2019年高考数学1轮复习学案 训练(北师大版文科)： 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和学案
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：-第3章-三角函数、解三角形
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[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：-第3章-三角函数、解三角形第五节两角和与差及二倍角的三角函数[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．(对应学生用书第48页)[基础知识填充]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(3)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cosB 大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A．－32B．32C．－12D．12D[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D．]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C ．29D ．79A [∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A ．]4．(2017·云南二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________.【导学号：00090103】－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.π3[由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.](对应学生用书第49页)三角函数式的化简(1)化简：sin 2－2cossin⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x.(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos2α2 2sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin2x cos2x＋122sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin22x2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝12cos22xsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x.[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] 化简sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.【导学号：00090104】12[法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角函数式的求值角度1 给角求值(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°＝( )A．12B．32C． 3 D． 2(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.(1)C(2)1[(1)原式＝2cos30°－20°－sin 20°sin 70°＝错误!＝3cos 20°cos 20°＝ 3.(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]角度2 给值求值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A ．725 B ．15C ．－15D ．－725(2)(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A ．1＋358B ．1＋538C ．1－358D ．1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.(2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A ．] 角度3 给值求角(2018·长春模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )【导学号：00090105】A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝310 10.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎪⎫－1010＝22.∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．三角变换的简单应用(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65B ．1C ．35D ．15(2)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x∈R.①求f (x )的最小正周期；②求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．(1)A [法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值65. 故选A ．法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A ．](2)①由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.②因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数化为y＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.[解] (1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.。
2019年高考数学一轮复习学案+训练(北师大版理科)： 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和
第二节 等差数列及其前n 项和[考纲传真] (教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．(对应学生用书第82页)[基础知识填充]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)． (2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． [知识拓展] {a n }为等差数列，S n 是{a n }前n 项和(1)若a n ＝m ，a m ＝n ，则a m ＋n ＝0， (2)若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )， (3)若S m ＝S k (m ≠k )，则S m ＋k ＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D ．] 3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．6B [由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B ．]4．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.180 [由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.](对应学生用书第82页)(1)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【导学号：79140171】(1)C (2)－72 [(1)设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]方程思想：等差数列的基本量为首项n 项和公式列方程组求解，等差数列中包含整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用联系，整体代换即可求解.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程[跟踪训练n n 11a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．15(2)《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为( ) A ．16129B ．16131C ．8115D ．8015(1)B(2)A[(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列{a n }，且a 1＝5，S 30＝390，设公差为d ，则30×5＋30×292×d ＝390，解得d ＝1629，则a 2＝a 1＋d ＝16129，故选A ．]n n 23(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列． 定义法：d 是常数⇔{等差中项法：＝a n ＋a 2n ∈N ＋⇔通项公式：qp ，为常数⇔{前An 2＋BnA ，为常数⇔{[跟踪训练] (1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n(2)已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N＋)．①求证：数列{b n }是等差数列． ②求数列{a n }中的通项公式a n . (1)A [由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.](2)①证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，b n ＝1a n －1. 所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52， 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．②由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.(1)(2018·东北三省三校二联)等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝39，a 5＋a 7＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项的和S 9等于( ) A ．66 B ．99 C ．144D ．297(2)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝________，S n 的最大值为________.【导学号：79140172】(1)B (2)10或11 55 [(1)根据等差数列的性质知a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝39，可得a 3＝13.由a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝27，可得a 7＝9，故S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 3＋a 7)2＝99，故选B ．(2)法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12， 所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ，所以d ＝－1. 所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n ＞0， 当n ≥12时，a n ＜0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.法二：同法一求得d ＝－1. 所以S n ＝10n ＋n (n －1)2·(－1)＝－12n 2＋212n＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋4418.因为n ∈N ＋，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 法三：同法一求得d ＝－1. 又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0. 所以3a 11＝0，即a 11＝0.所以当n ＝10或11时，S n 有最大值． 且最大值为S 10＝S 11＝55.] 项的性质：在等差数列＝m －d ⇔m ≠，其几何意义是点n ，，m ，m 所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列{为其前n 项和，则①S 2n ＝n a 1＋a 2n ＝…＝n a n ＋②S 2n －1＝n －a n .求等差数列前n 项和最值的两种方法函数法：利用等差数列前次函数最值的方法求解邻项变号法①当a 1>0[跟踪训练] (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若6a 5＝11，则11S 9＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．12(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. (1)A (2)200 [S 11S 9＝11(a 1＋a 11)29(a 1＋a 9)2＝11a 69a 5＝119×911＝1.(2)依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.]。
2019年高考数学一轮复习学案北师大版文科重点强化训练3不等式及其应用文_37
重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D ．] 2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( ) 【导学号：00090208】 A ．－4 B ．6 C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ．]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C ．]4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4， 解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a .化简可得a＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x ＜2，解得0＜x ＜1，故选C ．] 二、填空题6．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．(2016·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为________. 【导学号：00090209】22 [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，得ab ＝1， 则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．] 8．(2018·苏州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，f m ＋＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. 1分①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a>－1，即a <－1，则 －1<x <1a.5分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ；当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a . 6分 (2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0， 10分∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞). 12分10．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？[解] 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[4，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2． 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是__________．－52[法一：由于x >0， 则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1.②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0. ③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.]3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋f nm ＋n>0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围.【导学号：00090210】[解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2).2分∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0. 又已知f x 1＋f －x 2x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，4分(2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1.8分(3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.10分对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0，∴g(－1)≥0，g(1)≥0，解得t≤－2或t＝0或t≥2.∴t的取值范围是{t|t≤－2或t＝0或t≥2}.12分。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和学案 文
第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．(对应学生用书第72页) [基础知识填充]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为＝q(n∈N *，q 为非零常数)．an ＋1an (2)等比中项：如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G 2＝ab ，G ＝±，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是aG a bG ab 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝aB ．2．等比数列的通项公式与前n 项和公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝Error!3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .(2)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列；当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列；当q ＝1时，数列{a n }是常数列．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .[知识拓展]1．“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．2．若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n (k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝.a 11－q [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝aB ．( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝.( )a 1－an1－a [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的公比为－，则的值是( )12a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6A ．－2 B ．－ 12C ． D ．212A [＝＝－2.]a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6a 1＋a 3＋a 5－12 a 1＋a 3＋a 53．(2017·东北三省四市一联)等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＝6，a 3＝8，则a 6＝( ) 【导学号：00090168】A ．64B ．128C ．256D ．512A [设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则由Error!解得Error!或Error!(舍去)，所以a 6＝a 1q 5＝64，故选A ．]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2018·长春模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴＝126，解得n ＝6.]2 1－2n 1－2(对应学生用书第72页)等比数列的基本运算 (1)(2018·合肥模拟)已知S n 是各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( )A ．32B ．64C ．128D ．256(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．(1)C (2)2n －1 [(1)∵{a n }为等比数列，a 2·a 4＝16，∴a 3＝4.∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴S 2＝＝3，∴(1－q 2)a 1 1－q 2 1－q 4q 2＝3(1－q )，即3q 2－4q －4＝0，∴q ＝－或q ＝2.∵a n >0，∴q ＝2，23则a 1＝1，∴a 8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q ，则有Error!解得Error!或Error!又{a n }为递增数列，∴Error!∴S n ＝＝2n －1.]1－2n1－2[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－ 12C ．1或－D ．－1或1212(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则＝________.S 6S 3【导学号：00090169】(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得Error!②÷①得＝3.1＋q ＋q 2q 2整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－.12(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝，得a 1 1－qn1－q S 6＝，S 3＝，所以＝·＝28.]a 1 1－36 1－3a 1 1－331－3S 6S 3a 1 1－36 1－31－3a 1 1－33 等比数列的判定与证明 (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝，求λ.3132[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，2分故λ≠1，a 1＝，故a 1≠0.3分11－λ由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .5分由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以＝.an ＋1an λλ－1因此{a n }是首项为，公比为的等比数列，11－λλλ－1于是a n ＝n －1.7分11－λ(λλ－1)(2)由(1)得S n ＝1－n .9分(λλ－1)由S 5＝得1－5＝，即5＝.10分3132(λλ－1)3132(λλ－1)132解得λ＝－1.12分[规律方法] 等比数列的判定方法(1)定义法：若＝q (q 为非零常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．an ＋1an (2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a ＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比2n ＋1数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．[变式训练2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，①∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，即2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2c n ＋1＝c n .3分由a 1＋S 1＝1得a 1＝，∴c 1＝a 1－1＝－，1212从而c n ≠0，∴＝.cn ＋1cn 12∴数列{c n }是以－为首项，为公比的等比数列.6分1212(2)由(1)知c n ＝－×n －1＝－n ，7分12(12)(12)又c n＝a n－1，∴a n＝c n＋1＝1－n，9分(12)∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－n －＝n .(12)[1－(12)n －1](12)又b 1＝a 1＝，适合上式，故b n＝n.12分12(12)等比数列的性质及应用 (1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝3，则＝( ) 【导学号：00090170】S 6S 3S 9S 6A ．2B ．73C ．D ．383(1)B (2)B [(1)由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即2m 数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5，故选B ．(2)法一：由等比数列的性质及题意，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴＝，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴＝.S 6－S 3S 3S 9－S 6S 6－S 3S 9S 673法二：＝1＋＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2.S 6S 3a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3则＝＝＝.]S 9S 61－q 91－q 61－231－2273[规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[变式训练3] (1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{a n }中，a 1 008·a 1 009＝，则1100lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝( )A ．2 015B ．2 016C ．－2 015D ．－2 016(2)(2018·湖北六校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则S n ＝a －a ＋a －a ＋…＋a －a 等于( )212232422n －122n A ．(2n －1) B ．(1－24n )1315C ．(4n －1)D ．(1－2n )1313(1)D (2)B [(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝lg a 1a 2…a 2 016＝lg(a 1 008·a 1 009)1 008＝lg 1 008＝lg 1 008＝－2 016，故选D ．(1100)(10－2)(2)在数列{a n }中，由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，可得a n ＝2n －1，则S n ＝a －a ＋a －a ＋…＋a －a 212232422n －122n ＝1－4＋16－64＋…＋42n －2－42n －1＝＝(1－42n )＝(1－24n )．]1－ －4 2n 1－ －4 1515。
北师大版高中数学选择性必修第一册课后习题 第五章 §3 第1课时 组合(一)
第五章计数原理§3组合问题第1课时组合(一)课后篇巩固提升合格考达标练1.下列问题中,组合问题的个数是( )①从全班50人中选出5人组成班委会;②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员;③从1,2,3,…,9中任取两个数求积;④从1,2,3,…,9中任取两个数求差或商.A.1B.2C.3D.4,从50人中选出5人组成班委会,不考虑顺序,是组合问题;②为排列问题;对于③,从1,2,3,…,9中任取两个数求积是组合问题;因为乘法满足交换律,而减法和除法不满足,故④为排列问题.2.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种,选2名男医生、1名女医生的方法有C 62C 51=75(种). 3.C 30+C 41+C 52+C 63+…+C 的值为( )A.C 3B.C 3C.C 4D.C 430+C 41+C 52+C 63+…+C =C 44+C 43+C 53+…+C 3=C 4.4.若集合M={的元素共有 ( )A.1个B.3个C.6个D.7个C 70=C 77=1,C 71=C 76=7,C 72=C 75=7×62!=21,C 73=C 74=7×6×53×2=35>21,∴x=0,1,2,5,6,7.5.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种(用数字填写答案).方法一)可分两种情况:第一种情况,只有1位女生入选,不同的选法有C 21C 42=12(种);第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有C 22C 41=4(种).根据分类加法计数原理知,至少有1位女生入选的不同的选法有16种.(方法二)从6人中任选3人,不同的选法有C 63=20(种),从6人中任选3人都是男生,不同的选法有C 43=4(种),所以至少有1位女生入选的不同的选法有20-4=16(种).6.以下四个式子:①C n m =A n m m !;②A n m =n A n -1m -1;③C n m ÷C nm+1=m+1n -m;④C n+1m+1=n+1m+1C n m.其中正确的个数是 .;②式中A n m =n(n-1)(n-2)…(n -m+1),A n -1m -1=(n-1)(n-2)…(n -m+1), 所以A n m =n A n -1m -1,故②式成立; 对于③式,C nm ÷C nm+1=C n m C nm+1=A n m ·(m+1)!m !·A nm+1=m+1n -m,故③式成立;对于④式,C n+1m+1=A n+1m+1(m+1)!=(n+1)·A n m (m+1)m !=n+1m+1C n m,故④式成立.7.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则mn=.m=C42,n=A42,∴mn =12.8.如图,有A,B,C,D四个区域,用五种不同的颜色给它们涂色,要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法?1步,涂A区域有C51种方法;第2步,涂B区域有C41种方法;第3步,涂C区域和D区域;若C区域涂与A区域相同的颜色,则D区域有4种涂法;若C区域涂A、B剩余3种颜色之一,即有C31种涂法,则D区域有C31种涂法.故共有C51·C41·(4+C31·C31)=260种不同的涂色方法.9.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.从中任取5人是组合问题,共有C125=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需从另外9人中选2人,是组合问题,共有C92=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有C95=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分为两步:先从甲、乙、丙中选1人,有C31=3种选法,再从另外9人中选4人,有C94种选法,共有C31C94=378种不同的选法.等级考提升练10.用0,1,…,9十个数字组成的三位数中,有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.2799×10×10=900.没有重复数字的三位数有C91A92=648,所以有重复数字的三位数的个数为900-648=252.11.若A n3=12C n2,则n等于( )A.8B.5或6C.3或4D.4A n3=n(n-1)(n-2),C n2=12n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=12×12n(n-1).又n∈N+,且n≥3,所以n=8.12.(山东济宁期末)某校开设10门课供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位学生选修三门,则每位学生不同的选修方案种数是( )A.120B.98C.63D.35,分2种情况讨论:①从A,B,C三门中选出1门,其余7门中选出2门,选法有C31C72=63(种);②从除A,B,C三门之外的7门中选出3门,选法有C73=35(种).故不同的选法种数为63+35=98.13.(多选题)若C17x=C172x-1,则正整数x的值是( )A.1B.4C.6D.8C 17x =C 172x -1,∴x=2x-1或x+2x-1=17, 解得x=1或x=6, 经检验都满足题意. 故选AC.14.(多选题)在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,从这100件产品中任意抽出3件,则( )A.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C 21C 982种B.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C 21C 982+C 22C 981种C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C 21C 982+C 22C 981种D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C 1003−C 983种,依次分析选项:对于A,抽出的3件中恰好有1件是不合格品,即2件合格品,1件不合格品,有C 21C 982种抽取方法,A 正确,B 错误;对于C,抽出的3件中至少有1件是不合格品,即2件合格品,1件不合格品或1件合格品,2件不合格品,有C 21C 982+C 22C 981种抽取方法,C 正确;对于D,用间接法分析,抽出的3件中没有不合格品的抽取方法有C 983种,则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C 1003−C 983种,D 正确.故选ACD.15.某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上不同的选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种(结果用数值表示).x 种不同的素菜.由题意,得C 52·C x 2≥200, 从而有C x 2≥20,即x(x-1)≥40.又x ∈N +,所以x 的最小值为7.16.已知集合A={1,2,3,4,5},则至少含一个偶数的集合A 的子集个数为 .方法一)当子集中含有1个偶数时,共有C 21(C 30+C 31+C 32+C 33)=16(个);当子集中含有2个偶数时,共有C 30+C 31+C 32+C 33=8(个);满足题意的集合A的子集个数为16+8=24(个).(方法二)集合A的子集共有C50+C51+C52+C53+C54+C55=32(个),不符合题意的子集有空集、分别只含有1,2,3个奇数的子集,有C50+C31+ C32+C33=8(个),故符合题意的子集个数为32-8=24(个).17.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们一一进行测试,直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次测试才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?先排前4次测试,只能取正品,有A64种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有A42种测法,再排余下4件的测试位置,有A44种测法.所以共有不同测试方法A64·A42·A44=103680(种).(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C41·(C61·C33)A44=576(种).新情境创新练18.某次足球比赛中,共有32支球队参加,它们先平均分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组第一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,请问这次足球赛总共进行多少场比赛?:(1)小组循环赛:每组有C42=6(场),8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛:8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛:根据赛制规则,8强中每两个队比赛一次,可以决出4强,共有4场;(4)半决赛:根据赛制规则,4强每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛:2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名,共有2场.综上,由分类加法计数原理知,共有48+8+4+2+2=64场比赛.。
2019届一轮复习北师大版 数 列 学案
第12练 数 列[明考情]数列在高考中以“一大一小”的形式考查.“一小”考查频率较高，难度为中档. [知考向]1.等差数列与等比数列.2.数列的通项与求和.3.等差、等比数列的综合应用.考点一 等差数列与等比数列要点重组 (1)在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列.(3)在等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等差数列.(4)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .(5)在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外).1.(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A.1B.2C.4D.8 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2.已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2，则a 21等于( )A.29B.210C.211D.212 答案 C解析 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1，b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2，b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3，…，a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，∴a 21＝2b 1b 2b 3…b 20.又{b n }为等比数列，∴a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.故选C.3.(2017·吉林普通中 调研)设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( ) A.－10B.－5C.0D.5 答案 C解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，因为a 24＋a 25＝a 26＋a 27，所以(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)， 所以－2da 5＝2da 6，于是a 5＋a 6＝0.由等差数列的性质，有a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0， 所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝0，故选C.4.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4等于( )A.2B.73C.310D.1或2答案 B解析 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列， 又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.5.(2017·安徽蚌埠质检)数列{a n }是以a 为首项，q (q ≠1)为公比的等比数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1，2，…)，数列{c n }满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1，2，…)，若{c n }为等比数列，则a ＋q 等于( ) A.2B.3C.5D.6 答案 B解析 由题意知，a n ＝aq n －1，则b n ＝1＋a (1－q n )1－q ＝1＋a 1－q －aq n 1－q，得c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－q n －a 1－q ·q (1－q n)1－q ＝2－aq(1－q )2＋1－q ＋a 1－q n ＋aq n ＋1(1－q )2， 要使{c n}为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－aq (1－q )2＝0，1－q ＋a1－q ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，q ＝2，所以a ＋q ＝3，故选B. 6.(2016·全国Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为__________. 答案 64解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.∴a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)211749(7)22241122n n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当n ＝3或4时，12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －722－494取到最小值－6， 此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值26，∴a 1a 2…a n 的最大值为64. 考点二 数列的通项与求和方法技巧 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.(2)利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项时，要注意检验n ＝1的情况.7.在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2，且n ∈N *)，则a n 等于( )A.2－1nB.1－1nC.1nD.2－1n －1答案 A解析 ∵a n －a n －1＝1n (n －1)，∴a 2－a 1＝11×2＝1－12，a 3－a 2＝12×3＝12－13，a 4－a 3＝13×4＝13－14，…，a n －a n －1＝1n －1－1n ，∴上式相加得a n －a 1＝1－1n.又a 1＝1，∴a n ＝2－1n.当n ＝1时，上式也成立，故选A.8.(2017·贵阳一模)数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2017等于( )A.12017B.12016C.20162017D.20152016答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，∴11－a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴11－a n＝1＋(n －1)＝n ， ∴11－a 2017＝2017，解得a 2017＝20162017.9.(2017·全国Ⅰ)几位大 生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家 习数 的兴趣，他们推出了“解数 题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数 问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110答案 A解析 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推.则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (1＋n )2.由题意知，N >100，令n (1＋n )2>100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后.第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n +1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (1＋n )2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n29×(1＋29)＋3)⇒n最小为29，此时k＝5，则N＝2＋5＝440.故选A.10.已知f (x )＝log 2x 1－x＋1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ，n 为正整数，则a 2018等于( ) A.2017B.2019C.1009D.1008 答案 A解析 因为f (x )＝log 2x1－x＋1，所以f (x )＋f (1－x )＝log 2x1－x ＋1＋log 21－x x ＋1＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＝2， f ⎝⎛⎭⎫2n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －2n ＝2，…， f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＝2，由倒序相加，得2a n ＝2(n －1)，a n ＝n －1， 所以a 2018＝2018－1＝2017，故选A.11.若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________________. 答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1). ∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1.12.(2017·兰州一诊)在已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n ＝1成立，则S 2017＝________.答案11009解析 当n ≥2时，由2a na n S n －S 2n ＝1， 得2(S n －S n －1)＝a n S n －S 2n ＝－S n S n －1， 所以2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2017＝11009.考点三 等差、等比数列的综合应用方法技巧 巧用性质，整体考虑，减少换算量.13.已知在等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋2B.1－2C.3＋22D.3－2 2 答案 C解析 ∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴12a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍). ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8(1＋q )a 1q 6(1＋q )＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 14.(2017·石家庄一模)已知函数f (x )的图象关于x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项的和为( ) A.－200 B.－100 C.－50 D.0答案 B解析 可得a 50＋a 51＝－2，又{a n }是等差数列， 所以a 1＋a 100＝a 50＋a 51＝－2，则{a n }的前100项的和为100(a 1＋a 100)2＝－100.15.(2017·自贡模拟)《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40 .今共有粮m (m ＞0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为( )A.20 ，369B.80 ，369C.40 ，360D.60 ，365 答案 A解析 设“衰分比”为a ，甲衰分得b 石， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b (1－a )2＝80，b (1－a )＋b (1－a )3＝164，b ＋80＋164＝m ，解得b ＝125，a ＝20 ，m ＝369.16.若数列{a n }对任意的正整数n 和m 等式a 2n ＋m ＝a n ×a n ＋2m 都成立，则称数列{a n }为m 阶梯等比数列.若{a n }是3阶梯等比数列且a 1＝1，a 4＝2，则a 10＝________.答案 8解析 由题意可知，当{a n }是3阶梯等比数列时，a 2n ＋3＝a n a n ＋6，a 24＝a 1a 7，所以a 7＝4，由a 27＝a 4a 10，得a 10＝a 27a 4＝8.17.已知函数f (x )＝3|x ＋5|－2|x ＋2|，数列{a n }满足a 1<－2，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.若要使数列{a n }成等差数列，则a 1的取值集合为______________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11，－112，－194解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋11，x ≥－2，5x ＋19，－5<x <－2，－x －11，x ≤－5，所以若数列{a n }成等差数列，则当a 1为直线y ＝x ＋11与直线y ＝－x －11的交点横坐标时，即a 1＝－11.此时数列{a n }是以－11为首项，11为公差的等差数列；当f (a 1)＝a 1时，即5a 1＋19＝a 1或－a 1－11＝a 1，即a 1＝－194或a 1＝－112，数列{a n }是以0为公差的等差数列，因此a 1的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11，－112，－194.18.(2017·湘潭市雨湖区模拟)已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项，若a 1＝6m ，其中m 为给定的正整数，则d 的所有可能取值的和为__________. 答案 12(2m +1－1)(3m +1－1)解析 ∵公差d 是a 1＝6m 的约数， ∴d ＝2i ·3j (i ，j ＝0，1，2，…，m )，∴d 的所有可能取值之和为∑i ＝0m 2i ·∑j ＝0m 3j ＝12(2m +1－1)·(3m +1－1).1.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( ) A.210B.211C.224D.225 答案 B解析 当n ＞1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2.数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，∴S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋282×14＝211.2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和为( )A.16B.20C.33D.120 答案 C解析 a 2＝2a 1＝2， a 3＝a 2＋1＝3， a 4＝2a 3＝6， a 5＝a 4＋1＝7， a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.3.已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前2017项的和S 2017＝________. 答案20174035解析 由a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)， 可得1a n ＋1－1a n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为2的等差数列，故1a n ＝1a 1＋(n －1)×2＝2n －1，所以a n ＝12n －1. 又b n ＝a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S 2017＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋14033－14035＝12×40344035＝20174035. 4.已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________.答案212解析 由题意，得a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)， 累加整理可得a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n ＋33n－1. 由函数f (x )＝x ＋33x－1(x ＞0)的单调性可知，当n ＝5或n ＝6时，a nn 取最小值.又f (6)＝212，f (5)＝535，∴⎝⎛⎭⎫a n n min＝212.1.(2017·全国Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A.－24B.－3C.3D.8 答案 A解析 由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24. 故选A.2.(2017·浙江)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 方法一 ∵数列{a n }是公差为d 的等差数列， ∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， ∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d .若d ＞0，则21d ＞20d ，10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ， 即S 4＋S 6＞2S 5.若S 4＋S 6＞2S 5，则10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ， 即21d ＞20d ，∴d ＞0.∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件. 故选C.方法二 ∵S 4＋S 6＞2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6＞2(S 4＋a 5)⇔a 6＞a 5⇔a 5＋d ＞a 5⇔d ＞0， ∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件. 故选C.3.(2017·湖南十三校联考)已知函数f (x )＝x 2cos πx 2，在数列{a n }中，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项之和S 100＝________. 答案 10200解析 因为f (x )＝x 2cos πx2，所以a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2cos n π2＋(n ＋1)2cos (n ＋1)π2a 4n －3＝(4n －3)2cos (4n －3)π2＋(4n －2)2cos (4n －2)π2＝－(4n －2)2，同理可得a 4n －2＝－(4n －2)2， a 4n －1＝(4n )2，a 4n ＝(4n )2，所以a 4n －3＋a 4n －2＋a 4n －1＋a 4n ＝－2(4n －2)2＋2(4n )2＝8(4n －1)， 所以{a n }的前100项之和S 100＝8(3＋7＋…＋99)＝10200.4.(2017·淮南一模)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10等于( )A.1941B.1737C.715D.2041 答案 A解析 ∵a 3＋a 152(b 3＋b 9)＝2a 92(b 3＋b 9)＝a 9b 3＋b 9，∴a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝a 9b 3＋b 9＋a 3b 2＋b 10＝a 9b 1＋b 11＋a 3b 1＋b 11＝a 3＋a 9b 1＋b 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝11(a 1＋a 11)211(b 1＋b 11)2＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941. 5.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足2S 2n －(3n 2－n －4)S n －2(3n 2－n )＝0，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式是( )A.a n ＝3n －2B.a n ＝4n －3C.a n ＝2n －1D.a n ＝2n ＋1 答案 A解析 由2S 2n －(3n 2－n －4)S n －2(3n 2－n )＝0，n ∈N *，因式分解可得[2S n －(3n 2－n )](S n ＋2)＝0，因为数列{a n }的各项均为正数，所以2S n ＝3n 2－n . 当n ＝1时，2a 1＝3－1，解得a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n 2－n －[3(n －1)2－(n －1)]＝6n －4，即a n ＝3n －2. 当n ＝1时，上式成立. 所以a n ＝3n －2(n ∈N *).6.已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13等于( ) A.143B.156C.168D.195 答案 C解析 由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1可知， a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2， ∴a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1.又a 1＋1＝1，故数列{a n ＋1}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n ＋1＝n ， ∴a 13＋1＝13，则a 13＝168.7.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d <0；②S 11>0；③使S n >0的最大n 值为12；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|，其中正确命题的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.1答案 B解析 ∵S 6>S 7>S 5，∴a 7<0，a 6>0，a 6＋a 7>0， 因此|a 6|>|a 7|；d ＝a 7－a 6<0； S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0；S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，而S 13＝13a 7<0，因此满足S n >0的最大n 值为12.由于a 7<0，a 6>0，数列{S n }中的最大项为S 6， ∴④错，①②③⑤正确，故选B.8.(2017·永州二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n (λ－n )－6，若数列{a n }单调递减，则λ的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，3) C.(－∞，4) D.(－∞，5)答案 A解析 ∵S n ＝3n (λ－n )－6，① ∴S n －1＝3n －1(λ－n ＋1)－6，n ＞1，②由①－②，得a n ＝3n －1(2λ－2n －1)(n ＞1，n ∈N *). ∵数列{a n }为单调递减数列， ∴a n ＞a n ＋1，∴3n －1(2λ－2n －1)＞3n (2λ－2n －3)，化为λ＜n ＋2(n ＞1)，∴λ＜3.又a 1＞a 2，∴λ＜2.综上，λ＜2.9.(2017·全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则k ＝1n1S k＝________. 答案2nn ＋1解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则 由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.∴k ＝1n1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.10.公差不为0的等差数列{a n }的部分项123k k k a a a ，，，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________. 答案 22解析 根据题意可知，等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒4k a ＝a 1＋(n －1)(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22，即k 4＝22.11.(2017·上海青浦区一模)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围是____________. 答案 (－3，＋∞)解析 ∵数列{a n }是单调递增数列，∴∀n ∈N *，a n ＋1＞a n ，(n ＋1)2＋b (n ＋1)＞n 2＋bn ，化为b ＞－(2n ＋1). ∵数列{－(2n ＋1)}是单调递减数列，∴当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b ＞－3.12.(2017·重庆二诊)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2n ＝n －a n ，a 2n ＋1＝a n ＋1，则S 100＝________.(用数字作答) 答案 1306解析 由题设可得a 2n ＋a 2n ＋1＝n ＋1，取n ＝1，2，3，…，49，可得a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＝3，a 6＋a 7＝4，…，a 98＋a 99＝50，将以上49个等式两边分别相加，可得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋…＋a 98＋a 99＝2＋502×49＝1274.又a 3＝a 1＋1＝2，a 6＝3－a 3＝1，a 12＝6－a 6＝5，a 25＝a 12＋1＝6，a 50＝25－a 25＝19，a 100＝50－a50＝31，所以S100＝1＋1274＋31＝1306.。
2019大一轮高考总复习文数北师大版阶段复习检测5数列
阶段复习检测(五) 数 列教师用书独具时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并满足：a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( ) A ．7 B ．12 C ．14D ．21解析：选C 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n 知数列{a n }为等差数列， 由a 5＝4－a 3得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝14.2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11得a 11＝0，即a 1＋10d ＝0.由于d ＝－2，所以a 1＝20. 3．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132解析：选C 在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，∴a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋3，解a 1＋5d ＝6，∴数列{a n }的前11项和S 11＝112(a 1＋a 11)＝11(a 1＋5d )＝11×6＝66.故选C ．4．(2018·青岛模拟)已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：选C ∵S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.∴S m ＝m ＋1－1＝10，得m ＝120.5．(2018·衡水模拟)已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( )A ．20B ．25C ．50D ．不存在解析：选A (a 7＋a 14)2＝a 27＋a 214＋2a 7·a 14≥4a 7a 14＝4a 1a 20＝400.∴a 7＋a 14≥20.6．(2018·东北三省四市模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A ．9B ．15C ．18D ．30解析：选C 由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2018·厦门调研)等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，S 3＝14，且a 1＋8,3a 2，a 3＋6依次成等差数列，则a 1·a 3等于( )A ．4B ．9C ．16D ．25解析：选C ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14，a 1＋8＋a 3＋6＝6a 2，∴7a 2＝28，即a 2＝4，∴a 1·a 3＝a 22＝16.8．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N ＋，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1C ．12D ．2解析：选D 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，∴2λ＝1，得λ＝2，故选D ．9．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n －1C ．1－4n 3D ．4n －13解析：选B 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列．∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3(1－4n )1－4＝4n－1.10．抛物线 x 2＝12y 在第一象限内图像上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N ＋，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6＝( )A ．64B ．42C ．32D ．21解析：选B ∵y ＝2x 2(x ＞0)，∴y ′＝4x ，∴x 2＝12y 在第一象限内图像上一点(a i,2a 2i )处的切线方程是：y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，整理，得4a i x －y －2a 2i ＝0，∵切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1，∴a i ＋1＝12a i ，∴{a 2k }是首项为a 2＝32，公比q ＝14的等比数列，∴a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42.故选B ．11．(2018·广元诊断)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立．若b n ＝log 2a n ，则b 1 008＝( )A ．2 017B ．2 016C ．2 015D ．2 014解析：选A 在a n ＝34S n ＋2中令n ＝1得a 1＝8，因为对任意正整数n ，都有a n ＝34S n ＋2成立，所以a n ＋1＝34S n ＋1＋2成立，两式相减得a n ＋1－a n ＝34a n ＋1，所以a n ＋1＝4a n ，又a 1≠0，所以数列{a n }为等比数列，所以a n ＝8·4n －1＝22n ＋1，所以b n ＝log 2a n ＝2n ＋1，所以b 1 008＝2017，故选A ．12．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134 解析：选C ∵b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n为常数， ∴{b n }为等差数列．设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22.由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S 11，S 12最大且S 11＝S 12＝132.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知正项等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 13·a 16＝256，a 7＝2，则数列{a n }的公比为________． 解析：∵正项等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 13·a 16＝256，∴a 49＝a 2·a 5·a 13·a 16＝256，解得a 9＝4，又a 7＝2，∴数列{a n }的公比q ＝a 9a 7＝ 2. 答案： 214．(2018·大庆模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S 6＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴a 2＋a 4＝54＝q (a 1＋a 3)＝52q ，解得q ＝12.∴a 1⎝⎛⎭⎫1＋14＝52，解得a 1＝2.则S 6＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1261－12＝6316. 答案：631615．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 015＝________.解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k ，k ∈N ＋时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，∴S 2 015＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 014＋a 2 015)＝1＋(－1)×1 007＝－1 006.答案：－1 00616．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N＋)．若不等式λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N ＋恒成立，则实数λ的最大值为________．解析：a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝(2n －1)a n ，⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N ＋.λa n ≤n ＋8n 就是λ≤(n ＋8)(2n －1)n ⇒λ≤2n －8n ＋15.2n －8n ＋15在n ≥1时单调递增，其最小值为9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.答案：9三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018·西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝－3，S 10＝－40.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2,4,8，…，2n ，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)∵a 5＝a 1＋4d ＝－3， S 10＝10a 1＋45d ＝－40， 解得a 1＝5，d ＝－2. ∴a n ＝－2n ＋7.(2)依题意，b n ＝a 2n ＝－2×2n ＋7＝－2n ＋1＋7，故T n ＝－(22＋23＋…＋2n ＋1)＋7n ＝－22－2n ＋1×21－2＋7n ＝4＋7n －2n ＋2.18．(12分)(2018·新乡模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ，以及前n 项和S n ；(2)若S 1＋S 2，S 1＋S 3，m (S 2＋S 3)成等差数列，求实数m 的值． 解：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1. ∴n ≥2时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，又a 1＝12，因此n ＝1时也成立．∴a n ＝⎝⎛⎫12n ，∴S n＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n. (2)由(1)可得：S 1＝12，S 2＝34，S 3＝78.∵S 1＋S 2，S 1＋S 3，m (S 2＋S 3)成等差数列， ∴12＋34＋m ⎝⎛⎭⎫34＋78＝2⎝⎛⎭⎫12＋78. 解得m ＝1213.19．(12分)(2018·九江模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＋2＝4S n ＋6，n ∈N ＋.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)∵各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 满足S n ＋2＝4S n ＋6，n ∈N ＋，∴n ＝1时，S 3＝4S 1＋6，∴a 1＋a 2＋a 3＝4a 1＋6，① n ＝2时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)＋6，② 由②－①，得a 4＝4a 2＝a 2q 2， ∴q 2＝4，∵q ＞0，∴q ＝2， 由①式知a 1(1＋q ＋q 2)＝4a 1＋6，∴a 1(1＋2＋4)＝4a 1＋6,3a 1＝6，解得a 1＝2，∴a n ＝2n . (2)∵b n ＝n a n ，∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，③∴12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n 1，④ 由③－④，得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n .20．(12分)(2018·云南统检)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N ＋，都有2S n ＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n (a n ＋2)的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1.(1)解：因为2S n ＝(n ＋1)a n ， 当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1, 所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n (n ≥2)．(2)证明：由(1)知a n ＝2n ，令b n ＝4a n (a n ＋2)，n ∈N ＋，所以b n ＝42n (2n ＋2)＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. 因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1.显然当n ＝1时，T n 取得最小值12.所以12≤T n <1.21．(12分)数列{a n }满足：a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N ＋)． (1)记d n ＝a n ＋1－a n ，求证：数列{d n }是等比数列；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，证明S n ＜32.证明：(1)∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， ∴d n ＋1d n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n ＝2a n ＋1－2a na n ＋1－a n＝2， ∴数列{d n }是等比数列，∴d 1＝a 2－a 1＝1，q ＝2， ∴d n ＝2n －1.(2)∵d n ＝2n －1，d n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝20，a 3－a 2＝21，a 4－a 3＝22…a n －a n －1＝2n －2，∴累加得：a n －a 1＝20＋21＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，∴a n ＝2n －1＋1.∴1a n ＝12n －1＋1＜12n －1(n ≥2)，n ＝1时，S n ＝12＜32成立； ∴当n ≥2时，S n ＝12＋12＋122＋…＋12n －1＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12＝32－12n ＜32.22．(12分)已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝12，数列{ a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝2b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)是否存在自然数m ，使得对于任意n ∈N ＋，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＜m －84恒成立？若存在，求出m 的最小值．解：(1)因为S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)， 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1. 所以a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1. 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1.即a n a n －1＝n －1n ＋1. 又a 1＝12，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·12＝1n (n ＋1).当n ＝1时，上式成立，故a n ＝1n (n ＋1).因为b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，故b n ＝2n . (2)由(1)知，b n ＝2n .则1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1.假如存在自然数m ，使得对于任意n ∈N ＋，n ≥2， 有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＜m －84恒成立，即2－12n －1＜m －84恒成立．又∵2－12n －1＜2， ∴只需m －84≥2即可，解得m ≥16.所以存在自然数m ，使得对于任意n ∈N ＋，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1m －84恒成立．此时m 的最小值为16.。
【北师大版理科】2019年高考数学一轮复习学案 第5章 数列 第4节 数列求和
第四节 数列求和[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．(对应学生用书第87页)[基础知识填充]1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16D ．130B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( ) A ．9 B ．99 C ．10D ．100B [∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(n ＋1－n )＋(n －n －1)＋…＋(3－2)＋(2－1)＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝9，得n ＝99，故选B.]4．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________.9 [S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.2n ＋1－2＋n 2[S n ＝2(1－2n)1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.](对应学生用书第87页)(2016·北京高考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． [解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…)．设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n (1＋2n －1)2＋1－3n1－3＝n 2＋3n－12.n n 1345(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， ∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)．∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(2n －3)－(2n －1) ＝(－2)×n ＝－2n .(2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． [解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.[规律方法] 利用裂项相消法求和的注意事项, 1 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项., 2 消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项., 3 将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2. [跟踪训练] (2017·石家庄一模)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.【导学号：79140181】[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n.(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋…＋12－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .n n m －1S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N ＋).【导学号：79140182】(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n2＝log 2b n (n ∈N ＋)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．[解] (1)由已知得a m ＝S m －S m －1＝4， 且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m (m －1)2×2＝0，即a 1＝1－m ，∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4， ∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3.∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2.设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ， ∴T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2， ①2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1， ②①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1＝2－1(1－2n)1－2－n ×2n －1＝2n －1－12－n ×2n －1， ∴T n ＝(n －1)·2n －1＋12(n ∈N ＋)．。
2019年高考数学1轮复习学案 训练(北师大版文科)： 第1节 函数及其表示学案
第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(对应学生用书第7页)[基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[知识拓展]求函数定义域的依据(1)整式函数的定义域为R ； (2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零；(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z； (6)x 0中x ≠0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1log 12x ，x ＞1则f [f (4)]＝________.【导学号：00090012】14 [f (4)＝log 124＝－2，所以f [f (4)]＝f (－2)＝2－2＝14.] 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. －2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N )的图像是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点， ∴③不正确．∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．](对应学生用书第8页)A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)(2017·郑州模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)C (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0ln x ≠0x ＞0，解得0＜x ＜1，故选C ．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 【导学号：00090013】 (2)已知f (x )是一次函数，且2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，则f (x )＝________. (1)x 2－1(x ≥1) (2)2x ＋23(3)2x ＋1－2－x3[(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 由2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，得2[k (x －1)＋b ]＋k (x ＋1)＋b ＝6x ，即3kx －k ＋3b ＝6x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝－k ＋3b ＝0，∴k ＝2，b ＝23，即f (x )＝2x ＋23.(3)由f (－x )＋2f (x )＝2x①， 得f (x )＋2f (－x )＝2－x②， ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. ∴f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋1－2－x3.]角度1(1)(2017·湖南衡阳八中一模)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．9D ．－9(2)(2017·东北三省四市一联)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，－x ，x ＜0，那么f 2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016B ．14C ．4D ．12 016(1)C (2)C [(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C ．(2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4，故选C ．]角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或－1 C ． 3 D ．3或－ 3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1B ．78C ．34D ．12(1)D (2)D [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D ．(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.]角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)(2017·石家庄一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2x ＋，0＜x ＜1，且f (x )＝－12，则x 的值为________. 【导学号：00090014】(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)－13 (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13.(2)当x <1时，x －1<0，ex －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．][规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 单元评估检测5 数列 文 北师大版
单元评估检测(五) 数 列(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·唐山模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( )A ．41B ．48C ．49D ．56C2．(2017·青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．1C3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于( )A ．－54B ．54C ．516D ．2516 D4．(2017·太原模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n ＞0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( )【导学号：00090394】A ．n n －2 B ．n －22C ．n n ＋2D ．n ＋22A5．已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n－1 C ．1－4n 3D ．4n－13B6．若{a n }是由正数组成的等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1a 5＝1且S 3＝7，则S 7＝( )A ．1516B ．78C ．12716D ．638C7．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·(2n －1)cosn π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120D8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．110 D ．15D9．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差，tan B 是以12为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形D ．以上均错B 10.(2017·厦门模拟)在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B11．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8B12．(2017·淄博模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝3n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为( )A ．5－0B ．5－3n ＋52nC ．5－3n －52nD ．5－3n ＋52n －1B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(2017·唐山模拟)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________． 3n－114．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________. 【导学号：00090395】10 10015．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺． 162916．(2017·保定模拟)如图1所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________．图1132三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2017·承德模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝16(a 2n ＋3a n＋2)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若ak n ∈{a 1，a 2，…，a n ，…}，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，当k 1＝1，k 2＝4时，求k n . (1)a n ＝3n －2，n ∈N *(2)k n ＝10n －1＋23，n ∈N *18．(12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20.(1)求数列{b n }的通项公式．(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)b n ＝23n (2)T n ＝72－12·3n －2－3n －13n19．(12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)T n ＝1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －120．(12分)(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式． (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．(1)a n ＝2n ＋1(2){b n }的前n 项和T n ＝n n ＋21．(12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .【导学号：00090396】(1)a n ＝4－n(2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2，q ＝1，nq n ＋1－n ＋q n ＋1q －2，q ≠1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，并且S n ＝a n ＋1－12(n∈N *)． (1)求a n ，S n .(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． [解] (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n＋1(n ≥2)，所以a n ＋1a n＝2(n ≥2)， 因为a 1＝S 1＝a 2－12，所以a 2＝1，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2，n ∈N *，S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12，n ∈N *.(2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n－2＝n －2， 所以c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，c n ＝1n ＋n ＋＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(2－1＋20＋…＋2n －2) ＝12－1n ＋2＋12－2n1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2. 由4T n ＞2n ＋1－1504，得 4⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2＞2n ＋1－1504， 即4n ＋2＜1504，n ＞2 014. 所以使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015.。
(北师大)2019届高考数学文科一轮复习重点强化训练附答案(5份)
重点强化训练(一) 函数的图像与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：00090050】A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上是减少的，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·陕西质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.] 二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图像如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为______________.【导学号：00090051】[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·银川质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解； 当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，原方程有两个解． 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：00090052】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，3分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .5分(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).7分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4.9分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则 f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. 【导学号：00090053】 [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0. 3分 (2)f (x )为偶函数.4分证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.7分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16). 9分又f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴0<|x －1|<16， 解得－15<x <17且x ≠1，11分∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. 12分重点强化训练(二) 平面向量A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λbD [因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.则a 与b 共线同向，故D 正确．]2．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A ．2－1 B ．1 C ． 2D ．2B [因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝0，所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2，故|a ＋b |＝ 2. 展开(a －c )·(b －c )≤0，得a·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0，整理，得(a ＋b )·c ≥1.而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ， 所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1. 所以|a ＋b －c |2≤1，即|a ＋b －c |≤1.]3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．23π D ．56π A [由题意，得OA →＋OC →＝(3＋cos α，sin α)， 所以|OA →＋OC →|＝＋cos α2＋sin 2α＝10＋6cos α＝13， 即cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3233×1＝32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.]5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12B ．12C ．－34D ．0A [取AB的中点C ，连接OC ，AB ＝3，则AC ＝32，又因为OA ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32， 所以∠AOB ＝120°，则OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12.]二、填空题6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →＝(k －4,7)，CB →＝OB →－OC →＝(6，k －5)，所以(k －4)(k －5)＝6×7，k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】 2 [由|a －2b |＝21得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.即1＋2|b |＋4|b |2＝21，解得|b |＝2或|b |＝－52(舍)．]8．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________. －25 [由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.]三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分 ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.5分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 8分两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【导学号：00090151】[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.5分(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·兰州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )【导学号：00090152】A ．－4B ．3C ．－11D ．10C [a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA ＝(m －1)a －2B ．∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →＝0， 即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0，解得m ＝－11.故选C ．]2．如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为________．图29 [由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影 之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →＝9.]3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.7分 又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. 9分 ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.12分重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D ．]2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( ) 【导学号：00090208】 A ．－4 B ．6 C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ．]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C ．] 4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4， 解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C ．] 二、填空题6．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．(2016·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为________. 【导学号：00090209】22 [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，得ab ＝1， 则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．] 8．(2018·苏州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，f m ＋＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. 1分①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a>－1，即a <－1，则 －1<x <1a.5分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ；当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a . 6分(2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0， 10分∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞).12分10．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？ [解] 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m的取值范围是( ) A ．[4，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2． 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是__________．－52[法一：由于x >0， 则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1. ②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0.③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.]3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋f nm ＋n>0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围. [解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2).2分∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0. 又已知f x 1＋f －x 2x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，4分(2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1.8分(3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立， 故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.10分对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. ∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.12分重点强化训练(四) 直线与圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·西安五校联考)命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件A [两直线垂直的充要条件是6a ＋3×4＝0，解得a ＝－2，命题p 是命题q 成立的充要条件．] 2．(2018·深圳模拟)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( ) 【导学号：00090287】 A ．2B ．－2C ．1D ．－1D [因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.]3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．]4．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 D [因为l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则l 的斜率存在，设斜率为k ，所以直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0， 则圆心到l 的距离d ＝|3k －1|1＋k2. 依题意，得|3k －1|1＋k2≤1，解得0≤k ≤ 3. 故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.]5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( ) A ．－ 6 B ．± 6 C ．－ 5D ．± 5D [在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，得(y －2)2＝1，解得y 1＝3，y 2＝1，则y 轴被圆C 截得的弦长为2，所以直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长为2，所以圆心C (1,2)到直线y ＝2x ＋b 的距离为1， 即|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.] 二、填空题6．经过两条直线3x ＋4y －5＝0和3x －4y －13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．2x －y －7＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x －4y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k ＝2.则所求直线的方程为y ＋1＝2(x －3)，即2x －y －7＝0.]7．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝__________. 2 [因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直． 因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.]8．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为__________．0或6 [由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC 可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322.由点到直线的距离得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.【导学号：00090289】[解] 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分 (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.5分(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，8分解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12分10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． [解] 曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3，－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.6分所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 10分所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆(因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0， 所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1， 所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．]2．过点P (1,1)的直线将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________．x ＋y －2＝0 [设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大． 由点P (1,1)知k OP ＝1， 所以所求直线的斜率k ＝－1.由点斜式得，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.]3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5,3)． (1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3,2)，半径r ＝3. 若设直线l 1的斜率为k ，则k ＝－1k PC ＝－112＝－2. 所以直线l 1的方程为y －3＝－2(x －5)，即2x ＋y －13＝0.3分(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交，则有|3＋2＋b |2<3，5分所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是－32－5<b <32－5. 8分(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，则直线l 2与CM 垂直， 于是有y 0－2x 0－3＝1， 整理可得x 0－y 0－1＝0.又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上，所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－b 2，y 0＝－1＋b2. 10分代入直线l 1的方程得1－b －1＋b2－13＝0， 于是b ＝－253∈(－32－5,32－5)，故存在满足条件的常数B ． 12分重点强化训练(五) 统计与统计案例A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( ) 【导学号：00090343】A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012B [由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N ，解得N ＝808.]2．设某大学的女生体重y (单位：kg)写身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg D [∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确； ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确； ∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85， ∴C 正确．]3．亚冠联赛前某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加比赛．如图9所示的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的平均成绩分别是x 1，x 2，则下列结论正确的是( )图9A．x1>x2，选甲参加更合适B．x1>x2，选乙参加更合适C．x1＝x2，选甲参加更合适D．x1＝x2，选乙参加更合适A[根据茎叶图可得甲、乙两人的平均成绩分别为x1≈31.67，x2≈24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分散，因此甲发挥得更稳定，选甲参加比赛更合适．]4．(2018·黄山模拟)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x，y( )【导学号：00090344】A．8.1万盒B．8.2万盒C．8.9万盒D．8.6万盒A[由题意知x＝3，y＝6，则a＝y－0.7x＝3.9，∴x＝6时，y＝8.1.]5．(2018·郑州模拟)利用如图10所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2＋y2＝10内的个数为( )图10A．2 B．3C．4 D．5B[执行题中的程序框图，打印的点的坐标依次为(－3,6)，(－2,5)，(－1,4)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，其中点(0,3)，(1,2)，(2,1)位于圆x2＋y2＝10内，因此打印的点位于圆x2＋y2＝10内的共有3个．] 二、填空题6．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图11)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数为________．图11160 [设年龄在[25,30)内的志愿者的频率是P，则有5×0.01＋P＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02＝1，解得P＝0.2.故估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数是800×0.2＝160.]7．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：参考附表：99% [假设喜爱该节目和性别无关，分析列联表中数据，可得χ2＝－2 60×50×60×50≈7.822>6.635，所以有99%的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”．]8．(2017·太原模拟)数列{a n}满足a n＝n，阅读如图12所示的算法框图，运行相应的程序，若输入n＝5，a n ＝n ，x ＝2的值，则输出的结果v ＝________.图12129 [该算法框图循环4次，各次v 的值分别是14,31,64,129，故输出结果v ＝129.] 三、解答题9．(2018·合肥模拟)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：(1)图13(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率． [解] (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100，∴m ＝25.40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.2分由此完成频率分布直方图，如图：4分(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95， 6分∵[0,50)的频率为0.004×50＝0.2，[50,100)的频率为0.008×50＝0.4， ∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.8分(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天， 在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为(150,200]的1天记为e ，从中任取2天的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，10分其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为 (a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个. 11分 所以P (A )＝610＝35.12分10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t (2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ＝y －b t .[解] (1)列表计算如下：这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.2分又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝l ty l tt ＝1210＝1.2， a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.7分(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1． 如图14所示的算法框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( ) 【导学号：00090345】图14A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45C [第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，不再满足条件，结束循环．因此判断框中的条件为s >710.]2．(2017·西安调研)已知某产品连续4个月的广告费用x 1(千元)与销售额y 1(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8(用最小二乘法求得)．那么，广告费用为6千元时，可预测销售额约为________万元．4．7 [因为∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14，所以x ＝4.5，y ＝3.5，因为回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8， 所以3.5＝0.8×4.5＋a ，所以a ＝－0.1，所以y ＝0.8x －0.1.x ＝6时，可预测销售额约为4.7万元．]3．某工厂36名工人的年龄数据如下表．(1)44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? [解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2， 所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. 5分(2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.8分 (3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.。
2019年高考数学北师大版文科第5章数列热点探究课3数列中的高考热点问题学案文
热点探究课(三)数列中的高考热点问题(对应学生用书第 76 页)[命题解读] 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数 学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 1 题(全国卷 T )交替考查17数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项 与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．热点 1 等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思 想的应用，等差(比)数列共涉及五个量 a ，a ，S ，d (q )，n ，“知三求二”．1nn1 1 2(2016·天津高考)已知{a }是等比数列，前 n 项和为 S (n ∈N *)，且 － ＝ ，S ＝n n a a a 61 2 363.(1)求{a }的通项公式；n(2)若对任意的 n ∈N *，b 是 log a 和 log a 的等差中项，求数列{(－1) n 2 n 2 n ＋1[解] (1)设数列{a }的公比为 q .n1 1 2由已知，有 － ＝ ，2111解得 q ＝2 或 q ＝－1.1－q 6又由 S ＝a · ＝63，知 q ≠－1，6 1 1－q1－26所以 a · ＝63，得 a ＝1.1－2 n b 2}的前 2n 项和． n2 分所以 a ＝2 nn －1. 5 分1 (2)由题意，得 b ＝ (log a ＋log a )2 n 2 n ＋11 1 ＝ (log 2n －1＋log 2n )＝n － ，2 21即{b }是首项为 ，公差为 1 的等差数列. 8 分 2设数列{(－1)n b 2}的前 n 项和为 T ，则nnT ＝(－b 2＋b 2)＋(－b 2＋b 2)＋…＋(－b 2 ＋b 2 )2n12342n －12n＝b ＋b ＋b ＋b ＋…＋b ＋b12342n －12n2n b ＋b 1 2n2＝2n 2.10 分[规律方法] 1.若{a }是等差数列，则{ba }(b >0，且 b ≠1)是等比数列；若{a }是正项等 nnn比数列，则{log a }(b >0，且 b ≠1)是等差数列．b na a q a q 1 1n 22 2 n ＝2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现 等差、等比数列之间的相互转化．[对点训练 1] 已知数列{a }的前 n 项和为 S ，常数 λ >0，且 λ a a ＝S ＋S 对一切正整数 nn n 1 n 1 n 都成立．(1)求数列{a }的通项公式；n1(2)设 a >0，λ ＝100.当 n 为何值时，数列lg 的前 n 项和最大？n【导学号：00090176】[解] (1)取 n ＝1，得 λ a ＝2S ＝2a ，a (λ a －2)＝0. 1 1 1 1 1若 a ＝0，则 S ＝0.1n当 n ≥2 时，a ＝S －S ＝0－0＝0，nnn －1所以 a ＝0(n ≥1).n2若 a ≠0，则 a ＝ .λ2 2当 n ≥2 时，2a ＝ ＋S 2a ＝ ＋S ， λ λ两式相减得 2a －2a ＝a ，nn －1n所以 a ＝2a (n ≥2)，从而数列{a }是等比数列， nn －1n2 2 所以 a ＝a ·2n －1＝ ·2n －1＝ . λ λ2 综上，当 a ＝0 时，a ＝0；当 a ≠0 时，a ＝ . λ1(2)当 a >0，且 λ ＝100 时，令 b ＝lg ，1 nn100由(1)知，b ＝lg ＝2－n lg 2. 2所以数列{b }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2. n 100 100b >b >…>b ＝lg ＝lg >lg 1＝0，26 64100 100当 n ≥7 时，b ≤b ＝lg ＝lg <lg 1＝0.27 1282 分5 分7 分故数列lg1的前 6 项和最大.n热点 2 数列的通项与求和(答题模板)12 分“基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的应用． (本小题满分 12 分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{a }是公差为 3 的等差数列，数列{b }满nna 12 1 1n n, n －1 n －1nn 1nn n 1 1a n n 1 2 6n 7a1足b＝1，b＝，a b ＋b＝nb.1 2 n n＋1 n＋1 n(1)求{a}的通项公式；n(2)求{b}的前n项和.【导学号：00090177】n[思路点拨](1)取n＝1，先求出a，再求{a}的通项公式．1 n(2)将a代入a b＋b ＝nb，得出数列{b}为等比数列，再求{b}的前n项和．n n n＋1 n＋1 n n n1[规范解答](1)由已知，a b＋b＝b，b＝1，b＝，得a＝2.1 2 2 1 1 2 1所以数列{a}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a＝3n－1.5分n nb(2)由(1)知a b＋b ＝nb，得b ＝，n n＋1 n＋1 n n＋11因此{b}是首项为1，公比为的等比数列.9分3记{b}的前n项和为S，n n11－331则S＝＝－.122×3n－11－33分7分12分[答题模板]第一步：求出{a}的首项a；n1第二步：求出{a}的通项公式；n第三步：判定{b}为等比数列；n第四步：求出{b}的前n项和；n第五步：反思回顾，查看关键点，易错点注意解题规范．[温馨提示]若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．首项与公差是等差数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的“基本量”．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法．[对点训练2]数列{a}满足a＝1，na＝(n＋1)a＋n(n＋1)，n∈N*.n 1 n＋1 na(1)证明：数列是等差数列；(2)设b＝3n·a，求数列{b}的前n项和S.n n n na a[解](1)证明：由已知可得＝＋1，＋1a a即－＝1.a a所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列.2分5分33n3nnnnnn＋1 nn nn＋1 nn＋1nn1n1a(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，n所以a＝n2.n从而b＝n·3n.nS＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，n 7分①3S＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1n.②①－②得－2S＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1n＝－31－3n－n·3n＋1＝－2n2n＋1－3.所以S＝n n－4n＋1＋3.12分热点3数列与函数、不等式的交汇数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n，a，S等为坐标的点n n在函数图像上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明．角度1 数列与函数的交汇(2018·佛山模拟)已知数列{a}的前n项和为S，且S＝2n2＋2n.n n n(1)求数列{a}的通项公式；n(2)若点(b，a)在函数y＝log x的图像上，求数列{b}的前n项和T.n n 2 n n[解](1)当n≥2时，a＝S－S ＝2n2＋2n－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，n n n－1当n＝1时，a＝S＝4＝4×1，1 1所以数列{a}的通项公式为a＝4n.5分n n(2)由点(b，a)在函数y＝log x的图像上得a＝log b，且a＝4n，所以b＝2a＝24n＝n n 2 n 2 n n n n16，故数列{b}是以16为首项，公比为16的等比数列．n8分T＝n－161－16n＝16n＋1－16.1512分[规律方法]解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．角度2 数列与不等式的交汇(2017·贵阳适应性考试(二))已知数列{a}满足2a＝a＋a(n∈Nn n＋1 n＋2 n *)，且a＋3n na ＝20，a ＋a ＝14.725(1)求数列{a }的通项公式；n(2)设 b ＝na － n 1a ＋ n1，数列{b }的前 n 项和为 S ，求证：S < . 2[解] (1)由 2a ＝a ＋a 得{a }为等差数列.n ＋1n ＋2nn设等差数列{a }的公差为 d ，n由 a ＋a ＝20，a ＋a ＝14，解得 d ＝2，a ＝2，37251∴数列{a }的通项公式为 a ＝2n .nn【导学号：00090178】2 分5 分(2)证明：b ＝na －n 1a ＋ n＝n － 1n ＋1 1 1 ＝ － 2，8 分1 1 1 1 1 1 1 S ＝ 1－ ＋ － ＋ ＋…＋ －21 1＝1－2，1 11当 n ∈N *，S ＝ 1－< . 2212 分[规律方法] 解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方 法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不 同解法，如列表法、因式分解法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起 来综合处理就行了．n n n 2n －1 2n ＋133552n －1 2n ＋1n2n ＋1 2n ＋1n。
2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列课件文北师大版
[导学心语] 1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等 差、等比数列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基 本量的计算． 2．重视an与Sn关系、递推关系的理解与应用，加强由Sn求an，由递推关系求 通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．
3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问 题，等差(比)数列中共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”，体现了方 程思想的应用．
第五章 数 列
[五年考情]
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题， 其中解答题与解三角形交替考查，中低档难度． 2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、an与Sn的关系、递推公式以 及数列求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题． 3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的 考查，加大对探究、创新能力的考查力度．
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：重点强化训练5统计与统计案例文北师大版_39
重点强化训练(五)统计与统计案例A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为()A ．101B ．808C ．1212D ．2019B [由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N，解得N ＝808.]2．设某大学的女生体重y (单位：kg)写身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是() A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg D [∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确；∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确； ∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85， ∴C 正确．]3．亚冠联赛前某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加比赛．如图9所示的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的平均成绩分别是x 1，x 2，则下列结论正确的是()图9A．x1>x2，选甲参加更合适B．x1>x2，选乙参加更合适C．x1＝x2，选甲参加更合适D．x1＝x2，选乙参加更合适A[根据茎叶图可得甲、乙两人的平均成绩分别为x1≈31.67，x2≈24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分散，因此甲发挥得更稳定，选甲参加比赛更合适．] 4．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x，y6月份生产甲胶囊产量为()A．8.1万盒B．8.2万盒C．8.9万盒D．8.6万盒A[由题意知x＝3，y＝6，则a＝y－0.7x＝3.9，∴x＝6时，y＝8.1.]5．利用如图10所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2＋y2＝10内的个数为()图10A．2 B．3C．4 D．5B[执行题中的程序框图，打印的点的坐标依次为(－3,6)，(－2,5)，(－1,4)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，其中点(0,3)，(1,2)，(2,1)位于圆x2＋y2＝10内，因此打印的点位于圆x2＋y2＝10内的共有3个．]二、填空题6．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图11)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数为________．图11160[设年龄在[25,30)内的志愿者的频率是P，则有5×0.01＋P＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02＝1，解得P＝0.2.故估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数是800×0.2＝160.]7．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：关”．参考附表：99%[假可得χ2＝－2≈7.822>6.635，60×50×60×50所以有99%的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”．]8．数列{a n}满足a n＝n，阅读如图12所示的算法框图，运行相应的程序，若输入n＝5，a n ＝n，x＝2的值，则输出的结果v＝________.图12129[该算法框图循环4次，各次v的值分别是14,31,64,129，故输出结果v＝129.] 三、解答题9．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：图13(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率．[解](1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100，∴m ＝25.40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.2分由此完成频率分布直方图，如图：4分(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95，6分∵[0,50)的频率为0.004×50＝0.2，[50,100)的频率为0.008×50＝0.4， ∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.8分 (3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天，9分在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a ，b ，c ，d ； 将空气质量指数为(150,200]的1天记为e ，从中任取2天的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个， 其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为 (a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个. 11分 所以P (A )＝610＝35.12分10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)(2)用所求回归方程预测该地区2019年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ＝y －b t .[解](1)列表计算如下：这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1nt i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.2分又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝l ty l tt ＝1210＝1.2， a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.7分(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2019年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．如图14所示的算法框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是()图14A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45C [第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件； 第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，不再满足条件，结束循环．因此判断框中的条件为s >710.]2．已知某产品连续4个月的广告费用x 1(千元)与销售额y 1(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8(用最小二乘法求得)．那么，广告费用为6千元时，可预测销售额约为________万元．4．7[因为∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14，所以x ＝4.5，y ＝3.5，因为回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8， 所以3.5＝0.8×4.5＋a ，所以a ＝－0.1，所以y ＝0.8x －0.1.x ＝6时，可预测销售额约为4.7万元．]3．某工厂36名工人的年龄数据如下表．(1)到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?[解](1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. 5分(2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.8分 (3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.12分。
2019年高考数学一轮复习(北师大版文科) 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法学案 文 北师大版
第一节 数列的概念与简单表示法[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．(对应学生用书第67页)[基础知识填充]1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．从函数观点看，数列可以看成以正整数集N ＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2．数列的分类3 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法．4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝，S n －S n －1，n[知识拓展]1．数列{a n }是递增数列⇔a n ＋1＞a n 恒成立．2．数列{a n }是递减数列⇒a n ＋1＜a n 恒成立．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )(4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 A [当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.]3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)．图511则第7个三角形数是( ) 【导学号：00090153】A ．27B ．28C ．29D ．30B [由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]4．(教材改编)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是__________． n 2n －1 [由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n 2n －1.] 5．(2018·张掖模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________. 12 [由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1， ∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…， ∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12.](对应学生用书第68页)(1)3,5,7,9，…；(2)12，－34，78，－1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，….(4)－1,1，－2,2，－3,3… [解] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)数列中各项的符号可通过(－1)n ＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n . (3)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)． (4)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n ＋12表示 数列的偶数项为1,2,3，…可用n 2表示． 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n ＋12 n 为奇数，n 2 n 为偶数.[规律方法] 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．。
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第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．(对应学生用书第72页)[基础知识填充]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q(n∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b G，G 2＝ab ，G ＝±ab ，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝aB ．2．等比数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m.(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .[知识拓展]1．“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．2．若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n(k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q. [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝aB ．( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a－a n1－a.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的公比为－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2A [a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5－12a 1＋a 3＋a 5＝－2.]3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＝6，a 3＝8，则a 6＝( ) 【导学号：00090168】A ．64B ．128C ．256D ．512A [设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝6，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝18，q ＝－23(舍去)，所以a 6＝a 1q 5＝64，故选A ．]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2018·长春模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________. 6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴－2n1－2＝126，解得n ＝6.](对应学生用书第72页)n n 项和，a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( )A ．32B ．64C ．128D ．256(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．(1)C (2)2n－1 [(1)∵{a n }为等比数列，a 2·a 4＝16，∴a 3＝4.∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴S 2＝a 1－q21－q＝3，∴4q2(1－q 2)＝3(1－q )，即3q 2－4q －4＝0，∴q ＝－23或q ＝2.∵a n >0，∴q ＝2，则a 1＝1，∴a 8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n1－2＝2n－1.][规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________.【导学号：00090169】(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7， ①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21， ②②÷①得1＋q ＋q2q2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1－qn1－q，得S 6＝a 1－361－3，S 3＝a 1－331－3，所以S 6S 3＝a 1－361－3·1－3a 1－33＝28.]n n n (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 2分 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.3分由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .5分由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. 7分(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .9分由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.10分 解得λ＝－1.12分[规律方法] 等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定． [变式训练2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n － a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，即2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2c n ＋1＝c n .3分由a 1＋S 1＝1得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12，从而c n ≠0，∴c n ＋1c n ＝12. ∴数列{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列.6分 (2)由(1)知c n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，7分又c n ＝a n －1，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，9分∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .又b 1＝a 1＝12，适合上式，故b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.12分an }中，若 a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) 【导学号：00090170】 A ．2 B ．73 C ．83D ．3(1)B (2)B [(1)由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝ 2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5，故选B ．(2)法一：由等比数列的性质及题意，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 法二：S 6S 3＝1＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2.则S 9S 6＝1－q 91－q ＝1－231－2＝73.][规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度． 2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[变式训练3] (1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{a n }中，a 1 008·a 1 009＝1100，则lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝( ) A ．2 015 B ．2 016 C ．－2 015D ．－2 016(2)(2018·湖北六校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则S n ＝a 21－a 22＋a 23－a 24＋…＋a 22n －1－a 22n 等于( )A ．13(2n－1)B ．15(1－24n )C ．13(4n－1)D ．13(1－2n ) (1)D (2)B [(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝lg a 1a 2…a 2 016＝lg(a 1 008·a 1 009)1 008＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫11001 008＝lg ()10－21 008＝－2 016，故选D ．(2)在数列{a n}中，由a1＝1，a n＋1＝2a n，可得a n＝2n－1，则S n＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a22n－1－a22n＝1－4＋16－64＋…＋42n－2－42n－1＝1－－2n1－－＝15(1－42n)＝15(1－24n)．]。