01级高等数学II试题 (A,B)

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《高等数学二》考试题及答案

《高等数学二》考试题及答案

《高等数学(二)》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=⋅b a ,则=b ( A ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )(A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( D )(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为:230,1≤≤=y x L ,则=⎰L ds 6 ( A )(A )9 (B) 6 (C )3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 ( B ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是( D )(A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )(A )⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )(A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D ) 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的( B ). (A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛,则下列结论错误的是 ( B )(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 ( C )(A )函数f 及变量x,y 有关; (B) 区域D 及变量x,y 无关; (C )函数f 及区域D 有关; (D) 函数f 无关,区域D 有关。

高等数学(二)考试题答案

高等数学(二)考试题答案

⾼等数学(⼆)考试题答案1单选(3分)已知,复合函数对的导数为,则等于().得分/总分A.2B.1C.D.正确答案:D你没选择任何选项2单选(3分)定积分的值为().得分/总分A.B.D.正确答案:B你没选择任何选项3单选(3分)设函数在内连续,且满⾜,则().得分/总分A.B.C.D.正确答案:B你没选择任何选项4单选(3分)极限的值为().B.C.D.正确答案:D你没选择任何选项5单选(3分)设函数,则的值为().得分/总分A.-48B.48C.2设是的⼀个原函数,则().得分/总分A.B.C.D.设函数在区间上连续,其图形如下图所⽰,,则().第28题图得分/总分A.函数的图形在内⽆拐点B.函数在内取到极⼩值C.函数在内取到极⼤值D.函数在上单调增加正确答案:B你没选择任何选项8单选(3分)A.B.C.D.正确答案:D你没选择任何选项9单选(3分)函数的单调增加区间为().得分/总分A.B.与C.正确答案:B你没选择任何选项10单选(3分)已知⼆阶可导,且,是它的反函数,则等于().得分/总分A.B.C.D.正确答案:B你没选择任何选项11单选(3分)曲线的渐近线条数为().得分/总分A.3C.4D.2正确答案:A你没选择任何选项12单选(3分)曲线的拐点个数为().得分/总分A.4B.1C.3D.2正确答案:A你没选择任何选项13单选(3分)若不定积分的结果中不含反正切函数,则().A.B.C.D.正确答案:D你没选择任何选项14单选(3分)定积分的值为().得分/总分A.B.C.正确答案:B你没选择任何选项15单选(3分)设函数在内连续,则函数的导数为().得分/总分A.B.C.D.正确答案:A你没选择任何选项16单选(3分)反常积分的值为().得分/总分A.B.C.D.正确答案:B你没选择任何选项17单选(3分)设函数在点的某邻域内有定义,则在点处可导的充分条件是().得分/总分A.存在B.存在C.存在D.存在正确答案:B你没选择任何选项18单选(3分)已知,则的值为().A.1B.-2C.-1D.正确答案:B你没选择任何选项19单选(3分)设函数由⽅程确定,则的值为().得分/总分A.-2B.1C.-1正确答案:D你没选择任何选项20单选(3分)设函数⼆阶可导,其图形在处的曲率圆的⽅程为,则函数的⼆阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为().得分/总分A.B.C.D.正确答案:B你没选择任何选项21多选(4分)设函数是闭区间上可导的偶函数,则下列函数中在上⼀定为奇函数的是().得分/总分A.C.D.正确答案:C、D你没选择任何选项22多选(4分)设函数在点处可导,在点处连续但不可导,则().得分/总分A.函数点处连续B.函数点处不可导C.是函数点处可导的充分条件D.是函数点处可导的必要条件正确答案:A、C、D你没选择任何选项23多选(4分)A.B.该参数⽅程确定的曲线在原点的曲率半径为C.D.正确答案:A、B、C你没选择任何选项24多选(4分)下列定积分(或反常积分)中,其值为0的有().得分/总分A.B.C.D.正确答案:A、B、C你没选择任何选项25多选(4分)已知函数在上连续,在内可导,且,则().得分/总分A.存在,使得B.存在,使得C.对任意正数,在内存在相异的两点,使得D.存在,使得正确答案:B、C、D你没选择任何选项26判断(2分)若函数在点处不可导,则函数在点处也不可导.得分/总分A.正确答案:B你没选择任何选项27判断(2分)设函数在内可导,,则.得分/总分A.设函数在上可积,且,则在上恒等于零.A.若函数在点处可导,则曲线在点处存在切线.得分/总分设函数在点处⼆阶可导,且在点处取极⼩值,则必有,.得分/总分A.对任何正整数,⽅程⾄多只有⼀个实数根.得分/总分A.设函数连续,且满⾜,则.得分/总分A..得分/总分A.B.正确答案:A你没选择任何选项34判断(2分)设函数在内具有⼀阶连续导数,且在内A.B.正确答案:A你没选择任何选项35判断(2分)反常积分收敛的充分必要条件是.得分/总分A.B.正确答案:A你没选择任何选项。

《高等数学(Ⅱ)》B类练习题

《高等数学(Ⅱ)》B类练习题

《高等数学(Ⅱ)》B 类练习题一、单项选择题:1.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++→y x y x y x 1sin )1ln(lim )0,0(),(( ) A .2 B .1 C .0 D .不存在 2.=+→yx xy y x 1sinlim)0,0(),(( ) A . 2 B . 1 C . 0 D . 不存在 3.=++→22)0,0(),(1cos)(limy x y x y x ( )A . 2B . 1C . 0D . 不存在 4.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→4)1,0(),()(sin lim y x x xy y x ( )A . 0B . 1C . 2D . 不存在 5.=-+→24lim)0,0(),(xy xyy x ( )A . 2B . 3C . 4D . 不存在 6.设函数(),xyf x y e =,则()0,1x f =( )A . 0B . 1C . 2D . e 7.设函数(),yf x y x=,则()1,2y f =( )A . 1B . 0C . 3D . 9 8.设D 为04222=+-y x π围成的区域,则⎰⎰=Dd σ( )A .π3B .π23C .π43D .π1639.设D 为矩形0≤x ≤2,0≤y ≤4围成的区域,则=⎰⎰Dd σ2( )A . 2B . 8C . 16D . 1010.微分方程022=+''+'''y x y y x 的阶是( )A . 3B . 4C . 2D . 1 11.微分方程0)(3='-''y a y 的阶是( )A . 2B . 1C . 4D . 3 12.微分方程0)3(24=+-xydx dy x y 的阶是( ) A . 1 B . 4 C . 2 D . 313.微分方程02222=+-y dxdydx y d 的阶是( ) A . 2 B . 1 C . 4 D . 314.微分方程xyy y 21+='的通解为( )A . x y =+21B . 221cx y =+C . cx y =2D . cx y =+21 15.微分方程02=-y x dx dy的通解为( ) A . c x y e +=33 B . c x y e +=-33 C . e x c y 33-= D . e x c y 33=二、填空题:1.设xyz e z =,则=∂∂x z ,=∂∂yz 2.设y z z x ln =,则=∂∂x z ,=∂∂yz3.设0)cos(=--+xyz z y x ,则=∂∂x z ,=∂∂yz4.设zy xu ⋅=,则=du5.设)(z y x ez x y ++-=++,则=dz6.设32y x z =,则=-==12y x dz7.交换积分次序⎰⎰=xdy y x f dx 131),(8.交换积分次序⎰⎰⎰⎰=+-x xdy y x f dx dy y x f dx 021201),(),(9.交换积分次序⎰⎰=yy dx y x f dy 2),(1010.已知0'=+⋅y xe y y ,0)1(=y ,则微分方程特解为 11.已知yxy =',1)0(=y ,则微分方程的特解为 12.已知 02)3(22=--xydx dy x y ,1)0(=y ,则微分方程的特解为三、判断题:1.若函数()y x f z,=在点()00,y x 处连续,则()()()()00,,,,lim 0y x f y x f y x y x =→。

《高等数学I(二)》课程期末考试试卷A卷

《高等数学I(二)》课程期末考试试卷A卷

线封密三峡大学试卷班级姓名学号序号《高等数学I (二)》课程 期末考试试卷(A 卷)注意:1、本试卷共3 页;2、考试时间110分钟;3、姓名、学号必须写在指定地方;一、填空题(每小题2分,共14分)1、函数)1ln(2222y x y x z --+-=的定义域为 _________________2、已知→→→→→→→+=-+=k i b k j i a 2,4,则→→⋅b a = 。

3、函数333y x xy z --=的驻点为_______________________。

4、函数22y x z -=在点)1,2(处沿)3,1(=l ρ的方向导数)1,2(lz ∂∂= 。

5、⎰=+Lds y x )(22 ,其中4:22=+y x L 。

6、设级数∑∞=1n nu收敛,且u un n=∑∞=1,则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________。

7、设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在],(ππ-上的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<--=ππx x x f 0,10,1)(,则它的Fourier 级数在x=0收敛于________二、单项选择题(每小题2分,共14分) (请把答案填在下面的表格中)1、设c b a c a b a ρρρρρ,,,⨯=⨯均为非零向量,则( )(A )c b ρρ=; (B ))(//c b a ρρρ-; (C ))(c b a ρρρ-⊥; (D )c b ρρ=。

2、函数),(y x f 在点),(00y x 的全微分存在是),(y x f 在该点连续的( )条件。

(A )充分非必要 (B )必要非充分 (C )充分必要 (D )既非充分,也非必要3、设z z y x 4222=++,则=∂∂yz( ) (A)zy(B) z y -2 (C) 2-z y (D) z y -4、二次积分⎰⎰10),(x dy y x f dx 改变积分次序为( )(A ) ⎰⎰110),(dx y x f dy (B )⎰⎰10),(x dx y x f dy(C )210(,)y dx f x y dy ⎰⎰(D )2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰5、若),(y x f 为关于x 的奇函数,积分域D 关于y 轴对称,对称部分记为21,D D ,),(y x f 在D 上连续,则⎰⎰=Dd y x f σ),(( )(A )0;(B )2⎰⎰1),(D d y x f σ;(C )4⎰⎰1),(D d y x f σ; (D)2⎰⎰2),(D d y x f σ。

2001-数二真题、标准答案及解析

2001-数二真题、标准答案及解析

= − 1 lim 1 2 x→1 x + 2
=− 2⋅ 6
(2)设函数 y = f (x) 由方程 e2x+ y − cos ( xy) = e −1 所确定,则曲线 y = f ( x) 在点 (0,1) 处的
法线方程为 .
【答】 x − 2 y + 2 = 0.
【详解】在等式 e2x+ y − cos ( xy ) = e −1两边对 x 求导,得
(5)设方程 ⎢⎢1
a
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
有无穷多个解,则
a
=
.
⎢⎣1 1 a⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣−2⎥⎦
【答】 -2
【详解】 方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
⎡a 1 1 M 1 ⎤ ⎡1 1 a M −2 ⎤
A = ⎢⎢1
a
1M
1
⎥ ⎥

⎢⎢0
a −1
1− a
1 4
sin 2
2xdx
∫ = 1 8
π
2 −π
(1

cos
4
x
)dx
2
=π. 8
(4)过点
⎛ ⎜⎝
1 2
,
0
⎞ ⎟⎠
且满足关系式
y'
arcsin
x
+
y = 1的曲线方程为 1− x2
.
【答】 y arcsin x = x − 1 . 2
【详解】 方法一:
原方程 y' arcsin x + y = 1可改写为 1− x2

高等数学II试卷及答案

高等数学II试卷及答案

06/07试卷(B ) (本试卷共 4 页)1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ,则极限),(lim 00y x f y x →→= 。

(A)不存在(B)等于1 (C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=,则点(,)00是函数z 的(A )极大值点但非最大值点 (B )极大值点且是最大值点(C )极小值点但非最小值点 (D )极小值点且是最小值点3、设f (x ,y )为连续函数,则积分可交换积分次序为4、 级数 ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1c o s 11n n n α (常数0>α)在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。

(要求:必须画出积分区域的图形)五、解答下列各题(本大题共 2小题,总计 15 分 ) 1、(7分)判别级数∑∞=+1)]1[ln(1n n n 的敛散性。

2、(8分 )求幂级数∑∞=+11n n nx的收敛域及和函数.六、解答下列各题(本大题共 3小题,总计 19分 )1、(5分)求微分方程0)()(7='+''t x t x 的通解。

2、(7分) 求微分方程024)12(=+-'+-y e y x 的通解。

3、(7分)设⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎦⎤⎢⎣⎡++⋅⋅⋅++++++-=+∞→)!1(!3!21)1(lim 122n x x x x x y n n试证明y 是初始值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+==0d d 0x y y x x y 的解。

《高等数学Ⅱ》期末考试参考答案及评分标准三. 单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在大题末的表格中)(本大题共 6 小题,1、[]2222)()(),(),,(xy y x y x y x f f ++=ϕ。

2、312221-=-=-z y x 3、y =4、1[-1、 z x2、 n cos α(((,1,2,1,2,1,2z u y u x u ∂∂∂∂∂∂=n u ∂∂四、1、解 2⎰⎰D x412π= 7分 2、解=7 五、解答下列各题(本大题共 2小题,总计 15 分 )1、解法1 记[]0)1ln(1>+=n nn u 有(3分) 而()02ln 1lim =+∞→n n ,故10lim 1<=+∞→nn n u u (5分) 由比值判别法,原级数[]∑∞=+1)1ln(1n n n 收敛。

高等数学II试卷A(含答案)

高等数学II试卷A(含答案)

一、填空题(共7小题,每小题2分,共14分)1.过直线123:101z L -==-且平行于直线221:211x y zL +-==的平面方程 为:320x y z -++=。

2.极限2222222(,)(0,0)1cos()lim()x y x y x y x y e→-++=12。

3.设二元函数()y z xyf x =,且()f u 可导,则z zx y x y∂∂+∂∂=2z 。

4.设二元函数(,)f x y 在点(0,0)的某个领域内连续,且(0,0)1f =,则222201l i m(,)x y f x y d ρρσρ→++≤⎰⎰=π。

5.设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为:2,0()0,0x x f x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩,则()f x 的傅里叶级数在(21)(0,1,2,)x k k π=+=±± 处收敛于π-。

6.交换二次积分的积分次序,则1(,)dy f x y dx ⎰=11(,)dx f x y dy-⎰。

7.设23(,,)f x y z x y z =++,则f 在点0(1,1,1)P 处沿方向:(2,2,1)l -的方向导数为:13。

二、选择题(共7小题,每小题2分,共14分)1.设,,a b c 为单位向量,且满足++=0a b c ,则⋅+⋅+⋅a b b c c a =( D ) (A) 1 (B) 1- (C)32 (D) 32- 2.zox 面上曲线2x z e =绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为( C )x e = (B)22x y z e += (C)22xy z e += (D)z =3.设(,)z f x y =在00(,)x y 处取得极小值,则函数0()(,)y f x y ϕ=在0y 处( C )(A)取到最小值 (B)取到极大值 (C)取到极小值 (D)取到最大值 4.设(1)ln(1n n u =-,则( C ) (A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑均收敛 (B)1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑均发散(C)1n n u ∞=∑收敛而21nn u ∞=∑发散 (D)1n n u ∞=∑发散而21n n u ∞=∑收敛5.函数项级数1(0)n n nx x ∞-=≠∑的收敛域是( C )(A)(1,0)(0,1)- (B)[1,0)(0,1]-(C) (,1)(1,)-∞-+∞ (D) (,1][1,)-∞-+∞6.向量,,a b c 两两构成3π角,又4,2,6,===a b c 则++a b c 的长度为( A )(A) 10(B)(C) (D) 5 7.若曲线L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周,则第一类曲线积分222()Lx y z ds ++⎰=( B )332a π (C) 33a π (D) 34a π 三、计算题(共5小题,每小题9分,共45分)1.求幂级数1211(1)21n n n x n -∞-=--∑的和函数,并求1(1)3214nn n n ∞=-⎛⎫⎪-⎝⎭∑的值。

2001年数学二试题_考研数学真题及解析

2001年数学二试题_考研数学真题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =( ).2、曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 在点(0,1)处 的切线方程为 :( ).3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=( ).4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为:( ). 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解,则a =( ).二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)1、111)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f = ( A ) 0;(B )1;(C )1101>≤⎩⎨⎧x x ; (D )111>≤⎩⎨⎧x x . 2、0→x 时,)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小,而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小,则正整数n 等于( A )1;(B )2;(C )3;(D )4. 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 ( A )0;(B )1;(C )2;(D )3.4、函数)(x f 在区间(1-δ,1+δ)内二阶可导,)(x f ' 严格单调减小,且 )1(f =)1(f '=1,则(A )在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有)(x f x <; (B )在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有)(x f x >;(C )在(1-δ,1)内有)(x f x <,在(1,1+δ)内有)(x f x >; (D )在(1-δ,1)内有)(x f x >,在(1,1+δ)内有)(x f x <.5、(同数学一的二1) 三、(本题满分6分)求⎰++221)12(xxdx.四、(本题满分7分)求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式,并指出函数)(x f 的间断点及其类型.五、(本题满分7分)设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M (y x ,)(1≥x )处的曲率半径,)(x s s =是该抛物线上介于点A (1,1)与M 之间的弧长,计算222)(3ds d dsd ρρρ-的值(曲率K =23)1(2y y '+'').六、(本题满分7分))(x f 在[0,+∞)可导,)0(f =0,且其反函数为)(x g . 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰,求)(x f .七、(本题满分7分)设函数)(x f ,)(x g 满足)(x f '=)(x g , )(x g '=2xe -)(xf 且)0(f =0,(0)g =2,求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、(本题满分9分)设L 为一平面曲线,其上任意点P (y x ,)(0>x )到原点的距离,恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距,且L 过点(0.5,0).1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小.九、(本题满分7分)一个半球型的雪堆,其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状,已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少时间? 十、(本题满分8分))(x f 在[-a ,a]上具有二阶连续导数,且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;2、 证明在[-a ,a]上至少存在一点η,使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、(本题满分6分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ,求X .十二、(本题满分6分)设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系,144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=,其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系.。

《高等数学(二)》期末考试卷A(含答案)

《高等数学(二)》期末考试卷A(含答案)

《高等数学(二)》期末考试试卷考试形式:闭卷考试 考试时间:120分钟一、选择题(单选题,每题4分,共28分)1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的( B )A .充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛,则下列命题( B )正确(其中∑==ni i n u s 1)A .0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数,且n n v u ≤ ,2,1(=n )则下列命题正确的是( C )A .若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是( B )A .1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为( B ) A.(1,3) B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为( C )A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A (-3,1,2)与B (1,-2,4)间的距离是( A ) A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题(每题4分,共16分)1、球心在点(1,-2,3),半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在(1,0,-1),半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(,则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数(1))ln(222y x x z += (2)xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =,当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3,y x z 2)31(+=,求x z ∂∂,yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数,求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值(1)x f x 24-= y f y 24--=(2)令0,0==y x f f 得:2,2-==y x(3)2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ,其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池,长、宽、高各应为多少时,才能使表面积最小?(10分) 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和,使它们的乘积为最大,求这三个数.(7分) 3a z y x ===。

大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案

大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案

大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A )一、选择题:(每小题2分,共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的( );A.充分条件;B.必要条件;C.充分必要条件;D.既非充分又非必要条件.2.下列级数发散的是( );A .;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C .222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑!,则该级数( );A.是发散级数;B.是绝对收敛级数;C.是条件收敛级数;D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛,其他x 值时数发散。

4. 双曲抛物面22x y z p p-=.(p >0,q >0)与xOy 平面的交线是( );A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。

A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0,0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题:(每小题3分,共30分 )1.222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ;2.曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3.设(,)ln()2yf x y x x=+,则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x +y =1,x -y =1及x = 0所围,则Dyd σ⎰⎰= ;5. 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7.1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ;8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可); 9.设y z x dz ==,则;10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。

高数II(1)A卷答案

高数II(1)A卷答案

第1页 共1页黄山学院2012-2013学年度第一学期《高等数学II (1)》(本科)期末试卷(A)参考答案及评分细则试卷编号: 2012050003-01院(系) 班 姓名 学号 得分一、选择题(每小题3分,共15分)。

B B AC A二、填空题(每小题3分,共15分)。

1、222x -; 2、充要; 3、>; 4、21x -; 5、()f x dx 。

三、解答题(每小题7分,共70分)。

1、解:原式=11lim 1x x x →-+(3分)=0(7分)2、解:原式=212(1)2212lim 121x x x x x ++⋅+→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭(3分)2(1)212122lim 121x x x x x +++→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦(5分)=e (7分)3、解:由于11lim lim(3)2x x y x ++→→=-=,11lim lim(1)0x x y x --→→=-=,因此函数y 在1x =处间断(4分)。

并且1x =为函数的第一类间断点中的跳跃间断点(7分)。

4、解:'''(2471e y ex ===+分)分)分)5、解;原式=11ln (1)ln lim lim 3(1)ln ln x x x x x xx x x x→→--=-+(1分)(分)11ln ln 11lim 5lim 7ln (1)ln 22x x x x x x x x x →→+===+-+(分)(分)6、解:曲线方程左右同时对x 求导,得:11'3322033x y y --+=得13'13x y y--=-,则13'1)3)1x y y--=-=-(3分)。

曲线222333x y a +=在点)a处的切线方程:0x y +=(5分), 曲线222333x y a +=在点)a 处的法切线方程:0x y -=(7分)。

7、解:'2()66126(2)(1)f x x x x x =+-=+-(2分)令'()0f x =,得12x =-,21x =。

级高等数学AIB

级高等数学AIB

级高等数学A I B 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]《 高等数学(A)I(本科)》试卷第 1页 共 6 页东莞理工学院(本科)试卷( B 卷)答案2009--20010 学年第一学期《 高等数学(A)I 》试卷B 答案开课单位: 数学教研室 ,考试形式:闭卷,允许带入场一、填空题(共80分 每空2分)1.142)1(2++=+x x x f ,则=)(x f 122-x2.=++→x x x x x 5423lim 220 52, =++∞→x x x x x 5423lim 22 3/4 . 3.()=-→xx x 51lim 5-e .4.=--→21sin lim2ππx x x 0.5.)1(lim 2x x x x -++∞→= 1/26.20cos 1limxxx -→= 1/2 7.设xx x f )1ln()(+=,则=x 0是)(x f 的可去间断点.8.0→x ,2tan x 是x 的__ 2___阶无穷小. 9.设⎩⎨⎧>≤=0,00,sin )(x x x x f 在0=x 处是否可导 否 .《 高等数学(A)I(本科)》试卷第 1页 共 6 页10.曲线22+-=x x y 在点)2,1(处的切线方程为 1+=x y ,法线方程为3+-=x y .11.设为常数且此处10,)2(2≠>++=a a a a x y a x a则=y d dx a a x a x a )ln 2)2(2(21⋅+-. 12.)0(>=x x y x ,则x x x +→0lim = 1 ,=dxdy)1(ln +x x x13.设函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点极限存在的充分条件,是函数在该点可导的必要条件.14.若⎪⎩⎪⎨⎧==32ty tx ,则==1d d t x y 3/2 .15.函数133123+--=x x x y 的单调减区间是 )3,1(- ,它的凹区间是),1(+∞,极大值点 x=-1 ,拐点)3/8,1(. 16.由方程122=+x y 决定的隐函数,=)22,22(d d xy -1 ,=)22,22(22d d x y 2217.设)(x f 在0x 处的邻域内一阶、二阶导数数存在,(1)若1)(',0)(00-='='x f x f ,0x 为函数的极 大 值点。

2001年考研数学二真题

2001年考研数学二真题

2001年考研数学二真题2001年的考研数学二真题是考研数学考试的一部分,旨在考察考生在各个数学领域的知识和解题能力。

本文将根据题目需求来逐步解析,并给出详细的解题步骤。

【解析题目】题目描述:已知函数f(x)=x3 - 3x2 + 7x - 3,设曲线y = f(x)与坐标轴交于A、B两点(M≠0)。

若直线y = Mx + M-1 既与曲线y =f(x)相切于两个不同点,又与直线y = x + 3 相交于点C (且C在AB之间),则实数M的取值范围是________。

通过分析题目,我们可以看出需要解决以下问题:1. 求解曲线f(x)与坐标轴的交点;2. 求解曲线f(x)与直线y = Mx + M-1的切点;3. 求解曲线f(x)与直线y = x + 3的交点;4. 推导出实数M的取值范围。

【解题步骤】步骤一:求解曲线f(x)与坐标轴的交点曲线f(x)与坐标轴的交点,即满足f(x) = 0的x的取值。

根据题目中的函数表达式f(x) = x3 - 3x2 + 7x - 3,我们可以将其转换为多项式,并解方程f(x) = 0。

x3 - 3x2 + 7x - 3 = 0通过因式分解或者使用求根公式,可以得到三个实数根:x1 = 1, x2 = 1 + √3, x3 = 1 - √3所以曲线f(x)与坐标轴的交点为A(1, 0),B(1 + √3, 0)和C(1 - √3, 0)。

步骤二:求解曲线f(x)与直线y = Mx + M-1的切点曲线f(x)与直线y = Mx + M-1的切点,即满足f(x) = Mx + M-1的x的取值。

将曲线f(x)和直线y = Mx + M-1的表达式相等,我们可以得到以下方程:x3 - 3x2 + 7x - 3 = Mx + M-1通过整理方程,我们可以得到以下关系:x3 - 3x2 + (7 - M)x - (3 + M-1) = 0通过求解上述方程,可以得到曲线f(x)与直线y = Mx + M-1的切点。

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(A 卷)一.(每题3分,共24分)填空题 1.已知2sin yz xy x u +=,则du = 。

2.函数yz x e u xy 2+=在点)1,2,1(处沿x 轴负方向的方向导数为 。

3.交换二次积分⎰⎰⎰⎰-+2220211),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 的次序得 。

4.常微分方程x xy y =+'的通解为 。

5.幂级数∑+∞=122n nn x n的收敛区间为 。

6.已知级数81=∑∞=n na,5112=∑∞=-n n a ,则=-∑∞=-11)1(n n n a 。

7.设定义在],0[π上的函数x x f =)(的傅里叶余弦级数的和函数为)(x S ,则)2(π-S = , )45(πS = 。

8.⎰+C ds y x z 22 ,其中C 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧===tz t y tx sin 2cos 2介于0=t 到π=t 一段。

二.(6分)已知),(v u f 二阶偏导数连续,),(y x xy f z +=,求yx z∂∂∂2。

三.(共19分)计算下列各题 1.(6分)⎰⎰-D dxdy y x |sin sin |,其中20;20:ππ≤≤≤≤y x D 。

2.(7分)⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面224y x z --=和平面0=z 所围成的区域。

3.(6分)⎰+-Cxydy x dx y xy y sin )sin (,其中C 为从点)1,1(-A 沿抛物线2x y =到原点)0,0(O ,再沿直线x y =到点)1,1(B 。

四.(7分)求曲线⎩⎨⎧=--=++0932222z y x z y x 在点)1,1,2(处的切线方程。

五.(7分)将函数13223)(2+++=x x x x f 展开成x 的幂级数,并指出收敛区间。

六.(8分)求常微分方程x xe y y y -+=+'+''223的通解。

七.(5分)判别级数∑∞=---111)1()1(n nn e 的敛散性,若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。

八.(4分)设∑为球面1222=++z y x ,r 是点),,(z y x 的矢径方向,函数),,(z y x u 在球体1222≤++z y x 二阶偏导数连续,且满足1=++zz yy xx u u u ,证明34π∑=∂∂⎰⎰dS r u2001级高等数学II (A 卷)解答一.1. yzdz dy z xy x dx xy xy xy 2)cos ()cos (sin 22++++; 2. 422--e3.⎰⎰-102),(y ydx y x f dy ; 4. 122+=-x cey ; 5. ]21,21[-; 6. 2;7. 43;2ππ; 8. 285π 二.221211122211211121)()(;f f y x xyf f f xf f xf y f z f yf xzxy ++++=++++=+=∂∂ 三.1.原式=ππππ-=-+-⎰⎰⎰⎰4)sin (sin )sin (sin 202200xxdy x y dx dy y x dx2.原式=332202402πϕπ=⎰⎰⎰-r zdz rdr d 3.111:1-=到从x y L 。

原式=2)1(sin 101111-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+yyDL L C dx dy dx x dxdy=65-四.由010642='-'-='+'+z y z z y y x 得5;4;233;322)1,1,2()1,1,2(='-='-+='-+='z y yz xz z z y x y y 514112-=--=-z y x 五.21||;)21()1(21111)(0<+-=+++=∑∞=x x x x x f n n n n六.特征方程0232=++r r ,特征值1;221-=-=r r ,x xDe CeY --+=2223=+'+''y y y 的特解11=y ;x xe y y y -=+'+''23的特解x e B Ax x y -+=)(2代入方程得1,21-==B A ,通解为x x x e xx De Ce y ----+++=)12(12 七.令↑>='-=)(,0)(;1)(x f e x f e x f xx11)1(111->-=-n n e e nf ,0)1lim(1=-n e 原级数收敛,又因1)1(lim 1=-∞→nn e n ,原级数不是绝对收敛,条件收敛八.由于r 的方向即为球面的外法向n ,因此左式341222π∑==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰≤++z y x dxdydz ndS gradu(B 卷)一.(每题4分,共32分)1.曲面12z 3y 2x 222=++在点(1,2,1)处的切面方程为 。

2.设函数z )xy (u =,则=)1,2,1(du。

3.设x 2y x :D 22≤+,f 为连续函数,则二重积分⎰⎰+D22d )y x (f σ化为在极坐标下的二次积分为 。

4.设C 是由x轴、y轴与直线x+y=1围成的区域的正向边界,则⎰=-Cxdy ydx 。

5.)x 2ln()x (f +=的麦克劳林级数为 ,收敛区间为 。

6.已知)y ,x (z z =是由0e z y x z=+++所确定的隐函数,则xz∂∂= 。

7.常微分方程x 2sin ey 5y 2y x-=+'+''的特解形式为 。

8.已知幂级数∑∞=0n nn x a 在x=2处条件收敛,则幂级数∑∞=0n nnn x 4a 的收敛半径为 。

二.(8分)设)v ,u (f 二阶偏导数连续,)y 2x ,y sin e (f z x-=,求yx z2∂∂∂。

三.(共24分)计算下列各题1.(7分)设D 为由曲线2y x ;y x 2=+=围成的平面区域,计算二重积分⎰⎰Dxdxdy 。

2.(8分)设∑为圆锥面)1z 0(,y x z 22≤≤+=,计算第一类曲面积分⎰⎰+∑dS )1x (。

3.(9分)设∑为)2z 0(y x 2z 22≤≤+-=上测,计算曲面积分⎰⎰+∑zdxdy dydz x 2。

四.(9分)求函数222z y x u ++=在条件9xy z 2-=下的极值。

五.(9分)将定义在),0(π上的函数1)x (f =展开成傅里叶正弦级数。

六.(10分)判别下列级数的敛散性,若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。

1.∑∞=-1n n nn 2n !n )1(; 2.∑∞=+-1)11ln()1(n nn 七.(8分)求解常微分方程初值问题⎩⎨⎧-='=+'=''==1;22200x x y y xy x y2001级高等数学II (B 卷)解答一. 1.)1(6)2(8)1(=-+-+-z y x x ; 2.dzdy dx 2ln 22++;3.⎰⎰ϕππ-ρρρϕcos 20222)(d f d ;4.1-; 5.]2,2(;2)1(2ln 11--+∑∞=-n nnn x n6.ze+-11; 7.)2sin 2cos (*x b x a xe y x+=-; 8.8 二.,sin 21f f y e xzx '+'=∂∂22211211122cos ]2cos [sin cos f f y e f f y e y e f y e yx zx x x x ''-''+''-''+'=∂∂∂三. 1.原式=152041031663]22)2([12422122=+=--=⎰⎰⎰---dy y y xdx dy yy2.原式π=ρρ+ϕρϕ=⎰⎰π2)1cos (2201d d3.设)4(0:221≤+=∑y x z 下测,4:;20:2222≤++-≤≤Ωy x D y x z原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=-=Ω∑∑+∑Ddxdy dxdydz x 0)12(1138)1cos 2(20220π=+ϕρρρϕ=⎰⎰⎰ρ-πdz d d 四.)9(2222+-λ+++=xy z z y x F由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==λ+=λ-=λ-902202022xy z z z x y y x 得0,3=±==z y x ,极值为18五.nnxdx a n π--=π=⎰π])1(1[2sin 220π<<π--=∑∞=x nxn n n 0sin ])1(1[211六. 1.12||||lim1<=+∞→e a a nn n ,级数是绝对收敛的。

2.∑∞=+<+<1)11ln(,1)11ln(0n n nn 是发散的。

因0)11ln(lim ),111ln()11ln(=+++>+∞→n n n n 所以∑∞=+-1)11ln()1(n n n 是条件收敛的。

七.令y p '=,则方程化为1,222+=='=-'x ce p y x xp p ,利用条件010=-='=c y x 得,因此22,,10==+-=='=c y c x y y x 得由,解为2+-=x y 。

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