九年级数学锐角三角函数

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初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

九年级数学专题复习锐角三角函数

总复习锐角三角函数【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点进阶：ABCabc(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点进阶：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点进阶：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点进阶：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点进阶：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点进阶：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++．直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质例1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．举一反三：【变式】如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A ．B ．C ．D ．类型二、特殊角的三角函数值例2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．举一反三：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值.例3．如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求：（1）tanC 的值；（2）sinA 的值．CBA举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到0.1千米)类型三、解直角三角形及应用例4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．例5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC的边长为2，点D在BC的延长线上，CD＝3．(1)动点P在AB上由A向B移动，设AP＝t，△PCD的面积为y，求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC＝z，求z与t之间的函数关系式．例6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO与BO的长．(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO下滑了多少米；②如图(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35 B ．45 C ．34 D ．432．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（）A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1第2题第3题3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（） A ．34 B ．43 C ．35 D ．454．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )A ．247B ．73C ．724D ．135．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y ＝－33x ＋33，则cos α等于 ( ) A ．12B ．22C ．32D ．336．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为5．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 .9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则t an∠OBE=．12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 .三、解答题13．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C 不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)。

人教版九年级数学下册第28.1 _锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值(共46张PPT)

7．(中考·庆阳)在△ABC 中，若角 A，B 满足|cos A－ 23|＋(1－ tanB)2＝0，则∠C 的大小是( D ) A．45° B．60° C．75° D．105°
8．若△ABC 中，sinA＝cos B＝ 22，则下列最确切的结论是( C ) A．△ABC 是直角三角形 B．△ABC 是等腰三角形 C．△ABC 是等腰直角三角形 D．△ABC 是锐角三角形
tan A =
∠A的对边
∠A的邻边

AC . AB
B
∠A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
1. 对于sinα与tanα，角度越大，函数值越大；对于cosα，角度越大，函数值越小 .
2. 互余的两角之间的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA = cosB，cosA = sinB， tanA ·tanB = 1 .
cos 30 3a 3 ，
60°
2a 2
tan 30 a 3 .
30°
3a 3
∴ sin 60 3a 3 ， 2a 2
cos 60 a 1， 2a 2
tan 60 3a 3. a
60°
30°
设两条直角边长为 a，则斜边长 = a2 a2 2a.
∴ sin 45 a 2 ， 2a 2
14．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上．已知∠BDC ＝45°，BD＝10 2，AB＝20，求∠A 的度数．解：∵∠BDC＝45°，∠C＝90°， ∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BC＝CD. ∵BD＝10 2，∴BC＝10. ∵AB＝20，∴sin A＝BACB＝1200＝12. ∵∠A 为锐角，∴∠A＝30°.

中考数学三角函数公式汇总与解析

中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。

初中锐角三角函数

初中锐角三角函数锐角三角函数是数学中重要的概念之一、在初中阶段，我们学习了正弦、余弦和正切三种锐角三角函数。

通过学习锐角三角函数，我们可以计算三角形的边长和角度，解决实际问题，提高数学思维能力。

本文将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。

一、正弦函数正弦函数是锐角三角函数中最基本的函数之一、我们用sin表示正弦函数。

设一个锐角的一条直角边的长度为a，斜边的长度为c，则正弦函数的定义如下：sinA = a / c其中A为角的度数，sinA为正弦值。

正弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，正弦值的大小从0逐渐增大，最大值为1、所以sin0° = 0，sin90° = 12. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，正弦值的大小从1逐渐减小，最小值为0。

所以sin180° = 0。

正弦函数的应用：正弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。

通过正弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如航海中的船舶位置计算、建筑中的高度计算等。

二、余弦函数余弦函数是锐角三角函数中的另一种函数。

我们用cos表示余弦函数。

设一个锐角的一条直角边的长度为b，斜边的长度为c，则余弦函数的定义如下：cosA = b / c其中A为角的度数，cosA为余弦值。

余弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，余弦值的大小从1逐渐减小，最大值为0。

所以cos0° = 1，cos90° = 0。

2. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，余弦值的大小从0逐渐增大，最小值为-1、所以cos180° = -1余弦函数的应用：余弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。

通过余弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如建筑物的倾斜角度计算、物体的投影计算等。

第二十八章锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)

第二十八章锐角三角函数单元总结【知识要点】知识点一锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2.sinA 、cosA 是一个比值（数值，无单位）。

3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，对边邻边C知识点二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD ＝5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==．故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A 【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴2222=108=6AB AC --，∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A 5B25C5D．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，222425+=∴cos∠25525=．故选B ．变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠=，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（） A ．18 B ．2C ．12D ．118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC 中，cosA ＝ACAB，即可求得AC 的长．【详解】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴cosA ＝ACAB ， ∵cosA ＝13，AB ＝6，∴AC ＝123AB =，故答案选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系．变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M （5，2），那么cosα的值是（）A 5B ．23C 25D 5【答案】D 【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（5，2），∴OH＝5，MH＝2，∴OM＝22(5)2+＝3，∴cosα＝5 OHOM=，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C3D3【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC ，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB 2+BC 2=AC 2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°，则tan ∠BAC=1，故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（）.A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．解析：如图，作DE ⊥AB 于E ．∵tan ∠DBA==，∴BE=5DE ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE ．∴BE=5AE ，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=，AE=2．故选A.变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若2tan5BAC∠=，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解：因为2tan5BCBACAC＝∠=，又BC＝30，所以，3025AC＝，解得：AC＝75m，所以，故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(312) D．(－123【答案】B 【详解】∵点（-sin60°，cos60°）即为点（312），∴点（-sin60°，cos60°）关于y 3，12）．变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=3，sin30°=12，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC中，sin A=cos B=22，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=45，则cosB的值等于( )A．35B．45C．34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cos B=sin A=45．故选B．点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA= 12，那么sinA 的值是（）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可．【详解】：∵Rt △ABC 中，cosA=12 ，∴ =2，故选B ．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠=，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（） A ．35B ．53C ．34D ．43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∴cosA=b c ，tanA=ab ，a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45，设b=4x ，则c=5x ，a=3x ．∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α，在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα，故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（）A ．10B ．15C ．6D ．10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，在Rt ACD ∆中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD ∆中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sinB 的值．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ACD ∆中，1CD CA cosC ⋅＝＝，2215AD AD CD ∴=-=；在Rt ABD ∆中，315BD CB CD AD ＝﹣＝，＝，22BD AD 26AB ∴=+=，AD 10sin AB B ∴==．故选：D ．【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣153）米C．153米D．（36﹣103）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝103（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．∴甲楼高为（36﹣103）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD ∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ，先在RT △BDN 中求出线段BN ，在RT △ABM 中求出AM ，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题．【详解】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在RT △BDN 中，BD=30，BN ：ND=13，∴BN=15，DN=153，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=603153453-=，在RT△ABM中，tan∠ABM=43 AMBM=，∴AM=603，∴AC=AM+CM=15603+．【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．【解析】分析：利用锐角三角函数，在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF ．通过矩形CEFH 得到CH 的长．详解：在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE=CE AE， ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中，∵tan ∠DBF=DF BF， ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm ）∵CE ⊥EF ，CH ⊥DF ，DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形，∴CH=EF=151（cm ）.答：高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．。

初中锐角三角函数

初中锐角三角函数正弦函数是指在锐角三角形中，对于任意角度A，正弦函数的值等于以A为角度的对边与斜边的比值。

正弦函数用符号“sin”表示。

余弦函数是指在锐角三角形中，对于任意角度A，余弦函数的值等于以A为角度的邻边与斜边的比值。

余弦函数用符号“cos”表示。

正切函数是指在锐角三角形中，对于任意角度A，正切函数的值等于以A为角度的对边与邻边的比值。

正切函数用符号“tan”表示。

这三个函数在数学中非常重要，应用广泛。

正弦函数和余弦函数的性质很相似。

它们的取值范围都在-1到1之间。

对于一个锐角三角形，从其中一条边的两个特定点A和B出发，我们可以定义经过点A和点B的直线与垂直边之间的夹角为θ，那么sinθ就等于点B到垂直边的距离与斜边的长度之比，cosθ等于点A到垂直边的距离与斜边的长度之比。

正切函数的性质则略有不同。

它的取值范围是正负无穷大。

其中，tanθ等于点B到垂直边的距离与点A到垂直边的距离的比值。

如果θ接近于90度（对应锐角三角形中的直角），tanθ的值将趋于无穷大。

初中锐角三角函数的运用非常广泛。

在几何学中，可以通过锐角三角函数来求解各种三角形的边长和角度大小。

在物理学和工程学中，锐角三角函数也被广泛用于计算机绘图、声音和光学等领域。

此外，在三角函数的应用中，人们还会用到其它一些相关的概念和运算，如正弦定理、余弦定理等。

总之，在中学教育中，锐角三角函数被认为是数学的基础知识之一、它的运用不仅帮助我们理解和解决各类几何问题，也为我们打开了更深入的数学和科学方面的研究之门。

通过掌握锐角三角函数的定义和性质，我们可以更好地理解三角学的概念和方法，并将它们应用到实际生活和学术领域中。

无论是数学还是物理、工程领域，锐角三角函数都是不可或缺的基础知识。

第9讲锐角三角函数

第9讲锐角三角函数知识点1 锐角三角函数1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值3.锐角三角函数值的变化规律当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小；当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大．【典例】例1在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝8，BC ＝6，那么∠A 的正弦值为（） A ．35B ．45C ．34D ．43例2在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AC 的长为（） A ．2sin α B ．2cos αC ．2tan αD ．2cot α例3计算：tan 260°−2sin30°4cos 245°+cot30°．【随堂练习】1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，那么tan B 的值等于（） A ．23B ．√53C ．√52D ．2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝α，AC ＝2，那么AB 的长等于（） A ．2sinαB ．2sin αC ．2cosαD ．2cos α3．计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°．4．计算：tan 245°cot30°−2cos45°−2sin60°．知识点2 解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．2.基础知识在Rt △ABC 中，∠A ∠B ∠C 所对的边分别是a ，b ，c. （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 （2）锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠=90（3）边角之间的关系：sin A =a c cos A =b c tan A =ab sin B =bc cos B =ac tan B =ba（4）面积公式：S=12ab=12ch （h 为斜边上的高） 3. 解直角三角形的基本类型及其解法【典例】例1如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝30°．（1）求AD 的长．（2）求sin C 的值．例2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC =12∠BAC ，求sin ∠BPC ．例3如图，在△ABC 中，cos B =√22，sin C =35，AC ＝10，求△ABC 的面积．【随堂练习】1．如图，在△ABC 中，tan C =35，点D 在边BC 上，AB ＝AD ，CD ＝2BD ＝4，求sin B 的值．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝4√3，解这个直角三角形．3．如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝，点D 为边AC 上一点，若∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AD 的长．（结果保留根号）知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示．2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则i=ℎl =tan α．【典例】例1如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移 m 时，才能确保山体不滑坡．（取:i h l=hlαtan50°≈1.2）例2如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1：，求背水坡的坡长CD为多少米．例3 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为6√2米（结果保留根号）．【随堂练习】1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：√3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（）A．5 m B．10m C．5√3m D．8 m2.小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡AB，长度为1000米；从B到C的缆车路线可看作是线段BC，长度为2400米，其与水平线的夹角为48°，求山顶C到地面AD的距离CE 的长．（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）3．农用温棚的上半部分如图所示，迎阳坡AD 的坡度i ＝1：1.8，背阳坡AC 坡度i ＝1：0.5，棚宽CD ＝11.5米，要铅直竖立两根立柱AB 、EF ，其中BF ＝AB ．求AB 、EF 的长．知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【典例】例1如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为50米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A 的仰角为30°，底端B 的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB 的高度．（精确到0.1米）仰角水平线视线视线俯角（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，＝1.41， 1.73）例2某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]例3如图，永州市德雅、高峰学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，路经白石山公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝8米，求信号柱AB的长度．（结果保留根号）【随堂练习】1．如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】2．某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动40m到达测量点B（即AB＝40m），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD．【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50】3．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE ＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．2.方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．【典例】例1如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．例2 某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边，如图．他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行80米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向．请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．（结果保留根号）例3 一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏东30°，20分钟后货船至B处，看见灯塔C在船的北偏东60°，已知灯塔C周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【随堂练习】1．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A ．100mB ．100√2mC ．100√3mD ．200√33m2．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（）A ．200tan70°米B ．200tan70°米C ．200sin 70°米D ．200sin70°米3．如图，MN 是公园劳动湖边一段东西走向的笔直湖岸，A ，B 是岸边两建筑物，一小艇在点C 处，与MN 的距离CE ＝60米，小艇向北偏西30°方向行驶100米到达点D ，此时，小艇上的人测量A 在小艇的南偏西60°方向，B 在南偏西30°方向，求A 、B 两建筑物之间的距离．综合运用1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sin B=1213，则AC的长是（）A．25B．12C．5D．13 2．计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；（2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°．3．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）4．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．5．如图所示，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝2.5米，坝高AE＝DF＝4米，背水坡AB的坡度是1：1，迎水坡CD的坡度是1：1.5，求坝底宽BC．6．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2，使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝36cm，O'C⊥AC于点C，O′C＝18cm．（1）求∠CAO′的度数．（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？7．近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中，如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？8.如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°．（1）直接写出：在小岛C看点A俯角大小是；点B在小岛D什么方位？；（2）求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49≈0.66，tan49°≈1.15）。

数学九年级培优第25讲《锐角三角函数》

第二十八章锐角三角函数第25讲锐角三角函数知识导航1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法．2．特殊角的三角函数值．【板块一】求锐角三角函数值方法技巧1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义．2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值．3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解．题型一紧扣定义求三角函数值【例1】已知锐角α满足tanα＝12，求sinα的值．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝12BCAC=，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB，∴sinBCABα===【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解．【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值．【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴AE MDAM CD=，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM＝CMCE=．题型二等角转换求三角函数值【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值．αA BCCBEA M D【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴ODtan∠CDO＝OCOD＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换，用直径所对的圆周角去构造直角三角形．题型三构造直角求三角函数值【例4】如图，在Rt△BAD中，tan∠B＝53，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，求tan∠CAD 的值．【解析】要求tan∠CAD，必须将∠CAD放在直角三角形中，考虑∠BAD＝90°，故过点D作DE∥AB交AC于点E．则∠ADE＝90°，且有△CDE∽△CBA可利用，由tan∠B＝53ADAB=，设AD＝5x，AB＝3x，而13DE CDAB BC==，∴DE＝x，∴tan∠CAD＝155DE xAD x==．【点评】求一个角的三角函数值，必须将所求的角放在直角三角形中．题型四等比转化求三角函数值【例5】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求tan∠ACE的值．CDBACDEBAA BDEC【解析】过点E 作EH ⊥AC 于点H ，易证AH ＝HE ，∴tan ∠ACE ＝HE AH AECH CH EB==，设BE ＝x ，则BD ＝CD，∴BC ＝x ，AB ＝4x ，∴AE ＝AB －BE ＝3x ，∴tan ∠ACE ＝AEEB＝3．【例6】如图，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【解析】连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACP ＝90°，∴cos ∠APC ＝PCPA，又易证△PCD ∽△P AB ,∴63105PC CD PA AB ===，∴cos ∠APC ＝35．【点评】在直角三角形中，锐角的三角函数值等于两边的比值，当这个比值无法直接求解时，可利用相似三角形对应线段成比例进行转化．题型五利用特殊角求三角函数值【例7】利用45°角的正切，求tan 22．5°的值，方法如下：解：构造Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，如图，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，连接AD ，则∠D ＝12∠ABC ＝22．5°，设AC ＝a ，AB ＝BDa a ，∴CD ＝(1)a ，∴tan 22．5°＝tan ∠D＝AC CD =－1．A BE DHCAACA请你依照此法求tan 15°的值．【解析】构造如图所示的∠A ＝15°的直角三角形，∠C ＝90°，并过点B 作∠ABD ＝15°交AC 于点D ，则∠BDC ＝30°，设BC ＝x ，则BD ＝AD ＝2x ，CD，∴AC ＝(2x ，∴tan 15°＝BC AC＝2针对练习11．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A ＝．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B ＝ 125 ．3．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿 EF 和ED 折叠，使得点B ，C 两点折叠后重合于点G ，则tan ∠FEG ＝12．4．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF ，EF ∥MN ，则cos ∠E ＝12． A D CBABCDG F DCBA E5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝tan 2A的值．解：AB=7．延长CA 到点D ，使AD ＝AB ＝7，则CD ＝7＋tan2A＝tan ∠D＝7－ 6．如图，AC 为⊙O 的直径，△ABD 内接于⊙O ，BD 交AC 于点F ，过点B 的切线BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ，若CF ＝2，AF ＝8，求sin ∠E 的值．解：连接OB ，CD ，∵CF ＝2，AF ＝8，∴AC ＝10．∴OB ＝5．易证CD ⊥AD ，OB ⊥AD ，∴OB ∥CD ，∴△BOF ∽△DCF ．∴32OB OF CD CF ==．CD ＝103．sin ∠E ＝sin ∠CAD ＝CD AC ＝13． 7．将一副三角尺(Rt △ABC 与Rt △BDC )按如图所示摆放在一起，连接AD ，试求∠ADB 的正切值．解：过点A 作AM ⊥DB 交DB 的延长线于点M ，易证∠MBA ＝45°，∴设AM ＝BM ＝x，则AB x ．∴BC，BD ．∴tan ∠ADB ＝AMDM8．如图，在△ABC 中，BC ＝4，AC ＝6，AB ＝5，求tan12∠BAC ·tan 12∠CBA 的值．ABCDEAAEDCBABCDM解：过点C作CH⊥AB于点H，延长BA到点D，使AD＝AC，延长AB到点E，使BE＝BC，设AH＝x，则BH＝5－x，∴42－(5－x)2＝62－x2，∴x＝92．∴BH＝12，CH∴tan12∠BAC＝tan∠D＝CHDH＝2962+．tan12∠CBA＝tan∠E＝CHHE＝2142+，∴tan12∠BAC·tan12∠CBA＝13．方法技巧：深刻理解三角函数的定义，画出符合题意的示意图，充分运用数形结合的思想解题．▶题型一利用已知三角函数，求其他角的三角函数值【例1】同学们，在我们进入高中以后，将会学到三角函数公式：sin2α＝2sinα·cosα，则当锐角a的正切值为12时，sin2a＝．【解析】如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°，∠A＝α，由tanα＝BCAC＝12，设BC＝1，AC＝2，则AB．sinα＝BCAB，cosα＝ACAB，由公式sin2α＝2sinα·cosα＝2＝45．【点评】紧扣定义，运用公式解题．▶题型二利用已知三角函数，求线段长【例2】如图，点D是△ABC的边AC上一点，BD＝8，sin∠CBD＝34，AE⊥BC于点E，若CD＝2AD，求AE的长．BACEDCBA HC BADBAO OFAB CDE【解析】过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝BD·sin∠CBD＝8×2＝6，由AE⊥B C．DF⊥BC，∴DF∥AE．∴△CDF∽△CAE．∴CDAC＝DFAE＝23．∴AE＝32DF＝9．【点评】因三角函数的本质是线段比，故与三角函数相关的计算常与相似三角形联系在一起．▶题型三利用已知三角函数，求线段比【例3】如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别为斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b(b＞a)，若tan∠DCE＝12，求ab的值．【解析】易证△BCD∽△BAC，∴BC2＝BD·BA，又BA，∴BD2，同理CD＝DE＝BE－BD222，又∵谈∠DCE＝DECD＝222b aab-＝12，∴a2＋ab－b2＝0，∴ab▶题型四利用已知三角函数，求面积【例4】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，tan∠CAD＝12，cos∠ACD，AC与BD交于点E，CDBE＝2ED，求四边形ABCD的面积．【解析】过点D作DF⊥ACC于点F，则AB∥DF．∴△ABE∽△FDE．∴ABDF＝AEEF＝BEED＝2，设EF＝2a，AE＝4a．∴AF＝6a，在Rt△AFD中．tan∠F AD＝FDAF＝12，∴DF＝3a，在Rt△CFD中，cos∠ACD ＝CFCD．∴CF＝1，DF＝3a＝3，∴a＝1，AC＝7，AB＝2DF＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△AC＝12AB·AC＋12AC·DF＝12×6×7＋12×7×3＝632．针对练习21．在△ABC中，∠A为锐角，BC＝12．tan A＝34．∠B＝30°，则AB2．如图，点E是正方形ABCD的边CB的延长线上的一点，且tan∠DEC＝34，则tan∠AED的值为EDCBAABCDEFE DCBA913．3．已知△ABC中，AB＝10，AC＝B＝30°，则△ABC4．如图，在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90”，tan∠ABD＝34，AB＝20，BC＝10，AD＝13，求CD的长．解：分别过点A，C作AH⊥BD于点H，CG⊥BD于点G，∵tan∠ABD＝AHBH＝34，∴设AH＝3x，BH＝4x，(3x)2＋(4x)2＝202，∴x＝4．∴AH＝12，BH＝16．∴HD＝5，BD＝21，易证∠BCG＝∠ABD，．．tan∠BCG＝GBGC＝34，又BC＝10，∴BG＝6，CG＝8，∴DG＝BD－BG＝15，∴CD＝＝17．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝34．边BC的重直平分线与AB的交点为点D．求ADDB的值．解：过点D作DF⊥BC于点F，连接CD，则BD＝CD，BF＝CF＝52，tan∠DBF＝DFBF＝34．∴DF ＝158，在Rt△BFD中，BD＝258，∴AD＝5－258＝158，∴ADDB＝35．6．如图，已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点E，∠ABC＝120°，cos∠ADC＝35，CD＝5，AB＝12，ACDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．EDCBAAB CDGHDCBAAB CDF CBA解：过点C作CF⊥AD于点F，过点A作AG⊥EB于点G，在Rt△ACDF中，cos∠ADC＝DF CD＝3 5．又CD＝5，DF＝3，CF＝4，∵S△CDE＝12ED·CF＝6，∴ED＝3，∴EF＝6，在Rt△BAG中，∠BAG＝30°，AB＝12，∴AG＝EFC∽△EAG，得EFEG＝CFAG，可求EG＝BE＝EG－BG＝9 6．∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CED＝126)×6＝75－E DCBA ABCDE FG。

初三锐角三角函数题型及解题方法

初三锐角三角函数题型及解题方法初三数学中，锐角三角函数是一个非常重要的内容。

学习锐角三角函数，不仅需要掌握其概念和公式，还需要掌握一些常见的题型及解题方法。

本文将介绍一些常见的锐角三角函数题型及解题方法，帮助初三学生更好地掌握这一内容。

一、求三角函数值求三角函数值是锐角三角函数中最基本的题型。

一般来说，题目都会给出三角函数的角度，要求求出其对应的正弦、余弦、正切等函数值。

解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数的定义和公式。

例如，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角角度A，其对边长度与斜边长度的比值称为正弦值sinA。

因此，我们只需要根据这个定义和公式进行计算即可。

举个例子，题目给出角度A=30度，要求求出其正弦值sinA。

根据正弦函数的定义和公式，我们得到：sinA=对边长度/斜边长度=sqrt(3)/2因此，sinA=√3/2。

二、三角函数的基本关系式三角函数的基本关系式指的是三角函数之间的基本等式。

例如，正切函数的基本关系式是tanA=sinA/cosA。

这类题目一般要求将一个三角函数用另外一个三角函数表示出来，或者将两个三角函数相互表示。

解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数之间的基本关系式。

例如，正切函数的基本关系式是：tanA=sinA/cosA因此，如果题目给出sinA的值，要求求出tanA的值，我们只需要将sinA/cosA代入上式，即可得到：tanA=sinA/cosA=√3/3三、三角函数值的范围三角函数值的范围是指，每个三角函数的取值范围。

例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。

解题方法：对于这类题目，我们需要掌握每个三角函数的取值范围。

例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，因此，如果题目给出sinA=-0.5，我们就可以知道sinA的值在[-1,1]范围之内。

四、三角函数的性质三角函数的性质指的是，它们在不同象限中的正负性和大小关系。

锐角三角函数知识点总结

锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点，它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。

本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式，以及它们在实际问题中的应用。

二、基本概念1. 锐角：角度小于90度的角。

2. 直角三角形：一个角为90度的三角形。

3. 边的命名：- 对边（Opposite side）：锐角所对的边。

- 邻边（Adjacent side）：锐角旁边的边，但不包括斜边。

- 斜边（Hypotenuse）：直角三角形中最长的边，对直角的两边进行闭合。

4. 锐角三角函数：- 正弦（Sine, sin）：锐角的对边与斜边的比值。

- 余弦（Cosine, cos）：锐角的邻边与斜边的比值。

- 正切（Tangent, tan）：锐角的对边与邻边的比值。

三、基本公式1. 定义公式：- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系：- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式：- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值：- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题：- 利用三角函数求解边长。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题

c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5，所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

锐角三角函数(通用8篇)

锐角三角函数（通用8篇）锐角三角函数篇1教学三维目标：一.学问目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaa、cosa、tana表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能依据这些值说出对应的锐角度数。

二.力量目标：逐步培育同学观看、比较、分析，概括的思维力量。

三.情感目标：提高同学对几何图形美的熟悉。

教材分析：1.教学重点: 正弦，余弦，正切概念2.教学难点:用含有几个字母的符号组siaa、cosa、tana表示正弦，余弦，正切教学程序：一.探究活动1.课本引入问题，再结合特别角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。

2.归纳三角函数定义。

siaa= ,cosa= ,tana=3例1.求如图所示的rt ⊿abc中的siaa,cosa,tana的值。

4.同学练习p21练习1，2，3二.探究活动二1.让同学画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°归纳结果30°45°60°siaacosatana2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）sia 45°- cos30°(3) +ta60°-tan30°abc三.拓展提高p82例4.（略）1. 如图在⊿abc中,∠a=30°,tanb= ,ac=2 ,求ab四.小结五.作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10锐角三角函数篇2一、锐角三角函数正弦和余弦第一課时：正弦和余弦（1）教学目的1，使同学了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。

2，使同学了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。

初中数学锐角三角函数

初中数学锐角三角函数锐角三角函数是数学中的重要分支，用来描述角度和边长之间的关系。

在初中数学中，我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别是三角形的对边比斜边、邻边比斜边，以及对边比邻边。

下面，让我们来详细了解一下这些锐角三角函数。

首先，让我们来了解正弦函数。

正弦函数给出了一个角度与其对边和斜边之间的关系。

我们可以通过以下公式来表示：sin(A) = a / c，其中A代表角度，a代表对边的长度，c代表斜边的长度。

通过正弦函数，我们可以求得一个锐角三角形中的对边和斜边之间的比例关系。

正弦函数的取值范围是-1到1之间。

接下来，我们来了解一下余弦函数。

余弦函数描述了一个角度与其邻边和斜边之间的关系。

余弦函数的表示形式为：cos(A) = b / c，其中A代表角度，b代表邻边的长度，c代表斜边的长度。

通过余弦函数，我们可以计算锐角三角形中邻边和斜边之间的比例关系。

余弦函数的取值范围也是-1到1之间。

最后，让我们来了解一下正切函数。

正切函数表示了一个角度与其对边和邻边之间的关系。

正切函数的表示形式为：tan(A) = a / b，其中A代表角度，a代表对边的长度，b代表邻边的长度。

通过正切函数，我们可以计算锐角三角形中对边和邻边之间的比例关系。

正切函数的取值范围可以是任意实数。

锐角三角函数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑、工程、天文学和地理学等领域中，我们经常需要利用这些函数来计算各种三角形的边长和角度。

此外，在电视信号传输和音频处理中，正弦函数的应用也非常广泛。

通过学习锐角三角函数，我们不仅能够了解角度和边长之间的关系，还能够解决与三角形相关的实际问题。

因此，学习锐角三角函数对我们的数学学习和实际应用都具有重要的指导意义。

在学习锐角三角函数时，我们还需要注意一些常用的角度值。

例如，30度、45度和60度等特殊角度值，它们对应的三角函数值可以事先记住，以方便在计算中的应用。

此外，我们还可以利用三角函数的周期性，简化计算过程。

九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解

九年级数学第28章锐角三角函数
【例】求下列各式的值.
(1) cos260°+sin260°
(2) csoins4455

-tan45

【解析】（1）cos²60°+sin²60°
cos²60°表示（cos60°）²，即cos60°的平方.
=（ 12）²+（
3 2
）²
=1；
（2）cos 45 tan 45
九年级数学第28章锐角三角函数
2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
则tanB＝（ B ）
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
3.（丹东中考）如图，小颖利用有一
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 30 已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 °A
B 1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= 3 ，
求cosA，tanB的值.
5
B
【解析】 sinA BC ,
AB
6
AB BC 6 5 10，
sinA 3
又 AC AB2 BC2 102 62 8，
A
C
cosA AC 4 , tanB AC 4 .
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，

初中锐角三角函数的定义

初中锐角三角函数的定义哎呀呀，说起初中锐角三角函数，这可真是个让人又爱又恨的东西呢！你知道吗？在初中数学的世界里，锐角三角函数就像是一个个神秘的小精灵，蹦跶在直角三角形的各个角落。

比如说正弦函数，它就像是一个爱“攀爬”的小精灵。

我们把锐角A 所对的边与斜边的比值叫做角A 的正弦，记作sinA。

这就好像是我们要爬上一座高高的山峰，斜边就是那长长的山路，而角A 所对的边就是我们已经努力爬过的路程。

那sinA 不就是告诉我们，我们的努力在整个路程中占了多少比例嘛！再来说说余弦函数，它就像一个爱“丈量”的小精灵。

角A 的邻边与斜边的比值叫做角A 的余弦，记作cosA。

这是不是有点像我们在一块大大的田地里，斜边是整块地的边长，邻边就是我们已经测量过的那部分，cosA 就是告诉我们测量的部分在整个边长里有多少呀！还有正切函数，它像个爱“赛跑”的小精灵。

角A 的对边与邻边的比值叫做角A 的正切，记作tanA。

这就如同在一条长长的跑道上，对边是我们跑过的距离，邻边是旁边的参考线，tanA 就是告诉我们跑的速度有多快啦！我还记得有一次上课，老师在黑板上画了一个大大的直角三角形，然后问我们：“同学们，你们能算出这个角的正弦值吗？”大家都皱着眉头思考，我也在心里嘀咕：“这可咋算呀？”后来老师一步一步地引导我们，终于算出了答案，那一刻，我心里别提多高兴啦，就像解开了一个超级大谜团！还有一次做作业的时候，我被一道关于余弦的题目难住了，怎么也算不对。

我着急得都快哭了，心想：“这锐角三角函数怎么这么难呀！”这时候，同桌凑过来，给我讲了讲思路，我一下子就明白了，哎呀，那种感觉就像是在黑暗中突然看到了亮光！其实呀，锐角三角函数虽然一开始让人觉得有点头疼，但只要我们认真学，多做题，就会发现它们也没那么可怕，反而还挺有趣的呢！它们能帮助我们解决很多生活中的实际问题，比如测量高楼的高度、计算山坡的坡度。

所以说，锐角三角函数就像是我们数学世界里的小勇士，虽然有时候会给我们带来挑战，但只要我们勇敢面对，就能和它们成为好朋友，让它们为我们的数学学习之路增添更多的精彩！。

九年级数学锐角三角函数(带答案)

锐角三角函数与解直角三角形之杨若古兰创作【考纲请求】锐角三角函数的定义、性质及利用，特殊角三角函数值的求法，应用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际成绩.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的常识解决成绩.【常识收集】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B 所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．ab要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完好的数学符号，是一个全体，不克不及写成，，，不克不及理解成sin与∠A，cos与∠A，tan 与∠A的乘积．书写时习气上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有响应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA ＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地晓得0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个利用就是：如果晓得了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)细心研讨表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值顺次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值顺次增大，其变更规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常利用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的罕见类型及解法已知条件解法步调Rt△两两直角边(a，b) 由求∠A，∠B=90°－ABC 边∠A，斜边，不断角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角不断角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在碰到解直角三角形的实际成绩时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即请求出所有的未知元素，已知条件中至多有一个条件为边.考点六、解直角三角形的利用解直角三角形的常识利用很广泛，关键是把实际成绩转化为数学模型，善于将某些实际成绩中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际利用成绩的关键. 解这类成绩的普通过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际成绩转化为解直角三角形的成绩. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学成绩的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际成绩的解.拓展：在用直角三角形常识解决实际成绩时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母暗示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母暗示，则，如图，坡度通常写成=∶的方式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指南方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别暗示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东南方向指的是北偏东45°，东北方向指的是南偏西45°，东北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角常识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的成绩，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的利用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后准确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边暗示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．晓得某个锐角的三角函数值就晓得了该角的大小，可以用比例系数k暗示各边．(3)请求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．(2)在△ABC，∠C＝90°，3sin5 BCAAB==．设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴4432 cos tan5315k kA Bk k+=+=．(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝23 ACAD=．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，经常使用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数暗示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可本人测验考试完成．举一反三：【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于( )(A) a cos A bsin B+ (B)a sin A bsin B+(C)a bsin A sin B+(D)a bcos A sin B+【答案】选B.过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,AD ADcos AAC b==,所以AD=bcosA,同理,BD=acosB,所以c=AB=AD+BD=bcosA+acosB,又∠A+∠B=90°,所以cosA=sinB,cosB=sinA,所以c=asinA+bsinB.类型二、特殊角的三角函数值2．解答以下各题：(1)化简求值：tan60tan45sin45sin30sin60cos30cos45--++°°°°°°°；(2)在△ABC中，∠C＝9012sin cosA A-【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin2A+cos2A＝1对根号内的式子进行变形，配成完好平方的方式．【答案与解析】解 (1)tan60tan45sin45sin30 sin60cos30cos45--++°°°°°°°(2)12sin cosA A-2(sin cos)|sin cos|A A A A=-=-，12sin cosA A -cos sin(045)sin cos(4590)A A AA A A-<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°．由第(2)题可得到今后经常使用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-．举一反三：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值. 【答案】∵3sin 22α，且2α为锐角，∴2α＝60°，α＝30°．∴12cos sin 22βα===，∴β＝45°．∴23tan()tan 3033β==°． 3．(1)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，求AB 和BC 的长；(2)在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，如何求AB 和BC 的长?(3)在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，锐角A 满足12sin 13A =，如何求BC的长及△ABC 的面积？若AC ＝3，其他条件不变呢?第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决．【答案与解析】解： (1)过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵∠A ＝30°，∠ACD ＝105°，∴∠B ＝45°．∵AC ·sinA ＝CD ＝BC ·sin B ，∴sin 8sin 30sin sin 45AC A BC B ===°°∴AB ＝AD+BD ＝AC ·cosA+BC ·cosB ＝8cos30°+cos45°＝4+(2)作CD ⊥AB 的耽误线于D ，则AB ＝4，BC =(3)作BD ⊥AC 于D ，则BC ＝25，ABC S =△204．当AC ＝3时，∠ACB 为钝角，BC ＝25，36ABC S =△．【总结升华】对一个斜三角形，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，而且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如30°、45°、60°的角)，然后通过解直角三角形得到本来斜三角形的边、角的大小．类型三、解直角三角形及利用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=，AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．【思路点拨】解题的基本思路是将成绩转化为解直角三角形的成绩，转化的目标次要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．【答案与解析】解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°． ∵4cos 5CD DCE CE=∠=，设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ．∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高不异，∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△．即553533AC DE k k ==⨯=． ∴44tan 55CD k A AC k ===．∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k += ∴AB ＝AD+DB ＝AD+32AD ＝541【总结升华】在解直角三角形时，经常使用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．专题总结及利用一、常识性专题专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则以下结论准确的是 ( )A．sin A＝32 B．tan A＝12C．cos B＝32 D．tan B＝3分析 sin A＝BCAB＝12，tan A＝BCAC＝33，cos B＝BCAB＝12．故选D.例2 在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝35,则tan A等于 ( )A．35 B．45 C．34 D．43分析在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝4433BC kAC k==．故选D.分析在Rt△ABC中，BC＝222254AB AC-=-＝3，∴sin A＝35BCAB =．故填35．专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．例4 计算|－3|＋2cos 45°－(3－1)0．分析 cos 45°＝2 2．解：原式＝3＋2×22－1＝2＋2．例5 计算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋9＋(－1)2007－cos 60°．分析 cos 60°＝1 2．解：原式＝12＋3＋(－1)－12＝3－1＝2．例6 计算|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8．分析cos 60°＝12，tan 30°＝33，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos60°－tan 30°)0＝1，解：原式＝2＋1十＋22＝32＋1．例7 计算312-⎛⎫⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-.分析 tan 60°＝3.解：原式＝8－1－3＋1＋3＋2＝10.专题3 锐角三角函数与相干常识的综合应用【专题解读】锐角三角函数常与其他常识综合起来应用，考查综合应用常识解决成绩的能力.例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC 边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝4 5．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.分析在Rt△ABD中，由sin B＝ADAB，可求得BD，从而求得CD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE＝12AC＝EC，则∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以转化为求tan C.解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC在Rt△ABD中，sin B＝AD AB．∵AD＝12，sin B＝45，∴AB＝15，∴BD＝22AB AD-＝221512-＝9．∵BC＝14，∴CD＝5．(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝12AC＝EC，∴∠EDC＝∠C∵tan C＝ADDC＝125,∴tan∠EDC＝tan C＝125．例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sin C＝1213，BC＝12，求AD的长．分析(1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．证实：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B＝ADBD，cos∠DAC＝ADAC，tan B＝cos∠DAC，∴ADBD＝ADAC，∴AC＝BD.解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝1213，设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝22AC AD-＝5k．∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝18k．由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝2 3，∴AD＝12k＝12×23＝8．例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋303，求AB的长．分析过点A作AD⊥BC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD＝x，把BD，DC用含x的式子暗示出来，再由BD＋CD＝BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt△ABD中求得．解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x.在Rt△ADB中，tan B＝ADBD，∴BD＝tan tan45AD ADB=︒＝x，在Rt△ADC中，tan C＝ADCD，∴CD＝tanADC＝tan30AD︒＝3x．又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋303，∴x ＋3x＝30＋303 ,∴x＝30．在Rt△ABD中，sin B＝AD AB，∴AB＝30sin sin45ADB=︒＝3022＝302.专题4 用锐角三角函数解决实际成绩【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的利用认识，培养利用数学的能力是当今数学改革的方向，环绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的利用成绩慢慢成为命题的热点，其次要类型有轮船定位成绩、堤坝工程成绩、建筑测量成绩、高度测量成绩等，解决各类利用成绩时要留意掌控各类图形的特征及解法．例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学常识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保存小数点后两位)分析本题可作CE⊥AB，垂足为E，求出CE的长即为河宽．解：如图28－131所示，过点C作CE⊥AB于E，则CE即为河宽，设CE＝x(米)，则BE＝x＋60(米)．在Rt△BCE中，tan30°＝CEEB，即33＝60xx+,解得x＝30(3＋1)≈81.96(米)．答：河宽约为81．96米．【解题计谋】解本题的关键是设CE＝x，然后根据BE＝AB＋AE 列方程求解．例14 如图28－132所示，某边防巡查队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去救援．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点比来的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中泅水的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达救援地点B．(参考数据2≈1.4，3≈1.7)分析在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt △BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达．解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，∴AB＝AD300cos4522=︒＝3002.BDAD＝tan 45°，即BD＝AD·tan 45°＝300．在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，∴BC＝300sin6032BD=︒＝2003，CD＝tan60BD︒＝3003＝1003 .1号救生员到达B点所用的时间为30022＝1502≈210(秒)，2号救生员到达B点所用的时间为3001003200362-+＝50＋25033≈192(秒)，3号救生员到达B点所用的时间为3006＋3002＝200(秒)．∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达救援地点B.【解题计谋】本题为浏览理解题，题目中的数据比较多，准确分析题意是解题的关键．例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批次要物质从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C 岛四周9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有没有触礁风险?试说明理由．分析本题可作CD⊥AM于点D，在Rt△BCD中求出CD即可．解：过点C作CD⊥AM，垂足为点D，由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝24×12＝12(海里)．在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝63(海里)．∵63＞9，∴货船继续向正东方向航行无触礁风险．【解题计谋】此题实际上是通过⊙C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁风险.例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(3≈1.73，结果保存整数)分析因为CD＝CE－DE，所以可分别在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的长，从而得出结论．解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE·tan 60°＝153，∴CD＝CE－DE＝153－23≈3，即这块广告牌的高度约为3米．例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.分析坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tan B＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tan B＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tan C＝11.5 DFCF，∴CF ＝1．5DF ×4＝6．又∵EF ＝AD ＝2.5，∴BC ＝BE ＋EF ＋FC ＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC 为12．5 m ．【解题计谋】背水坡是指AB ，而迎水坡是指CD .例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB ．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)分析请求AB 的值，因为两个直角三角形中都只要角的已知条件，不克不及直接求解，所以设AB 为未知量，即用AB 暗示BD 和BC ，根据BD －BC ＝CD ＝30，列出关于AB 的方程．解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝20°，∴BC ＝AB tan ∠CAB ＝AB tan 20°．在Rt △ABD 中，∠DAB ＝23°，∴BD ＝AB tan ∠DAB ＝AB tan 23°．∴CD ＝BD －BC ＝AB tan 23°－AB tan 20°＝AB (tan 23°－tan 20°)．∴AB ＝tan 23tan 20CD ︒-︒≈300.4240.364-＝500(m)．答：此人距CD 的水平距离AB 约为500 m ．二、规律方法专题专题5 公式法【专题解读】本章的公式很多，熟练把握公式是解决成绩的关键．例19 当0°＜α＜90的值．分析由sin 2α＋cos 2α＝1，可得1－sin 2α＝cos 2α解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α．|cos |cos αα=.∵0°＜a ＜90°，∴cos α＞0． ∴原式＝cos cos αα＝1．【解题计谋】以上解法中，利用了关系式sin 2α＋cos 2α＝1(0°＜α＜90°)，这一关系式在解题中经经常使用到，该当牢记，并灵活应用．三、思想方法专题专题6 类比思想【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，是以对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．例20 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，解这个直角三角形．分析已知两直角边长a ，b ，可由勾股定理c c ，再利用sin A ＝a c 求出∠A ，进而求出∠B ＝90°－∠A ．解：∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2．∴c ＝222515+522a b +==2（）（）.又∵sin A ＝51225a c ==，∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．【解题计谋】除直角外，求出Rt △ABC 中的所有未知元素就是解直角三角形．专题7 数形结合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的感化，是解决几何成绩经常使用的方法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y ＝－33x ＋33，则cos α等于 ( ) A ．12 B ．22 C ．32 D ．33 分析∵y ＝－33x ＋33，∴当x ＝0时，y ＝33，当y ＝0时，x ＝1，∴A (1，0)，B 30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴OB ＝33，OA ＝1，∴AB ＝22OB OA +＝233，∴cos ∠OBA ＝12OB AB =. ∴OP ⊥AB ，∴∠α＋∠OAB ＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝12．故选A.专题8 分类讨论思想【专题解读】当结果不克不及确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要经过C修一条笔挺的公路与高速公路订交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(结果可保存根号)解：①如图28－138(1)所示，在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝103．故AP＝AD＋DP＝(30＋103)km．②同理，如图28－138(2)所示，可求得AP＝(30－103)km，故交叉口P与加油站A的距离为(30＋103)km或(30－103)km．【解题计谋】此题针对P点的地位分两种情况进行讨论，即点P 在线段AB上或点P在线段BA的耽误线上．专题9 转化思想例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 km．现计划在这两座城市两头构筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林呵护中间P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林呵护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划构筑的这条高速公路会不会穿越呵护区．为何?(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan 30°，BC＝PC·tan 45°，∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan 30°＋PC·tan 45°＝100，∴(33＋1)PC＝100，∴PC＝50(3－3)≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．答：森林呵护区的中间与直线AB的距离大于呵护区的半径，所以计划构筑的这条高速公路不会穿越呵护区．例25 小鹃学完解直角三角形常识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保存整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝36°．根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm ．在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ， ∴AB ＝sin36BE ︒≈240.6＝40(mm)．在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝DFAD ，∴AD ＝cos36DF ︒≈480.8＝60(mm)．∴矩形ABCD 的周长＝2(40＋60)＝200(mm)．例26 如图28－142所示，某居民楼I 高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM 为2米，窗户CD 高1．8米．现计划在I 楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?解：设正午时光线正好照在I 楼的一楼窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高x 米．过C 作CF ⊥l 于F ，在Rt △ECF 中，EF ＝(x －2)米，FC ＝30米，∠ECF ＝30°，∴tan 30°＝230x -,∴＝103＋2．答：新建居民楼Ⅱ最高只能建(103＋2)米．。

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