初二上数学期中复习(一)

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2020年秋苏科版数学八年级上期中复习复习专题一：动点问题

初二数学期中复习专题一：动点问题1、运动中构造全等1. （13 中）已知正方形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=16，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，动点P 以每秒一个单位速度从点B 出发沿射线BC 方向运动，设点P 的运动时间为t,连接PA.（1）如图1，动点Q 同时以每秒4 个单位速度从点A 出发沿正方形的边AD 运动，求t 为何值时，以点Q 及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB 全等；（2）如图2，在（1）的基础上，当点Q 到达点D 以后，立即以原速沿线段DC 向点C 运动，当Q 到达点C 时，两点同时停止运动，求t 为何值时，以点Q 及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB 全等.2．（45南摄山月考）（8分）如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．（1）如果点P 在线段BC 上以4cm/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以acm/秒的速度由C 点向D 点运动，设运动的时间为t 秒，①CP的长为cm（用含t的代数式表示）；②若以E、B、P 为顶点的三角形和以P、C、Q 为顶点的三角形全等，求a 的值．（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动．则点P 与点Q 会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 的何处相遇？3．（67南南航第一）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，请说明理由．4.（一中）（8 分）如图，已知△ABC 中，AB =AC = 12 厘米，BC = 9 厘米，∠B =∠C ，点D 为AB 的中点.（1）如果点P 在线段BC 上以3 厘米/秒的速度由B 向C 运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1 秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明；②点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？（2）若点Q 以②的运动速度从点C 出发，点P 以原来运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC 的三边运动，求多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？5.（钟英）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，一动点E 从A 点出发以2/秒的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E 运动秒时，△DEB 与△BCA 全等.6.（67南玄华中第一）如图，AB＝12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m，P、Q 两点同时出发，运动分钟后△CAP 与△ PQB 全等．7.（67南29中期中）（2分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为秒时，△ABP 和△DCE 全等．8.（45南摄山月考）（（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A→C→B 路径向终点运动，终点为B 点；点Q 从B 点出发沿B→C→A 路径向终点运动，终点为A 点．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE⊥l 于E，QF⊥l 于F．设运动时间为t 秒，则当t＝秒时，△PEC 与△QFC 全等．2、运动中产生等腰三角形9.（78南建期中）（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，若AD＝3，AB＝4，CD＝8，点P 为线段CD 上的一动点，若△ABP 为等腰三角形，求DP 的长．10.（78南鼓求真期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状也在改变，判断当∠BDA 等于多少度时，△ADE 是等腰三角形．11.（求真）（12 分）如图，在△ABC 中，∠ACB = 90︒，AB = 10cm ，BC = 6cm ，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A——C——B——A 运动，设运动时间为t 秒（t > 0 ）（1）当点P 在AC 上，且满足PA =PB 时，求出此时t 的值；（2）当点P 在∠BAC 的角平分线上时，求出此时t 的值；（3）当P 在运动过程中，求出t 为何值时，△BCP 为等腰三角形.（直接写出结果）（4）若M 为AC 上一动点，N 为AB 上一动点，是否存在M、N 使得BM +MN 的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由.初二数学期中复习专题一：动点问题1、运动中构造全等1.（1）当Q 在DA 上时，如图所示：此时△APB≌△CQD，∴BP＝DQ，即t = 16 - 4t ，解得t =16；5（2）当Q 在CD 上时，有两种情况如图1，当Q 在上边，则△QAD≌△PAB，∴BP＝QD，即4t - 16 =t ，解得t =16；3当Q 在下边，如图2，则△APB≌△BQC，则BP＝CQ，即32 - 4t =t ，解得t =32；52.【分析】（1）①根据正方形边长为10cm 和点P 在线段BC 上的速度为4cm/秒即可求出CP 的长；②分△BPE≌△CPQ 和△BPE≌△CQP 两种情况进行解答；（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）①PC＝BC﹣BP＝10﹣4t；②当△BPE≌△CPQ 时，BP＝PC，BE＝CQ，即4t＝10﹣4t，at＝6，解得a＝4.8；当△BPE≌△CQP 时，BP＝CQ，BE＝PC，即4t＝at，10﹣4t＝6，解得a＝4；（2）当a＝4.8 时，由题意得，4.8t﹣4t＝30，解得t＝37.5，∴点P 共运动了37.5×4＝150cm，∴点P 与点Q 在点A 相遇，当a＝4 时，点P 与点Q 的速度相等，∴点P 与点Q 不会相遇．∴经过37.5 秒点P 与点Q 第一次在点A 相遇．3.【分析】（1）利用SAS 证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP 和△BPQ 中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，，解得∴；综上所述，存在或使得△ACP 与△BPQ 全等．4.（1）①全等，若V p = V q ，则 BP = CQ1s 时， BP = CQ = 3∵ BC = 9∴ CP = 9 - 3 = 6∵D 为 AB 中点，AB =12∴ BD = 1 AB = 6 2∴ BD = CP∴ ∆BPD ≅ ∆CQP (SAS )②4cm /s ，当 BP ≠ CQ 时，设时间为 t要使∆BPD ≅ ∆CPQ ，只要 BP = CP ， BD = CQ 即可 ⎧3t = 9 - 3t ⎧t = 3 ⎪ ⎨6 = vt ⎨ ⎪⎩v = 4∴Q 的速度为 4cm /s（2）24s ，第一次在 BC 边上相遇5. 2s 或 6s 或 8s6.【分析】设运动 x 分钟后△CAP 与△PQB 全等；则 BP ＝xm ，BQ ＝2xm ，则 AP ＝（12﹣x ）m ，分两种情况：①若 BP ＝AC ，则 x ＝4，此时 AP ＝BQ ，△CAP ≌△PBQ ；②若 BP ＝AP ，则 12﹣x ＝x ，得出x ＝6，BQ ＝12≠AC ，即可得出结果．【解答】解：∵CA ⊥AB 于 A ，DB ⊥AB 于 B ，∴∠A ＝∠B ＝90°，设运动 x 分钟后△CAP 与△PQB 全等；则 BP ＝xm ，BQ ＝2xm ，则 AP ＝（12﹣x ）m ，分两种情况：⎩ 2① 若BP＝AC，则x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12≠AC，此时△CAP 与△PQB 不全等；综上所述：运动4 分钟后△CAP 与△PQB 全等；故答案为：4．7.【分析】由条件可知BP＝2t，当点P 在线段BC 上时可知BP＝CE，当点P 在线段DA 上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t 的方程，可求得t 的值．【解答】解：设点P 的运动时间为t 秒，则BP＝2t，当点P 在线段BC 上时，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，此时有△ABP≌△DCE，∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；当点P 在线段AD 上时，∵AB＝4，AD＝6，∴BC＝6，CD＝4，∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，∴AP＝16﹣2t，此时有△ABP≌△CDE，∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；综上可知当t 为1 秒或7 秒时，△ABP 和△CDE 全等．故答案为：1 或7．故答案为：1 或或 12．8.【分析】根据题意化成三种情况，根据全等三角形的性质得出 CP ＝CQ ，代入得出关于 t 的方程，求出即可．【解答】解：分为三种情况：①如图 1，P 在 AC 上，Q 在 BC 上，∵PE ⊥l ，QF ⊥l ，∴∠PEC ＝∠QFC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠EPC +∠PCE ＝90°，∠PCE +∠QCF ＝90°，∴∠EPC ＝∠QCF ，则△PCE ≌△CQF ，∴PC ＝CQ ，即 6﹣t ＝8﹣3t ，t ＝1；②如图 2，P 在 BC 上，Q 在 AC 上，∵由①知：PC ＝CQ ，∴t ﹣6＝3t ﹣8，t ＝1；t ﹣6＜0，即此种情况不符合题意；③当 P 、Q 都在 AC 上时，如图 3，CP ＝6﹣t ＝3t ﹣8，t ＝；④当 Q 到 A 点停止，P 在 BC 上时，AC ＝PC ，t ﹣6＝6 时，解得 t ＝12．P 和 Q 都在 BC 上的情况不存在，∵P 的速度是每秒 1cm ，Q 的速度是每秒 3cm ；9.【分析】分AB＝AP、BP＝AP、BA＝BP 三种情况，根据勾股定理计算．【解答】解：①AB＝AP 时，DP＝＝；②BP＝AP 时，DP＝AB＝×4＝2；③BA＝BP 时，过点B 作BH⊥CD 于H，则BH＝AD＝3，由勾股定理得，FP＝＝，DP＝4﹣，或者DP′＝4+．综上所述，DP 的值为，2，4﹣，或4+．10.【解答】解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变小；故答案为：25°；小．（2）∵∠EDC+∠EDA+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．∵∠B＝∠C，∴△ABD≌△DCE．∴当DC＝AB＝2 时，△ABD≌△DCE．（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE 时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE 时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，102 62 ∵∠BAC ＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD ＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA ＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当 EA ＝ED 时，∠ADE ＝∠DAE ＝40°，∴∠BAD ＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA ＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB ＝110°或 80°时，△ADE 是等腰三角形．11. 解：（1）∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，∴由勾股定理得 AC ＝＝8，如右图，连接 BP ，当 PA ＝PB 时，PA ＝PB ＝t ，PC ＝8-t ，在 Rt △PCB 中，PC 2+CB 2＝PB 2，（2） 32 3 即（8-t ）2+62＝ t 2 ，解得：t ＝ 25 ， 4 ∴当 t ＝ 25 时，PA ＝PB ； 4解：如图 1，过 P 作 PE ⊥AB ，又∵点 P 在∠BAC 的角平分线上，且∠C ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，∴CP ＝EP ，∴△ACP ≌△AEP （HL ），∴AC ＝8cm ＝AE ，BE ＝2，设 CP ＝x ，则 BP ＝6-x ，PE ＝x ，∴Rt △BEP 中，BE 2+PE 2＝BP 2，即 22+x 2＝（6-x ）2解得 x ＝ 8 ，3∴CP ＝ 8 ， 3 ∴CA +CP ＝8+ 8 3 ＝ 8 ，3∴t ＝ 32 ÷1 = 32 （s ）；3 3（3）2s 或 20s 或 21.2s 或 19s①如图 2，当 CP ＝CB 时，△BCP 为等腰三角形，若点 P 在 CA 上，则 t ＝8-6，解得 t ＝2（s ）；②如图 3，当 BP ＝BC ＝6 时，△BCP 为等腰三角形，∴AC +CB +BP ＝8+6+6＝20，∴t ＝20÷1＝20（s ）；③如图 4，若点 P 在 AB 上，CP ＝CB ＝6，作 CD ⊥AB 于 D ，则根据面积法求得 CD ＝4.8，在 Rt △BCD 中，由勾股定理得，BD ＝3.6，∴PB ＝2BD ＝7.2，∴CA +CB +BP ＝8+6+7.2＝21.2，此时 t ＝21.2÷1＝21.2（s ）；④如图 5，当 PC ＝PB 时，△BCP 为等腰三角形，作 PD ⊥BC 于 D ，则 D 为 BC 的中点，∴AP ＝BP ＝ 1 AB ＝5， 2∴AC +CB +BP ＝8+6+5＝19，∴t ＝19÷1＝19（s ）；综上所述，t 为 2s 或 20s 或 21.2s 或 19s ，△BCP 为等腰三角形．图 2图 3 图 4 图 5（4） 48 5解：如图，作点B关于AC的对称点D，过D作DN⊥AB于点N，交AC于点M，则DN就是BM+MN 最小值.∵点B 和点D 关于AC 对称∴MC 垂直平分BD∴BM=DM∴BM+MN=DM+MN根据垂线段最短，D、M、N 三点共线且垂直于AB 时最短，则高DN 长度为所求∵SABD =1⨯DB ⨯AC =1⨯AB ⨯DN 2 2∴DN =DB ⨯AC=12 ⨯ 8=48AB 10 5。

苏教版八年级上册复习专题练习一：动点问题压轴题(含答案)

初二数学期中复习专题一：动点问题3、动点中的旋转问题1、如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点O 在AC 上，且AO＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是．2、如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC 固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处，且可以绕点D 旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H 始终在边AB、BC 上．（1）在旋转过程中线段BG 和CH 大小有何关系？证明你的结论．（2）若AB＝BC＝4cm，在旋转过程中四边形GBHD 的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．（3）若交点G、H 分别在边AB、BC 的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．3、如图1，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A、C 分别在DG 和DE 上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2 证明你的结论；②若BC＝DE＝4，当AE 取最大值时，求AF 的值．4、点的移动问题4、如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B、P 在直线a 的异侧，BM⊥直线a 于点M，CN⊥直线a 于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；（2）若直线a 绕点A 旋转到图3 的位置时，点B、P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．5、在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D 从点B 出发沿射线BC 移动，以AD 为边在AB 的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D 在BC 边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D 在BC 的延长线上运动．①∠BCE 的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE 的面积为．6、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．7、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为1 米，∠B＝90°，BC＝4 米，AC＝8 米，当正方形DEFH 运动到什么位置时，即当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．8、【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．【简单运用】（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是（填序号）；（2）如图1，已知等边三角形ABC，请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点D，使△ABD 为“智慧三角形”，并写出作法；【深入探究】（3）如图2，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF＝CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；【灵活应用】（4）如图3，等边三角形ABC 边长5cm．若动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿△ABC 的边AB ﹣BC﹣CA 运动．若另一动点Q 以2cm/s 的速度从点B 出发，沿边BC﹣CA﹣AB 运动，两点同时出发，当点Q首次回到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t（s），那么t为．（s）时，△PBQ为“智慧三角形”．动点问题压轴题1、【解答】解：∵∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，∠A＝∠POD＝60°，∴∠APO＝∠COD，在△APO 和△COD 中，，∴△APO≌△COD（AAS），即AP＝CO，∵CO＝AC﹣AO＝6，∴AP＝6．故答案为6．2、【解答】解：（1）BG和CH为相等关系，如图1，连接BD，∵等腰直角三角形ABC，D 为AC 的中点，∴DB＝DC＝DA，∠A＝∠DBH＝45°，BD⊥AC，∵∠EDF＝90°，∴∠ADG+∠GDB＝90°，∴∠BDG+∠BDH＝90°，∴∠ADG＝∠HDB，∴在△ADG 和△BDH 中，，∴△ADG≌△BDH（ASA），∴AG＝BH，∵AB＝BC，∴BG ＝HC ，（2） ∵等腰直角三角形 ABC ，D 为 AC 的中点，∴DB ＝DC ＝DA ，∠DBG ＝∠DCH ＝45°，BD ⊥AC ，∵∠GDH ＝90°，∴∠GDB +∠BDH ＝90°，∴∠CDH +∠BDH ＝90°，∴∠BDG ＝∠HDC ，∴在△BDG 和△CDH 中，，∵△BDG ≌△CDH （ASA ），∴S 四边形 DGBH ＝S △BDH +S △GDB ＝S △ABD ，∵DA ＝DC ＝DB ，BD ⊥AC ，∴S △ABD ＝ S △ABC ，∴S 四边形 DGBH ＝S △ABC ＝4cm 2，∴在旋转过程中四边形 GBHD 的面积不变，（3）当三角板 DEF 旋转至图 2 所示时，（1）的结论仍然成立，如图 2，连接 BD ，∵BD ⊥AC ，AB ⊥BH ，ED ⊥DF ，∴∠BDG ＝90°﹣∠CDG ，∠CDH ＝90°﹣∠CDG ，∴∠BDG ＝∠CDH ，∵等腰直角三角形 ABC ，∴∠DBC ＝∠BCD ＝45°，∴∠DBG ＝∠DCH ＝135°，∴在△DBG 和△DCH 中，，∴△DBG ≌△DCH （ASA ），∴BG ＝CH ．3、.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG 就可以得出结论；（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG 就可以得出结论；②由①可知BG＝AE，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．【解答】解：（1）BG＝AE．理由：如图1，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D 是BC 的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG 是正方形，∴DE＝DG．在△BDG 和△ADE 中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG＝AE．故答案为：BG＝AE；（2）①成立BG＝AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC 中，D 为斜边BC 中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四边形EFGD 为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG 和△ADE 中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；②∵BG＝AE，∴当BG 取得最大值时，AE 取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG ＝AE．∵BC＝DE＝4，∴BG＝2+4＝6．∴AE＝6．在Rt△AEF 中，由勾股定理，得AF＝＝，∴AF＝2 ．4、【解答】证明：（1）①如图2：∵BM⊥直线a 于点M，CN⊥直线a 于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P 为BC 边中点，∴BP＝CP，在△BPM 和△CPE 中，，∴△BPM≌△CPE，（ASA）②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE∴PM＝ME，∴在Rt△MNE 中，PN＝ME，∴PM＝PN；（2）成立，如图3．延长MP 与NC 的延长线相交于点E，∵BM⊥直线 a 于点M，CN⊥直线a 于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P 为BC 中点，∴BP＝CP，在△BPM 和△CPE 中，，∴△BPM≌△CPE，（ASA）∴PM＝PE，∴PM＝ME，则Rt△MNE 中，PN＝ME，∴PM＝PN．5、【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．在△ACE 和△ABD 中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）；∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；故答案为：90；（2）①不发生变化．∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ACE 和△ABD 中∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE＝∠ABD＝45°∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°∴∠BCE 的度数不变，为90°；② 11746、【解答】解：（1）90°．理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD 与△ACE 中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，∴∠BCE＝∠B+∠ACB，又∵∠BAC＝90°∴∠BCE＝90°；（2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD 与△ACE 中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°；②当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°；理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵在△ABD 和△ACE 中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，∴α+β＝180°；当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．理由：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∵在△ADB 和△AEC 中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β．7、【解答】解：如图，连接CD，假设AE＝x，可得EC＝8﹣x．∵正方形DEFH 的边长为1 米，即DE＝1 米，∴DC2＝DE2+EC2＝1+（8﹣x）2，AE2+BC2＝x2+16，∵DC2＝AE2+BC2，∴1+（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝，所以，当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．故答案是：．8、【解答】解：（1）因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，所以①是“智慧三角形”．故答案为①（2）用刻度尺分别量取AC、BC 的中点D、D′．点D、D′即为所求．（3）结论：△AEF 是“智慧三角形“．理由如下：如图，设正方形的边长为4a∵E 是BC 的中点∴BE＝EC＝2a，∵CF＝CD∴FC＝a，DF＝4a﹣a＝3a，在Rt△ABE 中，AE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2在Rt△ECF 中，EF2＝（2a）2+a2＝5a2在Rt△ADF 中，AF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2∴AE2+EF2＝AF2∴△AEF 是直角三角形，∠AEF＝90°∵直角三角形斜边AF 上的中线等于AF 的一半∴△AEF为“智慧三角形”．（4）如图3 中，①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段BC 上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，∴5﹣t＝4t，解得t＝1．若∠BPQ＝90°，则BQ＝2PB，∴2t＝2（5﹣t）∴t＝．②当点Q在线段AC上时，不存在“智慧三角形”．③当点P 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，∴t﹣5＝2（15﹣2t），∴t＝7，若∠QPB＝90°，则BQ＝2PB，∴15﹣2t＝2（t﹣5），∴t＝，综上所述，满足条件的t 的值为1 或或或7．故答案为1 或或或7．。

人教版初二上期数学期中复习试题

几何证明题集1.如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．（1）求∠EFB的度数；（2）求证：DE＝2DF．2.如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．（1）求∠BPD的度数．（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．变式．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°3.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，P从点A出发沿AC边向C运动，与此同时Q 从B出发以相同的速度沿CB延长线方向运动．当P到达C点时，P、Q停止运动，连接PQ交AB于D．（1）设P、Q的运动速度为1cm/s，当运动时间为多少时，∠BQD＝30°？（2）过P作PE⊥AB于E，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．变式：如图，△ABC是边长为1的等边三角形，P是AB边上一点，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC于点D，若P A＝CQ，则DE的长为（）A．B．B．C．D．无法确定4.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F，交BC于E．判断△AFG的形状并加以证明．6.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，7.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是．变式：如图，点A（0，3），B（4，0），P（0，4），AB⊥PQ，点Q在x轴上，则点Q的坐标为．8.如图，在△ABC中，D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝AC．9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点．10.如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．求证：△ABD是等腰三角形．11.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．12.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．13.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD，分别交AB，AD于点E，F．（1）求证：EF＝CF；（2）若∠ACB＝60°，∠BCE＝20°，求∠ABC的度数．14.如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B．CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE＝CB．（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．15.如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．16.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补．求证：BC＝2CD．17.如图，在△ABC中，BA＝BC，CD和BE是△ABC的两条高，∠BCD＝45°，BE与CD交于点H．（1）求证：△BDH≌△CDA；（2）求证：BH＝2AE．18.如图，△ABC中，CD和BE是△ABC的两条高，它们的交点为H，∠ACD＝∠CBE．（1）求证：BA＝BC；（2）若∠BCD＝45°，求证：BH＝2AE；19.在平面直角坐标系中，点A坐标（﹣5，0），点B坐标（0，5），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．（1）如图①，若点C的坐标为（3，0），求点E的坐标；（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜5，其它条件不变，连接DO，求证：DO平分∠ADC；20.如图1，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4），（1）如图，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．21.如图，G为BC的中点，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．（1）求证：AD是∠BAC的平分线；（2）如果AB＝16，AC＝12，求BE的长．22．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．23.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．24.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．25.如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．26.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、（﹣b，0）且a、b满足+|a﹣2b+2|＝0（1）求证：∠OAB＝∠OBA；（2）如图1，若BE⊥AE，求∠AEO的度数；（3）如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在AP的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的数量和位置关系．27．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，求∠AMN+∠ANM的度数．28．如图：已知，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．且D、C、E共线，AD、BC交于点F，AD平分∠BAC，过点D作DG⊥AB于点G．（1）求证：BD＝CD；（2）若AB＝9，AC＝5，求AG的长．29.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90，∠CBA与∠CAB的平分线相交于点P，延长AP交BC于点D，过点P作PM∥AB交AC于点M，在CM上取点H，使AM＝MH，连接HP．（1）求证：HP⊥AD；（2）求证：AH+BD＝AB．30.已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．代数题集1.（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．2.计算或化简：（1）．（2）（a+b）（a﹣2b）﹣a（a﹣b）+（3b）2．3.已知多项式x2﹣mx+n与x﹣2的乘积中不含x2项和x项，试求m和n的值，并求这两个多项式的乘积．4.（1）若（x+）2＝9，则（x﹣）2的值为．m+＝3，那么m2+＝．（2）若的值是．若（x+）2＝9，则（x﹣）2的值为．5.（1）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于．（2）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是．（3）已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是完全平方式，则实数k的值为．（4）如果4x2+2mx+1是完全平方式，则m的值是．（5）已知：a+b＝7，ab＝13，那么a2﹣ab+b2＝．（6）已知a2﹣5＝2a，代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值为．（7）如果（2x+2y+1）（2x+2y﹣1）＝15，那么x+y的值是．（8）若a2﹣b2＝6，a﹣b＝3，则a+b的值为．6.阅读：若x满足（60﹣x）（x﹣40）＝30，求（60﹣x）2+（x﹣40）2的值．解：设（60﹣x）＝a，（x﹣40）＝b，则（60﹣x）（x﹣40）＝ab＝，a+b＝（60﹣x）+（x﹣40）＝，所以（60﹣x）2+（x﹣40）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．请仿照上例解决下面的问题：（1）补全题目中横线处；（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；（3）若x满足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2022）的值；（4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝25，长方形EFGD的面积是400，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．7．已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．（2）若a2﹣a﹣1＝0，求．8．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．9．实践与探索如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝．②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．10．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为；①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是；（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：①若m﹣n＝8，mn＝20，求m+n的值；②两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝12，BE＝3，直接写出图中阴影部分面积的平方．11．把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2；得a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值；（2）请直接写出下列问题答案：①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝；②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝4，两正方形的面积和S1+S2＝12，求图中阴影部分面积．12.先阅读下面的内容，再解决问题例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求y2的值；（2）试探究关于x、y的代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由。

八年级数学上册：期中复习一优质(共47张PPT)

等边三角形不等边三角形
（正三角形）
三条边都相等的三角形
三条边都不相等的三角形
任意三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边
C
a+b>c
c-b＜a
b
a
b+c>a
a-c＜b
Ac B
c+a>b
b-a＜c
三角形任意两边之差小于第三边
三角形第三边取值范围：
两边之差<第三边<两边之和
试一试
A
1.图中有几个三角
∠3按由小到大的顺序
排列是_________．
∠1＜∠3＜∠2
12 3
2.你可以想出多少种方法计算： ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
A
180°
ED
C B
3题
A
C
D
B
5题
A
B DE
C
BD=DE=EC
展示、点评、分工表
题
地点
15抄题画图 1板
15过程
2板
16画图
5板
16过程 6,7板
展示
2组 4组 6组 8组
B、C、D四个位置，现在要建立一个维修
H′ H
站H，问H建在何处，
才能使它到四个油井
的距离之和HA+HB B
C
＋HC+HD为最小？说明理由。
1.你认为这个H应该在什么位置？大胆设想！
2.到A、C距离和最小的点在哪儿？到B、D?
③ 三角形的一个外角等于两个内角的和。
巩固练习 1、判断：
④ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题1 认识三角形(学生版)

2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题1 认识三角形一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021八上·萧山期中）△ABC的三个内角△A，△B，△C满足△A：△B：△C＝3：4：5，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形2．（2021八上·西湖期中）下列命题中是假命题的是（）A．一个三角形中至少有两个锐角B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．同角的余角相等D．一个角的补角大于这个角本身3．（2021八上·诸暨期中）画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是（）A．B．C．D．4．（2022八上·西湖期末）在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP>AR D．AP>AQ 5．（2021八上·金华期中）如图，给你一张锐角三角形纸片，请你用折叠的方式，折出过点A的角平分线、中线、高线，能成功折出的是（）A．角平分线B．中线C．高线D．都可以6．（2021八上·上城期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG△CE 于点G，CD＝AE.若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（）A．10B．5C．103D．537．（2021八上·温州期中）下列命题是假命题的是()A．等底等高的两个三角形面积相等B．两个全等三角形的面积相等C．面积相等的两个三角形全等D．等腰三角形底边上的高线和中线互相重合8．（2021八上·萧山期中）已知线段a＝2cm，b＝4cm，则下列长度的线段中，能与a，b组成三角形的是（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm9．（2021八上·诸暨期中）在△ABC中，有下列条件：不能确定△ABC是直角三角形的条件是（）A．△A+△B=△C；B．△A：△B：△C=1：2：3；C．△A=2△B=3△C；D．△A=△B=△10．（2021八上·义乌期中）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（）A．10m B．120m C．190m D．220m二、解答题（共8题，共66分）11．（2019八上·新昌期中）如图，在△ABC中，△ACB=114°，△B=46°，CD平分△ACB，CE为AB边上的高，求△DCE的度数.12．（2021八上·诸暨月考）如图，已知△ABC，请按下列要求作图：△用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG．△作BC边上的高线．13．（2021八上·鹿城期中）小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.（1）请用a表示第三条边长.（2）问第一条边长可以为7m吗？请说明理由.14．（2020八上·柯桥期中）在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝40°，△ABC的外角△CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.（1）求△CBE的度数；（2）过点D作DF//BE，交AC的延长线于点F，求△F的度数.15．（2020八上·余杭月考）如图，在ΔABC中，AE是边BC上的高线.（1）若AD是BC边上的中线，AE=3cm，SΔABC=12cm2.求DC的长.（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大小.16．（2020八上·西湖期中）如图1，AD平分△BAC，AE△BC，△B=30°，△C=70°。

人教版八年级数学上学期期中考试复习测试题(含答案)

人教版八年级数学上学期期中考试复习测试题（含答案）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．6，7，83．到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点4.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m,则这棵大树折断处到树顶的长度是（）A．10m B．15m C．26m D．30m5．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（）A．6 B．7 C．8 D．9（第4题）（第5题）（第6题）（第7题）6．如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC、BD交于点E，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC B．BE＝CE C．AC＝DB D．∠A＝∠D7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD＝9，则CE的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.58．在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)9.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是°．10.如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为．（第9题）（第10题）（第13题）（第14题）11．已知一个等腰三角形的两边分别为5和10，则它的周长为．12.若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠B的度数为°. 14．如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝°．15.如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，则S3= ．（第15题）（第16题）（第17题）（第18题）16．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为．17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．18．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是．三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分）19.（8分）如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，且AB＝DF，BE＝CF，∠B＝∠F．求证：△ABC≌△DFE．20.（8分）如图，△ABC中，DE，FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足，若△DAF的周长为16，求BC的长．21. （8分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短；（3）△A1B1C1的面积为________．22.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：DE=DF；（2）如果S△A BC=14，AC=7，求DE的长．23.（10分）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？24.（10分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．25. （10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF．（1）求证：EF⊥AC；（2）若BD＝26，EF＝5，求AC的长．26.（10分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=5．点D为AC上一点，且BD=4，CD=3．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．27. （12分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE=CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC 于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2；（3）在（2）的条件下猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，若不变，请说明理由;若改变，写出它们的数量关系，并加以证明.28. （12分）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）请用t的代数式表示BP和BQ的长度：BP＝，BQ＝．（2）若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成4：5两部分？（3）若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点P、Q能与△ABC的一个顶点构成等边三角形？直接写出答案。

人教版数学八年级上册：期中检测卷复习课件(附答案)

10．如图，AB⊥CD 于点 E，且 AB＝CD＝AC.若点 I 是△ACE 的三条角平分线的交点，点 F 是 BD 的中点，则下列结论：①∠AIC＝135°；②BD＝BI； ③S△AIC＝S△BID；④IF⊥AC.其中正确的是( C ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解析：如图，延长 IF 到 G，
在 Rt△CDF 和 Rt△BDE 中，CDDF==BDDE，，∴Rt△CDF≌ Rt△BDE(HL) ． ∴BE ＝ CF.∴AB ＝ AE ＋ BE ＝ AF ＋ BE＝AC＋CF＋BE＝AC＋2BE.∵AB＝6，AC＝3， ∴BE＝1.5.
三、解答题(共 66 分) 19．(8 分)如图，点 B，D 在线段 AE 上，AD＝BE， AC∥EF，∠C＝∠F.求证：BC＝DF. 证明：∵AD＝BE， ∴AD－BD＝BE－BD. ∴AB＝ED. ∵AC∥EF， ∴∠A＝∠E.(4 分)
25．(12 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别是 BC，AC 上的点，AD，BE 相交于点 P，∠EBC ＝∠BAD. (1)如图①，求证：∠APE＝∠C；
证明：∵∠APE＝∠ABP＋∠BAD，
∠ABC＝∠ABP＋∠EBC，∠EBC＝∠BAD， ∴∠APE＝∠ABC.∵AB＝AC，
解析：如图，∵图中是三个等边三角形，∴∠1＝180° －60°－∠ABC＝120°－∠ABC，∠2＝180°－60°－ ∠ACB＝120°－∠ACB，∠3＝180°－60°－∠BAC＝ 120°－ ∠BAC.∵∠ABC ＋ ∠ACB ＋ ∠BAC ＝ 180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°.故选 D.
在△ABC 和△EDF 中，
C =F， A=E， AB=ED， ∴△ABC≌△EDF(AAS)．

人教版数学初二上学期期中试题与参考答案(2024年)

2024年人教版数学初二上学期期中复习试题(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、题目：已知一个长方形的长为8cm，宽为5cm，求该长方形的对角线长度。

A. 6cmB. 10cmC. 12cmD. 13cm2、题目：一个班级有学生40人，其中男生人数是女生人数的1.5倍，求该班级男生和女生的人数。

A. 男生30人，女生10人B. 男生25人，女生15人C. 男生35人，女生5人D. 男生20人，女生20人3、若一个矩形的长是宽的3倍，且其周长为48厘米，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 64B. 108C. 128D. 1444、已知直角三角形的两个锐角之比为1∶2，那么这两个锐角分别是多少度？A. 30°, 60°B. 45°, 45°C. 60°, 30°D. 以上都不正确5、一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，它的面积是（）A. 25平方厘米B. 50平方厘米C. 100平方厘米D. 200平方厘米6、一个正方形的周长是24厘米，那么它的边长是（）A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米7、已知一个正方形的边长为(a)，如果它的边长增加到原来的1.5倍，则新正方形的面积与原正方形面积之比是多少？A.(1.5:1)B.(2.25:1)C.(3:1)D.(1.52:1)8、若一个等腰三角形的底角为(70∘)，则顶角的度数是多少？A.(40∘)B.(50∘)C.(60∘)D.(70∘)9、若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边的长度是（）A. 5B. 7C. 8D. 10 10、一个长方形的长是10厘米，宽是8厘米，那么它的面积是（）A. 80平方厘米B. 90平方厘米C. 100平方厘米D. 120平方厘米二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）1、若(x−3=7)，则(x=)______ 。

人教版八年级上册数学课堂作业同步期中复习：全等三角形训练(一)

人教版八年级上册数学课堂作业同步期中复习：全等三角形训练（一）1．已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝（用含α的式子表示）．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD．（1）求证：△ABD≌△CED；（2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．4．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD．（1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？（2）求证：EG＝FG．5．如图1，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α（1）求证：BE＝AD；（2）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．6．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．8．已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C 的直线分别交直线AM，BN于点D，E．（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD+DC＝BE．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝128°时，∠EDC＝，∠AED＝；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的任意点，D为线段BE的中点，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求证：∠DAE＝∠C；（2）求证：AF＝BC．11．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．（1）求证：EF＝DF；（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG．12．在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．13．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连结BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．①填空：∠C＝，∠DBC＝；②求证：△BDE≌△CDF．（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．14．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A＝∠E，（1）求证：△ABC≌△EDF；（2）当∠CHD＝120°，求∠HBD的度数．15．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明BD＝CE；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．参考答案1．解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°，∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°；（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBC＝ABC，∠ECB＝ACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，∵∠BAC＝60°，∴∠BEC＝90°+BAC＝120°，∴∠FEB＝∠DEC＝60°，∵EM平分∠BEC，∴∠BEM＝60°，在△FBE与△EBM中，，∴△FBE≌△EBM（ASA），∴EF＝EM，同理DE＝EM，∴EF＝DE．2．解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案为：3；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案为：90°﹣α．3．（1）证明：∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，∴∠ADB＝∠CDE＝90°，△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，在△ABD与△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS）；（2）解：∵CE为∠ACD的角平分线，∴∠ECD＝∠ACD＝22.5°，由（1）得：△ABD≌△CED，∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°．4．（1）解：△ABF与△CDE全等，理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；（2）证明：∵Rt△ABF≌Rt△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG（AAS），∴EG＝FG．5．解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD；（2）△CPQ为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠BCQ+∠PCB＝90°，∴∠PCQ＝90°，∴△CPQ为等腰直角三角形6．【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．7．证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性质）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已证），∴AB＝BC+AD（等量代换）．8．（1）解：如图1，延长AC交BN于点F，∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，，∴△ADC≌△FEC（AAS），∴AC＝FC，∵AC＝BC，∴BC＝AC＝FC＝AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABE＝90°；（2）证明：如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等边三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC与△HCB中，，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD，即AD+DC＝BE．9．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∵∠ADE＝36°，∠BDA＝128°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝16°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝16°+36°＝52°，故答案为：16°；52°；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵AB＝2，DC＝2，∴AB＝DC，∵∠C＝36°，∴∠DEC+∠EDC＝144°，∵∠ADE＝36°，∴∠ADB+∠EDC＝144°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形，①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝72°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝72°+36°＝108°；②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝36°，∴∠DAE＝108°，此时，点D与点B重合，不合题意；③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝36°，∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝36°+36°＝72°；综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形．10．证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC，（三线合一没有学习到，可以用全等证明）∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD，∵AB＝AE，AD⊥BE，∴∠BAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠C（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF11．证明：（1）过点D作DH∥AC，DH交BC于H，如图1所示：则∠DHB＝∠ACB，∠DHF＝∠ECF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠DHB，∴BD＝HD，∵CE＝BD，∴HD＝CE，在△DHF和△ECF中，，∴△DHF≌△ECF（AAS），∴EF＝DF；（2）如图2，由（1）知：BD＝HD，∵DG⊥BC，∴BG＝GH，由（1）得：△DHF≌△ECF，∴HF＝CF，∴GH+HF＝BH+CH＝BC，∴BC＝2FG．12．解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．13．（1）①解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，∴∠C＝45°，∠DBC＝45°；故答案为：45°；45°；②证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，故BD⊥AC，∵ED⊥DF，∴∠BDE＝∠FDC，∴∠C＝∠DBC＝45°，∴BD＝DC，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；如图②所示：当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共3对；如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．14．（1）证明：∵AD＝BE，∴AB＝ED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SAS）；（2）∵△ABC≌△EDF，∴∠HDB＝∠HBD，∵∠CHD＝∠HDB+∠HBD＝120°，∴∠HBD＝60°．15．解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，∵在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE＝∠ABD，而在△CDF中，∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF又∵∠CDF＝∠BDA∴∠BFC＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA＝∠DAB＝90°；（3）BD＝CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC＝90°．理由如下：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD∴∠BAD＝∠CAE，∵在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE，∠ACE＝∠DBA，∴∠BFC＝∠CAB＝90°．。

2023-2024学年上学期北京初中数学八年级期中典型题复习

2023-2024学年上学期北京初中数学八年级期中典型卷一．选择题（共8小题）1．（2018秋•岳阳楼区校级期末）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，5cmC．3cm，4cm，7cm D．4cm，5cm，8cm2．（2022秋•顺平县期中）要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（）A．边角边B．角边角C．角角边D．边边边3．（2009•乌鲁木齐）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8 4．（2017•日照一模）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2cm B．23cm C．4cm D．43cm 5．（2020秋•兴宁区校级期中）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝75°，则∠DBE的度数是（）A．45°B．30°C．15°D．10°6．（2018秋•涿州市期末）如图△ABC各角分别为72°、50°、58°，a、b、c为△ABC的边长，右侧有甲、乙、丙三个三角形，其中不能与左侧△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．乙与丙7．下列命题正确的是（）A．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等B．如果两个三角形有两条边和其中一边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等C．如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等D．如果两个直角三角形有两锐角对应相等，那么这两个三角形全等8．（2019秋•襄州区期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS二．填空题（共8小题）9．（2019秋•闽清县期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝°．10．（2021•天山区校级模拟）已知一个正多边形的内角和为1260°，则这个正多边形的每个外角比每个内角小度．11．（2018秋•番禺区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠A＝x°，则∠BOC＝．12．（2020秋•浑源县期中）如图，△ABC和△DEF的边AC，DF在同一直线上，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：，使得△ABC≌△DEF．（只写出一种情况即可）13．（2020春•沙坪坝区校级月考）一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边上面的中线a的范围是．14．（2021秋•平阳县期中）当三角形中一个内角β是另一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“幸运三角形”，其中角α称为“幸运角”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48°，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为．15．（2013春•金牛区期末）如图，在等腰△ABC中，腰长AB＝AC＝8厘米，底边BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动．当点N的运动速度为厘米/秒时，能够使△BMD与△CNM全等．16．（2020秋•奉化区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，E在BA延长线上，且DE＝BD，若BC＝8，AE＝2，则CD的长为．三．解答题（共7小题）13．（2022秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝2AB．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC 于点F，交AD于点G；连接BG，CG（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．18．（2017秋•浦东新区期中）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．19．（2021•广东模拟）题目：用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的垂线．作法：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）以点A为圆心，AP的长为半径画弧，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，两弧相交于Q，如图所示；（3）作直线PQ，则直线PQ就是直线l的垂线．请你对这种作法加以证明．20．如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且AD＝AO，CB＝CD，连接BD．（1）求证：∠OBD＝∠ODB；（2）若∠BAC＝80°，求∠ACB的长度．21．（2020秋•饶平县校级期末）阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝．（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A．（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．22．（2019春•西湖区校级月考）把几个图形拼成一个图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，观察图形，利用面积的不同表示方法，可以发现一个代数恒等式．（2）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条线上，连接BD 和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝8，ab＝12，请求出阴影部分的面积．（3）若图1中每块小长方形的面积为12.5cm2，四个正方形的面积和为48cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．23．（2019•安徽一模）如图1，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）当∠ABC＝∠C＝60°时，A A=12，那么A A=；（直接写出结论）（2）当△ABC为等边三角形，A A=1时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并说明理由；（3）如图2，在△ABC中，∠ACB＝30°，点E在BC上，点D是AE的中点，当∠EDC ＝30°时，CE和DE的数量关系为．（直接写出结论，不必证明）四．解答题（共1小题）24．（5分）（2020秋•和平区期末）如图，在边长为16的菱形ABCD中，AC、BD为对角线，∠BCD＝60°，点E、F分别是边AB、边BC上的动点，连接DE、DF、EF．（1）当点E、点F分别是边AB，边BC的中点时．①求证：△DEF是等边三角形；②若点G是对角线AC上的动点，连接EG，FG，则直接写出EG+FG的最小值为；（2）若点H是对角线AC上的动点，连接EH、FH，则直接写出EH+FH的最小值为；（3）若AE＝BF＝4，EF交BD于点K，点P、点Q分别是线段DE、线段DF上的动点，连接KQ、PQ，则直接写出KQ+PQ的最小值为．。

新北师大版八年级上数学期中复习(一)试卷

新北师大版八年级上数学期中复习（一）试卷一、选择题（每小题3分，共18分）1. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A. 三内角之比为1︰2︰3 B. 三边长的平方之比为1︰2︰3 C. 三边长之比为3︰4︰5 D. 三内角之比为3︰4︰52. 下列计算结果正确的是（）A. 332=）（－B. 636±=C. 523=+D. 35323=+ 3. 下列说法正确的有（）（1）带根号的数是无理数；（2）无理数是带根号的数；（3）开方开不尽的都是无理数；（4）无理数都是开方开不尽的；（5）无理数是无限小数；（6）无限小数是无理数。

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个4. 若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（） A. （3，0） B. （3，0）或（－3，0） C. （0，3） D. （0，3）或（0，－3）5. y=kx +（k －3）的图象不可能是（）6. 如下图，梯子AB 靠在墙上。

梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A'，使梯子的底端A 到墙根O 的距离等于3m ，同时梯子的顶端B 下降到B'，那么BB'（）A. 小于1mB. 大于1mC.等于1mD. 小于或等于1m 二、填空题（每小题3分，共30分）7. 2的倒数是；32的相反数是；绝对值等于2的数是。

8. 已知0)3(22=++-b a ，则=-2)(b a 。

9. 一个实数的两个平方根分别是a +3和2a －5，则这个实数是。

10. 一次函数y =2x +b 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为8，则b= 。

11. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是。

12. 已知点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a +b ，l －b ），则ab 的值为。

人教版八年级数学上册第11_13章期中综合复习(一 )

人教版八年级数学上册第11~13章期中综合复习（一）一、选择题（本大题共10道小题）1. 角是轴对称图形，它的对称轴是()A．角平分线B．角平分线所在的射线C．角平分线所在的线段D．角平分线所在的直线2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是()A．AC＝DF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，∠B＝∠EC．AB＝DE，AC＝DF D．AB＝DE，∠A＝∠D3. 如图，小明做了一个长方形框架,发现它很容易变形,请你帮他选择一个最好的加固方案()4. 如图,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是()A.点O在点A的南偏东60°方向上B.点B在点A的北偏东30°方向上C.点B在点O的北偏东60°方向上D.点B在点O的北偏东30°方向上5. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有()A．1种B．2种C．3种D．4种6. 根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°7. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为()A．130°B．120°C．110°D．100°8. 如图，在△ABC中，D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∠A＝80°，∠ABD ＝30°，则∠BDC的度数为()A．100°B．110°C．120°D．130°9. 如图,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响管道,准备在B,C处开工挖出“V”字形通道.如果∠DBA=130°,∠ECA=135°,那么∠A的度数是()A.75°B.80°C.85°D.90°10. 如图，△ACB≌△A'CB'，∠ACA'=30°，则∠BCB'的度数为()A.20°B.30°C.35°D.40°二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．12. 如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝________．13. 如图，请用符号语言表示“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．条件：____________________________________.结论：PC＝PD.14. 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为cm.15. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．16. 如图所示，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝________°.17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．18. 如图，在△ABC中，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D.(1)若∠A＝70°，则∠ACE－∠ABC＝________°，∠D＝________°；(2)若∠A＝α，则∠ACE－∠ABC＝________，∠D＝________．三、解答题（本大题共7道小题）19. 已知点A(2m+n，2)，B(1，n-m).(1)当m，n为何值时，点A，B关于x轴对称?(2)当m，n为何值时，点A，B关于y轴对称?20. 如图，C是线段BD的中点，AB＝EC，∠B＝∠ECD.求证：△ABC≌△ECD.21. 如图所示，点E在△ABC中AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC 于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.22. 如图，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20 m，30 m，40 m．现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)23. 某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数;(2)求这个正多边形的边数.24. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．25. 已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN.(1)若多边形为四边形ABCD.①如图(a)，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；②如图(b)，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．(2)如图(c)，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD ＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．人教版八年级数学上册第11~13章期中综合复习（一）-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D2. 【答案】B[解析] 选项A，D均可由“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，选项C 可由“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，只有选项B不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF.3. 【答案】B[解析] 三角形具有稳定性,选项B通过添加木条,把长方形框架变成两个三角形,从而具有稳定性.4. 【答案】D[解析] 如图,由题意知∠AOD=30°,∠COD=90°,∴∠AOC=120°.由作图可知,OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠DOB=30°.∴点B在点O的北偏东30°方向上.5. 【答案】C6. 【答案】C[解析] 对于选项A来说，AB＋BC<AC，不能画出△ABC；对于选项B来说，可画出△ABC为锐角三角形或者钝角三角形；对于选项C来说，已知两边及其夹角，△ABC是唯一的；对于选项D来说，△ABC的形状可确定，但大小不确定．7. 【答案】B[解析] 如图，分别作点A关于BC，DC的对称点A1，A2，连接A1A2交BC于点M，交DC于点N，则此时△AMN的周长最小．∵∠A1AA2＝120°，∴∠A1＋∠A2＝60°.∵MA＝MA1，NA＝NA2，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠A1＋∠A2)＝2×60°＝120°.8. 【答案】D[解析] ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∠ABC＝2∠ABD＝2×30°＝60°.∴∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝40°.∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝12∠ACB＝12×40°＝20°.∴∠BDC＝180°－∠DCB－∠DBC＝130°.9. 【答案】C[解析] ∵∠DBA=130°,∠ECA=135°,∴∠ABC=180°-∠DBA=50°,∠ACB=180°-∠ECA=45°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-45°=85°.10. 【答案】B[解析] 由△ACB≌△A'CB'，得∠ACB=∠A'CB'.由等式的基本性质，得∠ACB-∠A'CB=∠A'CB'-∠A'CB.所以∠BCB'=∠ACA'=30°.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】3【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.12. 【答案】2 [解析] 如图，连接OQ.∵点P 关于直线OB 的对称点是Q ， ∴OB 垂直平分PQ.∴∠POB ＝∠QOB ＝30°，OP ＝OQ.∴∠POQ ＝60°. ∴△POQ 为等边三角形．∴PQ ＝OP ＝2.13. 【答案】∠AOP ＝∠BOP ，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D14. 【答案】12[解析] 如图，连接BE.∵D 为Rt △ABC 中斜边BC 上的一点，过点D 作BC 的垂线，交AC 于点E ，∴∠A=∠BDE=90°. 在Rt △DBE 和Rt △ABE 中，∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴DE=AE.∵AE=12 cm ，∴DE=12 cm .15. 【答案】17[解析] 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC(ASA)． ∴AB ＝ED ＝17米．16. 【答案】60[解析] ∵六边形ABCDEF 的内角和为(6－2)×180°＝720°且每个内角都相等， ∴∠B ＝720°6＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠DAB ＝180°－∠B ＝60°.17. 【答案】3[解析] ∵AD 平分∠BAC ，且DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴CD ＝DE＝1.∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD. ∴∠B ＝∠DAB. ∵∠DAB ＝∠CAD ， ∴∠CAD ＝∠DAB ＝∠B.∵∠C ＝90°，∴∠CAD ＋∠DAB ＋∠B ＝90°. ∴∠B ＝30°.∴BD ＝2DE ＝2. ∴BC ＝BD ＋CD ＝2＋1＝3.18. 【答案】(1)7035 (2)α 12α三、解答题（本大题共7道小题）19. 【答案】解:(1)∵点A (2m+n ，2)，B (1，n-m )关于x 轴对称，∴解得(2)∵点A (2m+n ，2)，B (1，n-m )关于y 轴对称，∴解得20. 【答案】证明：∵C 是线段BD 的中点，∴BC ＝CD.在△ABC 与△ECD 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠B ＝∠ECD ，AB ＝EC ，∴△ABC ≌△ECD.21. 【答案】证明：如图所示，过点D 作DG ∥AC 交BC 于点G ，则∠GDF ＝∠E ，∠DGB ＝∠ACB. 在△DFG 和△EFC 中，⎩⎨⎧∠DFG ＝∠EFC ，DF ＝EF ，∠GDF ＝∠E ，∴△DFG ≌△EFC(ASA)．∴GD ＝CE.∵BD ＝CE ，∴BD ＝GD.∴∠B ＝∠DGB.∴∠B ＝∠ACB.∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．22. 【答案】解：(答案不唯一)如图，分别作∠ACB 和∠ABC 的平分线，相交于点P ，连接PA ，则△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积之比为2∶3∶4.理由如下：如图，过点P 分别作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PH ⊥BC 于点H. ∵P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，∴PE ＝PF ＝PH.∵S △PAB ＝12AB·PE ＝10PE ，S △PAC ＝12AC·PF ＝15PF ，S △PBC ＝12BC·PH ＝20PH ，∴S △PAB ∶S △PAC ∶S △PBC ＝10∶15∶20＝2∶3∶4.23. 【答案】解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x °，则与其相邻的外角度数是x °+12°. 由题意，得x+x+12=180，解得x=140.即这个正多边形的一个内角的度数是140°.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是=9.24. 【答案】解：OE ＝OF.理由：∵MN ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠DCF.∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠DCF.∴∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF.∴OE ＝OC ，OC ＝OF.∴OE ＝OF.25. 【答案】解：(1)①∵∠A ＝50°，∠C ＝100°，∴在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝360°－∠A －∠C ＝210°.∴∠CBE ＋∠CDF ＝150°.∵外角∠CBE 和∠CDF 的平分线分别为BM ，DN ，∴∠PBC ＋∠PDC ＝12∠CBE ＋12∠CDF ＝75°.∴∠BPD ＝360°－50°－210°－75°＝25°.②当∠A ＝∠C 时，BM ∥DN.证明：如图(a)，连接BD.∵BM ∥DN ，∴∠BDN ＋∠DBM ＝180°.∴∠FDN ＋∠ADB ＋∠ABD ＋∠MBE ＝360°－180°＝180°，即12(∠FDC ＋∠CBE)＋(∠ADB ＋∠ABD)＝180°.∴12(360°－∠ADC －∠CBA)＋(180°－∠A)＝180°.∴12(360°－360°＋∠A ＋∠C)＋(180°－∠A)＝180°.∴∠A ＝∠C.(2)∵∠A ＝140°，∠G ＝100°，∠BCD ＝120°，∠A ＋∠ABC ＋∠BCD ＋∠CDG ＋∠G ＝540°，∴∠ABC ＋∠CDG ＝180°.∴∠CBE ＋∠CDF ＝180°.∵BP 平分∠CBE ，DP 平分∠CDF ，∴∠CBP＋∠CDP＝12(∠CBE＋∠CDF)＝90°.如图(b)，延长DC交BP于点Q.∵∠BCD＝∠CBP＋∠CQB，∠CQB＝∠QDP＋∠BPD，∴∠BCD＝∠CBP＋∠QDP＋∠BPD.∴∠BPD＝120°－90°＝30°.。

北师大版八年级数学上册期中压轴题复习练习题(含答案) (1)

北师大版八年级数学上册期中压轴题复习练习题1、如图，长方形AB C D中A D∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；（2）求△BEF的面积．2、如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣O B的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+O B的值．3、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线O C：y＝x交于C．（1）如图1若直线AB的解析式：y＝﹣2x+12①求点C的坐标；②求△OA C的面积；（2）如图2，作∠A O C的平分线O N，若AB⊥O N，垂足为E，且OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接A Q与P Q，是探索AQ+P Q是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．（I）请用含m的式子表示△AB M的面积；（I I）当m＝时，在y轴上有一点P，使△B M P的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．5、如图，正方形AB C D的顶点A、B分别在x轴和y轴上，D C的延长线交y轴于E，CB的延长线交x的负半轴于F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）连接EF，若EF＝5，OF＝1，OB＝2，求正方形AB C D的边长；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿x轴正方向向右移动，当AP为多少时，△PAD为等腰三角形？6、如图，△ACB和△EC D都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EC D＝90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BC D；（2）若CB＝3，A D＝2，求D E的长．7、如图1，Rt△AB C中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求C E；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接C D，若△AC D为等腰三角形，求A D．8、如图，直线y＝﹣2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣2）在y轴上，连接AC．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P是直线AB上一点，若△APC的面积为4，求点P；（3）过点B的直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，求直线BE．9、有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；米/分；（3）若线段F G∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为（4）求A、C两点之间的距离；（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．10、如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△A O C＝10．（1）求点A的坐标及m的值；（2）若S△B OP＝S△D O P，求直B D的解析式；（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QA O的面积等于△B O D面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11、如图1，正方形OAB C，其中O是坐标原点，点A（3，1）．（1）直接写出点B、C的坐标；（2）对于两条直线l：y＝k x+b和l：y＝k x+b，若有k•k＝﹣1，则可得l⊥l．比111122221212如：l：y＝x+1和l：y＝﹣x+3，因为，所以l⊥l．112212连接AC、OB，已知AC交y轴于点M，证明：AC、O B所在的直线互相垂直；（3）如图2，已知点D在第四象限，A D∥y轴，且A D＝3，P是直线OB上一点，连接PA、P D、A D，求△PAD的周长最小值．12、如图1，长方形OAB C的边O A、O C分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△A O C沿对角线AC翻折得△A D C，A D与BC相交于点E．（1）求证：△CD E≌△ABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△PO A的面积等于△A CE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．13、如图，已知直线c和直线b相交于点（2，2），直线c过点（0，3）．平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）．（1）求直线b和直线c的解析式；（2）若P是y轴上一个动点，且满足△P DE是等腰直角三角形，求点P的坐标．14、（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？15、如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）222（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a+b＝c；（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△A O B的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△C M D为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．16、如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点．直1线l：y＝﹣4x+b与l交于点D（﹣3，8）且与x轴，y轴分别交于C，E．21（1）求出点A坐标，直线l解析式；2（2）如图2，点P为线段A D上一点（不含端点），连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段P D以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间时点P的坐标；（3）如图3，平面直角坐标系中有一点G（m，2），使得S△CE G＝S△CEB，求点G坐标．参考答案1、如图，长方形AB C D中A D∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；（2）求△BEF的面积．【解答】解：（1）△BEF是等腰三角形．∵E D∥F C，∴∠DEF＝∠BFE，根据翻折不变性得到∠DEF＝∠BEF，故∠BEF＝∠BFE．∴BE＝BF．△BEF是等腰三角形；（2）∵矩形ABC D沿EF折叠点B与点D重合，∴BE＝DE，B G＝C D，∠EB G＝∠A D C＝90°，∠G＝∠C＝90°，∵AB＝C D，∴AB＝B G，设BE＝DE＝x，则AE＝AB﹣DE＝8﹣x，22在Rt△ABE中，AB+AE＝BE，222即4+（8﹣x）＝x，2解得x＝5，∴BE＝5，∵∠ABE+∠EBF＝∠ABC＝90°，∠GBF+∠EBF＝∠EB G＝90°，∴∠ABE＝∠GBF，在△ABE和△M B F中，，∴△ABE≌△GBF（ASA），∴BF＝BE＝5，∴△EBF的面积＝×5×4＝10．2、如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为（0，﹣3）；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣O B的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+O B的值．【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（3，3），∴PE＝PF＝3，在Rt△APE和Rt△BPF中，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴PA⊥PB；（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴PF＝PE，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝3，∵A（9，0），∴OA＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，∴点B的坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OB+O F＝O B+3，∴OA﹣3＝OB+3，∴OA﹣OB＝6；（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，∴OA﹣3＝3﹣OB，∴OA+O B＝6．3、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线O C：y＝x交于C．（1）如图1若直线AB的解析式：y＝﹣2x+12①求点C的坐标；②求△OA C的面积；（2）如图2，作∠A O C的平分线O N，若AB⊥O N，垂足为E，且OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接A Q与P Q，是探索AQ+P Q是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①联立AB、O C的函数表达式得：，，点C（4，4）；②直线AB的解析式：y＝﹣2x+12令y＝0，则x＝6，即OA＝6，S＝×OA×y＝×6×4＝12；△CO A C（2）O N是∠A O C的平分线，且AB⊥O N，则点A关于O N的对称点为点C，A O＝O C＝4，当C、Q、P在同一直线上，且垂直于x轴时，A Q+P Q有最小值CP，22设：CP＝OP＝x，则2x＝4＝16，解得：x＝2＝C P．4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）．（I）请用含m的式子表示△AB M的面积；（I I）当m＝时，在y轴上有一点P，使△B M P的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．【解答】解：（I）如图1所示，过M作M E⊥x轴于E，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝4，∵在第三象限内有一点M（﹣2，m），∴M E＝|m|＝﹣m，∴S△AB M＝AB×M E＝×4×（﹣m）＝﹣2m；（I I）设B M交y轴于点C，如图2所示：设P（0，n），当m＝﹣时，M（﹣2，﹣），S△AB M＝﹣2m＝3，∵在y轴上有一点P，使得△B M P的面积＝△ABM的面积相等＝6，∵△B M P的面积＝△M P C的面积+△BP C的面积＝PC×2+PC×3＝3，解得：PC＝，设直线B M的解析式为y＝kx+d，把点M（﹣2，﹣），B（3，0）代入得：，解得：，∴直线B M的解析式为y＝当x＝0时，y＝﹣∴C（0，﹣），O C＝x﹣，，，当点P在点C的下方时，P（0，﹣﹣当点P在点C的上方时，P（0，﹣），即P（0，﹣），即P（0，）；）或（0，）．）；综上所述，符合条件的点P坐标是（0，﹣5、如图，正方形AB C D的顶点A、B分别在x轴和y轴上，D C的延长线交y轴于E，CB的延长线交x的负半轴于F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）连接EF，若EF＝5，OF＝1，OB＝2，求正方形AB C D的边长；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿x轴正方向向右移动，当AP为多少时，△PAD为等腰三角形？【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABC D是正方形，∴BC＝BA，∠ABC＝∠ABF＝∠BCE＝90°，∴∠EBC+∠AB O＝90°，∠AB O+∠BAF＝90°，∴∠EBC＝∠FAB，∴△ABF≌△BCE（ASA）．（2）解：如图2中，在Rt△E OF中，∵EF＝5，OF＝1，∴OE＝＝＝7，∵OB＝2，∴EB＝5，∵BF＝＝，∵△ABF≌△BCE，∴EC＝BF＝，在Rt△EBC中，B C＝＝2．∴正方形ABC D的边长为2．（3）解：如图3中，作D H⊥x轴于H，则△A D H≌△BA O（AAS）．可得A H＝O B＝2，①当DA＝DP时，∵⊥，1D H AP1∴A H＝H P＝2，1∴AP＝4．1②当A D＝AP时，＝＝AP AB22．2③当P＝A P DP M A时，由△A OB∽△，可得3＝，33∴＝，∴AP＝5，3综上所述，满足条件的AP的值为4或2或5．6、如图，△ACB和△EC D都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EC D＝90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BC D；（2）若CB＝3，A D＝2，求D E的长．【解答】（1）证明：∵△ACB和△EC D都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝D C，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE+∠AC D＝90°，∠D CB+∠AC D＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS）．（2）解：∵△ACE≌△BC D，∴∠EAC＝∠CBD，AE＝B D，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBD＝45°，∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵CB＝3，∴AB＝6∵A D＝2，∴B D＝4，在Rt△AE D中，∵AE＝B D＝4，AD＝2∴DE＝＝2．7、如图1，Rt△AB C中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求C E；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接C D，若△AC D为等腰三角形，求A D．【解答】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠E DA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△AED（AAS），∴CE＝DE，A C＝A D＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，B D＝25﹣15＝10在Rt△BE D中22∴x+10＝（20﹣x），2∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当A D＝A C时，△AC D为等腰三角形∵AC＝15，∴A D＝A C＝15．②当C D＝A D时，△AC D为等腰三角形∵C D＝A D，∴∠D CA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠D CA+∠BC D＝90°，∴∠B＝∠BC D，∴B D＝C D，∴C D＝B D＝D A＝12.5，③当C D＝A C时，△AC D为等腰三角形，如图1中，作C H⊥BA于点H，则•AB•C H＝•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴C H＝12，在Rt△AC H中，A H＝＝9，∵C D＝A C，C H⊥BA，∴D H＝H A＝9，∴A D＝18．8、如图，直线y＝﹣2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣2）在y轴上，连接AC．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P是直线AB上一点，若△APC的面积为4，求点P；（3）过点B的直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，求直线BE．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+4交X轴和y轴于点A和点B ∴当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2∴A（2，0），B（0，4）（2）设点P（a，﹣2a+4）①如图，当点P在x轴上方时，则S△APC＝S△ABC﹣S△BPC∴4＝∴a＝，把a＝代入y＝﹣2x+4＝﹣2×+4＝∴P（，）②如图，当点P在x轴下方时则S△APC＝S△BP'C﹣S△AB C∴4＝∴a＝把a＝∴P'（，代入y＝﹣2x+4＝﹣2×+4＝﹣，，﹣）（3）当∠ABE＝°，设直线BE：y＝kx b45+如图，过点A作A D⊥AB交BE于点D，过点D作D H⊥x轴∵∠ABE＝45°，∴△BA D为等腰直角三角形，∴AB＝A D，∠BAD＝90°，∴∠BA O+∠DA H＝90°，∠DA H+∠A D H＝90°，∴∠BA O＝∠A D H，在△A OB与△D H A中，∴△A OB≌△D H A（AAS），∵OA＝2，OB＝4∴O H＝4，D H＝2∴D（6，2）∵B（0，4）∴．9、有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为95米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段F G∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为60米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95米/分；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b，∵1×（95﹣60）＝35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，，∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；（3）∵线段F G∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；（4）A、C两点之间的距离为70+60×7＝490米；（5）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距28米，由题意得，60x+70﹣95x＝28，解得，x＝1.2，前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时，35x﹣70＝28，解得，x＝2.8．4分钟﹣7分钟，直线G H经过点（4，35）和点（7，0），则直线G H的方程为y＝﹣当y＝28时，解得x＝4.6，x+，答：两机器人出发1.2分或2.8分或4.6分相距28米．10、如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△A O C＝10．（1）求点A的坐标及m的值；（2）若S△B OP＝S△D O P，求直B D的解析式；（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QA O的面积等于△B O D面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵C（0，2），∴O C＝2，∵S△A O C＝10，∴OA•O C＝10，∴OA×2＝10，∴OA＝10，∴A（﹣10，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式为y＝x+2，∵点P（2，m）在直线AC上，∴m＝×2+2＝；（2）方法1、设直线B D的解析式为y＝k'x+b'（k'＜0），∵P（2，），，∴2k'+b'＝∴b'＝﹣2k+，∴直线B D的解析式为y＝k'x﹣2k'+令x＝0，，∴y＝﹣2k'+，∴D（0，﹣2k'+令y＝0，），∴k'x﹣2k'+∴x＝2﹣∴B'（2﹣＝0，，），∴OB＝2﹣）×，∵S△B OP＝（2﹣∵S△B OP＝S△D O P，，S△D O P＝（﹣2k'+）×2，∴（2﹣）×＝（﹣2k'+）×2，∴k'＝（舍）或k＝﹣，∴直线B D的解析式为y＝﹣x+方法2、设点D（0，m），B（n，0），∵S △B OP ＝S △D O P ，∴点 P （2，∴n ＝4，m ＝）是线段 B D 的中点，，∴直线 B D 的解析式为 y ＝﹣ x+（3）由（2）知，直线 B D 的解析式为 y ＝﹣ x+， ∴D （0， ∴OB ＝4，O D ＝ ∴S △B O D ＝ OB •O D ＝ ×4×），B （4，0），，＝由（1）知，A （﹣10，0），直线 A C 的解析式为 y ＝ x+2，设 Q （a ， a+2），∴S △QA O ＝ OA •|y |＝ ×10×| a+2|＝|a+10|，Q ∵△QA O 的面积等于△B O D 面积，∴|a+10|＝ ∴a ＝﹣ 或 a ＝﹣ ∴Q （﹣ ，）或（﹣，，，﹣ ）． 11、如图 1，正方形 OAB C ，其中 O 是坐标原点，点 A （3，1）．（1）直接写出点 B 、C 的坐标；（2）对于两条直线 l ：y ＝k x+b 和 l ：y ＝k x+b ，若有 k •k ＝﹣1，则可得 l ⊥l ．比 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 如：l ：y ＝ x+1 和 l ：y ＝﹣ x+3，因为，所以 l ⊥l ． 1 1 2 2 1 2 连接 AC 、OB ，已知 AC 交 y 轴于点 M ，证明：AC 、O B 所在的直线互相垂直；（3）如图 2，已知点 D 在第四象限，A D ∥y 轴，且 A D ＝3，P 是直线 OB 上一点，连接 PA 、P D 、A D ，求△PAD 的周长最小值．【解答】解：（1）由图象的旋转知，点C的坐标为（﹣1，3），过点B作x轴的平行线，交过点C与x轴的垂线于点M，M N⊥x轴，交x轴于点N，∵∠NC O+∠CB M＝90°，∠BC M+∠M B C＝90°，∴∠M B C＝∠N C O，∠CN O＝∠B M C＝90°，C O＝CB，∴△CN O≌△BM C（AAS），∴CN＝B M＝3，C M＝O N＝1，∴点B的坐标为（2，4）；（2）把点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，则直线AC的表达式为：y＝﹣x+，同理得直线O B的表达式为：y＝2x，两直线的k乘值为﹣1，故：AC、O B所在的直线互相垂直；（3）点A关于直线OB的对称点为C，连接C D，交直线OB于点P，则△PA D的周长最小，点D的坐标为（3，﹣2）、点C坐标为（﹣1，3），△PAD的周长＝AP+A D+P D＝3+CD，C D＝＝，故：△PAD周长的最小值为：3+．12、如图1，长方形OAB C的边O A、O C分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将△A O C沿对角线AC翻折得△A D C，A D与BC相交于点E．（1）求证：△CD E≌△ABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C→O运动（到点O停止），是否存在点P，使得△PO A的面积等于△A CE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：∵四边形OAB C为矩形，∴AB＝O C，∠B＝∠A O C＝90°，∴C D＝O C＝AB，∠D＝∠A O C＝∠B，又∠CE D＝∠ABE，∴△C D E≌△ABE（AAS），∴CE＝AE；（2）∵B（8，4），即AB＝4，BC＝8．∴设CE＝AE＝n，则BE＝8﹣n，222可得（8﹣n）+4＝n，解得：n＝5，∴E（5，4）；（3）∵S△ACE＝•CE•AB＝×5×4＝10，∴S△P OA＝•OA•y＝10，P∴×8×y＝10，P∴y＝，P∴满足条件的点P的坐标为（8，）或（0，）．13、如图，已知直线c和直线b相交于点（2，2），直线c过点（0，3）．平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）．（1）求直线b和直线c的解析式；（2）若P是y轴上一个动点，且满足△P DE是等腰直角三角形，求点P的坐标．【解答】解：（1）设直线b的解析式为：y＝kx，把（2，2）代入y＝kx得，k＝1，∴直线b的解析式为：y＝x；设直线c的解析式为：y＝kx+b，把点（2，2），点（0，3）代入得，，∴，∴直线c的解析式为：y＝﹣x+3；（2）∵当x＝t时，y＝x＝t；当x＝t时，y＝﹣x+3＝﹣t+3，∴E点坐标为（t，﹣t+3），D点坐标为（t，t）．∵E在D的上方，∴DE＝﹣t+3﹣t＝﹣t+3，且t＜2，∵△P DE为等腰直角三角形，∴PE＝D E或P D＝D E或PE＝P D．t＞0时，PE＝DE时，﹣t+3＝t，∴t＝，﹣t+3＝∴P点坐标为（0，，），①若t＞0，P D＝D E时，﹣t+3＝t，∴t＝．∴P点坐标为（0，）；②若t＞0，PE＝P D时，即DE为斜边，∴﹣t+3＝2t，∴t＝，DE的中点坐标为（t，t+），∴P点坐标为（0，）．若t＜0，PE＝DE和P D＝D E时，由已知得DE＝﹣t，﹣t+3＝﹣t，t＝6＞0（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在．③若t＜0，PE＝P D时，即DE为斜边，由已知得D E＝﹣2t，﹣t+3＝﹣2t，∴t＝﹣6，t+＝0，∴P点坐标为（0，0）综上所述：当t＝时，△P D E为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或（0，）；当t＝时，△PD E为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝﹣6时，△P D E为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．14、（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：（cm）．（2）分三种情况可得：A G＝cm＞A G＝cm＞A G＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（C m）．15、如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a+b＝c；222（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△A O B的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△C M D为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．【解答】解：（1）∵S AB C D＝2×ab+c2梯形S AB C D＝（a+b）（a+b）梯形∴2×ab+c＝（a+b）（a+b）2∴2ab+c＝a+2ab+b222∴c＝a+b．222（2）连接B D，如图：SSAB C D＝c2+a（b﹣a），AB C D＝ab+b2，四边形四边形∴c+a（b﹣a）＝ab+b，22∴c＝a+b．222（3）①设O C＝a，则AC＝4﹣a，又AB＝5，根据翻折可知：B D＝AB＝5，C D＝AC＝4﹣a，O D＝B D﹣O B＝5﹣3＝2．在Rt△C O D中，根据勾股定理，得（4﹣a）＝a+4，22解得a＝．∴C（0，），D（2，0）．答：C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）．②如图：当点M在x轴正半轴上时，C M＝D M，设C M＝D M＝x，则x＝（2﹣x）+（），解得x＝2，22∴2﹣x＝，∴M（，0）；C D＝M D，＝4﹣＝，2+＝，∴M（，0）；当点M在x轴负半轴上时，C M＝C D，∵O M＝O D＝2，∴M（﹣2，0）；D C＝D M，＝4﹣＝，∴O M＝﹣2＝，∴M（﹣，0）．答：符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（﹣2，0）、（﹣，0）．16、如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点．直1线l：y＝﹣4x+b与l交于点D（﹣3，8）且与x轴，y轴分别交于C，E．21（1）求出点A坐标，直线l解析式；2（2）如图2，点P为线段A D上一点（不含端点），连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段P D以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间时点P的坐标；（3）如图3，平面直角坐标系中有一点G（m，2），使得S△CE G＝S△CEB，求点G坐标．【解答】解：（1）y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，5），将点D的坐标代入y＝﹣4x+b并解得：b＝﹣4，故直线l：y＝﹣4x﹣4；2（2）直线l：y＝﹣4x﹣4，则点C（﹣1，0），2直线l：y＝﹣x+5，则直线l的倾斜角为45°，11过点D作x轴的平行线l，过点C作C H⊥l交于点H，C H交直线l于点P，则点P为所1求，t＝+＝PC+P D＝P C+P H＝C H，直线l：y＝8，则点P的横坐标为：﹣1，则点P（﹣1，6）；（3）①点G在C E的右侧时，过点B作直线CE的平行线r，直线r于直线y＝2交于点G，则点G为所求，此时，S△CE G＝S△CEB，则直线r的表达式为：y＝﹣4x+5，当y＝2时，x＝＝m，故点G（，2），②点G在CE的左侧时，同理可得：点G（﹣，2）；故点G的坐标为：G（，2）或（﹣，2）．过点D作x轴的平行线l，过点C作C H⊥l交于点H，C H交直线l于点P，则点P为所1求，t＝+＝PC+P D＝P C+P H＝C H，直线l：y＝8，则点P的横坐标为：﹣1，则点P（﹣1，6）；（3）①点G在C E的右侧时，过点B作直线CE的平行线r，直线r于直线y＝2交于点G，则点G为所求，此时，S△CE G＝S△CEB，则直线r的表达式为：y＝﹣4x+5，当y＝2时，x＝＝m，故点G（，2），②点G在CE的左侧时，同理可得：点G（﹣，2）；故点G的坐标为：G（，2）或（﹣，2）．。