy xx 6,0,2=''==''=-=''= 对于驻点126,0,2:230-===-===y x y C B A A ，故0242>=-AC B∴ 驻点0A 不是极值点．对于驻点126,0,2:230-===-=-==y x y C B A B故 0242<-=-AC B ，又02<-=A ．∴ 函数),(y x f 在)2,3(0-B 点取得极大值 30524189)2()2,3(3=+++--=-f26．解 由2x y =与2y x =得两曲线的交点为)0,0(O 与)1,1(A )0(2≥=y y x 的反函数为x y =．∴dx y y x dy y x dx dxdy y x x xx xD212222102)21()()(⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+14033)1034172()21()21(105227104425=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰x x x dx x x x x 27．证 Θ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a aadx dx x f x dx x f 0020)()(dx dx x f dx x a aa ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0002)(⎰⎰⋅-=a aa dx dx x f x 0003)(31⎰-=a dx x f a a 03)(3∴3)()(3a dx x f a dx x f aa=+⎰⎰于是)1(3)(3+=⎰a a dx x f a．28．解 （1）先求函数的定义域为),0(+∞． （2）求y '和驻点：2ln 1xxy -='，令0='y 得驻点e x =． （3）由y '的符号确定函数的单调增减区间及极值． 当e x <<0时，0ln 12>-='xxy ，所以y 单调增加； 当e x >时，0<'y ，所以y 单调减少．由极值的第一充分条件可知ey e x 1==为极大值．（4）求y ''并确定y ''的符号：33ln 2xx y -=''，令0=''y 得23e x =． 当230e x <<时，0<''y ，曲线y 为凸的；当23e x >时，0>''y ，曲线y 为凹的．根据拐点的充分条件可知点)23,(2323-e e 为拐点．这里的y '和y ''的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。