第8章 网络流与匹配

定理（最大流最小割定理）
给定一个网络G=(V,E)，f为G的流，则下列 三个结论相互等价： （1）f是G的最大流； （2）剩余网络Gf不存在增广路径； （3）存在一个割(S,T)，使得|f|=c(S,T)。
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FordFulkkerson方法的基本思想：对 于给定网络G(V,E)，从G的任意一个可 行流f开始，求出该网络的剩余网络Gf ，找到Gf的增广路径后，再沿增光路径 对流进行增广，重复上述过程，直到网 络中不存在增广路径为止。
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如此增广20000次
FordFulkerson方法的执行过程




(a)给出一个网络，然后从0流开始初始化 该网络，如图(b)所示，其剩余网络如图 (c)所示。其中增广路径用粗箭头表示。 沿着增广路径对流增广，得到(d)所示的网 络。该网络的剩余网络如图(e)所示，其中 增广路径用粗箭头表示。 沿着增广路径对流增广，得到(f)所示的网 络。该网络的剩余网络如图(g)所示。 重复上述过程，增广20000次，才能得到 最大流，如图(h)所示。
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void FordFulkerson(G,s,t,c) { for each edge(u,v) ∈E do // 初始化初始路径 f(u,v) = 0; while （存在增广路径p） { cf(p) ←min{ cf(u,v): (u,v)是p 上的边 } for each edge(u,v) 在p上 do f(u,v) ←f(u,v) + cf(p); 更新剩余网络； 算法时间复杂性： } O(|E||f*|) } f*是算法找到的最大流
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G
cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)
剩余容量cf(u,v)表示在 超出边容量c(u,v)之前， 从顶点u到v还能够增加 的流量的大小。 G
f
特点：剩余网络中的边： 原边 逆边 每条边的容量均大于0。
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相关概念 — 增广路径
定义4
给定一个网络G，f1,f2是G的流， 令(f1+f2)(u,v)=f1(u,v)+f2(u,v)，
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交错路径：v1,v2,v7,v8,v4,v3 交错回路：v1,v2,v7,v6,v1 增广路径：v5,v6, v1,v2,v7,v8,v4,v3
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定义12 给定两个边的集合M1 和M2，定义：
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引理4：
给定一个无向图G (V, E)，设M是图G的一个 匹配，p是关于M的一条增广路径，则M p 是图G的一个匹配，且有| M p || M | 1。
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G
GL
利用广度优先搜索 思想寻找层次图。
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确定增广路径的算法思想
1. 首先将流初始化为0，并将网络的剩余网络 Gf初始化为原图G；
2. 计算层次图； 3. 重复执行下列操作，直到t不在GL中：
① 只要GL中有从s到t的路径p，就用fp对当前的流 f进行增广，即f+fp，从GL和Gf中移去饱和边， 并相应地更新GL和Gf。 ② 根据剩余网络Gf计算层次图GL。
8.2 匹配问题
匹配问题在资源规划、机器调度以及人 员分配等领域有许多实际的应用价值。 定义9 给定一个无向图G=(V,E)，一个 匹配是一个边的集合M（E的子集），使 得对所有顶点v∈V，M中至多有一条边与 v相连。如果M中某条边与顶点v相连，则 说顶点v被M匹配；否则说v未匹配，称M 中的边为匹配边。|M|为边的条数。
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找到了层次图，就知道了找增广路径的 方法，即利用宽度优先搜索找到具有最 短路径长度的增广路径，并在当前的流 上，沿着增广路径p增广cf (p)个单位的 流量。
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算法的执行过程




(a)表示该算法从0流开始增广，图(a)的剩余网络也就是 原始图，如图(b)所示，其层次图如图(c)所示。 图(c)中存在一条从s到t的增广路径p:sv1v3t，其瓶 颈容量cf(p)=12,沿着该路径进行增广，得到图(d)。 沿着路径p更新图(b)，得到如图(e)所示的剩余网络，其 层次图如图(f)所示。图(f)中只有一条从s到t的增广路径 p:s v2v4 t，其瓶颈容量cf(p)=4，沿着该路径对流 进行增广，得到图g。 沿着路径(p)更新图(e) ，得到如图(h)所示的剩余网络， 其层次图如图(i)所示。图(i)中只有一条从s到t的增广路径 p:s v2v4v3t，其瓶颈容量cf(p)=7。 沿着该路径进行增广，得到图(j)。沿着路径p更新图(h) ，得到如图(k)所示的剩余网络，其层次图如图(l)所示。 图中找不到从s到t的增广路径，算法终止，最终|f|=23。
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8.1.2 最短路径增广算法
该方法提出了路径最短的增广路径先增 广的思想，极大地改进了 FordFulkerson方法的时间复杂度。 定义8 给定一个网络G=(V,E)，定义层 次图GL=(V,E′)，其中
E′={(u,v):(u,v)∈E，且d[v]=d[u]+1}
d[v]称为顶点v 的层次，是从源点s到v 的路径中最短路径的边数。
加的最大流量。
cf(p)=4 |p|=3
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引理2
给定一个网络G=(V,E)，令f为G的流，Gf为G 中关于流f的剩余网络，p为Gf中从s到t的一 条增广路径。定义函数fp：V×V→R如下：
c ( p) f (u, v) c ( p) 0
f p f
(u,v)是p上的边 (v,u)是p上的边 否则
f(u,v)/c(u,v)
u u
抵消
8/10 3/4
5/10
0/4
v
v
9
8.1.1 FordFulkerson方法
FordFulkerson方法是求解最大流问题 的一个经典方法，它的基本思想是从任 何一个可行流开始，沿增广路径对流进
行增广，然后不断重复此过程，直到网
络中不存在增广路径为止。
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算法框架
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原网络
剩余网络
增广后网络
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相关概念 — 网络的割
定义7：给定一个网络G=(V,E)，网络的一 个割(S,T)是把网络G的顶点集V分成两个子 集S和T=V-S且s∈S,t∈T，其中割(S,T)的 容量记为c(S,T)，定义为
c( S , T ) c(u, v)
uS ,vT
流过割(S,T)的流量记为f(S,T)，定义为
初始化一条可行的路径;
while (存在增广路径）{
对路径实施增广；
}
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相关概念 — 剩余网络
定义3 给定一个网络G，其流为f， 容量函数为c。关于流f的剩余容量函 数cf定义如下：对任意一对u,v∈V, cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)。 流f的剩余网络是一个有向图Gf=(V,E)， 其容量函数由cf定义，边集由 Ef={(u,v):cf(u,v)>0}确定。
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定义10 给定一个无向图G=(V,E)，设M是图
G的一个匹配，如果G的每一个顶点都被M匹 配，则称M是完全匹配。
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定义11 给定一个无向图G=(V,E)，设M 是图G的一个匹配，则称G中由匹配边与 未匹配边交错出现的一条简单路径为一 条关于M的交错路径。如果交错路径p的 起点和终点重合，则该路径称为交错回 路。如果交错路径p的起点和终点都不 是匹配起点，则该路径称为关于M的一 条增广路径。
定义5 给定一个网络 G,令f为G的流， 则称剩余网络Gf中从s到t的一条有向路 径p为增广路径。
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定义6
给定剩余网络Gf中从s到t
的一条增广路径p，将p上的最小剩 余容量cf(p)称为瓶颈容量，其中 cf(p)= min{cf(u,v):(u,v) ∈p}， 并记|p|为路径p包含的边数。
瓶颈容量给出了增广路径上可以增
则称f1+f2为流f1,f2的和。
引理1 给定一个网络G=(V,E)，令f为G的
流，Gf为G关于流f的剩余网络，令f '为Gf 的流，则流和f+f'仍然是G的流，且有 |f+f ' |=|f|+|f ' |。
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证明引理1
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(2)反对称性质：
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（3）流守恒性质：
根据定义可知
增广路径
4
输油管道
有向图
5
定义2
给定一个网络G=(V,E)，如果一个实值函数 f：V×V→R满足下列三个性质：
容量约束性质，即任取u,v∈V，
均有 f(u,v) ≤c(u,v)； 反对称性质，即任取u,v ∈V， 均有f(u,v)= -f(v,u)； 流守恒性质，即任取u ∈V-{s,t}， 均有 f (u , v) 0。
第8章 网络流与匹配
1
主要内容
8.1 最大流问题
8.2 匹配问题
2
8.1 最大流问题
最大流问题可以用来解决流经管道的 液体流、装配线上的零件流、流过电 路的电流、互联网上的信息流、运输
网络的物品流等等实际问题。
3
定义1
给定有向图G=(V,E)，对于图G的每一 条边(u,v) ∈E，都有一个非负的容 量c(u,v) ≥0，如果(u,v)E，则 c(u,v)=0，并且图中有两个特殊的顶 点s，t，其中顶点s只有出边，t只有 入边，并且图G中至少存在一条从s到 t的路径，称此有向图为网络，顶点s 为源点，顶点t为汇点。
f ( S , T ) f (u , v)
uS ,vT
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V1
V3
t S
V2
V4

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引理3
给定一个网络G=(V,E)，f为G的流。对于G的 任意一个割(S,T)，有f(S,T)=|f|。