【精选】高中数学专题07探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用特色训练新人教A版选修2_1
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中一个重要的定理，它在解方程、证明、几何、概率以及数学竞赛中都有广泛的应用。
通过韦达定理，我们可以更加方便地解决一些复杂的数学问题，提高数学解题的效率。
在高中数学学习中，深入理解韦达定理的定义和重要性，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提升数学解题能力。
结合实际案例，探讨韦达定理在不同领域中的具体应用，可以帮助我们更好地理解和运用这一定理。
通过对韦达定理的综合应用和进一步拓展，我们可以进一步拓宽数学思维，提升数学解题的能力。
了解和掌握韦达定理在高中数学学习中的实际意义，对我们的数学学习和思维能力具有重要的启发作用。
【关键词】关键词：韦达定理、高中数学学习、方程、证明、几何、概率、数学竞赛、实际意义、综合应用、进一步拓展。
1. 引言1.1 韦达定理的定义韦达定理，又称韦达方程或韦达公式，是解代数方程组的一种重要方法。
它由法国数学家韦达在16世纪提出，是一种利用多项式系数的关系，将代数方程组的解和系数之间的关系联系起来的方法。
韦达定理的基本形式可以表示为：如果有一个n次多项式f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_n \neq 0，那么f(x)的所有复根x_1, x_2, \ldots, x_n满足以下关系式：\begin{aligned}x_1 + x_2 + \ldots + x_n & = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n & = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\& \vdots \\x_1x_2\ldots x_{n-1} + x_1x_2\ldots x_{n-2}x_n + \ldots +x_2x_3\ldots x_n & = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}\end{aligned}韦达定理的本质是利用多项式的系数与根之间的关系，通过对未知数的组合取值进行消元，从而求解未知数的值。
高三总复习数学课件 直线与圆锥曲线的位置关系
xA＋p2＋xB＋p2＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条． 答案：B
2．若直线 y＝kx＋1 与椭圆x52＋my2＝1 总有公共点，则 m 的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5)
D．[1,5)∪(5，＋∞)
解析：由于直线 y＝kx＋1 恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则
A．1
B．2
C．1 或 2
D．0
()
解析：因为直线 y＝bax＋3 与双曲线的渐近线 y＝bax 平行，所以它与双曲线只 有 1 个交点．
答案：A
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有 ( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且 平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C. 答案：C
则 |AB| ＝ 1＋k2 |x1 － x2| ＝ ____1_＋__k1_2·___y_1_＋__y2__2－__4_y_1_y_2_.
1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝
1＋k12 |y1 － y2| ＝
圆锥曲线中的中点弦的有关结论
设AB为圆锥曲线的弦，点M为弦AB的中点，O为坐标原点：
标准方程 xa22＋by22＝1(a＞b＞0) ay22＋xb22＝1(a＞b＞0) xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
直线中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有
()
①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.
专题07 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练
一、解答题
1．【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】已知椭圆
的左右焦点分别为
，离心率为 ；圆 点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
过椭圆 的三个顶点.过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 两
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点 ，使得
为定值；并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆 过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得
∴直线方程为 x y 2 0 .
5．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的短轴端点到右焦点 F 1，0的距离为
2．
2
1
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过点 F 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，交直线 l：x 4 于点 P ，若 PA 1 AF ， PB 2 BF ，求证： 1 2 为定值． 【答案】(1) x2 y2 1 ;(2)详见解析.
所以 k1
k2
y1 2 x1 1
y2 2 x2 1
y1 2x2 1y2 2x1 x1 1x2 1
1
，
又 y1 2x2 1 y2 2x1 1
x1 b 2 x2 1 x2 b 2 x1 1
（2）设直线 l 的方程为 y x b ，将它代入 y2 4x 得 x2 （2 b） 2 x b2 0 ，利用韦达定理，结合
斜率公式以及
PAB
的重心的纵坐标
2 3
，化简可
k1
k2
的值；
因为 PAB 的重心的纵坐标为 2 ， 3
所以 y1 y2 yp 2 ，所以 yp 2 ，所以 xp 1，
韦达定理的应用 讲义及练习
韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
高考数学解析几何直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅知识网络目标认知考试大纲要求：使学生能灵活应用圆锥曲线的有关知识解决相关问题，培养数学理解能力及分析问题、解决问题的能力；重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断及直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式的应用。
难点：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.知识要点梳理知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。
一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。
1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y一元二次方程，其判别式为Δ.(1)Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。
（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）Δ＞0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，Δ=0直线与抛物线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。
【精选】版高中数学专题06探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用特色训练新人教A版选修1_1
专题06 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，则，，故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知离心率为的椭圆的一个焦点坐标为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，求的取值范围.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由离心率为，及一个焦点坐标为，求出基本量，可得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积公式，即可求得的取值范围．由由知；综上所述：.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点，是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线的斜率分别为，求的值.【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）【解析】试题分析; （1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可的值；因为的重心的纵坐标为，所以，所以，所以，所以，又.所以.4．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若斜率为1的直线交双曲线于两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析: （1）利用双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为.，求出基本量，即可求双曲线的方程；（2）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，结合弦长公式，即可求方程．∴，，∴.∴直线方程为.5．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，，求证：为定值．【答案】(1);(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.方法一：因为，所以.同理，且与异号，所以.所以，为定值.当时，同理可得.所以，为定值.方法三：由题意直线过点，设方程为，将代人得点坐标为，由消元得，设，，则且，因为，所以.又当直线与轴重合时，，所以，为定值.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为，可减少讨论该直线是否存在斜率.6．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知双曲线：（）的离心率为，虚轴长为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．【答案】．（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由题意得，解出a,b,c即可得到双曲线的方程；（2）根据条件得到直线的方程为，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长及原点到直线的距离d，可求得三角形的面积。
直线与圆锥曲线位置关系经典总结
3 4
B. 4
3பைடு நூலகம்
C. 3
4
4
D. 3
(3)过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共点, 则直
线l 的斜率的范围是_[___26__, _2_6_] __.
(4)已知抛物线y2=4x过焦点F的弦AB被焦点分成
m、n两部分,则 1 1 =_1__.
mn
1 AF
1 BF
2; p
(5)过原点与双曲线 x2 y2 1交于两点的直线 43
斜率的取值范围是_(___,___23__) __(__23__,___).
(6)若焦点是(0,5 2)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的
弦的中点的横坐标是
1 2
,则椭圆方程是_2x_52___7y_52___1.
解：(一)依题意知椭圆的焦点在y轴上，且c＝5 2
c2 50
b2 a2 c2 a2 50
x22 y22 1? —(2) b2 a2
(1)-(2)得：x12－b2x22
＝
y12－y22 a2
即
a2 b2
＝( y1 ( x1
y2 x2
)( y1 )( x1
y2 ) x2 )
k
y1 y2 x1 x2
(7)过椭圆3x2+4y2=48的左焦点F引直线交椭圆于A,
B两点,若|AB|=7, 则此直线的方程
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
(1)过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,
这样的直线有( B ) 相切、与x轴平行
A.一条 B.两条 C.三条 D.四条
(2)设椭圆 x2 y2 1的长轴端点为M、N,异于M, N
2018届高中数学专题07探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用特色训练新人教A版选修2_1
专题07 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-20186的椭圆C的一个焦点坐标为()2,0-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()0,2P 的直线l 与轨迹C 交于不同的两点E F 、，求PE PF ⋅的取值范围.【答案】（1）2213x y +=;（2）93,2PE PF ⎡⎫⋅∈⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）由离心率为63，及一个焦点坐标为()2,0-，求出基本量，可得椭圆C 的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积公式，即可求得PE PF ⋅的取值范围．121222129,1313k x x x x k k+=-=++， 由()()22212361301k kk∆=-+>⇒>()()()2211221222992,2,21311313k PE PF x y x y kx x k k +⎛⎫⋅=-⋅-=+==+ ⎪++⎝⎭由21k >知93,2PE PF ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭；综上所述： 93,2PE PF ⎡⎫⋅∈⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析; （1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+-- ()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知椭圆22+197x y =的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为32. （1）求双曲线E 的标准方程；（2）若斜率为1的直线l 交双曲线E 于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为42，求直线l 的方程.【答案】（1）22145x -=;（2）20x y -+= 【解析】试题分析: （1）利用双曲线E 与椭圆22+197x y =有公共焦点，且离心率为32.，求出基本量，即可求双曲线E 的方程；（2）设直线l 的方程为y x t =+，与双曲线E 的方程联立，结合弦长公式，即可求l 方程．（2）设直线l 的方程为y x t =+，由221 {45xy x t-==+得()228450x tx t--+=，∴()28010t∆=+>，12442x x t+==，∴2t=.∴直线方程为20x y-+=.5．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的短轴端点到右焦点()10F，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A B，两点，交直线4l x=：于点P，若1PA AFλ=，2PB BFλ=，求证：12λλ-为定值．【答案】(1)22143x y+=;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AFx λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭ ()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k--=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.方法三：由题意直线AB 过点()1,0F ，设方程为1x my =+ ()0m ≠， 将4x =代人得P 点坐标为34,m ⎛⎫⎪⎝⎭， 由221{ 143x my x y =++= 消元得()2234690m y my ++-=， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且122122634{ 934my y m y y m -+=+-⋅=+，因为1PA AF λ=，所以11111330y PA my m AF y my λ--===-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.6．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知双曲线C ： 22221x y a b-=（0,0a b >>）54． （1）求双曲线的标准方程；（2）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点， O 为坐标原点，求OAB ∆的面积．【答案】．（1）2214y x -=;（2）43OAB S ∆= 【解析】试题分析：（1）由题意得2225{24 cab c a b ===+，解出a ,b ,c 即可得到双曲线的方程；（2）根据条件得到直线l 的方程为1y x =+，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长AB 及原点到直线的距离d ，可求得三角形的面积。
高考数学专题讲解：圆锥曲线韦达定理
高考数学专题讲解：圆锥曲线韦达定理第一部分：韦达定理解法设计【题型一】：已知直线的斜率例题一：已知斜率为1的直线l 与椭圆12:22=+y x C 相交于A 、B 两点。
解法设计：假设：直线l 与y 轴的截距为m 。
根据直线的斜截式方程得到直线l 的方程：m x y +=。
假设：两个交点的坐标。
A 点的坐标为),(11y x ，B 点的坐标为),(22y x 。
联立直线l 的方程和椭圆C 的方程： m x y +=022122222=-+⇒=+y x y xm x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x022430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。
根据韦达定理得到：3421mx x -=+，322221-=⋅m x x 。
A ，B 为直线l 与椭圆C 的两个交点),(11y x A ⇒，),(22y x B 为直线:l m x y +=上的两点m x y +=⇒11，m x y +=22；322342212121mm m m x x m x m x y y =+-=++=+++=+； 2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅3233422343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。
【题型二】：已知直线与y 轴的截距例题二：已知：过点)2,0(的直线l 与双曲线C ：x y 42=相交于A ，B 两点。
解法设计：假设：直线l 的斜率为k ，直线l 过点⇒)2,0(根据直线的斜截式方程的直线l ：2+=kx y 。
假设：两个交点的坐标。
点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。
高中数学总复习课件之直线与圆锥曲线的位置关系共55页
• 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ ，有：
• Δ＞0
• Δ=0
• Δ<0
.
• 若a=0，则直线与圆锥曲线相交，且有一 个交点.若曲线为双曲线，则直线与双曲 线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直 线与抛物线的对称轴平行.
• 2.圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥 曲线C相交于A，B两点，A(x1,y1)， B(x2,y2A )，B 1 k 2x 1 x 2 1 k 1 2y 1 y 2 .
2
取值范围是02<a<2 或6 a>2 .
• (Ⅱ)由y=kx+1与双曲线3x2-4y2=12联立消 去y得(3-4k2)x2-8kx-16=0，
• 由题意知3-4k2≠0，即k≠± ，则 3 Δ=64k2+64（3-4k2）>0，得k2<1，2即-
1<k<1，
• 综上所得 k （ 1 , 3 ） （ 3 ,3 ） （ 3 ,1 ） .
2 22 2
•
(Ⅰ)解答直线与椭圆的位置关
系有两种，即判别式法与数形结合法.
• (Ⅱ)判断直线与双曲线的位置关系利
用判别式法时，注意对二次项系数的
讨论，二次项系数等于零实质是直线
与渐近线平行的情况.
•
变式练当习1k=
-1，0，时1，直线
y=k(x+1)与抛物线y2=4x恰有一个公共点.
•
由y=k(x+1)与y2=4x联立消去x，
• 则弦长
•
重点突破：直线与圆锥曲线的位置关
•
系 AB
例1
x2
(Ⅰy2)已a知2 A(-3,4)，B(4,4)，若线段
2
• 与椭圆
2018届高中数学专题07探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用特色训练新人教选修
专题07 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018C的一个焦点坐标为().（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()0,2P 的直线l 与轨迹C 交于不同的两点E F 、，求PE PF ⋅的取值范围.【答案】（1）2213x y +=;（2）93,2PE PF ⎡⎫⋅∈⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1()，求出基本量，可得椭圆C 的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积公式，即可求得PE PF ⋅的取值范围．121222129,1313k x x x x k k +=-=++， 由()()22212361301k kk∆=-+>⇒>()()()2211221222992,2,21311313k PE PF x y x y k x x k k +⎛⎫⋅=-⋅-=+==+ ⎪++⎝⎭由21k >知93,2PE PF ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭；综上所述：93,2PE PF ⎡⎫⋅∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-，P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值. 【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析; （1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k +的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+-- ()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知椭圆22+197x y =的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为32. （1）求双曲线E 的标准方程；（2）若斜率为1的直线l 交双曲线E 于,A B 两点，线段AB的中点的横坐标为l 的方程.【答案】（1）22145x -=;（2）0x y -= 【解析】试题分析: （1）利用双曲线E 与椭圆22+197x y =有公共焦点，且离心率为32.，求出基本量，即可求双曲线E 的方程；（2）设直线l 的方程为y x t =+，与双曲线E 的方程联立，结合弦长公式，即可求l 方程．（2）设直线l 的方程为y x t =+，由221{ 45x y x t-==+得()228450x tx t --+=， ∴()28010t ∆=+>，124x x t +==，∴t =∴直线方程为0x y -=.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证：12λλ-为定值．【答案】(1)22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.设()11,A x y ，()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x kk x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AFx λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭ ()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k--=-+--++0=.所以，12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以，12λλ-为定值0.方法三：由题意直线AB 过点()1,0F ，设方程为1x my =+()0m ≠， 将4x =代人得P 点坐标为34,m ⎛⎫⎪⎝⎭， 由221{ 143x my x y =++=消元得()2234690m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则0∆>且122122634{934my y m y y m -+=+-⋅=+， 因为1PA AF λ=，所以11111330y PA my m AF y my λ--===-.又当直线AB 与x 轴重合时，120λλ-=， 所以，12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.6．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）4． （1）求双曲线的标准方程；（2）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点， O 为坐标原点，求OAB ∆的面积．【答案】．（1）2214y x -=;（2）43OAB S ∆= 【解析】试题分析：（1）由题意得222{24 cab c a b ===+，解出a ,b ,c 即可得到双曲线的方程；（2）根据条件得到直线l 的方程为1y x =+，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长AB 及原点到直线的距离d ，可求得三角形的面积。
高考数学圆锥曲线专题：韦达定理
高考数学圆锥曲线专题：韦达定理第一部分：直线的斜截式方程使用条件一：已知斜率第一类直线的方程：直线的斜截式方程直线的斜截式方程：b kx y +=，其中k 为斜率，b 为与y 轴的截距。
第一种使用条件：已知直线的斜率。
【例题一】：已知：斜率为1的直线与椭圆C ：1222=+y x 相交于A ，B 两点。
【本题解析】：第一部分：韦达定理的计算部分。
韦达定理的使用条件：直线与曲线相交于两点。
第一步：假设两个交点的坐标。
假设：点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。
第二步：假设直线的方程。
本题已知直线l 的斜率为1，需要假设直线l 与y 轴的截距得到直线l 的方程。
假设：直线l 的方程为：m x y +=。
第三步：联立直线l 的方程和椭圆C 的方程。
mx +022********=-+⇒=+⇒=+y x y x y 把m x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x 0)22(430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。
第四步：韦达定理计算两个交点的横坐标之和21x x +，横坐标之积21x x 。
原理：一元二次方程02=++c bx ax 的两个根1x ，2x ：a b x x -=+21，ac x x =21。
340)22(432122mx x m mx x -=+⇒=-++，322221-=m x x 。
第五步：根据直线的方程的纵坐标之和21y y +，纵坐标之积21y y 。
),(11y x A ，),(22y x B 为直线m x y l +=:上两点m x y +=⇒11，m x y +=22；3236342342212121mm m m m m x x m x m x y y =+-=+-=++=+++=+；2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅323342233343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。
圆锥曲线技巧提升篇：韦达定理联立及弦长问题
长形式翻译就轻松不少． 核心条件的翻译确认后，再看直线假设，这里应该选择正设，即设 l：y＝kx＋1，此时只引入一个参数
k，根据核心条件的关系，即可解出 k 的值，得到目标信息．
接下来分别表示出弦长 AB 和 CD ：
对于抛物线中的弦长
AB
，联立
y kx x2 4
y
1
，由于正设直线，这里消
1 k 2 12
2 9 8k 2 1 48(1 k 2 ) ，书写时，我
9 8k 2
9 8k 2
们写如上步骤即可．
再由
AB
CD
，即 4k 2
4
48(1 k 2 ) 9 8k 2
，整理即得 (8k2
3)(k2
1) 0, 解得 k 2
1 (舍)，或
k2 3, k 6 .
③韦达定理其实无需特意去记，由通式
x1
x1
x2
x2
c a
b a
，结合联立后的方程即可得出；
④在一些题型中，难免会出现含有纵坐标 y 的表达，此时便需要通过直线代换，因此建议记忆．记
忆方式也不难，分母和韦达定理一样(其实所有形式分母都是 b2 a2k 2 )，对于 y1 y2 , 对照 x1 x2 可知，
那么一般的椭圆和直线联立后是什么情形呢？强烈建议熟记以下内容，这将大大提升圆锥曲线解 题速度以及降低计算失误！
先看正设直线的情形：
联立
x a
2 2
y2 b2
1，消 y 得： (b2
a2k2 )x2
2a2kmx a2 (m2
b2 ) 0
①
y kx m
判别式△ 4a2b2 (b2 a2k 2 m2 ) ②
x
精品教案：直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系【知识网络】1．直线与圆锥曲线之间的位置关系及其判定方法． 2．一元二次方程根的判别式及韦达定理的应用． 3．中点问题，弦长问题的求解． 4．进一步应用数形结合思想． 【典型例题】[例1]（1）过点（2，4）作直线与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，这样的直线有（ ）Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条（2）直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） Ａ．[)()+∞,55,1 Ｂ．（０，５） Ｃ．[)+∞,1 Ｄ．（１，５）（3）以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线是( ) A 不能确定 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线（4）斜率为２的直线与圆锥曲线交于),(),,(2211y x B y x A 两点，若弦长52=AB ，则=-21y y ． （5）双曲线122=-y x 的左焦点为Ｆ，点Ｐ为左支下半支上的动点（异于顶点），则直线ＰＦ的斜率的范围是 ．[例2] 在椭圆141622=+y x 内，求通过点Ｍ（１，１）且被这点平分的弦ＡＢ所在直线的方程．[例3] 中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x+y －1=0相交于两点Ｍ、Ｎ，且ＯＭ⊥ＯＮ．求椭圆的方程．[例4] 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =2AC ，A 、B 、C 都是椭圆上的点，其中A 是椭圆的左顶点，直线BC 经过椭圆中心（即原点O ）．（1）求证：无论 AC 的长取何正实数，椭圆的离心率恒为定值，并求出该 定值； （2）若PQ 是椭圆的一条弦，PQ ∥AB ，求证∠PCQ 的平分线垂直于AO ．【课内练习】1．平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足3=-PB PA ，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP 的最小值为 （ ） Ａ．23Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 2．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ3．设A 为双曲线191622=-y x 右支上一点，F 为该双曲线的右焦点，连AF 交双曲线于B ，过B 作直线BC 垂直于双曲线的右准线，垂足为C ，则直线AC 必过定点( )A ．（0,1041） B ．（0,518） C ．（4，0） D ．（0,522） 4．若直线1-=kx y 与椭圆1422=+ay x 有且只有一公共点，那么 （ ） Ａ．(]⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∈21,21,1,0k a Ｂ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∈21,21,1,0k aＣ．(]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a Ｄ．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a 5．过原点的直线l ，如果它与双曲线14322=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ． 6．直线y=x －3与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积是 ．7．若曲线y 2=|x |＋1与直线y=kx ＋b 没有公共点，则k,b 应满足的条件是 ．8．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λ.（1）证明：λ＝1－e 2； （2）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程． ．9．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
难点07 直线与圆锥曲线的位置关系-高考数学二轮核心考点总动员 Word版含解析
高考数学考点总动员【二轮精品】第二篇难点七 直线与圆锥曲线的位置关系【难点考法】本难点主要以选择题、填空题或解答题形式，以直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系为载体，考查直线与圆锥曲线间的位置关系、弦长问题、最值问题、定点定值、参数范围问题等，考查运算求解能力及分析问题与解决综合问题的能力，考查“设而不求思想”，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，是高考中区分度较大的题目，分值为12-16分．【热点考向】考向一 直线与圆锥曲线交点问题【解决法宝】1.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去y （或）化为关于（或y ）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将12x x +，12x x 表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于12x x +与12x x 的式子，将12x x +，12x x 代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题.2.再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为x my n =+，避免分类讨论.例1【河南省新乡市高三二模】设椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交轴负半轴于Q 点，且1F 恰好是线段2QF 的中点． （1）若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线3470x y --=相切，求椭圆C 的方程； （2）在（1）的条件下， B 是椭圆C 的左顶点，过点3,02R ⎛⎫⎪⎝⎭作与轴不重合的直线交椭圆C 于,E F 两点，直线,BE BF 分别交直线83x =于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问： 12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）依据题设条件建立方程求解；（2）运用直线与椭圆的位置关系进行分析推证： 【解析】（1）由题意知： ()0,A b ， 1F 是线段2QF 的中点，设()1,0F c -， ()2,0F c ，则()3,0Q c -，因为290QAF ∠=o ，所以223b c =.由题意知： 2Rt QAF ∆外接圆的圆心为斜边2QF 的中点()1,0F c -，半径等于2c .因为过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线3470x y --=相切，所以()1,0F c -到直线的距离等于半径2c ，即3725c c --=，解得1c =， 2233b c ==， 2224a b c =+=，所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()()1122,,,E x y F x y ，直线EF 的方程为32x my =+，由22143{32x y x my +==+消去得： ()2243436210m y my ++-=，所以()12236434m y y m -+=+， ()12221434y y m -=+， 由,,B E M 三点共线可知：118223M y yx =++，即()111432M y y x =+， 同理可得： ()221432N y y x =+，所以()()12121236648383494223232N M N M y y y y y y k k x x ====++--， 因为()()()()()212121212422272741449x x my my m y y m y y ++=++=+++，所以()()()212222221644341221143674434434m k k m m m m -⨯+==--⨯⨯-++，故12k k 为定值，且定值为127-考向二 圆锥曲线上点关于直线对称问题【解决法宝】这类问题通常，先设出对称点的坐标，写出过对称点的直线方程，与圆锥曲线方程联立化为一元二次方程，利用根与系数关系和中点公式，求出对称点的中点坐标，利用对称点的中点在直线上，对称点连线与对称轴垂直解题。
圆锥曲线中韦达定理的运用技巧
一、复习
一元二次方程：ax2+bx+c=0(a 0)
1.x1+x2=
b a
,x1x2=
c a
(韦达定理与判别式无关),
2.判别式∆=b2-4ac：用来判断一元二次方程有无实数根，
从而判断直线与圆锥曲线的位置关系.
∆>0：方程有两个不相等的实数根,直线与圆锥曲线相交，且
有两个交点；∆=0：方程有两个相等的实数根,直线与圆锥曲
(2)若经过 F(0,2)的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 G,H(点
【 G 在解】 点设F,HH之(x1间，)y，1)且,G满(x2足，FyG2),F53(0FH，，2)求直线 l 的方程.
y
由FG
3 5
FH
得
x2
3 5
x1
①, y2
3 5
y1
4 5
.
F G
设
l:y=kx+2,代入
x2 2
G
在点
F,H
之间)，且满足FG
3 5
FH
，求直线
l
的方程.
【解】设 H(x1，y1),G(x2，y2),F(0，2)
y F
由
FG
3 5
FH
得
x2
3 5
x1
,
y
2
3 5
y1
4 5
.
设
l:y=kx+2，代入
x2 2
y2
1得
G
O
x
H
(1+2k2)x2+8kx+6=0，所以
直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略
直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略一、引言直线与圆锥曲线问题是解析几何中的重要内容，韦达定理是解决这类问题的关键工具。
本文将深入探讨韦达定理在直线与圆锥曲线问题中的应用策略，通过实例分析和详细讲解，帮助读者更好地理解和应用韦达定理。
二、韦达定理的基本概念韦达定理是解析几何中的一项重要定理，主要用于解决直线与圆锥曲线相交问题。
韦达定理的表述如下：定理 1（韦达定理）：设直线 L 的方程为 Ax + By + C = 0，圆锥曲线 C 的方程为 F(x, y) = 0，其中 F(x, y) 是 C 的方程，且 C 不经过 L 的交点。
设直线L 与圆锥曲线 C 相交于点 P(x0, y0)，则有以下关系成立：1.点 P 到直线 L 的距离d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)；2.点 P 到圆锥曲线 C 的距离d’ = |F(x0, y0)| / √(F_x^2 + F_y^2)；3.点 P 到直线 L 和圆锥曲线 C 的距离之比 d / d’ = |(Ax0 + By0 + C) /(F_x x0 + F_y y0)|。
韦达定理的关键在于将直线与圆锥曲线的交点坐标代入相应的距离公式，从而得到它们之间的关系。
三、韦达定理的应用策略在实际问题中，我们常常需要根据已知条件求解直线与圆锥曲线的交点坐标或者两者之间的距离关系。
下面将介绍韦达定理在解决这类问题时的应用策略。
3.1 已知直线和圆锥曲线方程，求交点坐标当我们已知直线和圆锥曲线的方程时，可以通过韦达定理求解它们的交点坐标。
具体步骤如下：1.将直线和圆锥曲线的方程分别表示为 Ax + By + C = 0 和 F(x, y) = 0 的形式；2.将直线和圆锥曲线的方程代入韦达定理的公式，得到点 P 的坐标 (x0, y0)；3.根据求得的点 P 的坐标，可以进一步分析直线和圆锥曲线的位置关系及其它相关性质。
3.2 已知直线和交点坐标，求圆锥曲线方程当我们已知直线和交点坐标时，可以通过韦达定理求解圆锥曲线的方程。
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专题07 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知离心率为的椭圆的一个焦点坐标为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，求的取值范围.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由离心率为，及一个焦点坐标为，求出基本量，可得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积公式，即可求得的取值范围．，由由知；综上所述：.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点，是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线的斜率分别为，求的值.【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）【解析】试题分析; （1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可的值；因为的重心的纵坐标为，所以，所以，所以，所以，又.所以.4．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若斜率为1的直线交双曲线于两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析: （1）利用双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为.，求出基本量，即可求双曲线的方程；（2）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，结合弦长公式，即可求方程．（2）设直线的方程为，由得，∴，，∴.∴直线方程为.5．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，，求证：为定值．【答案】(1);(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.设，，则且，方法一：因为，所以.同理，且与异号，所以.所以，为定值.当时，同理可得.所以，为定值.方法三：由题意直线过点，设方程为，将代人得点坐标为，由消元得，设，，则且，因为，所以.又当直线与轴重合时，，所以，为定值.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为，可减少讨论该直线是否存在斜率.6．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知双曲线：（）的离心率为，虚轴长为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．【答案】．（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由题意得，解出a,b,c即可得到双曲线的方程；（2）根据条件得到直线的方程为，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长及原点到直线的距离d，可求得三角形的面积。
试题解析：(1)依题意可得，解得，∴双曲线的标准方程为．∴。
点睛：双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝|x1－x2|。
7．【江苏省清江中学2017-2018学年高二上学期期中】某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似。
（1）已知椭圆，写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（2）从外层椭圆顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为+=1(a b0)，AC与BD的斜率之积为－，求椭圆的离心率。
【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由两点、关于直线对称可设出直线的方程为，将此方程与椭圆方程联立消去y可得，由题意此方程有两个不等实根，再根据的中点在直线上可消去t，根据判别式可得的范围；试题解析：（1）椭圆的方程为：设直线的方程为，由消去y整理得即方程有两个不同的实数解，所以，解得或（舍去）。
所以实数的取值范围为。
（2）设外层的椭圆的方程为，设切线的方程为,由消去y整理得∵直线与椭圆相切，∴，即椭圆的离心率为。
点睛：（1）本题以新定义的形式考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系，对于直线和椭圆位置关系的考查体现在用方程的方法去解题，注意“设而不求”、一元二次方程的判别式、根与系数关系的运用。
（2）解析几何中的对称问题一般要涉及到垂直和平分两个方面的内容，如在本题中根据M,N关于直线对称可设直线的方程为（垂直），再根据的中点在直线上（平分）可消去参数，以达到求解的目的。
8．【河北省唐山市一中2017-2018学年上学期高二期中考】已知抛物线和直线，为坐标原点．(1)求证：与必有两交点；(2)设与交于两点，且直线和斜率之和为，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：把直线方程和抛物线方程联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明与必有两交点，只需证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线和斜率之和为，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把代入化为的关系，把根与系数关系代入后求出斜率的值．【点睛】证明与必有两交点，只需联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线和斜率之和为，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把代入化为的关系，把根与系数关系代入后求出斜率的值．9．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】设抛物线：，为的焦点，过的直线与相交于两点.（1）设的斜率为1，求；（2）求证：是一个定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；试题解析：(1)解：∵由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，∴直线的方程为设，由得，∴，由直线过焦点，则.（2）证明：设直线的方程为，∴是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.10．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C:的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B 两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.【答案】(1) ,(2)O到直线的距离为定值.【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；试题解析：(1)由右焦点为(,0),则,又离心率为,所以,，则(2) 设,,若k存在,则设直线AB:y=kx+m.得点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．11．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知圆，圆心为，定点，为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）分析题意可得点满足的几何条件，根据椭圆的定义可得轨迹，从而可求得轨迹方程；（Ⅱ）先由直线与相切得到，将直线方程与椭圆方程联立，并结合一元二次方程根与系数的关系可得，由且，进一步得到k的范围，最后根据三角形面积公式并结合函数的单调性求的取值范围。
试题解析：（Ⅰ）∵∴为线段中点∵∴为线段的中垂线∴∵∴由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的标准方程为，则，，∴。
∴点的轨迹的方程为。
设，，则，，∴，∴∴故面积的取值范围为。
点睛：解决解析几何综合题时一般会涉及到复杂的运算，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求”、“整体代换”的方法，以简化计算。
另外，对于解析几何中的范围、最值的问题，要结合函数的性质求解或利用基本不等式求解。
12．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E:经过点P(2,1)，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。
（Ⅰ）由椭圆的离心率e=，则a2=4b2，将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2=2，则a2=8，∴椭圆的方程为：；因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），由，则+=0，化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0，当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.13．【云南省昆明市高新技术开发区2018届高考适应性月考】已知椭圆（）的一个焦点是，为坐标原点，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，过点的直线交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，且满足，当，求实数的取值范围.【答案】(1);(2) .【解析】试题分析：根据c=1,短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得出a,b，写出椭圆的方程，设AB 的方程，联立方程组，代入整理，利用设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于，解出的范围。