甘肃省西北师大附中2018届高三下学期第二次模拟数学(理)试题+Word版含答案

师大附中2018届高三第二次模拟考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·龙岩质检]已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2{|4}B x x =≥，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-2．[2018·凯里一中]已知函数()f x =()4log f a =的实数a 的值为（ ） A ．13B ．14C ．12D ．23．[2018·赤峰期末]已知向量()2,1=a ,(),1x =b ，若+a b 与-a b 共线,则实数x 的值是（ ） A ．2-B ．２C ．2±D ．４4．[2018·豫南九校]2倍（纵坐标不变））ABCD．5．[2018·天一大联考]《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12．其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．[2018·行知中学]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）ABCD7．[2018·凯里一中]如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数x的取值范围是（）A．18,279⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．81,927⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C．12,9⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．1,29⎡⎫-⎪⎢⎣⎭8．[2018·深圳一模]已知F 为抛物线2y=的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B两点(点A 在第一象限)，若3AF FB =，则以AB 为直径的圆的标准方程为( )A ．()226423x y ⎛+-= ⎝⎭B ．()(226423x y -+-=C ．(()22264x y -+-=D ．(()22264x y -+-=9．[2018·昆明一中]已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x -=，()13f -=，数列{}n a 满足11a =且()1n n n a n a a +=-()*n ∈N ，则()()3637f a f a +=（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．310．[2018·合肥一模]某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元11．[2018·四川联考]中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．例如：163可表示为“”，27可表示为“”．问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ）A ．48B ．60C ．96D ．12012．[2018·宿州质检]偶函数()f x 定义域为00,22ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，其导函数是()'f x ．当02x π<<时，有()()'cos sin 0f x x f x x +<，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·西城期末]设a ∈R ，若复数(1i)(+i)a +在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________．14．[2018·沈阳质检]已知随机变量()21,N ξσ~，若()30.2P ξ>=，则()1P ξ-=≥___．15．[2018·行知中学]记()f x n ，且()f x 在[]m n ππ，（m n <）上单调递增，则实数m 的最小值是__________．16．[2018·遵义联考]已知点1F ，2F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足122F F OP =，21tan 4PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·天一大联考]已知ABC △的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin A B CC-+=sin sin sin sin BA B C+-．（1）求角A ；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △的面积S 的最大值．18．[2018·池州期末]某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品． （1）试确定a ，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；（2）现有4人前去该商场购物，求获得纪念品的数量ξ的分布列与数学期望．19．[2018·龙岩质检]已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中5EC =，4BF =，四边形ABCD 是边长为2的正方形，现沿AD 进行折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ；（2）已知点H 在线段BD 上，且AH ∥平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值．20．[2018·宿州质检]已知椭圆C 右焦点分别为1F ，2F ，B为椭圆的上顶点，12BF F △A 为椭圆的右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（M ，N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．21．[2018·漳州质检]已知函数()22e 321xf x x x b =+-++，x ∈R 的图象在0x =处的切线方程为2y ax =+．（1）求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若存在实数x ，使得()223220f x x x k =----≤成立，求整数k 的最小值（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·天一大联考]在直角坐标系xOy 中，曲线Cα为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极sin cos 0m θρθ-+=．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值．23．[2018·深圳一模]已知0a >，0b >，且222a b +=．（1）若2214211x x a b +≥---恒成立，求x 的取值范围； （2理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】求解二次不等式可得：{}|22B x x x =-≥或≤，则{}|22B x x =-<<R ð，由Venn 图可知图中阴影部分为：(){}1,0,1RA B =-ð．本题选择D 选项． 2．【答案】B 【解析】()4log f a ===11212,4,4aa a --===．3．【答案】B【解析】由()2,1=a ，(),1x =b ，则()2,2x +=+a b ，()2,0x -=-a b ， 因为+a b 与-a b 共线，所以()()2022x x +⨯=-，解得2x =，故选B ．4．【答案】B【解析】函数πs i n 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭经伸长变换得1πs i n 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作平移变换得1ππsin 264y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B ．5．【答案】C【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：a ，3a +，6a +，9a +， 12a +，其和为60，故6a =，由此可知②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12是正确的，故选C ． 6．【答案】D【解析】该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以体积为D ． 7．【答案】A【解析】1n =，12x ≥，否，31x x =+；2n =，否，()313194x x x =+⨯+=+； 3n =，否，()94312713x x x =+⨯+=+； 4n =，12x ≥，是，即271312x +≥；解不等式271x -≥，127x -≥，且满足9412x +<，89x <， 综上所述，若输出的结果为4，则输入的实数x 的取值范围是18279⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，故选A ． 8．【答案】A【解析】设AB 方程为x my =，得2120y --=，则，解得6A y =，2B y =-2B ⎫-⎪⎪⎝⎭，圆心坐标为A ，B中点坐标⎫⎪⎭，AB =，∴以AB 为直径的圆方程为()226423x y ⎛+-= ⎝⎭，故选A ． 9．【答案】A 【解析】∵函数()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，又∵()()3f x f x -=，∴()()3f x f x -=--，∴()()3f x f x +=-，即()()6f x f x +=，∴()f x 是以6为周期的周期函数，∵()1nn n a n a a +=-，11a =，∴11n n a n a n++=， ∴1221123113211241n n n nn n n a a a a n n n a a n a a a a n n n -------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=---，即n a n =， ∴3636a =，3737a =， 又∵()13f -=，()00f =， ∴()()()()()()363701113f a f a f f f f +=+==--=-．故选A ．10．【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值为z ，由题意可得约束条件：234806960 0,0,x y x y x y x y ++∈⎧⎨⎪⎩∈⎪⎪⎪N N≤≤≥≥， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值． 目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元．本题选择B 选项．11．【答案】C【解析】设8根算筹的组合为(){}()123,,1,2,3,4,5,1,2,3i a a a a i ∈=， 不考虑先后顺序，则可能的组合为：()1,2,5，()1,3,4，()2,2,4，()2,3,3， 对于()1,2,5，组合出的可能的算筹为：()1,2,5，()1,6,9，()1,2,9，()1,6,5共4种，可以组成的三位数的个数为：43!⨯种，同理()1,3,4可以组成的三位数的个数为：43!⨯种， 对于()2,2,4，组合出的可能的算筹为：()2,2,4，()6,6,4，()2,2,8，()6,6,8，()2,6,4，()2,6,8共6种，可以组成的三位数的个数为：3!23!42⨯+⨯种， 同理()2,3,3可以组成的三位数的个数为：3!23!42⨯+⨯种， 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为3!123!8163!962⨯+⨯=⨯=． 本题选择C 选项． 12．【答案】C 【解析】令()()cos f x F x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xF x x'+'=，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则()0F x '<， 又()()()()()cos cos f x f x F x F x x x--===-，∴()F x 为偶函数，()F x ∴在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，在02π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减， 则()cos 4f x x π⎛⎫> ⎪⎝⎭，当00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，cos 0x >，即()4cos cos 4f f x x π⎛⎫⎪⎝⎭>π， 4x π<且0x ≠，故04x π-<<或04x π<<，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】复数(1i)(+i)=(1)+(+1)i a a a +-，因为该复数在复平面内对应的点在数轴上，所以10a +=．故1a =-．14．【答案】0.8【解析】由正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线1x =对称，则：()()130.2P P ξξ≤-=≥=，则：()()1110.8P P ξξ≥-=-≤-=．15．【答案】2312266k θππ⨯+-=π，又0θ-π<<，得6θπ=-，2n =，又222232k x k πππ-+π-+π≤≤，得单调递增区间为5,1212k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦， 由题意，当2k =时，2312m =． 16．【答案】1,3⎛ ⎝⎦【解析】由122F F OP =，可得OP c =，故12PF F △为直角三角形，且12PF PF ⊥，∴2221212||||PF PF F F +=．由双曲线定义可得122PF PF a -=． ∵1212tan 4PF PF F PF ∠=≥，∴124PF PF ≥，可得223a PF ≤． 又()222222||4a PF PF c ++=，整理得()22222PF a c a +=-．∴()222222225239a a PF ac a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭≤．1e >，∴1e <≤C 的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦．答案：1,3⎛ ⎝⎦三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】 【解析】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C -+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，·········3分 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为0A <<π，所以3A π=．·········6分（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===，·········8分 所以2232b c bc bc bc bc =+--=≥，·········10分所以11sin 322S bc A =⨯=≤（b c =时取等号）．·········12分 18．【答案】(1)2400；(2)见解析．【解析】（1）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有2010030%b +=⨯，10b =；()1002030201020a =-+++=．·········2分该商场每日应准备纪念品的数量大约为6040002400100⨯=．·········4分 （2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率6031005p ==， (5)分故4人购物获得纪念品的数量服从二项分布3~4,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，·········6分()040432160C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()131432961C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2224322162C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3134322163C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()44432814C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，·········11分 ξ的分布列为：ξ数学期望为455E ξ=⨯=．·········12分19．【答案】(1)见解析；（2）FH 与平面BEF ． 【解析】（1）证明：由平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE AD ⊥， 平面EDAF平面ABCD AD =，DE ⊂平面EDAF ，得DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， ∴AC DE ⊥，·········2分由ABCD 为正方形得AC BD ⊥，·········3分 又BDDE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE ，·········4分又∵AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BDE ．·········5分 （2）由ED ⊥平面ABCD 得AD ED ⊥，CD ED ⊥，又AD DC ⊥故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立图示空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,0,3E ，()2,0,2F ，····6分 设DH DB λ=，则()2,2,0H λλ， 设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ， 由()2,2,3BE =--，()2,0,1EF =-，BE EF ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，得2230 20x y z x z --+=-=⎧⎨⎩，取1x =，得()1,2,2=n ，·········9分∵AH ∥平面BEF ，()22,2,0AH λλ=-， ∴2240λλ-+=，13λ=， ∴22,,033H ⎛⎫⎪⎝⎭，42,,233FH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，·········11分 设FH 与平面BEF 所成的角为θ，则,FH >214FH FH⋅==nn 7=， ∴FH 与平面BEF ．·········12分 20．【答案】(1)22143x y +=；（2）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1∴2224a b c =+=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．·········4分 （2）设()11M xy ，，()22N x y ，，()()222348430k x mkx m +++-=，()()222264163430m k k m ∆=-+->，22340k m +->即，分又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()2,0A ， ∴1MA NA k k =-⋅，即1212·122y yx x =---，·········7分 ∴()121212240y y x x x x +-++=，∴()()22222234431640343434m k mmkkkk--+++=+++，∴2271640m mk k ++=．·········10分 解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->，·········11分 当12m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．·········12分21．【答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞),所以函数()f x 在0x =处取得极小值()02f =；(2)k 的最小值为0． 【解析】（1）()2e 62xf x x ='＋－，因为()0f a '=，所以0a =，易得切点(0,2)，所以1b =－． 易知函数()f x '在R 上单调递增，且()00f '=． 则当0x <时，()0f x '＜；当0x ＞时，()0f x '＞．所以函数()f x 的单调递减区间为(),0∞－；单调递增区间为()0,+∞． 所以函数()f x 在0x =处取得极小值()02f =．·········5分（2）2215()23220e 1022xf x x x k x x k ----⇔+---≤≤215e 122x x x ⇔+--，(*)令215()e 122xh x x x =+--， 若存在实数x ，使得不等式(*)成立，则min ()k h x ≥，·········6分5()e 2x h x x '=+-，易知()h x '在R 上单调递增， 又3(0)02h '=-<，3(1)e 02h '=->，121()e 202h '=-<，3334423777771()e 2.56 1.6204444444h '=->-=-=>-=>， （或由e 1xx +≥当0x =时取等号，得334473e e (1)044-=-+>）所以存在唯一的013,24x ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得()00h x '＝，·········8分 且当0()x x ∈∞－，时，()0h x '<；当0(,+)x x ∈∞时，()0h x '＞． 所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，2min 000015()()e 122h x h x x x x ==+--，·········9分 又()00h x '=，即005e 02x x +-=，所以005e 2x x =-．·········10分所以()200005151222h x x x x =-+--()2001732x x =-+， 因为x 0∈13,24⎛⎫⎪⎝⎭，所以()0271,328h x ⎛--∈⎫ ⎪⎝⎭，则()0k h x ≥，又k ∈Z ．所以k 的最小值为0．·········12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为()3y x m =-；（2）1m =±0m =或2m =． 【解析】（1故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=．直线l)x m y x m -+⇒=-．·········5分 （2）直线lt 为参数）． 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=，可以得到2221122m t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--=2211m m ⇒--=2220m m ⇒-==或220m m -=，解得1m =0m =或2m =．·········10分 23．【答案】（1（2）见解析． 【解析】（1）设,1121132, 1 21,2x x y x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=---=-<⎨⎪⎪-<⎪⎩≥≤，由222a b +=，得()22112a b +=．（2）()5511a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭5544b a a b a b =+++()55222222b a a b a b a b=+++-另解：由柯西不等式，可得·10分。