16.位移法的基本概念和基本未知量
第八章位移法
8
r22
Z2 1
2
M1 图
2 令EI=4
解： n 2
iAB 1.6
iBC 2
iBD iCE 1
50
60 50
60
R1 p
120
R2 P
R1=0 R2=0
r11Z1 r12 Z 2 R1 p 0 r21Z1 r22 Z 2 R2 p 0
M P图
r11 6i
R1 p 24
代入（8-4）式可得
4 Z1 i
4.计算基本未知量
4 Z1 i
（实际为转角 A ）
M M1Z1 M P
5.采用叠加法绘最后内力图 3i r11
A B
120
96
A
Z1 1
R1P
C
C
96
M p图
B
160
3i
M1 图
108
4 M BA 3i 96 108kN m i 4 M BC 3i 120 108kN m i
两端固定的情况
M AB 4i A 2i B M BA
一端固定一端铰支情况
6i F AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
F F M AB M BA ------固端弯矩
A
B
6i Fl M BA 2i A 4i B AB 0 l 8 1 3i 1 F B ( A AB M BA ) 2 l 2i
基本结构
EI
n4
EI
n3
B A
C
D
G
F
n6 E
建筑力学(位移法)
第十七章位移法求解超静定结构的两种最基本的方法力法适用性广泛，解题灵活性较大。
（可选用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法力法位移法力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量F PϕBϕB在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B 只发生角位移ϕB 。
由于结点B 是一刚结点，故汇交于结点B 的两杆的杆端在变形后将发生与结点相同的角位移。
位移法计算时就是以这样的结点角位移作为基本未知量的。
第一节位移法的基本概念BAClhEI 1EI 2首先，附加一个约束使结点B 不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。
称为位移法的基本结构。
在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。
由于附加约束阻止结点B 的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩1631l F F P P -=C BAF P316Fl 532FlCAB然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复ϕB 。
两个单跨超静梁在B 端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。
此时在附加约束上产生约束力矩Bh EI lEI F ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211143ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22F PBAC求基本未知量,可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）转动附加约束使结点产生角位移ϕB ，使结构发生与原结构一致的结点位移。
ϕBϕB附加刚臂经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F 11和F 1P 之和。
由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B 处无附加约束，亦无约束力矩，故有F 11+F 1P ＝001634321=-⎪⎭⎫⎝⎛+Fl h EI lEI B ϕ解方程可得出ϕB 。
位移法典型方程将求出后ϕB ，代回图22-1c ，将所得的结果再与图22-1b 叠加，即得原结构（图22-1a ）的解。
位移法的基本未知量
①
A
③
B
C
F
I
C
F
②
I
b)
“铰化结点” D
A B E
d)
G H A
基本未知量
Z1 Z7 Z2 B C D E Z3 G Z4 H I Z6 Z5
C
F
I
F
n = ny+nl = 4+3 =7
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4、两点说明
(1)当刚架中有需要考虑轴向变形（EA ）的二力杆时
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1
1 B
1
FP A D
D
Z2
C B
Z3 C
B
C
C
A D Z1
B
2
F E
G
Z4
G
F E
G
nY= 4
A Z6 D F E
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Z5 B C
G
3、结点独立线位移数
(1)简化条件
不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩（同力法 ）， 也不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近。 因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离在变 形后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于 杆件的切线来代替。
8.3 位移法的基本未知量
一、位移法的基本未知量 位移法选取结点的独立位移，包括结点的独立角位移 和独立线位移，作为其基本未知量，并用广义位移符 号Zi表示。 二、确定位移法的基本未知量的数目 1、位移法基本未知量的总数目 位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独 立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之 和，即 n n y nl
第六章 位移法
ql 2 8
2）令B结点产生转角 B ( ) 。此时AB、BC杆 类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。 B
9
A A
i i
B
B
i
C i
B 3i B
B
B
3i B
B
EI i l
C
3）杆端弯矩表达式
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
F l/2 A B EI = 常数 l D l l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
C
F
B
C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架
力
法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
二、 位移法基本思路
（８-6）
位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和 各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, 反映了原结构的静力平衡条件。
二、位移法典型方程
对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2 P 0 rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 r 21 rn1
r12 r1n Z1 R1P 0 Z R 0 r22 r2 n 2 2P rn 2 rnn Z n RnP 0
位移法基本概念
基本概念
F
A
B
C
D
E
BV
CV
D
E
G
解：由图可见，只有AB杆及CD杆有杆端相对侧移 -ΔBV 及ΔCV 。E端为弹簧铰，所以，刚结点有D和E。但是，因为CD杆旳刚 度无限大，ΔCV与D结点旳转角有关。
所以，构造有三个位移法变量：θE 、ΔBV 、ΔCV （或D结点 转角θD）
基本思绪
基本概念
三、位移法旳基本思绪---------先修改，后复原。
[举例]
基本概念
例题6
B
A
B
C
A
D
解：三根杆件，A支座为弹簧铰，有约束能力，也可产生转角， 但不可发生水平及竖向位移。C支座有约束能力，但可产生竖向 位移。
所以，位移法变量有：A、B处旳转角θA及θB ，C处旳竖向 位移Δ，共三个位移法变量。 BC杆有侧移Δ，D处无转角，C截面旳转角不作为位移法变量。
C
B
B
A 1．位移法变量：θB 2．修改旳措施
基本思绪
基本概念
1)在B结点附加刚臂，设想刚臂旳作用只是阻止结点B旳转动， 各杆旳弯矩不能相互传递。
2)求杆端弯矩。因为各杆旳弯矩不能相互 传递。所以AB杆与BC杆旳弯矩可独自求 解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端 固定，另一端铰支旳超静定杆；而AB杆
[举例]
基本概念
例题8 D
E
EI
F
EI
D
E
EI
EI1 EI
A B
C
F
F
解：①这是具有无限刚性杆旳构造，BD杆没有变形，只有刚体 侧移，设弦转角为θ。则因为结点E刚结点旳特征，三杆端在E 点保持相同旳转角，从而，结点E旳转角也为θ ②由结点E旳侧移方向垂直BE杆轴线，所以，ΔD =ΔE =ΔF =ΔH 与θ有关，不是独立旳变量。 ③至于弹簧支座，对变形没有影响，只与构造旳受力有关。
第三节位移法的基本概念
(8-3)
(非独立线位移)
M
q
FP
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩。至于杆端剪力，则可根据平衡条件导 出为
FQAB FQBA
M AB M BA 0 ( ) FQ AB l
( M AB M 0 BA ( ) FQBA l (8-4)
0 0 FQ 式中， AB 和 FQBA 分别表示相当简支梁在荷载作用下的杆 端弯矩。
1
1 B
1
FP A D
D
Z2
C B
Z3 C
B
C
C
A D Z1
B
2
F E
G
Z4
G
F E
G
Z5 A B Z6 D F E G C
nY= 4
3．结点线位移基本未知量数目
如果考虑杆件的轴向变形，则平面内一个结点有两个独立的线位移。 为简化计算，引入以下假设(简化条件) ： （1）忽略受弯直杆的轴向变形； （2）直杆弯曲时两端点距离不变（小变形）。 这样，每一受弯直杆相当于一个约束，使某些结点的线位移相等或等于零。 作为基本未知量的结点线位移个数是独立的结点线位移个数。
2）一端固定另一端铰支梁
FQAB FQBA
3i A 3iΔ 2 FQFAB l l 3i A 3iΔ 2 FQFBA l l
3）一端固定另一端定向支承梁
FQAB FQFAB FQBA 0
8.3 位移法的基本未知量
一、位移法的基本未知量
位移法选取结点的独立位移，包括结点的独立角位移和 独立线位移，作为其基本未知量，并用广义位移符号Zi 表示。
a)
两端固定
b)一端固定一端铰支
第十六部分位移法教学-资料
i称为线刚度：
i EI l
其中：EI是杆件的抗弯刚度；l 是杆长。
序
号
梁的简图
1
杆端弯矩
MAB
MBA
4i
i EI
2i
l
2
6i
6i
l
l
杆端剪力
FQAB
FQBA
6i
6i
l
l
12i l2
12i l2
3
ql2
q l2
ql
ql
12 12
2
2
6i
序 号
梁的简图
4
杆端弯矩
MAB
MBA
3i
0
杆端剪力
ql2
M
BC
3i B
1 8
ql2
M CB 0
4. 考虑刚节点B的力矩平衡，
MB 0 MBAMBC0
4iB3iB116ql2 0
iB
1 112
ql 2
（负号说明 B 逆时针转）
5. 代回转角位移方程，求出各杆的杆端弯矩：
M
AB
2 i B
3 16
ql2
23 112
ql2
M
BA
4 i B
3 16
每一个独立刚节点有一个转角位移(基本未知量)， 是整个结构的独立刚节点总数。
角位移数为6
角位移数为1
对于结点线位移，由于忽略杆件的轴向变形。 这两个节点线位移中只有一个是独立的，称为 独立节点线位移。 独立节点线位移为位移法一种基本未知量。独 立节点线位移的数目可采用铰接法确定 (即将 所有刚性结点改为铰结点后，添加辅助链杆使 其成为几何不变体的方法) 。 “限制所有节点 线位移所需添加的链杆数就是独立节点线位移 数”。
位移法基本概念
8 — 1 位移法基本概念一. 位移法的基本概念1. 位移发育力法的比较：1〉力法把多余约束力选为基本未知量，位移法把节点位移选为基本未知量。
2〉力法是把超静定结构拆成静定结构，再由静定结构构过渡到超静定结构。
位移法是将结构拆成单个杆件，再由杆件过渡到结构。
3〉力法是从静定结构为出发点，位移法是以杆件位出发点。
EI =M AB 2 B B EI=M Q C22〉荷载作用产生德杆端变矩称为固端变矩8P =M BA F 8P -=M AB F3〉转角与荷载共同作用产生的杆端变矩：P +EI =M B BA 814Q （1）B B EI=M Q C 4 (2)82P-EI =M B AB Q (3)B B EI=M Q C 22 (4)4〉如何求B Q ？取结点B 平衡。
0,0=M +M =MB BA B∑C40481=EI+P +EI B B Q QEI+P -=B )(322 Q 将B Q 代入式（1）（2）（3）（4）式求得B A B B BA M M M M C C ,,,18—2 位移法的基本未知量一.未知量：1>刚结点的角位移；2>刚结点的线位移。
二.刚结点角位移未知量的确定：c.∆产生的杆端变矩：∆-=M ∆-=M BA ABi i 6''',6''' d.荷载作用产生的固端变矩：8,8 P =M P -=M BA BA FFe.据叠 加原理的杆端变矩：P ∆B A ...Q Q 共同作用产生的杆端变矩。
转角位移方程：Fi iQ iQ BA B A BA M +∆-+=M642 Fi iQ iQ AB B A AB M +∆-+=M624 2. 一端固定一端铰支的梁： F iiQ AB A AB M +∆-=M3δ 0=M BA.这是位移各杆刚度取相对值，计算方便。
EI =1 解：1.未知量：∆B ,,C ϕϕ3. 转角位移方程——杆端变矩 816203832⨯+=+=M B BAB BA BA ϕϕ q iC C C C Ci i q ϕϕϕϕ2412252024122++⨯-=++-=M B B B B BA BB c CBC CB CB CBi i q ϕϕϕϕ2412252024122++⨯=++=M BC C CD CD i ϕϕ33==M∆⨯-⨯=∆-=M B BE BE B BE 443643464ϕϕ i i BE∆⨯-⨯=∆-=M B BE B BE EB 443643262ϕϕ i i∆⨯-⨯=∆-=M B 621621464ϕϕCF CF C CF CF i i ∆⨯-⨯=∆-=M 621621262B CF CF C CF FC i i ϕϕ∆,C0=M BC07.1125.12=-∆-+B C ϕϕ=M+M+M即:BA BC CBMKNCD.18.14-=M ; MKN.5=MBE; MKN.59.3=MEB。
位移法基本概念汇总
一端固定、一端简支
M AB
Δ AB 3iθ A 3i MF AB L
3iθ A Δ AB F F 3i F QAB QAB 2 L L 3iθ A Δ AB F F 3i F QBA QBA 2 L L
一端固定、一端定向
F M i θ M AB A AB F M i θ M A BA BA
6i 4i 2i F M AB L θ M A AB 6i F M 2i 4i θ M BA B BA L F F F Δ QAB 6i 6i 12i AB QAB L 2 L L
§8-1
1. 位移法的简例
位移法基本概念
可见位移法的要点
拆 搭
（变形协调条件）
结构拆成杆件，得杆件的刚度方程 基本方程
（静力平衡条件） 杆件组成结构，进行整体分析，得出
基本未知量： 结点位移 基本位移法方程： 隔离体平衡条件
2. 位移法计算刚架的基本思路
如图a 所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件AB、BC 在结点B 处有相同的转角θ，称为结点B 的角位移。 将整个刚架分解为AB、BC 杆件，则AB 杆件相当于两端固定 的单跨粱，固定端B发生一转角θ( 图b )，BC 杆相当于一端 固定另一端铰支的单跨粱，受荷载作用，同时在 B 端发生角位 移( 图c )。 如果能够求出角位移，则能够计算出杆件的内力，问题的 关键是求结点的角位移。
Δ AB F M 4i θ 2i θ 6i M A B AB AB L Δ AB F M 2i θ 4i θ 6i M BA A B BA L
位移法
3FPl/8
A FP l/8
F M AB 3 FP l / 8 F M BA FP l / 8
FP
B
A
B
F FQ AB FP F FQ BA 0
8-1 形常数和载常数
FP A l B FPl/2 A FPl/2
F M AB FP l / 2 F M BA FP l / 2
2
BA
4 EI 3EI ql 0 l l 8
可求得B的角位移值为：
ql / 56EI
3
(顺时针方向)
位移法通过平衡条件来求得结点位移
求得各杆件杆端弯矩值
杆件BC：
M BC
3EI ql 3 ql 2 4ql 2 ( ) L 56 EI 8 56
(上边纤维受拉)
M CB 0
+ 18
-
Q图（kN）
（2）Q
0 P
M ij M ji l
解： 1、确定基本结构 2、求基本未知量 1）列位移法方程 MBA+MBC+MBD=0 2）写出各杆端弯矩表达式（EI/4=i） MBA=3iZ1+75 =64.5kN .m MBC=3iZ1–40 =-50.5kN .m MBD=4iZ1 =-14kN .m
8-1 形常数和载常数
FP A l/2 l/2 B 3FP l/16 A B A 5FP/16 11FP/16 B
M
F AB
3 FP l / 16
F FQ AB 11FP l / 16 F FQ BA 5 FP l / 16
A
t1 t2 l
B
A
B
A
B
M
位移法
杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是 位移法基本方程的基础．因此位移法也叫做刚度法。
位移法的思想主要有两点：
第一，将结构拆开，分析各根杆件的受力情况，用 杆端位移表示各杆件的杆端力； 第二，将各杆件联结起来组成结构，利用变形谐调 条件和平衡条件，建立求解结点位移的方程。 求出结点位移后，再利用转角位移方程求出 杆端力，进而绘制内力图。
位移法的基本方法
平衡方程法和典型方程方法。 平衡方程法：“先拆后搭” 平衡方程法力学概念非常清楚，但 不能象力法那样以统一的形式给出 位移法方程。我们将讨论位移法的 第二种思想 –– 典型方程法。 典型方程法：“先锁后松”
等截面杆件刚 度方程 等截面单跨超 静定梁杆端弯 矩和剪力表
例题详解
如图 (a) 所示刚架，柱的线刚度为 i ，梁的线刚度为 2 i 。 基本未知量为刚结点B的转角θB和柱顶的水平位移Δ， 如图(b)所示。
A BA BA AB
对于柱CD： 1 M 0 ,Q M 4
D CD
DC
这样就有：
M AB M BA M DC 24 0
即
6i B 3.75i 24 0
（2 ）
联立（1）、（2）两式就可算得：
1 1 B 0.737 ， 7.58 i i
F2 P 6kN .
(2) 基本体系在单位转角△1＝1作用下的计算。 当结点 B 转角△ 1 ＝ 1 时，分别求各杆的杆端弯矩，作 出弯矩图( M 1 图)，如图a、b、c所示。
11 4i 3 2i 10i
21 1.5i
(3) 基本体系在单位水平位移△2＝1 , 2 7.58 i i
利用下列叠加公式作刚架的M图：
位移法基本原理及方法
k ij、RiP
如何求？
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:
Z1 1
4i
单位弯矩图为
Z2 1
8i 4i
4i
8i
2i
4i
4i
8i 2i
M 1 图 取结点考虑平衡 M 图 2
k11
8i 4i 4i
k 21
k12
k 22
8i 4i
4i
8i
k11 12i k21 4i k12 4i k22 20i
第二种基本思路
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q, 集中力FP ,力偶M .如何求解? 以A 点转角做 基本未知量,设 M 为 .在A 施 FP FP 加限制转动的 q Δ 约束,以如图所 示体系为基本 FP FP 体系(基本结构 的定义和力法 相仿).
第二种基本思路
可得附加约束反力
3m
例六:用位移法计算图示刚架,并作弯 矩图. E=常数.
利用对称性C处什麽 支座?怎样才能拆成 有力-位移关系的单跨 梁? n等于多少?
C
利用对称性
nl n 1
取 半 计 算 简 图
BC杆属于哪类“单元”? 它的单位和荷载弯矩图怎麽作?
例七:刚架温度变化如图,试作其弯矩图. EI =常数,截面为矩形,高为h.
16位移法思路位移法思路平衡方程法平衡方程法以某些结点的位移为基本未知量以某些结点的位移为基本未知量将结构拆成若干具有已知力将结构拆成若干具有已知力位移位移转角转角位移位移关系的单跨梁集合关系的单跨梁集合分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力的受力将单跨梁拼装成整体将单跨梁拼装成整体用平衡条件消除整体和原结构的差别用平衡条件消除整体和原结构的差别建立建立和位移个数相等的方程和位移个数相等的方程求出基本未知量后求出基本未知量后由单跨梁力由单跨梁力位移关系可位移关系可得原结构受力得原结构受力图示各杆长度为图示各杆长度为lleiei等于常数等于常数分布集度分布集度qq集中力集中力ffpp力偶力偶mm
位移法基本概念
弹性体位移法
定义：弹性体位移法是一种基于弹性力学原理的位移分析方法，通过分析结构在 受力作用下的位移变化来推算结构的位移量。
适用范围：适用于各种类型的结构，特别是对于大型复杂结构的位移分析具有较 高的精度和可靠性。
优点：考虑了结构的弹性变形，能够更准确地反映结构的实际位移情况；可以用 于各种类型的结构，具有较广的适用范围。
解平衡方程
建立平衡方程： 根据结构特点 和受力情况， 建立平衡方程
式。
解平衡方程： 通过代数运算 求解平衡方程， 得到各未知数。
验证解的正确 性：将解代入 原方程进行验 证，确保解的
正确性。
应用解的结果： 根据解的结果 进行相应的计
算和分析。
求解位移
确定研究对象的几 何形状和尺寸
建立研究对象的数 学模型，包括平衡 方程、边界条件和 初始条件
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计算简便：位移法基于杆件之间的 相对位移，计算过程相对简单，易 于掌握。
优点
适用范围广：位移法适用于各种结 构形式和边界条件，具有广泛的适 用范围。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
精度较高：位移法考虑了结构的整 体变形，能够得到较高的计算精度。
可用于静力分析和动力分析：位移 法不仅可用于静力分析，也可用于 动力分析，具有较好的通用性。
缺点
添加项标题
计算复杂：位移法需要求解复杂的微分方程，计算量大且复杂
添加项标题
对初始条件敏感：位移法的计算结果对初始条件非常敏感，初始条 件的微小变化可能导致计算结果的巨大差异
添加项标题
适用范围有限：位移法主要适用于线性问题或者某些特定的非线性 问题，对于一般性的非线性问题，位移法可能不适用
位移法要点1位移法的基本未知量是结点位移2位移法
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m 25kN.m
32kN
A
D
4m
4m
4）解方程，求结点位移。
5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。 6）校核 （平衡条件）
2m
2EI 2
EI 1
2m
B
EI i=1
C
EI 1
E
§7-6
对称结构的计算
对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：
与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0。
*§7-7
支座移动和温度改变时的计算
1、支座移动时的计算
基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端 力一项不同。
1.5i
A
i B
l
i
M图
C
l
l
M BA 3iq B = 1.5i l M BC 3iq B 3i = 1.5i l l
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ=1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
直接平衡法的计算步骤：
1）确定位移法的基本未知量。
（铰结点、 铰支座的转角， 定向支座的侧移 不作为基本未知量）。 2）由转角位移方程列杆端弯 矩表达式。 3）由平衡条件列位移法方程。
l
升温T°C
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C
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Δ=αTL M=－3iΔ/h
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位移法 结构力学知识点概念讲解
位移法1.概述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。
力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。
随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果仍用力法计算将十分麻烦。
于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。
力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基本结构进行计算。
利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。
位移法的基本思路和力法相反。
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。
先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。
然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。
为了说明位移法的基本概念，我们来分析图1a所示的刚架位移。
（a）原结构（b）基本结构图1在荷载作用下，刚架产生的变形如途中虚线所示，设结点B 的转角为1∆，根据变形协调条件可知，汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有同样的转角1∆。
为了简化计算，在受弯杆件中，忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。
根据这些假定，B 结点就只有角位移没有线位移。
这样1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形和原结构一致。
我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，所以可得11F ＋P F 1＝0 （1）这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1∆时，产生在附加刚臂中的反力矩。
用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1∆＝1时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1）可以写成01111=+∆P F k （2）式(2)我们称为位移法基本方程。
11k 、P F 1我们可以用上一章学习的力法确定，然后我们可求出1∆，进而求出原结构的全部内力。
位移法的基本未知量和基本结构
位移法\位移法的基本未知量和基本结构 例如图a所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不
变体系(图b)，所以结点独立线位移的数目为一，整个结构基本 未知量的数目为三。
目录
位移法\位移法的基本未知量和基本结构 需要指出，当要考虑一杆件的轴向变形时，结点的独立线
位移数目要根据具体情况来判断。例如图c所示刚架，当要考 虑杆CD的轴向变形时，点C和点D的水平位移一般不相等，所 以结构的独立结点线位移数目为二。
其基本结构如图b所示。
(a)原结构
(b)基本结结构构
目录
位移法\位移法的基本未知量和基本结构
最后需要注意：力法中的基本结构是从原结构中拆除多余 约束而代之以多余未知力的静定结构。而位移法的基本结构 是在原结构上增加约束构成一系列单跨超静定梁的组合体。 虽然它们的形式不同，但都是原结构的代表，其受力和变形 和原结构是一致的。
在两根竖杆弯曲变形的影响下，结点A和B将发生一相同的水平
位移，在刚结点A处附加刚臂，在结点A处或B处附加一水平支
座链杆，以阻止结点A、B的水平位移。
基本结构如图b所示
A
B
Z1
A
B
Z2
q q
(a)原结构
(b)基本结构
目录
位移法\位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架有四个刚结点A、B、D、E和一个铰结点C，在四 根竖杆弯曲变形的影响下，五个结点将产生一相同的水平位移。 此外还应注意，在水平杆件BC和CD的弯曲变形影响下，结点C还 将产生竖向位移。因此要形成基本结构，需要在刚结点A、B、D、 E处附加刚臂，在结点E处附加一水平支座链杆，以阻止各结点的 水平位移，在结点C处附加一竖向支座链杆，以阻止该结点的竖 向位移。
位移法的基本未知量
位移法的基本未知量
位移法的基本未知量是（结点位移）。
扩展资料：
1、位移法是解决超静定结构最基本的计算方法，计算时与结构
超静定次数关系不大，相较于力法及力矩分配法，其计算过程更加简单，计算结果更加精确，应用的范围也更加广泛，可以应用于有侧移刚架结构的计算。
此外，对于结构较为特殊的体系，应用位移法可以很方便地得出弯矩图的形状，位移法不仅适用于超静定结构内力计算，也适用于静定结构内力计算，所以学习和掌握位移法是非常有必要的。
2、位移法的基本原理，是以在小变形的基础的结构体系中，内
力是可以叠加的，位移也是可以叠加的。
结构中的受力、变形是可以分阶段、分次发生的，分阶段、分次发生的受力、变形是可以线性叠加的，叠加的结果与这些力、变形同时发生的结构所产生的内力、变形是相同的。
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θ
B
q
C
例1：
A
P
q
B
B
C
l
θ
P
B
l
l
A
B
l
例2
3 A pl 112 i
再把θA代回各杆端弯矩式得到：
3 M BA pl 右侧受拉 56 6 M AB pl 左侧受拉 56 6 M AC pl 上侧受拉 56 M AC 0
用叠加法画各杆弯矩图，再依弯矩图画剪力图和轴力图
三、位移法基本未知量的确定
位移法基 本未知量 节点转角位移 =刚节点的数目 简单结构直接判断 独立节点线位移 复杂结构铰化处理=铰接体系 的自由度
（４）杆端相对线位移－以弦转角顺时针为正
二
位移法的基本思路 P
θA
A
θA
C
忽略了轴向变形ΔＡＨ＝ΔＡＶ＝０
无节点线位移 只有节点角位移θＡ
B
附加 刚臂
P A
C
θA 附加刚臂限制结点 转动，
A
θA
C
B
施加力偶使结点产 生的角位移，使实 现结点位移状态和 B 实际杆件受力状态 的一致
＝
＋
将刚架拆为两个单跨梁。AB梁B端为固定支座，A端为刚节点，视为 固定支座。AC梁C端为固定铰支座，A端为刚节点，视为固定支座。 单跨梁系为位移法的基本结构．节点角位移θA为基本未知量
+
五、无节点线位移结构的计算 位移法求解超静定结构的一般步骤如下： 1. 确定基本未知量； 2. 将结构拆成超静定(或个别静定)的单跨梁； 3. 查表，列出各杆端转角位移方程。 4. 根据平衡条件建立平衡方程 （一般对有转角位移的刚结点取力矩平衡 方程，有节点线位移时，则考虑线位移方 向的静力平衡方程）。 5. 解出未知量，求出杆端内力。 6. 作出内力图。
又如：
=
查表得：
M AB
3i F 3i A M AB l
+
M BA 0
3i 3i F VAB A 2 VAB l l 3i 3i F VBA A 2 VBA l l
其中 M F
AB
F F M BA VBA
F VAB 称为固端弯矩和固端剪力
一．概述
超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受 力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点： 基本未知量—— 多余未知力 基本体系—— 静定结构 基本方程—— 位移条件 （变形协调条件）
位移法的特点： 基本未知量—— 独立节点位移
基本体系—— 基本方程—— 一组单跨超静定梁 平衡条件
M BA 2i A
写出各杆端弯矩表达式：
M AB 4i A 3 M AC 3i A pl 16 M CA 0
以上各杆端弯矩表达式中均含有未知量θA，所以又称为转角位移方程。 选刚节点为研究对象，研究其平衡。
M
A
0
M AB M AC 0
3 4i A 3i A pl 0 16
与力法相比，位移法适用于超静定次数较高的结构，同时位移法也适 用于静定结构 有位移法计算时，忽略了杆件的轴向变形和剪切变形，
由于位移法分析超静定结构时，要用到单跨超静定梁的知识，下面就作 一介绍：
（１）类型
ห้องสมุดไป่ตู้（２）杆端力
杆端弯矩－以顺时针为正 杆端剪力－正负规定不变
ＶＡＢ ＶＢＡ
（３）杆端角位移－以顺时针为正
3
2 1
节点转角的数目：7个
相应的铰接体系的自由度=3 独立节点线位移的数目：3个
节点转角的 数目：3个
节立结点线位移的数目：2个
四、等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程，就是三种形式的单跨超静定梁，在荷 载作用下，同时又发生杆端转角和杆端相当线位移情况下，所产生的 杆端力（主要是杆端弯矩）的方程。
例如：
=
查表得：
+
M AB
6i F 4i A 2i B M AB l
6i F M BA 2i A 4i B M BA l
+
VAB
6i 6i 12i F A B 2 VAB l l l
+
6i 6i 12i F VBA A B 2 VBA l l l