正多边形和圆、弧长和扇形的面积典型练习(1)

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《弧长和扇形区域面积》练习题

《弧长和扇形区域面积》练习题弧长和扇形区域面积练题
1. 弧长的计算方法是什么？
答：弧长的计算方法是根据圆的半径和弧度来确定的。

弧长可以通过公式S = r * θ 计算，其中 S 是弧长，r 是半径，θ 是弧度。

2. 如果一个圆的半径为 5cm，对应的弧度为π/3，那么它的弧长是多少？
答：根据公式S = r * θ，代入 r = 5cm 和θ = π/3，计算得出弧长S = 5 * (π/3) = (5π)/3。

3. 扇形区域面积的计算方法是什么？
答：扇形区域面积的计算方法是根据圆的半径和对应的弧度来确定的。

扇形区域面积可以通过公式A = (1/2) * r^2 * θ 计算，其中A 是扇形区域面积，r 是半径，θ 是弧度。

4. 如果一个圆的半径为 8cm，对应的弧度为π/4，那么它的扇形区域面积是多少？
答：根据公式A = (1/2) * r^2 * θ，代入 r = 8cm 和θ = π/4，计算得出扇形区域面积A = (1/2) * 8^2 * (π/4) = 16π。

5. 如果一个圆的半径为 10cm，对应的弧度为2π，那么它的扇形区域面积是多少？
答：根据公式A = (1/2) * r^2 * θ，代入 r = 10cm 和θ = 2π，计算得出扇形区域面积A = (1/2) * 10^2 * 2π = 100π。

以上是关于弧长和扇形区域面积的练习题及答案。

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九下数学周周练(一)：弧长、扇形面积、正多边形与圆

九下数学周周练（一）弧长、扇形面积、正多边形与圆一、弧长1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为（）A.6cmB.12cmC.23 cmD.6 cm2.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A 到点B ，甲虫沿着¼1ADA 、¼12A EA 、¼23A FA 、¼3A GB 的路线爬行，乙虫沿着路线¼ACB 爬行，则下列结论正确的是（）A.甲先到B 点B.乙先到B 点C.甲乙同时到达D.无法确定3.如果一条弧长等于l ,它所在圆的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（） A.1n B.180R π C.180l R π D.13604.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若⊙ABC =120°,OC =3,则»BC的长为（）A.πB.2πC.3πD.5π第4题图第5题图5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚（如图），那么B点从开始到结束时所走过的路径长度是__.二、扇形面积1.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A.πB.1C.2D.232.如图所示，一张半径为1的圆心纸片在边长为a(a≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.a2-πB.(4-π)a2C.πD.4-π3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是»AB的三等分点.如果⊙O的半径为1，P是线段AB上的任意一点，则阴影部分的面积为_____.4.如图所示，在⊙ABC中，AB=AC，⊙A=120°,BC=23，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是______（保留π).5.如图，⊙O的半径为R，直径AB⊙CD，以B为圆心，以BC为半径作弧»CD，求图中阴影部分的面积.三、正多边形与圆1.下列说法正确的是（）A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形D.各角相等的圆内接多边形是正多边形2.正八边形的每个内角为（）A.120°B.135°C.140°D.144°3.如图所示，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则⊙APB等于（）A.36°B.60°C.72°D.108°4.下列图形中，有且只有两条对称轴的中心对称图形是（）A.正三角形B.正方形C.圆D.菱形5.如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则⊙α等于______.6.如图,正五边形ABCDE 的对角线AC 和BE相交于点F .求证:AC =AB +BF .【参考答案】弧长参考答案：1.A2.C3.B4.B5.43π扇形面积参考答案：1.C2. D3.3π 33π 5.解：S 阴=S 半圆OCAD +S ⊙BCD -S 扇形BCED =22221122R R R R ππ+-=正多边形与圆参考答案：1.C2.B3.C4.D5.72°6.证明:AC=AF+FC即可以证明AF+FC=AB+BF,通过计算可得到⊙ABF和⊙BCF是等腰三角形,可以得到AF=BF,FC=CB,而CB=AB,即可得到结论.。

正多边形和圆、弧长与扇形面积

正多边形和圆、弧长和扇形面积一、选择题（题型注释）1．正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）．A ．12C ．14 D ．342．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（）A ．10B ．8C ．6D ．53．如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（）A ．32cmB ．3cmC ．332cm D ．1cm 4．有一个边长为50cm 的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（）A ．50cmB ．．．5．若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°6．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（）A ．2，3πB ．πC 23πD ．43π7．已知圆的半径是）（A ）（B ）（C ）（D ）8．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积为（）A ．60π2cmB ．45π2cmC ．30π2cmD ．15π2cm9．如图，扇形OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为（）A ．12 B ．2B ．C ．10．（成都）如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm ，底面周长是6πcm 的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（）A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．18πcm 2D ．24πcm 211．某同学用一扇形纸片为玩偶制作了一个圆锥形帽子（不考虑接缝），已知扇形的半径为13cm ，扇形的弧长为10π cm ，那么这个圆锥形帽子的高是（） A ．5cm B ．12cm C ．13cm D ．14cm12．圆锥底面圆的半径为3cm ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（） A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm13．如图，在正方形ABCD 中，对角线BD BD 绕点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D ′处，点D 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A ．2π﹣1 B ．2π﹣12 C ．4π﹣12D ．π﹣214．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB 所对弧的长度为（）A ．6πB ．5πC ．3πD ．2π 15．（4分）如图，从一块半径是1m 的圆形铁皮（⊙O ）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A ，B ，C 在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A m C m D ．1m 16．（4分）如图，用一个半径为30cm ，面积为300πcm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r 为（）A ．5cmB ．10cmC ．20cmD ．5πcm17．如图，用一张半径为24cm 的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm ，那么这张扇形纸板的面积是（）A ．240πcm 2B ．480πcm 2C ．1200πcm 2D ．2400πcm 218．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．52π-4 B ．10π-4 C ．10π-8 D ．52π-8 19．如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB ，则图中阴影部分的面积是（）A ．π﹣2B ．π﹣4C ．4π﹣2D ．4π﹣420．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC ）为120°，骨柄AB 的长为cm 30，扇面的宽度BD 的长为cm 20，那么这把折扇的扇面面积为（） A ．23400cm πB ．23500cm πC ．23800cm πD ．2300cm π第18题第19题第20题二、填空题（题型注释）21．如果圆的内接正六边形的边长为6cm ，则其外接圆的半径为___________．22．圆内接正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为cm 2．232425．一个正多边形的每个外角都等于30°,那么这个正多边形的中心角为_____________。

初三数学上册期末考点练习：正多边形和圆及弧长和扇形面积

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！正多边形和圆及扇形面积知识点一正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：➢正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．➢正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．➢正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．➢正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：1）量角器（作法操作复杂，但作图较准确）2）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）3）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）【典型例题】典例1如图，圆O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠=__________度.OCB【答案】18【分析】根据∠OCB=∠BCD-∠OCD，求出∠BCD，∠OCD即可；【详解】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，∴OA⊥AE，OC⊥CD，∴∠OAE=∠OCD=90°，又∵∠BCD=108°，∴∠OCB=108°-90°=18°故答案为18．【名师点睛】本题考查正多边形与圆、切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．典例2正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正三角形的面积为_________．【答案】27√3【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，OD、BD、BC的值，然后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：连接AO并延长交BC与点D连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，BC，∴∠OBD=30°，BD=CD=12=3，∴OD=12OB∴AD=9，BD=√62−32=3√3，∴BC=6√3，×6√3×9=27√3.∴这个正三角形的面积为：12故答案为：27√3．【名师点睛】此题主要考查了正多边形和圆，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD 是解题关键．典例3 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则△ADE 的周长是________ .【答案】6+2√3【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长．【详解】连接OE ，∵多边形ABCDEF 是正多边形， ∴∠DOE=360°6=60°，∴∠DAE=12∠DOE=12×60°=30°，∠AED=90°， ∵⊙O 的半径为2， ∴AD=2OD=4，∴DE=12AD=12×4=2，AE=√3DE=2√3， ∴△ADE 的周长为4+2+2√3=6+2√3，故答案为：6+2√3．【名师点睛】考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是确定三角形的三个角的度数，然后确定其三边的长，难度不大．典例4如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为______cm．【答案】6√3.【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍，构造一个由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，再根据锐角三角函数的知识求解即可．【详解】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，AC与BO相交于点M，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵OA=AB=6cm，∠AOB=60°，∴∠OAC=30°，cos∠OAC=AM，AO=3√3（cm），∴AM=6×√32∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，AC，∴AM=MC=12∴AC=2AM=6√3（cm）．故答案为6√3．【名师点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边和边心距组成的直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.典例5如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为___．【答案】84°．【分析】据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．＝108°，【详解】正五边形的内角是∠ABC＝(5−2)×180°5∵AB＝BC，∴∠CAB＝36°，＝120°，正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝(6−2)×180°6∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，故答案为84°．【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．知识点二圆锥相关知识设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，弧长公式：l=nπR180（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：S扇形=n360πR2=12lR母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

正多边形与圆及扇形的弧长与面积知识点精选习题教学提纲

正多边形与圆及扇形的弧长与面积知识点精选习题正多边形与圆及扇形的弧长与面积知识点精选习题一．解答题（共18小题）1．（2011•禅城区模拟）某住宅小区大门的电动栏杆AC=3.2米，A为旋转支点．AB、CD为栏杆的支架，AB=CD=80厘米．当栏杆AC向上旋转60°时，端点C离地高度是多少？C转过的弧长是多少？2．（2011•无锡）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．3．如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，都经过BC的中点D．则图中阴影部分面积是．4．如图，边长为a的正方形ABCD的四边贴着直线l向右无滑动“滚动”，当正方形“滚动”一周时，该正方形的中心O经过的路程是多少？顶点A经过的路程又是多少？5．如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2cm．（1）求⊙O的半径r；（2）求劣弧的长（结果保留π）．6．如图，已知在⊙O中，OB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD 于F，图中阴影部分的面积为（1）求BD的长及∠A的度数（2）若阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．7．（2010•巫山县模拟）如图，有一堆圆锥形的稻谷，垂直高度CO=m，底面⊙O的直径AB=4m，B处有一小猫想去捕捉母线AC中点D处的老鼠，求出小猫绕侧面前行的最短距离．8．（2010•桥西区模拟）如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10cm．（1）求圆锥的全面积；（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．9．（2009•岳阳一模）如图，一个用卡纸做成的圆饼状图形放置在V形架中．CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B．如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，（1）求∠ACB的度数．（2）若将扇形AOB做成一个圆锥，求此圆锥底面圆半径．10．一个扇形如图，半径为10cm，圆心角为270°，用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥的侧面积．11．我区南阳镇是中国雨伞之都．如图一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为15分米，伞骨AB长为9分米，现有半径为9分米一个圆形面料经裁剪可用作伞布．（1）求应裁剪多少平方分米的面料？（结果保留4个有效数字）（2）应剪去扇形纸片的圆心角为多少度？12．如图，已知半径为18cm的圆形纸片，如果要在这张纸片上裁剪出一个扇形作为圆锥的侧面，一个圆作为圆锥的底面，试问该如何裁剪，能使圆锥的底面圆面积尽量大，并且扇形的弧长恰好与圆锥底面圆的周长相配套（即两者长度相等），求出这时圆锥的表面积．13．如图：有一个半径为R的半圆，要用这个半圆做一个圆锥的侧面和底面，小芳想这样做：在圆弧上取点C，使∠AOC=60°，用扇形OBC作圆锥的侧面，在扇形OAC内剪一个最大的⊙M作圆锥的底面，你认为小芳这样做办得到吗？请你通过计算说明理由．14．（2010•沙河口区一模）如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON．（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．15．（2001•宜昌）已知正方形ABCD的边心距OE=cm，求这个正方形外接圆⊙O的面积．16．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．（1）角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180﹣m|．于是，|180﹣m|越小，该正n边形就越接近于圆，①若n=3，则该正n边形的“接近度”等于_________．②若n=20，则该正n边形的“接近度”等于_________．③当“接近度”等于_________．时，正n边形就成了圆．（2）边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算n=3，n=6时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？17．O是边长为a的正多边形的中心，将一块半径足够长，圆心角为α的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．（1）若正多边形为正三角形，扇形的圆心角α=120°，请你通过观察或测量，填空：①如图1，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_________；②如图2，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_________；（2）若正多边形为正方形，扇形的圆心角α=90°时，①如图3，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_________；②如图4，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；（3）若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角α为_________时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（4）一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为_________时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．18．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，那么称图形A被这个圆所覆盖．例如，图中的三角形被一个圆所覆盖．回答问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？（2）边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？（3）半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，a的最小值是多少？（4）半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少？参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2011•禅城区模拟）某住宅小区大门的电动栏杆AC=3.2米，A为旋转支点．AB、CD为栏杆的支架，AB=CD=80厘米．当栏杆AC向上旋转60°时，端点C离地高度是多少？C转过的弧长是多少？考点：弧长的计算．专题：计算题．分析：由C向BD作垂线，构造直角三角形求出C点距地面的高度，利用弧长公式求得C转过的弧长．解答：解：作CE⊥BD于E交AC于F点，∵AC=3.2，转过的角度为60°，∴CF=AC×sin60°=3.2×≈2.77米，∴CE=CF+EF=2.77+0.8=3.57米，∴端点C距离地面的高度为3.57米；C划过的弧长为：=≈1.1π．点评：本题考查了弧长的计算方法，解题的关键是弄清扇形的圆弧所对的圆心角的度数和扇形的半径．2．（2011•无锡）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形．专题：作图题；几何综合题．分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．解答：解：（1）作图如图；（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，∴S=2×+2×+2×+4××12=+π+π+2=π+2．点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确地得到点A的翻转角度和半径．3．如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，都经过BC的中点D．则图中阴影部分面积是．考点：扇形面积的计算；勾股定理．分析：根据等腰三角形的性质推知AD是边BC上的中垂线，所以根据勾股定理求得AD=6；通过图形知S阴影部分面积=S半圆AC的面积+S半圆AB的面积﹣S△ABC的面积，所以由圆的面积公式和三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积．解答：解：AB=AC=10，CB=16，∴AD===6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）S阴影部分面积=S半圆AC的面积+S半圆AB的面积﹣S△ABC的面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）=π×52+π×52﹣×16×6=25π﹣48．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）点评：本题考查了扇形面积的计算、勾股定理．解题的关键是推知S阴影部分面积=S半圆AC的面积+S半圆AB的面积﹣S△ABC的面积．4．如图，边长为a的正方形ABCD的四边贴着直线l向右无滑动“滚动”，当正方形“滚动”一周时，该正方形的中心O经过的路程是多少？顶点A经过的路程又是多少？考点：弧长的计算；正方形的性质．分析：（1）根据题意，画出正方形ABCD“滚动”一周后中心O所经过的轨迹，然后根据弧长的计算公式求得中心O所经过的路程；（2）根据题意，画出正方形ABCD“滚动”一周后顶点A所经过的轨迹，然后根据弧长的计算公式求得中心O所经过的路程．解答：解：（1）如图1，正方形ABCD“滚动”一周时，中心O所经过的路程为：（8分）=．（10分）（2）如图2，正方形ABCD“滚动”一周时，顶点A所经过的路程为：（18分）=．（20分）点评：本题考查了弧长的计算、正方形的性质．在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°．5．如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2cm．（1）求⊙O的半径r；（2）求劣弧的长（结果保留π）．考点：弧长的计算；垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）作OC⊥AB于C，利用垂径定理得到直角三角形，解此直角三角形求得圆的半径即可；（2）利用上题求得的圆的半径，将其代入弧长的公式求得弧长即可．解答：解：（1）作OC⊥AB于C，则AC=AB=cm．∵∠AOB=120°，OA=OB∴∠A=30°．∴在Rt△AOC中，r=OA==2cm．（2）劣弧的长为：cm．点评：本题考查了垂径定理、弧长的计算及解直角三角形的知识，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形．6．如图，已知在⊙O中，OB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD 于F，图中阴影部分的面积为（1）求BD的长及∠A的度数（2）若阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质；勾股定理；圆锥的计算．分析：（1）首先根据扇形面积公式求得∠BOD=120°；然后由垂径定理推知BD=2BF；最后在Rt△OBF中求得∠BOF=∠A+∠ABO=60°，由等腰三角形的性质推知∠A=∠ABO=30°；（2）根据圆锥的侧面积的计算方法来求所围成的圆锥的底面圆的半径．解答：解：（1）n=120°∵OC⊥BD，AC为直径，∴AC平分BD，∴BD=2BF，在Rt△OBF中，∠BOF=60°，BO=4，BF=，BD=，∠BOF=∠A+∠ABO=60°，∵OB=OA∴∠A=∠ABO=30°（2）∵∴点评：本题综合考查了勾股定理、圆锥的计算、等腰三角形的性质以及扇形的面积公式．解答（1）时，利用垂径定理求得BD=2BF是解题的关键所在．7．（2010•巫山县模拟）如图，有一堆圆锥形的稻谷，垂直高度CO=m，底面⊙O的直径AB=4m，B处有一小猫想去捕捉母线AC中点D处的老鼠，求出小猫绕侧面前行的最短距离．考点：圆锥的计算；平面展开-最短路径问题．专题：计算题．分析：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．解答：解：由图可知，（2分）侧面展开是一个扇形．n=120°．（4分）∴∠A1CB=60°△A1CB是正三角形（6分）由D1是A1C的中点∴BD1⊥A1C，CD1=3，BD1=∴小猫前行的最短距离是m．（10分）点评：本题考查了圆锥的计算，正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．8．（2010•桥西区模拟）如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10cm．（1）求圆锥的全面积；（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．考点：圆锥的计算；平面展开-最短路径问题．专题：计算题．分析：（1）首先求得圆锥的母线长，然后求得展开扇形的弧长，进而求得其侧面积和底面积，从而求得其全面积；（2）将圆锥的侧面展开，求得其展开扇形的圆心角的度数是90°，利用勾股定理求得AM的长即为最短距离．解答：解：（1）由题意，可得圆锥的母线SA==40（cm）圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2π•OA=20πcm∴S侧=L•SA=400πcm2S圆=πAO2=100πcm2，∴S全=S圆+S底=（400+100）π=500π（cm2）；（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离由（1）知，SA=40cm，弧AA′=20πcm∵=20πcm，∴∠S=n==90°，∵SA′=SA=40cm，SM=3A′M∴SM=30cm，∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm）所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm．点评：本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等直角三角形的性质求解．9．（2009•岳阳一模）如图，一个用卡纸做成的圆饼状图形放置在V形架中．CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B．如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，（1）求∠ACB的度数．（2）若将扇形AOB做成一个圆锥，求此圆锥底面圆半径．考点：圆锥的计算；切线的性质；解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）连接OC交AB于点D，那么我们不难得出BD是AB的一半，CD平分∠ACB，那么只要求出∠COB的度数就能求出∠ACB的度数，已知了OB的长，BD（AB的一半）的长，这样在直角三角形ODB中根据三角形函数我们不难得出∠DOB的值，也就能求出∠ACB的度数了．（2）首先求得弧AB的长，然后利用底面周长等于弧长求得半径即可．解答：解：（1）如图，连接OC交AB于点D．…（1分）∵CA，CB分别是⊙O的切线，∴CA=CB，OC平分∠ACB，∴OC⊥AB．…（2分）∵AB=6，∴BD=3．在Rt△OBD中，∵，∴，∴∠BOD=60°．…（3分）∵B是切点，∴OB⊥BC，∴∠OCB=30°，∴∠ACB=60°．…（4分）（2）AB==…（5分）设底圆半径为r，则2πr=r=…（6分）点评：本题主要考查切线的性质，解直角三角形及圆锥的计算等知识点，通过构建直角三角形来求度数是比较常用的方法．10．一个扇形如图，半径为10cm，圆心角为270°，用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥的侧面积．考点：圆锥的计算．分析：先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积=75π，然后得到圆锥的侧面积．解答：解：∵扇形的面积==75π，∴圆锥的侧面积为75π．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．11．我区南阳镇是中国雨伞之都．如图一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为15分米，伞骨AB长为9分米，现有半径为9分米一个圆形面料经裁剪可用作伞布．（1）求应裁剪多少平方分米的面料？（结果保留4个有效数字）（2）应剪去扇形纸片的圆心角为多少度？考点：圆锥的计算．分析：（1）利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．（2）根据求得的圆锥的侧面积和其公式代入相关数据即可求解．解答：解：（1）圆锥的底面周长=2πr=2π×=15π，∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的侧面积==×15π×9=≈212.1平方分米（2）设侧面展开图的扇形的圆心角为n，则=×9×π，解得n=300°，∴剪去的扇形纸片的圆心角=360°﹣300°=60°点评：此题考查了圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式是解决本题的关键．12．如图，已知半径为18cm的圆形纸片，如果要在这张纸片上裁剪出一个扇形作为圆锥的侧面，一个圆作为圆锥的底面，试问该如何裁剪，能使圆锥的底面圆面积尽量大，并且扇形的弧长恰好与圆锥底面圆的周长相配套（即两者长度相等），求出这时圆锥的表面积．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据题意可得出这个圆形纸板的半径等于小圆形的直径，设圆锥的半径为r，则这个圆形纸板的半径为2r，根据勾股定理得出圆锥的高为r，从而得出这个圆形纸板的半径．解答：解：若扇形的弧长与底面圆的周长长度相等，则，即n=10x（0＜x≤18），∵n随着x的增大而增大，且当x=18时，n=10×18=180，即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径18cm时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：．点评：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13．如图：有一个半径为R的半圆，要用这个半圆做一个圆锥的侧面和底面，小芳想这样做：在圆弧上取点C，使∠AOC=60°，用扇形OBC作圆锥的侧面，在扇形OAC内剪一个最大的⊙M作圆锥的底面，你认为小芳这样做办得到吗？请你通过计算说明理由．考点：圆锥的计算．分析：连接ME，利用⊙M与OA相切于E得到ME⊥OA，然后设⊙M的半径为r，利用两圆之间的关系表示出⊙M的周长，从而求得弧BC的长，然后即可做出判断．解答：解：连接ME．∵⊙M与OA相切于E，∴ME⊥OA，设⊙M的半径为r，∵OC切圆O于F，OA切圆O于E，∴OD平分∠AOC，∴∠MOE=∠AOC=30°∴OM=2r∵2r+r=R∴r=R，∴⊙M的周长而弧BC=，∴小芳这样办得到．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是利用两圆的关系求得⊙M的周长，进而求得弧BC的长．14．（2010•沙河口区一模）如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON．（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠NOC，故∠MON=∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC=120°；（2）同（1）即可解答；（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．解答：解：分别连接OB、OC，（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OC=OB，O是外接圆的圆心，∴CO平分∠ACB∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠OBM=∠OCN=30°，∵BM=CN，OC=OB，∴△OMB≌△ONC，∴∠BOM=∠NOC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°；∴∠MON=∠BOC=120°；（2）同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；（3）由（1）可知，∠MON==120°；在（2）中，∠MON==90°；在（3）中∠MON==72°…，故当n时，∠MON=．点评：本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．15．（2001•宜昌）已知正方形ABCD的边心距OE=cm，求这个正方形外接圆⊙O的面积．考点：正多边形和圆；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．专题：计算题；几何图形问题．分析：连接OC、OD，根据圆O是正方形ABCD的外接圆和正方形的性质得到∠0DE=∠ADC=45°，求出∠DOE=∠ODE=45°，得出OE=DE=，根据勾股定理求出OD=2，根据圆的面积公式求出即可．解答：解：连接OC、OD，∵圆O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC、BD的交点，∴∠0DE=∠ADC=45°，∵OE⊥CD，∴∠OED=90°，∴∠DOE=180°﹣∠OED﹣ODE=45°，∴OE=DE=，由勾股定理得：OD==2，∴这个正方形外接圆⊙O的面积是π•22=4π，答：这个正方形外接圆⊙O的面积是4π．点评：本题主要考查对正多边形与圆，正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出OE=DE是解此题的关键．16．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．（1）角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180﹣m|．于是，|180﹣m|越小，该正n边形就越接近于圆，①若n=3，则该正n边形的“接近度”等于120．②若n=20，则该正n边形的“接近度”等于18．③当“接近度”等于0．时，正n边形就成了圆．（2）边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算n=3，n=6时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？考点：正多边形和圆．分析：解答本题从正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直角三角形入手分析，求解即可．解答：解：（1）①120②18③0；（2）当n=3时，∵∠CAB=60°，∴∠OAD=30°，∴sin∠OAD==，∴当n=6时，∵∠CAD=120°，∴∠OAD=60°，∴sin∠OAD==，∴；当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．点评：此题考查了正多边形与其外接圆的关系．解此题的关键是注意数形结合思想的应用．17．O是边长为a的正多边形的中心，将一块半径足够长，圆心角为α的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．（1）若正多边形为正三角形，扇形的圆心角α=120°，请你通过观察或测量，填空：①如图1，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a；②如图2，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a；（2）若正多边形为正方形，扇形的圆心角α=90°时，①如图3，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a；②如图4，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；（3）若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角α为72°时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（4）一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）此类题目往往是图形的位置变化但结论不变；（2）连接OA、OD，根据四边形ABCD是正方形，点O为中心得到OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°再求得∠AOM=∠DON，从而证明△AOM≌△DON后得到AM=DN得到AM+AN=DN+AN=AD=a；（3）利用正多边形的内角的求法求得正五边形的内角度数即可；（4）圆心角等于正多边形的中心角的度数时候有上述结论．解答：解：（1）①a；（1分）②a；（2分）（2）①a；（3分）②正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a．（4分）理由：证明：连接OA、OD∵四边形ABCD是正方形，点O为中心∴OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°又∵∠AOD=∠POQ=90°∴∠AOM+∠AOQ=90°∠DON+∠AOQ=90°∴∠AOM=∠DON∴△AOM≌△DON∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a（8分）（3）∵正五边形的内角为（5﹣2）×180°÷5=108°∴当扇形纸板的圆心角α为72°时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（10分）（4）∵正多边形的中心角为，∴当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．（12分）点评：本题考查了正多边形的计算，应利用全等把所求的线段和面积转换为容易算出的线段和图形的面积，注意类比方法的运用．18．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，那么称图形A被这个圆所覆盖．例如，图中的三角形被一个圆所覆盖．回答问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？（2）边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？（3）半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，a的最小值是多少？（4）半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少？考点：正多边形和圆．专题：新定义．分析：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，求圆的半径，实质上时求边长为1的正方形外接圆的半径，根据题意画出图形，连接正方形外接圆的圆心与两端点的连线，求出正方形一条边所对圆心角的度数，利用勾股定理即可求出r的值；（2）边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，求r的最小值即求此正三角形外接圆的半径，根据题意画出图形，作出辅助线，垂径定理及锐角三角函数的定义即可解答；（3）半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，求a的最小值，实际上是求圆的外接正方形的边长，根据题意画出图形，根据勾股定理及正方形的性质即可求解；（4）半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值，实际上是求边长为1的圆的外切正三角形的面积，根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义即可求解．解答：解：（1）如图（1）所示，连接OB、OC，则∠BOC==90°，∵OB=OC=r，∴△OBC是等腰直角三角形，∴OB2+OC2=BC2，即r2+r2=12，∴r=；（2）如图（2）所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，则AD=AB=，∵△ABC是等边三角形，∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°，∵OD⊥AB，∴∠AOD=60°，∠OAC=30°，∴OA=r===；（3）如图（3）所示，连接OA、OE，则OE=r，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAE=∠AOE=45°，∴OE=AE=1，∴AB=2；（4）如图（4），连接OB，OD，∵O是切点，∴OD⊥BC，OD=1，BD=，∵O是△ABC的内心，∴∠OBD=30°，∴OD=BD•tan∠OBD=•=1，∴a=2．故答案为：，，2，2．。

期末专题复习：正多边形与圆、弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积苏科版数学(苏州专用)九年级上册

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第14题
(2) 若BD=5,∠ADB=60°,求图中涂色部分的面积.
(2) 如图,连接 OF、DE.∵ ∠B=90°,∠ADB=60°,
∴ ∠BAD=30°,∴ AD=2BD=10.∵ AE是☉O的直径,
∴ ∠ADE=90°.∵ AD平分∠BAC,∴ ∠DAE=∠BAD
第14题

=30°,∴ DE= AE.∵ 在Rt△ADE 中,DE2+AD2=AE2,∴ +102=
是☉O的直径,∴ CB为☉O的切线
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第12题
13. 如图,在☉O中,如果作两条互相垂直的直径AB、CD,那么弦AC是☉O
的内接正方形的一边;以点A为圆心,OA为半径作弧,与☉O相交于点E、F,
连接BE.求证:弦AE、CE、EF分别是☉O的内接正六边形、正十二边形、
以点A为圆心,AC为半径作弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC为半径作弧,交
AB于点F,则图中涂色部分的面积是
( C )
A. π-2
B. 2π-2
C. 2π-4
D. 4π-4
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5. (2023·十堰)如图,C为圆锥母线SB的中点,AB为底面圆的直径,SB=6,AB
DF.
(1) 求证:BC是☉O的切线;
(1) 如图,连接OD.∵ OA=OD,∴ ∠OAD=∠ODA.∵ AD平

正多边形和圆弧长和扇形面积单元检测卷(含答案)

24.3～24.4《正多边形与圆、弧长和扇形》检测一、精心选一选（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）1．下列叙述正确的是 ( ) A ．各边相等的多边形是正多边形.B ．各角相等的多边形是正多边形. C ．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.D ．轴对称图形是正多边形. 2．[2008山东烟台]如图，水平地面上有一面积为30πcm 2的扇形AOB ，半径6OA =cm ，且OA 与地面垂直在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（）A ．20cmB ．24cmC ．10πcmD ．30πcm 正多边形的每个内角与外角的关系是3．如左图所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为A ．234cmB．236cmC ．238cm 24．下列命题中的真命题是 ( ）A ．正三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2∶1;B ．正六边形的边长等于其外接圆的半径;C ．圆外切正方形的边长等于其边心距的2倍;D ．各边相等的圆外切多边形是正方形.5．某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是 ( ）A ．正三角形B ．正方形C ．圆D ．不能确定6．如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为( ）A ．30.B ．60.C ．90.D ．120.7．在Rt △ABC 中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°．如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2．那么S 1：S 2等于 ( ）A ．2：3.B ．3：4.C ．4：9.D ．5：12.8．如图，要想把边长12的等边三角形纸板剪去三个全等的小等边三角形，得到正六边形，则这个正六边形的边长是（）A.6B.4C.8D.99．在Rt△ABC 中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°．如果把Rt△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2．那么S 1：S 2等于（） A ．2：3B ．3：4C ．4：9D ．5：1210．(2008年株洲市)如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是（结果保留π）.……第1个第2个第3个二、细心的填一填（本题满分32分，共有8道小题，每小题4分）11．如图，在圆内接正五边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交与点P ，则APB ∠的度数是。

弧长和扇形面积练习题

弧长和扇形面积练习题1. 弧长的计算弧长是指圆上的一段弧的长度。

要计算弧长，需要知道弧所对应的圆的半径和弧度值（或者度数）。

根据圆的性质，弧长与半径和弧度值之间存在以下关系：弧长 = 弧度值 ×半径假设半径为r，弧度值为θ，则弧长L可以表示为L = θr。

其中，弧度值θ可以用弧度制或度数制表示，但计算时需要统一使用一种制度。

例如，有一个半径为5cm的圆的弧度值为2.5弧度的弧段，可以通过以下计算得到弧长：L = 2.5 × 5 = 12.5cm2. 扇形面积的计算扇形是指由一条弧段和两个半径所围成的图形。

扇形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (弧度值/ 2π) × πr² = (θ / 360) × πr²其中，θ表示弧度值（或度数），r表示半径，π为圆周率。

举个例子，如果一个扇形的半径为8cm，弧度值为1.5弧度，可以通过以下计算得到扇形的面积：面积= (1.5 / 2π) × π × (8)² = (1.5 / 2) × 64 = 48cm²现在我们来进行一些弧长和扇形面积的练习题：1. 计算一个半径为10cm的圆的弧度值为1.2的弧长。

根据弧长的计算公式，可以得到：弧长 = 弧度值 ×半径弧长 = 1.2 × 10 = 12cm所以该弧段的弧长为12cm。

2. 计算一个扇形的半径为6cm，弧度值为1.8的扇形面积。

根据扇形面积的计算公式，可以得到：面积 = (弧度值/ 2π) × πr²面积= (1.8 / 2π) × π × (6)² = (1.8 / 2) × 36 = 27cm²所以该扇形的面积为27cm²。

3. 已知一个扇形的半径为12cm，面积为45cm²，求该扇形的弧度值。

弧长及扇形的面积练习题1

3.5 弧长及扇形的面积同步练习【知识要点】1．如果扇形的半径为R ，圆心角为n 0，扇形的弧长为l ，那么扇形面积的计算公式为：213602n R S lR π== 2．如果弓形的面积是S ，弓形所在扇形的面积是S 1，圆心角是n 0，扇形的两条半径与弓形的弦所成的三角形面积是S 2，则当n ＝1800时，S=S 1；当n ＜1800时，S=S 1-S 2；当n > 1800时，S=S 1+S 2 .课内同步精练●A 组基础练习1. 扇形的圆心角是300，半径是2cm ，则扇形的面积是 cm 2 .2. 一个扇形的弧长为20лcm ，面积为240лm 2，则该扇形的圆心角为 .3. 已知扇形的圆心角为1500，弧长为20лcm ，则扇形的面积为 m 2 .4. 2，半径是2cm ，则扇形的弧长是 cm.5. 如图，同心圆中，两圆半径分别为2和1,∠AOB=1200，则阴影部分的面积为（ )A ．л B.2л C.4л D.43π●B组提高训练6. 如图，扇形AOB的圆心角为600，半径为6cm , C, D分别是AB的三等分点，则阴影部分的面积是.7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分的周长为，面积为.8. 如图，在Rt△ABC中，AC=BC ，以A为圆心画弧DF，交AB 于点D，交AC延长线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л取3 ) .课外拓展练习●A组基础练习1. 若一个扇形的圆心角是450，面积为2л，则这个扇形的半径是（）A. 4C. 47л第8题2. 扇形的圆心角是600 ，则扇形的面积是所在图面积的（）A.13 B.16 C.19 D.1123. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）A.900B.0180π C.0360π D.18004. 两同心圆的圆心是O ，大圆的半径是以OA ，OB 分别交小圆于点M, N ．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB 的面积是扇形OMN 的面积的（）A. 2倍B. 3倍C. 6倍D. 9倍5. 半圆O 的直径为6cm ，∠BAC=300，则阴影部分的面积是( )A.2(12cm π-B.2(3cm πC.2(3cm π- D.2(3cm π 6. 扇形的弧长是12лcm ，其圆心角是900，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm 2.7. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 .8. 已知扇形面积是12cm 2，半径为8cm ，则扇形周长为 .9. 设计一个商标图案（如图所示），在△ABC 中，AB=AC=2cm , ∠B=300，以A 为圆心，AB 为半径BEC , 以BC 为直径作半圆BFC .则商标图案面积等于cm2●B组提高训练10．如图边长为12m 的正方形池塘的周围是草地，池塘边A, B, C, D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3m，现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）A. A处B. B处C. C处D. D处11. 如图，在△ABC中，以各顶点为圆心分别作⊙A、⊙B、⊙C两两外，且半径都是2cm，求图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和．12. 如图，以正三角形ABC的AB边为直径画⊙O，分别交AC，BC于点D, E, AB=6cm，求DE的长及阴影部分的面积．13. 如图，花园边墙上有一宽为lm的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m ，现准备打掉部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体的面积是多少？（精确到0.lm2，л≈3.14 1 . 73 )。

【初中数学】专题十九与圆有关的正多边形、弧长、扇形面积的计算 (练习题)

专题十九与圆有关的正多边形、弧长、扇形面积的计算(363)1.已知：如图，⊙O的半径为R，正方形ABCD，A′B′C′D′分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S正方形ABCD∶S正方形A′B′C′D′．2.如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，若∠C=45∘.(1)求线段BD的长；(2)求阴影部分的面积．3.如图，正方形ABCD内接于⊙O，正方形的边长为2，直径MN//AD，求阴影部分的面积．4.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面.他们首先设计了如图（1）所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图（2）所示的方案二.（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）(1)请说明方案一不可行的理由；(2)判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由.5.如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，求图中阴影部分的面积．6.如图，AB为半圆O的直径，AC是半圆O的一条弦，D为BC⌢的中点，作DE⊥AC，分别交AC,AB的延长线于点E,F，连接DA．(1)求证：EF为半圆O的切线；(2)若DA=DF=6√3，求CD⌢的长及阴影区域的面积(结果保留根号和π)．7.如图，从一块直径为4√3dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60∘的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面半径．参考答案1.【答案】:解：如图，连接OA，OB，OC．∵四边形A′B′C′D′是⊙O的外切正方形，∴∠B′=90∘，∠OBB′=∠OCB′=90∘，∴四边形OBB′C是矩形，∴∠COB=90∘.∵OC=OB=R,∴BB′=R，BC=√2R．同理可得A′B=R,∴A′B′=2R．∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=√2R,∴AB∶A′B′=√2∶2,∴S∶S正方形A′B′C′D′=1∶2.正方形ABCD2(1)【答案】解：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90∘.∵CA切⊙O于点A,∴∠BAC=90∘.∵∠C=45∘,∴∠ABC=45∘,∴AC=AB=2，AD=BD,∴根据勾股定理，得AD =BD =√2．(2)【答案】∵∠ABD =∠BAD ,∴AD ⌢=BD ⌢,∴弓形BD 的面积与弓形AD 的面积相等,∴阴影部分的面积=S △ADC ．∵∠C =45∘,∠BDA =90∘，∴∠DAC =45∘,∴AD =DC =√2,∴S △ADC =1,∴阴影部分的面积为1.3.【答案】:解：如图，连接OD ，OC ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD//BC ．∵MN//AD ,∴MN//BC ,∴S △AON =S △DON ，S △BON =S △CON ,∴阴影部分的面积=S 扇形ODC ．∵正方形ABCD 内接于⊙O ，CD =2,∴∠DOC =90∘，OD =√2, ∴S 扇形ODC =90π×(√2)2360=π2,∴阴影部分的面积为π2．4(1)【答案】理由如下:∵扇形的弧长=90π×16180=8π，圆锥底面周长=2πr ，∴圆的半径为4cm.由于所给正方形纸片的对角线长为16√2cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16+4+4√2=20+4√2(cm)，20+4√2>16√2，∴方案一不可行.【解析】:根据扇形的弧长等于圆锥底面周长，可得围成圆锥的正方形的对角线长，与实际正方形的对角线长比较即可得解.(2)【答案】方案二可行.求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则(1+√2)r+R=16√2，①2πr=2πR4. ②由①②，得R=√25+√2=320√2−12823，r=√25+√2=80√2−3223.故所求圆锥的母线长为320√2−12823cm，底面圆的半径为80√2−3223cm.【解析】:根据扇形的弧长等于对应圆锥的底面圆的周长，应得正方形的对角线BD=AC，即(1+√2)r+R=16√2，否则方案就不可行.5.【答案】:解：∵⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,∴∠AOB=60∘，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2.设OA,OB分别与⊙O交于点M,N,G为AB与⊙O的切点．如图，连接OG，则OG⊥AB，∴AG=BG=1. 由勾股定理,得OG=√3，∴S阴影=S△OAB−S扇形OMN=12×2×√3−60×π×(√3)2360=√3−π2．6(1)【答案】证明：如图，连接OD．∵D为BC⌢的中点，∴∠CAD=∠BAD．∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ADO．∵DE⊥AC，∴∠E=90∘，∴∠CAD+∠EDA=90∘，即∠ADO+∠EDA=90∘，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线．(2)【答案】如图，连接OC，CD．∵DA=DF，∴∠BAD=∠F，∴∠BAD=∠F=∠CAD．又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90∘，∴∠F=30∘，∠BAC=60∘.∵OC=OA，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC =60∘，∠COB =120∘.∵OD ⊥EF ，∠F =30∘，∴∠DOF =60∘,OF =2OD ，∴∠COD =60∘.∵在Rt △ODF 中，DF =6√3，∴OD =6，∴CD ⌢的长为60π×6180=2π．∵在Rt △AED 中，DA =6√3，∠CAD =30∘， ∴DE =3√3，EA =9.∵∠COD =60∘，OC =OD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠OCD =60∘=∠AOC ,∴CD//AB ,故S △ACD =S △OCD ．∴S 阴影=S △AED −S 扇形OCD=12×9×3√3−60360×π×62=27√32−6π．7.【答案】:解：如图，作直径AD ，连接BD ．∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD =90∘.∵在扇形ABC 中，AB =AC ，∴AB ⌢=AC ⌢，∴BD ⌢=CD ⌢，∴∠BAD =∠CAD =30∘.∵AD =4√3dm ，∴BD=2√3dm，AB=6dm，=2π．∴l BC=60×6π180设圆锥的底面半径为rdm，则2πr=2π，∴r=1，∴圆锥的底面半径为1dm．。

弧长与扇形面积练习题

弧长与扇形面积练习题弧长和扇形面积是数学中与圆相关的重要概念。

在几何学和实际生活中，我们经常会用到这两个概念来计算和解决问题。

本文将提供一些关于弧长和扇形面积的练习题，帮助读者加深对这两个概念的理解，并熟练运用相应的计算方法。

1. 第一题：计算弧长假设给定一个半径为5cm的圆，计算这个圆上一条弧长为30°的弧的长度。

解析：首先，我们需要确定整个圆的周长。

根据圆的性质，圆的周长等于直径乘以π（3.14）。

周长 = 2 ×半径× π = 2 × 5cm × 3.14 ≈ 31.4cm然后，我们可以用弧度制来计算30°对应的弧长。

一圆周对应的弧度为360°，因此30°对应的弧度为：30° × (2π/360°) ≈ 0.523弧度最后，我们把弧度乘以圆周长，即可得到弧长：弧长 = 弧度 ×圆周长= 0.523 × 31.4cm ≈ 16.39cm所以，这个圆上一条30°的弧的长度约为16.39cm。

2. 第二题：计算扇形面积假设给定一个半径为8cm，角度为60°的扇形，计算其面积。

解析：扇形的面积由两部分组成，即圆心角所对应的扇形部分的面积和扇形的弧所对应的部分的面积。

首先，我们来计算圆心角所对应的扇形面积。

圆的面积可以用π乘以半径的平方来计算，而圆心角60°所占据的比例为60°/360°，所以扇形的面积为：扇形面积1 = 圆的面积 ×圆心角所占的比例= π × (8cm)^2 × (60°/360°) ≈ 33.51cm²然后，我们计算扇形弧所对应的部分的面积。

根据圆的性质，圆心角对应的弧长与圆的周长之比等于圆心角所占的比例。

我们已经计算出整个圆的周长为2 ×半径× π = 2 × 8cm × π ≈ 50.27cm。

9.中考数学专题07 正多边形和圆、弧长和扇形的面积专题详解(解析版)

正多边形和圆、弧长和扇形的面积真题测试一、单选题⌢上的任意一点，则∠APB的大小是1.（2020·柯桥模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是CD（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】：连接OA、OB、如图所示：∵∠AOB＝360°＝60°，6∴∠APC＝1∠AOC＝30°.2故答案为：B.2.（2020·新都模拟）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝110°，则∠BOD的度数为（）A. 140°B. 70°C. 80°D. 60°【答案】A【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∴∠A＝180°﹣∠C＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故答案为：A．3.（2020·吉林模拟）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 160°【答案】D【解析】：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，．∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°，∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．故答案为：D．4.（2020·启东模拟）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B＝4π,【解析】：扇形的弧长＝120π×6180∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2.故答案为：B.5.（2020九下·中卫月考）如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A（羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（）平方米.A. 1712πB. 176π C. 254π D. 7712π【答案】 D【解析】：如图所示：这只羊在草地上的最大活动区域为两个扇形，其中大扇形的半径为5米，圆心角为90°；小扇形的半径为5－4=1米，圆心角为180°－120°=60°羊在草地上的最大活动区域面积= 90π×52360+60π×12360 = 7712π （平方米）故答案为：D.6.（2020·无锡模拟）已知扇形的半径为6cm ，圆心角为120°，则这个扇形的面积是（）A. 36πcm 2B. 12πcm 2C. 9πcm 2D. 6πcm 2【答案】 B【解析】：由题意得：n=120°，R=6，故可得扇形的面积S= nπr 2360 = 120π×62360 =12πcm 2 ．故答案为：B ．7.（2020·南充模拟）如图A ，B ，C 是 ⊙O 上顺次3点，若 AC ， AB ， BC 分别是 ⊙O 内接正三角形、正方形、正n 边形的一边，则 n = （）A. 9B. 10C. 12D. 15【答案】 C【解析】：如图：连接 OA ， OB ， OC .∵若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则∠AOC=120°，∠AOB=90°.∴∠BOC=30°.∴360°=12，30°∴BC是⊙O内接正十二边形的一边.故答案为：C.8.（2020·开平模拟）如图，正五边形ABCDE绕点A旋转了α°，当α=36°时，则∠1=（）A. 72°B. 108°C. 144°D. 120°【答案】C=108°,【解析】：如图，因为正五边形的每一个内角为540°5∴α=36°,．∴∠2=108°−36°=72°,由旋转的旋转得：对应角相等，∴∠1=540°−3×108°−72°=144°.故答案为：C．9.（2020·石家庄模拟）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG,使点A落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为（）A. 18∘B. 36∘C. 54∘D. 72∘【答案】C【解析】：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=180°×(5−2)=108°，AB=AE，5(180°−∠A)=36°，∴∠ABE=∠BEA=12∵四边形BEFG是正方形，∴∠EBG=90°，∴∠ABG=∠EBG−∠ABE=90°−36°=54°．故答案为：C．10.（2020·台州模拟）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（）S2A. S1＞S2B. S1＝S2C. S1＜S2D. S1＝π3【答案】A⌢＝12，【解析】：由题意：EAC∴S2＝1×12×3＝18，∵S1＝6× √34×32＝27√32，∴S1＞S2，故答案为：A.11.（2020·湖州模拟）如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙O，CD是直径，若∠ABC＝110°，则扇形AOD的面积为（）A. 74π B. π C. 72π D. 2π【答案】B【解析】：∵∠ABC＝110°，∴优弧ADC所对的圆心角的度数为110°×2＝220°，∵CD是直径，∴∠COD＝180°，∵∠COD+∠AOD＝220°，∴∠AOD＝40°，∵⊙O的半径为3，∴扇形AOD的面积为40×π×32360＝π.故答案为：B.12.（2020·金牛模拟）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则DE⌢的长为（）cm．A. 15πB. 12πC. 15πD. 36π【答案】C【解析】：∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°，∴AD＝AB﹣BD＝18cm，∴DE⌢的长为：150∘×π×18＝15π（cm），180∘故答案为：C．13.（2020·河北模拟）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离不可能是（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】A【解析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2- √2小于等于1，故答案为：A．14.（2019九上·温州期中）如图，△ABC内接于⊙O，BC=6，AC=2，∠A-∠B=90°，则⊙O的面积为（）A. 9.6πB. 10πC. 10.8πD. 12π【答案】B【解析】如下图所示，过点B作圆的直径BE交圆于点E,则∠ECB=90°，∴∠E+∠EBC=90°，∵圆的内接四边形对角互补,∴∠E+∠A=180°①，∵∠A−∠ABC=90°①，①-①可得：∠E+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠EBC，∴AC⌢=CE⌢，∴CE=AC=2，在Rt△BCE中，由勾股定理得，BE=√BC2+CE2=√62+22=2√10，∴⊙O的半径为r=1BE=√10，2∴圆的面积= πr2=π⋅(√10)2=10π，故选B.15.（2019·上海模拟）正六边形的半径与边心距之比为（）A. 1：√3B. √3：1C. √3：2D. 2：√3【答案】D【解析】∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝√3R，2∴R：r＝1：√3＝2：√3，2故答案为：D．16.（2020·宁波模拟）如图，⊙O 上有一个动点A 和一个定点B ，令线段AB 的中点是点P ，过点B 作⊙O的切线BQ ，且BQ=3，现测得 AB ⌢ 的长度是 4π3， AB ⌢ 的度数是120°，若线段PQ 的最大值是m ，最小值是n ，则mn 的值是（）A. 3 √10B. 2 √13C. 9D. 10【答案】 C【解析】：如图，连接OP ，OB ，O'点为OB 的中点，设⊙O 的半径为r ，根据题意得120·π·r180=43π ，解得r=2， ∵P 点为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，∴∠OPB=90°，∴点P 在以OB 为直径的圆上，直线QO'交⊙O'于E. F ，如图，∵BQ 为切线，∴OB ⊥BQ ，在Rt △O'BQ 中，O'Q=√O ′B 2+BQ 2=√12+32=√10,∴QE=√10+1 ， QF=√10−1,即m=√10+1 ， n=√10−1,∴mn=（√10+1）（√10−1）=9.故答案为：C.17.（2019九上·无锡月考）如图，AB 是⊙o 直径，M ，N 是 AB⌢ 上两点，C 是 MN ⌢ 上任一点，∠ACB 角平分线交⊙o 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从M 运动到N 时，C 、E 两点的运动路径长之比为( )A. √2B. π2C. 32D. √52【答案】A【解析】如图，连接EB,设OA=r∵AB是直径∴∠ACB=90°∵E是△ACB的内心,∴∠AEB=135°∵∠ACD=∠BCD∴AD⌢=DB⌢∴AD=DB=√2r∴∠ADB=90°∴点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是GF⌢，点C的运动轨迹是MN⌢∵∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α，∴MN⌢GF⌢=2α·π·r180α·π·√2r180=√2故答案为：A18.（2019九上·浙江期中）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E 为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F。

正多边形与圆. 弧长.扇形面积计算练习题

圆和圆的位置关系、正多边形与圆. 弧长.扇形面积一、基础回顾 12．正多边形和圆：（1）指出图中正多边形的中心角、半径、边心距；（2）正n 边形的中心角= ；一个内角= ；正n 边形的半径将正n 边形分成个全等的等腰三角形；半径和边心距将正n 边形分成个全等的直角三角形。

3. 弧长公式：；扇形的面积公式 ①；②。

圆锥的高，底面圆的半径，母线长之间的关系h 2＋r 2＝l 2一．选择1．圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）．A ．36πB ．48πC ．72πD ．144π2.如图，⊙O 的内接多边形周长为3 ，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A B C ．10 D 3.如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A ． 24πcmB ． 26πcmC ． 29πcmD ． 212πcm4．若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是(A)40° (B)80° (C)120° (D)150°5．如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为（）A ．10cmB ．3.5πcmC ．4.5πcmD ．2.5πcm6．将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为( ) （A ）10cm（B ）30cm（C ）40cm（D ）300cm7.下述美妙的图案中，是由正三角形.正方形.正六边形.正八边形中的三种镶嵌而成的为（）8现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形.正方形.正六边形.正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（） A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种 9.）如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为（）A ．120ºB ．约156ºC ．180ºD ．约208º10.若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是【】A ．1.5B ．2C ．3D ．611.现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（）．A B C D120︒B OA 6cmA.9°B.18°C.63°D.72°12.已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图5）所示），则sinθ的值为（）（A ）125 （B ）135 （C ）1310 （D ）131213..一个几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体的侧面积是A. 4πB.6πC. 8πD. 12π14.如图，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为（）答案：BA ．2πB ．3πC ．6πD ．12π15.将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为A.10cmB.30cmC.40cmD.300cm16．如图，已知RtΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（）．A ．π5168B ．π24C ．π584D ．π1217.如图，已知菱形ABCD 的边长为1.5cm ，B C ，两点在扇形AEF 的上，求的长度及扇形ABC 的面积．18.边长为a 的正六边形的内切圆的半径为（）A ．2aB ．a CD ．12a19.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径6cm OB =，高8cm OC =．则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A ．230cm B ．230cm π C ．260cm π D ．2120cm20.如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（）A ．4π平方米B ．2π平方米C ．π平方米D ．1π2平方米 BCD AEF二．填空21．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（结果保留π）．33，则圆锥的23．如图，艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8米，所对的圆心角为100°，则弧长是米．(π≈3)24.如图，三角板ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，6=BC ．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为．25.如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为26．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形纸帽，如图所示，纸帽的底面半径为9cm ，母线长为30cm ，制作这个纸帽至少需要纸板的面积至少为27.已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留π）．28．矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．29.兰州市某中学的铅球场如图10所示，已知扇形AOB 的面积是36米2，弧AB 的长度为9米，那么半径OA ＝米．【关键词】圆.扇形及其面积公式30.将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°，B 'ACAB304cm BAC AB ∠==°，，则图中阴影部分面积为 cm 2．31.）一个圆锥的母线长为5cm ，底面圆半径为3 cm ，则这个圆锥的侧面积是 cm 2（结果保留π）．32.（2009泰安）如图，（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD 是正方形，⊙O 是该正方形的内切圆，E 为切点，以B 为圆心，分别以BA.BE 为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为。

专题06 正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积【考题猜想,34题9种题型】(解析版)

06正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积（34题9种题型）一、正多边形与圆有关的计算（共7小题）（2）如图1，连接OB、四边形ABCD是O内接正方形，∴中心角3604 BOC︒∠==同（1）的方法可证：MON∠如图2，连接OB、OC，五边形ABCDE是O∴中心角3605 BOC︒∠==同（1）的方法可证：MON∠（3）由上可知，MON∠的度数与正三角形边数的关系是MON∠的度数与正方形边数的关系是3604 MON︒∠=，MON∠的度数与正五边形边数的关系是3605 MON︒∠=归纳类推得：MON∠的度数与正n边形边数n的关系是【答案】A（－2，0），B（－1，－3），C 【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接EG＝22-，得出结论．OE OG【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形解题的关键是熟练运用这些性质．3．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，六边形【答案】正方形ABCD 【分析】过点O 作OE ∵正方形ABCD 是半径为360904BOC ︒∴∠==︒，BE OE ∴=．在Rt OBE 中，BEO ∠由勾股定理可得222OE BE OB +=，2236OE BE ∴+=，【点睛】本题考查估算出圆周率圆周率π的值是解题关键．7．（2023春·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解π的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长度”n k．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k k、；(3)[总结]随着n的增大，n k【答案】(1)33π(2)4π，23πk≈（3）解：3 1.65进π的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长内切圆周长更接近，其比值更接近于【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键．(1)求证：ACB E ∠=∠；(2)若30ACB ∠=︒，AC 【答案】(1)见解析(2)π【分析】（1）根据垂径定理得到，则根据等弧所对的圆周角相等即可证明结论；（2）先利用（1）的结论得到形，所以3OA AC ==，然后根据弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：∵半径∴，∴ACB E ∠=∠．（2）解：∵E ACB ∠=∠∴60AOC ∠=︒，∵OA OC =,∴OAC 为等边三角形，∴3OA AC ==，∴603180AC l ππ⨯== ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．9．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）(1)求证：AC AF =；(2)若⊙O 的半径为3，CAF ∠【答案】(1)证明见解析；(2)52π【分析】（1）根据已知条件可证明四边形代换可得AFC ACF ∠=∠，即可得出答案；（2）连接,AO CO ，由（1）中结论可计算出根据弧长计算公式计算即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AD ∴四边形ABED 为平行四边形，∴B D ∠=∠，∵AFC B ACF ∠=∠∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∴AC AF =．（2）解：连接,AO CO ，如图，由（1）得AFC ACF ∠=∠，∵18030752AFC ︒-︒∠==︒，∴2150AOC AFC ∠=∠=︒，∴ AC 的长15035180l π⨯⨯==【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考(1)画出11AOB △；(2)点1A 坐标为______，点1B 坐标为(3)点A 的运动路径长为______．【答案】(1)见解析(2)()4,1-，()3,3-(3)17π2【分析】（1）分别作出点A 、B 绕点可得到11AOB △；（2）根据（1）中的图形写出点A （3）根据点A 的运动路径是以点弧长公式求出点A 的运动路径长即可．【详解】（1）解：如图所示，1AOB △（2）由图可知，点1A 的坐标为(-故答案为：()4,1-，()3,3-（3）点A 的运动路径是以点O 为圆心，221417OA =+=,∴点A 的运动路径长为9017180π⨯故答案为：17π2【点睛】此题考查了图形的旋转的作图、弧长公式、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的作图和弧长公式是解题的关键．12．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 逆时针旋转90︒到11A B ．(1)求点1A 的坐标；(2)求点B 运动的路径长．【答案】(1)(1,5)-(2)172π【分析】（1）连接OA 、OA 11A E AC ==，则点1A 的坐标是（2）由旋转得1OB OB =，长，就是点B 运动的路径长．【详解】（1）解：连接OA将线段AB 绕原点O 逆时针旋转90︒到1OA OA ∴=，190AOA COE ∠=∠=︒，190A OE AOC AOE ∴∠=∠=︒-∠，在1A OE 和AOC 中，111A EO ACO A OE AOC OA OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴1(AAS)AOE AOC △≌△，(5,1)A ，5OE OC ∴==，11A E AC ==，点1A 在第二象限，∴点1A 的坐标是(1,5)-．（2）由旋转得1OB OB =，1BOB 90∠=︒以点O 为圆心，OB 的长为半径作 1BB ，则点作BD y ⊥轴于点D ，(1,4)B ，1BD ∴=，4OD =，22221417OB BD OD ∴=+=+=，∴ 19017171802BB l ππ⨯⨯==，∴点B 运动的路径长是172π．【点睛】此题重点考查图形与坐标、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．13．（2022秋·江苏·九年级期末）如图，O ，P 为半圆上任意一点过P 点作PE ⊥∵CO ⊥AB ，∴OA =OC ，∴△ACO 为等腰直角三角形，14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图1，AB 是O 的弦，2,60AB AOB =∠=︒，P 是优弧AB 上的一个动点（不与点A 和点B 重合）， ,,PA PB AB 组成了一个新图形（记为“图形 P AB -”），设点P 到直线AB的距离为x ，图形 P AB-的面积为y ．(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量(2)记扇形OAB的面积为S OAB，当扇形①在图2中，作出一个满足条件的点PA PB，再画一条线，将图形②在第①题所作图中，连接,写出必要的文字说明．）（2）解：①如图2所示，点②以点1P的情况为例，过点O作OC AB⊥，垂足为C、，则折线连接1PC CD弧线的画法：以点1P的情况为例，以1P为圆心，1P A长为半径画弧，交【点睛】本题考查圆章节的垂直定理性质以及三角形扇形面积公式等知识内容，掌握面积等量代换是解题作图的关键．（1）计算弧田的实际面积．（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与π近似值为3，3近似值为1.7【答案】（1）弧田的实际面积为（1）中计算的弧田实际面积相差【分析】（1）先利用勾股定理及含再通过扇形面积公式求解扇形AOB （2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（【详解】（1）解：OD ⊥ 弦AB ∴由垂径定理可知：OD 平分AB 32A BA C m ∴==，AOC ∠=在R t A C O ∆中，OC 对应的角的为(1)求O 的半径；(2)经测量AOB ∠的度数约为106【答案】(1)15cm (2)2651084π-【分析】（1）过点O 作OD AB ⊥于点从而得出6OD r =-，然后利用勾股定理建立关于（2）弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可．【详解】（1）解：过点O 作OD ∵点O 为圆心，24AB =，弓形∴112AD BD AB ===，点C （2）∵15r =，106AOB ∠=(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)BD(2)254π．【分析】（1）根据圆周角定理得出根据勾股定理求出(1)在网格中画出△A 1B 1(2)计算线段A 1C 1在变换到【答案】(1)见解析(2)2π【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点利用网格特点和旋转的性质画出点（2）线段A 1C 1在变换到到A 2C 1的过程中扫过区域的面积．(1)解：如图，△A 1B 1C 1和△(2)解：由图可知，112AC A =【答案】（1）画图见解析；（2）10 2π【分析】（1）根据网格结构找出点A、可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积【详解】解：（1）△A1OB1如图所示；(1)建立如图所示的直角坐标系，请在图中标出①圆心P的坐标：P（_______，的半径为_______．②P绕点A逆时针旋转90︒(2)将ABC【答案】(1)图见详解；①5，3；②(2)图见解析；线段BC扫过的图形的面积为【分析】（1）作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于一点，即为据图形，结合网格的特点，即可得出求出外接圆的半径；、（2）根据网格的特点，把AB AC再根据勾股定理，结合网格的特点，分别求出面积，再根据线段BC扫过的图形的面积为①圆心P 的坐标：()53P ，，②P 的半径为：224225+=；故答案为：①5，3；②25（2）解：如图即为所求图形，∵由勾股定理得：2262AC =+=∵将ABC 绕点A 逆时针旋转90︒得到∴ABC 的面积等于ADE V 的面积，∴线段BC 扫过的图形的面积S =扇形()290210901423602360ππ︒⨯︒⨯=+⨯⨯-︒8π=．【点睛】本题考查了坐标与图形，确定外接圆的圆心、勾股定理、画旋转图形、扇形的面积，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答问题．六、求不规则图形面积（共5小题）21．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ．（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF =22.5°，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）48π-．【分析】（1）连接OD ，易得ABC ODB ∠=∠，由AB AC =，易得A ABC CB =∠∠，等量代换得ODB ACB ∠=∠，利用平行线的判定得//OD AC ，由切线的性质得DF OD ⊥，得出结论；（2）连接OE ，利用（1）的结论得67.5ABC ACB ∠=∠=︒，易得45BAC ∠=︒，得出90AOE ∠=︒，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．【详解】（1）证明：连接OD ，OB OD = ，ABC ODB ∴∠=∠，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∴∠ODB =∠ACB ，∴OD ∥AC ．∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ．∴DF ⊥AC ．（2）连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF =22.5°．∴∠ABC =∠ACB =67.5°，∴∠BAC =45°．∵OA =OE ，(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)∠P的度数为60°(2)图中阴影部分的面积为16 1633π-【分析】(1)先证明∠APB=180°−∠AOB，根据∠(2)连接OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠角和得到∠AOB=180°−∠APB=120°，再在Rt则S△P AO=83，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；会利用面积的和差计算不规则图形的面积．解题的关键是辅助线的添加．25．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图1(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；与OA，OB都相切，且与 AB只有一个交点(2)如图2，在扇形AOB的内部，1OS；O11302EOO AOB ∴∠=∠=︒，【点睛】本题考查了扇形面积的计算，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．七、求圆锥的侧面积（共3小题）(2)直线AB与⊙如图1，作OE⊥∵AO平分∠BAC而OE⊥AB，OC在Rt △ABC 中，∵∴AB=2512+∵S △AOB +S △AOC ∴12×13r+12×5r=弧相切于DE、FG、HI的中点，显然又可剪3个∴最多可剪出9个纸杯的侧面（如图所示）八、求圆锥的底面半径（共3小题）(1)求证：DC 与A 相切；(2)过点B 作A 的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)若用剪下的扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？【答案】(1)见解析(2)见解析(3)能，理由见解析【分析】（1）过点A 作AG DC ⊥于点G ，勾股定理求得（2）作线段AB 的垂直平分线，交A 于点H ，作直线根据勾股定理的逆定理证明AHB 是直角三角形，即可求解；（3）根据弧长公式求得 EF的长，继而求得圆锥的底面半径，连接点R ，,BR AC 交于点O ，过点O 作OP BC ⊥于点P ，则与r 的大小，进而比较r 与圆锥底面半径的大小即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AG DC ⊥于点G ∵45,22ADC AD ∠=︒=，理由，∵HA HB =2=，22AB =∴222HA HB AB +=∴ABH 是直角三角形，且AH HB⊥∴HB 是A 的切线；（3）解：∵45,D AB CD∠=︒∥∴135BAD ∠=︒，∴ 135321802EF ππ=⨯=则圆锥的底面圆的半径为33224ππ=如图，连接AC 交 EF于点Q ，过点B 作BR DC ⊥于点R ，O 与,BC CD 相切，∵AB BC=∴BCA BAC∠=∠∵AB CD∥∴BAC ACD∠=∠解得()222122221r ==-=-+∴()2222422BO =-=-,∴()()222224222232162AO BO AB =+=-+=-，∴321622OQ AO AQ =-=--，()3216222223216222OQ r -=----=--，∵()()22321622232162824162--=--=-，又()2224162576512640-=-=>，∴0OQ r ->，即OQ r >，∵32224->．∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．(1)求这个扇形的半径；(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．【答案】(1)3(2)12【分析】(1)连接BC ，根据垂径定理，求得BC (2)设圆锥底面圆的半径为【详解】（1）如图，连接∵60BAC ∠=︒，OB OC =∴120BOC ∠=︒，OBC ∠∴()2=2=23BC BD ⨯-∴这个扇形的半径为3（2）设圆锥底面圆的半径为根据题意，得60180π︒⨯⨯︒解得12r =．故圆锥底面圆的半径为【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．九、圆锥侧面积的最短路径问题（共3小题）。