小升初_完全平方数_C_1

合集下载

完全平方公式(1)

本节课我们学习了那些内容？
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(减去)
它们的积的2倍
(2) (a-b)2等于什么？
小颖写出了如下的算式：
（a-b)2 =[a+(-b)] 2
a2 2 • a • b b2
a2 2ab b2
她是怎么想的？你能继续做下去吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2 -2ab+b2
(3) (2ab-1) 2 =4a2 b2 -42ab+1
(4) (- a-b) 2 =-a²a+²-2aabb+b2
练习1：运用完全平方公式计算：
(1)( 1 x 2 y)2 (2)(2xy 1 x)2
2
5
(3)(-2x+5y)2； (4)(-2m-3n)2
列各式中哪些可运用完全平方公式进行计算(C )
A.(a+b)(a+c) B.(x+y)(-y+x) C.(ab-3x)(-3x+ab) D.(-m-n)(m-n)
2.下列各式中不能运用完全二全项相平式同方与或公二两式项项式都进相互行乘为计，相算若反的两数是项，(完则 ) A用.完(3全a-1平)(方3a公-1式) ，B若.(一x+项y相)(-同y+、x)
练习2：运用完全平方公式计算：
(1)(2 3a2 )(2 3a2 )
(2) －(5+2x)2 (3) (x-2y)(2y-x) (4) (3a+2b)(-3a-2b)

数论第11讲_平方数(教师版)A4

数论第11讲_平方数一．完全平方数的概念一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数．例如：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484……二．完全平方数的性质1．完全平方数的末位数只能是0、1、4、5、6、9．2．奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．3．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．4．如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数．5．如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数．6．偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．7．奇数的平方是81n+型；偶数的平方为8n或84n+型．8．平方数的形式必为下列两种之一：3k、31k+．9．不能被5整除的数的平方为51k±型，能被5整除的数的平方为5k型．10．平方数的形式具有下列形式之一：16m、161m+．m+、169m+、16411．在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数．12．一个正整数n是完全平方数当且仅当n有奇数个因子(包括1和n本身)．三．重要结论1．个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数．2．个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数．3．个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数．4．形如32n+型的整数一定不是完全平方数．5．形如42n+和43n+型的整数一定不是完全平方数．6．形如52n±型的整数一定不是完全平方数．7．形如82n +，83n +，85n +，86n +，87n +型的整数一定不是完全平方数．重难点：平方数的性质，平方数与平方差公式以及平方数的综合应用．题模一：平方数的性质例1.1.1从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【答案】31【解析】完全平方数，所有质因数必成对出现．327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，共31个．例1.1.2整数aabb 是完全平方数则a = ；b = ．【答案】7a =、4b = 【解析】根据位置原理11100aabb a b =⨯⨯+（）所以100a b ⨯+（）为一个平方数和11的乘积1164704⨯= 所以7,4a b ==．例1.1.3两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一个数的约数个数多1．那么这两个数分别是多少？【答案】16、175【解析】这两个数约数个数为一奇一偶，故有一个为完全平方数．422800257=⨯⨯，这样完全平方数可能为1、22、42、25、2225⨯、4225⨯．经检验，只有4216=符合要求，此时另一个数为257175⨯=有6个约数，16有5个约数．例1.1.4从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，这个完全平方数是__________．【答案】6084【解析】首先个位只能是4（为0需要两个0，为6需要十位数字为奇数），其次，不用的数字只能为2（为0或6则被3除余2，为8则被3整除而不被9整除）．这样，只有6084、6804、8064、8604四种可能，经尝试，只有6084符合，是78的平方．例1.1.5自然数N 是一个三位数，它是一个完全平方数，且它的三个数位上的数都为完全平方数，这样的自然数有几个？【答案】5【解析】0至9中只有0、1、4、9为完全平方数，故N 由0、1、4、9构成，百位只能为1、4或9．逐一试验10、11、12、13、14、20、21、22、30、31的平方，只有210100=、212144=、220400=、221441=、230900=符合要求，共5个．例1.1.6有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_____．【答案】1123【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧．设中间数是x ,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯,则25x a =．2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 2a 至少是225,中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．例1.1.7用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？【答案】不可能【解析】用300个2和若干个0组成的数的数字和是600，为3的倍数，则这个数是3的倍数，又此数为完全平方数，所以这个数应该是9的倍数，其数字和是9的倍数，矛盾．【主知识点】例1.1.8已知2381444=，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．（1）请再找出一个“好数”．（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．【答案】（1）21038（2）4（3）不存在超好数【解析】（1）因为2381444=，所以210381077444=．（2）平方数的性质可知，完全平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．末尾数是5的平方尾数一定是25，故不可能是5；对于1，设()2101a +满足X 111；而()()2101=20511a a a +⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于9，设()2103a +满足X 999；而()()210320519a a a +=⨯++，倒数第二位一定是偶数，不符合题意；又设()2107a +满足X 999；而()()210720571a a a +=⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于6，设()2104a +满足X 666；而()()210410080106a a a +=+++，倒数第二位一定是奇数，不符合题意；设()2106a +满足X 666；而()()2210610101236a a a +=⨯+++；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；所以好数的个位数字只能是4．（3）假设存在超好数，设其为()()210381n n ++≥则()()2222111038=100001076001014441000107610444n n n n n ++-+⨯+⨯+=⨯+⨯+．而()2111076101n n +-+⨯+不能被4整除，也就是倒数第四位不可能为4，故假设不成立，不存在超好数．题模二：平方数的运算例1.2.1能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【答案】找不到【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.例1.2.2把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（）位数字．【答案】157【解析】1-3的平方只有一位数，共3个数字； 4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字； 10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字； 32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字．例 1.2.3把自然数中的平方数去掉后得到数列2，3，5，6，7，8，10，11，……，其中第2011项是__________．【答案】2056【解析】与2011比较接近的平方数为2452025=，故2025排在第2025-45=1980个，还差31个数，第2011个数为2025312056+=．例1.2.4一串连续正整数的平方12，22，32，……，1234567892的和的个位数是________．【答案】5【解析】因为平方数的个位数是（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1）即个位数为5×8＋5．例1.2.5如果一个自然数能表示成两个完全平方数的差，则把这个自然数称为“智慧数”，如：16259=-，所以称16为智慧数．则在自然数列中，从1数起，第2012个智慧数是哪个数？【答案】2683【解析】任取一奇数21k +，有()()()()22211111k k k k k k k k k +=++=+++-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因此奇数均为智慧数；任取一4的倍数4k ，有()()()()4221111k k k k k k =⨯=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2211k k =+--，因此4的倍数均为智慧数；而完全平方数被4除的余数为0或1，故两个完全平方数的差不可能为2，因此被4除余2的均不是完全平方数．综上，一个数是智慧数当且仅当其被4除不余2，从1开始每4个数有3个是智慧数．201236702÷=，故从1数起，第2012个智慧数是467032683⨯+=．例1.2.6一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数．【答案】1981【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，45+44=89，89是质数，只能是189⨯，所以89a b +=，1a b -=，所以45a =，这个数为245441981-=．题模三：平方数的综合应用例1.3.1某小学为了庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变换成一个正三角形队列．参加排练团体操的学生至少要有__________人．【答案】36【解析】“能排成一个正方形队列”说明人数是平方数，“能变换成一个正三角形队列”说明人数能表示成从1开始的连续自然数之和．那么综合起来考虑，稍加尝试发现，满足条件的最小人数为：23661+2+3+4+5+6+7+8==．例1.3.2将100个灯泡编成100个号，即：1，2，3，……，100．现有100个人去拉开关，第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到第100个人将100号灯泡拉一下．假定开始时，灯泡全不亮，试问：这100个人全拉完后，哪些编号的灯泡是亮的？【答案】1、4、9、16、25、36、49、64、81、100【解析】某个灯泡被拉的次数即为其编号的约数个数，最终亮的灯泡被拉了奇数次，故其编号有奇数个约数，即为完全平方数．因此，亮的编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100．例1.3.3某个家庭有4个成员，他们的年龄各不相同，4人年龄的和是129岁．其中有3人的年龄是平方数，如果倒退15年，这4人中仍有3人的年龄是平方数．请问，他们4人中年龄最大的现在的年龄是___________岁．【答案】64【解析】由于有3人十五年前为平方数，故必有两个人现在和十五年前同时为平方数，设现在的年龄2a ，十五年前年龄2b ，()()2215a b a b a b -==+-，则8a =或2；7b =或1；则年龄最大的64．例1.3.4在时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数．他们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊．他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊．为了公平，第一个人应补给第二人____________文钱．【答案】2【解析】根据题意可知，牛群的总价是一个完全平方数，大羊的只数是个奇数．因为每只大羊10文钱，所以大羊总价个位为0，十位是一个奇数．小羊的价钱是一个小于10的整数，且牛群与羊群的总价相等，所以牛群总价是完全平方数且十位数字是奇数．根据平方数的特征，如果一个数为某数的平方，且十位数字为奇数，那么它的个位数字一定是6．所以小羊价钱为6文钱，第一个人应补给第二人()10622-÷=文钱．随练1.1如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是________.【答案】1，2，5，6，7，0【解析】平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9．随练1.2有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个相同的自然数的乘积）．如：111111=⨯=⨯⨯，6488444=⨯=⨯⨯．那么，1000以内的自然数，这样的数共有__________个．【答案】3【解析】既是完全平方数又是立方数的数所含相同质因数的个数至少是6个或6的倍数，满足条件的数有：611=，6264=，63729=，6440961000=>，66231000⨯>，所以满足条件的数只有3个．随练1.3一个两位数乘以7，所得到的积的各数位上的数字相加和是18，并且这个两位数的约数有奇数个，那么这个两位数是．【答案】81【解析】易知乘积既为7的倍数，又为9的倍数，即为63的倍数，且最大为9976311⨯=⨯．经试验，63的2至11倍中，只有189、567、693的数字和为18，而其中只有45677813÷==的约数个数为奇数个．随练1.4n 减58是完全平方数，n 加31也是完全平方数，求n ．【答案】1994【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，58+31=89，89是质数，只能是189⨯，所以89a b +=，1a b -=，所以45a =，这个数为245311994-=．随练1.546305乘以一个自然数a ，积是一个完全平方数，则最小的a 是多少？【答案】105【解析】46305=5×3×3×3×7×7×7，所以a 最小是5×3×7=105．随练1.64800000有______个因数是立方数．【答案】8【解析】立方数要求每种质因数的个数都为3的倍数．954800000235=⨯⨯，质因数可2可以取0个、3个、6个、9个共4种方法，质因数5可以取0个或3个共两种方法．所以4800000有428⨯=个因数是立方数．作业1同时满足以下条件的数是（）．①所有因数的和为31；②是5的倍数；③有奇数个因数．A ．30B ．27C ．25D ．20【答案】【解析】数论知识，有奇数个因数一定是平方数，C 正确．作业21016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是______．【答案】254【解析】310162127=⨯，故a 最小为2127254⨯=．作业3在1——200的200个正整数中，所有只有3个约数的正整数的和为__________．【答案】377【解析】由求约数个数的公式可知，只有质数的平方有3个约数．221320017<<，由此易知满足条件的数有4、9、25、49、121、169，总和为377．作业4已知两个不同的正整数a 、b 满足：a b +和a b -都是完全平方数，那么a 的最小值是__________．【答案】5【解析】a b +和a b -同奇同偶，且()()22a b a b a b +-=-也是平方数，即222a b c -=，a 、b 、c 为勾股数组，a 最小为5．作业5两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是__________．【答案】170【解析】（1）两个数均为平方数，则它们的乘积仍为平方数，这种情况和最大为8164145+=．（2）两个数均不是平方数，则这两个数为2a m ⨯，2a n ⨯（其中m 不等于n ）．对可能的情况进行讨论：当2a =时，这两个数最大是227⨯，226⨯，和为9872170+=．当3a =时，这两个数最大是325⨯，316⨯，和为7548123+=．当5a =时，这两个数最大是516⨯，59⨯，和为8045125+=．当6a =时，这两个数最大是616⨯，69⨯，和为9654150+=．……经讨论，和最大为170．作业6有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（请写出所有可能的答案）．【答案】(43,57)、(18,32)、(68,82)【解析】设这两个数分别是a 和14a +，则2a 与()214a +两个数的末两位相同，即2a 与()228196a a ++的末两位相同，所以()28196a +是100的倍数，a 个位只能是3或8．先设103a k =+，则28196280280a k +=+，当4k =，9时满足条件，但9k =时较大的两位数大于100不合题意．再设108a k =+，可求得1k =，6时满足条件．所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案．作业7一个三位数去掉中间的一个数字得到一个新的两位数，如235去掉中间的3后得到25，如果原来的三位数是新两位数的平方，那么这样的三位数共有_______个．【答案】2【解析】若两位数的平方为三位数，可得其最大值为31，且易知15及以上的数其平方的百位大于原数的十位，故只可能为10至14．经验证，只有10、11符合要求．作业8甲、乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？【答案】2【解析】n 头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元．作业9请从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数．【答案】1986、1998【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，我们还可以知道这两个数的奇偶性是相同的，19861198629936331=⨯=⨯=⨯；198911989=⨯；19922996=⨯；199511995=⨯，199811998299936666333=⨯=⨯=⨯=⨯=……，从上面我们发现1986和1998不能写成两个奇偶性相同的数的乘积，所以1986和1998不能写成两个自然数平方差的形式．作业10志诚小学三六年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)【答案】1981【解析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为2A ，一二年级的学生人数为2B ，则()()153A B A B =+-，而1533317=⨯⨯，所以，()A B +与()A B -可能为153和1；17和9；51和3，由这三个答案得到的A 和B 的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以27A =，24B =为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三六年级的学生人数为676，学校的总人数为7295766761981++=人.作业11求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数． (2)被22除余数为5． (3)它是完全平方数．【答案】1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025【解析】解设2225n N +=其中，n ，N 为自然数，可知N 为奇数()2161121N n -=-得到()()()441121N N n -⨯+=-，11|411|4N N -+或者()21114N k ⇒=-⨯+227N k ⇒=-或者2215(1,2,3,4)N k k =-=……，k =1时227,4915,225N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去， k =2时2229,84137,1369N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去，k =3时2251,260115,3481N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩，k =4时2273,532981,6561N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩， k =5时2295,9025103,10609N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025．。

2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高：数论(3)(知识点总结+同步测试)

2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高数论（3）知识点复习一．约数个数与约数和定理【知识点归纳】约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×p k 那么：n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）n的所有约数和：f（n）=（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（p k0+p k1+p k2+…p k a k）【命题方向】例1：105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（）A、4个B、6个C、8个D、10个分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案．解：105=3×5×7，共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数，答：它的约数共有8个．故选：C．点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．例2：恰有20个因数的最小自然数是（）A、120B、240C、360D、432分析：首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可．解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；四种情况下的最小自然数分别为：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240．故选：B．点评：此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．二．同余定理【知识点归纳】所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数．d数学上的称谓为模．如a=6，b=1，d=5，则我们说a和b是模d同余的．因为他们都有相同的余数1．【命题方向】例1：一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A、78B、88C、98D、90分析：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；A、7+8=15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．88÷3=29…1；98÷3=32…2；88除以3余1，所以88符合要求．故选：B．点评：本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解．例2：有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是19．分析：这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300-262=38，同理，这个数整除262-205=57以及300-205=95，因此，求出38、57、95的最大公约数1即是所求结论．解：300-262=38，262-205=57，300-205=95．38，57，95的最大公约数是19．这个整数是19．故答案为：19．点评：此题考查了学生最大公约数的知识，以及整除的性质．同余式定律6的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除．如果我们利用定律6，就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来．如我们用11来试试，11可以表示为10+1，所以有同余式：10≡-1 （mod 11）把上式两边都乘以各自，即：10×10≡（-1）（-1）=1 （mod 11）10×10×10≡（-1）（-1）（-1）=-1 （mod 11）10×10×10×10≡1 （mod 11）我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数如果它的数码交替到变号之和能被11整除，这个数就能被11整除，如1353这个数它的数码交替变号之和为：1+（-3）+5+（-3）=0，因为0能被11整除，所以1353也能被11整除．其他的数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可．三．完全平方数性质【知识点归纳】1．完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．2．性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型．性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型．性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．【命题方向】例1：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．则a的最小值是（）A、30B、20C、120D、60分析：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可．解：因为1080×a是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数；而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，所以，a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5=30．故选：A．【知识点归纳】1．孙子定理的含义：也叫中国剩余定理．《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整数．这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵．其正确解法叫做孙子剩余定理．2．中国剩余定理的结论：令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时．1．当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当命题错误时，在整个自然数范围内都无解．2．当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小．3．正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以A，B，C，D，…，Z不同的余数组合个数=A，B，C，D，…，Z的最小公倍数=不同的余数组合的循环周期．【命题方向】例1：设ɑ是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用ɑ除64的余数是4；用ɑ除155的余数是5；用ɑ除187的余数是7，则ɑ=（）A、10B、15C、30D、60分析：根据题意可知，a一定能整除（64-4）、（155-5）、（187-7），即a一定是60、150、180的最大公因数，只要用短除法即可求出最大公因数．解：64-4=60155-5=150187-7=180所以60、150、180的最大公因数是：5×3×2=30因此，a=30．故选：C．点评：本题考查了孙子定理，由于本题是求的最大的“模”，所以可以简单地用求最大公因数的方法解答．例2：某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是127．分析：此题属于孙子定理，又叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分部求解．解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7最终符合题意的是127．答：该年级的人数是127．故答案为：127．点评：此题考查了孙子定理，根据已知条件，只要分组时余数相同，就求最小公倍数，然后加上余数，明白同余定理是解决此题的关键．五．辗转相除法【知识点归纳】1．什么是辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法．2．原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数．3．举例子：有定理：已知a，b，c为正整数，若a除以b余c，则（a，b）=（b，c）．（证明过程请参考其它资料）例：求 15750 与27216的最大公约数．解：∵27216=15750×1+11466∴（15750，27216）=（15750，11466）∵15750=11466×1+4284∴（15750，11466）=（11466，4284）∵11466=4284×2+2898∴（11466，4284）=（4284，2898）∵4284=2898×1+1386∴（4284，2898）=（2898，1386）∵2898=1386×2+126∴（2898，1386）=（1386，126）∵1386=126×11∴（1386，126）=126所以（15750，27216）=216．【命题方向】例1：从一张长2109毫米，宽627毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是57毫米．分析：因为2109=627×3+228（也就是第1～3次剪下的正方形的边长为627毫米）； 627=228×2+171； 228=171×1+57；171=57×3．由以上算式可以看出，这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直到余数为零．最后一个除数就是两数的最大公约数．这是因为：两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数．拿此题来讲，2109和627的公约数，也就是627和228的公约数．由于171是57的倍数，所以它们的最大公约数就是57，即2109与627的最大公约数．解：2109=627×3+228；627=228×2+171；228=171×1+57；171=57×3．故答案为：57．点评：此题考查了求最大公约数的另一个办法--辗转相除法．例2：用辗转相减法求：1008，1260，882，1134这四个数的最大公因数．分析：用辗转相除法求出其中任意两个数的最大公因数，再求出这个公因数与另外两个数公因数的最大公因数；据此解答．解因为1008=252×4，1260=252×5，所以：（1008，1260）=252，又因为882=126×7，1134=126×9，所以：（882，1134）=126，又因为252=126×2，126=126×1，所以：（252，126）=126，所以：（1008，1260，882，1134）=126．点评：对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数．当d≥0时，d是a，b公因数中最大者．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．同步测试一．选择题（共10小题）1．（北京市第一实验小学学业考）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A．78B．88C．98D．902．一堆彩色玻璃球，二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数也余1个，则这一堆玻璃球至少有（）个．A．11B．16C．21D．313．有一堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数与每份的个数同样多，这堆草莓有（）个．A．42B．45C．494．已知69，90，125分别除以一个大于1的自然数N，它们的余数相同，那么81除以N的余数为（）A．3B．4C．5D．75．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1+2+3＝6．像这样的数叫完全数．下面的数中，（）是完全数．A．8B．18C．286．32的所有约数之和是（）A．62B．63C．647．将数A分解质因数是A＝2×3×5，那么因数有（）个．A．3B．5C．6D．88．一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的，它的因数共有（）个．A．8B．6C．5D．39．一个数，除50余2，除65余5，除91余7，求这个数是（）A．10B．11C．12D．1310．对于一个正整数，如果小于这个数的所有正因数之和恰等于这个数，那么这个数是完全数．例如6，小于6的正因数共有1，2，3，因为6＝1+2+3，所以6是一个完全数．下列数中是完全数的是（）A．4B．15C．28D．31二．填空题（共10小题）11．（北京市第一实验小学学业考）有四个不同的自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数．为使这四个数的和尽可能地小，这四个数分别是．12．2310的所有约数的和是．13．4018和3239的最大公约数为．14．1、4、9完全平方数，18、27完全立方数，2、3、5、7、10、11、12…非平方也非立方数列，数列中第99个是．15．一个完全平方数有5个约数，那么这个数的立方有个约数．16．22003与20032的和除以7的余数是．17．一个自然数除以7余5，除以11余1，除以9余3，这个数最小是．18．一个两位数，用2，3，5去除都余1，这个两位数最小是，最大是．19．有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3．这个三位数是．20．甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元，付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付，付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲元三．判断题（共5小题）21．如果一个完全平方数可以被5整除，则其末两位一定是25．（判断对错）22．一个数被4除余1，被5除余2，被6除余3，这个数最小是117．．（判断对错）23．三（1）班有39名学生，做操时能排成正方形队伍．（判断对错）24．能同时被3、5、7除，都余2的最小三位数是107．．（判断对错）25．自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数．．（判断对错）四．应用题（共5小题）26．（北京市第一实验小学学业考）不满千人的士兵等分为4队，每队排成14人或12人一排都余8人，后来改为8人一排则无剩余．求一共有多少人？27．某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？28．一堆苹果不少于10个，三个三个的数，四个四个的数，五个五个的数都多两个，这堆苹果最少有多少个？29．李老师买回一袋苹果，7个7个地数余3个，5个5个地数又多4个，3个3个地数正好数完．这袋苹果至少有多少个？30．下面是一个算式：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6这个算式的得数能否是某个数的平方？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．【解答】解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；A、7+8＝15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．88÷3＝29…1；98÷3＝32…2；88除以3余1，所以88符合要求．故选：B．【点评】解决本题也可以这样想：这个两位数是3和5的公倍数减2，由此得这个两位数是3×5×6﹣2＝88．2．【分析】“二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数也余1个”，说明这堆玻璃球的个数是2、3、5的公倍数加1，求这堆玻璃球最少有多少个，先求出2、3、5的最小公倍数，然后加上1，由此解决问题即可．【解答】解：2、3、5是互质数，它们的最小公倍数是：2×3×5＝30；玻璃球的个数就是30+1＝31（个）；答：这一堆玻璃球至少有31个．故选：D．【点评】此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数互质，它们的最小公倍数是它们的积，并用此决解实际问题．3．【分析】根据乘法口诀可知，七七四十九，由于这堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数和每一份的个数同样多，只有49合适，所以这堆草莓有49个．【解答】解：由分析可知，比40个多，比50个少，分的份数和每一份的个数同样多，这堆草莓有49个．故选：C．【点评】此题考查了乘法口诀在数学中的运用．4．【分析】可设69＝x+aa是余数，90＝y+a，125＝z+a，x，y，z能被这个自然数整除，相减之后即90﹣69＝x﹣y能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时整除它们的差，然后求出公约数即可解答．【解答】解：90﹣69＝21，125﹣69＝56，125﹣90＝35，21，56，35能同时被这个数整除，21，56，35大于1的公约数为7．81÷7＝11 (4)故选：B．【点评】本题主要考查了公约数的概念，通过同余得出他们的差能够整除这个自然数是解答本题的关键．5．【分析】分别写出8、18、28的因数然后依题意判断即可．【解答】解：8的因数有：1、2、4、8，1+2+4＝7，8不是完全数；18的因数有：1、2、3、6、9、18，1+2+3+6+9＝21，18不是完全数；28的因数有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14＝28，28是完全数；故选：C．【点评】本题可采用排除法注意判断作答．6．【分析】先找出32的约数有1，2，4，8，16，32，然后把它们相加即可．【解答】解：32的约数有1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16+32＝63；答：32的所有约数之和是63；故选：B．【点评】此类题做题的关键是先找出32的约数，然后根据题意，相加即可得出结论．7．【分析】先求出A的乘积，再求这个数的约数，解决问题．【解答】解：A＝2×3×5＝30，30的自因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，计8个．答：A的因数有8个．故选：D．【点评】也可以这样解答：2、3、5各一次，还有2×3，2×5，3×5，2×3×5，再加上1，共8个．8．【分析】设这个数＝a×b×c，则这个数的因数为：1、a、b、c、ab、ac、bc、abc，共有8个；据此解答即可．【解答】解：设这个数＝a×b×c，则这个数的因数有：1、a、b、c、ab、ac、bc、abc，共有8个．答：一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的，它的因数共有8个．故选：A．【点评】解决本题的关键是将所有因数写出，再计数．9．【分析】根据题意可得，50减去2，65减去5，91减去7，得到的差都是这个数倍数，然后求出它们的公因数即可．【解答】解：50﹣2＝4865﹣5＝6091﹣7＝84在三个选项中只有12是48、60、84的公因数；所以这个数是12．故选：C．【点评】本题考查了余数问题与公因数问题的综合应用，关键是明确一个数减去它除以某个数的余数，得到的差一定是某数的倍数．10．【分析】先将数4，15，28，31分解正因数，再求其小于它本身的所有正因数的和，最后判断是否等于这个数，即可得出结论．【解答】解：4，小于4的正因数共有1，2，因为4≠1+2，所以4不是一个完全数；15，小于15的正因数共有1，3，5，因为15≠1+3+5，所以15不是一个完全数．28，小于28的正因数共有1，2，4，7，14，因为28＝1+2+4+7+14，所以28是一个完全数．31，小于31的正因数共有1，因为31≠1，所以31不是一个完全数，综上所述，4，15，28，31中，只有28是完全平方数，故选：C．【点评】此题主要考查了一个数分解正因数的方法，新定义，找出一个整数的所有正因数是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．【分析】据题意可知，四个不同的自然数中其中任意两个数的和是2的倍数，根据数和的奇偶性可知，这四个自然数同为奇数，或同为偶数；由任意3 个数的和都是3的倍数可知：全是3的倍数，如果全是偶数，四数全是6的倍数即可；如果全是奇数，必须满足任意两数的差是6的倍数．总而言之，只要任意两数的差是6的倍数，即可满足题目要求如：1，7，13，190、6，12，18，等．使这4个数的和尽可能少，则取0，6，12，18．【解答】解：因为四个数中任意两个数之和是2的倍数，所以这四个数同奇、同偶；由任意3 个数的和都是3的倍数可知：如果全是偶数，四数全是6的倍数最小为：0，6，12，18；如果全是奇数，必须满足任意两数的差是6的倍数．最小为：1，7，13，19所以应取：0，6，12，18．故答案为：0，6，12，18．【点评】完成本题要在了解数的奇偶性及同余性质的基础上进行．12．【分析】先把2310分解质因数，即2310＝2×3×5×7×11，然后根据求因数和的方法计算即可．【解答】解：因为2310＝2×3×5×7×11，所以2310所有约数和为：（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）＝3×4×6×8×12＝6912故答案为：6912．【点评】约数个数与约数和定理：设自然数n的质因子分解式如n＝p1×p2×…×p k那么：n的约数个数公式：d（n）＝（a1+1）（a2+1）…（a k+1）n的所有约数和：f（n）＝（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（p k0+p k1+p k2+…p k ak）．13．【分析】两个数较大，用辗转相除法求出两个数的最大公因数即可．【解答】解：4018÷3239＝1 (779)3239÷779＝4 (123)779÷123＝6…41123÷41＝3所以，4018和3239的最大公因数为41；故答案为：41．【点评】两个整数的最大公因数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公因数．14．【分析】首先考虑1﹣99的完全平方数有10个1、4、9、25、36、49、64、81，且立方数有4个分别为1、8、27、64，去掉重复的还有99﹣9﹣4+2＝88个数，进一步考虑下一个完全平方数是121，完全立方数是125，所以从100开始，再数出12个数就可以得出答案为111．【解答】解：1﹣99的完全平方数有9个1、4、9、25、36、49、64、81，完全立方数有4个分别为1、8、27、64，去掉两种数剩下99﹣9﹣4+2＝88个，下一个完全平方数是121，完全立方数是125，88+11＝99，所以既没有完全平方数，又没有完全立方数，那么，这样的数的第99个数是111．答：数列中第99个是111．故答案为：111．【点评】解决此题的关键，是理解题意，找出在一定范围内完全平方数以及完全立方数的个数．15．【分析】根据完全平方数的性质，先求出约数有5个的完全平方数是16，再利用约数和定理，求出这个数的立方的约数个数即可．【解答】解：22＝4，有1、2、4三个约数，32＝9，有1、3、9三个约数，42＝16，有1、2、4、8、16五个约数，所以这个完全平方数是16，这个数的立方是：163＝212，12+1＝13（个），答：这个数的立方有13个约数．故答案为：13．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a＝pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数，关键是根据题干先求出这个约数有五个的完全平方数．16．【分析】2的次方÷7其实是有规律可循的，2÷7余2，4÷7余4，8÷7余1，16÷7余2，32除以7余4，64÷7余1，2的次方÷7的余数是2，4，1循环的．2003÷3余2，那么就是循环中第2个数，也就是4，2003×2003＝4012009.4012009÷7余1，两个余数相加就是4+1＝5；由此得出2的2003次方与2003的2次方的和除以7的余数是5．【解答】解：由2的次方÷7的余数是2，4，1循环的可得：2003÷3＝667…2，所以22003÷7的余数是4；因为2003×2003＝4012009，4012009÷7余1，即20032÷7余1，所以22003与20032的和除以7的余数是1+4＝5，故答案为：5．【点评】解答此题的关键是根据2的次方÷7余数发现规律，求出22003÷7的余数是4．17．【分析】一个自然数除以7余5，那么符合这一条件的最小的自然数是1×7+5＝12，然后再验证是否符合后两个条件，据此解答即可．【解答】解：符合“除以7余5”的最小的自然数是1×7+5＝12，12÷11＝1…1，符合要求，12÷9＝1…3，符合要求，所以，这个数最小是12．故答案为：12．【点评】本题考查了简单的孙子定理问题，也可分别列举出符合每个条件的数，然后找到最小的共同的数即可．18．【分析】根据一个两位数，除以2，3，5去除都余1，通过分析可以发现，这个两位数比2、3、5的公倍数多1，先求出这几个数的最小公倍数再加上1，求出最小的，然后再求出最大的即可．【解答】解：2×3×5＝30这个两位数最小是：30+1＝31最大是：30×3+1＝91答：这个两位数最小是31，最大是91．故答案为：31；91．【点评】此题巧用求几个数的最小公倍数，去解决问题．19．【分析】因为个位数是百位数的三倍，那么个位数和百位数只有这几种可能9或3，6或2，3或1，而它除以5余4，那么个位数必然是9，则百位数则是3．由于除以11要余3，而只有当11×36+3的时候个位数才会出现9，并且满足百位数是3，因此可以算出该三位数是399．【解答】解：由“个位上的数是百位上的数的3倍”，可知个位数和百位数只有这几种可能9，3或6，2或3，1．而它除以5余4，那么个位数必然是9，则百位数则是3．由“除以11余3”，而只有当11×36+3的时候个位数才会出现9，并且满足百位数是3，因此可以算出该三位数是399．故答案为：399．【点评】此题有一定难度，考查学生的分析推理能力．20．【分析】篮球的总价为n2．由题意“首先由甲付10元，然后乙付10元，甲再付10元，乙再付10元，…直到某次甲付10元后，乙只需要再付不足10元“可知，每轮他们付20元，最后一轮甲付了10元后乙没付够10元，所以他们支付的总价格的十位上必定是奇数．由下面可以推出十位上是奇数个位必定是6：假设一个数为n＝10x+y，其中x和y是整数，且0＜y≤9，于是，我们有：n*n＝100x*x+20xy+y*y．＝20x（5x+y）+y*y如果n*n的十位数字是奇数，那么y的平方十位数字是奇数，由此推得y的平方等于16或36所以n的平方个位数字是6所以最后乙付得钱肯定是6元，由此可以作答．【解答】解：总价为n2，由题意的，总价的十位数上为奇数，所以个位数上必定为6．所以最后一轮乙支付了6元，甲支付了10元．所以乙需要给甲（10+6）÷2﹣6＝2（元）答：按照约定，乙需要再给甲2元．故答案为：2．【点评】本题考差了平方数的一些规律，灵活运用即可作答．三．判断题（共5小题）21．【分析】本题可以举反例证明，如果一个完全平方数可以被5整除，那么它一定是25的倍数，比如102＝100，100可以被5整除，但其末两位不是25；据此解答即可．【解答】解：可以举反例证明：102＝100，100是一个完全平方数，100可以被5整除，但其末两位不是25，所以原题说法错误；故答案为：×．【点评】掌握完全平方数的特征和能被5整除的数的特征是解答本题的关键．22．【分析】因为这个数被4、5、6除余数不相同，所以可以转化为：一个数被4除差4﹣1＝3，被5除差5﹣2＝3，被6除差6﹣3＝3，然后求出4、5、6的最小公倍数，然后再减去3即可判断．【解答】解：4＝2×2，6＝2×3，4、5、6的最小公倍数：2×2×3×5＝60，60﹣3＝57，所以一个数被4除余1，被5除余2，被6除余3，这个数最小是57，而不是117，所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】本题考查了孙子定理，这道题如果按孙子定理去解答的话比较麻烦，本题通过转化表述方法使问题变得简单．23．【分析】正方形队伍应使每边人数相等，但是39不是某个自然数的完全平方数，所以39人做操时不能排成方队．【解答】解：因为39不是某个自然数的完全平方数，所以39人做操时不能排成方队．故答案为：×．【点评】本题考查了实心方阵的有关知识，计算公式是：总点数＝每边点数×每边点数；总点数÷4+1＝每边点数．24．【分析】通过分析题意可知：3、5、7的最小公倍数为3×5×7＝105所以这样的数可以表示成：105×k+2然后确定k的最小值，且满足这个数是三位数，据此解答即可．【解答】解：3、5、7的最小公倍数为3×5×7＝105所以这样的数可以表示成：105×k+2当k＝1时，105×k+2＝105×1+2＝107，107是满足条件的最小三位数．故答案为：√．【点评】本题考查了带余数的除法和最小公倍数的综合应用，属于中档型题目，有一定难度．25．【分析】根据找一个数的因数的方法进行解答即可．【解答】解：因为a只有两个约数，那么a为质数，那么5a最多有4个约数：1、a、5、5a；故答案为：×．【点评】解答此题应根据题意，进行认真分析，找出5a的所有约数，进而得出结论．四．应用题（共5小题）26．【分析】1000÷4＝250人，不满千人，每队就是不满250人；每队排成14人或12人一排都余8人，那么每排的人数就比14和12的公倍数多8，先找出250以内比14和12的公倍数多8的数，再满足最后一个条件，就是这个数是8的倍数，从而得出每队的人数，再乘4，就是总人数．【解答】解：1000÷4＝250（人），不满千人，每队就是不满250人；14＝2×712＝2×614和12的最小公倍数是：2×6×7＝8484+8＝9292÷8＝11…4，92不是8的倍数，不合题意；84×2+8＝176176÷8＝22，符合要求；84×3+8＝260＞250，不合题意．所以每队的人数是176人176×4＝704（人）答：一共有704人．【点评】解决本题关键是明确每队的人数是比14和12的公倍数多8的数，且是8的倍数的数，从而讨论求解．27．【分析】因为这个数除41、11得到的余数相等，那么这个整数是41﹣11＝30的因数，然后找到大于1的30的因数即可．【解答】解：因为这个数除41、11得到的余数相等，那么这个整数是41﹣11＝30的因数，30大于1的因数，即这个整数可能是：2、3、5、6、10、15、30．答：这个整数可能是：2、3、5、6、10、15、30．【点评】本题考查了因数与倍数的问题，关键是明确41和11两个数的差是这个数的倍数．28．【分析】“三个三个的数，余2个，四个四个的数，余2个，五个五个的数，余2个”，说明这堆苹果的个数是3、4、5的公倍数加2；3、4、5的最小公倍数是3×4×5＝60，又知这堆苹果不少于10个，。

完全平方数

【问题2】46305乘以一个自然数 a，积是一个完全平方数，则最小的 a 是（【解析】
）.
【问题3】将100个灯泡编成100个号，即：1，2，3，……，100．现有100个人去拉开关，第一个人把 1 的倍数的灯号开关都拉一下，第 2 个人把 2 的倍数的灯号开关都拉一下，直到第 100 个人将 100 号灯泡拉一下．假定开始时，灯泡全不亮，试问：这 100 个人全拉完后，哪些编号的灯泡是亮的？【解析】
五年级第一学期
第四讲完全平方数和不定方程
（第 4 页共 8 页）
且 ax by c 的一组整数解为
x x0 x x0 bt ，那么 y y0 at y y0
(t 为任意整数）是不定方程
ax by c 的全部整数解.
【典型问题】【问题 1】把 1—50 这 50 个数的平方数从小到大排成一个多位数 149162536……，请问这个多位数共有（）位数字. 【解析】
【问题 4】一串连续正整数的平方 12，22，32，………，1234567892 的和的个位数是＿＿. 【解析】
【问题 5】用 300 个 2 和若干个 0 组成的整数有没有可能是完全平方数？【解析】
【问题 6】甲、乙两人合养了 n 头羊，而每头羊的卖价又恰为 n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？【解析】
【问题 7】n 减 58 是完全平方数，n 加 31 也是完全平方数，求 n. 【解析】
五年级第一学期
第四讲完全平方数和不定方程
（第 2 页共 8 页）
了极为重要的一大步，在两年的时间内，他俩打破了 2000 多年的沉寂。给平静的世界数坛，投下了两颗不大不小的“石头” ，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。历史的鸿篇，艰难地翻动了一页又一页，在 17 世纪以后的岁月，许多数学家绞尽脑汁，投身到寻找新的亲和数的行列。他们殚思竭虑，企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆，他们磨秃了一枝又一枝的笔，结果是“上穷碧落下黄泉，两处茫茫皆不见。 ”这时，数学家才省悟到他们已经陷入了数学迷宫，恐怕很难再出现法国人的辉煌了。到了 1867 年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的 16 岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏-让眼皮下的一对较小的亲和数 1184 和 1210 溜掉了。这戏剧性的发现使数学家如痴如醉。亲和数还可以推广为若干个数组成的亲和数链，链中的每一个数的真约数之和恰好等于下一个数。如此连续，最后一个数的真约数之和等于第一个数。目前发现的最大的亲和数链由 28 个数构成，这个链的第一个数是 14316. 而至今为止还找不到三环亲和数，与亲和数的相关数学问题还有完全数、金兰数等，因而对亲和数的研究和探索还有很大的空间，相信在数学高速发展的今天在这方面会有更大的发展和突破。读到这里，数学的神奇与完美尽情展现，是呀!在数学历史的长河中，各个数学家都以他独特的眼光发现了数学的神奇美与和谐美，原来数学并不是那么枯燥无味，作为一位数学爱好者，我们应尝试用数学的眼光去发现美、用数学的感觉去体验美，用数学的智慧去创造美!让我们共同努力吧! 第四讲完全平方数和不定方程【核心观点】【定义】完全平方数：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。【性质】 ⑴完全平方数的末位数只能是 0,1,4,5,6,9. ⑵奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数. 证明：奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)2=100 a2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3) 2=100 a2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5) 2=100 a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5 (10a+7) 2=100 a2+140a+49=20(5a+7a+2)+9 (10a+9) 2=100 a2 +180a+81=20 (5 a2+9a+4)+1 综上：奇数的平方，个位数字为奇数 1,5,9；十位数字为偶数.随心家教张老师简介：中国农业大学教育学 2004 年入读数学金牌教师，曾在多家大型教育机构担任数学部主管及数学带头教师。从 2009 年开始从事清华龙校，101 中学，十一学校，北大附中，北大资源等学校的小升初奥数辅导，先后有张博涵等十多位同学被点招。张老师家教优势： 1.专业优势：曾任教多家龙校、101 专业辅导机构，专业性强、教学经验丰富。 2.价格优势：花较少的钱请到专业老师，上门家教，省去了机构花的冤枉钱，同时省掉了奔波之苦。 3.课程优势：免费试听，家长可跟踪听课，费用可以一次课一结，既安全又保证学习效果。 4.教学优势：历年真题（清华龙校，101 中学，十一学校，北大附中，北大资源），完善的专业教学体系，学习有力保障。 5.学习优势：可以根据学生程度制定详细、系统学习规划。

小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)

【本讲重点】1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理2．数论专题综合性题目选讲模块一：数论专题系统梳理一、整除性质①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。

(k为正整数)②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。

③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。

④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。

二、整除特征1．末位系列(2，5)末位(4，25)末两位(8，125)末三位2．数段和系列3、9各位数字之和——任意分段原则(无敌乱切法)33，99两位截断法——偶数位任意分段原则3．数段差系列11整除判断：奇和与偶和之差余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：⎧⎨⎩整除判断：奇段和与偶段和之差余数判断：奇段和-偶段和（不够减补，直到够减）则三、整除技巧：1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)2．除数合并：(结合试除，或有特征)3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)四、约数三定律约数个数定律：(指数＋1)再连乘约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘约数积定律：自身n (n ＝约数个数÷2)五、完全平方数①特征 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩末位：0、1、4、5、6、9÷3余0或1余数：÷4余0或1 ②奇数个约数⇔完全平方数⇔偶指性六、短除模型七、质数明星：2⇔奇偶性5⇔个位八、分解质因数1．质数：快速判断2．唯一分解定律3．见积就拆——大质因子分析九、余数定律1．利用整除性质求余数2．利用余数性质求余数3．利用除数分拆求余数十、带余除式代数思想⇔数论方程⇔去余化乘，找倍试约十一、同余问题1．同余定理：如果a 与b 除以m 余数相同，则a 、b 之差为m 的倍数。

2．①−−−−→余数性质不同余同余 ②去余化乘，找倍试约。

5-4-1_完全平方数.题库教师版

完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-模块一、完全平方数基本性质和概念【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是的平方．【解析】212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，例题精讲知识点拨教学目标5-4完全平方数原式22(11111117)7777777=⨯=．【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例 2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯ ，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯ ，因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯⨯+= ．由于39139313=⨯=⨯，⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．【例 3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【巩固】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【巩固】已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是。

5-4-1完全平方数,题库教师版

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

知识点拨教学目标5-4完全平方数6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

3.重点公式回顾：平方差公式：22()()ab a b a b -=+-模块一、完全平方数基本性质和概念【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是的平方．【解析】212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，原式22(11111117)7777777=⨯=．【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例 2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯⨯+=．由于39139313=⨯=⨯，例题精讲⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．【例 3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【巩固】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【巩固】已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是。

2024-2025学年重庆市第一中学七年级上学期小升初数学真题试题

2024-2025学年重庆市第一中学七年级上学期小升初数学真题试题1.2.3.4.5.在中最小的数是______．6.某公园的门票价格为成人票20元，团购票15元，儿童票10元．某一天检票处统计的结果是成人票的数量与团购票的数量之比为，团购票的数量与儿童票的数量之比为，儿童票的收入比成人票的收入少1200元，这一天公园共接待游客_____人．7.方程：的解为．8.五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_____人．9.一个黑色的口袋中装有大小、形状一模一样的30支筷子，颜色分别为红、蓝、黄、绿、黑每种颜色的筷子都有，但具体数册未知．小明闭着眼睛，不停地从口袋中拿筷子，每次拿2根．如果他希望口袋中剩下的筷子一定能凑成完整的四双，那么最多能拿出_____根筷子．（注：两根筷子必须颜色相同才能凑成一双）10.将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是______．11.有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的因数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是______．12.表示不超过x的最大整数，则中共有_____个不同的整数．[提示]13.在下面的竖式中，两个乘数的和是______．14.有一类自然数，被8除余1，被7除余5，被6除余3．将这类数从小到大排列，第13个数是______．15.如图，的面积为96，D、E分别是的中点，F、G分别为的中点．那么阴影五边形的面积是多少？16.A、B、C三个油桶各盛油若干千克．第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克．问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？17.3个3口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种．）18.三个学生甲、乙、丙各有若干本故事书互相赠送．第一次由甲送给乙、丙故事书，所送的本数等于乙、丙已有的故事书本数；第二次由乙送给甲、丙故事书，所送的本数也正好等于甲、丙各人已有的故事书本数；最后由丙送给甲、乙故事书，所送的本数也正好等于甲、乙各人已有的故事书本数．这时每人的故事书都是32本．原来甲、乙、丙三人各有多少本故事书？。

（1）完全平方公式

（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。

小升初小学数学(简易方程)知识点汇总(六)

小升初小学数学(简易方程)知识点汇总219.什么叫做代数式和代数式的值？用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数字和表示数的字母连接起来所得的式子，叫做代数式。

特殊的，单独的一个数字或字母也可以叫做代用数代替代数式里的变数字母．计算所得的结果，叫做这个代数式的值。

的值是 289。

220.什么叫做等式？等式有哪些性质？表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式。

两个数或两个代数式之间用等号“=”连接起来。

例如：27＋23=50，a+b=b+a，4x+6=86。

等式的性质有以下几条：（1）等式两边可以调换位置。

也就是说，如果 a=b，那么 b=a。

（2）等式两边都加上（或减去）同一个数，所得的等式仍然成立。

即如果 a=b，那么a±m=b±m。

（3）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所得的等式仍然成立。

即如果 a=b，那么 am=bm，a÷n=b÷n（n≠0）。

221.什么叫做方程和方程的解？含有未知数的等式，叫做方程。

例如：3x＋4=10，7x=2.8，ax2＋bx ＋c=0（其中 a、b、c 为已知数，x 是未知数）等都是方程。

方程是提出一个问题：当未知数取什么数时，等式成立。

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

例如：x=2 是方程3x+4=10 的解。

x=1.7 是方程 4x=6.8 的解。

222.什么叫做单项式和多项式？不含加、减运算的整式，叫做单项式。

特殊的，单独一个数或一个字母多项式。

例如：4x+7，3x2+5，6x2+7x+2 等都是多项式。

223.什么叫做同类项及合并同类项？在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。

例如：5x2＋3x+4x2＋6 中，5x2 与 4x2 是同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

例如：5x2＋3x+4x2＋6=9x2+3x+6 是合并同类项。

完全平方数和完全平方式(初三)

初中数学辅导资料完全平方数和完全平方式内容提要一. 定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围（a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程，得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ，得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0，得 5≤m ，即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.；当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根练习题1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习题答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。

1.完全平方公式课件

(a+b)2= a2+2ab+b2
；
(a－b)2= a2－2ab+b2 .
新课导入
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2= (p+1) (p+1) = p2+2p+1 .
(2) (m+2)2 = m2+4m+4
.
(3) (p－1)2 = (p－1) (p－1) = p2 － 2p+1 .
(4)原式 (2x2 )2－2 2x2 3 y2 (3 y2 )2
4 x4 12 x2 y2 9 y4
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2 (2)(x －y)2 =x2 －y2 (3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
课堂小结
1.完全平方公式的内容
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方，尾平方，2倍乘积放中央，符号跟前一个样
2. 注意完全平方公式和平方差公式不同
情势不同；结果不同
3. 在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
(4) (m－2)2 = m2 － 4m+4 .
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？
(a+b)2= a2+2ab+b2
；
(a－b)2= a2－2ab+b2 . 你会推导验证吗？

平方数、奇偶性、位值原理(ABC级).学生版

一、完全平方数常用性质1. 特征1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2. 性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3. 一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

知识框架平方数、奇偶性、位值原理7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

4.重点公式回顾：平方差公式：22()()-=+-a b a b a b二、奇数和偶数1.定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

五年级春季：12-完全平方数(大纲+题库)

一、教学目标总述：完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.细分：1.掌握平方数的因数与余数的性质；2.初步体会用尾数分析法解有关整数问题；3.初步体会用因数分析法解有关整数问题；4.初步体会余数分析法解有关整数问题；二、知识点拨1．平方数的因数有下面的一些性质：（1）平方数的因数的个数必为奇数；反之，恰有奇数个因数的数必为平方数。

（2）若p 是平方数M 的因数，则也是M 的因数，且仍为平方数。

2．平方数的余数有下面的性质：⑴偶数的平方被4整除；⑵奇数的平方被8除时余数为1，因而被4除时余数也为1。

3、平方数尾数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

4.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-三、整体思路注：选做题中，将放除去以上题目类型以外的题目，并要包含以上知识点，分析难度会提高。

2p 2/M p四、题目分类[类型一] 平方数的分解式，及分解质因数之后的质因数的指数特征《一》简单类型，可以作为学习入门【例 1】9207乘以正整数a 后成为平方数，问：a 的最小值是多少？[教学建议] 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。

[分析解答]要乘的数a 应满足条件使得9207的所有质因数个数都为偶数，则a 的最小值是3×11×31=1023；【例 2】 9207加上正整数a 后成为平方数，问：a 的最小值是多少？ [教学建议] 运用平方数的分解式特征分析题目，比较简单。

[分析解答] 根据平方数定义，9207加上一个正整数a 后所得的数可以表示为两个相同的数相乘的形式，由9207的分解式看出9207=99×93，295=9025＜9207＜9216=296；9216-9207=9，则a 的最小值是9。

小升初_完全平方数_D_1

小升初-完全平方数-D-1一．填空题1.一个十位数3333333333的平方数中有个数字是奇数．2.有个五位数，加上2003后为完全平方数．3.有三个连续的四位正整数，中间一个为完全平方数，且三个数的和能被15整除，则中间的数的最小值是．4.有一个自然数，它与160的和等于某一个数的平方，它与84的和又等于另一个数的平方．那么这个自然数是．5.（2012•东城区模拟）某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是．二．解答题6.是否存在自然数n，使得23n+3与13n+5的差为完全平方数？7.03年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？8.有一个正整数分别加上15和减去4后，都是完全平方数，试求此数．9.如果n减58是一个完全平方数，n加31也是一个完全平方数，那么n是多少？10.试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．11.（2014•台湾模拟）有一个自然数的平方，它的最后三位数字相同但不为零，试求满足上述条件的最小数．12.（2014•台湾模拟）a、b均为正整数，a≠b，且（90a+102b）正好是一个完全平方数，那么，（a+b）的最小值为多少？13.（2002•北京校级自主招生）已知382=1444，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．（1）请再找出一个“好数”．（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．14.已知一个四位数平方之后，后四位与原来的四位数相同，那么原来那个四位数是．15.一个两位数N，在它的左边添上适当的两个数码变成四位数时恰是原数N的平方，试求所有这样的两位数．16.有这样的两位数，交换该数数码所得到的两个位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为29+92=121=112，请你找出所有这样的两位数．17.甲乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？。

小升初数学思维拓展专项训练专题11完全平方数性质

专题11-完全平方数性质小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．2、性质。

性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n 或8n+4型．性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k 型．性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．【典例一】：一个整数a 与1080的乘积是一个完全平方数．则a 的最小值是（）A、30B、20C、120D、60【分析】一个整数a 与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a 的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可．【解答】解：因为1080×a 是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数；而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，所以，a 必含质因数2、3、5，因此a 最小为2×3×5=30．故选：A．【点评】明确完全平方的数的质因数的指数为一定全为偶数是完成本题的关键．【典例二】a 、b 均为正整数，a b ≠，且(90102)a b +正好是一个完全平方数，那么，()a b +的最小值为多少？【分析】因为(90102)a b +是完全平方数，且有因数3，所以必有因数23，由2901023(1034)3b a b a +=⨯+⨯，推知b 是3的倍数；由此可知：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，然后假设3b =，推出a 的值，进而得出结论．【解答】解：(90102)a b +是完全平方数，且有因数3，所以有因数232901023(1034)3b a b a +=⨯+⨯，推知b 是3的倍数；由此可知：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，当3b =，11a =时，2(1034)144123b a +⨯==，即()a b +的最小值为：11314+=；答：()a b +的最小值为14．【点评】结合题意，把原式进行提取，变形，得出：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，是解答此题的关键．【典例三】有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为2299212111+==，请你找出所有这样的两位数．【分析】设原来的两位数是10a b +，交换之后是10b a +，它们之和为10111()121a b b a a b +++=⨯+=；只需要a b +等于11就可以了，据此可以列举出来．【解答】解：设原来的两位数是10a b +，交换之后是10b a +，它们之和为：101011()121a b b a a b +++=⨯+=；所以1211111a b +=÷=，因为29384756a b +=+=+=+=+，所以：2299212111+==，2388312111+==，2477412111+==，2566512111+==，答：这样的两位数是56，47，38，29，65，74，92，83．【点评】解答此题紧紧抓住完全平方数的性质，即211121=，把两个数的和写成11()121a b ⨯+=的形式，推出a b +的和为11即可．一．选择题（共5小题）1．下面的数中，()是完全平方数．A．8B．9C．62．有一堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数与每份的个数同样多，这堆草莓有()个．A．42B．45C．493．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1236++=．像这样的数叫完全数．下面的数中，()是完全数．A．8B．18C．284．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有()个．A．15B．18C．20D．215．假如有一个数，唯一能整除它的平方数是1，则我们称此数为“无平方”数．例如，6是个“无平方”数而12则不是．请问在从90到100（包括90和100)共有()个“无平方”数．A．4B．5C．6D．7E．8二．填空题（共11小题）6．某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是．7．自然数a 乘294，正好是另一个自然数的平方，则a 的最小值是．8．若245a b b =⨯，则a 、b 的最小值分别是a =，b =．9．1、4、9完全平方数，18、27完全立方数，2、3、5、6、7、10、11、12⋯非平方也非立方数列，数列中第99个是．10．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1236++=，像6这样的数，叫作完全数（也叫作完美数）。

小升初奥数数论完全平方数知识点

小升初奥数数论完全平方数知识点【篇一】一、完全平方数的定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

二、完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.约数个数为奇数;反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2三、完全平方数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

【篇二】例题例1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

解：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2 (1)x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得n^2-m^2=89,(n+m)(n-m)=89但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。

解之，得n=45。

代入(2)得。

故所求的自然数是1981。

例2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。

分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。

欲证n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明：设这四个整数之积加上1为m，则m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。

这就证明了m是一个奇数的平方。

【篇三】练习题1、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是()岁。

小升初_完全平方数_C_1

完全平方公式(1)

数论第11讲_平方数(教师版)A4

2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高：数论(3)(知识点总结+同步测试)

完全平方数

小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)

5-4-1_完全平方数.题库教师版

5-4-1完全平方数,题库教师版

2024-2025学年重庆市第一中学七年级上学期小升初数学真题试题

（1）完全平方公式

小升初小学数学(简易方程)知识点汇总(六)

完全平方数和完全平方式(初三)

1.完全平方公式课件

平方数、奇偶性、位值原理(ABC级).学生版

五年级春季：12-完全平方数(大纲+题库)

小升初_完全平方数_D_1

小升初数学思维拓展专项训练 专题11完全平方数性质

小升初奥数数论完全平方数知识点

小升初数学思维拓展专项训练专题11完全平方数性质