2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率教案教师版
§2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率【学习要求】1．了解直线的方程与方程的直线的概念和关系．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．【学法指导】通过对直线的方程的概念及直线的倾斜角、斜率的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的 坐标 都是这个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．2．直线的斜率：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的 斜率 ，由这条直线上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标可以计算出k 的值，k ＝ y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)． 3．直线的倾斜角：x 轴正向与直线 向上 的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．4．斜率与倾斜角的关系：由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于 X 轴 或 与X 轴重合 ；k ＞0时，直线的倾斜角为 锐角 ，k 值增大，直线的倾斜角也随着 增大 ；k ＜0时，直线的倾斜角为 钝角 ，k 值增大，直线的倾斜角也随着 增大 ；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于 90° .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．探究点一 直线方程的概念导引 画出y ＝2x ＋1的图象，然后观察并思考以下问题：问题1 点(1,3)为直线上的点，x ＝1，y ＝3满足关系y ＝2x ＋1吗？答： 将x ＝1，y ＝3代入关系式y ＝2x ＋1，两边成立，即x ＝1，y ＝3满足关系y ＝2x ＋1.问题2 x ＝－2，y ＝－3满足关系y ＝2x ＋1，则点(－2，－3)在y ＝2x ＋1的图象对应的直线上吗？答：将点(－2，－3)描在上述直角坐标系内，观察到点(－2，－3)在y ＝2x ＋1的图象对应的直线上．问题3 一次函数y ＝2x ＋1的图象上的点与满足关系式y ＝2x ＋1的实数对(x ，y)有怎样的关系？答： 存在着一一对应的关系．问题4 我们已经知道平面直角坐标系内，所有一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)的图象都是直线，那么所有的直线都能用一次函数表示吗？答： 不能，例如方程y ＝2的图象是一条经过点(0,2)且平行于x 轴的直线，但y ＝2不是一次函数．问题5 一元一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)的解析式可看作二元一次方程，那么方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在怎样的关系？答： 由于函数y ＝kx ＋b( k≠0)或y ＝b 都是二元一次方程，因此，方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在一一对应关系．小结： 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．例1 画出二元一次方程3x ＋6y －8＝0的图象．解：已知方程解出y ，得y ＝－12x ＋43，这是一次函数的表达式，它的图象是一条直线． 当x ＝0时，y ＝43；当x ＝2时，y ＝13. 在坐标平面内作点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13.作直线AB ， 即为所求方程的图象(如图)．小结： 画二元一次方程所表示的图象同画一次函数图象一样，取的两点一般是坐标轴上的点．跟踪训练1 已知方程2x ＋3y ＋6＝0. (1)画出这个方程所对应的直线l ； (2)点⎝⎛⎭⎫32，1是否在直线l 上？(3)方程2x ＋3y ＋6＝0(x ∈Z)是不是直线l 的方程？直线l 是不是该方程的直线？解：(1)在方程中令x ＝0，y ＝0，得A(0，－2)，B(－3,0)，如图直线AB 即为所求直线l 的图象．(2)∵当x ＝32，y ＝1时，方程的左边＝2×32＋3×1＋6＝12，右边＝0，∴左边≠右边．∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1不在直线l 上．(3)虽然以方程2x ＋3y ＋6＝0 (x∈Z)的解为坐标的点都在l 上，但是l 上点的坐标不都是该方程的解，比如点C ⎝⎛⎭⎫－32，－1∈l ，但⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32y ＝－1不是该方程的解，所以方程2x ＋3y ＋6＝0 (x ∈Z)不是直线l 的方程，直线l 也不是方程2x ＋3y ＋6＝0 (x ∈Z)的直线．探究点二 直线的斜率问题1 直线y ＝kx ＋b 被其上的任意两个不同的点所唯一确定．那么，由这条直线上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的坐标如何计算出k 的值？答：由于x 1，y 1和x 2，y 2是直线方程的两组解，方程y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ，两式相减，得y 2－y 1＝kx 2－kx 1＝k(x 2－x 1)．因此k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)． 问题2 直线上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) ，当x 1＝x 2时直线的位置怎样，k 值如何？答： 此时直线平行于y 轴，或与y 轴重合，在k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，因为分母为0，所以k 不存在． 问题3 运用上述公式计算直线AB 的斜率时，需要考虑A 、B 的顺序吗？答： k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝k BA ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以直线AB 的斜率与A 、B 两点的顺序无关． 小结： 我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在． 例2 求经过A(－2,0)，B(－5,3) 两点的直线的斜率k.解： x 1＝－2，x 2＝－5，y 1＝0，y 2＝3，Δx ＝－5－(－2)＝－3，Δy ＝3－0＝3， k ＝Δy Δx ＝3－3＝－1. 小结：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论． 跟踪训练2 已知直线l 经过两点A(2，－1)，B(t,4)，求直线l 的斜率．解： (1)当t ＝2时，x 1＝x 2＝2，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2. ∴综上所述，当t ＝2时，斜率不存在； 当t ≠2时，k ＝5t －2. 探究点三 直线的倾斜角问题1 过一点P 可以作无数条直线，它们都经过点P ，这些直线区别在哪里呢？答： 区别是它们的倾斜程度不同．问题2 在k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示自变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，则k 的表达式如何？此表达式说明了什么问题？答： k ＝Δy Δx，说明了斜率决定了直线相对于x 轴的倾斜程度． 问题3 怎样描述直线的倾斜程度呢？答：x 轴正向与直线l 向上方向所成的角叫做直线的倾斜角，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．问题4 直线的斜率k ＝Δy Δx与倾斜角α有怎样的关系？ 答： 由图可知，k ＝Δy Δx＝tan α. 问题5 直线的斜率k 与倾斜角α之间有怎样的变化关系？答： 由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；k ＞0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；k ＜0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°.问题6 依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？答： 0°≤α<180°.例3 如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17； 直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－－＝－12； 直线CA 的斜率k CA ＝－1－20－3＝1. 由k AB >0及k CA >0知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角； 由k BC <0知，直线BC 的倾斜角为钝角．小结： 倾斜角和斜率都反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度．倾斜角直接反映倾斜程度．跟踪训练3 求过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1) (1,1)，(2,4)； (2) (－3,5)，(0,2)； (3) (2,3)，(2,5)； (4) (3，－2)，(6，－2)．解： (1)k ＝4－12－1＝3>0，所以倾斜角是锐角； (2)k ＝2－50－－＝－1<0，所以倾斜角是钝角； (3)由x 1＝x 2＝2得：k 不存在，倾斜角是90°；(4)k ＝－2－－6－3＝0，所以倾斜角为0°. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k 是直线的斜率，则k ∈R ； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①②③正确．2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m 等于 () A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4解析： 由题意，得k PQ ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.3．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．7解析： 由题意，得k AB ＝k BC ，即4＋2－9－3＝0－4x ＋9， 解得x ＝－1.课堂小结：1．直线的方程与方程的直线．2．斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(或k ＝y 1－y 2x 1－x 2) (x 1≠x 2)．3．直线的倾斜角定义及其范围：0°≤α<180°.4．直线的斜率的几何意义：k ＝tan α (α≠90°)．5．斜率k 与倾斜角α之间的关系：⎩⎨⎧ α＝0°⇒k ＝tan 0°＝0，0°<α<90°⇒k ＝tan α>0，α＝90°⇒不存在⇒k 不存在，90°<α<180°⇒k ＝tan α<0.。
高中数学2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式例题与探究新人教B版必修2
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A、B、C三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.∵ｋAB==2，k AC==2,∴ｋAB=k AC.∴A、B、C三点共线.证法二:利用直线方程.设AB:y=kx+b，则∴∴直线AB的方程为y=2x-3.当x=4时，y=2×４-3=5，故点C(4，5)在AB上.∴A、B、C三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a的值等于_______________.思路解析:因为k AB=，k BC=，又因为三点A、B、C共线，所以k AB=k BC，即=，解得a=4.答案:4例2 设过定点A的直线l1的倾斜角为α.现将直线l1绕点A按逆时针方向旋转45°得到直线l2,设直线l2的倾斜角为β,请用α表示β的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°；当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°．黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练 2 如图2-2-(1,2)-2，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥ｌ2，求l1、l2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°＝，∵ｌ2的倾斜角α2=90°+30°=120°，∴ｌ2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°＝.例3设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，若直线在x轴上的截距是-3，试确定m的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得由①式，得m≠３且m≠-1.由②式，得3m2-4m-15=0，解得m=3或m=.因为m≠3，所以m=.绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m2-2m-3≠０的解是m≠３且m≠-1；而方程3m2-4m-15=0的解是m=3或m=.变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3A.若c＞0，则a＞0，b＞0B.若c＞0，则a＜0，b＞0C.若c＜0，则a＞0，b＜0D.若c＜0，则a＞0，b＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=＜0，∴ab＞0.又∵直线在x轴、y轴上的截距分别为与，∴＞0，＞0.∴ac＜0，bc＜0.若c＞0，则a＜0，b＜0；若c＜0，则a＞0，b＞0.选D.答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x、y轴上的截距.思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x的取值即为直线在x轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y轴上的截距.解:令y=0,则x=,于是直线在x轴上的截距为；令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y轴上的截距为；当k=时,直线在y轴上的截距不存在.黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=的情形而造成错解.事实上，当k=时，分式无意义，此时的直线在y轴上的截距不存在.变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________.思路解析：设直线在两轴上的截距均为 a.若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5.答案:3x-2y=0或x+y=5问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P1与P2关于点M对称，则点M是P1、P2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P1与P2关于直线l对称，则直线l是线段P1P2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P1、P2的中点在直线l上，且P1P2的连线与l垂直，也就是说，P1P2的中点坐标满足直线l的方程，且P1P2连线的斜率与直线l的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点P(x0,y0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0);(2)点P(a,b)不在直线l：Ax+By+C=0上，P关于直线l的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M()在l上,PP′⊥l,所以由方程组可解出P′(x0,y0).(3)几种特殊对称：点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x、y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗? 导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b中，若b为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f1(x,y)+λｆ2(x,y)=0的形式，再解方程组求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k为参数，b为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y轴(即x=0).经过定点M(x0，y0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数)，它表示经过定点(x0，y0)的直线系，但不包括平行于y轴的那一条(即x=x0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k为常数，b为参数)，它表示斜率为k的平行直线系.若已知直线l：Ax+By+C=0，与l平行的直线系为Ax+By+m=0(m为参数,且m≠C).若已知直线l：Ax+By+C=0，与l垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2：A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n为参数，m2+n2≠0).当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l2的方程.上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。
最新人教版高中数学必修2第三章《直线方程的概念与直线的斜率》
数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示． ②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx， 由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab.其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率． 分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四 易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案： 基础知识·梳理1．二元一次 这个方程的解 这条直线的方程 这个方程的直线 【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1(3)直线向上的方向 平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在； 当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)， 而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D 3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4 由题意可得k AB ＝22－a＝k AC ＝2－42＝－1⇒a ＝4.5．解：设所求直线方程为y ＝kx ＋b ，∵k ＝2，A (3,4)在直线上， ∴4＝2×3＋b ，解得b ＝－2. ∴直线方程为y ＝2x －2.如果B 在x 轴上，则可设B (x 0,0)，代入直线方程解得x 0＝1，即B (1,0)；如果B 在y 轴上，则可设B (0,y 0)，代入直线方程解得y 0＝－2，即B (0,－2)．。
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
l2 l1
o
x
已知直线l经过点P(2,3)与Q(-3,2)
1 则直线的斜率为________ 5
已知点P(2,3),点Q在y轴上,若直
线PQ的斜率为1 ,则点Q的坐标为 (0,1) 。 __________
斜率为2的直线，经过点(3,5),(a,7),
(-1，b)三点，则a,b的值为( A、a=4,b=0
当k=0，直线平行于x轴或与x轴重合. 此时 直线的倾斜角α为0°； 当k>0时，直线的倾斜角为锐角00＜α＜ 900；k值增大，直线的倾斜角也随着增大； 当k<0时，直线的倾斜角为钝角900＜α＜ 1800，k值增大，直线的倾斜角也随着增大 ； 垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，但其 斜率不存在.
C、a=4,b=-3
C )
B、a=-4,b=-3 D、a=-4,b=3
k AB 52 3 1 0
k AC
85 3 2 1
因为直线AB和AC的斜率相同，又直 线AB和AC过同一点A，所以A、B、C三 点共线.
则k1 , k2 , k3的大小关系为 k 3 k1 k 2
y
l3
如图 , 设直线 l1 , l 2 , l3的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,
三、直线的斜率与倾斜角的关系 L
L4
3
第二定义：直 线倾斜角的正 切，即tanα=k
Y
L2
L1
O
X
当α=00 时，k= 0(如L1） 当00＜α＜900时，k＞0 （如L2）k值增大，倾斜 角也随着增大。 当α=900 时，k不存在（如L3） 当900＜α＜1800时，k＜0（如L4）k值增大，倾斜 角也随着增大。
1、直线倾斜角的定义： 正向 向上
16课题：直线的斜率
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探究点二：确定直线方程
例2．
（1）画出方程x+2y+4=0的图象，并指出直线的斜率.
（2）已知直线l经过点(0,4)，斜率为-3，求l的方程（写成一次函数的形式）（3）已知直线l经过点(3,5)，斜率不存在，求l的方程. 并画出这条直线。
巩巩固训练：
1.如果过点P(-2,m),Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A 1
B 4
C 1或3
D 1或4
2.已知A(a,2),B(3,b+1),直线AB的倾斜角为0
90，则a,b的值分别为( )
A a=3,b=1
B a=2,b=2
C a=2,b=3
D a=3,b,1
R b
∈≠
3.【B、C选作】已知直线
1234
,,,
l l l l的斜率分别为
1234
,,,
k k k k，如右图所示，则( )
A
1234
k k k k
>>>> B
3412
k k k k
>>>>
C
3421
k k k k
>>>> D
4321
k k k k
>>>>
【课堂小结】
1.知识方面
2.数学思想方法
第3页共4页第4页共4页。
直线方程的概念与直线的斜率
高中2012级数学教学案
由直线上两点的坐标求这条直线的斜率于是k ＝
x
x y y 2
1
2
1--.如果令Δx ＝x 2表示相应的y 的改变量，于是_______________(2)斜率的定义
通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的
垂直于x 轴的直线斜率___________
斜率反映直线_____________ 3．直线的倾斜角
(1)定义x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．
题型二：求直线的斜率
已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t,4)，求直线l的斜率．
跟踪训练2 求过下列两点的直线l的斜率k.
(1)A(a，b)、B(ma，mb)(m≠1，a≠0)； (2)P(2,1)、Q(m,2)
①一条直线必是某个一次函数的图象；
的图象必是一条不过原点的直线；
③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；
④以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直。
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
张喜林制2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教材知识检索考点知识清单1．直线方程的概念一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都在 且这条直线上点的坐标都是 ，那么这个方程叫做这条直线叫做 ．由于方程b kx y +=的图象是 因此我们常说直线 2．直线的倾斜角当直线与x 轴相交时，x 轴正向与直线 所成的角叫做这条直线的 ，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 ，因此，直线倾斜角的取值范围是 3．直线的斜率直线b kx y +=中的系数k 叫做 ，垂直于x 轴的直线 直线上的两点),,(),(2211y x B y x A 、那么直线的斜率=k ).(21x x =/当0=k 时，直线 或当0>k 时，直线的倾斜角为 ．k 值增大，直线的倾斜角也随着当0<k 时，直线的倾斜角为____，k 值增大，直线的倾斜角也随着____；垂直于x 轴的直线要点核心解读1．对直线方程概念的理解把—次函数b kx y +=的每一对x 与y 的值，看成直角坐标系中的点（x ，y ），则（x ，y ）的集合便是一条直线.b kx y +=另一表达形式0=--b kx y 是二元一次方程的形式，这样，这个方程的实数解就和这条直线上的点的坐标建立了一一对应的关系，于是得到以下两个方面的含义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个二元一次方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率(1)斜率公式的推导．直线b kx y +=被其上的任意两个不同的点所唯一确定（如图2 -2 -1-1所示），由这条直线上任意两点、),(11y x A ),(22y x B 的坐标可以计算出k 的值．由于11,y x 和22,y x 是直线方程b kx y +=的两组解，所以,,2211b kx y b kx y +=+=两式相减，得),(1212x x k y y -=-故=k ),(121212x x x x y y =/--那么)(121212x x x x y y k =/--=称为直线的斜率公式． 由斜率公式可知，斜率k 可以由直线上两个不同点的坐标求得，但它的大小与这两个点在直线上的顺序无关．(2)斜率的定义通常，我们把直线b kx y +=中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，斜率不存在． 除了垂直于x 轴的直线，只要知道直线上两个不同点的坐标，由斜率公式就可以算出这条直线的斜率．方程b kx y +=的图象是过点(O ，b)且斜率为k 的直线．(3)求斜率的步骤，我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算： ①给直线上两点的坐标赋值：?,,?,?,2121=⋅===y y x x ②计算;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③如果,0=∆x 则判定“斜率k 不存在”； ④如果,0=/∆x 计算;xyk ∆∆=⑤输出斜率k ， 3．直线的倾斜角(1)定义．x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)斜率与倾斜角的关系．由斜率k 的定义可知：0=k 时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；0>k 时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 0<k 时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 垂直于x 轴的直线的倾斜角等于.90典例分类剖析考点1 直线与二元一次方程的对应关系 命题规律(1)已知两点求斜率和倾斜角． (2)已知斜率或直线方程求倾斜角．[例1] 如图2 -2 -1-2所示直线321l l l 、、都经过点P(3，2)，又321l l l 、、分别经过点、)1,2(1--Q、)2,4(2-Q ),2,3(3-Q 试计算直线321l l l 、、的斜率．[解析] 已知两点求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，则其斜率不存在；若不相等，可用公式求之．[答案] 设321k k k 、、分别表示直线321l l l 、、的斜率，由于321Q Q Q P 、、、⋅的横坐标均不相等．,43422,53322121-=---==----=∴k k .033223=---=k母题迁移 1．已知,1)7,()5,3()1,1(-（、、、D a C B A )b 四点共线，求直线方程.b ax y +=[例2] 求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角：);7,2(),3,1)(1().5,3(),1,4)(2(- [解析] 利用直线的斜率公式1212x x yy k --=求之，根据k 的正负判定倾斜角是锐角还是钝角．[答案] ,041237)1(>=--=k 所以倾斜角是锐角； ,064315)2(<-=-+=k 所以倾斜角是钝角． [点拨] 若直线的斜率大于0，则其倾斜角为锐角；若直线的斜率小于O ，则其倾斜角为钝角；若直线的斜率等于O ，则其倾斜角为,0若直线的斜率不存在，则其倾斜角为.90o[例3] 已知直线321l l l 、、的斜率分别为,321k k k 、、如图2-2 -1-3所示，则( )．321.k k k A << 213.k k k B << 123.k k k C << 231.k k k D <<[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 由图可知直线1l 的倾斜角为钝角，所以;01<k 直线2l 与直线3l 的倾斜角均为锐角，且直线2l 的倾斜角较大，所以,032>>k k 所以⋅>>132k k k[答案] D母题迁移 2．求经过点,0)(,().,(=/ab b a B mb ma A )1=/m 两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角，考点2 求斜率或倾斜角的取值范围 命题规律已知直线与线段有公共点，求斜率k 的取值范围．[例4] 已知、)3,3(--A ),1,2()2,2(--P B 、如图2 -2 -1 -4所示，若直线L 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线L 的斜率k 的取值范围．[答案] ,4)3(2)3(1=⋅-----=PA k,4322)2(1-=----=PB k∴ 要使直线L 与线段AB 有公共点，k 的取值范围应该是43-≤k 或.4≥k母题迁移 3．已知实数x 、y 满足,82=+y x 当32≤≤x 时，求xy的最大值和最小值， 考点3 利用斜率证明三点共线 命题规律已知平面上三点，证明三点共线．[例5] 已知三点),5,4()3,3()1,1(C B A 、、-求证：三点在同一直线上． [答案] 证法一：用距离公式证明．,53||,5||,52||===AC BC AB |,|53552||||AC BC AB ==+=+∴即A 、B 、C 三点共线．证法二：用斜率公式证明，,23435,21313=--==-+=BC AB k k ⋅=∴BC AB k k 又 ∵直线AB 、BC 有公共点B ．∴ A 、B 、C 三点共线．[点拨] 本题有很多种证明方法，这里选用了距离公式和斜率公式两种方法，继续学习后，还会有其他证明方法．母题迁移 4.一束光线从点A （-2，3）射入，经x 轴上的点P 反射后，通过点B(5，7)，求点P 的坐标．优化分层测讯学业水平测试1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )．①直线L 一定是一个一次函数的图象；②一次函数，y = kx +b 的图象一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． A.O 个 B.l 个 C.2个 D.3个． 2．集合A={直线方程=+=B b kx y },{一次函数的解析式}，则集合A 与B 的关系为( )．B A A =. B A B ⊇. A BC ⊇.D ．以上说法都不对3．直线L 过点),2(m p -⋅和)4,(m Q 两点，且L 的斜率为1，则m 的值为( )．1.A 4.B 31.或C 41.或D4．过点)3,2()2,3(--N M 与的直线的斜率=k ，倾斜角为 . 5．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若,2=AB k 则B 点的坐标为 6．已知方程.0632=++y x(1)把这个方程改写成一个一次函数的形式； (2)画出这个方程所对应的直线L ； (3)点)1,23(是否在直线L 上．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：IOO 分） 一、选择题（5分x8 =40分）1．点)4,3()1,0(B A 、在直线1l 上，若直线,12l l ⊥则直线2l 的倾斜角为( )．30.-A 30.B o C 120. 150.D2．直线L 的倾斜角为ααsin ,是方程033442=+-x x 的根，则a 的值是( )．60.A 120.B 150O 30.或o C 12060.或D3．设直线L 的倾斜角为θ，则L 关于直线3=y 对称的直线的倾斜角是( )．θ.A θ- 90.B θ-o C 180. θ- 90.D4．若)0,()4,9()2,3(x C B A 、、--三点共线，则x 的值为( )．1.A 1.-B 0.C 7.D5．若直线L 经过点)1,2(--a 和),1,2(--a 且与经过点、)1,2(-斜率为32-的直线垂直，则实数a 的值是( )．32.-A 23.-B 32.C 23.D 6．设点),2,3()3,2(---B A 、直线L 过点P(l ，1)且与线段AB 相交，则L 的斜率k 的取值范围是( )．443.-≤≥k k A 或 4143.-≤≥k k B 或 434.≤≤-k C 443.≤≤-k D 7．直线L 过点A(l ，2)，且L 不过第四象限，那么L 的斜率k 的取值范围是( )．]2,0.[A ]1,0.[B ]21,0.[C )21,0[⋅D8．已知),1,3()2,(+b B a A 、且直线AB 的倾斜角为,90则a 、b 的值为( )．1,3.==b a A 2,2.==b a B 3,2.==b a C 1,3.=/∈=b R b a D 且二、填空题（5分x4 =20分）9．给出以下命题：①任何一条直线都有唯一确定的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以是;30- ③倾斜角为00的直线只有一条，即x 轴；④按照直线倾斜角的概念，直线倾斜角的集合<≤αα0|{}180与直线的集合建立了一一对应的关系．其中正确命题的序号是10．三点（2，-3）、(4，3)及)2,5(k 在同一条直线上，则k 的值等于11．已知过)2,3()1,1(a Q a a P 和+-的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 12.直线)(013cos R y x ∈=++⋅θθ的倾斜角的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分）13.斜率为2的直线经过),1()7,()5,3(b C a B A -、、三点，求a 、b 的值．14．(1)已知矩形ABCD 中，、、)1,2()2,1(B A 中心),3,3(E 点),(y x P 在矩形的边界及内部运动，求xy的取值范围；(2)若实数x 、y 满足：,3,212-≥≤+=y x x y 且求xy的取值范围．15.求经过两点))(3,()2,1(R m m N M ∈-、的直线的斜率，并讨论m 为何值时倾斜角是锐角、钝角和直角？16.求函数2sin 1sin 3++=x x y 的值域.。
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
y
o
x
y
y
o
x o
y
x
o
x
（1）
（2）
思考？
（3）
（4）
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
角度升切值， 数形达一致。
坡度（比）
升高量 前进量
y x
tan
知识探究2：直线的斜率
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用
知识探究3：两点确定直线的斜率
y
k tan
以往我们一般
y2
y1
P2 (x2, y2 )
△y
△x Q(x2, y1) P1(x1, y1)
在 中怎 求样 一的 个图 角P形的2 P1Q,
正且切x值1 呢 ?x2, y1 y2
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
k
tan
tan P2P1Q
y
l1
l２
l３
O
X
k1 k3 k2
当 在 [0 ,180 )变化时，斜率k如何变化？
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
0°＜ ＜ 90°
= 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
动态演示
注意： 1、所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2、倾斜角是从几何角度刻画直线的倾斜程度；而斜 率是从代数角度刻画直线的倾斜程度，
19-20 第2章 2.2 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学习目标核心素养1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点) 4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点)1.通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养.1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．思考1：如何判断点P(2,1)是否在直线y＝x－1上？[提示]把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．2．直线的斜率及斜率公式(1)斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan α.(2)斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．(3)斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度．3．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．思考2：直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？[提示]不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．1．如图所示，直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．以上都不对C[根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.]2．直线l过点M(－3，2)，N(－2，3)，则l的斜率为()A．62B．1C．63D． 6B[根据题意，l的斜率为3－2－2－(－3)＝1.]3．斜率不存在的直线一定是() A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于坐标轴的直线B[只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．2或29[∵A、B、C三点共线，∴k AB＝k BC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或29.]直线的倾斜角时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．2．两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率【例2】已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[思路探究](1)利用k＝y2－y1x2－x1及k＝tan α求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．[解](1)由斜率公式得k AB＝1－11－(－1)＝0，k BC＝3＋1－12－1＝ 3.k AC＝3＋1－12－(－1)＝33.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan 60°＝3，∴BC的倾斜角为60°.tan 30°＝33， ∴AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k ＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解．2．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.斜率公式的应用1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2.2．你能证明A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)三点在同一条直线上吗？ [提示] 能．因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)， 所以k AB ＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ， 所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上．【例3】 已知直线l 过点M (m ＋1，m －1)，N (2m ，1)． (1)当m 为何值时，直线l 的斜率是1? (2)当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90°？ [思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式． [解] (1)k MN ＝m －1－1m ＋1－2m＝1，解得m ＝32.(2)l 的倾斜角为90°，即l 平行于y 轴，所以m ＋1＝2m ，得m ＝1.1．本例条件不变，试求直线l 的倾斜角为锐角时实数m 的取值范围． [解] 由题意知 ⎩⎨⎧m －1－1m ＋1－2m ＞0m －1≠1，解得1＜m ＜2.2．若将本例中的“N (2m,1)”改为“N (3m,2m )”，其他条件不变，结果如何？[解] (1)由题意知m －1－2mm ＋1－3m ＝1，解得m ＝2.(2)由题意知m ＋1＝3m ，得m ＝12.直线斜率的计算方法1．判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． 2．若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2)进行计算．1．本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求直线倾斜角的方法． (2)求直线斜率的方法．(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系．3．本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( ) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线． ( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√[提示] (1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度． (2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P 和一个倾斜角α.(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．2．若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( ) A ．－32 B ．32 C ．－1 D ．1 C [k AB ＝y ＋34－2＝tan 45°＝1，即y ＋32＝1，∴y ＝－1.]3．如图所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．k 1<k 3<k 2 [设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2.]4．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．[解] 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3， 所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.课时分层作业(十五) 直线方程的概念与直线的斜率(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°C[直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.]2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是() A．5B．8C．132D．7C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解得m＝132.]3．下列说法正确的是()A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C．与x轴平行的直线的倾斜角为180°D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率D[选项A成立的前提条件为直线和x轴相交，故错误；选项B中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C中与x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．]4．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．90°A[设直线的倾斜角为α，直线斜率k＝(2＋3)－24－1＝33，∴tan α＝33.又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.]5．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是() A．0 B．1C．12D．2D[如图，k OA＝2，k l′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.]二、填空题6．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点直线的倾斜角为________．45°[由题意知，b≠a，所以k＝c＋a－(b＋c)a－b＝1，故倾斜角为45°.]7．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．2[∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.]8．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．0[如图，易知k AB＝3，k AC＝－3，则k AB＋k AC＝0.]三、解答题9．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线P A的倾斜角为60°.[解](1)当点P在x轴上时，设点P(a,0)，∵A(1,2)，∴k P A＝0－2a－1＝－2a－1.又∵直线P A的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )．同理可得b ＝2－3，∴点P 的坐标为(0,2－3)．10．已知A (2,4)，B (3,3)，点P (a ，b )是线段AB (包括端点)上的动点，求b －1a －1的取值范围．[解] 设k ＝b －1a －1，则k 可以看成点P (a ，b )与定点Q (1,1)连线的斜率．如图，当P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，PQ 的斜率由k BQ 增大到k AQ ，因为k BQ ＝3－13－1＝1，k AQ ＝4－12－1＝3， 所以1≤k ≤3，即b －1a －1的取值范围是[1,3]． [等级过关练]1．斜率为1的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A ．5,0B ．4,1C ．5,1D ．5，－1 C [由题意，得⎩⎨⎧ k AC ＝1，k AB ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －5－1－3＝1，7－5a －3＝1，解得a ＝5，b ＝1.]2．已知直线l 1的斜率为1，l 2的斜率为a ，其中a 为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D ．(1，3)C [∵l 1的倾斜角为45°，∴l 2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)，故选C.] 3．已知A (－1,2)，B (3,2)，若直线AP 与直线BP 的斜率分别为2和－2，则点P 的坐标是________．(1,6) [设点P (x ，y )，则有y －2x ＋1＝2，且y －2x －3＝－2，解得x ＝1，y ＝6，即点P 的坐标是(1,6)．]4．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________．(－2,1) [∵k ＝a －1a ＋2且直线的倾斜角为钝角， ∴a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1.] 5．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围． [解]y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)，设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB .∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
x x2 x1 5 ( 2) 3, y y2 y1 3 0 3
y 3 k 1 x 3 3 tan k 1 4
质疑探究
例2.已知三角形三顶点坐标分别为A（2,－3），B（－7,9）， C（18,9），求AB边上的中线所在直线的斜率及倾斜角。
直线的倾斜角
直线的斜率与倾斜角之间的关系 不难证明：
y k tan x
y
y2
y1
O
B A
y
x
x1
x2
x
质疑探究
例1.求经过两点的的直线的斜率k和倾斜角α 。 (1)A(-2,0),B(-5,3)； (2)C(a,c),D(b,c) (3)E(3,0),F(3,-2) (4)G(1,-1),H(-3,2)
y k , (x 0) x
y
y2
y1
O
B A
y
x
k刻画了直线的倾斜程度
x1
x2
x
直线的倾斜角
直线的方向除了利用直线的斜率以外，还可以利用角度来刻 画。 x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角（用α 或θ 表示）。
规定：若直线与x轴平行或重合，则其倾斜角为零度角。
α
α α
k含义的研究（k在直线方程y=kx+b中1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是直线上任意两点，当 x1 x2 时， 由这两点的坐标可以计算出 k 值。 y1 kx1 b, y2 kx2 b 两式相减
y2 y1 kx2 kx1 k ( x2 x1 )
3
一次函数y=kx+b，x=a,y=c都可以看作 二元一次方程，这个方程的解和它所表示 的直线上的点一一对应。
高中数学直线的方程直线方程的概念与直线的斜率直线方程的几种形式知识导学案新人教B版必修
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式知识梳理1.直线的倾斜角和斜率 (1)倾斜角α:当直线l 与x 轴相交时，x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和l 重合时所转过的最小角,即为α；当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α=0，故α的取值范围是0≤α＜π. (2)斜率k:k=tanα，当α=0时，k=0；当0＜α＜2π时，k ＞0；当α=2π时，k 不存在；当α＞2π时，k ＜０.(3)两点斜率公式——直线方向坐标化:已知直线上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则直线的斜率k=1212x x y y --(x 1≠x 2).直线方程都是关于x 、y 的一次方程，关于x 、y 的一次方程都表示直线，选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的特殊方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线). 平行于x 轴的直线方程为y=a;平行于y 轴的直线方程为x=b(平行于y 轴的直线的斜率不存在); 过原点的直线方程为y=kx; x 轴的方程是y=0;y 轴的方程是x=0(y 轴的斜率不存在). 知识导学要学好本节内容，应突破已知直线的斜率求直线倾斜角的难点,主要在于对直线倾斜角范围的认识,特别是斜率为负值且不是特殊角的情况,要注意钝角和负角的区别.根据直线的斜率取值范围求倾斜角的取值范围也是本节的难点,特别是斜率既有负值又有正值的情况是比较容易混淆的,这类问题可以结合正切函数的图象写出结果.根据实际问题认清直线方程的五种形式各有自己的特点,解题时作出灵活选择与判断.实际上,我们用的最多的还是点斜式和斜截式的方程,在设出这些方程的时候一定要根据实际的图形来判断斜率不存在的情况,在使用截距式方程时还要讨论过原点的情况,特别是在问题中出现“在两坐标轴上的截距(或者截距的绝对值)相等”这一类的问题. 已知斜率的范围求倾斜角的范围的记忆口诀:斜率有正负,图象来定位. 疑难突破1.方程y=kx+b(k≠0)能表示所有直线吗？剖析:方程y=kx+b(k≠0)是直线方程的一种形式——斜截式，由于直线按斜率分类可以分为两类：一类是存在斜率的直线，另一类是不存在斜率的直线.故方程y=kx+b(k≠0)只能表示斜率存在的直线，而斜率不存在的直线用方程y=kx+b(k≠0)是不能表示的.所以方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线.由方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线，我们可以得出一般性的结论：平面直角坐标系中，凡是根据直线的斜率推导出来的直线方程都不能表示所有的直线.如：点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能表示所有直线.2.在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中有三个不同参数A 、B 、C,为什么可由两个独立条件确定一条直线？剖析:根据等式的基本性质：在等式两边同时乘以(或除以)一个非零的数(或式子)，等式仍然成立.由于在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中已经给出了一个已知条件“A、B 不同时为零”，所以从形式上看有三个不同参数，而实际上我们可以把它转化成只含有两个不同参数的方程，即在方程Ax+By+C=0的两边同时除以A(或B)，则原方程可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),也就是说，在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中,形式上尽管有三个不同参数A 、B 、C,但却可由其中的两个独立条件确定一条直线. 根据条件“A、B 不同时为零”进行分类讨论：(1)当A=0，B≠0时，方程Ax+By+C=0即为By+C=0，也就是y=-BC，这是一条与x 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定.(2)当B=0，A≠0时，方程Ax+By+C=0即为Ax+C=0，也就是x=-AC，这是一条与y 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定. (3)当A≠0且B≠0时，方程Ax+By+C=0可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),即原方程可转化为只含有两个待定系数的方程.当然可以由两个独立条件确定.3.利用斜率相等你可以得到哪些结论？ 剖析:斜率公式的应用非常广泛，在利用斜率公式时应注意：(1)直线的倾斜角和斜率是直线本身的属性，它们重视与三角函数的渗透和对字母参数的讨论;(2)斜率与倾斜角是数与形的有机结合.不同的两条直线斜率相等时,它们的倾斜角也相等，所以这两条直线平行.在三点两两相连确定的直线中，如果经过同一点的两直线斜率相等，则这三点共线. 4.研究直线的方程的基础是什么？在学习直线的斜率公式k=1212x x y y --(x 1≠x 2)时需要注意什么？剖析:斜率公式表明直线对于x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而使用比较方便.斜率(公式)是研究直线方程的各种形式的基础，必须熟记并灵活运用.斜率公式与选取两点的顺序与位置无关.当x 1≠x 2,即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立；当x 1=x 2时，倾斜角α=2，而没有斜率，故斜率公式不成立.。
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l1
O
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x
面对艰难，如果你选择顽强，那便 选择了“可能”，而“可能”意味 着“改变”！
5、过点P(1,2)的直线l与x轴和y轴 分别交于A, B两点, 若P恰为线段AB的中点， 求直线l的斜率. k 2
那些咬紧牙关的灵魂是别人用肉眼 看不到的！
6
越努力，越幸运！
相信是起点，信念是终点。
得到的越多，这之前你也必须 比别人承受更多！
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作业
课本 76 页 A组 1题
B 组 1 、 3题
且与线段AB相交，求直线 l的斜率的取值范围 .
思考：已知点 A(2,-3), B(-3， - 2） , 直线l过点P(1,1)，
谢谢指导！
1、若直线x 1的倾斜角为，则是： B
A、 0
B、 90
C、 180
D、不存在
ห้องสมุดไป่ตู้
直线方程的概念:如果以一个方程的解为坐标的点
都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个
方程的解．那么这个方程叫做这条直线的方程； 这条直线叫做这个方程的直线。
思考：下列方程是图中的直线吗？为什么？
y y
1
1 2
1 0 x 0
1
x
y 2 x 1( x 0)
y x
方程的 直线
直线的 方程
“都 ” 直 线 方 程 的 概 念
例1：已知二元一次方程 3 x 6 y 8 0. (1)把这个方程改写成一次 函数； （2）画出这个方程对应的 图象； 3 （3）判断点 ， 1，（ 3,0）是否在直线上？ 2
探究二：直线斜率公式
如果A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )是直线y kx b上任意两点， 其中x1 x2，
任何时候都别怕从头再来，每 个看似低的起点，都是通往高 峰的必经之路！
2、若直线经过第二、四 象限， 则直线的倾斜角 的范围是：
D
A、 0 90
B、 90 180
C、 0 180
D、 90 180
只有经过最痛苦的坚持，才能 配得上拥有最长久的幸福！
纵 （ 1 ） 横
（2）角码同序
y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
（3）若y1 y2，则k ?
（4）若x1 x2，则k ?
我们把y kx b中的系数k叫做这条直线的斜率 .
垂直于x轴的直线斜率不存在 .
楼梯的倾斜程度
2m
1.2m
3m
升高量 坡度 前进量
苏步青（1902.9.23-2003.3.17）， 中国著名的数学家、教育家，“东 方第一几何学家”
攀为 高学 贵应 在须 少毕 年生 时力 ，
§2.2.1
直线方程的概念 与直线的斜率
历城二中
周承红
探究一：直线方程的概念
y
y 2x 1
P
l
y2
1 0
1
x
方程y kx b的解与其图象上的点存 在一一对应关系
x
y
B
x
对边 y tan k (x 0） 邻边 x
判断下列命题是否正确 ： (1)任何一条直线都有倾斜 角； （2）任何一条直线都有斜 率； （3）与坐标轴垂直的直线 的倾斜角是90 ； （4）若直线的倾斜角是锐 角，则斜率k 0
课堂小结
一一对应
形数 缺缺 数形 时时 难少 入直 微观
3、已知两点A( x,2), B(3,0)，并且直线AB的 1 斜率为 ，则x是： B 2 A、 1 B、 -1
C、 1
D、 0
进步最好的方法是行动。等待 不会让它完成，行动则会立马 见效！
4、如图所示，直线 l1 , l2 , l3的斜率分别为 k1 , k2 , k3 , 则： D A、k1 k2 k3 B、k3 k1 k2 C、k3 k2 k1 D、k1 k3 k2
3m
探究直线斜率k的几何意义
y
y2
y
y1
x
x1
x2
x
升高量 坡度 前进量
y k (x 0） x
y
y
y2
y1
y k (x 0） x
x1
x
x2
x
斜率
斜率 公式
斜率的 几何意 义
直 线 的 斜 率
例2、求经过A（ 2,0）B(5,3)两点的直线的斜率 .
速练：经过下列两点的 直线的斜率是否存在？ 如果存在，求其斜率： （1 ）（ 1， 2），（5， 2）
0
（2）（3,0），（3，,3） 不存在
直线的倾斜角概念：
线的倾斜角（用 或 表示）。
x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直
α
α
α
规 定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角
辨析：下列图中标出的 直线的倾斜角对不对 ? 如果不对，违背了定义 中的哪一条？
范围
定义 直 线 的 倾 斜 角
k=tanα
探究三：斜率与倾斜角的关系
α
α
α
k 0时， 0
k 0时，为 锐角 k 0时，为钝角 k不存在时， 90
探究三：斜率与倾斜角的关系
y
C
A