高考数学第一轮.1006简易逻辑与充要条件(1)

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北师大版版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用命题及其关系充分条件与必要条件教学案理

一、知识梳理１．命题在数学中，可以判断真假用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!p从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：（１）若A⊆B，则p是q的充分条件；（２）若A⊇B，则p是q的必要条件；（３）若A＝B，则p是q的充要条件；（４）若A B，则p是q的充分不必要条件；（５）若A B，则p是q的必要不充分条件；（6）若A错误!B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．二、教材衍化１．命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是________，是________命题（填“真”或“假”）．解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．答案：若x≤y，则x２≤y２假２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的________条件．解析：２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知：“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．答案：必要不充分３．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac２＞bc２”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac２＝bc２，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac２＞bc２，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有２个．答案：２一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）命题的条件与结论不明确；（２）含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；（３）对充分必要条件判断错误．１．命题“若a２＋b２＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a２＋b２≠0．２．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．３．条件p：x>a，条件q：x≥２．（１）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；（２）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥２}，（１）因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥２；（２）因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a<２．答案：（１）a≥２（２）a<２四种命题的相互关系及真假判断（自主练透）１．命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１解析：选Ｄ．命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．１“若xy＝１，则x，y互为倒数”的逆命题；２“面积相等的两个三角形全等”的否命题；３“若m≤１，则x２—２x＋m＝0有实数解”的逆否命题；４“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是（）Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．４Ｄ．１２３解析：选Ｄ．１原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝１”，是真命题；２原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；３若m≤１，Δ＝４—４m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；４由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故１２３正确．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４解析：选Ｃ．因为P＝错误!＝错误!{k∈Z}，Q＝错误!，所以P Q，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为２．错误!（１）写一个命题的其他三种命题时需关注２点１对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；２若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．（２）判断命题真假的２种方法１直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；２间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0２0·郑州模拟）已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“错误!>错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0２0·延安模拟）已知p：x＝２，q：x—２＝错误!，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）若错误!>错误!，则错误!—错误!＝错误!>0．当0<a<b时，错误!>错误!成立；当a>0，b<0时，满足错误!>错误!，但0<a<b不成立．故“b>a>0”是“错误!>错误!”的充分不必要条件，故选Ａ．（２）当x—２＝错误!时，两边平方可得（x—２）２＝２—x，即（x—２）（x—１）＝0，解得x１＝２，x２＝１．当x＝１时，—１＝错误!，不成立，故舍去，则x＝２，所以p是q的充要条件，故选Ｃ．【答案】（１）A （２）C错误!判断充要条件的３种常用方法（１）定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．（２）等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（３）利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意３点（１）要分清条件与结论分别是什么．（２）要从充分性、必要性两个方面进行判断．（３）直接判断比较困难时，可举出反例说明．１．（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由x２—５x<0可得0<x<５．由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．２．（２0２0·安徽淮南二模）设λ∈R，则“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．当λ＝—３时，两条直线的方程分别为6x＋４y＋１＝0，３x＋２y—２＝0，此时两条直线平行；若直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行，则２λ×（１—λ）＝—6（１—λ），所以λ＝—３或λ＝１，经检验，两者均符合．综上，“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的充分不必要条件，故选Ａ．充分条件、必要条件的探求及应用（典例迁移）（１）设集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）Ａ．—１<x≤１Ｂ．x≤１Ｃ．x>—１Ｄ．—１<x<１（２）已知P＝{x|x２—8x—２0≤0}，非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】（１）因为集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，又因为“x∈A且x∉B”，所以—１<x<１；又当—１<x<１时，满足x∈A且x∉B，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“—１<x<１”．故选Ｄ．（２）由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【答案】（１）D （２）[0，３]【迁移探究】（变问法）本例（２）条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒P.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．（２）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．１．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Ａ．a≥9 Ｂ．a≤9Ｃ．a≥１0 Ｄ．a≤１0解析：选Ｃ．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”⇔“对任意的x∈[１，３]，x２≤a”⇔9≤a.则a≥１0是命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选Ｃ．２．若“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x２—x—6>0，解得x<—２或x>３．因为“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<—２或x>３}的真子集，即a≥３，故a的最小值为３．答案：３[基础题组练]１．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p的（）Ａ．逆命题Ｂ．否命题Ｃ．逆否命题Ｄ．否定解析：选Ｂ．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．２．“若x，y∈R，x２＋y２＝0，则x，y全为0”的逆否命题是（）Ａ．若x，y∈R，x，y全不为0，则x２＋y２≠0Ｂ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２＝0Ｃ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２≠0Ｄ．若x，y∈R，x，y全为0，则x２＋y２≠0３．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x ＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．１“若a≤b，则a＜b”的否命题；２“若a＝１，则ax２—x＋３≥0的解集为R”的逆否命题；３“周长相同的圆面积相等”的逆命题；４“若错误!x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为（）Ａ．２４Ｂ．１２３Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．对于１，逆命题为真，故否命题为真；对于２，原命题为真，故逆否命题为真；对于３，“面积相等的圆周长相同”为真；对于４，“若错误!x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选Ｂ．５．设a，b均为单位向量，则“|a—３b|＝|３a＋b|”是“a⊥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．因为|a—３b|＝|３a＋b|，所以（a—３b）２＝（３a＋b）２，所以a２—6a·b＋9b２＝9a２＋6a·b＋b２，又因为|a|＝|b|＝１，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选Ｃ．6．（２0２0·咸阳模拟）已知p：m＝—１，q：直线x—y＝0与直线x＋m２y＝0互相垂直，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由题意得直线x＋m２y＝0的斜率是—１，所以错误!＝—１，m＝±１．所以p是q的充分不必要条件．故选Ａ．7．（２0２0·郑州模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b—c）＝0”是“b＝c”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由b＝c，得b—c＝0，得a·（b—c）＝0；反之不成立．故“a·（b—c）＝0”是“b ＝c”的必要不充分条件．8．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．a＋b＞0 Ｂ．a—b＞0Ｃ．ab＞１Ｄ．错误!＞１解析：选Ａ．因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a—b＞0，ab ＞１，错误!＞１，故选Ａ．9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．答案：充要１0．在命题“若m>—n，则m２>n２”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝２，n＝３，则２>—３，但２２<３２，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝—３，n＝—２，则（—３）２>（—２）２，但—３<２，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为３．答案：３１１．（２0２0·齐鲁名校调研）给出下列说法：１“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；２“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．以上说法中正确的是________（填序号）．解析：对于１，“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝错误!”，当x＝0，y＝错误!时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝错误!，故逆命题为假命题，１正确；对于２，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，２正确；对于３，“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３错误；对于４，根据否命题的定义知４正确．答案：１２４[综合题组练]１．（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选Ｃ．根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·合肥模拟）若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是（）Ａ．a＝b＝１Ｂ．a，b至少有一个为１Ｃ．a＝b＝２Ｄ．a＞１且b＞１解析：选Ｂ．因为a＋b＞ab，所以（a—１）（b—１）＜１．因为a，b∈N+，所以（a—１）（b—１）∈N，所以（a—１）（b—１）＝0，所以a＝１或b＝１．故选Ｂ．３．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故实数a的取值范围是—３≤a≤0．答案：[—３，0]４．已知命题p：x２＋２x—３＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x２＋２x—３＞0，得x＜—３或x＞１，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥１．答案：[１，＋∞）。

高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31006简易逻辑与充要条件(1).

原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一、 g3.1006简易逻辑与充要条件（1）知识回顾1、2、逻辑联结词、简单 “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的构成复合3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（1）“非p ”形式复合（2）“p 且q ”形式复合（3）“p 或q ”形式复合4、常用正面词语的否定如下表：5、四种原否 (1)交换原(2)同时否定原 (3)交换原 6、四种一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否 ①、原 ②、原 ③、原7、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件，记为p ⇔q.8、反证法：从二、基本训练 1．（05天津卷）给出下列三个命题①若1->≥b a ,则bb aa +≥+11②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆O 2以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆O 1与圆O 2相切其中假 A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.（05湖北卷）对任意实数a ，b ，c ，给出下列①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.三、例题分析例1.下列说法：①2x+5>0；②02<；③如果x>2，那么π就是有理数；④如果x ≠0，那么x1就有意义.一定是(A) ①② (B) ①③④ (C) ②③④ (D) ①②③. 例2.设有两个（1）关于x 的不等式x 2+(a －1)x+a 2>0的解集是R ；（2）f(x)=x a a )12(2log ++是减函数.且（1）和（2）至少有一个为真例3. 已知()0012:;2311:22>≤-+-≤--m m x x q x p ，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.四、课堂练习1.（04年广州综合测试）设命题p:∣4x-3∣≤1；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。

高考数学第一轮总复习～006简易逻辑与充要条件(1)概要

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互g3.1006简易逻辑与充要条件(1一、知识回顾1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” ;p 且q(记作“p ∧q ” ;非p(记作“┑q ” 。

3、“或”、“且”、“非”的真值判断(1“非p ”形式复合命题的真假与P 的真假相反; (2“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假; (3“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真. 4、常用正面词语的否定如下表:5、四种命题的形式:原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ;否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。

(1交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;(2同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;(3交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题. 6、四种命题之间的相互关系:一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题⇔逆否命题①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真,它的否命题不一定为真。

③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。

7、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p ⇔q.8、反证法:从命题结论的反面出发(假设,引出(与已知、公理、定理…矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

二、基本训练1.(05天津卷给出下列三个命题①若1->≥b a ,则bb a a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2(n m n m ≤-③设,(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点,圆O 2以,(b a Q 为圆心且半径为 1.当1((2121=-+-y b x a 时,圆O 1与圆O 2相切其中假命题的个数为 ( B A .0 B .1 C .2 D .3 2.(05湖北卷对任意实数a ,b ,c ,给出下列命题: ①“b a =”是“bc ac =”充要条件; ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件;④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( B A .1 B .2 C .3 D .43.命题甲:x +y ≠3,命题乙:x ≠1或y ≠2.则甲是乙的条件. 三、例题分析例1.下列说法:①2x +5>0;②02<;③如果x >2,那么π就是有理数;④如果x ≠0,那么x1就有意义.一定是命题的说法是………………………………………………………………………((A ①② (B ①③④ (C ②③④ (D ①②③. 例2.设有两个命题:(1关于x 的不等式x 2+(a -1x +a 2>0的解集是R ;(2f (x =x a a 12(2log ++是减函数.且(1和(2至少有一个为真命题, 求实数a 的取值范围.例3. 已知(0012:;2311:22>≤-+-≤--m m x x q x p ,若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.四、课堂练习1.(04年广州综合测试设命题p:∣4x-3∣≤1;命题q:01(12(2≤+++-a a x a x 。

简易逻辑与充要条件

存在
不大于不小于
不都是成立至多有一个存在某 x,
至多有 n-1个至少有 n+1个
一个也没有
不成立
至少有两个
非 p或非 q
�� 且�� p q
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2. 四种命题及其关系 (1)一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 , 我们称这两个命题为互逆命题. 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 这样的两个命题称为互否命题. 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 这样的两个命题称为互为逆否命题. (2)一般地, 若 p, q” 设“ 则为原命题, 那么 “ q, p” 若则就叫做原命题的逆命题; 若非 p, “ 则非 q” 就叫做原命题的否命题 ; 若非 q, “ 则非 p” 就叫做原命题的逆否命题 .
1. 3
简易逻辑与充要条件
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1. 命题 (1)命题: 可以判断真假的语句叫命题, 命题有条件和结论两个组成部分, 它是用语言、符号或式子表达的, 能够判断真假的陈述句. (2)逻辑联结词: 或”“ “ 这些词都叫做逻辑联结词. “ 简单命题是且” 非” 复合命题是由简单命题与逻辑联结词构不含逻辑联结词的命题. 成的命题. 复合命题有三种形式: q, q, p. p或 p且非
2 2 2 2 2
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解析: 由题意得 fx) ( =1+c 2x+ 3si 2x=1+2si 2x + os n n 故选答案 D .
�� 6
, 所以-1≤f( ≤3, x)

高考数学一轮复习讲义简易逻辑及充要条件课件人教大纲版

（C ）
8
3.(2009·江西文,1)下列命题是真命题的为（ A ） A. 若 1 1 ,则x y xy B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 x y D.若x<y,则x2<y2 解析由 1 1 得x=y,A正确，B、C、D错误. xy
9
4.如果命题“ (p或q)”为假命题，则
（C ）
（1）面积相等的两个三角形是全等三角形.
（2）若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根.
（3）若x2+y2=0，则实数x、y全为零.
思维启迪
写成“若p，则q”的形式 →
写出逆命题、否命题、逆否命题 → 判断真假
12
解（1）逆命题：全等三角形的面积相等,真命题. 否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题. 逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题. (2)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题. 否命题：若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根，假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1, 真命题.
A.p,q
B.p,q
C.p,q
D.p，q
解析由题意知p或q为真命题，∴p、q中至少有
一个为真命题，故选C.
10
5.(2009·四川文,7)已知a,b,c,d为实数,且c>d,则
“a>b”是“a-c>b-d”的
（B ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵c>d,∴-c<-，x2+4x+4=(x+2)2≥0 恒成立，x2+4x+7=(x+2)2+3>0恒成立. 答案 C

高三数学一轮复习必备精品简易逻辑

第十一章简易逻辑1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力．1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．第1课时逻辑联结词和四种命题一、逻辑联结词1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的当p 与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．二、四种命题1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：、否命题：逆否命题： .2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同．3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．例1. 下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是（） A ．p :0＝∅；q :0∈∅B ．p ：在∆ABC 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ； :q y ＝sin x 在第一象限是增函数 C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为()0,∞-D ．p ：圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x ＝4解：由已知条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故选(C)．变式训练1：如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题.那么（） A ．命题p 和命题q 都是假命题 B ．命题p 和命题q 都是真命题 C ．命题p 和命题“非q ”真值不同 D ．命题q 和命题p 的真值不同解： D例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根； (2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形. 解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题. （2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等” 原命题是真命题，否命题是假命题. （3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. 原命题是假命题，否命题是真命题.例3. 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论．解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．⎪⎩⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧≥⇒≥≤>3312m m m m 或；(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧≤<⇒<<≤21312m m m ．综合，得m 的取值范围是{21≤<m m 或3≥m }．变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解：由函数y=a x在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|, 则y=⎩⎨⎧<≥-).2(2),222a x aa x a x （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1，即a>.21即q 真⇔a>.21若p 真q 假,则0<a ≤;21若p 假q 真，则a ≥1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是0<a ≤21或a ≥1. 例4. 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．证明：假设c b a ,,都不大于0，即,0≤a ,0≤b 0≤c ，则0≤++c b a 而623222222πππ+-++-++-=++x z z y y x c b a ＝3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x0)1()1()1(222≥-+-+-z y x ，03>-π．00≤++>++∴c b a c b a 这与相矛盾．因此c b a ,,中至少有一个大于0．变式训练4：已知下列三个方程：①x 2＋4ax －4a ＋3＝0，②x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，③x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围. 解：设已知的三个方程都没有实根．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<-+=∆08)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a解得123<<-a ．故所求a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－23．1．有关“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式．2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法． 3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．第2课时充要条件1．充分条件：如果p q ⇒则p 叫做q 的条件，q 叫做p 的条件． 2．必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的条件，q 叫做p 的条件． 3．充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的条件．例1．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由． 1． A ：R p p ∈≥,2，B ：方程+++p px x 203=有实根； 2． A ：)(,2Z k k ∈=+πβα，B ：)sin(βα+βαsin sin +=； 3．A ：132>-x ；B ：0612>-+x x ；4．A ：圆222r y x =+与直线++by ax 0=c 相切，B ：.)(2222r b a c +=分析：要判断A 是B 的什么条件，只要判断由A 能否推出B 和由B 能否推出A 即可．解：(1) 当2≥p ，取4=p ，则方程0742=++x x 无实根；若方程+2x 03=++p px 有实根，则由0>∆推出20)3(42-≤⇒≥+-p p p 或≥p 6，由此可推出2≥p ．所以A 是B 的必要非充分条件． (2)若πβαk 2=+则βαsin sin +αααπαsin sin )2sin(sin -=-+=k 02sin )sin(,0==+=πβαk 又所以βαβαsin sin )sin(+=+成立若βαβαsin sin )sin(+=+成立取απβ==,0，知πβαk 2=+不一定成立，故A 是B 的充分不必要条件． (3) 由21132><⇒>-x x x 或，由0612>-+x x 解得23>-<x x 或，所以A 推不出B ，但B 可以推出A ，故A 是B 的必要非充分条件．(4) 直线0=++c by ax 与圆22y x +2r =相切⇔圆(0，0)到直线的距离r d =，即22b a c +＝2c r ⇔＝222)(r b a +.所以A 是B 的充要条件.变式训练1：指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）在△ABC 中，p ：∠A=∠B ，q ：sinA=sinB （2）对于实数x 、y ，p ：x+y ≠8,q:x ≠2或y ≠6; （3）非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B（4）已知x 、y ∈R ，p ：（x-1）2+（y-2）2=0，q ：（x-1）（y-2）=0.解：（1）在△ABC 中，∠A=∠B ⇒sinA=sinB ，反之，若sinA=sinB ，因为A 与B 不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p 是q 的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q ⇒⌝p.但⌝p ⌝q,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p ⇒q 但q p,故p 是q 的充分不必要条件.例2. 已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：若方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1、x 2．则0＜x 1＜1、0＜x 2＜1，∵x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ∴0＜－m ＜2，0＜n ＜1 ∴－2＜m ＜0，0＜n ＜1 ∴p 是q 的必要条件．又若－2＜m ＜0，0＜n ＜1，不妨设m ＝－1，n ＝21．则方程为x 2－x ＋21＝0，∵△＝(－1)2－4×21＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p 是q 的非充分条件．综上所述，p 是q 的必要非充分条件．变式训练2：证明一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：若ac<0,则b 2-4ac>0,且ac<0,∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根，则∆=b 2-4ac>0,x 1x 2=ac<0,∴ac<0. 综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 例3. 已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.解：由题意知：命题：若┒p 是┑q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p : |1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q : x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)解集的子集又∵m >0，∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1＋m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9310121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞)变式训练3：已知集合{||1||3|8}M x x x =++->和集合2{|(8)80}P x x a x a =+--≤，求a 的一个取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要不充分条件. 解：}53|{>-<=x x x M 或，}0)8)((|{≤-+=x a x x P 由,}85|{时≤<=x x P M ,3,35≤≤≤-a a 此时有}85|{3≤<=≠>≤x x P M a 但所以}85|{3≤<=≤x x P M a 是是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.例4. “函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？解：函数的图象全在x 轴上方，若)(x f 是一次函数，则10)1(40542=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+a a a a 若函数是二次函数，则：[]⎪⎩⎪⎨⎧<-+--->-+0)54(12)1(4054222a a a a a 191<<⇒a 反之若19|<≤a ，由以上推导，函数的图象在x 轴上方，综上，充要条件是19|<≤a ．变式训练4：已知P ＝{x | |x －1| | >2}，S ＝{x | x2＋}(1)0a x a ++>，P x ∈且的充要条件是S x ∈，求实数a 的取值范围．分析：P x ∈的充要条件是S x ∈，即任取S x P x ∈⇒∈S P ⊆∴，反过来，任取P x S x ∈⇒∈PS P S =∴⊆∴据此可求得a 的值．解： P x ∈的充要条件是S x ∈.S P =∴∵P ＝{x || x －1|＞2}}＝),3()1,(+∞--∞S ＝{x | x2＋(a ＋1)x ＋a ＞0)}＝{x | (x ＋a)(x ＋1)＞0}1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念． 2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．简易逻辑章节测试题一、选择题1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈∈那么或""x MP ∈是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（2009·合肥模拟）已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A.a ≥1B.a ≤1C.a ≥-3D.a ≤-34.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是（）7.(2008·浙江理，3)已知a,b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.（2008·北京海淀模拟）若集合A={1，m 2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A ∩B={4}”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.若数列{a n }满足221nn a a +=p （p 为正常数，n ∈N *），则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件10.命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=2|1|--x 的定义域是(][)∞+--∞，，31 ，则（）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真二、填空题11．已知数列}{n a ，那么“对任意的n ∈N*，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的条件．12.设集合A={5,log 2（a+3）}，集合B={a ，b}，若A ∩B={2}，则A ∪B= .13.已知条件p ：|x+1|>2,条件q:5x-6>x 2，则非p 是非q 的条件. 14.不等式|x|<a 的一个充分条件为0<x<1,则a 的取值范围为 .15.已知下列四个命题： ①a 是正数；②b 是负数；③a+b 是负数；④ab 是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 三、解答题16．设命题p ：（4x-3）2≤1;命题q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．求关于x 的方程ax 2-(a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.18．设p ：实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a<0；q ：实数x 满足x 2-x-6≤0，或x 2+2x-8＞0，且q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求a 的取值范围.19．(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；（2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围.20．已知0>c ，设:p 函数x c y =在R 上单调递减，q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．简易逻辑章节测试题答案1．B2.A3.A4.C5.B6.B7. D8.A9.B 10. D11．充分而不必要条件 12.{1，2，5} 13.充分不必要 14.a ≥115.若①③则②（或若①②则④或若①③则④）16．解设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 易知A={x|21≤x ≤1},B={x|a ≤x ≤a+1}.由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤a a故所求实数a 的取值范围是［0，21］.17．解方法一若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a ≠0，则方程至少有一个正根等价于01<+a a 或⎪⎩⎪⎨⎧>++=+01012a a a a 或⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-++=∆>+>++0)1(4)1(0101222a a a a aa a a a -1<a<0或a>0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1. 方法二若a=0，则方程即为-x+1=0, ∴x=1满足条件；若a ≠0，∵Δ=(a 2+a+1)2-4a(a+1)=(a 2+a)2+2(a 2+a)+1-4a(a+1) =(a 2+a)2-2a(a+1)+1=(a 2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.故而当方程没有正根时，应有,01012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤++aa aa a 解得a ≤-1,∴至少有一正根时应满足a>-1且a ≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1.18．解设A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6≤0}∪{x|x 2+2x-8>0} ={x|-2≤x ≤3}∪{x|x<-4或x>2}={}.24|-≥-<x x x 或方法一 ∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件,∴p p q ⌝⌝⇒⌝且,q ⌝.则{}q x ⌝|{}.|p x ⌝而{}=⌝q x |R B={}{}p x x x ⌝-<≤-|,24|=R A={},0,3|<≥≤a a x a x x 或 ∴{}24|-<≤-x x {},0,3|<≥≤a a x a x x 或则⎩⎨⎧<-≤⎩⎨⎧<-≥.0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032-≤<≤a a 或方法二由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴a ≤-4或3a ≥-2,又∵a<0, ∴a ≤-4或-32≤a<0. 19．解（1）当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-,4p 故-4p≤-1时， “x<-4p ”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件. （2）不存在实数p 满足题设要求. 20．解：函数x c y =在R 上单调递减10<<⇔c 不等式||2|>-+c x x 的解集为⇔R 函数 |2|c x x y -+=，在R 上恒大于1⎩⎨⎧<≥-=-+∴c x c cx c x c x x 2,22,22|2| ∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R2112>⇔>⇔c c ，如果p 正确，且q 不正确则210≤<c ，如果p 不正确，且q 正确，则1≥c ，所以c 的取值范围为[)+∞⋃⎥⎦⎤⎝⎛,121,0．五年高考荟萃 2009年高考题一、选择题1.（2009浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C解析对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的 2.（2009浙江文）“0x >”是“0x ≠”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．解析对于“0x >”⇒“0x ≠”；反之不一定成立，因此“0x >”是“0x ≠”的充分而不必要条件． 3.（2009安徽卷文）“”是“且”的A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案 A解析易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.若a c b d +>+时，则可能有a d c b >>且，选A 。

逻辑用语与充分必要条件(精讲)题型备战2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考地区)(原卷版)

1.2 逻辑用语与充分、必要条件【题型解读】【知识储备】1．充分条件、必要条件与充要条件的概念2．集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：{|()}A x p x =，q ：{|()}B x q x =，则（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件；（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件；（3）若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件；（4）若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件；（5）若A B =，则p 是q 的充要条件；（6）若_A B ⊄且A B ⊇/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.3.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定【题型精讲】【题型一充分、必要条件的判定】必备技巧充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．例1 （2021·浙江）已知非零向量 a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗ ，则“ a ⃗⋅c ⃗=b ⃗⃗⋅c ⃗ ”是“ a ⃗=b ⃗⃗ ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件例2 （2022·天津·一模）设R x ∈，则“12x -<”是“111x >-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件例3 （2022·全国·模拟预测）“2m =-”是“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【题型精练】1. （2022·天津河东·一模）“01a ≤<且01b <<”是“log 0a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．（2022•福州模拟）“0a b <<”是“11a b a b -<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. （2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【题型二根据充分、必要条件求参数范围】必备技巧根据充分、必要条件求参数范围(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．例4 （2022·江西新余·高三期末）已知()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x -≤或3x ≥”，则实数a 的最大值为（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1例5 （山西省吕梁市交城县2022届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）“0x ∃>，使得21xa x x ++≤成立”的充要条件是（） A ．13a ≤ B ．13a ≥C ．12a ≤D ．12a ≥例6 （2022·全国·高三专题练习）已知集合{}{}2(1)()0,430A x x x a B x x x =--≤=-+≤，设:,:p x A q x B ∈∈.(1)若p 是q 的充要条件，求实数a 的值；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； (3)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【题型精练】1．（2022·浙江·高三专题练习）若2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-，则实数a 的取值范围为（） A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4]2. （2022·重庆·一模）已知0a >且1a ≠，则函数()x x a bf x b a=-为奇函数的一个充分不必要条件是（） A ．0b < B ．1b >- C ．1b =- D ．1b =±3. （2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2280A x x x =--<，非空集合{}23B x x m =-<<+，若x B∈是x A ∈成立的一个充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是___________.【题型三全称命题与特称命题的真假】必备技巧全称命题与特称命题的真假判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x 0，使p (x 0)成立例7 （2022·北京四中高三期中）下列命题中的假命题是（） A ．230,x x x ∃>> B ．,ln 0x R x ∀∈> C ．,sin 1x R x ∃∈>- D ．,20x x R ∀∈>例8 【多选】（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中假．命题为（） A ．a R ∃∈，()2ln 10a +<；B ．2a ∀>，22a a >；C ．,αβ∀∈R ，()sin sin sin αβαβ-=-；D ．a b >是22a b >的充要条件.例9 （2022·江西·二模）已知命题1p ：存在00x >，使得0044+≤x x ，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有tan2x =22tan 1tan xx-，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6+=x x ，其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【题型精练】1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）（1）[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max min f x g x >；（2）[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，只需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦；（3）[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立，只需()()min max f x g x >；（4）[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，只需()()min min f x g x >．2. （2022·陕西模拟）下列命题中，真命题的是（） A ．函数sin ||y x =的周期是2π B ．2,2x x R x ∀∈> C ．函数2()ln 2x f x x+=-是奇函数. D ．0a b +=的充要条件是1ab=-3. （2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（） A ．2R,30x x x ∃∈++= B ．2R,20x x x ∀∈++>C ．2R,x x x ∀∈>D ．已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣，则对于任意的*,n m N ∈，都有A B =∅【题型四含有量词的命题的否定】必备技巧对全称命题、特称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定．例10 （山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解例11 （重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测数学试题）命题“2x ∀≥，24x ≥”的否定为（）A ．02x ∃≥，24x < B ．2x ∀≥，24x < C ．02x ∃<，24x < D ．2x ∀<，24x <例12 （2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≥-”的否定是（） A ．()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x <- B ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x ≥- C ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <- D ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≥-【题型精练】1．【多选】（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）下列说法正确的是（） A ．命题：(]1,1x ∀∈-，2230x x +-<的否定是：(]1,1x ∃∈-，2230x x +-≥； B ．26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充要条件； C ．1a >是11a<的充分非必要条件； D ．[]2,2a ∈-是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的充分非必要条件2. （湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考（开学考试）数学试题）下列有关命题的说法正确的是( )A ．若+=-a b a b ，则a b ⊥B ．“sin x =的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若命题p ：0x ∃∈R ，0e 1<x ，则命题p ⌝：x ∀∈R ，e 1x ≥D ．α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，n β，那么αβ⊥3. （2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解【题型五根据命题的真假求参】必备技巧根据命题的真假求参(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．例13 （2022·全国·高三专题练习）已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞- B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞例14 （河南省信阳市罗山县2021-2022学年高三上学期第一次调研考试数学（文）试题）设命题p ：x ∀∈⎣，x 1a x +>．若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞⎣B ．[2)+∞，C ．(-∞⎦D ．(-]2∞，例15 （2021·山东临沂模拟）若()0,x ∀∈+∞，241x m x+≥，则实数m 的取值范围为___________.【题型精练】1．（2022·湖北·江夏一中高三阶段练习）已知()24f x x mx =-+，()2log g x x =，若“[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________.2. （2022·全国·高三专题练习）若命题p ：“x R ∀∈，()2110x k x +-+≥”是真命题，则k 的取值范围是（） A ．(][),13,-∞-+∞ B ．()3,1- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．[]1,3-3. （2022·广东·石门中学模拟预测）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为_____.。

高考第一轮复习集合与简易逻辑PPT

2. 高考对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面：一是考查对四种命题之间关系的理解；二是考查对充分、必要条件的推理与判断；三是考查常用逻辑联结词及全称命题、特称命题的理解、掌握情况.命题时一般以基本概念为考查对象，综合三角、不等式、函数、数列、立体几何、解析几何中的相关知识进行考查，题型以选择、填空题为主打题型，预计2011年这里出解答题的可能性不大.
, ,,
b ,1},也可以表示为 a
2. 现有三个实数的集合，既可以表示为 {a,
{a2,a+b,0},则a2011 -b2011=. 解析：由已知得
合中元素的互异性，a=1应舍去，因而a=-1，a2011-b2011=(-1)2011=-1. 答案：-1
b 0,且a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集 a
解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 q 舍去，所以 q -
又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应
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学后反思本题考查集合元素的基本特征——确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少.
举一反三
1. (教材改编题)设A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9}，求实数a的值. 解析: ∵A∩B={9},∴9∈A. (1)若2a-1=9,则a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},A∩B={9,-4},与已知矛
(2)任何集合都是它本身的子集，即 A A.
B C,则A C.
（A是非空集合）.
C;若A B
(4)n个元素组成的集合的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有 2n-2个. 3. 集合的基本运算

高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：1.3简易逻辑及充要条件

§1.3简易逻辑及充要条件本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.逻辑联结词⑴可以判断真假的语句叫命题，命题由条件和结论两部分构成.(2)逻辑联结词有或、且、非,不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题；复合命题的三种构成形式是“/W，“P且Q”，“非P”.2.四种命题及关系(1)命题的四种形式原命题：若p则g.逆命题：若彳贝Up .否命题：若非P则非g.逆否命题:若非？则非0⑵四种命题的关系原命题与它的逆否命题一定同真或同假；同样，它的逆命题与否命题也一定同真或同假.也就是说：互为逆否的两个命题是等效的(等价的).3.充要条件(1)定义：对于“若P则彳”形式的命题，如果已知p今g,那么p是q的充分条件,。

是p的必要条件.如果既有p=q,又有q今P、则记作卩台山就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.(2)若p=q,但q=/> p,则p是？的充分但不必要条件；若q=p、但q,则p是g的必要但不充分条件・思考探究逻辑联结词“或”与日常生活用语中的“或”意义相同吗?提示：逻辑联结词中的“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思, 如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如氐＞6或cv9・2.“否命题”是“命题的否定”吗？提示：不是，“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念, 如果原命题是“若P，则彳”，那么这个原命题的否定是“若P, 则非彳”，即只否定结论,而原命题的否命题是“若T，则，即既否定命题的条件，又否定命题的结论.课前热身1. （教材改编）设命题0曰°｝，命题牛以 R,在p 或q, p 且山非p 中真命题的个数为（ A. 0D ・3答案：B2. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）+兀一 1>0的解集为）A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B3.（2012•高考重庆卷）已知/匕）是定义在R上的偶函数，且以2 为周期，则芳仗）为［0,1］上的增函数”是顒兀）为［3,4］上的减函数”的（）A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.充要条件解析：选D.①・・了3）在R上是偶函数，/./（x） W图象关于y轴对称••••/（兀）为［0,1］上的增函数，・・・沧）为［―1期上的减函数.又・・・/3）的周期为2,・・・沧）为区间［一1+4,0+4］ = ［3,4］上的减函数. 前・・/3）为［3,4］上的减函数，且/⑴的周期为2, ・・・沧）为［一1期上的减函数.又・・了3）在R上是偶函数，•丁3）为［0,1］上的增函数.由①②知“/（兀）为［0,1］上的增函数”是为［3,4］上的减函数”的充要条件.4.命题p：若Fv2,则—\[2<x<\[2f p的否命题是答案：若戏鼻？，则xW—^/^或兀$ -^25.设A、B为两个命题，若B是非A的必要不充分条件，则4是非B的_______ 条件.答案：必要不充分考点1复合命题的构成及真假用逻辑联结词“或”、“且”、“非”把两个简单命题联结起来，就是复合命题，其真假依据这两个简单命题及逻辑联结词来判定.已知zwGR,命题p：对任意xE[0,8],不等式logi(x+l)^FH2—3m恒成立；命题牛对任意x^R,不等式3It(1)若p为真命题，求加的取值范围;(2)若p且？为假，p或？为真，求加的取值范围.【思路分析】根据恒成立数学含义，找清两个简单命题p, 9最简表达式，然后再根据对简单命题不同的复合要求求加的取值范围.【解】(l)^/(x) = logl(x + l),3则/（兀）在（一1, +8）上为减函数.Vxe[0,8], •••当x=8 时/(*)聞=/(8)=—2・由不等式logi（x+l）^/n2—3/n在兀丘［0,8］上恒成立，等价于亍—2$加2—3加，解得［1，2］・(2)不等式11+sin 2x—cos 2rlW2/wlcos艮卩I2sin x (sin x + cos 兀)IW 卫m lsinx +cos x I, 所以AW Voisinxb即命题牛\[2.若p且？假，卩或g真，则p与？有且只有一个为真;若P为真，？为假，那么1W/W W2若P为假，q为真,那么加vl或加＞2则m>2.综上所述，l^m＜\[2或加＞2・即加的取值范围是[1, V2)U(2, +8).【思维总结】本题考查复合命题真假的判断及应用问题.关键是准确判断两个简单命题P与g的真假和掌握好复合命题的真值表.考点2四种命题的关系及真假四种命题是指原命题、逆命题、否命题、逆否命题.主要考查它们的概念和改写等内容.其等价关系有：两个互为逆否的命题为等价命题（同真同假）.结合本节教材例2解答.写出命题“若a>2,贝Jx2—x+a>0对任意rWR恒成立”的逆命题与逆否命题，并判断真假.【思路分析】本命题作为原命题，找清条件和结论，依照定义改写.【解】原命题的逆命题是“若以一兀+。

高三数学一轮复习简易逻辑与充要条件

2009届高三一轮复习简易逻辑与充要条件高考要求：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．考点回顾：1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；2．由真值表判断复合命题的真假；3．四种命题间的关系．4．充要条件的概念及关系的判定；5．充要条件关系的证明．考点解析：考点1、简易逻辑EG1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“23≤”解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平分，∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题．（2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=，∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．B1-1．分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．解：否命题为：若220x y +≠，则,x y 不全为零逆命题：若,x y 全为零，则220x y +=逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠注：写四种命题时应先分清题设和结论．B1-2．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解：方法一：原命题是真命题，∵0m >，∴140m ∆=+>，因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题；又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根 ∴140m ∆=+<即104m <-≤，故原命题的逆否命题是真命题． B1-3．已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题p 可以得到：2400m m ⎧∆=->⎨>⎩ ∴2m > 由命题q 可以得到：2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<<∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，262,6m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩ 当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．B1-4．已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根．解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ，不妨假设12x x <，由方程的定义可知：12()0,()0f x f x ==即12()()f x f x =①由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾因此假设不能成立故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．考点2、充要条件EG2．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：sin sin a b A B =∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，所以p 是q 的充分不必要条件．（3）取120,30A B ==，p 不能推导出q ；取30,120A B ==，q 不能推导出p所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠⊂，所以，p 是q 的充分非必要条件．B2-1．设,x y R ∈，则222x y +<是||||x y + ）、是||||2x y +<的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）B2-2．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．B2-3．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12m -≤-即2m ≥，故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件．（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的，故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．方法归纳：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式；4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．5．判断充要关系的关键是分清条件和结论；6．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假；7．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．8．说明不充分或不必要时，常构造反例．9．充要条件的概念及关系的判定；10．充要条件关系的证明．实战训练1．函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是 [ A ]A ．0≥bB ．0≤bC ．0<bD ．0>b2. “0ab <”是“方程22ax by c +=表示双曲线”的（）BA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．条件p:|x －2|>2－x ；条件q:x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 . 2<a4．已知命题:①若a b >,则c a c b -<-;②若110a b>>,则a b <;③当3x <-时, 21023x x >+-;④当42log 4x =时,122x =或,其中逆命题、否命题、逆否命题都是真命题的是（）AA.①④B.①②④C.②③D.①③5．设全集(){},,U x y x R y R =∈∈,集合(){},20A x y x y m =-+>,集合(){},0B x y x y n =+-≤,那么B A P ⋂∉)3,2(的充要条件是（）CA.15m n >-≥或B. 15m n >-≥且C. 15m n ≤-<或D. 15m n ≤-<且 6．"232cos -=α"是"Z k k ∈+=,125ππα"的A A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件7．设a ，b 是两个实数，"a+b ＞2"是"a ＞1且b ＞1"的BA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件8．条件"0<x<5"是条件"|x-2|<3"的AA.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件9．命题甲：方程x 2+mx+1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围.[分析]使命题甲成立的m 的集合为A ，使命题乙成立的m 的集合为B ，有且只有一个命题成立是求A∩C R B 与C R A∩B 的并集.[解答]使命题甲成立的条件是：m>2. ∴集合A ＝{m|m>2}.使命题乙成立的条件是：△2＝16(m －2)2－16<0，∴1＜m ＜3.∴集合B ＝{m|1<m<3}.若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：（1）m A∩C R B ，（2）m C R A∩B.若为（1），则有：A∩C R B ＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；若为（2），则有：B∩C R A ＝{m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2}，综合（1）、（2）可知所求m 的取值范围是{m|1<m≤2,或m≥3}.10．已知命题p ：方程]1,1[0222-=-+在ax x a 上有解；命题q ：只有一个实数x满足不等式0222≤++a ax x ，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围. 解：由,0)1)(2(,0222=-+=-+ax ax ax x a 得显然ax a x a 12,0=-=∴≠或 1||,1|1|1|2|],1,1[≥∴≤≤-∈a a a x 或故 “只有一个实数满足0222≤++a ax x ”. 即抛物线a ax x y 222++=与x 轴只有一个交点，,20,0842或=∴=-=∆∴a a a∴命题“p 或q 为真命题”时“01||=≥a a 或” ∵命题“P 或q ”为假命题∴a 的取值范围为}1001|{<<<<-a a a 或。

高考数学复习知识点：充要条件

高考数学复习知识点：充要条件充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件，是高考数学的重要知识点，一起来复习下吧：（1）先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。

这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。

但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。

它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。

这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

（2）再看“充要条件”若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。

简称为p是q的充要条件。

记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。

“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。

也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立；同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。

（3）定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。

如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。

显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。

“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。

“仅当”表示“必要”。

（4）一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，*质定理中的“结论”都可作为必要条件。

g3.1006简易逻辑与充要条件(1)

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互g3.1006简易逻辑与充要条件（1）一、知识回顾1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（1）“非p ”形式复合命题的真假与P 的真假相反；（2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、常用正面词语的否定如下表：5、四种命题的形式：原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 6、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

7、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件，记为p ⇔q. 8、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

二、基本训练 1．（05天津卷）给出下列三个命题①若1->≥b a ,则bb aa +≥+11②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆O 2以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆O 1与圆O 2相切其中假命题的个数为（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.（05湖北卷）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.命题甲：x+y ≠3，命题乙：x ≠1或y ≠2.则甲是乙的条件. 三、例题分析例1.下列说法：①2x+5>0；②02<；③如果x>2，那么π就是有理数；④如果x ≠0，那么x1就有意义.一定是命题的说法是………………………………………………………………………( ) (A) ①② (B) ①③④ (C) ②③④ (D) ①②③. 例2.设有两个命题：（1）关于x 的不等式x 2+(a －1)x+a 2>0的解集是R ；（2）f(x)=x a a )12(2log ++是减函数.且（1）和（2）至少有一个为真命题, 求实数a 的取值范围.例3. 已知()0012:;2311:22>≤-+-≤--m m x x q x p ，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.四、课堂练习1.（04年广州综合测试）设命题p:∣4x-3∣≤1；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。

高考数学一轮复习常用逻辑用语讲义

高考数学一轮复习专题1.2常用逻辑用语1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用,凸显逻辑推理的核心素养；2.以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念2.全称量词与存在量词1.全称量词与全称命题1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.核心考点(3)全称命题“对M 中任意一个兀，有成立”可用符号简记为V x G M ,p (x ),读作“对任意兀属于M ,有成立”. 2. 存在量词与特称命题(1) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表示.(2) 含有存在量词的命题，叫做特称命题.(3) 特称命题“存在M 中的一个％，使“(％)成立”可用符号简记为3x 0G M ,p (x 0)，读作“存在M 中的元素％使“(％)成立”.3. 全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. (2)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定V x G M ,p (x )3x G M ,「p (x )003x G M ,p (x )00V x G M >p (x )考点充分条件、必要条件的判断【方法储备】充要关系的几种判断方法：(1) 定义法：①若paq,q 令p,则p 是q 的充分而不必要条件； ② 若p 令q,qap ，则p 是q 的必要而不充分条件； ③ 若p aq,qap ，则p 是q 的充要条件；④ 若p 令q,q 令卩，则p 是q 的既不充分也不必要条件. (2) 等价转化法：即利用paq 与-qa-p ；qnp 与-pa —q ；poq 与-q^-p 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价转化法.（3）集合关系法：从集合的观点理解，根据使P ，q 成立的对象的集合之间的包含关系.【精研题型】1.已知a W R，则“a>l”是“二V I”的aA•充分非必要条件B•必要非充分条件C•充要条件D•既非充分又非必要条件2.（多选）下列命题中为真命题的是A.“a-b=O”的充要条件是“：=1”B.“a>b，堤“-V.”的既不充分也不必要条件a4C.命题“：x Z R,--<o”的否定是o”D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件3•某班从A，B，C，D四位同学中选拔一人参加校艺术节展演，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教师预测如下：甲说：“C或D被选中，”乙说：“B被选中，”丙说：“A,D均未被选中，”丁说：“C被选中.”若这四位教师中只有两位说的话是对的，则被选中的是A.ABB C.CD.D【思维升华】5.设a,b w R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的A•充分不必要条件B.必要不充分条件C•充要条件D.既不充分又不必要条件考点充分条件、必要条件的应用【方法储备】1.求参数的取值范围：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，由集合之间的关系列不等式（或不等式组）求解；（2）要注意区．间．端．点．值．的．检．验．，不等式是否能够取等号决定端点值得取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.2.探求某结论成立的充分、必要条件：（1）准确化简条件，即求出每个条件对应的充要条件；（2）问题的形式：①“P是q的……”，②“P的……是q”，②要转化为①，再求解；（3）准确判断两个条件之间的关系：①转化为两个命题关系的判断；②借助两个集合之间的关系来判断.【精研题型】6.设p：2X2-3X+1S0,q：x2-（2a+l）x+a（a+1）<0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A』：；寸B.■C.…-D.i••--亍—1”为真命题的一个充分不必要条件是A.儿•iiB.丨C.八•■-D../-'［思维升华】8.“关于的方程门“―工忻（心山有解”的一个必要不充分条件是D J>.'■■l-l考占全称命题与特称命题A.wUC.>f{-丨一LI9•已知函数T］门［「-孙引的定义域是」，不等式JUSm的解集是再(1)若Vi0，求实数辽的取值范围；(2)若f—I们―"，且尸是9的充分不必要条件，求“的取值范围.【特别提醒】对于不等式问题：小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围【方法储备】1•全称(或特称)命题的否定：①将全称(或存在)量词改为存在(或全称)量词;②结论否定；即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题2.全称命题与特称命题真假的判断：【精研题型】10•命题“m x W R,”的否定是xA.H x^R,T'「B.B x e R,T1■-?XXC.H x^R,T'〉D.B x e R,•、:'；xx11.(多选)若“H x^M,lxl>x”为真命题，“m x^M,x>3”为假命题，则集合M可以是A.{xlx V-5}B.{xl-3V x V-1}C.{xlx>3}D.{x|0<x<3}12•公元1637年前后，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幕分成两个四次幕之和，或者一般地将一个高于二次的幕分成两个同次幕之和，这是不可能的”.被提出后，经历许多著名数学家猜想论证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁•怀尔斯彻底证明•其中“一般地，将一个高于二次的幕分成两个同次幕之和，这是不可能的”，这句话用数学语言可以表示为A.V x,y,z,n,m,p^Z且n>2,x n+y m^z p恒成立B.V x,y,z,n,p^Z且n>2,x n+y n^z p恒成立C.V x,y,z,n^Z且n>2,x n+y n^z n恒成立C.■-'1+cos2JC'J—2—二沁都是真D.V x,y,z,n^Z且n>2,x n+y n^z n恒成立［思维升华】13.(多选)下列四个关于三角函数的全称量词命题与存在量词命题，其中真命题A..「二N,sin-COSA-?B.二什,sin5—sin iD.寸工丘片，—,sin x>cos xk.24丿14.在①m x^R,x2+2x+2-a=0,②存在集合A={xl2V x V4}，非空集合B={xla V xV3a}，使得A A B=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a．问题：求解实数a,使得命题p：V x^{x|1<x<2},x2-a>0,命题q：命题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．考'点全称(存在)量词命题的综合应用四方法储备】含有量词的命题求参数的问题是恒成立或有解问题：(1)全称量词命题V x G M,a>f(x)(或a<f(x))为真：不等式恒成立问题，通常转化为求f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)(或a<f(x));maxmin(2)存在量词命题3x G M,>f(x)(或a<f(x))为真：不等式能成立问题，通常转化为求f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)(或a<f(x))•minmax【精研题型】15.若"五E专•2，使得柠成立”是假命题，则实数人的取值范围是-16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+/(-%)=2,且在［0,+Q上单调递减，若对任意的x^R,f(x2-a)+f(x)<2恒成立，则实数a的取值范围为A.、•"B.(①，-1)C."-、D.(1，+44417.若mx0W R，■‘I'为假，则实数a的取值范围为•【思维升华】18.已知函数fx)=x，g(x)=-x2+2x+b，若对任意的X］三［1，2］，总存在x2三［1，9］,使得g(x1)=f(x2)，则b的取值范围是•19.(多选)已知p:「■--I，q:--，则下列说法正确的是A.p的否定是：■■1■■-■'-I-B.q的否定是：1..■-ii,.C.p为真命题时，::1D.q为真命题时，；，V"。

逻辑运算充要条件

逻辑运算与充要条件● 知点考点答点（1）“非”——逻辑从这里开始“非”运算比“且”运算、“或”运算更基础，因为后者涉及两个运算对象（命题p 和q ），而前者只涉及一个运算对象（命题p ）。

任何一个数学问题，它都是“p ”与“非p ”的“并”，且“p ”与“非p ”的“交”为“空”。

因此，“p ”与“非p ”构成一真一假的对立统一。

于是，论证“p ”为真，可以转证“非p ”为假。

【例1】 A 、B 是两个集合，试判断命题P ：A （A ∪B ）的真假。

【分析】一般的定义或定理都是“正面”的，这里的命题P 是个“反面”形式。

如果将其否定，则成“正面“形式。

【解答】因为P ：A （A ∪B ）则有非P ：A ⊆（A ∪B ）易知非P 为真，从而知P 为假。

（答案）【说明】逻辑联词中的“非”与日常语言中的非有点不同，后者不管“非的对立面”，而前者等价于将“对立面”肯定。

（2）“且”与“并”——基本逻辑运算“p 且q ”的真值表“三真合一”：p 真、q 真，则“p 且q ”真，其他情况为假。

“p 或q ”的真值表“三假合一”：p 假、q 假，则“p 或q ”假，其他情况为真。

【例2】 a 、b 为实数，已知两个真命题P ：a ∉{x ∈Z |022<--x x }；q ：b ∉{ x ∈R |022=-+x x }。

当命题“非p 或非q ”为假时，试用不等式组表示不等式：.0121)1(2<-+++ax bx bx a【分析】问题在于求出a 、b 的值。

可利用“或”“且”“非”的逻辑运算而得。

【解答】真命题p 化简为P ：a ∉{0，1}真命题q 化简为q ：b ∉{－2，1}由此得假命题非p ：a ∈{0，1}，非q ：b ∈{－2，1}。

又“非p 或非q ”为假命题，所以必须且只须非p 且非q 为假命题，于是有a =0或1且b =－2或1。

所以不等式0121)1(2<-+++ax bx bx a 有以下四种情况（1）a =0，b = －2时，012422>+-x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+<-⎪⎩⎪⎨⎧>+>-01204201204222x x ••x x 或（2）a =0，b =1时，01212<-+x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-<+⎪⎩⎪⎨⎧<->+010*********x x ••x x 或（下略）【说明】本题为或、且、非的混合运算：“非．p 或非．．q ”为假，即非．p 假且非．．q 假。