高中数学北师大选修1-1 3.3.1《函数的单调性与导数》

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北师大版数学高二选修1-1课件第四章 1.1 导数与函数的单调性

33，
33，则
a
的取值范围是
(_0_，__＋__∞__).
解析
f′(x)＝a(3x2－1)＝3ax＋
33x－
33，
令
f′(x)<0，由已知得－
3 3 <x<
33，
可得a>0.
12345
解析答案
5.已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的. 证明 y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)，当a>1时，因为ln a>0，ax<1，所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的；当0<a<1时，因为ln a<0，ax>1，所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
(√) 4.若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的” 的充要条件.( × ) 5.若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则 f(x)在[a，b]上是减少的.( √ )
题型探究
类型一原函数和导函数图像之间的关系例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的
解答
类型三含参数函数的单调性例3 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范围是_[1_，__＋__∞__). 解析由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立. 因为 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞).

(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数与函数的单调性-参考课件(1)

例题讲解
例 1求函数f ( x) 2x3 3x 2 36x 16 的函数导数的符号有关,因此,可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间. 解 :由导数公式表和求导法则可得:
f ( x) 6 x 6 x 36 6( x 2)(x 3). 当x (,2)或者x (3,)时, f ( x) 0,因此,
y
40
20
3 2 O x
f ( x) 2x3 3x 2 36x 16
方法归纳由导数来求函数的单调区间步骤: 1,先求出函数的导函数. 2,由导函数得到相应的不等式. 3,由不等式得相应的单调区间.
课堂练习
2 1,确定函数 f ( x ) x 2 x 4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
令 6 x 2 12 x 0，解得 x 2或 x 0， f ( x )是增函数；因此，当 x (,0) 时，
f ( x )是增函数；当 x (2,) 时，
再令 6 x 2 12 x 0 ，解得 0 x 2 ，因此， f ( x )是减函数；当 x (0,2)时，
判断函数 f ( x) x 4x 3 的单调性
2
解(定义法）：设 x1 x2 则 2 2 f(x1 ) f(x2 ) x1 4 x1 x2 4 x2
y
图象法
Y
10
8
x1 x2
(x1 x2 )(x1 x2 4 )
6
4
2
X
O
5 10
当x1 x2 2时，f ( x1 ) f ( x2 ) 当x2 x1 2时，f ( x1 ) f ( x2 ) 函数f ( x)在(2,)上单调递增在， 2上单调递减

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 1.1导数与函数的单调性》1

§ 函数的单调性与导数撰稿人：杨静荣高非审稿人：高二数学备课组授课人：__________授课时间:__________学生编号：____________ 姓名：_______________【学习目标】1知识与技能：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；2过程与方法：了解导数的实际背景，能利用导数定义和导数公式解决函数单调性问题。

3情感态度与价值观：以实际问题为背景，让学生经历解决问题的过程，培养学生的兴趣。

【重点难点】教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间【方向探究】问题：图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而（），即()h t 是（）函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而（），即()h t 是（）函数．相应地，'()()0v t h t =<．【自主探究】阅读课本57页回答教学案相关问题探究1：函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系探究2：如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．（图）在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递（）；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递（）．【合作探究】小组合作讨论完成课本58页例题一并总结求函数单调性的步骤（时间3分钟）求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．【运用探究】1课本59页练习第一二三学习小组完成（时间3分钟）2优化设计25页探究一例题一第四五学习小组完成（时间2分钟）3变式训练一，二第六七八学习小组完成（时间3分钟）4第九学习小组同学负责上述纠正同学的步骤答案如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．【延伸探究】2021年天津理科：设函数f=（-13-a-b 讨论函数的单调区间【师生反思】1一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．2在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．。

函数的单调性与导数（获奖教案

函数的单调性与导数（获奖教案3.3.1函数的单调性与导数教材分析“函数单调性与导数”是⾼中数学（选修1-1）第三章导数及其应⽤的第三节，本节的教学内容属导数的应⽤，是在学⽣学习了导数的概念、计算、⼏何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，⼜可为后⾯研究函数的极值和最值打好基础.由于学⽣在⾼⼀已经掌握了单调性的定义，并能⽤定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学⽣体验到，⽤导数判断单调性要⽐⽤定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数⽽⾔），充分展⽰了导数解决问题的优越性.课时分配本节内容⽤1课时完成，主要经历从⽣活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到⼀般的数学思想，体现了数学知识来源于⽣活，⼜服务于⽣活.教学⽬标重点：利⽤导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何⽤导数判断函数的单调性.知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能⼒点：1.通过本节的学习，掌握⽤导数研究单调性的⽅法.2.在探索过程中培养学⽣的观察、分析、概括的能⼒渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学⽣多动⼿、多观察、勤思考、善总结，培养学⽣的探索精神，引导学⽣养成⾃主学习的学习习惯.⾃主探究点：通过问题的探究，体会知识的类⽐迁移.以已知探求未知，从特殊到⼀般的数学思想⽅法.考试点：利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，⽽不是导数的单调性决定函数的单调性.教具准备：多媒体课件,三⾓板课堂模式：学案导学⼀.引⼊新课y 的单调性，如何进⾏？师：判断函数的单调性有哪些⽅法？⽐如判断2x⽣：⽤定义法、图像法.师：因为⼆次函数的图像我们⾮常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想⼀下，有没有需要注意的地⽅？⽣：注意定义域.师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本⽅法，但定义法较繁琐,⼜不能画出它的图像，那该如何解决呢？揭⽰并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断⼆次函数的单调性）⼊⼿，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最⼤值或最⼩值等性质是⾮常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有⼀个基本的了解．函数的单调性与函数的导数⼀样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?⼆．探究新知师：如图（1），它表⽰跳⽔运动中⾼度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表⽰⾼台跳⽔运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最⾼点，以及从最⾼点到⼊⽔这两段时间的运动状态有什么区别？⽣：通过观察图像，可以发现：（1）运动员从起点到最⾼点，离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最⾼点到⼊⽔，运动员离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【设计意图】从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学⽣提供⼀个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学⽣；让学⽣完成对函数单调性与导数关系的第⼀次认识，明确研究课题.师：导数的⼏何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下⾯函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数x y =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数01/>=y ；（2）函数2x y =的定义域为R ，在),(+∞-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增；⽽x y 2/=，当0x 时，其导数0/>y ；当0=x 时，其导数0/=y ．（3）函数3x y =的定义域为R ，在定义域上为增函数；⽽2/3x y =，若0≠x ，则其导数032>x ，当0=x 时，其导数032=x ；（4）函数x y 1=的定义域为),0()0,(+∞?-∞，在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递减,⽽2/1xy -=，因为0≠x ,所以0/师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/内单调递减.【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运⽤.让学⽣体会从特殊到⼀般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学⽣在⽼师的引导下⾃主学习和探索，提⾼学习的成就感和⾃信⼼.三. 理解新知师：如图，导数'0()f x 表⽰函数)(x f 在点00(,)x y 处的切线的斜率．观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？⽣:在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数)(x f 在0x 附近单调递增；在1x x =处，0)(1/师⽣共同总结：函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/【设计意图】通过导数的⼏何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成⼀般性结论.让学⽣经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系.四．运⽤新知例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的⼤致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点⽐较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的⼤致形状如图所⽰．学⽣思考，并在纸上画出函数图像教师投影若⼲学⽣的作业情况,学⽣共同分析.【设计意图】让学⽣通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的,这是今后利⽤导函数研究函数的必备技能.这⾥让学⽣切实理解，为今后学习扫清障碍. 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1所⽰．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图2所⽰．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3所⽰．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图4所⽰．学⽣练（3）、（4）【设计意图】让学⽣初步体会⽤导数的⽅法确定函数单调性的简便. 【师⽣活动】总结求()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．例3．已知函数xx y 1+=，试讨论出此函数的单调区间. 解：2222//)1)(1(111)1(x x x x x x x x y +-=-=-=+=２令0)1)(1(2>+-xx x . 解得11-<>x x 或∴xx y 1+=的单调增区间是：),1()1-,(+∞-∞和令0)1)(1(2<+-x x x ，解得1001<<<<-x x 或∴xx y 1+=的单调减区间是：)1,0()0,1(和-练习：93P 1题五.课堂⼩结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间【设计意图】通过师⽣共同反思，优化学⽣的认知结构.六. 布置作业必做：课本８9P A 组 1,2 选做：1、求下列函数的单调区间： (1) 76223+-=x x y (2) x xy 21+=(3) []π2,0,sin ∈=x x y (4) x x y ln = 2、已知32()f x x bx cx d =+++的图像过点(0,2)P 且在1x =-处的切线⽅程为670x y -+=，求（1）()f x 的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间.3、已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学⽣动⼿练习,加强学⽣的应⽤意识.七.教后反思1. 本节课的亮点：教学过程中教师指导启发学⽣以已知的熟悉的⼆次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从⽽到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推⼴到⼀般.这个过程中既让学⽣获得了关于新知的内容，更可贵的是让学⽣体会到如何研究⼀个新问题，即探究⽅法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想⽅法,培养了学⽣的探索精神，积累了探究经验.2. 不⾜之处：学⽣对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练.⼋、板书设计。

高中数学北师大版选修1-1课件：第四章 1.1 导数与函数的单调性 (2)

1.函数导数与单调性的关系:函数y=f(x)在某个区间内,如果f′(x)>0, 则f(x)是增加的；如果f′(x)<0, 则f(x)是减少的.
2.根据导数确定函数单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域. （2）求出函数的导数. （3）解不等式f ′(x)>0,得函数递增区间，解不等式f′(x)<0, 得函数递减区间.
【规律方法】 1.本题关键是构造函数 f(x)，借助函数的单调性来证明不等式． 2.利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x)． (2)求导：F′(x)＝f′(x)－g′(x)． (3)判断函数的单调性． (4)求 F(x)在区间上的最小值为 0，证得 f(x)≥g(x)；求 F(x)在区间上的最大值为 0，证得 f(x)≤g(x).
【解析】 f′(x)＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝1＋ln x.
由 1＋ln x>0 得 ln x>－1＝ln 1e，
即
1 x>e.
由
1＋ln
x<0
得
1 0<x<e.
∴f(x)＝xln x 在(1e，＋∞)上递增，在(0，1e)上递减．
【答案】 D
3 .函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是________．【解析】 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′ ＝(x－2)ex.令 f′(x)>0，解得 x>2. 【答案】 (2，＋∞)
4.求函数 f(x)＝2x3－6x2＋7 的单调区间．
解：f′(x)＝6x2－12x. 令 6x2－12x>0，解得 x>2 或 x<0. 因此当 x∈(2，＋∞)，x∈(－∞，0)时，f(x)是增加的．令 6x2－12x<0，解得 0<x<2. 因此当 x∈(0，2)时，f(x)是减少的．故 f(x)＝2x3－6x2＋7 的单调递增区间为(2，＋∞)和(－∞，0)，单调递减区间为(0，2)．

高中数学选修1-1北师大版导数与函数的单调性课件(29张)

集．
[想一想]
1 ．在区间 (a ， b) 内，若 f′(x) ＞ 0 ，则 f(x) 在此区间上单调递增，反之也成立吗？
[练一练] 2．f(x)＝3x2－x－1 的单调递增区间是(
1 A. 6，＋∞ 1 C. －6，＋∞
解析：(1)函数的定义域为 R. f′(x)＝axln a－a－x· (－ln a) ＝(ax＋a－x)ln a. 当 a>1 时，ln a>0，ax＋a－x>0， ∴f′(x)>0， ∴函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．当 0<a<1 时，ln a<0，ax＋a－x>0， ∴f′(x)<0. ∴函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
第四章
导数应用
§1 函数的单调性与极值
1．1 导数与函数的单调性
重点：利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区
间．
难点：导数与不等式问题的结合. .
一、一般地，在f′(x)＜0 f′(x)＝0
函数的单调性单调______ 单调______ 常数函数
二、求函数f(x)的单调区间的步骤
1．确定f(x)的定义域(a，b)． 2．求f(x)的导数f′(x)．
3 ．令f′(x)>0(或f′(x)<0) ，解出相应的 x的范围．当f′(x)>0 时，f(x) 在
相应区间上是________；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是________．
[疑难提示]
是f′(x)≤0恒成立的区间(导数值为零的点为有限个)．
[解析] (1)由f(x)＝x3－ax－1知f′(x)＝3x2－a. ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R上恒成立． ∵3x2≥0，∴只需a≤0.又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0， f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0. (2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立． ∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3. 当a≥3时，f′(x)＝3x2－a在x∈(－1,1)上恒有f′(x)<0，即f(x)在(－1,1) 上为减函数．故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 1.1导数与函数的单调性》59

导数与函数的单调性教学设计教学目标：1知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。

2能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

3情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。

教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。

教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。

教学方法：“诱思探究”法教学手段：多媒体课件等辅助手段教学过程：一、回顾与思考提问：1．到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。

） 2．比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。

） 3．还有没有其它方法？那如果遇到函数：我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。

）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的另外一种判断函数单调性的方法——导数法。

这时，老师板书课题——导数与函数的单调性。

以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：像上述这种三次函数，判断它的单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。

二、观察与表达32()233616f x x x x =--+借助多媒体，出示表格1（见下页），所给函数都是学生特别熟悉的一次函数（初中已经学过）。

让学生自己填写表格中的相关内容，目的是让学生探索函数的单调性和导数正负的关系。

老师问：通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？学生很自然的就回答出：当导数为正时，函数在整个定义域上是增加的，当导数为负时，函数在整个定义域上是减少的。

（该回答很切入本节课的教学重点）。

数学北师大版高中选修1-1导数与函数的单调性

1.1 导数与函数的单调性班级_________ 姓名____________【学习目标】：1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【重点难点】重点：了解数学归纳法的原理 ,数学归纳法证明基本步骤难点：应用2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【自主检测】1：用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有，那么函数f(x)就是区间I上的函数. 2：常用导数公式C=；()'n x=；(sin)'x=；(cos)'x=；'x=；(log)'(ln)'x=；()'x e=；()'x a=；a【知识点拔】1.函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()=y f x=的切线的斜率就是函数()y f x的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为，函数()y f x =的值随着x 的增大而，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为，函数()y f x =的值随着x 的增大而，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为函数.2.一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数. 如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间内为常数函数3.用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f (x )的定义域；求函数f (x )的导数f ′(x ).（2）令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间【经典体验】例1.判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）2()24f x x x =-+；（2）()x f x e x =-；（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+.例2. 设函数f (x x 3a x 2ax ，其中a ∈R.若f (x )在∞,0)上为增函数，求a 的取值范围。

北师大版高中数学选修1-1课件1.1导数与函数的单调性

第四章导数应用
§1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性
观察图 1 表示高台跳水运动员的高度 h随时间变化的函数 h t 4.9t 6.5t 10的图像,
2
图 2 表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v t h
'
t 9.8t 6.5的图像.运动员
探究点2
y
利用导数讨论函数单调性
单调函数的图像特征
y
f ( x ) 0
o a b x o a b
f ( x ) 0
x
若 f(x) 在G上是增加的或减少的则G称为f(x)的单调
区间.
用单调性定义及函数图像讨论函数单调性虽然可行，
但比较麻烦，利用导数讨论函数单调性更方便.
思考：观察图中的函数y=f(x)的图像，对f′(2)， f′(3)，f(3)-f(2)与0的大小进行排序. 提示：f′(2)，f′(3)是x分别为 2，3时对应图像上点的切线斜率，
应地v（t）=
h(t ) >0.
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减小，即h（t）在定义域上是减少的，相应地v（t）=
h(t ) <0.
这种情况是否具有一般性呢？
1.正确理解利用导数判断函数单调性的原理.
2.会利用导数判断函数单调性，并求函数单调区间.
（重点）
3. 探索导数特征与函数性质之间的关系.（难点）
加的；
当x∈(-∞,0)时, f (x) 2x 0,
函数y=x2在区间(-∞,0)上是
o
1 1 -1
x
减少的.
思考：通过上面三个实例思考导函数的符号与函数的单调性之间具有什么关系？提示：如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数_______ f (x) 0 , 则在这个区间上，函数y=f(x)是_______; 增加的个区间上，函数y=f(x)是_______. 减少的

高中数学选修1-1 27.函数的单调性与导数

27.函数的单调性与导数教学目标班级____姓名________1.掌握函数单调性与导数的关系.2.能够利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间.教学过程一、函数单调性与导数（正负）的关系.（函数单调性是局部性质）1.（1）函数递增的充分条件：0)('>x f ；（2）函数递减的充分条件：0)('<x f .2.（1）函数递增的充要条件：①0)('≥x f ，②0)('=x f 不连续；（2）函数递减的充要条件：①0)('≤x f ，②0)('=x f 不连续.3.求函数的单调区间.（1）求定义域；（①分式：分母0≠；②偶次根式：被开方数0≥；③对数式：真数0>）（2）求导函数；（3）解不等式；（利用函数递增（递减）的充要条件列不等式）（4）下结论.（若单调区间不止一个，不能用“ ”连接，只能用“逗号”或“和”字连接.）二、函数变化快慢与导数（增减）的关系.1.若)('x f 递增，则函数)(x f y =为凹函数；（“越增越快”或“越减越慢”）2.若)('x f 递减，则函数)(x f y =为凸函数.（“越增越慢”或“越减越快”）三、例题分析.1.求函数单调区间.例1：求下列函数的单调区间：（1）x x x f 3)(3-=；（2）)0(ln )(2>-=a x a x x f .练1：（1）求函数a x x y +-=42的单调区间；（2）求函数)0(ln >-=a ax x y 的单调区间.2.函数的变化快慢与导数的关系.例2：如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．练2：已知)('x f 是)(x f 的导函数，)('x f 的图象如图所示，则)(x f 的图象只可能是( )作业：求函数x x y -=ln 的单调区间.。

高二数学-1第四章第1节函数的单调性与极值北师大版选修知识精讲

高二数学－1第四章第1节函数的单调性与极值北师大版选修1【本讲教育信息】一、教学内容第四章第1节函数的单调性与极值二、教学目标1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；2、理解并掌握极值的概念。

了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分必要条件。

3、能利用函数导数判断简单函数的单调性，会求简单的函数的单调区间和极值。

三、教学重、难点函数的单调性与其导数的关系的理解、极值的概念的理解是教学的重点，判断函数的单调性，求函数的极值是教学的难点。

四、知识要点分析：（一）函数的单调性与函数的导数的关系函数。

某个区间内，函数f （x ）的导数f '（x ）>0，则在这个区间上f （x ）单调递增。

某个区间内，函数f （x ）的导数f '（x ）<0，则在这个区间上f （x ）单调递减。

反之，某个区间内，函数f （x ）单调递增，则在这个区间上f （x ）的导数f '（x ）≥0；某个区间内，函数f （x ）单调递减，则在这个区间上f （x ）的导数f '（x ）≤0 例如函数f （x ）=x 3，在R 上单调递增，其导函数在R 上，f '（x ）≥0.（二）求可导函数y=f （x ）的单调区间的步骤：（1）确定函数定义域（2）求f '（x ）并将f '（x ）通分或分解因式，将之化为乘积或商的形式。

（3）解不等式f '（x ）≥0（或f '（x ）≤0）（4）确认并写出单调区间（三）极值的定义：一般地，设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说 f （0x ）是函数)(x f y =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f （0x ）是函数)(x f y =的一个极小值。

极大值与极小值统称极值。

取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

北师大版选修1-1第四章导数与函数的单调性(课件)(共22张PPT)

例 2、求函数 f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16 的单调区间.
思路点拨：先求函数定义域求导令 f '( x ) 0 ，得函数增区间；令 f '( x ) 0 ，得函数减区间写出结论
例 2、求函数 f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16 的单调区间.
用定义法判断函数单调性的步骤：（1）在给定区间内任取x1<x2; （2）作差f(x1)-f(x2);
（3）变形;
（4）判断符号;
（5）下结论。
如何确定函数 f ( x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减？
用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，是否有更为简捷的方法呢？
问题2．导数的定义与几何意义是什么.
y f ( x x) f ( x) f '( x)= lim lim x 0 x x 0 x
几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.
如何确定函数 f ( x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减？
问题1．函数单调性的定义是什么？
一般地，在给定区间上任取两个自变量 x1 , x 2 ，当 x1 x 2 时，若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 f (x)在这个区间上单调递减.
问题2．导数的定义与几何意义是什么.
解：由导数公式表和求导法则可得
f '( x) 6x2 6x 36 6( x 2)( x 3)

高二数学《导数与函数的单调性》教学设计

高二数学《导数与函数的单调性》教学设计高二数学《导数与函数的单调性》教学设计【题】导数与函数的单调性【教材】北京师范大学出版社《数学》选修1-1【教材分析】“导数与函数的单调性”是北师大版普通高中程标准实验教科书数学选修1－1第四《导数应用》第一节的内容。

本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。

函数的单调性是函数极为重要的性质。

在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像判断函数的单调性，通过本节学习，利用导数判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。

同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。

因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

【学生学情分析】由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。

通过本节的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分体现了导数解决问题的优越性。

虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起是一个难点。

【教学目标】1知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。

2过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】对于本节学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。

2015高中数学北师大版选修1-1课件：《导数与函数的单调性》

第四童导数应用◎单元结枸丿知识分类数的单调性与极值:导数在实际问题中的应用第1课时导数与函数的单调性,学习自主化•目标明晰化M除程学习目标1.探索函数的单调性与导数的关系•2•会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.\知识系统化•系统形象化*知识体系梳理G 创设情境对于函数y 二x3-3x,如何判断单调性呢?你能画出该函数的图像吗?定义法是解决问题的最根本方法,但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？知识记IIZ 与理83、预学区•不看不讲丿o知识导学增函数和减函数一般地，设函数f（X）的定义域为I :如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x n x2）当X［〈X2时,都有f （xj <f （x2）,那么就说函数f （x）在区间D上是. 单调增函数.（如图（1）所示）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、当X&2时,都有f （xj >f （x2）,那么就说函数f（X）在区间D 上是一单调减函数（如图⑵所示）r / tv X2 ,/(^l)血)心）先1 尤2Xi X2 x单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M 上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性.区间M 称为单调区间. 判断函数的单调性有图像法和定义法，图像法是作出函数图像利用图像找出上升或下降的区间，得出结论•奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有』邑的单调性•定义法是利用函数单调性的定义进行判断,通过设变量、作差、变形、定号，得出结论.作图并观察函数的图像,找出图像上升（或下降）的起点和终点的横坐标，从而得出单调递增（或递减）区间.根据导数与函数单调性的关系，在函数定义域的某个区间(a, Arrayb)内求函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数f (x)的定义域.(2)求导数f'(x).(3)解不等式f 4 (x) >0或f' (x)<0,如果f '(x)>0,那么函数y二f (x)在这个区间内单调递增；如果f' (x) <0, 那么函数y二f (x)在这个区间内单调递减.(4)写单调区间.，一知识问题化•问题层次化*基础学习交流1 '下列函数在（0,+°°）上是增函数的是（D ）•A. y二-x?B. y二-x0. y二x2-x D. y二x【解析】作出函数图像，观察图像可以得出函数戸2在（0,+8）上是增函数•门函数y二2—3x2在区间(-1,1)±的增减情况为(C ).A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增【解析】作出函数图像，观察图像可以得出函数尸2-3x2在区间(T, 1)上先增后减.也可通过导数研究，对于函数y=2-3x2, y' =-6x,故当xG (-1, 0)时,y' >0,函数递增;当xG (0, 1)时,y'〈0,函数递减.6如果函数f(X)二x2+2 (a-1) x+2在区间(-00,4］上是减函数,那么a的取值范围是(一°°，一3］.【解析】已知函数的图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=l-a,若在区间(~°°, 4］上是减函数，贝故aW-3・4求函数y二x2-x的单调区间.【解析】作出函数图像，观察图像可以得出函数在+-）上是增函数在（-8,》上是减函数，所以函数ypJx的单调递增区间为+-）,单调递减区间为（-8,扌）.也可通过导数研究，对于函数y=x2-x, y' =2x-l,当xe +8）时,y，>o, 是增函数；当x£ （-°°, |）时,y' <0,是减函数.所以，函数y=x2-x的单调递增区间为［扌,+8）,单调递减区间为（-8,|）第二层级U\抜能系统化•系统个性化点难点探究求函数的单调性与其导函数正负的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.思维糜笄与创新r导学区•不议不讲丿）（1(2)(3)(4)(续表)【解析】(1)函数y=x的定义域为R,并且在定义域上是增函数,其导数y, =l>0.⑵函数y=x2的定义域为R,在(-°°, 0)上单调递减，在(0, +°°)上单调递增.而y' =2x,当x<0时,其导数y'〈0;当x>0时,其导数y' >0;当x=0时，其导数y =0.(3)函数y=x?的定义域为R,在定义域上为增函数.而y，=3x2,若xHO,则其导数3x2>0,当x=0时,其导数3x2=0.(4)函数y」的定义域为(-oo, 0) U (0, +8),在(一8, 0)上单调递减，在X(0, +°°)上单调递减，而y‘ 因为xHO,所以y‘〈0・x z探究二利用导数求函数的单调区间已知函数f (x)二ex-axT ,求f (x)的单调增区间.【解析】Vf(X)=e x-ax-l, A f" (x) =e x-a. 令f' (x) 20,得e x^a,当aWO时，有f' (x) >0在R上恒成立；当a>0 时，有x21n a.综上，当a WO时,f (x)的单调增区间为(-8, +OO)；当a>0时，f (x)的单调增区间为［In a, +°°).利用函数单调性求参数的范已知函数y二x2+mt[1, +oo)上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】y'=2x-青二学.X乙 x zT函数y二x'+B在[1, +°°)上为增函数.Xy 3_ •••竺F>0,X G[1,+B),即2x3-a>0, a<2x3.x z即要使a<2x3在xG [1, +°°)上恒成立.而函数g(x) =2x3在[1,+8)上单调递增,.,.g(x)min=g(l)=2, .\a<2. 又当a=2 时,y‘ 二竺对xW [1, +8)也有f，(x)>0.x z•••当a=2时，y=x2+-在[1, +8)上也是增函数.X综上所述，函数y=x?+2在[1, +OO)上单调递增时，实数a 的取值范围是aW2・方法能力化•能力具体化*思•维15展应用已知函数f(X)的导函数F (x) =ax 2+bx+c 的图像如下图所示,则函数f(x)的图像可能是(D ).【解析】由导函数图像可知当x 〈0时,f‘ (x)<0,函数f(x)递减, 排除A 、B.又当x=O 时,(0)=0,所以选D ・应用CL应用二判断下列函数的单调性，并求出单调区间.(1) f (x) =s i n x-x, xE (0, n );(2) f (x) =2x3+3x2-24x+1.【解析】⑴因为 f (x)=sin x-x, xe (0, n),f‘ (x)=cos x-l〈0,所以，函数f (x)=sin x-x在(0, □)上是减函数，递减区间为(0, Ji).(2)因为 f (x) =2x3+3x2-24x+l,所以f‘ (x) =6x2+6x-24・当f‘ (x)>0,即x〈-匹土或x〉迟巴时，函数f (x) =2X3+3X-24X+1是增函数；当f‘ （x）＜0,即〈匹1时，函数f （x）=2x3+3x?-24x+l是减函数.递增区间为（-汽-呼）和（咛,+ a）,递减区间为（-字,竽）・◎应用三已知函数f(X)二In x+x2+ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围.【解析】(法一)分离参数法：由题意转化为f' (x)20在xG (0, +8)上恒成立，因为f' (x) =-+2x+a=-2+a—,所以-2+—-^0 在xG (0, +8)上恒成立X X X即2x2+ax+1^0 在xe (0, +8)上恒成立, 即a±[—(2x+丄)]max・X因为xG (0, +s),所以2x42近,当且仅当x二容时取等号.x 2因此- (2x+丄)取最大值-2V2,X则a^-2V2.所以a的取值范围为[-2V2, +°°)・(法二)二次函数法：由题意转化为f'(X)20在X W (0, +8)上恒成立, 因为f' (x)」+2x+屮业竺匕，X X所以2x*ax+l三0在％丘(°, +oo)上恒成立，X即2x2+ax+l三0在x丘(0, +°°)上恒成立，即g(x)=2x2+ax+l,其开口向上，恒过定点(0, 1). 则A<0或-仝£0,4解得a2-2说.所以a的取值范围为［-2返,+8).检測智能化•智能数字化*基础智能检测1 •函数y=f (x)是定义在R 上的可导函数，则u y=f (x)是R 上的增函数”是"f‘(x)>0” 的(B ).A •充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D ・既不充分也不必要条件【解析】函数y=xj 当x=0时，f‘ (0)=0,但y 二X?是R 上的增函数,故选 B. 技能应用与荷雇第三11级固学区•不练不讲2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(C ).A. (|, +8)B.c. [|, +oo) D.【解析】由已知函数是R上的单调函数，可得y' =3x2+2x+m^0恒成立,判别式△ =4T2mW0,解得m2右,故选C.3•函数y二x-ln x的单调递减区间是-(°，】)•【解析】定义域是(0, +OO),由y =1丄叫0及定义域得0<x<i,单调X X递减区间是(0, 1)・4-若函数尸x'+bx有三个单调区间,求实数b的取值范围实数b的取值范围是(_oo,o)思维图形化•图形直观化磁维导图构建函数的单调性与导数計总结评们与反思ft 思学区•不思不复。

高中数学选修1课件1-3.3.1函数的单调性与导数

解析：方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1.
当 a－1≤1，即 a≤2 时，对于任意的 x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞) 上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而 4≤a －1≤6，故 5≤a≤7. 综上，实数 a 的取值范围为[5,7]．
(3)要特别注意函数的定义域．
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x3－2x2＋x；
(3)y＝12x＋sin x，x∈(0，π)．
解析：(1)∵y＝(1－x)ex， ∴y′＝－xex，∴y′＞0 时 x＜0，y′＜0 时 x＞0， ∴函数 y＝(1－x)ex 的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)． (2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令 3x2－4x＋1＞0，得 x＞1 或 x＜13. ②令 3x2－4x＋1＜0，得13＜x＜1.
状元随笔
如图，函数 y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内 “平缓”．
说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
[小试身手]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增区间是
状元随笔先求导数，再利用二次函数知识求 a.
3．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值