第二节 一阶微分方程高等数学三年专科最新版精品课件
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《一阶常微分方程》课件
06
CATALOGUE
一阶常微分方程的总结与展望
总结与回顾
1 2 3
定义与性质
一阶常微分方程是描述一个函数随时间变化的数 学模型，具有丰富的理论体系和应用领域。
历史发展
一阶常微分方程的发展可以追溯到早期的微积分 学，随着科学技术的进步，其理论和应用得到了 不断深化和拓展。
解法研究
一阶常微分方程的解法研究是核心内容之一，包 括初值问题、边值问题、积分方程等，以及各种 数值解法。
举例
简单的一阶常微分方程如 dy/dx = y，描述了y随x的变化率与其自身成正比的情况；复杂的一阶常微分方程如 dy/dx = x^2 + y^3，描述了更复杂的函数关系。
02
CATALOGUE
一阶常微分方程的解法
初值问题
定义
已知一阶常微分方程及其在某一点的初 始值，求解该方程在该点的邻域内的解 。
一阶常微分方程
CATALOGUE
目 录
• 一阶常微分方程的定义 • 一阶常微分方程的解法 • 一阶常微分方程的应用 • 一阶常微分方程的扩展 • 一阶常微分方程的实例分析 • 一阶常微分方程的总结与展望
01
CATALOGUE
一阶常微分阶常微分方程是包含一个未知函数 和其导数的等式，形式为 f(x, y', y) = 0。
在工程中的应用
控制工程
在控制工程中，系统的动态特性可以用一阶常 微分方程来描述。
航空航天工程
描述飞行器的运动轨迹和姿态变化，可以用一 阶常微分方程来建模。
机械工程
描述机械系统的动态特性，如振动、位移等，可以用一阶常微分方程来建模。
04
CATALOGUE
一阶常微分方程的扩展
高等数学微分方程的基本概念教学ppt课件
都是一阶微分方程；
d dt22 sg,y''2y'y3x21
都是二阶微分方程.
y(4)4y'4yxex
是四阶微分方程；…等等．
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
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13
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.
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10
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就称为常微分方程。
第六章 常微分方程
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
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s 0,v ds 0 dt
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第一节 微分方程的基本概念
(6) (7)
(8)
8
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
把(8)式分别代入(6)，(7)式，得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
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一阶微分方程ppt
特征根的情况
相异实根 r1 r2 相等实根 r1 r2
复根 r1,2 i
通解的表达式
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x) er1x
y e x (C1 cos x C2 sin x)
15
例1 求微分方程 y 3y 10y 0 满足初始条件
y 6, y 2 的特解.
2
第五节 二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程的一般形式：
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
其中P(x),Q(x),f(x)为连续函数,f(x)称为自由项.
当 f (x) 0, 称为二阶齐次线性方程. 当f (x) 0, 称为二阶非齐次线性方程.
3
特权福利
特权说明
例2 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解.
例3 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.
例4
求
微
分
方程
d2 dt
s
2
2
ds dt
s
0
满足初始条件
s(0) 4, s(0) 2 的特解.
17
例2 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解.
解 特征方程为 r 2 2r 3 0
5
1、二阶齐次线性微分方程解的结构
定理1(解的叠加原理) 设 y1, y2 是方程(1)的两个解,则 y1, y2 的线性组合 y C1 y1 C2 y2( C1, C2是任意常数)也
是方程(1)的解.
问题： y C1y1 C2 y2 是方程(1)的通解吗？ 不一定
例如：通过观察可知 y1 ex , y2 3ex , y3 ex 都是方程
( y1 ( y1
一阶微分方程PPT课件
关于 z 的线性方程
求出通解后再还原回 y
2 y x y y 例:
y
1 1 y y2 x x
2
2
1 1 1 两端同除以 y , y y y x x 1 1 1 令 z y , z z , x x 1 1 dx 1 x dx x z e [ e dx C ] x
dy f ( x, y ) dx
(1)
如果可化成: f ( x)dx g ( y)dy 则(1)称为可分离变量的方程.
解法: 1.分离变量: 2.两边积分:
3.得出通解:
f ( x)dx g ( y)dy
f ( x)dx g ( y)dy
G ( y ) F ( x) C
第一节
微分方程的概念
第二节
常见的一阶微分方程
第一节 微分方程的概念
一.实例 例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程. 设曲线方程为 y = y(x), 则 y x, y | x 0 1 2 2 x x y 1 c 1 y xdx c 2 2 例2. 质量为m的物体自由落下, t =0 时,初始位移和初速度分别为 S0 , v0 , 求物体的运动规律. 设运动方程为S=S(t),
思考
1.设y( x)在[1,)内有连续导数且满足 x y(t )dt ( x 1) ty(t )dt, y(1) 1, 求y( x)
1 1 x x
等式两端同时关于x 求导得：
x
1
y (t )dt xy( x) ty (t )dt ( x 1) xy( x),
P Q y x 时,上述方程为全微分方程.
高等数学课件38一阶常微分方程
ln y f ( x )dx C
y e f ( x ) dx C
一阶齐次线性常微分方程通解公式
GS .
y Ce f ( x ) dx
C : 任意常数。
2）当 g (x) ≠ 0 时,
dy f ( x) y g( x) dx
两边积分 ln y
du ( u) u 即 dx x 当 ( u) u 0 时，
可分离变量的方程
y 解出方程后再用 u 代入, 即为原方程的通解。 x
注意 分离变量时, 若 ( u) u 0 时，
du dx ( u) u x
du 0 uC dx ∴原方程的通解为 y Cx .
dy g ( x ) dx f ( x )dx y y g( x) dx f ( x )dx y
ln y ( x ) f ( x )dx
=
GS .
ye
( x)
e
f ( x ) dx
C ( x )e f ( x ) dx
非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:
u c1 a1 x b1 y c1 1 du ( a1 ) ( a1 x b1 y) c2 u c2 b1 dx du g ( u) , 即可化为可分离变量的方程 dx 此微分方程总可变为可分离变量的微分方程 dy a1 x b1 y c1 f( ). 且可推广到 dx a2 x b2 y c2
d (e cos y mxy) 0
x
GS . e x cos y mxy C .
2、积分因子法
f ( x , y) g ( x , y) 当不满足 时， y x 虽 f ( x, y)dx g ( x, y)dy 0 不是全微分方程，
10.2一阶微分方程
1 dx x
sin x x
1 dx e x dx
例4. 解方程
dy y dx x 解:原方程变形为 即 2y 1 2 dx 2 y y x dy y dx x 亦即 2 y 1 通解为 dy y
xe
(1 2 y) e
ye
(x
5 1) 2
e
故原方程通解为
( x
5 1) 2
dx C
例2. 解方程 解: 这是一个非齐次线性方程
P( x) cot x
Q( x) x 2 csc x
由一阶线性方程通解公式,得
ye
x 2 csc x e
x
故原方程通解为
2
csc x
dx C
.
dy P ( x ) y Q( x ). 2. 线性非齐次方程 dx
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
作变换
y u( x )e
P( x) u e
P ( x ) dx
则
P ( x )d x
u e
即
P ( x )d x
P ( x )d x
2.解法:
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0 全微分方程
应用曲线积分与路径无关. 通解为
P Q y x
u( x , y )
y
0
( x, y)
( x 0 , y0 )
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
y Q( x , y )dy x P ( x , y0 )d x , u( x , y ) C ;
高等数学高数课件 7.2一阶微分方程
1
H Ce
kHt
逻辑斯谛方程
故所求通解为
h(
t
)
C2 1
He kHt C 2e kHt
1
H Ce
kHt
其中
C C
1 C2
e C1H
0
是正常数.
函数h(t )的图象称为Logistic曲线. 由于它的形状, 一
般也称为 S 曲线. 可以看到,它基本符合我们描述的
树的生长情形. 另外还可以算到
lim h(t) H.
逻辑斯谛方程 则显然不符合两头 尤其是后期的生长情形, 因为树不
逻辑斯谛方程
则显然不符合两头 尤其是后期的生长情形, 因为树不
可能越长越快;但如果假设树的生长速度 正比于最大
高度与目前高度的差,则又明显不符合 中间一段的生
长过程.折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的
高度, 又与最大高度和目前高度之差成正比.
第二、三节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
设有一阶微分方程
dy dx
F
(
x,
y)
如果其右端函数 能分解成 F ( x, y) f ( x)g( y),即有
dy dx
f (x)g( y)
(1)
则称方程 (1)为可分离变量的微分方程, 其中 f ( x),
例 3 已知 f (sin2 x) cos 2x tan2 x, 当 0 x 1 时, 求 f ( x). 解 设 y sin2 x, 则 cos 2x 1 2sin2 x 1 2 y,
tan2
x
sin 2 cos2
新改节一阶线性微分方程PPT课件
五、1、( x y)2 2x C ；
第25页/共33页
三、小结
1.齐次方程 y f ( y) 令 y xu; x
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ;
3.伯努利方程
思考题
令 y1n z;
求微分方程 y
cos
y
cos y sin 2 y
x
sin
y
的通解.
第26页/共33页
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
与齐次方程通解相比 C u( x)
第2页/共33页
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e , P( x)dx
3、 dy dx
x
1 sin2
(
xy)
y. x
六、已知微分方程 y y g( x),其中
g( x)
2 0
, ,
0 x
x 0
1,试求一连续函数y
y( x) ,满
足条件 y(0) 0 ,且在区间[0 , ) 满足上述方程 .
第30页/共33页
练习题答案
一、1、 y ( x C )esin x ；
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P(
x)
y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P(
x)dx,
ln y P(x)dx C1,
高等数学PPT课件：一阶微分方程
17
一阶微分方程
u
y du dy
1 1 eu
(u 1)
分离变量
1 u
eu eu
du
1 y
dy
两边积分 ln(u eu ) ln y ln C
即 得通解
y(u eu ) C
x
x ye y C
18
一阶微分方程
第四节 一阶线性微分方程
一阶 线性微分方程的标准形式 dy P( x) y Q( x) dx
其中C为任意常数. 由上式确定的函数 y y( x,C) 就是方程的通解(隐式通解).
这种解方程的方法称为分离变量法.
3
一阶微分方程
例 求方程 x(1 y2 )dx y(1 x2 )dy 0 的通解.
解 分离变量
1
y y
2
dy
1
x x
2
dx
两端积分
1
y y2
dy
1
x x
2
dx
1 ln(1 y2 ) 1 ln(1 x2 ) 1 ln C
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 dx
x dx
C
1 x
sin xdx C
1 cos x C
x
26
一阶微分方程
例 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x)
与y x3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于
阴影部分的面积, 求曲线 y = f (x).
解
C
Ce x0 3x02 6x0 6
y |x0 0 得 C 6 所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2)
28
一阶微分方程
第六章微分方程第二节一阶微分方程PPT课件
- 10 -
第二节 一阶微分方程
例6 解微分方程 y ytany. xx
解: 令 u y , 则 yuxu ,代入原方程得 x
第
u xu u ta un
十
二 章
分离变量
cosududx sinu x
微 分 方
两边积分 c siou u nd sudxxln |C|
程
得
ln su i n ln x ln C ,即 siu n Cx
第 十
两边积分
二
lnC|
C1
|
变形, 减解.
因此可能增、
章
得
微
lnyx3C1
或
分 方
即
程
令CeC1
lnyx3lnC
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
-5-
第二节 一阶微分方程
xyd x(x21)d y0 例2. 解初值问题 y(0)1
第 十
解:
分离变量得
dy y
1xx2
代入原u'方 (x程 1)1 2
1
积分 u2(x1)2C
1
所求方程y的 (x 通 1)2[2解 (x1为 )2C]
第 解法二 公式法
十 二 章
方程为
dy
2
3
y(x1)2
dx (x1)
微 分 方
y ex 2 1 d[x(x 1 )2 3e x 2 1 dd x x c ]
程
(x1)2[
3
(x1)2(
方 程
y
xx0
y0
-2-
第二节 一阶微分方程
一 可变量分离方程 可分离变量方程 一般形式
第六章微分方程第二节一阶微分方程PPT课件
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
-4-
第二节 一阶微分方程
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
第二节 一阶微分方程
第二节 一阶微分方程
一
第 十 二 章
微
分 方
二
程
可分离变量方程 一阶线性方程
三 全微分方程
-1-
第二节 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式 yf(x,y)
也可表示为
第 十
P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d 0 y
二
章 一阶微分方程初始值问题
微 分
y f (x, y)
十
ab
二 章
定常数),
则 d x d X ,d y d Y ,原方程化为
微
ahbkc
分 方
a1hb1kc1
程
令
, 解出 h , k
(齐次方程)
- 13 -
第二节
求出其解后,
一阶微分方程
即得原方
程的解.
2)当 . a1b1时,原方程可化为
ab
第 十 二 章 微
d dxy(aaxxbbyy )cc1 (b0)
第 十
两边积分
二
lnC|
C1
|
变形, 减解.
因此可能增、
章
得
微
lnyx3C1
或
分 方
即
程
令CeC1
微积分23-一阶微分方程
第二节一阶微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f x y d d 齐次方程0)(d d =+y x p xy一阶线性齐方程)()(d d x q y x p xy=+一阶线性非齐方程变量代换变量分离常数变易)()(d d y g x f xy=变量可分离方程一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：x x f y y g d )(d )(=则称原方程为变量可分离的方程。
运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：⎰⎰=x x f y y g d )(d )(其中C 为积分后出现的任意常数。
),( 。
就是原方程的通解积分的结果C x y y =二、齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f x y d d 齐次方程d )(d x xu u f u =-变量分离方程变量代换x u u x y d d d +=)(d d u f u xu x =+代入原方程，得三、可化为齐次方程的方程⎪⎭⎫⎝⎛=X Y X Y ϕd d 齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111d d c y b x a c y b x a f x y可化为齐次方程的方程变量代换0111=++c y b x a 0222=++c y b x a ，，βα==y x，，令βα-=-=y Y x Xd )(d X XZ Z f Z =-变量分离方程变量代换)()(d d y g x f xy=变量可分离方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f x y d d 齐次方程0)(d d =+y x p xy一阶齐线性方程)()(d d x q y x p xy=+一阶非齐线性方程变量代换变量分离常数变易四、一阶线性微分方程形如)()(x q y x p y =+'的方程称为一阶线性微分方程。
0)( 时，当≡x q 方程称为一阶齐线性方程。
方程称为一阶非齐线性方程。
0)( 时，当≡x q 习惯上，称0)(=+'y x p y 为方程)()(x q y x p y =+'所对应的齐方程。
一阶微分PPT课件
1 (1
x2
)
dx 2
1
2
(
1 x2
1 1 x2
) dx 2
1 x2 2 ln 1 x2
1 2
ln C
通解为
1
y2
C x2 1 x2
,
将 y(1) 2 代入得 C 10 ，
所求特解为
1
y2
10 x 2 1 x2
.
6
二、齐次微分方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
,
积分得 arctanu 1 ln(1 u2 ) ln | x | C , 2
或写成
x
1 u2
C earctanu 1
,
再将 u y 代入,得通解为 x
x2
y2
arctany
C1e
x
10
练习 求方程 y2 x2 dy xy dy 满足初始条件 dx dx
y(1) 1 的特解.
dx u 1
u1
分离变量得 (1 1 )du dx ,
u
x
积分得：u ln | u | ln | x | C ,
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 .
常数变易法：作变换
y
u(x)
e
P
(
x
)dx
y
u( x)
e
P( x)dx
u(
x
)
[
P(
x
)]
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所以，方程的通解公式为
y Ce
P ( x ) dx
.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且
P(x) = sin x， 则
P ( x )dx sin xdx cos x ,
由通解公式即可得到方程的通解为
y Cecos x .
方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
y P ( x ) y 0
是可分离变量方程. 分离变量，得 dy P ( x )dx , y 两边积分，得
ln y P ( x )dx ln C ,
分离变量,得
积分后，得通解 即
x cos dx , y 2 2 sin 2
dy
y y x ln(csc cot ) 2 sin lnC , 2 2 2 x 2 sin y y csc cot C e 2 . 2 2
二、一阶线性微分方程
一阶微分方程的下列形式
y P ( x ) y Q( x )
①
称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中 它的特点 P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数. 是：右边是已知函数， 左边的每项中仅含 y 或 y， 且均为 y 或 y 的一次项.
若 Q (x)
0，则方程成为
y P ( x ) y 0,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分
故所求特解为
y 2 3( x 1)2 1.
dy ky( y a ) 的 通 解 (其 中k 与 例 4 求方程 dx a 均是正的常数 ).
解
分离变量得
dy kdx , y( y a )
即
1 1 ( )dy kadx . ya y
两边积分，得
ya ln kax lnC . y
两边积分得
即通解为
1 C ln y ln ln C , ln y ln , x x C y , 其中 C 为任意常数. x
例 3 求方程 dx + xydy = y2dx + ydy 满足初始 条件 y(0) = 2 的特解.
解
将方程整理为
y( x 1)dy ( y 2 1)dx.
第七章 微 分 方 程
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量方程
二、一阶线性微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) = 0.
一、可分离变量方程
例如：形如
y = f (x) g (y)
的微分方程，称为可分离变量方程.
(1) 分离变量
将方程整理为
1 dy f ( x )dx g( y )
由通解公式得该方程的通解
y Cx e ,
将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1.
1 2 x
故所求特解为
yx e .
1 2 x
2.一阶线性非齐次方程的解法
将 y = C(x)y1 设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解， (其中 y1 是齐次方程 y + P (x) y = 0 的解)及其导数 y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始 条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
dy 1 2 x y 0, 2 dx x 1 2x , 这是一个线性齐次方程， 且 P ( x ) 2 x 1 2 1 2 P ( x )dx 2 dx ln x , 则 x x x
的形式，使方程各边都只含有一个变量.
(2) 两边积分 两边同时积分，得
左边 1 dy , g( y )
故方程通解为
右边 f ( x )dx .
1 dy f ( x )dx C . g( y )
我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示 被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常 数明确地写上.
例 1 求方程 y (sin x cos x ) 1 y 2 的通解.
解
分离变量，得
dy 1 y2
两边积分，得
(sinx C ,
这就是所求方程的通解．
y 例 2 求方程 y 的通解. x 解 分离变量，得 dy 1 dx , y x 1 ln | y | ln C1 , 两边积分，得 x 1 C1 | y | e , 化简得 x
经整理，得方程的通解为
a y , kax 1 Ce
也可写为
a y . kax 1 Ce
x y x y sin 的通解 . 例 5 求 方 程 y sin 2 2
解
x y x y x y x y y sin cos cos sin sin cos cos sin . 2 2 2 2 2 2 2 2
y P ( x ) y Q( x ).
则有
P( x)C ( x ) y1 Q( x), C ( x ) y1 C ( x ) y1
即
y e C1 1 , x
1 令 C 2 e , 则 y C 2 , C 2 0. x
C1
C2 另外，y = 0 也是方程的解，所以 y x 中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数．
这样，方程的通解是
C y . x
求解过程可简化为： 分离变量得
dy dx , y x
分离变量，得
y dx dy , 2 y 1 x 1
两边积分，有
1 1 2 ln( y 1) ln( x 1) ln C . 2 2
化简，得
y 2 1 C ( x 1)2 ,
即
y 2 C ( x 1)2 1
为所求之通解. 将初始条件 y(0) = 2 代入， 得 C = 3.
y Ce
P ( x ) dx
.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且
P(x) = sin x， 则
P ( x )dx sin xdx cos x ,
由通解公式即可得到方程的通解为
y Cecos x .
方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
y P ( x ) y 0
是可分离变量方程. 分离变量，得 dy P ( x )dx , y 两边积分，得
ln y P ( x )dx ln C ,
分离变量,得
积分后，得通解 即
x cos dx , y 2 2 sin 2
dy
y y x ln(csc cot ) 2 sin lnC , 2 2 2 x 2 sin y y csc cot C e 2 . 2 2
二、一阶线性微分方程
一阶微分方程的下列形式
y P ( x ) y Q( x )
①
称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中 它的特点 P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数. 是：右边是已知函数， 左边的每项中仅含 y 或 y， 且均为 y 或 y 的一次项.
若 Q (x)
0，则方程成为
y P ( x ) y 0,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分
故所求特解为
y 2 3( x 1)2 1.
dy ky( y a ) 的 通 解 (其 中k 与 例 4 求方程 dx a 均是正的常数 ).
解
分离变量得
dy kdx , y( y a )
即
1 1 ( )dy kadx . ya y
两边积分，得
ya ln kax lnC . y
两边积分得
即通解为
1 C ln y ln ln C , ln y ln , x x C y , 其中 C 为任意常数. x
例 3 求方程 dx + xydy = y2dx + ydy 满足初始 条件 y(0) = 2 的特解.
解
将方程整理为
y( x 1)dy ( y 2 1)dx.
第七章 微 分 方 程
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量方程
二、一阶线性微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) = 0.
一、可分离变量方程
例如：形如
y = f (x) g (y)
的微分方程，称为可分离变量方程.
(1) 分离变量
将方程整理为
1 dy f ( x )dx g( y )
由通解公式得该方程的通解
y Cx e ,
将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1.
1 2 x
故所求特解为
yx e .
1 2 x
2.一阶线性非齐次方程的解法
将 y = C(x)y1 设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解， (其中 y1 是齐次方程 y + P (x) y = 0 的解)及其导数 y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始 条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
dy 1 2 x y 0, 2 dx x 1 2x , 这是一个线性齐次方程， 且 P ( x ) 2 x 1 2 1 2 P ( x )dx 2 dx ln x , 则 x x x
的形式，使方程各边都只含有一个变量.
(2) 两边积分 两边同时积分，得
左边 1 dy , g( y )
故方程通解为
右边 f ( x )dx .
1 dy f ( x )dx C . g( y )
我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示 被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常 数明确地写上.
例 1 求方程 y (sin x cos x ) 1 y 2 的通解.
解
分离变量，得
dy 1 y2
两边积分，得
(sinx C ,
这就是所求方程的通解．
y 例 2 求方程 y 的通解. x 解 分离变量，得 dy 1 dx , y x 1 ln | y | ln C1 , 两边积分，得 x 1 C1 | y | e , 化简得 x
经整理，得方程的通解为
a y , kax 1 Ce
也可写为
a y . kax 1 Ce
x y x y sin 的通解 . 例 5 求 方 程 y sin 2 2
解
x y x y x y x y y sin cos cos sin sin cos cos sin . 2 2 2 2 2 2 2 2
y P ( x ) y Q( x ).
则有
P( x)C ( x ) y1 Q( x), C ( x ) y1 C ( x ) y1
即
y e C1 1 , x
1 令 C 2 e , 则 y C 2 , C 2 0. x
C1
C2 另外，y = 0 也是方程的解，所以 y x 中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数．
这样，方程的通解是
C y . x
求解过程可简化为： 分离变量得
dy dx , y x
分离变量，得
y dx dy , 2 y 1 x 1
两边积分，有
1 1 2 ln( y 1) ln( x 1) ln C . 2 2
化简，得
y 2 1 C ( x 1)2 ,
即
y 2 C ( x 1)2 1
为所求之通解. 将初始条件 y(0) = 2 代入， 得 C = 3.