两种矩形板考虑初始恒载效应的位移伽辽金近似解
《应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》
《应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》篇一一、引言在工程力学领域，矩形板的稳定性问题是一个重要的研究方向。
本文将介绍一种基于功的互等法来求解不同边界条件矩形板的稳定性的方法。
该方法通过分析板在受到外力作用时的能量变化，从而得出板的稳定性能。
本文将详细阐述该方法的基本原理、应用范围及求解过程。
二、功的互等法基本原理功的互等法是一种基于能量守恒原理的力学分析方法。
它通过分析系统在受到外力作用时，系统内部能量的变化以及外力所做的功，从而得出系统的稳定性能。
在求解矩形板稳定性问题时，我们可以将板的变形过程看作是一个能量转化的过程，即外力对板做功，板的变形则是一种能量的释放过程。
因此，我们可以通过分析外力所做的功与板变形所释放的能量之间的关系，来求解板的稳定性。
三、不同边界条件的矩形板稳定性求解1. 简支矩形板对于简支矩形板，其边界条件为四边均无位移且无转角。
在这种情况下，我们可以将板的变形过程看作是一个能量转化的过程，即外力对板做功，板的变形则是一种能量的释放过程。
通过分析外力所做的功与板变形所释放的能量之间的关系，我们可以求解出简支矩形板的稳定性。
2. 自由矩形板对于自由矩形板，其边界条件为四边均无约束。
在这种情况下，我们需要考虑板的振动能量与外部激励之间的关系。
通过分析外部激励对板所做的功以及板的振动能量变化，我们可以求解出自由矩形板的稳定性。
3. 其他边界条件的矩形板除了简支和自由两种边界条件外，还有许多其他边界条件的矩形板，如固支板、弹性支撑板等。
对于这些不同边界条件的矩形板，我们可以通过类似的方法进行分析和求解。
具体而言，我们需要根据不同的边界条件确定板的变形模式和受力情况，然后分析外力所做的功与板变形所释放的能量之间的关系，从而得出板的稳定性能。
四、求解过程在应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定性时，我们需要遵循以下步骤：1. 确定板的几何尺寸、材料性质以及边界条件等参数；2. 分析外力对板所做的功以及板的变形情况；3. 根据功的互等原理，建立关于外力所做的功与板变形所释放的能量的数学模型；4. 求解数学模型，得出板的稳定性能；5. 对结果进行验证和分析，确保结果的准确性和可靠性。
矩形薄板的几种解法
（范文素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制, 期待你的好评与关注）弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法•:纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为O二 0_ay 厂O二 0-0.纳维把挠度'的表达式取为如下的重三角级数:为了求出系数A mn ，须将式b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即q"4D 芸M C mn sin ^sin 也。
m ± n a b血x现在来求出式（（中的系数C mn 。
将式C ）左右两边都乘以n ,其中的a为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意=ox _0n ::A mn m 土 n 三sinsinab（a ）其中m 和n 都是任意正整数。
弹性曲面微分方显然，上列的边界条件都能满足。
将式 代入 程::n m 2 n 2冲％ Fl ，得讥注!^+尹 sin 叱 sin n y =q 。
（ b ）a b到（C ）Aya sin .0sin Adx a (m 护 i) (m = 4) 就得到 q sin ^Zdxa 再将此式的左右两边都艰以 土，其中的j 也是任意正整数，然后对积分, 从o 到b ，注意b f s Jo 就得到 sin ! Isin a ab -r C j因为i 和j 式任意正整数,可以分别换为m 和n ,所以上式可以换写为 b q sin abC 4 mn解出C mn ,代入式（），得到q 的展式 . m^x . njry q =才瓦送 f [qsin^sin bdxdy 分m 亠n 亠] U与式(b )頑匕，即得 m -1 ■ n -1- sin 叱 sin 口 a b ° (13-25) Amn4a 4 0bq sin4二 abDsin n Ldxdy abm 2. n 2~2当薄板受均布荷载时，q 成为常量q o ，式（d ）积分式成为q 0 sinsin:a=q 0q 0 sinam •:; x dx adxdy bb . n 二 y sin dy 0 bq 0 ab2 ------■：\ mn一 cos m 「jj 1 - cos n 丄 于是由式d ）得到 Amn 1 - cos n ■：!；4 q 0 1 一 cos m 尹 —y—-J 二6D mn A mn 16 q 0・ 2 2 I m_ . nJ 厂 .2 >,- b。
《应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》
《应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》篇一一、引言在工程领域中，对于矩形板的稳定性问题，我们经常需要通过分析和计算来确定其承载能力和变形情况。
功的互等法作为一种有效的力学分析方法，被广泛应用于解决各种工程问题。
本文将详细介绍如何应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定性问题，以期为相关领域的研究和应用提供参考。
二、功的互等法概述功的互等法是一种基于能量守恒原理的力学分析方法。
它通过比较和计算系统中各部分能量变化的关系，推导出系统内部力、应力、变形等物理量的关系。
在解决矩形板的稳定性问题时，我们可以将该法应用于确定板的变形模式、约束条件和力学特性。
三、矩形板稳定性的求解过程1. 问题描述与模型建立在矩形板稳定性的求解过程中，首先需要确定问题描述和模型建立。
我们需要了解板的尺寸、材料属性、边界条件等基本参数，然后根据这些参数建立相应的力学模型。
2. 功的互等法的应用在应用功的互等法求解矩形板稳定性问题时，我们需要根据不同的边界条件进行具体分析。
以下为几种常见边界条件的处理方法：（1）简支边界条件：在简支边界条件下，板的两端受到约束，无法发生位移。
我们可以通过计算板在受到外力作用时所做的功与约束力所做的功之间的关系，来求解板的变形和稳定性。
（2）自由边界条件：在自由边界条件下，板的两端无约束，可以自由变形。
我们可以利用功的互等法分析板的自由振动特性，从而求解其稳定性。
（3）其他边界条件：对于其他复杂的边界条件，我们可以根据具体情况，结合功的互等法和其他力学分析方法，进行综合分析和求解。
3. 求解过程与结果分析在应用功的互等法求解矩形板稳定性的过程中，我们需要通过数学建模、方程求解和结果分析等步骤，得出板的变形模式、应力分布和承载能力等关键参数。
同时，我们还需要对求解结果进行验证和评估，以确保其准确性和可靠性。
四、实例分析以一个具体工程实例为例，我们可以通过应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定性问题。
两种矩形板考虑初始恒载效应的位移伽辽金近似解
对于应变能 S ) 采用线性应变 c 位移关系 ' 而对 , + ! -) 于应变能 S 采用非线性应变 c 位移关系+ ' 同时假 定应力 c 应变关系是线性的 ) 最终应变能表达为 !
动力控制微分方程 ) 并对简支 梁 和两端固 定梁 的静 ( 的恒载效应进 行 了 研 究 ) 后来也分析了这一效应对
@ M ) ) ) ) 8) 8) 2 % J J) J J) 1 &% 1& ( % ? &% ?& ( ) % & D +)F ) ) ) ) -) -) -) -) + % % % ) J J J) J) F J J) J J) 1 1 1& ( % 1& ? ?( ?& ?& ) 8) 8) % % % % , 3 % & ) J J J) J) ? 1 ? " ? 1& 1& ?& ?&
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《2024年应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》范文
《应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》篇一一、引言在工程力学领域，矩形板的稳定性问题一直是研究的热点。
对于不同边界条件的矩形板，其稳定性分析具有重要价值。
本文将采用功的互等法，对不同边界条件的矩形板进行稳定性分析，以期得到其稳定性的高质量解。
二、功的互等法的基本原理功的互等法是一种基于能量守恒原理的力学分析方法。
其基本思想是在满足一定条件下，两个力学系统的外力功相等时，其内部力所产生的能量变化也相等。
因此，通过对比两个具有相同外力作用的系统在变形过程中的能量变化，可以求解出所求问题的解。
三、不同边界条件的矩形板稳定性分析1. 简支矩形板对于简支矩形板，其边界条件为四边均无约束。
在这种情况下，我们可以根据功的互等法，将简支矩形板与一个等效的简支梁进行比较。
通过对比两种结构在相同外力作用下的能量变化，可以求解出简支矩形板的稳定性。
2. 固定矩形板对于固定矩形板，其边界条件为四边均固定。
在这种情况下，我们可以将固定矩形板与一个等效的固定框架进行比较。
通过对比两种结构在相同外力作用下的能量变化，可以求解出固定矩形板的稳定性。
3. 边简支边固定矩形板对于边简支边固定矩形板，其边界条件为两边固定，两边简支。
在这种情况下，我们需要分别考虑简支和固定两种边界条件对矩形板稳定性的影响。
首先，我们将边简支边固定矩形板与一个等效的边简支矩形板和一个等效的边固定矩形板进行比较。
然后，通过综合考虑两种边界条件的影响，可以求解出边简支边固定矩形板的稳定性。
四、计算结果与分析通过对不同边界条件的矩形板进行功的互等法分析，我们可以得到各类型矩形板的稳定性解。
通过对解的对比和分析，我们可以发现：1. 简支矩形板的稳定性相对较好，因为其四边无约束，可以自由变形；2. 固定矩形板的稳定性较差，因为其四边均被固定，变形受到限制；3. 边简支边固定矩形板的稳定性介于简支和固定之间，其稳定性受两种边界条件的影响。
五、结论本文采用功的互等法对不同边界条件的矩形板进行了稳定性分析。
2_4b 基于虚功原理的近似解法：瑞利-里茨法,伽辽金
v
1 E
(q2
μq2 )x,
q1) y.
d
对于图示的简单问题，式(d)正好是其精确解。
例2 图示薄板的三边为固定，而上边受到强迫位移的作用， 试用位移变分法求解。
本题全部为位移边界条件：
(u, v)xα /2 0, (u, v)y0 0,
(u) yb
0, (v)yb
η(1
x2 b2
).
因S = Su, Sσ = 0全部为位移边 界条件且均已满足，∴从§5－5 式(u)可见，也可应用伽辽金变 分法求解。
因fx = fy = 0，故伽辽金变分 方程为
2
a 0
b
(
0
2u x2
1 μ 2
2u y 2
1 μ 2
2v xy
)u 1
d
x
d
y
0,
2
a 0
b
(
0
2v y 2
1
2
μ
2v x2
基于虚功原理的近似解法：第五章/第七节位移变分法例题
例1 ：图示矩形板a×b，在上边及右边受有均布压力 q1及q2，而左边和下边受有法向连杆的约束。
应用瑞利-里茨法 ，设定位移
u v
Au 11
Bv 11
A 1
x,
B 1
y.
a
满足两个约束边界条件
(u)x0 0, (v) y0 0.
b
其余的应力边界条件及平衡微 分方程由下列变分方程代替 （其中fx = fy = 0）：
U
A1
U
s
f ux 1 d s,
f v d s.
B1
s y 1
c
《应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》
《应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》篇一一、引言在工程领域，矩形板的稳定性问题是一个重要的研究课题。
本文旨在探讨应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定问题。
首先，我们将简要介绍功的互等法的基本原理及其在矩形板稳定性分析中的应用。
接着，我们将通过具体的数学模型和计算步骤，详细阐述该方法的求解过程。
二、功的互等法基本原理功的互等法是一种基于能量原理的力学分析方法。
它通过比较两种不同边界条件下系统的能量变化，求得系统的稳定性和相关参数。
在矩形板稳定性分析中，功的互等法可以用来求解不同边界条件下的矩形板的弯曲、变形等稳定性问题。
三、数学模型及计算步骤（一）数学模型考虑一个四边简支的矩形板，其长为a，宽为b，厚度为h。
假设板的材料为弹性材料，具有线弹性性质。
我们需要求解在给定荷载作用下，板的挠度和应力分布。
（二）计算步骤1. 建立边界条件：根据实际情况，确定矩形板的边界条件，如四边简支、两边简支两边自由等。
2. 构建能量方程：根据功的互等法原理，构建描述系统能量的方程。
该方程应包含板的弯曲能、外力功等项。
3. 应用变分原理：通过变分原理，将能量方程转化为变分问题。
这需要引入适当的试函数，如挠度函数。
4. 求解变分问题：利用数值方法（如有限元法、差分法等）求解变分问题，得到挠度函数及应力分布。
5. 分析稳定性：根据求解结果，分析矩形板的稳定性。
比较不同边界条件下板的挠度、应力等参数，评估其稳定性。
四、实例分析以一个四边简支的矩形板为例，我们应用功的互等法求解其稳定性。
首先，我们建立能量方程，并应用变分原理将其转化为变分问题。
然后，利用有限元法求解变分问题，得到挠度函数及应力分布。
最后，我们分析求解结果，评估板的稳定性。
通过与实际工程中的数据进行对比，验证了该方法的可行性和准确性。
五、结论本文应用功的互等法求解了不同边界条件矩形板的稳定问题。
通过建立数学模型和计算步骤，详细阐述了该方法的应用过程。
《应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》
《应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定》篇一一、引言在工程力学领域，矩形板的稳定性问题是一个重要的研究课题。
由于不同边界条件的存在，矩形板的稳定性问题具有不同的表现形式。
功的互等法是一种求解力学问题的有效方法，可以应用于不同边界条件的矩形板稳定性问题的求解。
本文旨在介绍应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定性的方法，并通过实例分析其应用效果。
二、功的互等法基本原理功的互等法是一种基于能量守恒原理的力学分析方法。
其基本思想是：在力学系统中，当两个系统在外力作用下发生相互作用时，它们之间的相互作用功是相等的。
这一原理可以用于求解各种力学问题，包括不同边界条件的矩形板稳定性问题。
三、应用功的互等法求解矩形板稳定性问题1. 简支矩形板稳定性问题对于简支矩形板，其边界条件为四边简支。
在受到外力作用时，可以通过功的互等法求解其稳定性问题。
具体步骤如下：（1）建立力学模型，确定外力及内力的作用点、方向和大小。
（2）根据功的互等原理，建立相互作用功的等式关系。
（3）利用等式关系求解出矩形板的挠度、应力等参数，进而判断其稳定性。
2. 固定边界矩形板稳定性问题对于固定边界矩形板，其边界条件为四边固定。
在受到外力作用时，同样可以利用功的互等法求解其稳定性问题。
具体步骤与简支矩形板类似，只是在建立相互作用功的等式关系时需要考虑固定边界对内力的影响。
四、实例分析以一个四边简支的矩形板为例，分析应用功的互等法求解其稳定性的效果。
假设矩形板受到均布载荷作用，通过建立力学模型、确定相互作用功的等式关系，可以求解出矩形板的挠度、应力等参数。
通过与有限元分析结果进行对比，可以发现应用功的互等法求解得到的结果与有限元分析结果具有较好的一致性，证明了该方法的有效性。
五、结论本文介绍了应用功的互等法求解不同边界条件矩形板的稳定性的方法。
通过实例分析，验证了该方法的有效性。
功的互等法具有简单、易行、精度高等优点，可以广泛应用于不同边界条件的矩形板稳定性问题的求解。
两对边固定两对边自由矩形板的精确解
两对边固定两对边自由矩形板的精确解
对边固定两对边自由矩形板的精确解是求解书板的重要问题，它的求解是指在满足边界条件下求解板的整体变形、心材料等参数。
在计算机中，通常采用一种数值方法，即基于能量方程迭代实现矩形板形状和材料参数的精确解析。
首先，在计算机中采用数值方法，对对边固定两对边自由矩形板的参数进行计算，使板的变形和材料参数符合边界条件，并迭代求解矩形厚度和质量密度，以实现结构的精确解析。
在计算机中，可以采用最小势能原理的拼接格式，考虑板的结构和弹性特性，把任意边界条件细分为多个等大小的子矩形，从而减小误差，让计算结果更加精确。
其次，可把求解过程可视化，以更直观地看出其不同参数之间的变化情况，以及哪些参数对板的变形和行为有着明显的影响。
通过实验数据和可视化结果，可以清楚地了解对边固定两对边自由矩形板的不同模型下的数字解，以及实践中如何正确操作才能保证求解精度。
最后，不同的数值方法也会造成求解结果的差异，所以有必要做出适当的精度校正，才能比较准确地展示计算结果；在实践中，可以适当的增加中间变量，比如力学参数、弹性特性及材料参数，从而缩小两种方法之间的误差，这将会有助于准确求解矩形板的变形和材料参数。
总而言之，求解对边固定两对边自由矩形板的参数是一个复杂的过程，应该通过数值方法结合实验数据，考虑板的结构特性及各种变量的影响下，进行正确操作，才能正确地获得精确解析。
《临界力的近似解法》PPT课件
A N B 0
ai
ai
精选课件ppt
(7)
12
(7)式中：
A
l
EI
ai 0 ai
n
aii
i1
x2dx0lEIi n12aiix ai
aiixdx
l
2 EI 0
n
n
aiixixdx2
i1
i1
0lEIaiixixdx
同理：
a B i0 l a ii n 1 a i ix 2 d x 2 i n 10 la i ix ix d x
ΔU＝ΔW
(1)
根据这一条件即可确定临界荷载。
ΔU>ΔW ：体系是稳定的
ΔU<ΔW ：体系是不稳定的
精选课件ppt
3
如图所示受外力N作用的两端铰支杆，应变
能增量和外力功的增量都是从压杆的直线
平衡状态算起。
应变能增量： U
U
外力功的增量：
U
1 l 20
U(21)
2
EI
l M 0
d 2v dx2
(12)
精选课件ppt
16
将式(12)代入式(11)，可得：
na i0 l N ixix E Iixix d x 0 (i=1,2,…,n)
i 1
进而可得，稳定方程：
c11 c12 c1n D c21 c22 c2n 0
(13)
式中：
cn1 cn2 cnn
c ij0 l N ix jx E Iix jx d x
(8)式可展开为：
c11a1 c12a2 c1nan 0
c21a1
c22a2
c2 n an
0
压杆大挠度问题的里兹_伽辽金近似解
(2) 可
得:y
=-
1 K2
dθ ds
( 14)
将 ( 4) 式代入有 :
y
απ π = K2L sin L s
=
αL π
Pcr sin π s PL
αλ π = π sin L s
( 15 )
最大挠度 δ出现在 x = L /2处 ,由 ( 15) 式得 :
δ/L =α·λ/π
( 16 )
52
低 温 建 筑 技 术 2005年第 5期 (总第 107期 )
3
取 γ = - ( 1 + 9λ) + ( 1 + 9λ) 2 + 8
( 13)
综合 ( 13) 、( 10) 和 ( 8) 式可以求得 α。
2 压杆的位移
将
( 1) 式中以
dy 代替 ds
sinθ, 积分并代入边界条件
李朋主等 :压杆大挠度问题的里兹 - 伽辽金近似解
51
压杆大挠度问题的里兹 - 伽辽金近似解
李朋主 , 赵 锐 , 刘晚成
(东北林业大学土木工程学院 , 哈尔滨 150040 )
【摘 要 】 通过非线性振动中常用的里兹 2伽辽金法 ,推出了两端铰支压杆大挠度问题的一个新近似公式 ,计 算结果表明具有较高的精度 。 【关键词 】 压杆 ;大挠度 ;近似解 ;里兹 2伽辽金法 【中图分类号 】 TU31112 【文献标识码 】 B 【文章编号 】 1001 - 6864 (2005) 05 - 0051 - 02
10 °
20 °
40°
60°
80°
90°
11518 100°
11678 110°
11885 120°
压电材料连续性损伤模型译文
压电材料连续性损伤模型摘要在这篇文章中，提出了一个包含分布式裂缝的压电材料固体连续模型。
该模型阐述了一个使用张量作为内部变量的连续损伤力学模型，该模型的赫姆霍兹自由能可以用一个变形多项式表示。
通过完全约束电场矢量和张量的损伤变量使最初材料的正交个性异性转化为对称性。
通过使用talreja的张量内部状态损伤变量以及压电材料的Helmhotlz自由能得到压电材料和损伤的基本关系。
压电板横向矩阵裂缝是运用模型的一个特例，基于板的基尔霍夫假设，建立了考虑损伤的压电矩形板自由振动方程。
利用伽辽金方法，对方程进行了求解。
数值结果表示在闭合电路下自由振动的压电板上损伤对其的影响。
最后用现在的结果和三维理论进行了对比。
关键词：张量内部状态变量，连续性损伤力学，损伤本构关系，压电板1 介绍由于固有的正、逆压电效应，使压电材料在智能结构中具有广泛的应用，作为传感器或驱动器去控制活性结构的变形何震动。
在制造和还原过程中裂纹、空洞、错位和分层等缺陷也被引入压电材料。
这些缺陷极大地影响到压电材料的导电、绝缘、伸缩、机械和压电性能。
当受到机械和导电负载时，这些缺陷可能引起尺寸和裂缝的变化，导致材料过早的产生机械或导电故障。
因此，研究这些缺陷的产生和这些缺陷的整体效果对压电材料的机械和电气性能是很重要的，以便于预测准确的结构使用寿命。
这些分析的进展依靠于人们怎样明确为合并各向异性固体材料将其变形及其相互作用与分布的缺陷确立本构关系。
在纤维增强复合材料中的损伤被广泛的研究，许多理论中也已经建立用来预测复合材料结构的使用寿命的理论。
摩尔和迪拉德注意到在室温条件下，在石墨/环氧基树脂中和凯夫拉纤维/环氧基树脂复合材料正交层板中横向裂纹与时间有关的增长。
Schapery使用不可逆过程的热力学分析研究了在变形、断裂、单片和复合材料的线性和非线性的行为损害。
罗和丹尼发现单向纤维增强脆性基复合材料的宏观力学行为与微观变形和损害有明确的关系。
基于状态方程矩形层合板多种边界条件下的解析解
基于状态方程矩形层合板多种边界条件下的解析解
状态方程矩形层合板是建筑技术中一种非常重要的结构体系，有着极为广泛的
应用。
它们可以用来工程建筑中多种结构体系，例如建筑物梁柱、桥梁和其他复杂的结构体系，如隧道和管道。
状态方程矩形层合板的受力计算一般可以获得解析解，不同的边界条件下将得
出不同的结果。
基本上，解析解是基于已知隔离的单元或层，在一定的边界条件和力矩平衡的条件下的问题的解决方案。
因此，可以将它们分为等强度层合板、变强度层合板和可移动层合板三种结构，这三种结构下又被分为等压应力条件和等有效变形条件，依据边界条件迭代求解解析解。
其中，等强度层合板在等压应力条件下，可采用层合板平面应力本构方程组，
求解不同形状和相同等强度层合板时只需迭代求解一次就可以获得正确结果。
此外，不同层厚、不同包边形状的矩形层合板的解析解也可以通过边界条件准确获取。
状态方程矩形层合板多种边界条件下的解析解在组成建筑结构时有着极其重要
的地位，它们不仅可以做到准确预测变形量和负荷值，还可以有效地降低施工成本，提高加工精度和工程质量。
此外，通过使用解析解，还可以发现影响施工安全的潜在危险，提前采取应对措施，避免发生可怕的后果。
矩形薄板地几种解法
弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0y ω==， 2200y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑， （a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程 ，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意sinsin am x i ydx a aππ=⎰，， 就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n y D q a b a bπππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）y再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意sin sin bon y j y dy b b ππ=⎰，jb ， j就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()000000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdya bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mnq m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
两种矩形板考虑初始恒载效应的位移伽辽金近似解
Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ Ａ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ Ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ Ｄ ｉ ｓ ｌ ａ ｃ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ Ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｐ ｐ ｐ ｇ ｏ ｆ Ｄ ｅ ａ ｄ Ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｆ ｏ ｒ Ｔ ｗ ｏ Ｋ ｉ ｎ ｄ ｓ ｏ ｆ Ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ Ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｇ
： ， Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｅ ｎ ｅ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｍ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ｅ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ ｇ ｙ ｇ ｇ ｑ ｅ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗ ｅ ｒ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｂ ｍ ｅ ａ ｎ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｎ ｅ ｒ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｌ ｅ ．Ｔ ｈ ｅ ａ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｑ ｙ ｐ ｇ ｙ ｐ ｐ ｐ ｐ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｌ ｉ ｖ ｅ ｌ ｏ ａ ｄ ｏ ｒ ｌ ａ ｔ ｅ ｒ ｌ ｏ ａ ｄ ｄ ｉ ｓ ｌ ａ ｃ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｍ ｅ ｄ ｐ ｇ ｐ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｍ ｌ ｓ ｕ ｏ ｒ ｔ ｅ ｄ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｗ ｅ ｒ ｅ ｂ ｔ ｈ ｅ Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ ｇ ｐ ｙ ｐ ｐ ｇ ｙ ｐ ｐ ｇ ， ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｓ ａ ｒ ｅ ｓ ｉ ｍ ｌ ｅ ａ ｎ ｄ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｒ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｔ ｓ ａ ｒ ｅ ｅ ｘ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ．Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｓ ｈ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｐ ｐ ｐ ｐ ｙ ｗ ａ ｓ ｖ ｅ ｒ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ｂ ｔ ｈ ｅ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ａ ｎ ｄ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｉ ｎ ｆ ｌ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｙ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ａ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｗ ｎ ｂ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｗ ｏ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｙ ｙ ｌ ａ ｔ ｅ ｗ ｅ ｒ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｚ ｅ ｄ ｂ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｉ ｍ ｒ ｏ ｖ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｇ ｐ ｙ ｙ ｐ ｐ ｐ ｂ ｅ ｎ ｄ ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｌ ａ ｔ ｅ ａ ｎ ｄ ｍ ｉ ｎ ｉ ｍ ｉ ｚ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｓ ｌ ａ ｃ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｌ ｉ ｖ ｅ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｏ ｒ ｌ ａ ｔ ｅ ｒ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｋ ｅ ｈ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｇ ｐ ｐ ｙ ｐ ｙ ， ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｏ ｎ ａ ｒ ｅ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｔ ｈ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｓ ａ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｉ ｃ ｋ ｎ ｅ ｓ ｓ ａ ｎ ｄ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｏ ｖ ｅ ｒ ｎ ｉ ｎ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｇ ｇ ｐ ｐ ， ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｔ ｃ ． Ｔ ｈ ｉ ｓ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｉ ｓ ｎ ｏ ｔ ｎ ｅ ｌ ｉ ｉ ｂ ｌ ｅ ｅ ｓ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｎ ｎ ｅ ｒ ｏ ｒ ｗ ｉ ｔ ｈ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｇ ｇ ｐ ｙ ｐ ｐ ， ｓ ｍ ａ ｌ ｌ ｅ ｒ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ ｍ ｏ ｒ ｅ ａ ｔ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｏ ｕ ｌ ｄ ｂ ｅ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ａ ｎ ａ ｌ ｓ ｉ ｓ ｆ ｏ ｒ ａ ｉ ｄ ｙ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ． ｐ ： ； ； ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ａ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｄ ｉ ｓ ｌ ａ ｃ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｌ ａ ｔ ｅ ｐ ｐ ｐ ｐ ｙ
广义Gibson地基作用竖向均布荷载的位移近似解
Ｖ １３ ｏ５ ｏ．０Ｎ ． Ｓｐ ２ ０ ｅ． ０８
广 义 Ｇｂｏ ｉｓｎ地 基 作 用 竖 向均 布 荷 载 的 位 移 近 似 解
唐 翔 王 旭 （ ．南京－ 大学 岩土 工程研 究所 ， 苏 南京 ２００ ；．淮 阴工 学院 计算机 工 程 系， 苏 淮安 ２３０ ） １ 工业 江 １０９ ２ 江 ２０ １
第３ ０卷第 ５期 ２０ ０ ８年 ９月
南 京 工 业 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自 Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ ＪＮ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｏ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＮ Ｎ Ｉ Ｇ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＦＴ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ ｕ ｅ ｉ
Ｉ ｄ ｉｏ ｎ ａ ｄｔ ｎ，ｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｎ ｃ ｎ ｂ ｓ ｄ ｔ ｓａ ｌ ｈ ｓ ｃ ｕ ｇ ａ ｅ ｆ ｕ ｄ ｔ ｎ ｓ ｉ ｆ ｘｂ ｌ ｙ ｍａ ｒ ，ｔ ｕ ｆ ｒ ｇ ａ ｉ ｈ ｏｕ ｉ ａ ｅ ｕ ｅ ｏ ｅ ｔｂ ｉ ｕ ｈ ｓ ｂ ｒ ｄ ｏ ｎ ａ ｉ ｏ ｌｌ ｉ ｉ ｔ ｔ ｘ ｈ ｓ ｏｆ ｉ ｏ ｓ ｏ ｅ ｉ ｉ ｅ ｎ
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ｌｔ ｎ ｕｉ ｏ
广 义 Ｇｂｏ ｉｓｎ地 基 是 指 地 表 处 的土 体 弹 性 模 量
不为 ０， 随深 度线性 变化 的非 均质 线 弹性 地 基 ． 且 研
高层结构内力与位移计算方法
图 1-1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
对于一般情况下的壁式框架,刚域长度可 以按下 式计算:
对于梁
lb1 hz1 0.25hl lb2 hz2 0.25hl
vNs
Ly
Ly1 Ly 2
0
py1
Py
py
2
pyNs
1
2
Ns
0
（1-26）
LyNs
（1-27）
21
GJ p1
h1
GJ p2 h2
GJ p2 h2
GJ p h2
2
GJ p2 GJ p3
h2
h3
GJ p3 h3
K
GJ p,i hi
GJ p,i + GJ p,i1
hi
hi1
GJ p,i1 hi1
GJ p,NS 1 hNS 1
GJ p,NS 1 + GJ p,NS
Q
j
Ps
N j
M
k
Qk
N k
矩形薄板弯曲的近似解法——康托洛维奇-伽辽金法
矩形薄板弯曲的近似解法——康托洛维奇-伽辽金法
本文从广义梁微分方程出发,推导出三次样条梁函数。
由于采用了广义函数,在集中荷载,集中弯矩等得到截断多项式的解。
弹性薄板偏微分方程荷载项采用了广义函数(δ函数及σ函数),无论是集中荷载、集中弯矩、均布荷载,小方块荷载都可表示成为x、y两个方向的截断多项式变形曲线。
利用康托洛维奇法将偏微分方程转换成为常微分方程,再用伽辽金法可得良好的近似解。
文内算例较为丰富,包括各种边界弹性薄板,各种荷载、变截面薄板以及悬臂板等。
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导出了梁考虑恒载效应 ｂ ａ ｔ ａ ｋ ｅ 首次提出该概 念 ， 动力控制微分方程 ， 并对简支梁和两端固定梁 的静 、
［ ］ １ ２ －
的恒载效应进 行 了 研 究 ， 后来也分析了这一效应对
［］ ［ ］ ３］ 。Ｚ 板动力特性的 影 响 ［ ｈ ｏ ｕ 等 ４ 和 张 家 玮 等 ５－７ 进
Ｄ ｛ ２ ２ （ （ ［ （ ｗ， ２ １－ｖ） ｗ， ｘ ｘ ＋ｗ， ｘ ｙ ｙ）＋ ｙ）－ ２ ｝ （ ） ｗ， ｗ， ｄ ｘ ｄ ４ ｙ ｘ ｘ ｙ ｙ］ Ｕ＝
］ ８ ９ － 周世军 ［ 提出了可供 考虑恒载效应的有限梁单元 ；
分析 板 恒 载 效 应 的 矩 形 板 单 元 。 后 来 ， 张家玮 等
［ ］ １ ０ １ ２ －
又提出了拱形梁考虑恒载效应的非线性控制
讨论恒载效应对拱形梁的动 、 静受力特性 微分方程 ， 的影响 。 目前为止 ， 已有 板 的 恒 载 效 应 研 究 未 提 出 考 虑 板恒载效应的明确简单的活载 （ 或后期荷载 ） 位移解 析解或近似解 。 本文基于板考虑恒载效应的应变能 表达 ， 运用变分 原 理 推 导 出 了 直 角 坐 标 系 下 一 般 形 式的静力平衡 控 制 微 分 方 程 ， 运用伽辽金法解出了 固支矩形板和简支矩形板考虑恒载效应的活载位移 并用有限元法验证了近似解公式的正确性 。 近似解 ， 该公式可直接用于考虑了恒载效应矩形板的受力分 析 。 运用活载 位 移 近 似 解 ， 进行了不同长宽比的２ 种矩形板的恒载大小和厚度对活载 （ 或后期荷载 ） 位 板实际存在这种恒载 移影响分析 。 分 析 结 果 表 明 ： 效应 ， 在较薄或弯曲刚度较小的板中表现明显 ， 初始 恒载的存在提 高 了 板 承 受 活 载 的 弯 曲 刚 度 ， 减小了 板活载位移 ； 这种恒载效应主要受恒载大小 、 跨厚比 对于较薄或弯曲刚度较 和边界条件等 因 素 的 影 响 ； 小的板 ， 计算分 析 中 应 考 虑 实 际 存 在 的 这 一 恒 载 效 应对板的受力 行 为 产 生 的 影 响 ， 以做到精确分析和 合理结构设计 。
摘 要： 基于板考虑初始恒载效应的应变能表达 ， 运用变分原理导出了静力平衡控制微分方程 。 运 简支 矩 形 板 考 虑 初 始 恒 载 效 应 的 近 似 活 载 （ 或后期荷载） 位移表 用伽辽金法求解得到了四边固支 、 达式 ， 并运用有限元法验证了公式的正确性 。 各近似位移表达式简单明了 ， 清楚地反映了前期恒载 和各因素对活载位移的影响 ， 更为直观地说明了板的恒载效应这一概念 。 计算分析表明 ： 初始恒载 减小 了 活 载 位 移 ； 板 的 恒 载 效 应 主 要 受 恒 载 大 小、 跨厚比和边界条件 的存在增加了板的弯曲刚度 ， 等因素的影响 ； 对于较薄或弯曲刚度较小的板 ， 在计算分析和结构设计中应考虑这种恒载效应对承 或后期荷载 ） 作用的受力行为影响 。 受活载 （ 关键词 ： 近似解 ； 恒载效应 ； 位移 ； 板 （ ） 中图分类号 ： ＴＵ ３ １ ３ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ４ ４ ７ ６ ４ ２ ０ １ ３ ０ ６ ０ ０ ５ ８ ０ ９ － － －
珡 ＝Ｄ ［ 珡， 珡ｙ 珡， Ｕ ｗ ｗ， ｗ， ｗ ｗ， ｘ ｘ ｘ ｘ ＋ｗ ， ｘ ｘ ｙ ｙ ＋ ｙ ｙ ｙ ＋２ 珡， 珡ｘ 珡， ］ ｖ（ ｗ ｗ， ｗ， ｗ ｗ， ｄ ｘ ｄ ｙ＋ ｘ ｘ ＋ｗ ， ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ －２ ｙ ｙ）
提出了 一步分析了恒 载 效 应 对 梁 受 力 性 能 的 影 响 ，
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ５Ｎ ｏ ． ６ Ｄ ｅ ｃ ． ２ ０ １ ３
： ／ ． ｉ ｓ ｓ ｎ． １ ６ ７ ４ ｄ ｏ ｉ １ ０． １ １ ８ ３ ５ ４ ７ ６ ４． ２ ０ １ ３． ０ ６． ０ １ ０ － ｊ
两种矩形板考虑初始恒载效应的位移伽辽金近似解
刘德贵 ， 周世军
（ ） 重庆大学 土木工程学院 ， 重庆 ４ ０ ０ ０ ４ ５
收稿日期 ： ２ ０ １ ３ ０ １ ２ ４ － － ， （ ） 作者简介 ： 刘德贵 （ 男， 博士生 ， 主要从事结构工程研究 ， １ ９ ８ ３ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｓ ｈ ｌ ｌ ８ ３ ０ ５ ２ ０＠１ ６ ３． ｃ ｏ ｍ。 －） ， （ ） 周世军 （ 通信作者 ） 男， 教授 ， 博士生导师 ， Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｓ ｚ ｈ ｏ ｕ ８＠１ ６ ３． ｃ ｏ ｍ。 ｊ
Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ Ａ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ Ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ Ｄ ｉ ｓ ｌ ａ ｃ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ Ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｐ ｐ ｐ ｇ ｏ ｆ Ｄ ｅ ａ ｄ Ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｆ ｏ ｒ Ｔ ｗ ｏ Ｋ ｉ ｎ ｄ ｓ ｏ ｆ Ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ Ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｇ
第３ ５ 卷第 ６ 期 ２月 ２ ０ １ ３年１
土 木 建 筑 与 环 境 工 程 ，Ａ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｌ ｒ ｃ ｈ ｉ ｔ ｅ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ＆Ｅ ｎ ｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｌ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ｇ
第６期
刘德贵 ， 等： 两种矩形板考虑初始恒载效应的位移伽辽金近似解
５ ９
由于初始恒载的存在 ， 当受到后续 工程结构中 ， 活载或荷载时 ， 产生的位 象 被 称 为 恒 载 效 应［ ａ ｋ ａ －
对于应变能 Ｕ ， 采用线性应变 － 位移关系 ； 而对 ［ ］ １ ３ 珚， 于应变能 Ｕ 采用非线性应变 － 位移关系 ； 同时假 定应力 － 应变关系是线性的 ， 最终应变能表达为 ：
： ， Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｅ ｎ ｅ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｍ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ｅ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ ｇ ｙ ｇ ｇ ｑ ｅ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗ ｅ ｒ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｂ ｍ ｅ ａ ｎ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｎ ｅ ｒ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｌ ｅ ．Ｔ ｈ ｅ ａ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｑ ｙ ｐ ｇ ｙ ｐ ｐ ｐ ｐ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｌ ｉ ｖ ｅ ｌ ｏ ａ ｄ ｏ ｒ ｌ ａ ｔ ｅ ｒ ｌ ｏ ａ ｄ ｄ ｉ ｓ ｌ ａ ｃ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｍ ｅ ｄ ｐ ｇ ｐ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｍ ｌ ｓ ｕ ｏ ｒ ｔ ｅ ｄ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｗ ｅ ｒ ｅ ｂ ｔ ｈ ｅ Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ ｇ ｐ ｙ ｐ ｐ ｇ ｙ ｐ ｐ ｇ ， ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｓ ａ ｒ ｅ ｓ ｉ ｍ ｌ ｅ ａ ｎ ｄ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｒ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｔ ｓ ａ ｒ ｅ ｅ ｘ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ．Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｓ ｈ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｐ ｐ ｐ ｐ ｙ ｗ ａ ｓ ｖ ｅ ｒ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ｂ ｔ ｈ ｅ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ａ ｎ ｄ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｉ ｎ ｆ ｌ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｙ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ａ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｗ ｎ ｂ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｗ ｏ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｙ ｙ ｌ ａ ｔ ｅ ｗ ｅ ｒ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｚ ｅ ｄ ｂ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｉ ｍ ｒ ｏ ｖ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｇ ｐ ｙ ｙ ｐ ｐ ｐ ｂ ｅ ｎ ｄ ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｌ ａ ｔ ｅ ａ ｎ ｄ ｍ ｉ ｎ ｉ ｍ ｉ ｚ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｓ ｌ ａ ｃ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｌ ｉ ｖ ｅ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｏ ｒ ｌ ａ ｔ ｅ ｒ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｋ ｅ ｈ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｇ ｐ ｐ ｙ ｐ ｙ ， ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｏ ｎ ａ ｒ ｅ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｔ ｈ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｓ ａ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｉ ｃ ｋ ｎ ｅ ｓ ｓ ａ ｎ ｄ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｏ ｖ ｅ ｒ ｎ ｉ ｎ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｇ ｇ ｐ ｐ ， ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｔ ｃ ． Ｔ ｈ ｉ ｓ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｉ ｓ ｎ ｏ ｔ ｎ ｅ ｌ ｉ ｉ ｂ ｌ ｅ ｅ ｓ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｎ ｎ ｅ ｒ ｏ ｒ ｗ ｉ ｔ ｈ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｇ ｇ ｐ ｙ ｐ ｐ ， ｓ ｍ ａ ｌ ｌ ｅ ｒ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ ｍ ｏ ｒ ｅ ａ ｔ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｏ ｕ ｌ ｄ ｂ ｅ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ａ ｎ ａ ｌ ｓ ｉ ｓ ｆ ｏ ｒ ａ ｉ ｄ ｙ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ． ｐ ： ； ； ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ａ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｄ ｅ ａ ｄ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ｄ ｉ ｓ ｌ ａ ｃ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｌ ａ ｔ ｅ ｐ ｐ ｐ ｐ ｙ