加权残值法(全)
注册会计师财务成本管理综合题模拟试卷5_真题-无答案(217)
注册会计师财务成本管理（综合题）模拟试卷5(总分64,考试时间90分钟)综合题要求列出计算步骤，除非有特殊要求，每步骤运算得数精确到小数点后两位，百分数、概率和现值系数精确到万分之一。
在答题卷上解答，答在试题卷上无效。
本题考核知识点：优序融资理论、债券价值的计算、股权资本成本的计算、现金股利甲公司年初的负债及所有者权益总额为101300万元，其中，债务资本为2000万元(全部是按面值发行的债券，票面利率为8％)；普通股股本为21300万元(每股面值2元)；资本公积为4000万元；留存收益为21300万元。
今年该公司为扩大生产规模，需要再向外部筹集5000万元资金，有以下三个筹资方案可供选择：方案一：全部通过增发普通股筹集，预计每股发行价格为10元。
方案二：全部通过增发债券筹集，按面值发行，票面利率为10％。
方案三：全部通过发行优先股筹集，每年支付140万元的优先股股利。
预计今年可实现的息税前利润为1500万元，固定经营成本为1000万元，适用的企业所得税税率为25％。
要求回答下列互不相关的问题：1. 分别计算三个方案筹资后的每股收益。
2. 根据优序融资理论确定筹资方案。
3. 如果债券发行日为今年1月1日，面值为1000元，期限为3年，每半年付息一次，计算债券在今年4月1日的价值。
4. 如果甲公司股票收益率与市场组合报酬率的协方差为10％，市场组合报酬率的标准差为40％，国库券的报酬率为4％，平均风险股票要求的报酬率为12％，计算甲公司股票的资本成本。
5. 如果甲公司打算按照目前的股数发放10％的股票股利，然后按照新的股数发放现金股利，计划使每股净资产达到7元，计算每股股利的数额。
6. 本题考核知识点：股权资本成本的计算、加权平均资本成本的计算、实体现金流量模型ABC公司2015年年底发行在外的普通股为500万股，当年销售收入15000万元，经营营运资本5000万元，税前经营利润4000万元，资本支出2000万元，折旧与摊销1000万元。
会计核算残值法,收益法
会计核算残值法,收益法
1、会计核算残值法
固定资产残值=固定资产原值×预计残值率；
预计净残值率=固定资产净残值/固定资产原值×100%；
月折旧额=固定资产购入原值-净残值/折旧年限/12；
净残值一般按照固定资产原值的3%-5%计算预计净残，固定资产计提折旧一般按平均年限法计提折旧。
2、会计核算收益法
基本公式：
待估房地产价格=年纯收益×（P/A，i，n）
——报酬折现法
待估房地产价格=年纯收益/还原利率
——资本化法
拓展：
收益法的概念
收益法简称收益还原法，又称收入资本化法或收益现值法，是将房地产预期未来各年正常纯收益以适当的资本化率折现求和，求取估价对象在一定估价时点、一定产权状态下的价格。
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
加权残值法(全)
3.1 加权残值法的基本概念
按试函数是否满足控制方程和边界条件 试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法 试函数是否满足控制方程和边界条件 分为三类： 内部法 边界法 混合法
3.2 加权残值法的基本方法
据权函数的形式 权函数的形式分类，主要有以下五种方法： 权函数的形式 （1）最小二乘法（Least Square Method） ）最小二乘法（ ） 最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的 残值平方积分：
设某一具体的工程定解问题： Lu－f=0（在域V内） Gu－g=0（在边界S上） （3.1.1） （3.1.2）
这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域 内和边界上的已知项。
3.1 加权残值法的基本概念
一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求 得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的 试函数：
可见，最小二乘法就是将N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1， 2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method） ）配点法（ ） 如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权 函数，即：
J (Ci ) = ∫ R 2 dv
V
（3.2.1）
最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：
3.2 加权残值法的基本方法
∂J (Ci ) = 0 （i=1，2，…N） ∂Ci
（3.2.2）
即可得到最小二乘法的基本方程：
∫
∂R ∂R R dv = 0 （i=1，2，…N） V ∂Ci
加权平均法的计算方法
加权平均法的计算方法
加权平均法是一种用于计算平均值的方法，适用于各个项目或数据具有不同权重的情况。
它是通过将每个项目或数据的值乘以相应的权重，并将它们的总和除以权重的总和来计算加权平均值。
计算加权平均值的方法如下：
1. 确定每个项目或数据的权重。
权重可以是任何数字，通常取决于项目或数据的重要性或贡献度。
权重可以是固定的，也可以根据特定的条件或目标来进行调整。
2. 将每个项目或数据的值与其相应的权重相乘。
3. 将上一步得到的结果相加，得到加权总和。
4. 计算权重的总和。
5. 将加权总和除以权重的总和，得到加权平均值。
举例来说，假设某个学生在三门课程中的成绩分别是数学90分（权重30%）、英语80分（权重20%）和科学70分（权重50%）。
那么可以按照以下步骤计算这个学生的加权平均分：
1. 数学成绩90乘以30%，得到27。
2. 英语成绩80乘以20%，得到16。
3. 科学成绩70乘以50%，得到35。
4. 将27、16和35相加，得到78。
5. 将30%、20%和50%相加，得到100%。
6. 将78除以100%，得到加权平均分为78分。
加权平均法的优点在于它能够准确地反映出不同项目或数据的重要性或贡献度。
通过调整权重，我们可以根据具体需求对不同项目或数据进行不同的重视程度。
这种方法在统计分析、金融投资、市场调研等领域都有广泛的应用。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
2012研究生培养方案_船舶与海洋工程修订版
附件五硕士研究生培养方案学科代码：0824 学科名称：船舶与海洋工程类型：学术研究型一、研究方向1. 结构振动噪声控制2. 船舶与海洋工程结构强度与安全性评估3. 船舶与海洋结构物环境载荷4. 海洋再生能源装置与船舶螺旋桨设计与性能计算5. 复合材料船艇6. 船舶与海洋工程结构物设计与制造注：补修课的学分按原课程学分的一半填写。
对学术活动的要求：参加3次以上由导师安排的学术活动，并作一次以上的学术报告。
课程编号说明：1、第一位用S表示硕士生课程；2、第二、三位表示学院，第四、五位表示系，不设系的学院第四、五位填写―0‖；3、第六、七、八位表示顺序号；4、第九位表示开课学期（C表示春季学期开课，Q表示秋季学期开课）。
院（系）审核意见：学位分委员会审批意见：（教授委员会）签字：签字：日期：日期：附件六研究生课程教学大纲课程编号：S0111001Q课程名称：船舶与海洋工程计算结构力学开课院系：船舶与海洋工程学院任课教师：张岩桂洪斌先修课程：船舶结构力学适用学科范围：船舶与海洋工程学时：36 学分：2开课学期：秋开课形式：课堂授课+实验课程目的和基本要求：（200字左右）船舶计算结构力学是结构力学分析的数值方法，是计算杆件及复杂结构的应力、位移及振动问题的通用计算工具，是进行结构优化设计的技术基础。
通过研究计算结构力学的基础理论，实现以船舶与海洋工程结构为对象的数值计算，进一步可作为有限元软件学习的基础理论。
课程要求掌握数值计算方法和编程计算。
课程主要内容：（1000~1500字）内容包括变分法、加权残值法、平面及空间问题有限元法、边界元法、结构动力分析有限元法、非线性有限元法、弹性稳定问题有限元法、薄壁结构中的有限元法及并行算法,有限元图形处理和计算结构力学的一些进展。
1 变分原理4学时变分原理是力学分析中的重要数学工具之一。
能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
本章简单介绍变分和泛函，作为后续学习的数学基础。
加权残值法23ppt课件
I (C) V RI2dV V RIT RI dV
若记余量平方和为I(C)，即
I (C)
C
2
( RI V C
)T
RI dV
0
由此可见，本措施权函数为:
WIi
RI Ci
(i 1, 2, , n)
4.伽辽金法(Galerkin Method) 本法是使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数
混正当旳优点在于，对试函数要求不严，复杂旳边界条 件和复杂旳控制方程都能适应，缺陷是计算工作量较大。
对于复杂控制方程，简朴边界问题，宜采用内部法；对 简朴控制方程，复杂边界，适合用边界法；对控制方程和边 界条件都较复杂旳问题，采用混正当很好。这三种措施中， 内部法一般应用较多
不论采用何种措施，在建立试函数时均应注意下列几 点： (1)试函数应由完备函数集旳子集构成。已被采用过旳试函 数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪 夫和勒让德多项式等等。 (2)试函数应具有直到比消除余量旳加权积分体现式中最高 阶导数低一阶旳导数连续性。 (3)试函数应与问题旳解析解或问题旳特解有关联。若计算 问题具有对称性，应充分利用它。
f g
在V域内 在S边界上
显然RI RB反应了试函数与真实解之间旳偏差，它们分别称做内部残值和边界 残值（Residuals） 。
若在域V内引入内部权函数WB ，在边界S上引入边界权 函数 WI 则可建立n个消除余量旳条件，一般可表达为：
V WIi RI dV S WBi RBdS 0 (i 1, 2, , n)
也即:
1 WIi 0
(Vi内) (Vi外)
假如在各个子域里分别选用试函数，那么它旳求 解在形式上将类似于有限元法。
有限元分析的数序基础-加权残值-等效积分-迦辽金等03B
n 用位移法求解弹性力学平面问题时，基本未知 函数是 x, y 方向的位移u(x,y)，v(x,y), 写成向量 形式为
n 应变位移关系是：
40
应力应变关系是
福州大大学研究生生课程－有限元程序设计
用位移表示的应力为： 平衡方程为
即
41
用位移表示的平衡方程为 即 边界条件是
福州大大学研究生生课程－有限元程序设计
保留沿x方向的方程，该问题的三大基本方程和边界 条件如下
平衡方程（无体力） 几何方程
物理方程 边界条件（BC）
7
（3）求解 对方程进行直接求解，可以得到：
福州大大学研究生生课程－有限元程序设计
其中C及C1为待定常数，由边界条件，可求出 C1＝0，C＝P/A
8
讨论：
n 采用材料力学方法？
福州大大学研究生生课程－有限元程序设计
OVERVIEW
36
微分方程组
福州大大学研究生生课程－有限元程序设计
如果一个问题由一组微分方程描述，即
37
写成矩阵形式为 其中
福州大大学研究生生课程－有限元程序设计
每一个方程和对应的边界条件写出加权余量公式有
38
福州大大学研究生生课程－有限元程序设计
39
弹性力学平面问题
福州大大学研究生生课程－有限元程序设计
OVERVIEW
3
福州大大学研究生生课程－有限元程序设计
n SF—Strong Form. 偏微分方程 边界条件 著名的牛顿第二定律 : F = ma
n WF—Weak Form. “弱”形式：如加权余量法 等效 积分形式 weighted residual method (WRM). Galerkin
2020年一级造价工程师《案例分析(安装)》练习题附答案 第二章 工程设计施工方案技术经济分析
2020年一级造价工程师《案例分析（安装）》第二章工程设计、施工方案技术经济分析一、阅读理解1、某公司接受某物业委托，对商厦改造提出以下几个方案：方案甲：对原物业进行改建。
该方案预计投资6000万元，改建后可使用10年。
使用期间每年需维护费300万元，运营10年后报废，残值为0。
方案乙：撤除原物业，并新建。
该方案预计投资30000万元，建成后可使用60年。
使用期间每年需维护费500万元，每20年需进行一次大修，每次大修费用为1500万元，运营60年后报废，残值800万元。
方案丙：对原物业进行扩建，投资5000万元，扩建前每年的系统效率为1000万元，预计扩建后，每年增加收入100万元，每年节约材料费25万元，节约人工费30万元，工程每年的运营本钱（含维修费等）共计为400万，运营10年后报废，残值为0。
年基准收益率为6%o资金等值换算系数表1<1> 、如果不考虑方案甲和方案乙两方案建设期的差异，计算两个改造方案的年费用。
<2> 、假设方案甲、方案乙的年系统效率分别为2000万元、4500万元，以年费用作为寿命周期本钱，计算两方案的费用效率指标，并选择最优方案。
<3> 、如果考虑按方案乙该商厦需3年建成，建设投资分3次在每年末等额投入，此时其年系统效率假设为4800,试重新对方案甲、方案乙进行评价和选择。
<4> 、计算方案丙的费用效率。
权重（重要度系评价指标暂定重要度比率修正重要度比率数）FiF2F3F4F5合计<2> 、列式计算A、B、C三个方案的加权综合得分，并选择最优方案。
<3> 、计算该工程各方案的工程总造价和全寿命周期年费用，从中选择最经济的方案。
（注:不考虑建设期差异的影响，每次大修给业主带来不便的损失为1万元，各方案均无残值）。
10、背景：某商用写字楼工程，对A、B、C三个方案进行评价，由用户、设计、施工单位三方就适用、安全、美观和技术四个方面对三个方案进行考察，具体评价指标、权重和评分结果如表1所示。
计算力学2--弹性力学二维及三维问题的加权残值法解
第二章弹性力学二维及三维问题的加权残值法解§2-1 引言我们知道在弹性力学中，如果有一个平面体（如薄板）受到平行于该平面体中面的外力的作用，于是就在该平面体中产生了也平行于中面的内力，这就构成了弹性平面应力问题。
如果有一棱柱形的物体，两端受到垂直于棱柱轴线且沿柱轴不变的外力作用，垂直于柱轴的棱柱体的切片中的应力变形状态就属于平面应变状态，亦即构成了弹性平面应变问题。
弹性平面问题在工程技术问题中遇见较多，如深梁，平面弯曲的直梁，曲梁及变截面梁，受中面静力作用或惯性力等作用的各种形状的板及盘，平板开孔挖槽的应力集中问题，开孔剪力墙，厚壁筒，各种管道，水坝，隧道，涵洞，机械零件的切片，弹性平面的接触问题都属于这类问题。
研究弹性平面体的应力变形问题的分析方法具有重要的实际意义。
弹性物体中长，宽，高都属于等量级的，如房屋基础，机器底座，厚板及厚壳，无限大及半无限大弹性体，及一切实体结构物的应力和变形的问题需应用弹性力学三维理论方法进行分析。
在一般情况下，这种弹性体在外力作用之后，物体中任一点有三个位移分量，六个独立的应力分量和六个应变分量，比较复杂。
无论弹性平面问题或是三维问题，解析法一般只能分析几何形状比较规则，载荷作用情况及边界条件比较简单的弹性体。
外形，载荷和边界条件比较复杂的弹性平面体或三维固体需依靠如差分法，有限元法等数值诸方法才能进行分析，其中以应用有限单元法更为广泛。
有限单元法发展已有30余年历史，比较成熟，应用广泛，且有现成的计算机程序可用，但是这种方法以离散后的结构物代替原有的结构物，抛弃可用的解析解太多，程序复杂，输入的工作量大，对于计算机要求较高，误差难估。
特别将有限元方法用于解弹性三维问题，工作量比较巨大。
所以，发展一种与有限元法并行，可供选择应用的数值计算方法很有必要。
自从1978年以来，国内将加权残值法用于弹性平面问题，已有较多的开发研究工作。
西南交大徐文焕及陈虬首先将加权残值法用于解算弹性平面问题和三维问题，此后浙江大学丁浩江、谢贻权及范本隽等在加权残值法中对于直角坐标平面问题作了重要的补充并又发展了极坐标弹性平面问题解法，计算效果良好。
第六届全国加权残值法及其工程应用会议文集
后，可由式(21)解出
a1
。
最小二乘配点法的未知数与直接配点法的未知数相等。在直接配点法中，平衡方程在域内
(n-b)个点上精确满足，但在其它 m 个点上不满足。而在最小二乘配点法中，平衡方程在域
内(n+m-b)个点上在最小二乘的意义下满足，精度好于直接配点法。同时，最小二乘配点法
"
#
pm ( x2 )w2 (x − x2 ) !
p1( xN )wN ( x − xN )
p2
(
xN
)
wN
(
x
−
xN
)
"
pm (xN )wN ( x − xN )
p1( x1)
A
=
B
p1( x2 "
)
p1
(
xN
)
p2 (x1) ! p2 (x2 ) !
"#
p2 (xN ) !
pm ( x1)
如果直接用最小二乘求解式(17)时，边界条件不能严格满足，将极大地降低解的精度。
为了解一组对应于平衡方
程。令边界条件严格满足，而使平衡方程在最小二乘意义下满足。根据这种思想，将式(17)
中与 b 个边界点对应的方程集中起来，排列在方程组的 1 ~ b 行。因此得：
Key words Weighted Residual Method, Meshless method, Moving Least-Square Method, Collocated Method, Least-Square Collocated Method
1 引言
有限单元法经过近三十年的高速发展，已经成为解决工程问题应用最为广泛的数值方 法。然而，随着应用范围的拓展，有限元方法的固有缺陷也日益显露出来。例如挤压与铸 造、高速冲击、流固耦合、动态裂纹扩展问题等。针对有限元方法暴露出来的问题，许多 国际上著名的计算力学学者，包括 T. Belytschko, O. C. Zienkiewicz, S. N. Atluri, J. T. Oden， 都对无网格方法表现出了很大兴趣，并进行了大量研究[1]。
变分原理
重要内容
• 变分原理在结构中的应用 • 加权残值法 • 有限元的基本概念
平面问题有限元 空间问题有限元
①空间杆、梁单元
②空间连续体常用单元 ③薄板弯曲有限单元 • 组合船体结构分析
变分原理
• 变分是力学分析中的数学工具 • 变分原理主要应用于：
有限元、能量法、加权残值法
也可以说： 变分是结构数值计算的基础，没有变分
dx x0 x
泛函的变分定义与函数的微分定义很相似
自变函数y (x)的变分 δy (x)
引起泛函的增量
y ( x ) y ( x ) y ( x )
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
结构势能= 应变能-力函数
Π=V-U 结构势能就是位移函数的泛函，Π[δ]
结构可以有无数条变形曲线，而达到力的 平衡条件时结构的真实曲线就应当使得泛函Π 的值达到最小的函数δ。求变形曲线就是求变 分的过程。
变分的特性 1. 函数定义与泛函定义的比较
函数y=y (x)
泛函Π[ y（x）]
X 自变量
y（x）自变函数
这一数学工具就没有计算结构力学
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
有限元分析
结构单元
模型简化及单元提取
物理问题的数学描述
微分方程形式（强形式）
微分方程等效积分形式（弱形式） 泛函描述(弱形式)
数学问题的数值解法
要考虑的问题 • 不等效 有限差分法
微分方程用什么来等效？？
2.泛函形式等效 李兹法，或局部应用（单元内）李兹法有限元法 3.积分形式等效 加权残值法，或局部应用（单元内）加权残值法有限元法
轴对称问题
环状单元！！
集中力的移置 自重，离心力，均布压力
空间问题
注意单元节点编号方法（不用右手法则体积为负数，刚度矩阵行列式值为负） 刚度矩阵 载荷移置
杆系
明确问题的材料力学意义是 杆、梁、轴或组合形式
坐标转换
坐标转换矩阵
板弯曲（以概念题为主）
克希霍夫关于板变形的基本假设 节点位移，节点力的形式
答案
答案
答案
答案
模型简化及单元提取
简化分析
等效变换： 加筋板光板， 浮力弹簧， 基坑， 集中力分布力 对称性分析： 对称， 反对称， 中心对称，当进行结构的模态分析和非对称分析时， 谨慎地使用对称性 组合分析：组合分析要保证自由度的匹配 多场耦合分析
考题1
即密度为w
答案
本题有两种做法：
B为应变矩阵，反映单元 节点位移和单元任一点 的应变关系；D为弹性 矩阵，反映单元任一点 处应变与应力的关系； S=DB为应力矩阵，反映 单元节点位移与任一点 的应力关系
平面应变/应力问题
平面应变/应力的概念
给出模型会判断是平面应力还是平面应力问题（必考） 平面应力与平面应变刚度矩阵的差别仅仅在于物理方程的差别，即D矩阵的差别， 即问题的物理本质的差别 实际上，熟悉有限元整套分析流程的方法是看P46-62的平面应力/应变问题三角形 单元分析
加权残值法
x 0,x a y 0,y b
w 0, w 0,
w 0 x w 0 y
③自由边：
M x 0 rx 0 M y 0 ry 0
Mx
D
2w x 2
2w y 2
My
D
2w y 2
2w x 2
其中： u0 是问题的精确解
f , g, p 为与 u0 无关的给定的域内和边界上
的量。 整个边界是 S Su S
一般近似解的形式
n
u aii i1
其中：ai 是待定参数；
i 试函数； 该试函数的设定，可以满足全部的边界 条件、位移边界条件、或不满足任何边界条件。
一般残值的表达形式
RI L( u ) f Ru G( u ) g R S( u ) p
一般为了消残选取的权函数表达形式
消除结构域内部残值的权函数： WI
消除边界残值的权函数：
Wu W
一般消残公式
消除结构域内部残值的残值方程：
WI RId 0
消除边界残值的残值方程：
WuRuds W R ds 0
4
w
4
x
4 w 2 2 2
x y
4 w
4
y
qq0
a
3 0
D
0
内部残值 边界条件： ①简支边：
边界残值：
②固定边： ③自由边： 边界残值：
边界残值：
最小二乘配点法板的弯曲问题
①配点的个数 配点个数与选定的试函数含有的待定参数的个数相等
有限元法和变分原理
带入试函数：
2 2 ⎧⎛ ⎫ ∂ψ i ⎞ ⎛ ∂ψ i ⎞ ⎪ ⎪ ∏(φ ) = ∫∫ ⎨⎜ ∑ Ci + ⎜ ∑ Ci − 2∑ Ciψ i f ⎬ dxdy ⎟ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎪⎝ ⎪ ⎩ ⎭
⎧⎛ ∂ψ ⎞2 ⎛ ∂ψ ⎞2 ⎫ ⎪ ⎪ = ∑ Ci 2 ∫∫ ⎨⎜ i ⎟ + ⎜ i ⎟ ⎬ dxdy ⎪⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ ⎛ ∂ψ i ∂ψ j ∂ψ i ∂ψ j +2∑ CiC j ∫∫ ⎜ + ∂y ∂y i≠ j ⎝ ∂x ∂x
第二章 连续体问题的离散化方法
1
应力场、温度场、电磁场等
数学
偏微分方程或微分方程＋边条 件＋初始条件，即边值问题
等价（若存在对应的泛函）
变分法（泛函求极值）
经典变分法 （整个求解域）
有限元法 （把求解域离散 许多子区域）
2
要点
微分方程的等效积分形式 加权余值法 变分原理和里兹法 有限元法 弹性力学变分原理
9
(3) 最小二乘法：
⎧ ∂ ⎫ ⎪ ⎪ {w j } = ⎨ ∂a A ( Na ) ⎬ ⎪ j ⎪ ⎩ ⎭ ∂ ⎡ A Na 等价于 ⎢ ∫Ω ( ) ∂a j ⎣
{
} {A ( Na )}d Ω⎤ = 0 ⎥ ⎦
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即可得到最小二乘法的基本方程：
（3.2.2）
R R dv 0（i=1，2，…N）
V Ci
（3.2.3）
可见，最小二乘法就是将权函数取作 R
Ci
。式（3.2.3）将
给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1，
2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
3.2 加权残值法的基本方法
3.1 加权残值法的基本概念
一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求 得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的 试函数：
N
u~ Civi i 1
其中Ci为待定系数，vi为试函数项。
（3.1.3）
将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确
满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS， 即：
w~1max
1 2π3
qL4 EI
0.016126 qL4 EI
w~2 max
1 2π3
1
8
3 4
（i=1，2，…N）
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method） 对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：
RWidv R(x， y) (x xi， y yi )dv R(xi， yi ) 0
V
V
（i=1，2，…N） （3.2.7）
由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi））处为零。得到N个 代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。配点法是 加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。
w~1max
1 π4
qL4 EI
0.010266 qL4 EI
w~2 max
3 2 22
2 2
1 π4
1
1(3
1
2
2
)
qL4 EI
0.012366 qL4 EI
（3）子域法（Subdomain Method）
w~1max
1 2π3
qL4 EI
0.016126 qL4 EI
w~2 max
32 2 1 27
V
由上式不难求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。
例2：简支梁的弯曲问题
（1）最小二乘法（Least Square Method）
w~1max
4 π5
qL4 EI
0.013071 qL4 EI
w~2 max
4 π5
1
1 qL4 243 EI
0.013017 qL4 EI
（2）配点法（Collocation Method）
S RSWS dS 0
（3.1.7）
据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，…N）的
代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（3.1.3）。
3.1 加权残值法的基本概念
按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法 分为三类： ➢内部法 ➢边界法 ➢混合法
3.2 加权残值法的基本方法
（3.2.9）
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method）
这里，N个子域共有N个方程，联立求解即得待定系数 Ci（i=1，2，…N）。 需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同， 也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须 考虑各子域间的连接条件。
3.2 加权残值法的基本方法
（4）伽辽金法（Galerkin Method） 伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名
的方法。
伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即：
Wi=vi， （i=1，2，…N）
（3.2.10）
V Rvidv 0 （i=1，2，…N）
（3.2.11）
由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，
（2）配点法（Collocation Method）
如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权 函数，即：
Wi δ(x xi )
（3.2.4）
就得到了配点法。配点法的基本方程为：
V RWidv V R(x) (x xi )dv R(xi ) 0
（3.2.6）
不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算
工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。
3.2 加权残值法的基本方法
（5）矩量法（Method of Moment） 当权函数选取为xi（i=0，1，…N－1）时，就得到了矩量 法的基本方程为：
Rx i dv 0 （i=0，1，…N－1） （3.2.12）
数学物理中的近代 分析方法
第三章 加权残值法
3.1 加权残值法的基本概念
设某一具体的工程定解问题： Lu－f=0（在域V内） Gu－g=0（在边界S上）
（3.1.1） （3.1.2）
这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域 内和边界上的已知项。
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method）
如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域 Vi（i=1，2，…N），并定义此时的权函数为：
1 Wi 0
(在Vi内) 不在Vi内)
（3.2.8）
于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：
Vi Ridv 0 （i=1，2，…N）
3.1 加权残值法的基本概念
RV Lu~ f 0
Rs Gu~ g 0
（3.1.4） （3.1.5）
为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和 边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在 域内和边界上的积分为零，即：
V RVWV dV 0
（3.1.6）
据权函数的形式分类，主要有以下五种方法：
（1）最小二乘法（Least Square Method）
最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的 残值平方积分：
J (Ci )
R2dv
V
（3.2.1）
最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：
3.2 加权残值法的基本方法
J (Ci ) 0 （i=1，2，…N）
4π3 (2 2 2 )
qL4 EI
（4）伽辽金法（Galerkin Method）
0.013677 qL4 EI
w~1max
4 π5
qL4 EI
qL4 0.013071
Байду номын сангаасEI
w~2 max
4 π5
1
1 qL4 243 EI
0.013017 qL4 EI
（5）矩量法（Method of Moment）