数值最优化6(最优性条件)
数值优化基本概念与方法
数值优化基本概念与方法数值优化是一种重要的数学方法，被广泛应用于工程、科学、金融和其他领域中。
它涉及寻找函数的最大值或最小值，以及满足特定约束条件的最优解。
本文将介绍数值优化的基本概念与常用方法。
一、基本概念数值优化的目标是寻找一个函数的最优解，即使得目标函数取得最大或最小值的自变量取值。
在数学上，我们常常将此问题表述为：\[ \min_{x \in \Omega} f(x) \]或\[ \max_{x \in \Omega} f(x) \]其中，\(f(x)\)是目标函数，\(x\)是自变量，\(\Omega\)是可行域。
可行域是自变量取值的限制条件，可以是一组线性等式或不等式限制，也可以是一个特定区间。
二、方法分类数值优化方法按照问题的特性和解的类型可以分为多种类型，常见的有以下几种：1. 无约束优化方法无约束优化方法适用于目标函数无约束条件的情况。
其中，最简单的方法是穷举法，它通过枚举解空间中的所有可能解来寻找最优解。
然而，穷举法在问题规模较大时，计算量很大且效率低下。
更常用的无约束优化方法是基于梯度的迭代方法，如梯度下降法和共轭梯度法。
这些方法利用目标函数的梯度信息，以一定的迭代策略逐步改进解的质量，直到达到满足精度要求的最优解。
2. 约束优化方法约束优化方法适用于目标函数存在约束条件的情况。
常用的方法包括拉格朗日乘子法、KKT条件等。
拉格朗日乘子法是一种将约束条件转化为目标函数的方法。
它通过构建拉格朗日函数，引入拉格朗日乘子，将带约束优化问题转化为无约束优化问题。
通过求解无约束问题的最优解，进而确定约束问题的最优解。
KKT条件是约束优化问题的必要条件。
它包括目标函数梯度与约束条件梯度的线性组合等条件，可以用于检验是否存在最优解以及找出最优解。
3. 全局优化方法全局优化方法适用于目标函数存在多个局部最优解的情况。
它们通过不同的策略来遍历解空间，以确保找到全局最优解。
著名的全局优化方法包括遗传算法、模拟退火算法和粒子群算法等。
数值最优化实验一
实验一一、实验目的：•掌握Armijo线性搜索法的思想方法及程序编写。
二、实验要求：•给出Armijo类线性搜索法的Matlab程序，输出变量应包括算法是否确定满足条件的步长，步长，所需的函数值计算次数，梯度值计算次数，内迭代次数等三、实验内容编写Armijo非精确线性搜索的Matlab程序，并分别求出下面问题的满足Armijo搜索的步长。
方向采用最速下降方向1、Armijio非精确线性搜索的Matlab程序（牛顿修正法）badsc.m文件，如下代码function[f,df,d]=badsc(n,m,x)fvec=zeros(m,1);J=zeros(m,n);fvec=[x(1)-10^6;x(2)-2*10^(-6);x(1)*x(2)-2];J=[1 0;0 1;x(2) x(1)];f=fvec'*fvec;df=2*J'*fvec;hessian=[2+2*x(2)^2,4*x(1)*x(2)-4;4*x(1)*x(2)-4,2+2*x( 1)^2];d=-inv(hessian)*df;2、在MATLAB命令窗口中输入以下代码：x=[1;1];n=2;m=3;k=0;%记录迭代次数w=0.9;p=0.5;a=1;%初始步长[f,df,d] = badsc(n,m,x);t=d;y=f;temp=w*df'*t;xtemp=x+a*t;[f1,df1,d] = badsc(n,m,xtemp);if f1<=y+a*tempa=a;k=k+1;else a=w;f1<=y+a*temp; k=k+1;endwhile f1>y+a*temp;a=a*p;xtemp=x+a*t;[f1,df1,d] = badsc(n,m,xtemp); k=k+1;endh=astep=k程序2：function [flag,h,grad,stepsize]=armijo(n,m,x,b)% flag 标记作用，h表示最终的步长，grad表示梯度，stepsize表示迭代次数% xn=xc+a*d xc已知，a已知，d已知,b已知% fn<=fx+a*sigma*gc'*d------armijo型线性收缩公式（2.6）% d是下降方向，b是一个给定的常数且b>0% flag=0: satisfactory xn found;% flog=1: routine failed to locate satisfactory xn sufficiently distinctflag=1;stepsize=0;sigma=10^(-4);%0<sigma<1a=1;[fvec,J,grad,hessian,fc,d]=badscb(n,m,x);slope=grad'*d;xc=x';while flag==1xn=xc+a*d;[fvec,J,grad,hessian,fn,d]=badscb(n,m,x);if fn<=fc+a*sigma*slopeflag=0;elsea=b*a;xc=xn;fc=fn;stepsize=stepsize+1;%表示迭代一次slope=grad'*d;endendh=a;%满足结果的步长四、实验结果x =11h =0.1125step = 4五、讨论：在上面的Armijo型线性搜索中，试探步按比例b缩小让其逐渐逼近所需的合适步长。
数值最优化方法范文
数值最优化方法范文数值最优化是一种重要的数学方法，用于寻找函数最小值或最大值的数值解。
在实际问题中，很多情况下无法通过解析的方式求得最优解，此时数值最优化方法的应用就显得尤为重要。
本文将从优化问题的定义、数值最优化方法的分类及原理、优化算法的选择、数值最优化应用实例等方面进行详细介绍。
首先，我们来定义什么是优化问题。
优化问题可以理解为在一定约束条件下，求解函数的最小值或最大值。
数值最优化的目标是通过计算机算法求得这个最优解。
常见的优化问题包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
接下来，我们来介绍一些常见的数值最优化方法。
数值最优化方法可以分为两类：无约束优化和有约束优化。
无约束优化是指没有约束条件，可以直接对函数进行优化；有约束优化是指在优化过程中需要满足一定的约束条件。
在无约束优化中，最简单的方法是算法，如穷举法和枚举法。
这些方法的缺点是计算量大，效率低。
更高效的无约束优化方法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
梯度下降法是一种基于函数梯度的迭代算法，可以找到函数的局部最小值。
牛顿法和拟牛顿法则基于函数的二阶导数信息进行迭代计算，可以更快地逼近最优解。
这些方法的选择通常需要考虑函数是否可微、计算速度、收敛性等因素。
在有约束优化中，常用的方法包括线性规划法和非线性规划法。
线性规划法是一种求解线性约束下的最优解的方法，基于线性规划问题的性质可以通过简单的迭代计算求解。
非线性规划法则是一种求解非线性约束下的最优解的方法，如KKT条件、罚函数法等。
这些方法的选择通常需要考虑约束条件的性质、计算复杂度等因素。
在选择数值最优化算法时，应根据实际问题的特点进行选择。
一般而言，梯度法是一种通用的最优化算法，适用于大部分优化问题。
对于非光滑问题，拟牛顿法是一种较好的选择。
而牛顿法则适用于具有二阶导数信息的优化问题。
此外，随机优化方法如遗传算法、粒子群算法等也是值得考虑的选择。
最后，我们来看一下数值最优化方法在实际问题中的应用实例。
简述最优化原则
最优化原则概述最优化原则是指在给定约束条件下，利用数学方法寻找能够达到最优状态的方法和策略。
无论是在工程设计、经济决策还是科学研究中，最优化原则都具有重要的应用价值。
最优化问题可以是单目标问题，也可以是多目标问题。
单目标最优化问题旨在寻找能够使某个性能指标取得最优值的解决方案；而多目标最优化问题则考虑多个相互矛盾的目标，旨在寻找一个能够在这些目标之间取得最佳平衡的解决方案。
最优化问题的一般形式最优化问题通常可以表示为以下形式：minimize f(x)subject to:g(x) <= 0h(x) = 0x in D其中，f(x)是需要最小化的目标函数；g(x)是不等式约束条件；h(x)是等式约束条件；x是问题的变量；D是变量的定义域。
最优化问题的目标是找到一个变量的取值x，使得目标函数取得最小值，并且满足约束条件。
最优化问题的求解方法为了求解最优化问题，通常有两种基本的方法：数值方法和解析方法。
数值方法数值方法是通过迭代计算的方式求解最优化问题，通常包括以下几种常见算法：1. 梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的方法，通过不断调整变量的取值，使得目标函数逐渐接近最小值。
梯度下降法的核心思想是沿着目标函数的梯度方向进行搜索，逐步接近最优解。
2. 牛顿法牛顿法是一种迭代法，通过利用目标函数的二阶导数信息来逼近最优解。
牛顿法的基本思想是根据函数在某一点的局部信息来构造一个二次函数模型，然后求解该二次函数模型的最优解，从而得到目标函数的最优解。
3. 共轭梯度法共轭梯度法是一种用于求解对称正定线性方程组的迭代法，可以用于求解最优化问题。
与梯度下降法不同的是，共轭梯度法利用了函数二次项的信息，使得每一次迭代的方向都是互相正交的，从而提高了收敛速度。
解析方法解析方法是通过求解目标函数的导数为零的方程来寻找最优解，常见的方法包括：1. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种求解带有等式约束和不等式约束的最优化问题的方法。
数值最优化方法
数值最优化方法数值最优化是指让数学模型的解达到最理想值或最优值的算法。
它主要用于在给定某种限制条件下求出最佳解，在现代数学和工程应用中被广泛使用，从而使解决问题者能够获得理想的解。
数值最优化方法可分为三类:随机搜索方法、梯度搜索方法及类模式搜索方法。
一、随机搜索方法随机搜索方法是一类基于随机过程的搜索算法，它的基本思路是用随机的方式搜索一定数量的可能的解，从而找出满足最佳化要求的最优解。
随机搜索方法不需要借助任何假定，它们可以用来解决各种类型的最优化问题，可以在没有充分知识的情况下构造模型。
随机搜索方法主要有模拟退火算法、JS散乱算法、粒子群算法（PSO）、贝叶斯优化算法、遗传算法、定时算法等。
模拟退火算法是一类基于热力学的随机搜索方法，它的基本思想是模拟热力学中的凝固过程，模拟加热和冷却的过程，最终可以将系统放入最终的冷却态，即最优化解。
该算法的基础原理非常简单，可以应用于各种复杂的问题，但是收敛较慢，耗时较长，算法的收敛强度难以控制。
JS散乱算法是一类以满足斯坦福大学计算机科学系终身教授John H. Conway及其相近的两个博士生Richard K. Guy和Brennen McHenry于1965年提出的算法。
该算法是一类基于局部搜索策略的随机搜索算法，算法的核心思想是组合局部搜索算法和比较算法，即在最优解附近搜索一个满足最优解的解，让其达到最优解，它的优点是时间复杂度低且可以收敛到局部最小点，但是劣势是实际收敛非常缓慢，而且难以控制局部最优解。
粒子群算法是一类基于社会行为学的随机搜索算法，该算法由Kennedy和Eberhart于1995年提出，其基本思想是模拟鸟群觅食行为，即让粒子的搜索行为类似于一群鸟群搜索食物的行为，从而找到最优解。
粒子群算法的优点是可以找到最优解，计算量较少，并且可以用来解决非凸问题，但缺点是可能在某局部范围内收敛，而且难以控制全局搜索空间大小。
贝叶斯优化算法是一类基于贝叶斯学派优化研究的算法，该算法旨在利用 Bayes式通过将优化目标模型转化为条件概率分布，并采用适当的抽样策略搜索最优解。
数学中的最优化问题
数学中的最优化问题数学中的最优化问题是一类重要的数学问题，其目标是寻找某个函数的最优解，即使得函数取得最大值或最小值的输入变量的取值。
最优化问题在数学、经济学、物理学等领域有广泛的应用，对于解决实际问题具有重要意义。
一、最优化问题的基本概念在介绍最优化问题之前，需要先了解几个基本的概念。
1. 目标函数：最优化问题中，我们定义一个目标函数，该函数是一个关于变量的函数，表示我们要优化的目标。
2. 约束条件：最优化问题中，往往存在一些限制条件，这些条件限制了变量的取值范围。
这些限制条件可以是等式约束或者不等式约束。
3. 最优解：最优解是指满足约束条件下使得目标函数取得最优值的变量取值。
最优解可能是唯一的，也可能存在多个。
二、最优化问题的求解方法在数学中，有多种方法可以求解最优化问题。
以下是几种常见的方法：1. 解析法：对于一些特殊的最优化问题，我们可以通过解析的方法求解。
这种方法通常需要对目标函数进行求导，并解方程得到极值点。
2. 迭代法：对于一些复杂的最优化问题，解析法并不适用，这时可以采用迭代法求解。
迭代法通过不断地逼近最优解，逐步优化目标函数的值。
3. 线性规划：线性规划是一种常见的最优化问题，它的约束条件和目标函数都是线性的。
线性规划可以利用线性代数的方法进行求解，有着广泛的应用。
4. 非线性规划：非线性规划是一类更一般的最优化问题，约束条件和目标函数都可以是非线性的。
非线性规划的求解比线性规划更为困难，需要采用一些数值方法进行逼近求解。
三、最优化问题的应用最优化问题在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 经济学中的最优化问题：经济学中的生产优化、消费优化等问题都可以抽象为最优化问题。
通过求解最优化问题，可以找到最有效的生产组合或最佳的消费策略。
2. 物理学中的最优化问题：在物理学中，最优化问题常常涉及到动力学、优化控制等方面。
例如，在机械设计中，可以通过最优化问题确定各部件的尺寸和形状，使得机械系统具有最佳的性能。
最优化方法第六讲 无约束(多维)最优化
step4. 若 || f ( xk1) || ,停止，x* xk1 ;
否则，令 k : k 1, 转step 2 。
14
➢算法框图
给定初始点x0和精度 || f ( x0 ) ||
停止，输出x1
否
是
| x1 x0 |
是 停止，输出x0
否 否
2 f (x0) 0
计算x1
x0
f ( x0 ) 2 f (x0)
1
13 62
x2
x1
1d 1
(
36 , 31
8 31
)T
7
三、最速下降法的特点
1.性质. 设 f ( x) 有一阶连续偏导数，若 步长 满足 k
f ( xk d k ) min f ( xk d k )
k
则有 f ( xk d k )T d k 0。 k
证明：令 ( ) f ( xk d k )，所以
5
一、梯度法（最速下降法）：
1. 搜索方向：d k f ( xk ) ,也称为最速下降方向；
2. 搜 索 步 长: k 取 最 优 步 长, 即 满 足
f (xk
kd k )
min
f
(xk
d k ) 。
二、梯度法算法步骤：
1. 给定初始点 x1 Rn ,允许误差 0, 令k 1。
2. 计算搜索方向 d k f ( xk ) ;
Step3. 令 xk 1 xk kd k , 其中tk : f ( xk kd k ) min f ( xk d k )。
24
Step 4. 判断 xk 1 是否满足终止准则： yes: 计算 stop, 则x* : xk1
No : 转 step 5 。
最优化方法解可新
最优化方法解可新最优化问题是数学建模中一个重要的问题类别，它的主要目标是在给定一些约束条件下找到一个使得目标函数取得最大或最小值的最优解。
最优化方法是解决这类问题的一种有效手段，通过对问题进行数学建模和算法求解，可以得到最优解或近似最优解。
最优化问题可以分为无约束优化和有约束优化两类。
在无约束优化问题中，目标函数的优化不受约束条件的限制；而在有约束优化问题中，目标函数的优化需要满足一定的约束条件。
下面将分别介绍无约束优化和有约束优化的最优化方法。
一、无约束优化的方法：1. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是最为常用的无约束优化方法之一。
它通过迭代的方式不断地沿着目标函数梯度的反方向更新参数，直至达到收敛条件。
梯度下降法的核心思想是利用函数的导数信息进行搜索，从而找到函数的最小值点。
2. 牛顿法（Newton Method）：牛顿法是一种基于函数局部二阶泰勒展开的优化方法。
它通过迭代的方式利用目标函数的一阶和二阶导数信息来求解最优解。
牛顿法在每次迭代时通过求解线性方程组来计算更新的步长，因此通常具有更快的收敛速度。
3. 拟牛顿法（Quasi-Newton Method）：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过估计目标函数的二阶导数信息来近似求解最优解。
拟牛顿法不需要计算目标函数的二阶导数，而是通过迭代更新一个代表二阶导数信息的矩阵。
拟牛顿法比牛顿法更加稳定和易于实现，因此被广泛应用于实际问题中。
二、有约束优化的方法：1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是求解线性约束下的最优解的一种方法。
它的目标函数和约束条件均为线性函数，可以利用线性规划的特殊结构进行高效求解。
线性规划在工程、经济和管理等领域有广泛应用，如生产调度、资源分配等问题。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming）：非线性规划是求解非线性约束下的最优解的方法。
它的目标函数和/或约束条件为非线性函数，常常需要使用数值优化方法进行求解。
数值最优化1
零向量 pv 方向上的单位向量。如果极限
lim f xv0 tev f xv0
t 0
存在，则称其为函数
记作 f pvxv0 。
t
f xv 在点 xv0处沿 pv 方向的方向导数，
思考：
f xv
pv
与
f xv f xv f xv
,
,L ,
x1 x2
xn
的异同。
根据极限理论，易见
营养成分的数量为aij，i=1,…，m, j=1,…,n.第j种食品的
单位价格为cj, j=1,…,n.再设每人每天对第i种营养成分 的需求量为bi,i=1,…,m.试确定在保证营养需求条件下的 经济食谱。
例 1.1.2 （ 数 据 拟 合 问 题 ） 设 有 观 测 数 据 (xk, yk), k=1,…,5,其值由表1.1给出：
若 fpvxv0 0，则 pv方向是 f xv 在点
若 f pvxv0 0 ，则 pv方向是 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ xv在点
xv0 处的上升方向；
xv0 处的下降方向。
因此，方向导数的正负决定了函数值的升降。
定理1.2 设
f : Rn R1 在点
f pvxv0 f xv0 T ev
xv0
处可微，则
f的 xv概函在念数一。条f 直 xv线 在上点的变xv化0 处，沿空间中pv 由方一向点的变xv化0 反和映一的方是向函pv数
所确定的直线方程为
xv xv0 tpv, t R1
上升方向和下降方向 设 f : Rn R1 是连续函数。
若对fpv存于方xv在定向在义是t点1.0f90xv,x，v0设对处在于的都点f下有: 降Rtxv0fn方0x处v向0,的R。t1p上v都在升有点方f f向xvxv0x；v00 若处，tpv存可则 在微称f，xv0pvev，方是则向0非称是,
数值最优化(李董辉)第八章最优性条件(精)
2、二阶条件
(8.9)
唯楚有材 於斯为盛
最优化
主讲：刘陶文博士
课件制作：刘陶文
第八章 约束问题的最优性条件
第一节 可行方向 第二节 约束问题最优性条件
第一节 可行方向
记下降方向集合为GD，容易看出x* 是最优解的条件是
GD FD 然而 FD的计算是困难的。我们需要FD的代数表达式，才能 得到最优解的条件的代数表达式
注意：序列可行方向 不一定是可行方向，并且也没有代数表达式
线性可行方向具有代数表达式，是非常方便的，下面的定理和 引理说明了线性可行方向与可行方向的关系，即在一定条件下 两者是相等的
上面的引理是 Farkas 定理的一个直接结果， 它是非常重要的
第二节 约束问题的最优性条件
1、 一阶必要条件
研究生数学优化理论知识点归纳总结
研究生数学优化理论知识点归纳总结在研究生阶段，数学优化理论是我们学习和研究的重要内容之一。
通过对数学优化理论的深入学习，我们可以了解和应用在各个领域的最优化问题求解方法。
本文将对研究生数学优化理论的知识点进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一学科。
一、最优化问题的基本概念和性质最优化问题是通过寻找使目标函数极大或极小的变量取值，来求解问题的一类数学问题。
在研究生数学优化理论中，我们首先需要了解最优化问题的基本概念和性质。
1.1 最优化问题的分类最优化问题可以分为无约束最优化问题和约束最优化问题两类。
无约束最优化问题是指目标函数在整个变量空间内寻找极大或极小值的问题，而约束最优化问题则是在一定的条件下求解变量的最优取值。
1.2 最优性条件及其应用最优性条件是指在最优解处，目标函数满足的条件。
最常见的最优性条件有一阶必要条件和二阶充分条件。
一阶必要条件可以通过梯度和雅可比矩阵等方法得到，而二阶充分条件则需要通过海森矩阵进行判断。
二、线性规划线性规划是数学优化理论中的一个重要分支，其应用广泛，并且具有很多实际解决的问题。
下面我们将针对线性规划提供一些基本概念和解决方法。
2.1 线性规划的基本概念线性规划是在一定的线性约束条件下，寻找一组变量的最优解使得目标函数取得最值的问题。
线性规划问题可以通过建立数学模型和线性规划的标准形式来求解。
2.2 单纯形法单纯形法是解决线性规划问题的一种常用方法。
它通过不断调整基变量和非基变量的取值，使目标函数不断逼近最优解。
单纯形法的基本步骤包括初始化、选择入基变量和出基变量、计算和更新等。
三、非线性规划除了线性规划之外，非线性规划也是数学优化理论的重要内容。
非线性规划更加复杂，但是在实际问题中应用广泛。
接下来，我们将对非线性规划的知识点进行总结。
3.1 非线性规划的定义和性质非线性规划是指目标函数或约束条件中具有非线性项的最优化问题。
与线性规划不同，非线性规划的求解需要运用各种数值方法和优化算法来逼近最优解。
数值最优化方法
回想最优解的定义，可行的概念对 于不等式约束是怎么样的概念？
min s .t . f (x) c(x) 0
可行域为
Q { x | c ( x ) 0 }。
0
可行方向： 设 x Q ， 为一个向量。如果存在 d 使得对任意的 一个可行方向。
0
实数 0 ，
0
[ 0 , ] 有 x d Q , 则称 d 为 x 处的
有缺点吗？
14
例题
15
例题
16
收敛性
17
18
优缺点
优点：
19
作业
• P129 习题：3.7 （1），（2）
20
最优化方法补充内容7
共轭梯度法
共轭方向
怎么解释？
实际意义是什么？
共轭方向法的框架
共轭梯度法的构造
翻译成文字语言
算法的下降性质
如果初始方向不是负梯度方向
x 2 1 3 x2 2 0 2 x2 0 1 2 3
这与 2 0 矛盾。 (3) 若 x1 0 , x 2 0 :
2 0
x1 1 3 x1 3 0 3 x1 0 1 3 3 x1 1 2 3 这与 3 0 矛盾。 x2 1 3 3 (4) 若 x1 0 , x 2 0 : 1 (4 x1 x 2 ) 0 2 x1 0 2 3 0 3 x2 0 x1 1 3 x1 x 2 4 x1 x 2 x 2 1 3 1 , 2 , 3 , x1 , x 2 0
*
故 x ( 1 ,1 ,1 ) 为 KT 点。
数学中的最优化问题求解方法
数学中的最优化问题求解方法随着科技的迅速发展，人们对于各种事物的需求也越来越高。
而大多数时候，我们是希望达到“最优化”的状态，即在一定条件下，尽可能地取得最大收益或最小成本。
因此，在现实生活中，最优化问题思维逐渐成为人们解决问题的重要方法之一。
而在数学领域，最优化问题同样具有重要作用。
本文将从最优化问题基本概念、最优化建模和求解方法三方面，介绍最优化问题的相关知识。
一、最优化问题基本概念最优化问题，即指在满足一定约束条件下，求出某些目标（如最大值或最小值）最优的解。
最优化问题的基本形式为：$\max_{x\in S} f(x)\qquad$或$\qquad\min_{x\in S} f(x)$其中，$f(x)$为目标函数，$x$为变量，$S$为变量的约束条件。
在最优化问题中，“最大值”和“最小值”藏在目标函数里。
目标函数中哪个变量每增加1，函数数值改变的最大值或最小值就被称为局部最优解或全局最优解。
因此，最优化问题的关键在于如何确定最优解，这便需要我们对其建模和求解。
二、最优化建模最优化问题的关键在于合理建立问题模型。
根据问题特性，我们可以将其分为线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划、多目标规划等不同类型。
2.1 线性规划线性规划问题是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。
线性规划模型最为简单，但覆盖了许多实际应用的情况。
其基本形式为：$\max_{x\in\Re^n}c^Tx\qquad s.t.\qquad Ax\leq b,x\geq0$其中，向量$c$, $b$和矩阵$A$均为已知的常数，$x$为待求的向量。
在式子中，第一行为目标函数，第二行代表约束条件。
由于目标函数和约束条件均为线性函数，因此这是典型的线性规划问题。
2.2 非线性规划非线性规划问题是指其中一个或多个约束条件或目标函数为非线性函数的最优化问题。
非线性规划比线性规划更为广泛，因此变量取值空间、目标函数和约束条件也更灵活多样。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是指从数量上的角度，以尽量减少成本或增加收益为目标，按照科学的方法和原则，系统地求解给定条件下最好的决策。
其中最优化理论和最优化方法是实现最优化的根本。
1、最优化理论最优化理论是一门广泛的理论，包括最优化的基本原理、最优化目标的定义、最优化参数的表示、最优化的数值模型以及求解最优化模型的方法。
（1）最优化的基本原理：最优化就是找出满足限制条件下最好的解决问题的方法，它是实现经济效益最大化的手段。
因此，最优化的基本原理是：在给定的约束条件下，优化给定的目标函数，寻求其最优解。
（2）最优化目标的定义：最优化目标指的是用以表示被优化的性能的函数，有时只是一个函数，有时可以是多个组合的函数。
例如，机器学习中的损失函数；优化调度中的时间耗费或成本函数等。
（3）最优化参数的表示：最优化参数用于描述优化过程中的自由参数。
它们是寻求最优解的主角，可以有数量上的约束，也可以没有约束。
（4）最优化的数值模型：最优化的数值模型是特定场合下，根据实际问题和最优化原理，把目标函数和约束条件表示为数学模型的过程。
（5）求解最优化模型的方法：求解最优化模型的方法指的是对特定最优化模型求解最优解的方法，主要有迭代法、梯度下降法、拟牛顿法、单纯形法及类比应用等。
2、最优化方法最优化方法是指用数学方法、统计方法、计算机技术等实际工具，在满足给定条件的情况下，尽可能求得最优解的技术，它是实现最优化的有效手段。
常用的最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划、博弈论、贪心法等。
（1）线性规划：线性规划是指在一系列约束条件下，优化一系列线性函数的方法。
它的目标是找到一个可行的决策，使目标函数达到最优值，要求目标函数和约束条件都是线性的。
（2）非线性规划：非线性规划是指在一系列非线性约束条件下，优化非线性函数的方法。
它的特点是目标函数和约束条件可以是非线性的，可以通过分析非线性函数的定义域和最优解，找到最优化解。
（3）动态规划：动态规划是指在一系列约束条件下，优化某一函数的最优解的过程，其特点是无论多少步，最优解都是一致的，具有很强的计算和递推性。
数值最优化方法-罚函数方法
k k
根据引理，我们还知道 f ( xk ) 单调增加，并且
f ( x k ) P ( x k , k ) f ( x * )
（4.1.3）
惩罚项所具有的性质应该怎么样呢？ 怎么取呢？
想一想 有没有其他形式的惩罚项。
6
一般约束优化问题
min f ( x ) s.t. ci ( x) 0
ci ( x) 0 i I l 1,2,, m
i E 1,2, , l
怎么构造罚函数？
~ P x, f ( x) P x l m ~ P x ci ( x ) min0, ci ( x )
得到 以 xk 为 近 似 最 优 解 ， 停 止 。 否 则 ， 令
~ minP x, k f ( x) k P x
k 1 c k , k k 1 ，转 Step 2。
那么这类方法是否能收敛呢？？
13
~ minP x, k f ( x) k P x
2 2 min f x1 , x2 x1 x2 s.t. x1 x 2 2 0
其中的 表示很大的正数。
2 2 P x1 , x 2 , x1 x 2 x1 x 2 2
2
2 x1 x 2 2 1
当 时， x1 x 2 1 即无约束优化问题最优解的极限为原问题的解。
14
证明 (1)因为 xk 是 P ( x , k ) 的极小点，且 k 1 k ，故
数值最优化方法高立pdf内点法
数值最优化方法高立pdf内点法
点法（Point method）是一种常用于求解数值最优化问题的方法。
在高立pdf内，这种方法也称为「单点方法」。
下面是点
法的基本思想和步骤：
1. 初始化：选择一个初始点，作为最优化问题的起点。
2. 寻找搜索方向：根据问题的约束条件和目标函数，选择一个搜索方向。
常用的搜索方向选择方法包括梯度下降法、牛顿法等。
3. 迭代搜索：沿着搜索方向移动一小步，更新当前点的位置。
如果新的位置满足一定的停止准则（如目标函数值的变化小于某个阈值），则停止迭代；否则返回步骤2。
点法的优点是简单易懂，易于实现。
但由于每次只考虑一个点，容易陷入局部最优解。
为了克服这个问题，可以通过多次初始化和求解的方式，多次运行点法，以期望找到全局最优解。
值得注意的是，高立pdf内的点法并非特指某种具体的点法算法，而是对点法的泛称。
因此，在具体应用中，可能会根据问题的特点和要求选择适合的点法算法进行求解。
从不同角度简述最优化问题的分类
最优化问题是数学、工程、经济等领域中常见的一个重要问题。
在实际问题中，我们常常需要寻找最优解来使得某个目标函数达到最小值或最大值。
最优化问题可分为线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划等不同类型。
接下来从不同角度简述最优化问题的分类。
一、按照目标函数的性质分类1. 线性规划线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
典型的线性规划问题包括资源分配、生产计划等。
2. 非线性规划非线性规划是指目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。
非线性规划在实际中应用广泛，包括工程优化、信号处理、经济学等领域。
3. 整数规划整数规划是指最优化问题中的决策变量是整数的问题。
整数规划常用于制造业的生产调度、运输与物流优化等。
二、按照优化变量的性质分类1. 连续优化问题连续优化问题是指最优化问题中的决策变量可以取任意实数值的问题。
常见的连续优化问题包括线性规划、非线性规划等。
2. 离散优化问题离散优化问题是指最优化问题中的决策变量只能取离散的数值。
典型的离散优化问题包括整数规划、组合优化、图论优化等。
三、按照约束条件的性质分类1. 约束优化问题约束优化问题是指最优化问题中存在一定的约束条件限制的问题。
约束条件可以是线性约束、非线性约束、等式约束、不等式约束等。
2. 无约束优化问题无约束优化问题是指最优化问题中不存在任何约束条件的问题。
无约束优化问题通常比较简单，但在实际中也有着重要的应用，包括函数拟合、参数估计等。
四、按照目标函数的性质分类1. 单目标优化问题单目标优化问题是指最优化问题中只有一个目标函数的问题。
在实际问题中，单目标优化问题是最常见的。
2. 多目标优化问题多目标优化问题是指最优化问题中存在多个目标函数，且这些目标函数可能彼此矛盾的问题。
多目标优化问题的解称为帕累托最优解。
最优化问题的分类可以从不同的角度进行划分，包括目标函数的性质、优化变量的性质、约束条件的性质、目标函数的性质等。
数值最优化李董辉第三章最速下降法和Newton法
Newton法 的优点：收敛快 缺点：对初始点要求很高，而且计算量大
从Newton法出发进行修改 ，利用其优点，克服 其缺点，产生很多效果非常好的其他新算法
第三章 无约束问题算法(I)—— 最速下降法、 Newton法
第一节 最速下降法 第二节 Newton法及其修正形式
第一节 最速下降法
1、 思想 ：每次沿最速下降方向进行搜索
2、 算法步骤
3、 最速下降法的收敛性
全局收敛性
收敛速度估计
从上图可以看出，最速下降法 具有锯齿现象
由上面的分析可知，最速下降法的收敛速度 比较慢，通常将其用在某些算法的初始阶段 求较好的初始点
第二节 Newton法及其修正形式
1、思想：用近似二次函数的极小点作为原问题的新的近似解
2、 Newton法的算法步骤
(3.3)
3、Newton的 收敛性
4、 局部二次收敛性
5、 n法的修正形式
上面的Newton法的两种修正形式，在较弱的条件下 具有超线性收敛性或二次收敛性
最优控制问题的数值方法
最优控制问题的数值方法最优控制问题涉及如何通过调整系统的状态或控制变量，使得系统的性能指标达到最优。
在实际应用中，最优控制问题具有广泛的应用，例如经济管理、自动控制系统和机器人等领域。
为了解决最优控制问题，数值方法成为了一种重要的工具。
本文将介绍最优控制问题的基本概念，并重点探讨数值方法在解决最优控制问题中的应用。
一、最优控制问题概述最优控制问题可以用数学模型表示为如下形式：$$\begin{align*}\text{最小化} & \quad J(x(t), u(t)) \\\text{约束条件} & \quad \dot{x}(t) = f(x(t), u(t)), \quad t\in [t_0, t_f] \\ & \quad x(t_0) = x_0, \quad x(t_f) = x_f \\\end{align*}$$其中，$J(x(t), u(t))$表示性能指标，$x(t)$和$u(t)$分别表示系统的状态和控制变量，$f(x(t), u(t))$表示系统的动力学方程。
最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得性能指标$J$达到最小，同时满足系统的动力学方程和初始、终端条件。
二、解决最优控制问题的标准数值方法包括动态规划和最优化方法。
1. 动态规划方法动态规划方法将最优控制问题划分为多个子问题，并迭代求解每个子问题的最优解。
具体而言，动态规划方法通过构建一个值函数$V(x(t), t)$来表示从状态$x(t)$开始，在时间$t$到$t_f$的时间段内的性能指标$J$。
值函数$V(x(t), t)$满足动态规划方程：$$\begin{align*}V(x(t), t) = \min_{u(t)} \left[ J(x(t), u(t)) + \int_{t}^{t+\Delta t}V(x(t+\Delta t), \tau) d\tau \right]\end{align*}$$其中，$\Delta t$表示时间步长。
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x1 1 3 x1 x2 x2 1 3
若 x1 x 2 4 1 0 x1 x2 3
x1 x2 6 4 矛盾。 x1 x2 4 x1 x2 2 1 1
[ 2 , 2 ]T 为K T 点。
g3 ( x ) x2 , g3 ( x ) [ 0 , 1 ]T 。
由 K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
由 K T条件及约束条件得
定理9.2.4
设f是凸函数, g i , i I都是凹函数， h j , j E都是线性函数 . 又设在x* D处K K T条件成立.则x * 是问题(9.1)的全局 最优解.
注：对凸规划问题，K-K-T条件也是充分条件！
练习： 求约束极值问题
min s .t .
2 2 f ( x ) x1 x2 6 x1 6 x2 8
约束问题的二阶最优性条件 定理9.2.2（二阶必要条件）
设f , g i ( x), h j ( x)二次连续可微， x * 是问题(9.1)的一个 局部最优解且在该点处 LICQ成立.设* R m1 , * R m m1 满足(9.7).则
wT 2 x L( z*)w 0, (w S ( z*)) 其中z* ( x*,*, *).
i i jE j j
i
0, i I ( x))
定义Lagrange函数：
L( x, , ) f ( x) T g I ( x) T hE ( x)
f ( x) i gi ( x) j h j ( x)
iI iE
约束问题的一阶最优性条件——KKT条件
d T h j ( x*) 0, (j E ) T * d g ( x *) 0 , ( i I ( x *) 且 i i 0) d T g ( x*) 0, (i I ( x*)且* 0) i i
S ( z*) LFD( x*, D)
反过来如何？
约束问题最优解的必要条件(几何最优性条件)
定理9.1.2
设x* D且满足
f ( x*)T d 0, (0 d SFD( x*, D))
则x* D是问题(9.1)的一个严格局部最优解 .
证明： 反设x* D不是问题(9.1)的一个严格局部最优解 .则
存在x ( k ) x *，令d ( k ) ( x ( k ) x*) / x ( k ) x * , 设d ( k ) d . 令 k x ( k ) x * 0.则d SFD( x*, D).但
x处的有效约束 有效约束： 若i A( x)，称相应的约束为
LICQ： 若{h j ( x), g i ( x), i I ( x), j E}线性无关，则称
在x处线性无关约束品性成 立
2 例 设 约束条件为g1 ( x) x2 2 x12 0 , g 2 ( x) 1 x12 x2 0,
FD( x, D) SFD( x, D) LFD( x, D)
定理9.1.3 若gi , h j , i I , j E都是线性函数，则
FD( x, D) SFD( x, D) LFD( x, D)
引理9.1.1
若在x D处LICQ成立，则
SFD( x, D) LFD( x, D)
h( x) x12 ( x2 2) 2 4 0
Байду номын сангаас
如何判断K-K-T点是否是局部最优解？
约束问题的二阶最优性条件
设x* D是问题(9.1)的局部最优解.并设在x * 处
SFD( x, D) LFD( x, D) （约束品性） 记z* ( x*,*, *), S ( z*)是满足如下条件的 d Rn的集合：
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
线性化可行方向：
LFD( x, D) {d R n | d T gi ( x) 0, d T h j ( x) 0, i I ( x), j E}
x1 1 2 3 x 3 1 3 2 1 (4 x1 x 2 ) 0 2 x1 0 3 x2 0 x1 x 2 4 , , , x , x 0 1 2 3 1 2
以下分情况讨论：
约束问题的一阶最优性条件——KKT条件
.并设在x * 处 定理9.2.1 设x* D是问题(9.1)的局部最优解
SFD( x, D) LFD( x, D)
（约束品性）
则存在Lagrange 乘子向量 * Rm1 , * Rmm1 , 使得
x L( x*, *, *) 0, (9.7) h j ( x*) 0, j E , * 0, g ( x*) 0, * g ( x*) 0, (i I ). i i i i
可行点：
xD
n 可行方向： x D, d R , x d D, ( (0, ])
FD (x, D)
序列可行方向： x D, d R n , x k d ( k ) D, (k )
且d ( k ) d , k 0
SFD (x, D)
FD( x, D) SFD( x, D)
第八章 约束问题解 的最优性条件
约束最优化问题的一般形式
min f ( x) s.t.g i ( x) 0, (i I {1,2,, m1}) h j ( x) 0, ( j E {m1 1, m2 2,, m})
n 可行域： D {x R | gi ( x) 0, i I , hj ( x) 0, j E}
这与 2 0 矛盾。 ( 3) 若 x1 0 , x 2 0 :
2 0
x1 1 3 x1 3 0 3 x1 0 1 3 3
这与 3 0 矛盾。
(4) 若 x1 0 , x 2 0 : 2 3 0
可行方向 序列可行方向
可行下降方向： 设点 x D ， 给定向量d ，如果d 既是点 x处的可行方向，又是该 点的下降方向， 则称 d 为点 x处的可行下降方向。
注：最优解处不存在可行的下降方向。
约束问题最优解的必要条件(几何最优性条件)
定理9.1.1
设x* D是问题(9.1)的一个局部最优解 .则
2 2 T g 3 ( x) x1 0。 令x ( , ) ，求点 x 的有效集， 2 2 并判断在x处是否LICQ成立？
解： g1 ( x )
2 2( 2 2 2 g2 ( x ) 1 ( ) ( 2 2 2 ) 0, 2 2 2 ) 0, 2
2 g3 ( x ) 0。 2
x* D是问题(9.1)的局部最优解
对所有d LFD( x*, D) 有f ( x*)T d 0
* * g ( x * ) i i j hj ( x*) 0, (i 0, i I ( x*)) jE
f ( x*)
iI ( x*)
即令* i 0, i I \ I ( x*),得 x L( x*,*, *) 0
特别地，若在 x * 处LICQ成立；或函数 gi , h j (i I , j E ) 都是线性函数，则上面 的K K T条件成立 .
例9.2.1 求下面问题的 K K T点： min f ( x) x1
2 s.t. g ( x) 16 ( x1 4) x2 0 2
几何最优性必要条件的等价形式
引理9.1.2： 不等式f ( x)T d 0对所有d LFD( x, D)
均成立的充要条件是： 存在i , j , i I ( x), j E使得
f ( x)
iI ( x )
g ( x) h ( x) 0, (
x1 x2 4 x1 0 x 0 2
的 K T 点。
解： f ( x ) 2 [ x1 3 , x2 3 ]T 。
g1 ( x) 4 x1 x2 g1 ( x ) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x ) x1 , g2 ( x ) [ 1 , 0 ]T 。
f ( x ( k ) ) f ( x*) 0 k x x*
f ( x*)T d 0,(k )
矛盾！
设点 x D , 记 I ( x) {i I | gi ( x) 0}, A( x) E I ( x)
有效集： A( x)称为可行点 x处的有效集或积极集
f ( x*)T d 0, (d SFD( x*, D))
(k ) f ( x *) f ( x * d ) 证明： k
f ( x*) k f ( x*)T d (k ) o( k )
k f ( x*)T d (k ) o( k ) 0 o( k ) T (k ) f ( x*) d 0 k f ( x*)T d 0,(k )
定理9.2.3（二阶充分条件）
设x* D, * Rm1 , * Rmm1 满足(9.7).若
wT 2 x L( z*)w 0, (0 w S ( z*)) 其中z* ( x*,*, *),则x *是问题(9.1)的一个严格局部最优解 .
注：用于判断K-K-T点是否是局部最优解！
(1) 若 x1 x 2 0 : 由 1 (4 x1 x 2 ) 0 可得 1 0。