课堂新坐标2016_2017学年高中数学第1章不等关系与基本不等式1.2.1绝对值不等式课件

阶 段 一
阶 段 三
§2
含有绝对值的不等式 绝对值不等式
学 业 分 层 测 评
2.1
阶 段 二
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明绝对 值不等式的性质定理．(重点) 2．会利用绝对值不等式的性质定理证明简单的不等式．(难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 绝对值的几何意义
[小组合作型]
绝对值不等式的性质定理的应用
|a|－|b| |a|＋|b| 已知|a|≠|b|，m＝ ，n＝ ，则 m，n 之间的大小关系是 |a－b| |a＋b| ________．
【精彩点拨】 易判定 m，n 与 1 的大小关系．
【自主解答】
因为|a|－|b|≤|a－b|，
|a|－|b| 所以 ≤1， |a－b| 即 m≤1. 又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， |a|＋|b| 所以 ≥1， |a＋b| 即 n≥1，所以 m≤1≤n.
(a－c)(c－b)≥0
时，等号成立．
填空(填“>，<，≥，≤”)： (1)|a|－|b|________|a－b|； (2)|a－b|________|a|＋|b|； ε ε (3)若|a|<2，|b|<2，则|a＋b|________ε.
【解析】
(1)由|a＋b|≤|a|＋|b|，得|a|＝|(a－b)＋b|≤|a－b|＋|b|，
[构建· 体系]
1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有( A．ab＜0 C．ab≥0 B．ab＞0
)
D．以上都不对
【答案】 C
2．若 a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1 成立的充分不必要条件是( 1 1 A．|a|≥2且|b|≥2 C．|a|≥1
【解析】
)
B．|a＋b|≥1 D．b＜－1
[再练一题] 3．设函数 f(x)＝|x＋2|－|x－2|. (1)解不等式 f(x)≥2； (2)若不等式|x＋2|－|x－2|<|m－2|恒成立，求参数 m 的取值范围．
【解】
－4，x<－2， f(x)＝2x，－2≤x≤2， 4，x>2，
作出图象：
(1)由图象可知不等式 f(x)≥2 的解集为{x|x≥1}． (2)由图象可知函数 f(x)的最大值是 4. ∴不等式|x＋2|－|x－2|<|m－2|恒成立只需|m－2|>4， ∴m>6 或 m<－2. 综上可知，m 的取值范围是(－∞，－2)∪(6，＋∞)．
【自主解答】 对任意 x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1， ∴|x＋1|＋|x＋2|的最小值为 1. ∴当 m≤1 时，|x＋1|＋|x＋2|≥m 恒成立．
本题也可利用绝对值的几何意义或函数的性质求解 .|x－m|表示数轴上表示 实数 x 的点到表示实数 m 的点间的距离.对于含有两个绝对值以上的代数式，通 常利用分段讨论的方法去掉绝对值转化为分段函数，进而利用分段函数的性质 解决相应问题.
【导学号：94910004】 A．a＜b＋c C．a＜c－b B．|a|＞|b|－|c| D．|a|＜|b|＋|c|
【解析】 ∵|a－c|≥|a|－|c|且|a－c|＜|b|， ∴|a|－|c|≤|a－c|＜|b|， ∴|a|＜|b|＋|c|.
【答案】 D
利用定理证明绝对值不等式
ε ε 已知|x－a|<2M，|y－b|<|2a|，y∈(0，M)，求证：|xy－ab|<ε.
我还有这些不足： (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________
我的课下提升方案： (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________
当 b＜－1 时，|b|＞1，
∴|a|＋|b|＞1. 但|a|＋|b|＞1⇒ / b＜－1(如 a＝2，b＝0)， ∴“b＜－1”是|a|＋|b|＞1 的充分不必要条件．
【答案】 D
3．已知四个命题：①a＞b⇒|a|＞b；②a＞b⇒a2＞b2；③|a|＞b⇒a＞b；④a ＞|b|⇒a＞b.其中正确的命题是________． 【解析】 当 a＞b 时，|a|≥a＞b，①正确； 又当 a＞|b|时，有 a＞|b|≥b，④正确．
【精彩点拨】 本题考查定理在证明和差的绝对值构成的不等式中的应用， 解答此题需要通过变形用上定理将|xy－ab|用|x－a|及|y－b|表示即可证明．
【自主解答】
因为 y∈(0，M)，所以|y|＝y<M.
所以|xy－ab|＝|xy－ya＋ya－ab| ε ε ＝|y(x－a)＋a(y－b)|≤|y|· |x－a|＋|a|· |y－b|<M· 2M＋|a|· 2|a| ε ε ＝2＋2＝ε， 所以不等式成立．
【答案】 ①④
Hale Waihona Puke 4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________. 【导学号：94910005】
【解析】 ∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3， 当且仅当(x＋1)(2－x)≥0， 即－1≤x≤2 时，取等号， 因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为 3.
【答案】 3
5．设 m 等于|a|，|b|和 1 中最大的一个，当|x|＞m
2x＋1，x≥1， 【提示】 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＝3，－2≤x<1， －2x－1，x<－2， 其图象如图，
由图可知，该函数只有最小值 3，没有最大值．
对任意 x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m 恒成立的 m 的取值范 围．
【精彩点拨】 只需求|x＋1|＋|x＋2|的最小值不小于 m 即可， 可利用绝对值 的性质求解．
(3)|a－b|的几何意义是数轴上实数 a，b 对应的两点之间的距离．(
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
教材整理 2
定理
阅读教材 P6～P7，完成下列问题． 对任意实数 a 和 b，有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 推论：如果 a，b，c 是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当
【提示】 根据绝对值的意义，不等式|x－3|<2 的意义是数轴上到实数 3 对 应的点的距离小于 2 的总的集合．函数 f(x)＝|x－3|＋|x＋1|中函数值是指数轴上 到实数 3 对应的点的距离和到实数－1 对应的点的距离之和．
探究 3 能从图象角度理解 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|只有最小值没有最大值吗？
【答案】 m≤n
1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a＋b|≤|a|＋|b|的理解和应用． 2．在定理中，以－b 代 b，得|a－b|≤|a|＋|b|；以 a－b 代替实数 a，可得到 |a|－|b|≤|a－b|.
[再练一题] 1．已知实数 a，b，c 满足|a－c|＜|b|，则下列不等式成立的是( )
利用定理证明含有和差的绝对值不等式或绝对值的和差的不等式的关键是 将待证不等式中一端通过适当的添项和减项正用或逆用定理求证.
[再练一题] a a 2．已知|x|＜4，|y|＜6，求证：|2x－3y |＜a. a a 【证明】 ∵|x|＜4，|y|＜6，
a a ∴|2x|＜2，|3y|＜2， a a ∴|2x－3y|≤|2x|＋|3y|＜2＋2＝a. 故原不等式成立．
∴|a|－|b|≤|a－b|，故应填≤. (2)由|a＋b|≤|a|＋|b|，得|a－b|＝|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|＝|a|＋|b|， 故应填≤. ε ε (3)∵|a|<2，|b|<2， ε ε ∴|a＋b|≤|a|＋|b|<2＋2＝ε，故应填<.
【答案】 (1)≤ (2)≤ (3)<
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
[探究共研型]
运用绝对值不等式求最值与范围.
探究 1 |a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？
【提示】 |a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
探究 2 不等式|x－3|<2 的意义是什么？函数 f(x)＝|x－3|＋|x＋1|的函数值表 示什么意义？
阅读教材 P6“思考交流”以上部分，完成下列问题． 1．|a|表示在数轴上 实数a 对应的点与原点 O 的距离． 2．|x－a|的几何意义是 实数x 对应的点与实数 a 对应的点之间的距离．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由|x＋2|＝0 可得 x＋2＝0 即 x＝－2.( (2)因为|a|>|b|，所以 a>b.( ) ) )
a b 时，求证：x ＋x2＜2.