17.1勾股定理(1)公开课

合集下载

勾股定理公开课课件

（项明达证明）项明达:清代数学家
勾股定理的证明
走进数学史
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
b
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a2 b2 c2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由： (1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5 (2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5. (3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
快方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的
顶点间加一条小路,则小路的长为 ( )
C
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米
化简得： a2 b2 c2
方法三：
c
b b-a c
a c
c
S正
c2
4
1 2
ab
(b
a)2
，
化简得： a2 b2 c2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得

人教版八年级数学下册第17章《勾股定理(1)》公开课课件

理的
（3）已知c=25，c=b1=315，求a.
解：由勾股定理
b
探
得
究
a2+152=252
a=20
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
课件制作：徐志才
三、研读课文
知识
1、赵爽弦图利用了__面__积___关系
点进行勾股定理的证明.
二
勾 2、剪4个全等的直角三角形，拼
股成如图图形，其中直角三角形的
形E的面积.
勾
B
股
A
C
定理
D
的
证
E
明
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
课件制作：徐志才
三、研读课文
知解：如图所示
识正方形A、B、C、D的边长分别是
点
,12,16,9,12 设直角三角形的斜边长为c ,由勾股定理
二知
B
勾 162+122=c2
c=20 ，即正方形F边长为20
股同理可得，正方形G的边长为15
三、研读课文
知识点认真阅读课本第22至24页的内容，一完成下面练习并体验知识点的形成勾过程. 股定理的探究
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
课件制作：徐志才
三、研读课文
知
识点一
1、如图，邮票图案的三个正方形小方格中间是一个直角三角形，如果1个小方格为1个单位面积，那么直角
AH
F
定故直角三角形的两直角边分别为.20，15
C
D
G
设它的斜边长为k，由勾股定理知
理 152+202=k2 的 k=25
K
E

2022年人教版《勾股定理》公开课教案

17．1勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如以下图的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由假设干个图形组成，而每个图形的根本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD ＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：此题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC 的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝12c2＋12(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD ＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即12b2＋12ab＝12c2＋12a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规那么的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假设正方形A、B、C、DE 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D 的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图〞、“刘徽青朱出入图〞、“詹姆斯·加菲尔德拼图〞、“毕达哥拉斯图〞．3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．第2课时百分率和配套问题教学目标1．学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题；2．进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程。

《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)

A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，

17.1勾股定理公开课教学设计

八年级下数学讲学稿系列——人教版
第十七章
勾股定理
2017-2018 学年第二学期
乌苏市第四中学师生共用讲学稿内容：17.1.1 勾股定理（1）课型：新授课学习目标：探索、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。学习重点：勾股定理的发现及其简单应用。学习难点：勾股定理的发现。一、学前准备：(预习课本 P22- 24 页 17.1 内容) 请以下图中的线段为边画正方形，并数出你所画正方形的面积（图中每个小方格代表一个单位面积）
C
＝
； .
（3）若 c＝13，a＝5，则 b＝ 2．求下列图中所代表的正方形的面积。
（2）若 c＝25, b＝24，求 a；
SA= （3）若 c＝ 2 ,a＝1，求 b；
SB=
3、将长为 10 米梯子斜靠在墙上，若梯子上端到墙的底部距离为 8 米，则梯足到墙的底端的距离为多少米？
公式变形：由 a2+b2=c2 可得 c= b=
SC =
你能看出所观察的图中 A、B、C 三者之
(1) (3)
间面积有什么关系？
问题:
(2)
三个小正方形 A、B、C 的面积之间的
关系个单位面积个单位面积个单位面积问题：你发现了任意直角三角形两直角边 a、 b 与斜边 c 的长之间有什么关系吗？猜想：（二）师生交流·合作探究例 1：如图这是由四个全等的直角三角形拼出的正方形。直角三角形中，两直角边分别为 a、b，斜边为 c。 a 试说明：a2＋b2=c2。
数学是思维的体操，问题是数学的心脏。 17
八年级下数学讲学稿系列——人教版
第十七章
勾股定理
2017-2018 学年第二学期
勾股定理：

人教新课标版八年级数学下册17.1勾股定理公开课课件

解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
三、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
ABC面积为__24___,斜边为上的高为___4_.8__.
A
D
C
B
二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=__6__,b=_8__.
(2)若a=9,b=40,则c=_4_1____. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 __2_4__,斜边为上的高为_4_._8___.
B1
AC1 =√52+22 =√29 .
如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D
B
A
C
E
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A 与顶点C重合在一起,EF为折痕。若 AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

17.1勾股定理（第1课时）-公开课-优质课（人教版教学设计精品）

17.1勾股定理（第1课时）-公开课-优质课（人教版教学设计
精品）
17.1 勾股定理(第1课时)
一、内容及内容解析
1．内容
勾股定理的探究、证明及简单应用.
2．内容解析
勾股定理：直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．由此，在直角三角形中已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探究过程和研究方法．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路．我国对于勾股定理的研究与其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定．要通过我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．通过对勾股定理的探索和发现，有助于培养学生学好数学的自信心．
基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：探索并证明勾股定理．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．
(2)能用勾股定理解决一些简单问题．
2．目标解析
目标(1)要求学生先观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，通过归纳和合理的数学表示发现勾股定理的结论．理解
赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理．了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就．
目标(2)要求学生能运用勾股定理进行简单的计算，重点是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度.
1。

人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》优质公开课课件

例4：边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的X轴和Y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交X轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。
C1
B
2
O
D E3 A
B1
折叠三角形
例1、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
利用勾股定理作出长为 1, 2, 3, 4, 5的线段.
1 12
34 5
圆柱(锥)中的最值问题
例1、有一圆柱，底面圆的半径为3cm，高为12cm，一只蚂蚁从底面的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
一只蚂蚁从距底面1cm的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/272021/7/272021/7/27Jul-2127-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/272021/7/272021/7/27Tuesday, July 27, 2021
17.1 勾股定理
实数一一对应数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
B
C
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示
2
3
点D表示 7
3
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上表示出 2 的点吗？

17.1 勾股定理 (教学课件)- 人教版八年级数学下册

爽在证明勾股定理时用到的图形，被称为赵爽弦图。 • 这节课让我们一起来认识勾股定理吧！
知识点 1、2 认识勾股定理及其简单应用定义：直角三角形两直角边的平平方方和和等于斜斜边边的平方．如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 aa22＋＋bb22＝＝cc22 ．
7．(知识点 2)(7 分)在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，若 a∶b＝3∶4，c＝25，求 a，b.
解：设 a＝3k，b＝4k.因为在△ABC 中，∠C＝90°，c＝25，所以由勾股定理，得(3k)2＋(4k)2＝252.因为 k＞0，所以 k＝5.所以 a＝3×5＝15，b＝ 4×5＝20.
B．14
C．15
D．16
2．(知识点 1)(3 分)在△ABC 中，∠A＝90°，则下列式子中，错误的
是( C )
A．∠B＋∠C＝90°
B．AB2＋AC2＝BC2
C．BC2＝AC2－AB2
D．AC2＝BC2－AB2
3．(知识点 2)(3 分)如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°， AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
• 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
(总分 30 分)
1．(知识点 1)(3 分)已知直角三角边长为( C ) A．13
17.1 勾股定理第1课时勾股定理股定理
学习目标
• 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 • 些文化历史背景，体会数形结合的思想.（重点） • 2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）

17.1.1勾股定理课件(45张)

大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
c a
b
c a
b
也可以表示为
c2
+4•
ab 2
∵ (a+b)2
c2
+4•
ab 2
= a2+2ab+b2 = c2 +2ab
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
美国总统的证明
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。
章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽？
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识。
读一读勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理” 。图1-1称为“弦图”，最早是由公元前3世纪我国汉代的数学家赵爽在为《周髀算经》注解时给出的. 赵爽利用它来证明勾股定理。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。
C A C的面积怎么求呢？
S正方形c
=
72
-4×
1 2
×4×3
25 （面积单位）
B
C

新人教版八年级数学下册第17章《勾股定理第1课时》公开课课件

课件说明
• 学习目标： 1．经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感； 2．能用勾股定理解决一些简单问题.
• 学习重点：探索并证明勾股定理．
创设情境引入课题
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如图就是大会的会徽的图案．
八年级下册
17.1 勾股定理（1）
课件说明
• 本课从观察网格中的正方形面积关系出发，发现了等腰直角三角形三边之间的数量关系，再通过观察网格中以一般直角三角形的三边为边长的正方形面积关系，发现网格中的一般直角三角形也具有这种三边长的数量关系，从而提出猜想，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，介绍了赵爽的证明方法．
追问正方形A、B、C 所围成的直角Biblioteka 角形三条边之间有怎样的特殊关系？
B
A C
探究勾股定理
问题4 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？
猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2．
感受数学文化
这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周
问题1 你见过这个图案吗？它由哪些基本图形组成？
创设情境引入课题
问题2 三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
追问由这三个正方形 A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系？
B
A
C
探究勾股定理
问题3 在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？

新人教版数学初中八年级下册17.1《勾股定理》(1)公开课优质课教学设计

《勾股定理》第一课时◆教材分析本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用。

通过探索三角形的三边关系，得到勾股定理，同时还介绍了一种直角三角形的判定方法，最后介绍了勾股定理的应用。

本章知识是为后续学习解直角三角形做铺垫。

勾股定理是几何中的几个重要定理之一，它揭示了直角三角形中的三边的数量关系，可以用来解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的重要根据之一，不仅在数学的发展中起到重要作用，而且在数学及其它自然科学中都有广泛的应用。

◆教学目标【知识与能力目标】1.观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积的关系，发现勾股定理的结论.2.能证明勾股定理．3.应用勾股定理解决简单的问题．【过程与方法】在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动；同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展同学们数与形结合的数学思想．【情感态度与价值观】在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的习惯．了解数学史，激发学生热爱祖国的思想感情，培养他们的民族自豪感．◆教学重难点【教学重点】探索并证明勾股定理．【教学难点】勾股定理的探索和证明.◆课前准备教学PPT◆ 课时安排1课时教学过程（一）情景引入北京召开的第24（图1）这就是著名的“赵爽弦图” ，“赵爽弦图”既标志着中国古代数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎着来自世界各地的数学家们。

（二）探究新知活动一： (1)相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。

若用正方形的边长即等腰三角形的边来表示以上面积,你能发现等腰直角三角形三边之间有什么关系?（2）等腰直角三角形是特殊的三角形,一般的三角形是否也有这样的特点?观察图1三个正方形之间围成了一个什么样的三角形? 你能计算出图中C B A 、、的面积吗？如何计算C 的面积？图1图2 图3请将结果填入下表，你能发现正方形A 、B 、C 的面积关系吗？即C B A S S S =+，即直角边上的正方形的面积和等于斜边上的正方形的面积若直角三角形的直角边长为b a 、，斜边c 你能表示正方形的面积吗？符号表示：在Rt △ABC 中，若a BC =，b AC =，c AB =.则222c b a =+. 公式变形：222b c a -=， 222a cb -= ●活动二集思广益，证明勾股定理如图4，用“补”的方法，可得()______422⨯-=c ，化简整理得222c b a =+.如图5，用“割”的方法，可得()______422⨯+=c ，化简整理得222c b a =+.（三）尝试应用例1.在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是c b a 、、.（1）若53==b a ，求c ；（2）若178==c a ，，求c ；（四）拓展应用例2 .在Rt △ABC 中，AB=4，AC=6，求BC 的长. （五）总结分享1．勾股定理是什么？（六）巩固新知1.下列说法正确的是（）A.若c b a 、、是△ABC 的三边长，则222c b a =+. B.若c b a 、、是Rt △ABC 的三边长，则222c b a =+. C.若cb a 、、是Rt △ABC 的三边长，∠A=90o，则222c b a =+.D.若c b a 、、是Rt △ABC 的三边长，∠C=90o，则222c b a =+. 2.在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是c b a 、、.（1）若86==b a ，，则c =_________ ；（2）若159==c a ，，则b =_________.3.在Rt △ABC 中，∠B=90o，AB=5，AC=10，则BC=_________. 4.直角三角形的两边分别为3、4，则第三边的长为_________.5.已知∠C=90°， CD ⊥AB ，BC=8，AC=6 求斜边上的高。

勾股定理公开课优质课教学设计一等奖及点评

勾股定理（第1课时）人教版《义务教育教科书·数学》（八年级下册第十七章17.1）义务教育教科书数学八年级下册（人民教育出版社）17.1勾股定理（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1．内容勾股定理的探究、证明及简单应用．2．内容解析勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系：三边之间满足等式：a2＋b2＝c2，它搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用．勾股定理体现了数形结合的思想方法，具有科学创新的重大意义．勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了在三角学、解析几何学、微积分学的建立，使数学的几何学和代数学两大门类结合起来，对数学进一步的发展拓宽了道路．没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦．因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，体现了从特殊到一般的探索的过程，由具体的关系归纳出抽象的猜想，学生亲手实践赵爽的面积证法，证明猜想、发现定理，并以此引导学生探索、发现、证明定理的思路．通过对勾股定理的探究和发现，培养学生学习数学的热情和自信心．我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定．通过对勾股定理历史和我国古代研究勾股定理成就的介绍，以及赵爽证明勾股定理的巧妙弦图，培养学生的民族自豪感，品味数学文化．在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题，这是勾股定理最基础的应用．基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明勾股定理．二、目标和目标解析1．目标（1）经历勾股定理的探究、证明过程．了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．（2）能用勾股定理解决一些简单问题．2．目标解析目标（1）要求学生通过观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论．理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过面积不变的关系和对图形面积的不同算法证明勾股定理．了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就．（2）学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度．三、教学问题诊断分析勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论．在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系．但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难．因此，在教学中先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考正方形的面积和直角三角形边的关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，归纳出结论．学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，小组合作在此发挥了很大的优势，学生间的互助、交流有利于学生自然、合理地发现和证明勾股定理．本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明．四、教学支持条件分析借助PPT动画，动态地演示从网格中的等腰直角三角形，到网格中的一般直角三角形的变化过程，启发学生考虑用割补法求正方形的面积.在学生拼图验证猜想后，播放视频动画再现赵爽弦图的剪拼过程，形象、直观．利用软件的迭代功能，制作出漂亮的勾股树，品味数学之美．教学流程：1、创设情境，导入新课→2、师生互动，探究规律→3、动手实践，验证猜想→4、观察欣赏，感知文化→5、运用定理，巩固新知→6、畅谈收获，归纳小结→7、布置作业，温故新知.五．教学过程设计环节一：情景引入同学们，2002年国际数学家大会在我国的北京召开，下图就是这一届大会会徽的图案.请你仔细的观察这副图案，说一说，它是由哪些基本图形组成的？生：四个直角三角形和正方形组成的师：直角三角形与正方形是我们生活当中比较常见的基本图形，我们已经学过直角三角形两角之间的关系，两个锐角互余，今天这节课来研究直角三角形三边之间的特殊关系评析：本节课由国际数学学家大会的会徽导入，激发学生的兴趣，引入新课教师引导学生发现会徽图案是由直角三角形、正方形组成.引出本节内容是研究直角三角形三边之间的某种特殊关系.环节二：师生互动，探究规律问题1：相传2500多年前，毕达哥拉斯从地砖图案中发现了直角三角形三边之间的某种数量关系．我们也来观察一下这副示意图，我把地砖的颜色给隐藏，可以清楚的发现图中每个小三角形都是等腰直角三角形，假设每个小等腰直角三角形的面积为1．问题1：图中三个正方形A,B,C的面积分别是多少？三个面积之间有什么等量关系？接下来，在网格图中画出一个任意的直角三角形，像刚才的示意图一样，以这个直角三角形的三边为边长向外作出三个正方形，分别记为A,B,C,假设图中每个小正方形的面积为1.问题1：正方形A的面积为？正方形B的面积为？正方形C的面积呢？追问：如何求正方形C的面积呢？师：通过古希腊数学家在朋友家做客，发现朋友家的地板砖三边之间的数量关系，通过图中观察正方形内的三角形是什么三角形？生：等腰直角三角形师：假设每个小的等腰直角三角形的面积为1，请同学们思考A、B、C三角形的面积各位多少？生：正方形A与B的面积为2，正方形C的面积为4师：继续思考正方形A、B、C面积之间有怎样的等量关系？生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积师：这个结论在等腰直角三角形的前提下成立，反问在一个任意的直角三角形当中是否还成立呢?生：猜想成立问题2：三个正方形A ， B ，C 面积之间有什么关系？S A +S B =S C下面，我把这幅示意图中的三个正方形推开，把这个直角三角形的三边记为a ，b ，c ，直角三角形三边之间有什么关系呢？得出猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ,斜边长为 c ，那么a 2+b 2=c 2.问题：c 的平方可以表示为什么图形的面积？师：给出任意的直角三角形以各个边向外作正方形A 、B 、C ,假设每个小正方形面积都为1，思考正方形A 、B 、C 的面积为多少？生：正方形A 的面积为16，正方形B 的面积为9 正方形C 的面积为25师：请学生解释一下正方形C 的面积为什么为25？生：正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积师:这个规律刚刚是在等腰直角三角形当中得到的，这个三角形是一般的直角三角形，这个结论还能用吗？生：不能师：如何来求正方形C 的面积呢？请同学们思考一下 C BA b a c生：使用割的办法来求正方形C的面积，把正方形C切割成4个直角三角形+一个正方形得到正方形C的面积为25师：请思考一下还有没有其他办法？生：补上4个小的直角三角形，通过大的正方形的面积减去4个直角三角形的面积师：这两种方法都可以求出正方形C的面积，统称为“割补法”师：通过正方形A、B、C的面积数据，有什么等量关系？你们能得出什么结论？生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积师：把直角三角形的三边记为a、b、c，能否由上面的等式推出直角三角形三边之间的等量关系？生：因为S A+S B=S C,所以a2+b2=c2师：那个同学能够用文字语言来表达一下呢？生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方师：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，这个结论是在网格图当中得到，去掉网格，这个结论还成立吗？评析：由地砖中存在的特殊示意图导入，发现围成等腰直角三角形的三个正方形面积之间存在特殊的数量关系.在正方形的网格图中进一步研究这个示意图，由特殊的直角三角形过渡到一般的直角三角形，面积之间也存在特殊的数量关系.问题1中，教师提出问题，让学生自己独立观察图形，分析数据，思考其中隐含的规律．得出结论：在等腰直角三角形的前提条件下，从这幅示意图中可以得出小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．学生很容易通过数格子的方法答出正方形A和正方形B的面积.难点是求由斜边所作的正方形C的面积.环节三：动手实践，验证猜想拼图活动：请同学们拿出课前老师分发的四个直角三角形,拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有边长为c的正方形.请同学上台展示他们的拼图结果。

17.1.1 勾股定理(1) 公开课获奖课件

(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么a2＋b2＝c2.
(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．
①用多媒体课件演示． ②小组合作探究：
a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？
c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．想一想还有什么方法？
师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．
拼图实验，探求新知 1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考． 2．组织学生小组合作学习．问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法．引导学生用拼图法初步体验结论．生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和．师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明．归纳验证，得出定理
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。

《17.1 勾股定理》课件(含习题)

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的代数式表示CD
根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程模型求出x
B
DC
利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二勾股定理的验证
拼一拼请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图

勾股定理(公开课课件)

24
4.8
A
B
C
D
1、已知△ABC的三边分别是a,b,c,若∠B=90°，则有关系式（）
A.a2+b2=c2
B.a2+c2=b2
C.a2-b2=c2
D.b2+c2=a2
B
A
B
C
a
b
c
2、判断题. (1)ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) (2)ABC的a=6,b=8,则c =10 ( )
证明结论
请你利用手中的三角形，结合前面的探究，也来探讨证明勾股定理的方法吧！
(4)
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
c
c
c
c
(a-b)2
b
c
a
(1)
(3)
即 a2+b2=c2
这四个直角三角形还能怎样拼？
a
b
证明方法一：赵爽图形
大正方形的面积该怎样表示?
a
b
c
a
b
c
即 a2+b2=c2
∟
∟
∟
c2
+ 2( )
+ ab
+ b2
=
c2
ab
ab
a2 + b2 = c2
a2
b2
a2
c2
毕达哥拉斯证法
希腊的著明数学家毕达格拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达格拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
３、学了本节课后你有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。