高三数学模拟试题一理新人教A版

山东省 高三高考模拟卷（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若i z +=1，则(2)z z +⋅= A ．42i - B ．42i + C ．24i + D ．4 2．已知集合}6|{2--==x x y x A ，集合12{|log ,1}B x x a a ==>，则A ．}03|{<≤-x xB ．}02|{<≤-x xC ．}03|{<<-x xD ．}02|{<<-x x3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0．9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 A ．10 B ．20 C ．8 D ．16 4．下列说法正确的是 A ．函数xx f 1)(=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“R x ∈∃，220130x x ++>”的否定是“R x ∈∀，220130x x ++<” D ．给定命题q p 、，若q p ∧是真命题，则p ⌝是假命题 5．将函数x x x f 2sin 2cos )(-=的图象向左平移8π个单位后得到函数)(x F 的图象，则下列说法中正确的是A ．函数)(x F 是奇函数，最小值是2-B ．函数)(x F 是偶函数，最小值是2-C ．函数)(x F 是奇函数，最小值是2-D ．函数)(x F 是偶函数，最小值是2-6．已知点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,1,,4x x y y x 过点P 的直线与圆1422=+y x 相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为A ．2B ．62C ．52D ．47．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是A ．π6B ．π12C ．π18D ．π248．执行如图所示的程序框图，若输入5=p ，6=q ，则输出a ，i 的值分别为 A ．5，1 B ．30，3 C ．15．3 D ．30．69．若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的41，则该双曲线的渐近线方程是 A ．02=±y x B ．02=±y x C ．03=±y x D ．03=±y x 10．我们定义若函数)(x f 为D 上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D 上的任何取值有意义；(2)对于区间D 上的任意n 个值n x x x ,,,21 ，总满足)()()()(2121n x x x nf x f x f x f n n +++≥+++ ，那么下列四个图象中在]2,0[π上满足凹函数定义的是11．若2013(2)x -220130122013a a x a x a x =++++，则02420121352013a a a a a a a a ++++=++++A ．201320133131+-B ．201320133131+--C ．201220123131+-D ．201220123131+--12．已知c b a ,,为互不相等的三个正实数，函数)(x f 可能满足如下性质：①)(a x f -为奇函数；②)(a x f +为奇函数；③)(b x f -为偶函数；④)(b x f +为偶函数；⑤()()f x c f c x +=-．类比函数2013sin y x =的对称中心、对称轴与周期的关系，某同学得到了如下结论：(i)若满足①②，则)(x f 的一个周期为4a ；(ii)若满足①③；则)(x f 的一个周期为||4b a -；(iii)若满足③④，则)(x f 的一个周期为||3b a -；(iv)若满足②⑤；则)(x f 的一个周期为||4c a +．其中正确结论的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．已知向量)3,2(=a ，)2,1(=b ，且b a ,满足)()(b a b a -⊥+λ，则实数=λ_______．14．对任意的实数R x ∈，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．由直线02=-+y x ，曲线3x y =以及x 轴围成的封闭图形的面积为________． 16．如图放置的边长为2的正方形PABC 沿x 轴滚动．设顶点),(y x P 的轨迹方程是)(x f y =，则)(x f y =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围成的区域的面积为______．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知4π=A ，54cos =B ． (1)求cosC 的值；(2)若BC=10，D 为AB 的中点，求CD 的长． 18．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，BC ⊥CF ，3=AD ，EF=2，BE=3，CF=4．(1)求证：EF ⊥平面DCE ；(2)当AB 的长为何值时，二面角C EF A --的平面角的大小为︒60． 19．(本小题满分12分) 为迎接 “两会”（全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日）的胜利召开，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A 有四个选项，问题B 有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A 可获奖金m 元，正确回答问题B 可获奖金n 元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．20．(本小题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足332412++=n n S n ，数列*)}({log 3N n b n ∈为等差数列，且31=b ，273=b ．(1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； (2)若125-=n n a c ，n n n c b c b c b c b T ++++= 332211，求n T 的值． 21．(本小题满分13分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P(4，0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ；(3)在(2)的条件下，设过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求ON OM ⋅的取值范围．22．(本小题满分13分)已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=)1(ln )1()(23x x a x c bx x x x f ，的图象过点)2,1(-，且在点))1(,1(--f 处的切线与直线-x 015=+y 垂直．(1)求实数c b ,的值；(2)求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数）上的最大值；(3)对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上？山东省 高三高考模拟卷（一）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 【解析】由i z +=1得z z ⋅+)1((3)(1)i i =+-=31342i i i +-+=-． 2．D 【解析】由题意得集合2|{-≤=x x A 或}3≥x ，故}32|{<<-=x x ，又集合}0|{<=x x B ，所以}02|{<<-=x x ．3．B 【解析】该班学生视力在0．9以上的频率为4.02.0)25.075.01(=⨯++，故该班50名学生中能报A 专业的人数为20504.0=⨯．4．D 【解析】由减函数的定义易知xx f 1)(=在其定义域上不是减函数，A 错；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件，B 错；命题“R x ∈∃，220130x x ++>”的否定是“R x ∈∀，220130x x ++≤”，C 错；由q p ∧是真命题可知p 和q 都是真命题，故p ⌝一定是假命题，D 正确，选D ．5．C 【解析】由题易得)42cos(2)(π+=x x f ，将)(x f 的图象向左平移8π个单位后，得=++=]4)8(2cos[2)(ππx x F x x 2sin 2)22cos(2-=+=π的图象，易知)(x F 为奇函数，最小值为2-，故选C ．6．D 【解析】当P 点同时满足(1)P 为AB 的中点；(2)P 点到D点的距离最大时，AB 取得最小值．P 点的可行域如图所示，因为直线x y =和直线+x 4=y 垂直，故P 点的坐标是(1，3)时，OP 最大．易知此时AB=4，故选D ．7．B 【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2，1，其直观图如图所示．则该几何的侧面积⨯=2(πS π12)414=⨯+．8．D 【解析】执行程序框图可知，当1=i 时，15⨯=a ；当2=i 时，25⨯=a ；…；当6=i 时，65⨯=a ，即a 能被q 整除，退出循环，输出i a ,的值分别为30，6．9．C 【解析】由双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的对称性可取其一个焦点)0,(c 和一条渐近线x a b y =，则该点到该渐近线的距离为b ab c a b=+-⨯221|0|，而412=c b ，因此c b 21=，=-=22b c a c 23，所以33=a b ，因此双曲线的渐近线方程为03=±y x ．10．A 【解析】要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D ，在A 、B 、C 这三个选项中可以考虑特值法，取01=x ，22π=x ，则显然选项B 、C 不满足)2(2)()(2121x x f x f x f +>+，故选A ． 11．B 【解析】令1=x 得01234520131a a a a a a a +++++++= ①，令1-=x 得201301234520133a a a a a a a -+-+-+-= ②，由①②联立，可得2012420a a a a ++++ 2013312+=，++31a a 52013a a ++2013132-=，从而02420121352013a a a a a a a a ++++++++20132013312132+=-201320133131+=--． 12．B 【解析】由2013sin y x =的图象知，两相邻对称中心的距离为2T两相邻对称轴的距离为2T ，对称中心与距其最近的对称轴的距离为4T，若满足①②，则)(x f 的两个相邻对称中心分别为)0,(a ，)0,(a -，从而有a a a T2)(2=--=，即a T 4=；若满足①③，则)(x f 的对称轴为b x =，与对称轴相邻的对称中心为)0.(a ，有||4b a T-=，即||4b a T -=；若满足③④，则)(x f 的两个相邻的对称轴为b x -=和b x =，从而有=--=)(2b b Tb 2，即b T 4=；若满足②⑤，则)(x f 的对称中心为)0,(a -，与其相邻的对称轴为c x =，从而有()4Tc a a c =-+=-，即=T 4||a c -．故只有(iii)(iv)错误．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．35-【解析】由)3,2(=a ，)2,1(=b ，得++=+3,2(λλb a )2λ，)1,1(=-b a ，因为)()(b a b a -⊥+λ，所以0)()(=-•+b a b a λ，即01)23(1)2(=⨯++⨯+λλ，解得35-=λ．14．),2[+∞-【解析】当0=x 时，R a ∈；当0=/x 时，原不等式变形可得)||1|(|x x a +-≥，因为2||1||≥+x x (当且仅当1||=x 时，等号成立)，所以2)||1|(|-≤+-x x ，即)||1|(|x x +-的最大值是2-，所以2-≥a ．15．43【解析】由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+302xy y x ，解得直线02=-+y x 和曲线3x y =的交点坐标是(1，1)，结合图形可知，由直线02=-+y x ，曲线3x y =以及x 轴围成的封闭图形的面积为=-+⎰⎰dx x dx x )2(21103104|41x 212|)212(x x -+432141=+=． 16．44π+【解析】由于本题是求两个相邻零点问的图象与x 轴所围成的区域的面积，所以为了简便，可以直接将P 点移到原点，开始运动，如图所示，当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段相连的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为2221112[22]244444ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+（． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．【解析】(1)因为54cos =B ，且),0(π∈B ，=-=B B 2cos 1sin 53，则)cos(cos B A C --=π+=-=B B cos 43cos )43cos(ππB sin 43sin π10253225422-=⨯+⨯-=． (2)由(1)可得=∠-=∠ACB ACB 2cos 1sin 1027)102(12=--=． 由正弦定理得ACB ABA BC ∠=sin sin ，即10272210AB =，解得AB=14． 因为在△BCD 中，721==AB BD ， ⋅⋅-+=BD BC BD BC CD 222237541072107cos 22=⨯⨯⨯-+=B ， 所以37=CD ． 18．【解析】(1)由题易知在△BCE 中，3==AD BC ，BE=3，所以3222=+=BE BC EC ，又在△FCE 中，==162CF 22CE EF +，所以 EF ⊥CE ， 因为平面ABCD ⊥平面EFCB ，DC ⊥BC ，所以DC ⊥平面EFCB ， 又EF ⊂平面EFCB ，所以DC ⊥EE ， 又DC EC=C ，所以EF ⊥平面DCE ．(2) 法一过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于点H ，连接AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，又平面ABCD 平面BEFC=BC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面BEFC ，从而AB ⊥EF ，又因为BH ⊥EF ，BH AB=B ，所以EF ⊥平面ABH ． 又AH ⊂平面ABH ，所以EF ⊥AH ，所以∠AHB 为二面角C EF A --的平面角． 在Rt △CEF 中，因为EF=2，CF=4，所以∠CFE=︒60，因为BE ∥CF ，所以∠BEH=∠CFE=︒60． 又在Rt △BHE 中，BE=3，所以233233sin =⨯=∠⋅=BEH BE BH ， 由二面角C EF A --的平面角的大小为︒60，得∠AHB=︒60，在Rt △ABH 中，解得293233tan =⨯=∠⋅=AHB BH AB ． 所以当29=AB 时，二面角C EF A --的平面角的大小为︒60． (2)法二 由题知，平面ABCD ⊥平面BEFC ，又平面ABCD 平面BEFC=BC ，DC ⊥BC ，则DC ⊥平面BEFC ．又CF ⊥BC ，则BC ，CD ，CF 两两垂直，以点C 为坐标原点，CB ，CF 和CD 所在直线分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -．设)0(>=a a AB ，则)0,0,0(C ，),0,3(a A ，)0,0,3(B ，)0,3,3(E ，)0,4,0(F ， 从而)0,1,3(-=EF ，),3,0(a AE -=． 设平面AEF 的法向量为),,(z y x n =， 由0=⋅n EF ，=⋅n AE 0得，⎩⎨⎧=-=+-0303az y y x ，取1=x ，则3=y ，az 33=， 即平面AEF 的二个法向量为)33,3,1(an =． 不妨设平面EFCB 的法向量为),0,0(a BA =， 由条件，得|||||||,cos |BA n BA n =><21274332=+=a ，解得29=a ．所以当29=AB 时，二面角C EF A --的平面角的大小为︒60． 19．【解析】该参与者随机猜对问题A 的概率411=P ， 随机猜对问题B 的概率512=P ．回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A ，再回答问题B ，参与者获奖金额ξ的可能取值为n m m +,,0，则431)0(1=-==P P ξ， =⨯=-==5441)1()(21P P m P ξ51， 2015141)(21=⨯==+=P P n m P ξ． 数学期望204201)(51430nm n m m E +=⨯++⨯+⨯=ξ．②先回答问题B ，再回答问题A ，参与者获奖金额η的可能取值为n m n +,,0，则541)0(2=-==P P η， =⨯=-==4351)1()(12P P n P ξ203， 2014151)(12=⨯==+=P P n m P η． 数学期望520201)(203540nm n m n E +=⨯++⨯+⨯=η．2034)520()204(nm n m n m E E -=+-+=-ηξ． 于是，当43>n m 时，ηξE E >，即先回答问题A ，再回答问题B ，参与者获奖金额的期望值较大；当43=n m 时，ηξE E =，无论是先回答问题A ，再回答问题B ，还是先回答问题B ，再回答问题A ，参与者获奖金额的期望值相等；当43<n m 时，ηξE E <，即先回答问题B ，再回答问题A ，参与者获奖金额的期望值较大．20．【解析】(1)由题意得1247332411=++=a ， 当2≥n 时，1--=n n n S S a ---++=22)1(4133241n n n 12523)1(32+=--n n ， 又1247121112521=/=+，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+==.2,1252,1,1247n n n a n设等差数列}{log 3n b 的公差为d ．由31=b ，273=b ，可得27log 3log )3(log 2333+=+d ，解得1=d ．所以+=3log log 33n b n n =⨯-1)1(，所以nn b 3=． (2)由(1)得，当1=n 时，2712511=-=a c ，当2≥n 时，=n c 2n ， 所以当1=n 时，221273111=⨯==c b T ； 当2≥n 时，n n n c b c b c b c b T ++++= 332211)33323(2122132n n ⨯++⨯+⨯+= ． 记n Q n n ⨯++⨯+⨯=3332332 ， ①n n Q n n n ⨯+-⨯++⨯+⨯=+1433)1(333233 ，②①－②得n Q n n n ⨯-+++⨯=-+132333232 --⨯+=-2)13(27182n n n ⨯+13， 故234273911n Q n n n ⨯+---=++， 则)2342739(2122111n T n n n ⨯+---⨯+=++)2(8753)12(1≥+⨯-=+n n n ． 因为221875312=+⨯，所以=n T 8753)12(1+⨯-+n n ． 21．【解析】(1)由题意知21==a c e ，所以41222222=-==a b a a c e ，即2234b a =． 又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222b y x =+，与直线06=+-y x 相切，所以=b 3)1(1622=-+，所以42=a ，32=b ，故椭圆C 的方程为13422=+y x ． (2)由题意知直线PB 的斜率存在且不为0，则直线PB 的方程为)4(-=x k y ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134),4(22y x x k y 得0126432)34(2222=-+-+k x k x k ． ① 设点),(11y x B ，),(22y x E ，则),(11y x A -．由题意知直线AE 的斜率存在，则直线AE 的方程为)(212122x x x x y y y y -++=-． 令0=y ，得121222)(y y x x y x x +--=，将)4(11-=x k y ，-=22(x k y 4)代入整理得 8)(42212121-++-=x x x x x x x ． ② 由①式利用根与系数的关系得34322221+=+k k x x ，=21x x 34126422+-k k ， 代入②式整理得1=x ．所以直线AE 与x 轴相交于定点Q(1,0)．(3)当过点Q 的直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为)1(-=x m y ，),(M M y x M ，),(N N y x N ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134),1(22y x x m y 得01248)34(2222=-+-+m x m x m ， 易知0)1(144)124)(34(4)8(22222>+=-+--=∆m m m m ， 由根与系数的关系知34822+=+m m x x N M ，3412422+-=m m x x N M ，则=N M y y 349]1)([)1()1(222+-=++-=-⋅-m m x x x x m x m x m N M N M N M ， 则N M N M y y x x ON OM +=⋅)34(4334534125222+--=++-=m m m ， 因为02≥m ，所以0)34(4334112<+-≤-m ，所以--≤-45445)34(4332-<+m ， 所以)45,4[--∈⋅ON OM ．当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时，其方程为1=x ，代入椭圆方程得23±=y ，不妨设)23,1(M ，)23,1(-N ，此时⋅OM 45-=ON ． 综上所述，ON OM ⋅的取值范围是]45,4[--． 22．【解析】(1)当1<x 时，b x x x f ++-='23)(2， 由题意，得⎩⎨⎧-=-'=-,5)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧-=+--=+-,523,22b c b 解得0==c b ． (2)由(1)，知⎩⎨⎧≥<+-=),1(ln ),1()(23x x a x x x x f①当11<≤-x 时，)23()(--='x x x f ，由0)(>'x f ，得320<<x ；由0)(<'x f ，得01<≤-x 或132<<x ．所以)(x f 在)0,1[-和)1,32(上单调递减，在)32,0(上单调递增．因为2)1(=-f ，274)32(=f ，0)0(=f ，所以)(x f 在)1,1[-上的最大值为2． ②当e x ≤≤1时，x a x f ln )(=，当0≤a 时，0)(≤x f ；当0>a 时，)(x f 在],1[e 上单调递增．所以)(x f 在],1[e 上的最大值为a ．所以当2≥a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为a ；当2<a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为2．(3)假设曲线)(x f y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0=•OQ OP ，不妨设)0))((,(>t t f t P ，则由△POQ 斜边的中点在y 轴上知,(t Q -)23t t +，且1≠t ．所以0))((232=++-t t t f t ．（*） 是否存在两点P ，Q 满足题意等价于方程(*)是否有解．若10<<t ，则23)(t t t f +-=，代入方程(*)，得++-+-3232)((t t t t 0)2=t ， 即0124=+-t t ，而此方程无实数解；当1>t 时，则t a t f ln )(=，代入方程(*)，得0)(ln 232=+•+-t t t a t ，即t t aln )1(1+=， 设)1(ln )1()(≥+=x x x x h ，则011ln )(>++='xx x h 在),1[+∞上恒成立， 所以)(x h 在),1[+∞上单调递增，从而0)1()(=≥h x h ，即)(x h 的值域为),0[+∞． 因为1>t ，所以t t t h ln )1()(+=的值域为),0(+∞，所以当0>a 时，方程t t aln )1(1+=有解，即方程(*)有解． 所以对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上．。