第二章测量的标准差

合集下载

2019-2020数学必修3人教A版课件：第二章 2.2 2.2.2 第2课时标准差

21＋42)＝30，
s
2
甲
＝
1 10
×[(25
－
30)2
＋
(41
－
30)2
＋
…
＋
(42
－
30)2]
＝
104.2，
s 甲＝ 104.2＝10.208.
－x 乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋
40)＝31，
同理 s2乙＝128.8，
s 乙＝ 128.8＝11.349.
拓展提升对标准差与方差概念的理解
第二章统计
2．2.2
2．2 用样本估计总体用样本的数字特征估计总体的数
字特征
第2课时标准差
课前自主预习
1．标准差的求法
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s
□01
表示，s＝
1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2] .
□ 其中，xi(i＝1,2，…，n)是 02 样本数据，n 是 □ □ 03 样本容量， x 是 04 样本平均数．
解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为
x 甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，
乙的平均数为 x 乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8
＋8)＝8，
甲的标准差为
s
甲
＝
110×[8－82＋9－82＋…＋6－82]＝ 2，
乙的标准差为
s
乙
＝
110×[10－82＋9－82＋…＋8－82]＝ 530，
注意：标准差比方差多开一次方，但它的度量单位与原始数据一致，有时用它比较方便，但方差计算容易些，其作用是完全一样的.

标准差公式

标准差（Standard Deviation ），也称均方差（mean square error ），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用S （σ）表示。

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。

平均数相同的，标准差未必相同。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如下两式：()1n x x S n 1i 2i --=∑= 或 1n n x x S 2n 1i i n 1i 2i -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==即： ()1n x x 1n n x x S n 1i 2i 2n 1i i n 1i 2i --=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===如是总体，标准差公式根号内除以n 如是样本，标准差公式根号内除以（n-1)因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)公式意义所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准差越低,代表实验的数据越精确简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。

一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。

例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。

当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。

这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。

标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。

第二章误差和数据处理教程

能随意增加或减少。
一、有效数字
(significant figure)
滴定管读数保留到2位小数， 18.43 ml
有效数字不仅能表示数值的大小，还可反映测量的精确程度。
如何判断有效数字的位数？
1.在数据中，1至9均为有效数字 2.首位数字8或9时，有效数字可以多计一位例：90.0% ，可示为四位有效数字 4.变换单位时，有效数字的位数必须保持不变例：10.00[mL]→0.001000[L] 均为四位 5.．pH，pM，pK，lgC，lgK等对数值，其有效数字的位数取决于小数部分（尾数）数字的位数，整数部分只代表该数的方次例：pH = 11.20 → [H+]= 6.3×10-12[mol/L] 两位
w 0.2000g
续前
2）滴定例：滴定管一次的读数误差为0.01mL，两次的读数误差为0.02mL，RE%≤0.1%，计算最少移液体积？
2 0.01 RE % 100% 01% . V
V 20 mL
四、提高分析结果准确度的方法
3．增加平行测定次数，一般测3～4次以减小偶然误差 4．消除测量过程中的系统误差 1）与经典方法进行比较 2）校准仪器：消除仪器的误差 3）空白试验：消除试剂误差 4）对照实验：消除方法误差 5）回收实验：加样回收，以检验是否存在方法误差
偏差越小→数据越集中→精密度越高；
偏差的表示方法
•偏差:单次测量值与平均值之差
d xi x
•平均偏差:各个偏差绝对值的平均值。
d

i 1
n
xi x n
•相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。
d 相对平均偏差 (%) 100% x

过程参数检测及仪表第2章误差分析及处理

按误差出现的规律，将下列误差进行分类
1、用一只电流表测量某电流，在相同条件下每隔一定时间重复测量n次，测量数值间有一定的偏差。 2、用万用表测量电阻时，由于零点没有调整，测得的阻值始终偏大。 3、由于仪表放置的位置问题，使观测人员只能从一个非正常角度对指针式仪表读数，由此产生的读数误差。 4、由于仪表刻度（数值）不清楚，使用人员读错数据造成的误差。 5、用热电偶测量温度，由于导线电阻引起的测量误差。 6、要求垂直安装的仪表，没有按照规定安装造成的测量误差。
b a c e d
t
曲线a是恒定系统误差曲线b是线性变化系统误差曲线c是非线性变化系统误差曲线d是周期性变化系统误差曲线e是复杂规律变化系统误差
再现性 --- 偏差（Deviation）理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除
系统误差是有规律性的，因此可以通过实验的方法或引入修正值的方法计算修正，也可以重新调整测量仪表的有关部件予以消除。
改变测量条件（如方向）--- 两次测量结果的误差符号相反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差例：千分尺 --- 空行程（刻度变化，量杆不动）--- 系统误差正反两个方向对准标志线——不含系统误差－a，空程引起误差－ε 顺时针 ---
d = a+ε
逆时针 --- d ' = a − ε 正确值 --- a = ( d + d ' ) / 2
第二章测量误差的分析与处理
第一节测量误差的概念
实验结果 --- 实验数据 --- 与其理论期望值不完全相同
1、测量误差的产生原因（1）检测系统误差（2）环境误差（3）方法误差（4）人员误差
2、测量误差的分类

02第二章第4节测量结果的数据处理实例

两种方法标准差之比
0.0031 1.069 1 u 0.0029
u 0.069 u 0.069 2 2 0.707 n 1 8
6
无系统误差· 存在
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
6、判断粗大误差 1）3σ 判别准则——测量次数较少，不适用 2）格罗布斯判别准则——排序
10
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
4、判断有无粗大误差 1）按罗曼诺夫斯基准则，首先怀疑第9个测得值含有粗大误差，将其剔除，根据剩下的9个测得值计算算数平均值及标准差，得 x9 10.0005mm
9 0.12m
选取显著度 0.05 ，已知n=10查表得
k(10,0.05)=2.43
0(10,0.05) 0.477
11 0.5 0(10,0.05) 0.477
，
故表中第9个测得值含有粗大误差，应予剔除
14
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
4、判断有无粗大误差 3）按狄克松准则再判别最小值x(1) 计算统计量 11
11
则
x (1) x (2) 10.0003 10.0004 0.25 x (1) x ( n 1) 10.0003 10.0007
2
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例
例2-22 对某一轴径等精度测量9次得到下表数据，求测量结果
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
li / mm
24.774 24.778 24.771 24.780 24.272 24.777 24.773 24.775 24.774
i / mm

第二章测量误差分布

二、均匀分布
若误差在某一范围中出现的概率相等，称其服从均匀分布，也称为等概率分布。
概率密度函数数学期望
1 f ( ) 2a 0
a
f (x )
Байду номын сангаасa
0
方差
标准方差
置信因子
2 a 2 3 a 3 a k 3
-a
o
a
x
服从均匀分布的可能情形

0.90 0.001 0.0027 0.01 0.046 0.05 0.10
正态分布在误差理论和实践中的地位
(1) 经典误差理论都是建立在正态分布的基础上。凡是有3、5个以上的、差不多微小的、独立影响的合成分布都趋近正态分布。这是被前人早已证明了的中心极限定理告诉我们的一个事实。
(2) 许多非正态分布可以用正态分布来表示。 (3) 正态分布的概率密度函数具有简单的数学形式和优良的性质。当然，也有不少的误差分布并不能简单地用正态分布来描述。因而，现代误差理论及其实践需要进一步研究非正态分布的问题。
(1) 数据截尾引起的舍入误差;
(2) 数字显示末位的截断误差 (3) 瞄准误差; (4) 数字仪器的量化误差; (5) 齿轮回程所产生的误差以及基线尺滑轮摩擦引起的误差； (6) 多中心值不同的正态误差总和服从均匀分布。
三、三角分布
a x 概率密度函数 a2 f ( x) a x a2 a x 0 0 xa
=1
= 0.5
负相关
线性不相关
_ = 0.5
=0
统计分布常用的特征值
名称数学期望方差定义
E( X )
2
几何意义

测量的标准差

1．测量列单次测量的标准差σ ．测量列单次测量的标准差
测量某孔径得到有下列两组测得值，单位mm 测量某孔径得到有下列两组测得值，单位mm
1 第一组张三测得) (张三测得) 第二组：第二组：李四测得） (李四测得） 19.9990 2 3 4 5 19.9994
平均值
分散度
20.0006 19.9995 20.0015
用残差计算标准差的估计值
推导如下：推导如下
真差
δ i = xi − x0 , i = 1,2,⋯, n
残差 vi = xi − x ,
i = 1,2, ⋯, n
所以： δ − v = x − x − ( x − x ) = x − x i i i 0 i 0 令
δ x = x − x0
，称为算术平均值误差
i =1
（3）
当n适当大，上式中
∴δ
2 x
∑δ
i =1
n
i
δk
接近于0。（4）
1 = 2 n
∑
n
i =1
δ i2
n 2 i
代入（3）式有： ∑ δ = ∑ v +n 1 n2 i =1 i =1
2 i
n
δ i2 ∑
i =1
n
（5）
n
因为 σ
=
∑δ
i =1
n
2 i
nσ = ∑ vi2 + σ 2 ，所以（5）式为：
利用方差的性质得： D( x ) =
∵ D ( x1 ) = D( x 2 ) = ⋯ = D ( x n ) = D( x)
D( x n ) 1 ∴ D( x ) = 2 ⋅ nD( x) = n n

误差理论及数据处理第二章-误差的基本性质与处理

第二章误差的基本性质与处理2-1．试述标准差、平均误差和或然误差的几何意义。

答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度； 2-2．试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差，两者物理意义及实际用途有何不同。

【解】单次测量的标准差σ表征同一被测量n 次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。

2n δσ++=算术平均值的标准差xσ-是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准xσ-=在n ，当测量次数n 愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。

2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率【解】（1）误差服从正态分布时2222(2)(2)()P ed ed δδσσδδ--==引入新变量t:,t tδσδσ==,经变换上式成为： 22()2()20.41950.8484%t t P edt t -==Φ=⨯==⎰（2）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为：σ=，所以区间[],,a a ⎡⎤=-⎣⎦,故:1()1aaP δπ+-==⎰（3）误差服从均匀分布时因其标准差为：σ=,⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故111()20.8282%22P d a a δπ==⨯==⎰2-4．测量某物体重量共8次，测的数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。

0.05(0.03)0.11(0.06)(0.01)0.080.070236.48236.43x +-++-+-+++=+=0.0599σ=0.0212x σ==2-5用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4，并比较2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。

标准差

标准分标准分就是原始分与平均分的差，除以标准差的商。

换句话说，设原始成绩构成集合},,,{21n x x x ，平均分n x x x X n +++=21，标准差S=n X x X x X x n 22221)()()(-++-+- 那么对任意一个原始分i x ，称SX x Z i i -=为i x 的标准分(其中，S 是反映原始成绩离散程度的一个量)。

例某班四个同学的数学考试成绩为74, 79, 80, 83，这一班平均分79,标准差S=3.24，那么这四个同学的标准分分别为：-1.54，0，0.31，1.23，由定义和例子可以看出，标准分是一种以标准差为单位的相对量。

它以整体的平均水平作为比较的基准，标准分为正，表示个体成绩高于平均水平，且数值越大，表示成绩越好；负值则表示个体水平低于平均水平。

标准分的应用1.判断某学生的成绩在全班成绩中所处的位置。

我们用原始分无法知道一个得了80分的同学，在班内是处于先进地位还是落后地位，但换算成标准分就大体明白了。

如上例中第4个同学的标准分1.23，说明其成绩在全班平均成绩以上；第一个同学的标准分为负值，说明其成绩在全班平均成绩以下；第2个同学的标准分为0，说明是全班中等水平。

2.判断同一件目在不同次的考试中，成绩的升降程度。

如某同学在期中考试中得67分，在期末考试中得62分。

能不能说这名学生的学习成绩退步了呢?这是不能的。

因为两次考试试题内容及难度都不同，两个分数无法进行比较。

但换算成标准分，其进步还是退步就明白了。

设期中成绩67分换算成标准分为一0.12，期末成绩62分换算成标准分为0.35，那么这位同学在前后两次考试中，标准分增长了0.35-（-0.12)=0.47，说明这位同学的进步还是不小的。

如若另一同学标准分的增长超过了0.47分，则说明后者的进步比前者更大。

3.用标准分对不同学科的教学质量可以进行比较。

用原始分对不同的学科的教学成绩无法进行比较。

[标准差和标准偏差]标准差

[标准差和标准偏差]标准差[标准差和标准偏差]标准差篇一 : 标准差第二节标准差次数分布中的数据不仅有集中趋势，而且还有离中趋势。

所谓离中趋势指的是数据具有偏离中心位置的趋势，它反映了一组数据本身的离散程度和差异性程度。

标准差能综合反映一组数据的离散程度或个别差异程度。

例如，甲、乙两班学生各50人，其语文平均成绩都是80分，但甲班最高成绩98分，最低42分，而乙班最高成绩86分，最低60分。

初步看出，两班语文成绩是不一样的，甲班学生的语文成绩个别差异程度大、水平参差不齐;而乙班学生的语文成绩差异程度小，语文水平整齐度大些。

怎样用标准差这个特征量数来刻画一组数据的差异程度呢,下面介绍标准差的概念及计算。

一、标准差概念与计算1.标准差定义与计算公式一组数据的标准差，指的是这组数据的离差平方和除以数据个数所得商的算术平方根。

若用S 代表标准差，则标准差的计算公式为:标准差的平方，称为方差，用S2表示方差。

计算标准差时，首先要计算数据的平均数，接着要计算各数据与平均数之间的离差平方，即2，最后由公式计算标准差S。

例如，4名儿童的身高分别是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名儿童身高数据的标准差时，其基本步骤如下:?求平均数:?求离差平方和:)2=2+2+2+2=100+400+0+900=1400?求标准差S:S=这样，我们大体可认为，这4名儿童身高差异程度，从平均角度来看，约相差18.71厘米。

2.标准差的计算中心方法计算标准差的方法有三种，一是按公式逐步分析计算，如上述所示;二是以列表计算的方式;三是利用计算器或计算机进行计算。

下面再举一例说明采用列表方式计算标准差S。

[例7] 已知8 位同学在某图形辨认测验中的成绩数据，计算这组数据的标准差。

[分析解答] 采用列表计算方式,应用公式确定数据的标准差，详见表2-2。

表2-2 计算标准差S的示例XiXi-2结果计算42-10.5110.25=46-6.542.2546-6.5 42.25 2=550 50-2.5 6.25 50-2.5 6.25 S2=563.5 12.25 629.5 90.25 S=8.29 68 15.5 240.25 合计420550标准差在实际中有广泛的用途，同时对深化研究数据也具有重要的作用。

《测量的标准差》课件

VS
样本代表性
样本的代表性也会影响标准差的大小。如果样本不具有代表性，那么其标准差可能会较大，从而影响对总体数据分布的准确估计。
06 总结与展望
标准差在测量中的地位和作用
标准差在测量中的重要性
标准差是统计学中用于描述数据分散程度的重要指标，它能够反映一组测量数据的离散程度，帮助我们了解数据的稳定性和可靠性。在测量工作中，标准差的应用十分广泛，对于提高测量精度、降低误差具有重要作用。
异常值的影响
异常值的定义
异常值是指与其他数据点相比明显偏大或偏小的数据点。
异常值对标准差的影响
异常值的存在可能导致标准差增大，从而影响数据的稳定性。在计算标准差时，通常会使用稳健的标准差计算方法来减小异常值的影响。
样本大小的影响
样本大小与标准差的关系
随着样本大小的增加，样本的标准差通常会减小。这是因为更多的数据点有助于更准确地估计数据的分布和离散程度。
在制定生产、销售和人力资源等策略时，可以利用标准差来评估不同方案的风险和潜在收益。
风险评估
在金融领域，标准差用于评估投资组合的风险，帮助投资者了解投资回报的不确定性。
质量控制和过程改进
过程控制
在生产过程中，通过监测数据标准差的变化，可以及时发现质量
波动并采取措施进行控制。
过程改进
通过分析生产过程中数据标准差的大小，可以识别出需要改进的环节，提高生产效率和产品质量
总结词
意义与应用
详细描述
标准差在测量中具有重要意义，它可以反映数据的离散程度，帮助我们了解数据的可靠性、稳定性和规律性。
课程目标和内容概述
总结词：课程大纲
详细描述：本课程将介绍标准差的计算方法、性质、应用场景以及与其他统计量的关系。通过学习，学员将掌握标准差的基本概念、计算方法和实际应用，能够正确使用标准差进行数据分析和处理。

电子测量第二章误差理论和数据处理

0
产生系统误差的主要原因有： ①测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如
刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程中零点漂移，安放位置不当等.
②测量时的环境条件如温度、湿度及电源电压等与仪器使用要求不一致等。
③采用近似的测量方法或近似的计算公式等。 ④测量人员估计读数时习惯偏于某“方向等原因所引起的误差。系统误差体现了测量的正确度，系统误差小，表明测量的正确度高。
I
V
Rx
I
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
R'x
=
U I
= (RV
// Rx )I I
=
Rx RV Rx + RV
R
=
R'x
-
Rx
=
-RV2 Rx + RV
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
3 理论误差测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
±S% 0.1
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
例[2]：检定量程为100μA的1.5级电流表，在50μA刻度上标准表读数为49μA，问此电流表是否合格？
解： x0=49μA
x=50μA
xm=100μA
m
=
x
- x0 xm
×100%
=
50 - 49×100% 100
一、随机误差的定义、起因和特点
1、定义：
测量术语：“等精度测量”──在相同条件（同一人、同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度测量。

第二章误差和分析数据处理-分析化学

xie 分析化学
第二章误差和分析数据处理
第一节概述
xie 分析化学
产生测定误差的原因：
抽样的代表性；测定方法的可靠性；仪器的准确性；测定方法的复杂性；
测定者的主观性；
操作者的熟练性
xie 分析化学一、绝对误差和相对误差
第二节测量误差
绝对误差（absolute error）
减小测量误差
取样量大于0.2g；
滴定液消耗的体积大于20ml；
紫外吸收度在0.2~0.7之间。
xie 分析化学
相对误差=δw/W<1‰
W>δw/1‰=0.0002/1‰=0.2g 相对误差=δv/V<1‰ V>δv/1‰=0.02/1‰=20 ml
增加平行测定次数
xie 分析化学
2 i
n
相对标准偏差（relative standarddeviation;RSD）或称变异系数（coefficient of variation;CV）
2 ( x x ) i n i 1
S RSD 100% x
n 1 x
100%
例题：四次标定某溶液的浓度，结果为0.2041、
标准偏差法：
R=x+y－z
R=xy/z
2 2 2 2 SR Sx Sy Sz
Sy 2 Sx 2 SR 2 Sz 2 ( ) ( ) ( ) ( ) R x y z
五、提高分析准确度的方法
xie 分析化学
选择恰当的分析方法
被测组分的含量；被测组分共存的其它物质的干扰。
0.00022 0.00062 0.00042 0.00002 标准偏差 S 0.0004 (mol/ L) 4 1

第二章误差的基本性质与处理

i 1
n
2 i
n 1
II. 测量列算术平均值的评定标准
在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值。标准差 x 则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。
l1 l2 ln 已知算术平均值：x n
12 22 n2
n
2 i i 1
I.
n
正态分布的随机误差分布密度
1 f ( ) e 2
2 2 2

坦。
值越小，曲线变陡；反之，曲线越平
可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。

当被测量的真值为未知时，不能求得标准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残余误差 v i 代替真值误差，而得到标准的估计值。
II. 权的确定方法
最简单的方法是按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即 pi ni 。假定同一个被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准差均为，则各组算术平均值的标准差为： xi , i 1,2, m ni
算术平均值的极限误差： lim x t x
作业：P53-2-2,2-4,2-5
六
不等精度测量
为了得到更精确的测量结果，如在科学研究或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为不等精度测量。在一般的测量工作中，常遇到的不等精度测量在两种情况：

第二章常用统计量(二)：差异量

差8.95；乙班平均成绩71分，标准差7.40分。试问两个班谁的数学成绩更整齐一
些？
CVS甲
8.95 92
100%
9.73%
CVS乙
7.40 100% 71
10.42%
结果表明，甲班数学成绩的差异程度小于乙班，其成绩比乙班整齐一些。若从直接标准差来看，似乎甲班的差异程度大于乙班。之所以两种分析结果不同，是因为两班的平均成绩差距太大，有21分之差。
解：CV语=11/63×100%=17.5% CV数=12/75×100%=16% CV语＞ CV数
∴语文课的离散程度更大。
3．判断班内学习分化的情况
在教育教学中，防止出现差生或学习困难的学生，使所有学生得到充分发展，提高教学质量是教育者所追求终极目标。在班级管理中，教师或管理者对学生学习的分化主要是通过判断学生的两极端分数或通过简单的平均数来进行的，这种方式难以准确、全面地判断一个班内学习分化的程度，尤其是各科学习分化的情况，差异系数则可解决这一问题。
XX
AD=
N
问题：求离均差的平均数，首
先需求出每一列数据的离均差，
如表4-1第3栏和第6栏。但是离
均差有正有负，正负抵消，离均
差的和为0，即X X 0，则
离均差的平均数（计算结果无意义。
d ）也为0，
问题的解决：方差和标准差！
为了使离均差之和不为0，我们可采用代数的处理方法，对每一个离
作业
1．甲、乙、丙三名高中学在七门课程的考试成绩及全体考生的平均成绩和标准差如表3-所示，试比较其优劣，对三位考生你有何建议。
表3- 考试成绩统计表
2、P68第5题
S：样本标准差
X：样本平均数

分析化学：第二章误差和数据处理

两组数据：
1. 20.40,20.41,20.42,20.44,20.45
_
_
x1=20.43 d1= 0.017 s1=0.020
2. 20.40,20.42,20.42,20.44,20.47
_
_
x2=20.43 d2= 0.017 s2=0.024
小结
• 准确度(accuracy)，测量值和真值符合的
s CV= x ×1000‰
s能更好地评价一组数据的精密度
• 总体与样本
总体－某一分析对象(样品)
或分析这一样品所包含的无限多分析数据
样本－从总体中随机取出的一组数据
样本容量－数据的个数，n
• 总体平均值 µ与样本平均值 x
µ= lim
n→∞
1n n i1 xi
• 由于总体平均值是无限多个数据的平均值，因此，没有系统误差时， µ即为真值。
代入上式中，得到：sx
s n
• 即多个样本平均值的精密度优于单次测量的精密度，n增大，精密度相应提高。
Sx/S
n
二、t分布曲线
当测量次数无限多时，测量值和测量误差符合正态分布。实际工作测定次数有限，总体标准偏差σ无法得到。当使用样本标准偏差s代替总体标准偏差σ处理数据时，必然引起数据分布对正态分布的偏差。
• 为了强调大偏差的影响，引入另一个在分析化学中非常重要的量：标准偏差
• 标准偏差用来描述一组数据精密度
• 总体标准偏差 µ是总体平均值
(xi )2
n
xi为测量值，n是测定次数
• 对于少量数据，样本标准偏差
s
(xi x)2
n 1
n-1—自由度
标准偏差s可以比平均偏差更好地反应一组数据的离散程度。 s越小，数据越集中，精密度越好； s越大，数据越离散，精密度越差。

第二章第四节

因为该电压的最终测量结果为 x=75.045±0.029 (V)
1 n

i 1
n
i 0
(2.4-7)
x Ex A
(2.4-8)
第2章测量误差和测量结果处理
由上述分析我们得出，在实际测量工作中，当基本消除系统误差且剔除粗
大误差后，虽然仍有随机误差存在，但多次测得值的算术平均值很接近被测量真值，因此就将它作为最后的测量结果，并称之为被测量的最佳估值或最可信赖值。
第2章测量误差和测量结果处理
图2.4-1 xi的正态分布曲线
第2章测量误差和测量结果处理
图2.4-2 δi的正态分布曲线
第2章测量误差和测量结果处理
2.4.3
有限次测量下测量结果的表达
由于实际上只可能做到有限次等精度测量，因而我们分别用式(2.4-32)和式
(2.4-33)来计算测量值的标准差和算术平均值的标准差，如前所述，实际上是两
|
i 1
n
i
|
(2.4-14)
2.4.2
随机误差的正态分布
1. 正态分布前面提到，随机误差的大小、符号虽然显得杂乱无章，事先无法确定，但当进行大量等精度测量时，随机误差服从统计规律。
第2章测量误差和测量结果处理
理论和测量实践都证明，测量值xi与随机误差δi都按一定的概率出现。在大多数情况下，测量值在其期望值上出现的概率最大，随着对期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。表现在随机误差上，等于零的随机误差出现的概率最大，随着随机误差绝对值的加大，出现的概率急剧减小。测量值和随机误差的这种统计分布规律称为正态分布，如图2.4-1和图2.4-2所示。

人教版高中数学必修3课件第二章标准差

(3)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3，若该样本的平均值为 1，则样本方差为___2_____．
解析由题意知15×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得 a＝－1. 所以样本方差为 s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2 ＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
课堂互动探究
解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为
x 甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，
乙的平均数为 x 乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8
＋8)＝8，
甲的标准差为
s
甲
＝
110×[8－82＋9－82＋…＋6－82]＝ 2，
乙的标准差为
s
乙
＝
110×[10－82＋9－82＋…＋8－82]＝ 530，
＝6，ຫໍສະໝຸດ 则标准差为
51×[2－62＋4－62＋6－62＋8－62＋10－62] ＝
2 2.
3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是___丙_____．(填“甲”“乙”“丙”“丁” 中的一个)
拓展提升由图形分析标准差、方差的大小
从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．
【跟踪训练 3】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

考研分析化学第二章误差和分析数据处理

第二章误差和分析数据处理何测量都不可能绝对准确，在一定条件下，测量结果只能接近于真实值，而不能达到真实值个定量分析要经过许多步骤，并不只是一次简单的测量，每步测量的误差，都影响分析结果的性，因而定量分析结果的误差更加复杂行定量分析时，必须根据对分析结果准确度的要求，合理地安排实验，避免不必要的追求高准节测量误差是衡量一个测量值的不准确性的尺度，反映测量准确性的高低差越小，测量的准确性越高1、绝对误差和相对误差测量之中的误差，主要有两种表示方法：绝对误差与相对误差（一）绝对误差：测量值与真值（真实值）之差称为~绝对误差是以测量值的单位为单位，可以是正值，也可以是负值，及测量值可能大于或小于测量值越接近真值，绝对误差越小；反之，越大（二）相对误差：绝对误差与真值的比值称为~相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，它没有单位通常相对误差以%，%0表示如果不知道真值，但知道测量的绝对误差，则相对误差也可以测量值x为基础表示在分析工作中，用相对误差衡量分析结果，比绝对误差更常用根据相对误差的大小，还能提供正确选择分析仪器的仪器对于高含量组分测定的相对误差应当要求严些（小些）对于低含量组分测定的相对误差可以允许大些在相对误差要求固定时，测定高含量组分可选用灵敏度较低的仪器，而对低含量组分灵敏度较高的仪器二、真值与标准参考物质可知的真值，有三类：理论真值、约定真值、相对真值：三角形内角和为180度：国际单位及我国的法定计量单位是约定真值各元素的原子量物质的理论含量：常用标准参考物质的证书上所给出的含量作为相对真值标准参考物质：1必须是经工人的权威机构鉴定，并给予证书的2必须具有很好的均匀性与稳定性3其含量测量的准确度至少要高于实际测量的3倍约定真值与相对真值是分析化学工作中最常用的真值除理论真值外，其它真值都是由实验测得，都带有一定的误差三、系统误差和偶然误差按误差的性质分：系统误差和偶然误差（一）系统误差：是由某种确定的原因引起的，一般它有固定的方向（正或负）和大小，重复测定时重复出现根据系统误差的来源分为：方法误差、仪器（或试剂）误差、操作误差方法误差：是由于不适当的试验设计或所选择的分析方法不恰当所引起的，通常方法误差影响的存在，使测定结果要么总是偏高；要么总是偏低，误差的方向固定仪器或试剂误差：是由仪器未经校准或试剂不合格所引起的：是由于分析工作者的操作不符合要求造成的在一个测定过程中这三种误差都可能存在：如果在多次测定中系统误差的绝对值保持不变，但相对值随被测组分含量的增大而：如果系统误差的绝对值随样品量的增大而成比例增大，相对值不变，则称为~也有时，系统误差的绝对值虽然随样品量的增大而增大，但不成比例系统误差是以固定的方向和大小出现，并具有重复性。

标准差

通过计算可以得到：上证综指业绩期望值≈（110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82）/7=20.6685714 上证波动率期望值≈0.115643 标准普尔业绩期望值≈6.731429 标准普尔波动率期望值≈0.068029 分析图2而标准差的计算公式则根据公式⑵计算：上证综指的业绩标准差≈45.2489073 上证波动率标准差≈0.
外汇术语
外汇术语
标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。标准差被用来评估价格可能的变化或波动程度。标准差越大，价格波动的范围就越广，股票等金融工具表现的波动就越大。
在excel中调用函数 “STDEV.S“ 估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值（mean）的离散程度。
图例
标准差表示的就是样本数据的离散程度。标准差就是样本平均数方差的开平方，标准差通常是相对于样本数据的平均值而定的，通常用M±SD来表示，表示样本某个数据观察值相距平均值有多远。从这里可以看到，标准差受到极值的影响。标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越离散。标准差的大小因测验而定，如果一个测验是学术测验，标准差大，表示学生分数的离散程度大，更能够测量出学生的学业水平；如果一个测验测量的是某种心理品质，标准差小，表明所编写的题目是同质的，这时候的标准差小的更好。标准差与正态分布有密切联系：在正态分布中，1个标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，1.96个标准差等于95%的面积。这在测验分数等值上有重要作用。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
公式意义
公式意义
所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数），再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

第二章测量的标准差

2019-2020数学必修3人教A版课件：第二章 2.2 2.2.2 第2课时 标准差

标准差公式

第二章误差和数据处理教程

过程参数检测及仪表第2章 误差分析及处理

02第二章第4节 测量结果的数据处理实例

第二章 测量误差分布