长沙县一中2011届高三年级第五次月考理科数学试卷

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湖南省长沙市第一中学高三第五次月考(数学理)新人教A.doc

长沙市一中201X 届高三月考试卷(五)数学(理科)时量：120分钟满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

湖南省长沙县高三数学5月三模考试试卷(理科)

湖南省长沙县2007年高三数学5月三模考试试卷(理科) (无答案,部分答案可参见文科试卷)一、选择题：（51050''⨯=）1、定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件11i i z z=--（i 为虚数单位）的复数z 为（） A 2i - B i - C 2i D i2、设,αβ为两个平面，,l m 为两条直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下两个命题：①若αβ，则l m ；②若l m ⊥，则αβ⊥ ，那么（）A ①是真命题 ②是假命题B ①是假命题，②是真命题C ①、②都是真命题D ①、②都是假命题3、在ABC 中，tan A 是第3项为-4，第7项为4的等差数列的公差，tan B 是第3项为13，第6项为9的等比数列的公比，则ABC 是（）A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形4、一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（）A 48种B 36种C 12种D 6种 5、直线34120x y +-=与椭圆22:1169x y C +=相交与A ，B 两点，点P 在C上，PAB 的面积等于3，这样的点P 共有（）A 1个B 2个C 3个D 4个 6、若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ ()2f x x =，()3sin f x x =则（）A ()()()123,,f x f x f x 为“同形”函数B ()()12,f x f x 为“同形”函数，且它们与()3f x 不为“同形”函数C ()()13,f x f x 为“同形”函数，且它们与()2f x 不为“同形”函数D ()()23,f x f x 为“同形”函数，且它们与()1f x 不为“同形”函数7、已知函数()1a x f x x a -=--的反函数()1f x -的图象的对称中心是(),3b ，则不等式()0f x 的解集是（）A ()3,4-B ()(),23,-∞⋃+∞C ()2,3D ()(),34,-∞-⋃+∞8、棱长为2a 的正方体，过从每一个顶点引出的三条棱的中点作一个平面切去正方体的一个角，依次切去各角后所剩多面体的表面积为（）A 212aB (216a +C (212a +D (212a +9、如图，圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播，若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设OD x =，(0)x a ≤≤，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y （图中阴影部分），则函数()y f x =的图象大致是（）10、已知函数221()a f x x ax b x x =++++ (),0x R x ∈≠且，若实数,a b 使得()0f x =有实根，则22a b +的最小值为（）A 45B 34C 1D 2 二、填空题()5525''⨯=11、如果3n x ⎛ ⎝的展开式中各项系数之和为1024，则n =＿＿＿＿＿＿＿ 12、设数列{}n a 满足121n n a a -=- ()2n ≥，且()123,log 1n n a b a ==-，求12231111lim n n n b b b b bb →∞+⎛⎫+++= ⎪⎝⎭＿＿＿＿＿＿＿＿ 13、若1x b →=，则a b +=＿＿＿＿＿＿＿＿ 14、定义{}max ,a a b a b b a b ≥⎧=⎨⎩，设实数,x y ，满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿15、已知()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''，()()x f x a g x =，()()()()115112f f g g -+=-，有穷数列()()()1,2,,10f n n g n ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，任意取前k项相加，则前k 项和大于1516的概率等于＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题 16、（12分）设函数()()2cos cos 1,f x x x x x R =-∈⑴求()f x 最小正周期T ；⑵求()f x 单调递增区间；⑶设点()()()()*111222,,,,,,n n n P x y P x y P x y n N ∈在函数()f x 的图象上，且满足条件11,62n n T x x x π+=-=，求12n n N y y y =+++的值。

[理数]大联考2011长沙一中高三12次月考试卷

科目:数学(理科)(试题卷)策划制作:湖南炎德文化实业有限公司命题审校:长沙市一中高三数学备课组注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名㊁准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上,并认真核对条形码上的姓名㊁准考证号和科目.2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在草稿纸上和本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按如下要求答题:(1)选择题部分请用2B铅笔把对应题目的答案标号所在方框涂黑,修改时用橡皮擦干净,不留痕迹.(2)非选择题部分(包括填空题和解答题)请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答无效.(3)保持字体工整㊁笔迹清晰㊁卡面清洁㊁不折叠.3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.4.本试题卷共5页.如缺页,考生须声明,否则后果自负.姓名准考证号炎德·英才大联考长沙市一中2011届高考模拟卷(三)数学(理科)本试题卷包括选择题㊁填空题和解答题三部分,共5页㊂时量120分钟㊂满分150分㊂一㊁选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面上,复数z=-2+i的共轭复数对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则右图中阴影部分所表示的集合为A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}3.为了解某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)的关系,统计了(x,y)的10组数据,并画出其散点图如下图,则其回归方程可能是A.^y=-10x-198B.^y=-10x+198C.^y=10x+198D.^y=10x-1984.某赛季甲㊁乙两名篮球运动员分别在13场比赛中得分情况用茎叶图表示如下:根据上图对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确∙∙∙的是A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定5.在矩形A B C D中,A B=4,B C=3,沿A C将矩形A B C D折叠,其正视图和俯视图如图所示.此时连结顶点B D形成三棱锥B-A C DA .125B .1225C .7225D .144256.若(x +1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n (n ∈N *,n ≥3),且a 1,5a 2,a 3成等比数列,则在展开式的各项系数中最大值等于A .20B .15C .10D .67.已知点A (-1,0),B (1,0)及抛物线y 2=2x ,若抛物线上点P 满足|→P A |=m |→P B |,则m的最大值为A .2B .2C .3D .38.已知函数f (x )=s i n x x .下列四个命题:①f (x )是偶函数;②f (x )是以2π为周期的周期函数;③∀x ∈{x |x ∈R ,且x ≠0},有f (x )<1;④若x =x 0是f (x )的一个极值,则t a n x 0=x 0.其中正确命题的个数是A .4B .3C .2D .1二㊁填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.(一)必做题(9~13题)9.已知函数f (x )=x +2,x ≤0-x +2,x >{0,则不等式f (x )≥x 2的解集为 .10.在R t △A B C 中,∠C =90°,A C =3,则→A B ㊃→A C = .11.已知如图所示的程序框图,若a 0=a 5=1,a 1=a 4=5,a 2=a 3=10,x 0=1,则输出的v 值为 .12.已知平面区域D 1={(x ,y )||x |<2|y |<{2},D 2={(x ,y )|k x -y +2<0}.在区域D 1内随机选取一点M ,若点M 恰好取自区域D 2的概率为p ,且0<p ≤18,则k 的取值范围是 .13.将全体偶数的排列如下表,用N (m ,n )表示其中的数,m 表示从左起的列数,n 表示从下起的行数,例如N (3,2)=16.20 121861016 24814则:(1)N (10,10)= ;(2)满足N (m ,n )=2010的m +n 的值是 .(二)选做题(14~16题中任选作两题,若3题全做,按前2题计分)14.四边形A B C D 是圆O 的内接四边形,延长A B 和D C 相交于点P .若P B =2,P D =6,则B C A D的值为 .15.已知☉O 的方程为x =22c o s θy =22s i n {θ(θ为参数),则☉O 上的点到直线x =1+t y =1-{t (t 为参数)的距离的最大值为 .16.用0.618法寻找最佳试点时,要达到精度是0.01的要求,需要做的试验的次数是次(l g0.618=-0.21).三㊁解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=3s i n 2x -2s i n 2x .(1)若点P (1,-3)在角α的终边上(始边为x 轴的正半轴),求f (α)的值;(2)若A 是△A B C 的最小内角,求f (A )的取值范围.18.(本小题满分12分)为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须同步进行两项重要指标的辐射检测,只有两项指标都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一项指标检测不合格的概率为16,第二项指标检测不合格的概率为110,两项检测是否合格相互没有影响.(1)求该产品不能销售的概率;(2)如果产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果产品不能销售,则每件产品亏损80元(即获利-80元).已知一箱中有产品3件,记一箱产品获利X元,求X的分布列及获利期望E(X).19.(本小题满分12分)如图,在R t△A B C中,A B=B C=4,点E是线段A B上异于A㊁B的一动点,过点E作E F∥B C交A C于点F,将△A E F沿E F折起到△P E F的位置(点A与P重合),使得∠P E B=60°.(1)求证:E F⊥P B;(2)当点E在线段A B上移动时,二面角P-F C-B的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出其定值;若不是,说明理由.20.(本小题满分13分)在2011年春节期间,长沙市政府决定在烈士公园的年嘉湖举办大型灯会,湖区部分灯展布置设计方案如图,灯展的第一部分沿湖岸曲线段N S A 布置观赏花灯,曲线段N S A 近似地为函数f (x )=A c o s (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2),x ∈[0,5]的图象,且图象的最高点为S (2,42);第二部分在湖面上沿折线S M P 布置电子激光音乐灯,其中M ,P 是分别湖中两小岛上一点,P (8,0),∠S MP =120°;曲线N S A 与O N 和O A (O N ⊥O A )围成部分为游客观赏娱乐区.(1)求函数y =f (x )的解析式及曲线N S A 与O N 和O A 围成的面积S ;(2)应如何设计才能使电子激光音乐灯的折线段最长?21.(本小题满分13分)设双曲线x 24-y 22=1的左㊁右顶点分别为A 1,A 2,MN 是双曲线的一条与x 轴垂直的动弦.(1)求动直线MA 1与N A 2的交点P 的轨迹C 的方程;(2)设动点Q 满足Q A 2⊥A 1A 2,Q A 1交曲线C 于R 点,问在x 轴上是否存在异于点A 1的定点E ,使得以Q R 为直径的圆恒过直线A 2R ,Q E 的交点.若存在,求出点E 的坐标;若不存在,说明理由.22.(本小题满分13分)已知函数f (x )=a x ,g (x )=l n x ,其中a ∈R .(1)若函数F (x )=f [s i n (1-x )]+g (x )在区间(0,1)上为增函数,求a 的取值范围;(2)设a n =s i n 1(n +1)2,求证:∑n k =1a k <l n 2.。

湖南省长沙市第一中学高三第五次月考数学(理)试题(解析版)

湖南省长沙市第一中学高三第五次月考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}|2A x x =<，{}2|21x B x -=>，则()U A B =I ð（）A ．{}|12x x <<B ．{}|12x x ≤<C ．{}|2x x <D ．{}|1x x ≤【答案】C【解析】解不等式221x ->得2x >，则集合{}U 2B x x =≤ð，再与集合A 求交集，即可. 【详解】Q {}{}2212x B x x x -==>∴{}U 2B x x =≤ð ∴(){}U 2A B x x ⋂=<ð故选：C 【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.2．已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（）A ．1i -B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A【解析】因为|2(1)11(1)(1)i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 3．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()2log 1,0,,0x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，则()3g -=（） A ．3 B ．3-C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 的奇偶性求得()g x ，由此求得()3g -. 【详解】由于()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，0x ->，所以()()()()2log 1g x f x f x x ==--=--+，所以()()223log 31log 42g -=-+=-=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查分段函数求值，属于基础题. 4．某校高三共有学生1000人，该校高三学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图所示，则该校高三学生在本次考试中数学成绩在[]110,130分的人数为（）A ．30人B ．300人C ．10人D ．100人【答案】B【解析】根据频率分布直方图，求解成绩在[]110,130分的频率为：()100.0200.0100.3⨯+=，再求解成绩在[]110,130分的人数，即可.【详解】由题意可知，成绩在[]110,130分的人数为：()1000100.0200.010300⨯⨯+=人. 故选：B 【点睛】本题考查频率分布直方图，属于容易题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值满足24x -<≤，则输出y 的值的取值范围是（）A ．[]3,2- B ．[]1,2C ．[)4,0-D ．[)[]4,01,2-U【答案】A【解析】模拟执行条件分支结构程序框图，分别计算函数()()23,2,2y x x =-∈-与[]()2log ,2,4y x x =∈的值域，即可.【详解】由题意可知，()2,2x ∈-时，23y x =-，则[)3,1y ∈-[]2,4x ∈时2log y x =，则[]1,2y ∈综上，输入x 的值满足24x -<≤时，输出y 的值的取值范围是[]3,2- 故选：A 【点睛】本题考查程序框图，以及求函数的值域，属于较易题.6．若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为36π，则实数r 的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】A【解析】根据三视图可知，该几何体是一个以半圆为底面的半圆锥，根据圆锥的体积公式，计算即可. 【详解】该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，底面半圆半径为r ，高h =，则体积3211112323r V Sh r π=⨯===⨯⨯，解得：1r =. 故选：A 【点睛】本题考查根据几何体三视图，求几何体体积，属于较易题.7．设单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为2π，122a e e =+ur r u u r ，1223b e e =-r u r u r ，则b r 在a r 方向上的投影为（）A ．5-B ．5C ．13-D ．13【答案】A【解析】根据b r 在a r方向上的投影为cos ,a b b a b a=r rr r r g r ，求解即可.【详解】Q 单位向量1e u r ，2e u u r的夹角为2π ∴121e e ==u r u u r ，120e e =u r u u rg又Q 122a e e =+u r r u u r ，1223b e e =-r u r u r ∴()()()()2212121122223262064a b e e e e e e e e =+-=+-=+-=-r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u rg g ga =====r则cos ,a b b a b a===r r r g r 故选：A 【点睛】本题考查b r 在a r方向上的投影，属于较易题.8．已知变量,x y 满足约束条件0020x y x y x +<⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，则1y x +的取值范围为（）A ．31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由已知得到可行域如图：则1y x+的几何意义表示区域内的点与()0,1-连接的直线斜率，所以与()2,2A --连接的直线斜率最大为12（因为()2,2A --不在可行域内，故等号不成立），与O 连接的直线斜率最小趋于-∞ ，故1y x +的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9．已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内（如图）.则该半球体的体积为（）A ．2πB ．4πC ．46πD ．86π【答案】C【解析】由题意可知，半球球心为正方体下底面正方形对角线交点，球心与正方体上底面的顶点连线为该半球的半径，由题意可知正方体棱长为2，再计算半径6r=，即可.【详解】连接正方体下底面对角线，相交于点O，连接OB，则OB为半球体的半径r.Q正方体的体积为8∴2BC=，2OC=∴226r OB BC OC==+=∴半球体积()326463Vππ==.故选：C【点睛】本题考查球体的体积问题，确定球心与半径，是解决本题的关键.属于中档题.10．若3nxx的展开式中所有项系数之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A．270 B．180C．90 D．60【答案】C【解析】令1x=，求解5n=，再确定53xx的通项为5523153r rr rrT C x-+-+=⋅⋅，再令523r r-+=，求解即可.【详解】由题意令1x=，得41024n=，即5n=.则3nxx的通项为5553231553r r rrr r rrT C x C xx--+-+=⋅=⋅⋅.令5023r r-+=，解得3r =. 所以展开式中的常数项为3245390T C =⋅=.故选：C 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于中档题.11．设P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上的动点，且1F ，2F 为椭圆C 的焦点，I为12PF F ∆的内心，设点I 和点P 的纵坐标分别为I y ，P y ，若4P I y y =，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B C ．13D 【答案】C【解析】由题意可知，12PF F ∆的周长为22l a c =+，内切圆半径为I y ，边12F F 上高为P y ，利用12121122PF F P I S l y F F y ∆=⨯⨯=⨯⨯，求解3a c =，再根据离心率ce a=，计算即可. 【详解】由题意可知，12PF F ∆的周长为22l a c =+，内切圆半径为I y ，边12F F 上高为P y 则()12121122I I PF F P P S l y F F y a c y c y ∆=⨯⨯=⨯⨯=+= 又因为4P I y y =，所以4a c c +=，即3a c = 所以13c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，利用12PF F ∆面积相等，求解a 与c 的关系，是解决本题的关键，属于中档题.12．若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的最小值为（） A ．21eB ．22e C ．1eD ．2e【答案】D【解析】不等式()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭两边同时乘以x ，等价变形为()()2211ln ax ax e x x +≥+，利用ln ax ax e =，22ln ln x x =，将不等式变形为()()221ln 1ln axax ee x x +≥+，构造函数()()()1ln 0f t t t t =+>，不等式变形为()()2ax f e f x ≥，利用导数判断函数()f t 在()0,∞+上单调递增，从而确定2ax e x ≥在()0,∞+恒成立，即2ln xa x ≥在()0,∞+恒成立.构造新函数()2ln x g x x=，利用导数求函数()g x 的最大值，确定a 的取值范围，即可. 【详解】由题意可知，不等式()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+. 设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2axf e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2axe x≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,x g x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点.所以()()max 2g xg e e==，即2a e ≥，则实数a 的最小值为2e .故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.二、填空题13．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式.一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.来氏认为“万古之人事，一年之气象也.春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为3，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的.若在大圆内随机取一点，则落在黑色区域的概率为______.【答案】49【解析】由对称性可知，黑色区域的面积为大圆面积与小圆面积之差的一半，再根据几何概型概率公式，求解即可. 【详解】设大圆面积为1S ，小圆面积2S ，则2139S ππ=⨯=，221S ππ=⨯=.则黑色区域的面积为()12142S S π⨯-= 所以落在黑色区域的概率为()121144299S S P S ππ⨯-=== 故答案为：49【点睛】本题考查几何概型的概率问题，属于较易题.14．若直线20kx y k -+=和圆22230x y x +--=有公共点，则实数k 的取值范围是______.【答案】55k -≤≤【解析】将22230x y x +--=变形为()2214x y -+=，根据题意可知，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离小于等于半径2.求解即可. 【详解】由题意可知22230x y x +--=，化为()2214x y -+=.圆心为()1,0，半径2r =若使得直线20kx y k -+=和圆22230x y x +--=有公共点2=≤，解得k ≤≤.故答案为：k ≤≤【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于较易题. 15．若函数()()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()()00,0,0x x >成中心对称，则0x 的最小值为______. 【答案】512π【解析】由题意可知，最小正周期T π=，则2ω=，令02,6x k k Z ππ+=∈，求解即可. 【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，由题意可知22T π=，即T π=. 所以22T πω==，则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.因为该函数图象关于点()0,0x 成中心对称所以02,6x k k Z ππ+=∈，即0,122k x k Z ππ=-+∈又因为()00x ∈+∞,，所以当1k =时，()0min 512x π=. 故答案为：512π 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质，属于中档题.16．已知ABC V 中，60ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，D 为ABC V 内一点，且满足30DAC DBA ∠=∠=︒，则tan BCD ∠=______．【答案】12【解析】设BCD α∠=，利用正弦定理列方程，化简后得到()sin 245αα=-o ，再利用两角差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式进行化简，由此求得tan BCD ∠.【详解】设BCD α∠=，由正弦定理得：sin sin 30BD CD α=o ，()sin 30sin 45CD AD α=-oo，sin 30sin 45AD BD =oo，三式相乘即得：()sin sin 45sin 30sin 45αα=-oo o ，即()sin 245αα=-o22222αα⎫=-⎪⎪⎭cos sin αα=-，所以2sin cos αα=，1tan 2α=．故答案为：12【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查两角差的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题17．已知{}n a 是单调递增的等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，若11a =，11b =，515S =，3212b S =.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设{}n b 的前n 项和为n T ，若()1n n S T λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）n a n =，()1*2n n b n N -=∈；（2）34λ≥. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，根据题意列出方程组()2212545152q d d ⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩，求解即可. （2）由（1）可知，()12n n n S +=，21nn T =-，不等式()1n n S T λ≤+变形为()112n n n λ++≥，令()()()11,2n n n f n n N *++=∈，根据单调性确定()f n 的最大值，求解λ的取值范围即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为(),0d d >，数列{}n b 的公比为(),0q q >.由题意可知()2325212545152b S q d S d ⎧=+=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1d =，2q =. 所以n a n =，()1*2n n b n N -=∈. （2）由（1）知()12n n n S +=，()11211n n n b q T q -==--若使得()1n n S T λ≤+恒成立则需()1112nn n n n S T λ++≥=+恒成立，即()1max 12n n n λ++⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦ 令()()()11,2n n n f n n N *++=∈ 则()()()()()21121122n n n n n n f n f n ++++++-=-()()2122n n n ++-=，当2n ≥时，()()10f n f n +-≤，即()f n 单调递减. 当1n =时，()()210f f ->所以()()3max 233224f n f ⨯===，即34λ≥. 【点睛】本题考查待定系数法求数列通项公式，以及不等式恒成立，求参数取值范围问题，属于中档题.18．如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且2AB AE ==，将ABE ∆沿BE 折起到A BE '∆，使得AC A D ''=.（1）证明：平面A BE '⊥平面BCDE ；（2）若3ED =，求平面A BE '与平面ACD '所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）26. 【解析】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BC ，由题意可知A M BE '⊥，A N CD '⊥，MN CD ⊥，从而证明CD ⊥平面A MN '，即CD A M '⊥根据线面垂直的判定定理证明A M '⊥平面BCDE ，再利用线面垂直的性质定理证明面面垂直即可.（2）以M 为原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求解平面A BE '的法向量()1,1,0n =r，平面'A CD 的法向量(0,1,22m =u r ，再根据cos ,m nm n m n=u r ru r r g u r r g ，计算二面角余弦值，即可. 【详解】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BCQ 2AB AE ==，AC A D ''=∴A M BE '⊥，A N CD '⊥.又Q 在矩形ABCD 中∴MN CD ⊥又Q MN A N N '=I ，MN ⊂平面A MN '，A N '⊂平面A MN '∴CD ⊥平面A MN 'A M '⊂Q 平面A MN '∴CD A M '⊥又Q BE 与CD 为梯形BCDE 的两腰，必相交，CD ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE∴A M '⊥平面BCDE ，又Q A M '⊂平面A BE '∴平面A BE '⊥平面BCDE.（2）∵3ED =，2AB AE == ∴235BC AD AE ED ==+=+=.过点M 作//MF CD ，交BC 与F ，则MF MN ⊥，MA MF '⊥，MA MN '⊥ 以M 为坐标原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则各点坐标为(2A '，()0,4,0N ，()1,4,0C ，()1,1,0B -.设平面A BE '的法向量为()111,,n x y z =r ，则(2MA '=u u u u r ，()1,1,0MB =-u u u r111·20·0n MA z n MB x y ⎧==⎪⎨=-=⎪'⎩u u u u v v u u u v v ，即10z =，11x y =，取11y =，则()1,1,0n =r 设平面'A CD 的法向量为()222,,m x y z =u r ，则(0,4,2A N '=-u u u u r ，()1,0,0NC =u u u r222·420·0m A N y z m NC x ⎧==⎪⎨=='⎪⎩u u u u v v u u uv v ，即20x =，2222z y =，取11y =，则(0,1,22m =u r ， ∴22cos ,6111832m n m n m n====+⨯+u r ru r r g u r r g即平面A BE '与平面ACD '所成锐二面角的余弦值为26.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及求二面角的余弦值，属于较难的一道题. 19．已知动圆M 与y 轴相切，且与圆N ：2240x y x +-=外切；（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 过定点()3,0，且与轨迹E 交于A 、B 两点，与圆N 交于C 、D 两点，若点N 到直线l 的距离为d ，求AB dCD⋅的最小值．【答案】（1）()280y x x =≥和()00y x =< （2）2【解析】（1）设(),M x y ，根据两圆外切的条件列方程，化简后求得M 的轨迹E 的方程.（2）设出直线l 的方程，利用直线和抛物线相交的弦长公式、直线和圆相交的弦长公式、点到直线的距离公式，求得,,AB CD d ，由此求得AB dCD⋅的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得AB dCD⋅的最小值.【详解】圆()22:24N x y -+=，圆心为()2,0，半径为2.（1）设(),M x y ，则()2222x x y +=-+x 的符号可知，动圆圆心M 轨迹方程E 为()280y x x =≥和()00y x =<．（2）注意到若直线平行于x 轴，则直线与抛物线没有两个交点，因此可设l ：3x my =+．联立238x my y x=+⎧⎨=⎩，得28240y my --=，得128y y m +=，1224y y =-．故2222164964164AB m m m m =++=++又圆心到直线l 的距离21d m =+，从而222342421mCD d m+=-=+．从而()()222644434m m AB dCDm++⋅=+，令2343t m=+≥，则()()31AB dt t CDt⋅++=．34t t=++．令()()33f t t t t=+≥，则()f t 在[)3,+∞上单调递增，即()8f t ≥．因此当3t =时，即0m =时AB dCD⋅取最小值22．【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查直线和抛物线、直线和圆的位置关系，考查动点轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题.20．2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入x （百万元）与收益y （百万元）的数据统计如下：科技投入x 2 4 6 8 10 12 收益y 5.66.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线2bx y c =⋅的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：其中2log i i z y =，6116i i z z ==∑.（1）（i ）请根据表中数据，建立y 关于x 的回归方程（保留一位小数）；（ii ）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中2log 5 2.3≈）（2）乙认为样本点分布在二次曲线2y mx n =+的周围，并计算得回归方程为20.9212.0y x =-，以及该回归模型的相关指数20.94R =，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线方程µµvu αβ=+$的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑，µµv u αβ=-，相关指数：()()221211ni i i n ii v vR v v ==-=--∑∑$.【答案】（1）（i ）0.512x y +=（ii ）科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿.；（2）甲建立的回归模型拟合效果更好.【解析】（1）（i ）令22log log z y bx c ==+，2log a c =，则z bx a =+，根据最小二乘估计0.5b≈$，$1a =，则0.51z x =+，从而确定y 关于x 的回归方程即可. （ii ）令0.512200x +≥，解得x 的取值范围即可.（2）先计算甲建立的回归模型的残差，$()621298.5i i i y y =-=∑，再计算甲模型的相关指数20.98R =，与乙模型的相关指数比较大小，即可. 【详解】（1）（i ）2468101276x +++++==，令22log log z y bx c ==+；令2log a c =，则z bx a =+.根据最小二乘估计可知：()()()6162134.70.570iii i i x x zzbx x==--==≈-∑∑$ 从而$ 4.50.571az bx =-=-⨯=$，故回归方程为0.51z x =+，即0.512x y +=.（ii ）设0.512200x +≥，解得20.51log 200x +≥，即244log 513.2x ≥+≈ 故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿. （2）甲建立的回归模型的残差：则$()621298.5i i i y y =-=∑，从而2298.5110.020.980.9412730.4R =-≈-=>，即甲建立的回归模型拟合效果更好. 【点睛】本题考查求回归方程以及相关指数，属于较难的题. 21．已知()axf x xe =.（1）试求()f x 在[]0,2上的最大值；（2）已知()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，若存在12,x x R ∈，12x x <，使得()()12f x f x =，证明：21x x e e >.【答案】（1）当12a ≥-时()2max 2af x e =；当12a <-时()max 1e f x a=-；（2）证明见解析.【解析】（1）先求导数()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，然后对a 分类讨论，判断单调性，求解即可.（2）由题意可知，1a =-，则()()1xf x x e -'=-，从而确定()f x 单调性，再根据()f x 的正负，确定其函数的大致图像，从而确定有1201x x <<<，要证21x x ee >，只需证211ln x x >-，只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()1111ln 1,01x e x x -+<<<，构造函数()()()1ln ,0,1t h t e t t -=+∈，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，即可. 【详解】（1）()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，当0a ≥时，则10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立. 所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增. 则()f x 的最大值为()()2max 22af x f e ==；当0a <时，令10ax +=，即1x a=- 当()10,2a -∈，即12a <-时，当10,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0f x '>，()f x 在10,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增. 当1,2x a ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，()max 11f a ea f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当[)12,a -∈+∞即102a -≤<时，10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增. 则()f x 的最大值为()()2max 22af x f e==；综上所述：当12a ≥-时()()2max 22af x f e ==；当12a <-时()max 11f a ea f x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. （2）因为()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，所以()()110a f a e '=+=，则1a =-，即()()1xf x x e -'=-.当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(),1-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减. 又因为0x <时有()0f x <；0x >时有()0f x >，根据图象可知，若()()12f x f x =，则有1201x x <<<；要证21x x ee >，只需证211ln x x >-；又因为101x <<，所以11ln 1x ->；因为()f x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()()()1111ln 1ln 11111ln 1ln 1ln x x xx x x e e x e eex ---<--==只需证()1111ln 1,01x ex x -+<<<设()()()1ln ,0,1th t et t -=+∈，则()11tte h t t--'=.由()f x 的单调性可知，()()11f t f e≤=. 则1ttee-≤，即110t te --≥. 所以()0h t '>，即()h t 在()0,1t ∈上单调递增. 所以()()11h t h <=. 从而不等式21x x ee >得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值以及证明不等式，属于难题.22．已知直线1C ：()4tan y x α=+（α为直线的倾斜角），曲线2C ：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线1C 的参数方程和曲线2C 的普通方程；（2）若直线1C 的倾斜角为4π，且与曲线2C 交于A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）1C ：4cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），2C ：221169x y +=；（2）722AB =【解析】（1）1C 表示过点()4,0-，倾斜角为α的直线，根据直线参数方程直接写出，其参数方程. 椭圆2C 直接化为普通方程，即可.（2）将直线l 的参数方程代入曲线2C 整理得2257220t t -=，设A ，B 对应参数分别为1t ，2t ，根据直线参数方程t 的几何意义，求解12AB t t =-，即可.【详解】（1）1C ：4cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），2C ：221169x y +=. （2）直线l 的参数方程为24222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将其代入曲线2C 整理可得：2257220t t -=设A ，B 对应参数分别为1t ，2t ，则10t =，272225t =，所以1272225A tt B -==. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，以及根据直线参数方程t 的几何意义，求弦长，属于中档题.23．设函数()2124f x x x =-++-.（1）画出()y f x =的图象；（2）设()2f x ≤的解集为A ，若{}|3A x x a x ⊆-+≤，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）13a ≤≤. 【解析】（1）在平面直角坐标系中画出分段函数()34,2,2134,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-≥⎩，即可.（2）由题意可知{}22A x x =-≤≤，求解绝对值不等式3x a x -+≤的解集为32a x x ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，()3a ≤，若使得{}|3A x x a x ⊆-+≤成立，则需322a +≥成立，求解即可.【详解】（1）()34,2,2134,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-≥⎩图象如下图.（2）由图象可知，()2f x ≤的解集{}22A x x =-≤≤，因为2,,x a x a x a x a x a -≥⎧-+=⎨<⎩所以若3a >，则当x a ≥时，223x a x x a a a a -+=-≥-=>；当x a <时，3x a x a -+=>，故不等式3x a x -+≤无解；若3a ≤，则当x a ≥时，23x a x x a -+=-≤，解得32a a x +≤≤；当x a <时，3x a x a -+=≤恒成立. 故不等式3x a x -+≤的解集为32a x x ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭若使得{}|3A x x a x ⊆-+≤成立，即3|2a A x x +⎧⎫⊆≤⎨⎬⎩⎭成立则需322a +≥，即1a ≥. 综上所述：13a ≤≤.【点睛】本题考查分段函数的图象，以及含绝对值不等式的求解，属于中档题.。

湖南省长沙市一中2011届高三第七次月考【理数】

湖南省长沙市一中2011届高三月考试卷(七)数学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人：李湘斌审题人：赵意扬 (考试范围：高考理科内容(不含选修系列4))本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线x ＋y －1＝0的倾斜角是( )A.－π4B.π4C.3π4D.π22.“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A.9πB.10πC.11πD.12π4.在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A.40 B.42 C.43 D.455.设m >0，则直线x ＋3y ＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切6.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是( )A.y ＝sin(2x ＋π6)B.y ＝sin(2x －π6)C.y ＝cos(2x ＋π3)D.y ＝cos(2x －π6)7.函数y ＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)8.设m ∈N *，F (m )表示log 2m 的整数部分，则F (210＋1)＋F (210＋2)＋F (210＋3)＋…＋F (211)的值为( )A.10×210B.10×210＋1C.10×210＋2D.10×210－1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.∫10x 2d x ＝ .10.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品.产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，已知A 种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n ＝ .11.如右图所示的算法流程图中，输出S 的值为 .12.设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －2y ＋1＝0，则直线PB 的方程是 .13.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 .14.在△ABC 中，P 为中线AM 上的一个动点，若|AM |＝2，则PA ·(PB ＋PC )的最小值为 .15.如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点(1,0)处标数字1，点(1，－1)处标数字2，点(0，－1)处标数字3，点(－1，－1)处标数字4，点(－1,0)处标数字5，点(－1,1)处标数字6，点(0，1)处标数字7，…以此类推，①标数字50的格点的坐标为 .②记格点坐标为(m ，n)的点(m 、n 均为正整数)处所标的数字为f(m ，n)，若n>m ，则f(m ，n)＝ .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos (π4＋x)·sin x的值.17.(本小题满分12分)某旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条线路，不同的旅游团可选相同的旅游线路.(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； (2)求选择甲线路旅游团的团数的分布列和期望.如右图，简单组合体ABCDPE ，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC.(1)若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；(2)若PDAD ＝2，求平面PBE 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小.19.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝12ax 2＋(1－a)x －1－ln x ，a ∈R .(1)若函数在区间(2,4)上存在．．单调递增区间，求a 的取值范围； (2)求函数的单调增区间.20.(本小题满分13分)某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草，为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图)，并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度)，某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位：百米)，且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位：百米).(1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系，求出该椭圆的标准方程； (2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值.顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A 0(1,1)，过A 0作抛物线的切线交x 轴于B 1，过B 1点作x 轴的垂线交抛物线于A 1，过A 1作抛物线的切线交x 轴于B 2，…，过A n (x n ，y n )作抛物线的切线交x 轴于B n ＋1(x n ＋1,0)(1)求{x n }，{y n }的通项公式；(2)设a n ＝11＋x n ＋11－x n ＋1，数列{a n }的前n 项和为T n .求证：T n >2n －12.(3)设b n ＝1－log 2y n ，若对任意正整数n ，不等式(1＋1b 1)(1＋1b 2)…(1＋1b n)≥a 2n ＋3成立，求正数a的取值范围.炎德·英才大联考长沙市一中2011届高三月考试卷(七)数学(理科) 教师用卷长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人：李湘斌审题人：赵意扬 (考试范围：高考理科内容(不含选修系列4))本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考(数学文)新人教A

且∠APD＝π， 2
即 PA⊥PD，
又 CD∩PD＝D， ∴PA⊥平面 PCD.
(11 分) (12 分)
19. (本小题满分 13 分)
解：(1)p(x)＝R(x)－C(x)＝3700x＋45x2－10x3－460x－500
＝－10x3＋45x2＋3240x－500，(x∈N，1≤x≤20) (3 分)
值范围；
f(x)
1
(2)当 a＝0 时，＋lnx＋1≥0 对任意的 x∈[ ，＋∞)恒成立，求 b 的取值范围；
x
2
(3)若 0<a<b，函数 f(x)在 x＝s 和 x＝t 处取得极值，且 a＋b<2 3，O 是坐标原点，证明：直线 OA 与直线 OB 不可能垂直.
数学(文科)答案选择题答题卡
65
2
2
4
令 2kπ－π≤2x－π≤2kπ＋π，得 kπ－π≤x≤kπ＋3π，k∈Z.(11 分)
2
4
2
8
8
∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ－π，kπ＋3π]，k∈Z.(12 分)
8
8
17. (本小题满分 12 分)
解：(1)由表可知抽取比例为1，故 a＝4，b＝24，c＝2. 6
(4 分)
(2)设“动漫”4 人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2 人分别为：B1，B2.则从中任
(3 分)
且 PA平面 PAD，EF平面 PAD，
∴EF∥平面 PAD.
(6 分)
(2)证明：因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，
又 CD⊥AD，所以，CD⊥平面 PAD，∴CD⊥PA， (9 分)

湖南省长沙一中高三数学上学期第五次月考试卷理(含解析)

2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 253．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 4834．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 35．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 7206．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12π B． 4π C．3π D． 12π8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．3．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 483考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．解答：解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．4．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 3考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积的3倍，故可得结论．解答：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积S=3=3故答案为：3点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性，属于基础题．5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 720考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．解答：解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．6．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．解答：解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B点评：复合命题的真值表：7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12π B． 4π C．3π D． 12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析： g（x）=x|a﹣x|+2x=，易分析a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；于是得当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点，故只需考虑a∈（2，3]的情形．当x≥a时，利用二次函数的单调性与最值可求得g（x）的值域为[2a，+∞）；若x＜a，g（x）的值域为（﹣∞，]，依题意ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可．解答：解：∵g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，对称轴x=≤a，即a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；若x＜a，对称轴x=≥a，即a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；∴当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点；因此，只需考虑a∈（2，3]的情形．当a∈（2，3]时，g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，g（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴，则g（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时g（x）的值域为g（x）∈[g（a），+∞）=[2a，+∞）；若x＜a，g（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴x=＜a，则g（x）在x∈（﹣∞，]为增函数，此时g（x）的值域为（﹣∞，]；g（x）在[，a]为减函数，此时g（x）的值域为（2a，]；由存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可，令h（a）=≥=2，只要使t＜[h（a）]max即可，而h（a）在a∈[﹣2，3]上是增函数，∴[h（a）]max=h（3）=，故实数t的取值范围是（2，）；故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，突出函数单调性与值域的探索与分析，考查创新思维、逻辑思维、抽象思维及综合运算、分析的能力，属于难题．一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：圆ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径r等于2的圆．直线ρ（sinθ+cosθ）=4，即 x+y﹣4=0，由于弦心距d==，故弦长为2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是[﹣2，4]．．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．解答：解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[﹣2，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△A BC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为35°．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质即可得出．解答：解：∵AC=CD，∠D=35°，∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．∴∠CBE=35°．∵AB=AC，∴∠ABC=70°，∴∠ABE=35°．故答案为：35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为（0，1]∪（3，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或，运用指数函数的单调性和二次不等式的解法，分别解出它们，再求并集即可．解答：解：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或即或，解得，0＜x≤1或3＜x＜4．则解集为（0，1]∪（3，4）．故答案为：（0，1]∪（3，4）．点评：本题考查分段函数的运用：解不等式，考查指数函数的单调性，及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有216 ．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，由组合数公式可得其分组方法；2、甲所在小组先开出，乙所在小组随后开出，由排列的性质可得列车开出的不同顺序；由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，则有C42=6种分组方法，2、甲所在小组先开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，同理乙所在小组随后开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，则共有6×6×6=216种不同的顺序，故答案为216．点评：本题考查分步计数原理的运用，涉及排列、组合的运用，解题时注意首先要满足“两列列车不在同一小组”的分组要求．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ ），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性．用cosθ，sinθ表示λ和μ 是解题的难点，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．考点：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．解答：解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵车与否相互独立，∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，∴选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上变化，y在（0，）上变化，∴选择走甲线路的概率为=点评：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程；（2）直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，y M=，求出k3，即可得出结论．解答：解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1=，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M=，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出数列{a n}是公比为2的等比数列．由此能求出，n∈N*．（2）=，若b1，b m，b n成等比数列，则．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）=[]，由此利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：∵a n+12=2a n2+a n a n+1，∴（a n+1+a n）（2a n﹣a n+1）=0，又a n＞0，∴2a n﹣a n+1=0，即2a n=a n+1，∴数列{a n}是公比为2的等比数列．由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*．（2）解：=，若b1，b m，b n成等比数列，则（）2=，即．由，得，∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．故当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）证明：==[]=[]，∴[]==，∵（）n+1•递减，∴0＜（）n+1•≤∴，∴．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的成立的条件的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。

湖南省长沙市一中学高三数学第六次月考理新人教A版【会员独享】

长沙市一中2011届高三月考试卷(六)数学(理科)(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22010≡r (mod7)，则r 可以为A.2008B.2009C.2010D.20117.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是 A.13 B.12 C.23 D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝错误!，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2009，x 2010的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2009－1),3(x 2010－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.18.(本小题满分12分)如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6？19.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.21.(本小题满分13分)已知正项数列{a n }的首项a 1＝12，函数f (x )＝x1＋x ，g (x )＝2x ＋1x ＋2.(1)若正项数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若正项数列{a n }满足a n ＋1≤f (a n )(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝a nn ＋1，证明：b 1＋b 2＋…＋b n <1；(3)若正项数列{a n }满足a n ＋1＝g (a n )，求证：|a n ＋1－a n |≤310·(37)n －1.数学(理科)参考答案故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.96413.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij (5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3；当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ的分布列为(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0，∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则错误!，即错误!. 令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)，依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴错误!，∴a >2错误!，∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12.又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7，∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37，。

湖南省长沙市一中2011届高三第一次月考(数学理)答案

炎德㊃英才大联考理科数学(一中版)-1 炎德·英才大联考长沙市一中2011届高三月考试卷(一)(一中版)理科数学参考答案一㊁选择题题号12345678答案A C D A D B C B 二㊁填空题9.-8 10.(-1,1) 11.x 2=2.764或x 2=3.236(只要写对其中一个给全分) 12.4 13.(-∞,5]14.102 15.1 三㊁解答题16.解:p :∵f (x )=2|x -a |在区间(4,+∞)上递增,∴u =|x -a |在(4,+∞)上递增,故a ≤4.(3分)………………………………………………………………q :由l o g a 2<1=l o g a a ⇒0<a <1或a >2.(6分)………………………………………………………………如果 ⌝p ”为真命题,则p 为假命题,即a >4.(8分)…………………………………………………………又因为p 或q 为真,则q 为真即0<a <1或a >2.由0<a <1或a >2a >{4可得实数a 的取值范围是a >4.(12分)…………………………………………………17.解:(1)f (x )=x 2-x -3,因为x 0为不动点,所以f (x 0)=x 20-x 0-3=x 0,解得x 0=-1或x 0=3,-1和3是函数的两个不动点.(4分)………………………………………………(2)因为函数f (x )恒有两个相异的不动点,所以方程f (x )=a x 2+(b +1)x +(b -1)=x ,也就是a x 2+b x +(b -1)=0对任何实数b 恒有两个不相等的实数根,即b 2-4a (b -1)>0对任意的b ∈R 恒成立.(8分)……………………………………………………………这个不等式可化为b 2-4a b +4a >0,所以(4a )2-16a <0,解得0<a <1.(12分)……………………………………………………………………18.解:(1)圆锥曲线x =2c o s θy =3s i n {θ化为普通方程是x 24+y 23=1,所以F 1(-1,0),F 2(1,0),(2分)…………………………………………………………………………………则直线A F 2的斜率k =0-31-0=-3,于是经过点F 1垂直于直线A F 2的直线l 的斜率k '=33,直线l 的倾斜角是30°,(5分)…………………………………………………………………………………………………所以直线l 的参数方程是x =-1+t c o s 30°y =0+t {s i n 30°(t 为参数),即x =32t -1y =12ìîíïïïït (t 为参数).(7分)…………………………………………………………………………………炎德㊃英才大联考理科数学(一中版)-2(2)解法一:直线A F 2的斜率k =0-31-0=-3,倾斜角是120°,(8分)………………………………………设P (ρ,θ)是直线A F 2上任意一点,则ρs i n 120°=1s i n (120°-θ),即ρs i n (120°-θ)=s i n 120°,即ρs i n θ+3ρc o s θ=3.(12分)………………………………………………………………………………………………………解法二:直线A F 2的直角坐标方程是y =-3(x -1),(9分)…………………………………………………将x =ρc o s θy =ρs i n {θ代入得直线A F 2的极坐标方程是ρs i n θ=-3ρc o s θ+3,即ρs i n θ+3ρc o s θ=3.(12分)…………………………………………………………………………………19.解:(1)∵四边形A B C D 是梯形,A D ∥B C ,∴△AMD ∽△C M B ,∴S △A M D S △C M B =(A D B C )2=14.∵种满△AMD 地带花费160元,∴S △A M D =1608=20(m 2),(4分)……………………………………………∴S △C M B =80m 2,∴种满△B M C 地带的花费为80×8=640(元).(6分)……………………………………(2)设△AMD ,△B M C 的高分别为h 1,h 2,梯形A B C D 的高为h .∵S △A M D =12×10h 1=20,∴h 1=4(m ).又∵h 1h 2=12,∴h 2=8(m ),h =h 1+h 2=12(m ),(9分)…………………………………………………………∴S 梯形A B C D =12(A D +B C )h =12×30×12=180(m 2),∴S △A M B +S △D M C =180-20-80=80(m 2).又∵160+640+80×10=1600(元),∴应选择种植茉莉花可刚好用完所筹集的资金.(13分)………………………………………………………20.解:(1)∵f (x )的定义域为{x |x >0}不关于原点对称,∴f (x )为非奇非偶函数,(2分)…………………………………………………………………………………而g t (x )的定义域为R ,且g t (-x )=(1+t )(-x )-e t ≠±g t (x ),∴g t (x )也为非奇非偶函数.(4分)………………………………………………………………………………(2)函数y =f (x )-g 2(x )=x l n x -3x +e 2的定义域为(0,+∞),y'=l n x -2.由y '>0得x >e2,由y '<0得0<x <e 2,故y =f (x )-g 2(x )的单调递增区间为(e 2,+∞);单调递减区间为(0,e 2).(8分)…………………………(3)解法一:令h (x )=f (x )-g t (x )=x l n x -(1+t )x +e t ,(10分)……………………………………………则h '(x )=l n x -t .由h '(x )=0,得x =e t ,当x >e t 时,h '(x )>0;当0<x <e t 时,h '(x )<0,∴h (x )在(0,e t )上单调递减,在(e t ,+∞)上单调递增,∴h (x )在(0,+∞)上有唯一极小值h (e t ),也是它的最小值,而h (x )在(0,+∞)上的最小值h (e t )=0,∴h (x )≥0,即f (x )≥g t (x ).(13分)……………………………………………………………………………解法二:对任意x >0,令h (t )=f (x )-g t (x )=x l n x -(1+t )x +e t ,则h '(t )=-x +e t .由h '(t )=0,得t =l n x ,当t >l n x 时,e t >e l n x =x ,e t -x >0,∴h '(t )>0;当t <l n x 时,h '(t )<0,∴l n x 为h (t )的唯一极小值点,h (t )≥h (l n x )=x l n x -x -x l n x +e l n x =0,炎德㊃英才大联考理科数学(一中版)-3 ∴x l n x ≥(1+t )x -e t ,即f (x )≥g t (x ).(13分)………………………………………………………………21.解:(1)∵f (x )=l n x +92(x +1)(x >0),∴f '(x )=1x -92(x +1)2=2x 2-5x +22x (x +1)2,(2分)…………………………………………………………………故当12<x <2时,f '(x )<0,即f (x )单调递减,从而x ∈[1,2)时,f (x )单调递减.当0<x ≤12或x ≥2时,f '(x )≥0,即f (x )单调递增,从而x ∈[2,e ]时,f (x )单调递增.(4分)……………故f m i n (x )=f (2)=l n 2+32.又f (1)=94>f (e )=1+92(e +1),故f m a x (x )=f (1)=94.(6分)……………………………………………………………………………………(2)由g (x 2)-g (x 1)x 2-x 1<-1可知g (x 2)+x 2-[g (x 1)+x 1]x 2-x 1<0,所以可设ω(x )=g (x )+x =|l n x |+x +a x +1(a >0,x ∈(0,2]),(8分)………………………………………故由题设可知ω(x )在x ∈(0,2]上为减函数.∵ω'(x )=1x +1-a (x +1)2,1≤x ≤2-1x +1-a (x +1)2,0<x <ìîíïïïï1,(10分)………………………………………………………………而由1x +1-a (x +1)2<0(1≤x ≤2)可得a >x 2+3x +3+1x (1≤x ≤2),而y =x 2+3x +3+1x 在x ∈[1,2]上是增函数,∴a >272.显然当a >272且0<x <1时,-1x +1-a (x +1)2<0,所以a 的取值范围是(272,+∞).(13分)………………………………………………………………………。

湖南省长沙市一中高三数学第五次月考(理科)

高三月考试卷（五）理科数学命题：长沙市一中高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设b a ,是非零向量，则“||||b a b a -=+”是“b a ⊥”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．函数122)(log 1)(+-=+=x x g x x f 与在同一直角坐标系下的图象大致是（）3．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分I 、II 、III 、Ⅳ（不包含边界）。

设21n m +=，且点P 落在第III 部分，则实数m ，n 满足（）A ．00n ＞m ＞，B ．00n ＜m ＞，C ．00n ＞m ＜，D ．00n ＜m ＜，4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是（） A ．]2,0(πB ． )2,0(πC ． ]3,0(πD ． ]4,0(π5．若动圆的圆心在的抛物线y x 122=上，且与直线t+3=0相切，则此圆恒过定点（）A ．（0，－3）B ．（0，3）C ．（0，2）D ．（0，6）6．各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若14,23==n n S S ，则n S 4等于（） A ．16B ．26C ．30D ．807．已知函数x x f ωsin )(=在[0，4π]上单调递增，且在这个区间上的最大值为23，则实数ω 的一个值可以是（） A ．32B ．34 C ．38 D ．310 8．能够使圆014222=++-+y x y x 恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的一个值为（） A ．5B ．53C ．2D ．39．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-)0()1()0(12)(x x f x x f x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．]0,(-∞ B ．]1,(-∞ C ．]1,0[D ．[)+∞,010．设M 是ABC ∆内一点，且32=⋅，BAC ∠=30°.定义),,()(p n m M f =，其中p n m 、、分别是ABC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积.若),,21()(y x P f =，则yx 41+的最小值是（）A ．18B ．16D ．9D ．8选择题答题卡二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卷中对应题号的横线上） 11．已知的值是则)4tan(,53)sin(),,2(ππππα+=-∈a a . 12．不等式01||2<--x x 的解集是 .13．已知2)21(,105302-+⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-y x y y x y x 则的最大值是 8 。

湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考(数学理)新人教A

长沙市一中2011届高三月考试卷(五)数学(理科)时量：120分钟满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

湖南省长沙一中高三上学期第五次月考理科数学

长沙市一中-高三第五次月考理科数学一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．设全集U = R ，集合M = {x | x ＞1}，N = { x | | x |＞1}，则下列关系正确的是（）A ．M = PB ．M NC ．N MD ．(CUM)∩N = φ【答案】B2．等差数列{}n a 中，若a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 20，则a 3 = （）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】由等差数列的性质将已知等式化为5a 3 = 20，∴a 3 = 4，∴选A ． 3．已知向量a = (3，4)，b = (sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan α= （）A ．34B ．–34C ．43D ．–43【答案】A4．若函数f (x ) = 122log x 的值域是[– 1，1]，则f – 1 (x )的值域是（）A ．[– 1，1]B ．22] C ．[12，2]D ．（–∞，2]∪[2，+∞）【解析】即求原函数的定义域，由– 1≤122log x ≤12⇒≤x 2B ． 5．已知两条不同轴直线l 1和l 2及平面α，则直线l 1∥l 2的一个充分条件是（）A ．l 1∥α且l 2∥αB ．l 1、l 2和平面α所成角相等C ．l 1∥α且l 2 αD ．l 1⊥α且l 2⊥α【答案】D6．若点P 到定点（0，10）与到定直线y =185的距离之比是53，则点P 的轨迹方程是（） A ．221926x y +=B ．221926y x +=C ．2213664x y -=D ．2213664y x -=⊂≠⊂≠ ⊂≠【解析】根据双曲线的定义知，P 点的轨迹是焦点在y 轴上的双曲线，∴选D ． 7．若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且A ＜B ＜C (C ≠2π)则下列结论中正确的是（ A ） A ．sin A ＜sin CB ．cot A ＜cot CC ．tan A ＜tan CD ．cos A ＜cos C【解析】∵A ＜C ∴a ＜c ∴sin sin C cA a=＞1 ∴sin C ＞sin A ． 8．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB = AC ，DB = DC ，则AD = BC D ．若AB = AC ，DB = DC ，则AD ⊥BC【解析】A 、B 都正确，在D 中，取BC 中点M ，易证BC ⊥平面AMD ， ∴BC ⊥AB ，∴选C ．9．设a ＞0，b ＞0，且a 2 + b 2 = a + b ，则a + b 的最大值是（）A ．12 B ．14C ．2D ．1 【解析】C ∵2ab ≤2()2a b + ∴a + b = a 2 + b 2 = (a + b )2 – 2ab ≥ (a + b )2 –2()2a b +即 (a + b )2 ≤ 2 (a + b ) 又a ＞0，b ＞0 ∴a + b ＞0 ∴a + b ≤2 ∴选C ． 10．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM （）A ．与AC 、MN 均垂直相交B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与MN ，AC 均不垂直【解析】由三垂定理可证OM ⊥AC ，由勾股定理逆定理可证OM ⊥MN ，∴选A ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若直线ax + y – 1 = 0与直线4x + (a – 5) y – 2 = 0垂直，则实数a 的值等于 1 ．【解析】由已知4a + 1×(a – 5) = 0 ∴a = 1． 12．设函数f (x ) = a –|x | (a ＞0且a ≠1)若f (2) = 4，则a =12，f (–2)与f (1)的大小关系是 f (–2) ＞f A BCDA B CDD 1C 1B 1A 1M N O·· ·(1) ．【解析】由f (2) = a –2 = 4，解得a = 12，∴f (x ) = 2|x | ∴f (–2) = 4＞2 = f (1)． 13．不查表求值2cos10sin 20cos 20︒-︒︒3．【解析】原式 =2cos(3020)sin 203cos 203cos 20︒-︒-︒︒==︒14．已知空间四边形ABCD 中，AB = CD = 3，E 、F 分别为BC 、AD 上的点，且12BE AF EC FD ==，EF 7AB 和CD 所成的角的大小是 60° ．【解析】作FH ∥AB 交BD 于H ，则12BH AF HD FD ==，∴HF DHAB BD=， ∴HF = 23AB = 2，在△HEF 中1cos 2EHF ∠=-，∴∠EHF 的补角60°为AB 、CD 所成角．15．对任意x ∈R ，若关于x 的不等式ax 2 – |x + 1| + 2a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是31[)++∞．【解析】原不等式化为a ≥2|1|2x x ++恒成立，令f (x ) = 2|1|2x x ++则a ≥max ()f x 令t = x + 1则，f (x ) = g (t ) =2||23t t t -+①当t = 0时，g (0) = 0；②当t ＞0时，max31()(3)g t g +== ③当t ＜0时，max 31()(3)g t g -=-=，∴max ()f x =max 31()g t +=，∴a 31+．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数f (x ) = a (22sin sin 2xx +) + b ．（1）当a = 1时，求f (x )的单调递减区间；（2）当a ＜0时，f (x )在[0，π]上的值域是[2，3]，求a ，b 的值．【解析】（1）当a = 1时， f (x ) = 22sin sin 2x x ++ b = sin cos 12)14x x b x b π-++=-++……2分由2k π+32242x k ππππ≤-≤+得372244k x k ππππ+≤≤+，∴f (x )的递减区间是[372,244k k ππππ++]（k ∈Z ）．……5分 A F DE· ·（2）f (x 2sin()4a x ab π-++，∵x ∈[0，π]，∴3444x πππ-≤-≤，∴2sin()14x π≤-≤……8分 ∵a ＜02()a a b f x b ++≤≤ ∵f (x ) 的值域是[2，3]2 + a + b = 2且b = 3 ∴a = 12b = 3．……10分 17．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC = 90°，AB = a ， AD = 3a ，且∠ADC = arc sin5P A ⊥平面ABCD ，P A = a ．（1）求二面角P —CD —A 的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离．【解析】（1）作AG ⊥CD 于G ，连结PG ∵P A ⊥底面BCDA ，∴PG ⊥CD (三垂线定理)∴∠PGA 是二面角P —CD —A 的平面角．……2分 ∵AG = AD sin ∠ADC 35a ，tan ∠PGA = PAAG 5∴∠PGA = arc tan53．即所求二面角的大小为arc tan 53．……6分（2）∵AD ∥BC ∴AD ∥面PBC ．∴AD 上任意一点到平面PBC 的距离，就是点D 到平面PBC 的距离．作AH ⊥PB 于H ．∵P A ⊥面BCDA ∴P A ⊥BC 又∵BC ⊥AB ∴BC ⊥平面P AB ∴BC ⊥AH ． ∵PB ∩BC = B ∴AH ⊥平面PBC ．即AH 为A 到平面PBC 的距离．……10分 ∵△P AB 为等腰直角三角形．∴AH =22a ． ∴点D 到平面PBC 2a ．……12分 BCD PAB CD GPHA18．（本小题满分12分）已知抛物线顶点在原点，焦点F 是圆x 2 + y 2 – 4x + 3 = 0的圆心．（1）求抛物线的标准方程；（2）若存在过圆心F 的直线l 与抛物线及圆顺次交于A 、B 、C 、D ，且使|AB |、2|BC |、|CD |成等差数列；求直线l 的方程．【解析】∵圆方程化为(x – 2)2 + y 2 = 1，∴圆心F （2，0）（1）∵抛物线顶点在原点、焦点为（2，0），……1分 ∴抛物线标准方程为y 2 = 8x ．……3分（2）依题意： |AB | + |CD | = 4|BC | = 8，|AD | = |AB | + |BC | + |CD | = 8 + 2 = 10．① 当l 的斜率不存在时，l ⊥x 轴，此时|AD | = 2p = 8，不合题意；……5分②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y = k (x – 2)，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消y 得2222(48)4k x k x k -++= 0 ……8分∴x 1 + x 2 = 2248k k +由抛物线的定义知|AD | = |AF | + |DF | = x 1 + x 2 + p =2248k k ++ 4 = 28k+ 8∴28k + 8 = 10解得k = ±2．∴l 的方程为y = ±2（x – 2）．……12分 19．（本小题满分13分）用一块长为a ，宽为b (a ＞b )的矩形木块，在二面角为θ (0＜θ＜π)的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面，两边与墙面贴紧，另一边与地面贴紧)，试问怎样围才能使储物仓的容积最大？并求出这个最大值．【解析】（1）若使矩形木板长边贴紧地面，即AB = CD = a ，AD = BC = b ，设P A = x ，PB = y ，则a 2 = x 2 + y 2 – 2xy cos θ≥2xy – 2xy cos θ．∴xy ≤22(1cos )a θ- (当且仅当x = y 时取等号) ．……5分yxDABC F Ol· ABCD QPθ这时容积V 1 = (12xy sin θ)·b ≤2sin 4(1cos )a b θθ- = 14a 2b cot 2θ．……8分（2）若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤22(1cos )b θ-．这时容积V 2 = (12xysin θ)·a ≤14ab 2 cot 2θ ∵a ＞b ＞0，cot 2θ＞0 ∴V 1＞V 2．……12分【答案】当矩形木板的长边紧贴地面，且所围储物仓的底面是以a 为底的等腰三角形时，储物仓的容积最大，最大值为14a 2b cot 2θ．……13分 20．（本小题13分）已知数列{a n }的前n 项和S n = 2a n – 3×2n + 4 (n ∈N *) （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设T n 为数列{S n – 4}的前n 项和，试比较T n 与14的大小．【解析】（1）由a 1 = S 1 = 2a 1 – 3×2 + 4得a 1 = 2，……1分由已知，得S n + 1 – S n = 2 (a n + 1 – a n ) – (2n + 1 – 2n ) 即a n + 1 = 2a n + 3×2n 两边同除以2n + 1得113222n n n n a a ++=+即113222n n n n a a ++-= ∴数列{2n na }是以12a = 1为首项，32为公差的等差数列．……4分 ∴2n na = 1 + (n – 1) ×32 即a n = (32n – 12)2n ，n ∈N *．……6分（2）∵S n – 4 = 2a n – 3×2n = (3n – 4)·2n ．∴T n = –1×2 + 2·22 + 5·23 + …+ (3n – 4)·2n ① 2T n = –1×22 + 2×23 + … + (3n – 7)·2n + (3n – 4)·2n + 1 ② ① – ②得 –T n = –2 + 3(22 + 23 + …+2n ) – (3n – 4)·2n + 1= –2 + 3×212(21)21n --- – (3n – 4)·2n + 1 = –14 + (14 – 6n )·2n ……10分∴T n = 14 – (14 – 6n )·2n ．∵当n = 1，2时，14 – 6n ＞0 ∴T n ＜14．当n ≥3时，14 – 6n ＞0 ∴T n ＞14．……13分21．已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左准线恰为抛物线E ：y 2 = 16x 的准线，直线l ：x + 2y – 4 = 0与椭圆相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）如果椭圆C 的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 的直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与椭圆C 的右准线分别交于N 、M 两点，求证：四边形MNPQ 的对角线的交点是定点．【解析】（1）由题知抛物线y 2 = 16x 的准线方程为x = – 4，这也是椭圆的左准线方程．设椭圆22221x y a b +=的右焦点为F (c ，0)，其中c =22a b -，则24a c =，即a 2 = 4c ．①由2222240,1,x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22222411616()10y y a b a a +-+-=．由于直线x + 2y – 4 = 0与椭圆C 相切，所以 2222222221641164116()4()(1)4()0a a b a a b a b ∆=--+-=+-=．即4b 2 + a 2 – 16 = 0，所以4(a 2 – c 2) + a 2 – 16 = 0，整理得5a 2 –4c 2 – 16 = 0． ②将①代入②得5×4c – 4c 2 – 16 = 0，即c 2 – 5c + 4 = 0，解得c = 1或4．由于c ＜a ＜24a c =．所以c = 1．所以a 2 = 4，b 2 = 3．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……5分（2）由（1）知，A (–2，0)，F (1，0)，椭圆的右准线方程为x = 4．根据椭圆的对称性，当直线PQ ⊥x 轴时，四边形MNPQ 是等腰梯形，对角线PM 、QN 的交点在x 轴上．此时，直线PQ 的方程为x = 1．由221,431,x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得3,21.y x ⎧=±⎪⎨⎪=⎩ 不妨取P (1，32)，Q (1，–32)，故直线AP 的方程为y =1(2)2x +，将x = 4代入，得N (4，3)，所以直线QN 的方程为33322141y x ++=--．令y = 0，得x = 2，即直线QN 与x 轴的交点为R (2，0)，此点恰为椭圆的右顶点．……8分下面只要证明，在一般情况下Q 、N 、R 三点共线即可．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (4，y 3)，M (4，y 4)，直线PQ 的方程为x = my + 1．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得2213()04324m my y ++-=．所以121222324,114343m y y y y m m +=-=-++．因为A (–2，0)，P (x 1，y 1)，N (4，y 3)三点共线，所以11(2,)AP x y =+与3(42,)AN y =+共线，所以(x 1 + 2)y 3 = 6y 1，即y 3 =11116623y y x my =++．由于23222(4,),(2,)QN x y y QR x y =--=--，所以22322322(4)()()(2)(2)2x y y y x y x y -----=--=322(12)2y my y +-- =112122211646()(1)233y my y y y my y my my -+⋅--=++ =2213142(46)03114343m m my m m -⋅+⋅=+++．所以QN 、QR 共线，即Q 、N 、R 三点共线．、……12分同理可证，P 、M 、R 三点共线．所以，四边形MNPQ 的对角线的交点是定点，此定点恰为椭圆的右顶点．……13分。

2011届长郡中学高三月考试卷5理数(答案)

炎德·英才大联考理科数学参考答案(长郡版)-1炎德·英才大联考长郡中学2011届高三月考试卷(五)数学(理科)参考答案一㊁选择题题号12345678答案D C D A C C B D 二㊁填空题9.102 10.14 11.12 12.45 13.3 14.(2b ,2a ) 14a b s i n α15.S n -S n -1=22n -2(n ≥2) S n =4n 3+23三㊁解答题16.解:(1)由条件,→O P =(12,c o s 2θ),→O Q =(s i n 2θ,-1),∴→O P ㊃→O Q =12s i n 2θ-c o s 2θ=-12,∴12(1-c o s 2θ)-c o s 2θ=-12,∴c o s 2θ=23,∴c o s 2θ=2c o s 2θ-1=13.(6分)…………………………………………………………………………………(2)由(1)知c o s 2θ=23,s i n 2θ=13,∴P (12,23),Q (13,-1).又点P 在角α的终边上,点Q 在角β的终边上,∴由三角函数的定义,s i n α=2314+49=45,c o s α=35,s i n β=-119+1=-31010,c o s β=1010,∴s i n (α+β)=s i n αc o s β+c o s αs i n β=45×1010+35×(-31010)=-1010.(12分)…………………………17.解:(1)由该几何体的三视图知A C ⊥面B C E D ,且E C =B C =A C =4,B D =1,∴S 梯形B C E D =12×(4+1)×4=10,∴V =13㊃S 梯形B C E D ㊃A C =13×10×4=403,即该几何体的体积V 为403.(5分)………………………………………………………………………………(2)解法1:D E 上存在点Q ,使得A Q ⊥B Q ,取B C 中点O ,过点O 作O Q ⊥D E 于点Q ,则点Q 满足题设.连结E O ㊁O D ,在R t △E C O 和R t △O B D 中,∵E C C O =O B B D =2,∴R t △E C O ∽R t △O B D ,∴∠C E O =∠D O B .∵∠E O C +∠C E O =90°,∴∠E O C +∠D O B =90°,∴∠E O D =90°.∵O E =C E 2+C O 2=25,O D =O B 2+B D 2=5,∴O Q =O E ㊃O D E D =25㊃55=2,∴以O 为圆心㊁以B C 为直径的圆与D E 相切,切点为Q ,∴B Q ⊥C Q .∵A C ⊥面B C E D ,B Q ⊂面C E D B ,∴B Q ⊥A C ,∴B Q ⊥面A C Q .又∵A Q ⊂面A C Q ,∴B Q ⊥A Q .(12分)…………………………………………………………………………解法2:以C 为原点,以C A ,C B ,C E 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设满足题设的点Q 存在,其坐标为(0,m ,n ),则→A Q =(-4,m ,n ),→B Q =(0,m -4,n ),→E Q =(0,m ,n -4),→Q D =(0,4-m ,1-n ).∵A Q ⊥B Q ,∴m (m -4)+n 2=0. ①炎德·英才大联考理科数学参考答案(长郡版)-2∵点Q 在E D 上,∴存在λ∈R (λ>0)使得→E Q =λ→Q D ,∴(0,m ,n -4)=λ(0,4-m ,1-n )⇒m =4λ1+λ,n =4+λ1+λ. ②②代入①得(λ+41+λ)2=16λ(1+λ)2⇒λ2-8λ+16=0,解得λ=4.∴满足题设的点Q 存在,其坐标为(0,165,85).(12分)………………………………………………………18.解:记小球落入A 袋中”为事件A , 小球落入B 袋中”为事件B ,则小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故P (A )=(12)3+(12)3=14,P (B )=1-P (A )=34.(3分)……………………(1)获得两次一等奖的概率为P =P (A )㊃P (A )=116.(5分)…………………………………………………(2)X 可以取20,30,40,P (X =20)=(34)2=916;P (X =30)=C 1214㊃34=38;P (X =40)=(14)2=116.(9分)…………………………………………………………………………………分布列为:X203040P 91638116所以E X =20×916+30×38+40×116=25.(11分)……………………………………………………………(3)参加摇奖,可节省25元;打折优惠,可节省24元.故参加摇奖.(13分)…………………………………19.解:(1)P x =1000+5x +110x 2x (3分)……………………………………………………………………………=1000x +x 10+5≥25(当且仅当x =100时,取等号),∴生产100套时,每套成本费用最低.(6分)……………………………………………………………………(2)由题设,利润f (x )=(a x +b )x -(1000+5x +110x 2)=-110x 2+(b -5)x +a -1000,x ∈(0,200].(8分)…………………………………当5(b -5)≤200,即b ≤45时,f m a x (x )=f [5(b -5)]=52(b -5)2+a -1000,∴当产量为5b -25套时,利润最大.(11分)……………………………………………………………………当5(b -5)>200,即b >45时,函数f (x )在(0,200]上是增函数,∴当产量为200套时,f m ax (x )=200b +a -6000.综上所述,当b ≤45时,产量为5b -25套时,最大利润为52(b -5)2+a -1000元;当b >45时,产量为200套时,最大利润为200b +a -6000元.(13分)………………………………………20.解:(1)由2b =2,得b =1.又由点M 在直线x =a 2c 上,得a 2c =2.故1+c 2c =2,∴c =1,从而a =2.所以椭圆方程为x 22+y 2=1.(3分)………………………………………………………………………………(2)以O M 为直径的圆的方程为x (x -2)+y (y -t )=0,即(x -1)2+(y -t 2)2=t 24+1,炎德·英才大联考理科数学参考答案(长郡版)-3 其圆心为(1,t 2),半径r =t 24+1.(5分)……………………………………………………………………因为以O M 为直径的圆被直线3x -4y -5=0截得的弦长为2,所以圆心到直线3x -4y -5=0的距离d =r 2-1=t 2,所以|3-2t -5|5=t 2,解得t =4.所求圆的方程为(x -1)2+(y -2)2=5.(8分)…………………………………………………………………(3)方法一:由平几知:|O N |2=|O K ||O M |,其中K 为F N 与O M 的交点.直线O M :y =t 2x ,直线F N :y =-2t (x -1).由y =t 2x y =-2t(x -1ìîíïïïï)得x K =4t 2+4,∴|O N |2=1+t 24x K ㊃1+t 24x M =(1+t 24)㊃4t 2+4㊃2=2.所以线段O N 的长为定值2.(13分)……………………………………………………………………………方法二:设N (x 0,y 0),则→F N =(x 0-1,y 0),→O M =(2,t ),→MN =(x 0-2,y 0-t ),→O N =(x 0,y 0).∵→F N ⊥→O M ,∴2(x 0-1)+t y 0=0,∴2x 0+t y 0=2. ①又→MN ⊥→O N ,∴x 0(x 0-2)+y 0(y 0-t )=0,∴x 20+y 20=2x 0+t y 0. ②∴由①②可得x 20+y 20=2.所以,|→O N |=x 20+y 20=2为定值.(13分)……………………………………………………………………21.解:(1)∵f '(x )=2x -a x ,∴f '(1)=2-a =0,∴a =2.(2分)………………………………………………………………………………∴g (x )=x -2x .由g '(x )=1-1x >0⇒x >1,g '(x )=1-1x <0⇒0<x <1,∴g (x )的单调减区间是(0,1),单调增区间是[1,+∞).(4分)…………………………………………………………………………………(2)证明:∵1<x <e 2,∴0<l n x <2,∴2-l n x >0.欲证x <2+l n x 2-l n x ,只需证明2x -x l n x <2+l n x ,即只需证l n x >2(x -1)x +1.记h (x )=l n x -2(x -1)x +1,则h '(x )=(x -1)2x (x +1)2.当1<x <e 2时,h '(x )>0,∴h (x )在(1,e 2)上是增函数.又h (x )在[1,e 2)上是连续的,∴h (x )>h (1)=0,∴h (x )>0,即l n x -2(x -1)x +1>0,∴l n x >2(x -1)x +1,故结论成立.(8分)……………………………………………………………………………(3)由题意知C 1:H (x )=x -2x +6.问题转化为G (x )=x 2-2l n x -(x -2x +6)=0在x ∈(0,+∞)上解的个数.(10分)……………………∵G '(x )=2x -21x -1+1x =2x 2-2-x +x x =(x -1)(2x x +2x +x +2)x ,∴G '(x )>0⇒x >1,G '(x )<0⇒0<x <1,∴G (1)是G (x )在x >0上的最小值.又G (1)=-4<0,G (1e 4)>0,G (e 2)>0,且G (x )在x >0上是连续的,所以G (x )=x 2-2l n x -(x -2x +6)=0在x ∈(0,+∞)上有2个解,即C 1与f (x )对应曲线C 2的交点个数是2个.(13分)………………………………………………………。

湖南省长沙一中高三数学上学期第五次月考试卷理(含解析)

2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 253．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 4834．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 35．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 7206．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．3．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 483考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．解答：解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．4．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 3考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积的3倍，故可得结论．解答：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积S=3=3故答案为：3点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性，属于基础题．5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 720考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．解答：解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．6．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．解答：解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B点评：复合命题的真值表：7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析： g（x）=x|a﹣x|+2x=，易分析a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；于是得当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点，故只需考虑a∈（2，3]的情形．当x≥a时，利用二次函数的单调性与最值可求得g（x）的值域为[2a，+∞）；若x＜a，g（x）的值域为（﹣∞，]，依题意ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可．解答：解：∵g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，对称轴x=≤a，即a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；若x＜a，对称轴x=≥a，即a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；∴当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点；因此，只需考虑a∈（2，3]的情形．当a∈（2，3]时，g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，g（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴，则g（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时g（x）的值域为g（x）∈[g（a），+∞）=[2a，+∞）；若x＜a，g（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴x=＜a，则g（x）在x∈（﹣∞，]为增函数，此时g（x）的值域为（﹣∞，]；g（x）在[，a]为减函数，此时g（x）的值域为（2a，]；由存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可，令h（a）=≥=2，只要使t＜[h（a）]max即可，而h（a）在a∈[﹣2，3]上是增函数，∴[h（a）]max=h（3）=，故实数t的取值范围是（2，）；故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，突出函数单调性与值域的探索与分析，考查创新思维、逻辑思维、抽象思维及综合运算、分析的能力，属于难题．一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：圆ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径r等于2的圆．直线ρ（sinθ+cosθ）=4，即 x+y﹣4=0，由于弦心距d==，故弦长为2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是[﹣2，4]．．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．解答：解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[﹣2，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△A BC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为35°．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质即可得出．解答：解：∵AC=CD，∠D=35°，∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．∴∠CBE=35°．∵AB=AC，∴∠ABC=70°，∴∠ABE=35°．故答案为：35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为（0，1]∪（3，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或，运用指数函数的单调性和二次不等式的解法，分别解出它们，再求并集即可．解答：解：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或即或，解得，0＜x≤1或3＜x＜4．则解集为（0，1]∪（3，4）．故答案为：（0，1]∪（3，4）．点评：本题考查分段函数的运用：解不等式，考查指数函数的单调性，及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有216 ．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，由组合数公式可得其分组方法；2、甲所在小组先开出，乙所在小组随后开出，由排列的性质可得列车开出的不同顺序；由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，则有C42=6种分组方法，2、甲所在小组先开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，同理乙所在小组随后开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，则共有6×6×6=216种不同的顺序，故答案为216．点评：本题考查分步计数原理的运用，涉及排列、组合的运用，解题时注意首先要满足“两列列车不在同一小组”的分组要求．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性．用cosθ，sinθ表示λ和μ是解题的难点，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠AC D即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．考点：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．解答：解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵车与否相互独立，∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，∴选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上变化，y在（0，）上变化，∴选择走甲线路的概率为=点评：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程；（2）直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，y M=，求出k3，即可得出结论．解答：解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1=，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M=，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出数列{a n}是公比为2的等比数列．由此能求出，n∈N*．（2）=，若b1，b m，b n成等比数列，则．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）=[]，由此利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：∵a n+12=2a n2+a n a n+1，∴（a n+1+a n）（2a n﹣a n+1）=0，又a n＞0，∴2a n﹣a n+1=0，即2a n=a n+1，∴数列{a n}是公比为2的等比数列．由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*．（2）解：=，若b1，b m，b n成等比数列，则（）2=，即．由，得，∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．故当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）证明：==[]=[]，∴[]==，∵（）n+1•递减，∴0＜（）n+1•≤∴，∴．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的成立的条件的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。

湖南省长沙市高三数学第5次月考理(含解析)

高三年级月考数学试题（5）理科一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 指数函数,0()(>=a a x f x 且)1≠a 在R 上是减函数，则函数3)2()(x a x g -=在R 上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.在),0(+∞上递增，在)0,(-∞上递减 D .在),0(+∞上递减，在)0,(-∞上递增【答案】B【解析】由已知有10<<a ，显然函数3)2()(x a x g -=在R 上单调递减.2. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21,31A ，{}01=+=ax x B ，且A B ⊆，则a 的可取值组成的集合为（）A.{}2,3-B.{}2,0,3-C.{}2,3-D.{}2,0,3-【答案】D【解析】Φ=⇒=B a 0，满足条件0≠a 时，由311-=-a 或211=-a 得2,3-=a ，故a 的可取值组成的集合为{}2,0,3-3. 向量b a,均为单位向量，其夹角为θ，则命题“1:>-b a p ”是命题“)65,2[:ππθ∈q ”的（）条件.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件【答案】B【解析】21cos 21121)(1:222<⇒<⋅⇒>+-⇒>-⇒>-θb a b b a a b a b a p],3(ππθ∈⇒ 从而⇒∈)65,2[:ππθq 1:>-b a p，反之不成立。

4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的母线与底面所成的角为（） A.30 B.45 C.60 D.75 【答案】C【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由已知有：22212=⇒=⋅l l ππ，1242=⇒=⋅r r ππ 则所成的角为605. 一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且b a ,分别是数列{}22-n 的第2和第4项，则这个样本的方差是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由已知4,1==b a ，则5])47()45()43()41[(4122222=-+-+-+-=s 6. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为（）A. 22B. 2C.22D.42 【答案】D【解析】AA A A AB A A B A A B A B tan 2tan 1tan 21tan tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan 2+=+=++-+=-+=，又0tan >A ，则22tan 2tan ≥+AA 则42221tan =≤B . 【注】直接按和角公式展开也可.7. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A. 12822=+y xB.161222=+y xC.141622=+y xD.152022=+y x 【答案】D【解析】双曲线12222=-y x 的渐近线方程为x y ±=，由23=e 可得b a 2=，椭圆方程为142222=+by b x ，而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，设在一象限的小正方形边长为m ，则242=⇒=m m ，从而点（2,2）在椭圆上，即：5124222222=⇒=+b bb于是20,522==a b 。

高三数学上册第五次月考检测试题1.doc

长沙市一中高三月考试卷(五)数学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人：蒋楚辉审题人：胡雪文时量：1 满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量1。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是( )A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为( ) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为( )A.15B.C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为( )A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.2 5 B.4 5 C.3 5 D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 . 10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 .12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ .13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 .14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为；若a ＝3，则△ABC 的面积为 . 15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1， a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使得b k－a k∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，f(12a n＋1－12a n)＋f(12a n＋1＋12a n)＝0.设S n＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2n a2n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：b2n＝g(12n)，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小.21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).数学(理科) 答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是(A)A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为(C) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为(D)A.15B.C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是(C)A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为(B)A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)，A.2 5B.4 5C.3 5D. 5解：∵1<log 45<2，∴f (log 45)＝f (log 45＋2)＝f (log 480)＝2log 480＝4 5.x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是(C) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1) 解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于点A (1,3)，此时取最大值，故a >1.8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)A.16B.320C.11120D.215解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为A 22A 33＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P ＝12＋2＋2A 55＝215.选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 f(x)＝x 12 .10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是 1 个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 (28,57] .解：当输出k ＝2时，应满足 2x+1≤115，解得28<x ≤57.2(2x+1)+1>11512.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝－1 .解：由已知a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，可知{a n }是周期为3的周期数列，则a 12＝a 3×4＝a 3＝－1.13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 [0,4] .解：|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )及a ≠0得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则f (x )≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为 π6 ；若a ＝3，则△ABC 的面积为 934 . 解：由a MA ＋b MB ＋33c MC ＝a MA ＋b MB ＋33c (－MA －MB )＝(a －33c )MA ＋(b －33c )MB ＝0. 又MA 与MB 不共线，则a ＝33c ＝b ，由余弦定理可求得cos A ＝32，故A ＝π6. 又S △＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ 5 ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 2m －3 .解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5. ②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1<a 2<a 3<…<a m ，则a 1＋a 2<a 1＋a 3<…<a 1＋a m <a 2＋a m <…<a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i <j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1；当i ＋j >m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i <j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个，或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.解：(1)每次取到一只次品的概率P 1＝C 13C 112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P ＝C 23(14)2·(1－14)＝964.(5分) (2)依题知X 的可能取值为0、1、2、3.(6分) 且P(X ＝0)＝912＝34，P(X ＝1)＝312×911＝944，P(X ＝2)＝312×211×910＝9220，P(X ＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X 的分布列如下表：(10分)EX ＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.解：(1)∵f(x)＝2sin ωx(cos ωx·cos π6－sin ωx·sin π6)＋12(2分)＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋12＝32sin 2ωx －12(1－cos 2ωx)＋12＝sin (2ωx ＋π6).(5分) 又f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2b cos A ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理可得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A＋C).又A ＋B ＋C ＝π，则2sin B cos A ＝sin B.(8分)而sin B≠0，则cos A ＝12.又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin (x 2＋π6)，从而f(A)＝sin (π3×12＋π6)＝sin π3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *).①n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *).②①－②得2n －1a n ＝8，解得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，所以a n ＝24－n (n ∈N *).(4分)由题意b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，所以b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *).(8分)(2)b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以，不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).(12分)19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.解：(1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10].(4分) (2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a ) ＝(11－x )(17＋2a －3x ).由L ′(x )＝0，得x ＝或x ＝17＋2a 3.(6分)因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以[L (x )]max ＝L (7)＝16(4－a ).(9分)②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，[L (x )]max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.(12分)即当1≤a ≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元.当2<a ≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元.(13分)本小题满分13分)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x ，y ∈(0，＋∞)都有：f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，数列{a n }满足：a 1＝f (1)＋1，f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n)＝0.设S n ＝a 21a 22＋a 22a 23＋a 23a 24＋…＋a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式，并求S n 关于n 的表达式；(2)设函数g (x )对任意x 、y 都有：g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，若g (1)＝1，正项数列{b n }满足：b 2n ＝g (12n )，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较4S n 与T n 的大小. 解：(1)当x ，y ∈(0，＋∞)时，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1得f (1)＝2f (1)，得f (1)＝0，所以a 1＝f (1)＋1＝1.(1分) 因为f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n )＝0，所以f (14a 2n ＋1－14a 2n)＝0＝f (1).又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a 2n ＋1－14a 2n ＝1，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，(3分)所以数列{1a 2n }是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n ＝4n －3，所以a n ＝14n －3 .∵a 2n a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14[14n －3－14n ＋1]， ∴S n ＝14[11－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1]＝14[1－14n ＋1].(5分)(2)由于任意x ，y ∈R 都有g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，则g (2x )＝2g (x )＋2x 2， ∴g (1)＝2g (12)＋2·(12)2＝2[2g (14)＋2·(14)2]＋12＝22g (14)＋122＋12＝22[2g (123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g (123)＋123＋122＋12＝…＝2n g (12n )＋12n ＋12n －1＋12n －2＋…＋122＋12＝1，∴g (12n )＝122n ，即b 2n＝122n . 又b n >0，∴b n ＝12n ，(9分)∴T n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n ，又4S n ＝1－14n ＋1.当n ＝1,2,3,4时，4n ＋1>2n ，∴4S n >T n ；(10分)当n ≥5时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C nn>1＋2n ＋2n (n －1)2＝1＋n 2＋n . 而n 2＋n ＋1－(4n ＋1)＝n 2－3n ＝n (n －3)>0，故4S n <T n .(13分) (用数学归纳法证明参照计分)21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).解：(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3xax 0+b=-8 ①∴存在实数b 使得 -4<x ② 有解，(3分)x 30+axx 0>0 ③由①得b ＝－8－3x 20－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0， ∴由 2xx 0+8>0 有解，-4< x得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10.(5分) (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x＋(ln x －1)(e x)′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x＋ln x －1)e x ＋1.(6分)设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即1x ＋ln x －1≥0.当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0，∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.(8分)曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解. 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解.故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直.(9分) (3)证明：令h (x )＝ln(1＋x )x ，x ≥1，由h ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2，又令p (x )＝x1＋x －ln(1＋x )，x ≥0，∴p ′(x )＝1(1＋x )2－11＋x ＝－x (1＋x )2≤0， ∴p (x )在[0，＋∞)上单调递减， ∴当x >0时，有p (x )<p (0)＝0， ∴当x ≥1时，有h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减，(11分) ∴当1≤x <y 时，有ln(1＋x )x >ln(1＋y )y，∴y ln(1＋x )>x ln(1＋y )，∴(1＋x )y >(1＋y )x ，∴当x ，y ∈N ，且x <y 时，F (x ，y )>F (y ，x ).(13分)。

湖南高三高中数学月考试卷带答案解析

湖南高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知复数z满足z（1+i）=i，则复数z为（）A．B．C．1+I D．1-i2.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．43.已知随机变量服从正态分布，若，则( )A．0.3B．0.4C．0.6D．0.74.下列有关命题的说法正确的是 ( )A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“使得”的否定是：“对均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．5.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（）A．B．C．D．6.如右图所示，是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则( )A．B．C．D．7.已知函数，若,且，则的最小值是（）A．-16B．-12C．-10D．-88.设函数y=f(x)在(－,)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：(x)＝f(x)，则( ),取函数，若对任意的x∈(－,)，恒有fkA．k的最大值为2B．k的最小值为2C．k的最大值为1D．k的最小值为1二、填空题1.如图,是⊙O上的四个点,过点B的切线与的延长线交于点E.若,则 .2.在极坐标系中,直线与曲线相交于两点,为极点,则的大小为 .3.已知x、y、z∈R,且，则的最小值为 .4.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时二面角大小为 .5.高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为 .6.已知函数，，（1）与的图象关于直线对称；（2）有下列4个命题：①若，则的图象关于直线对称；②则5是的周期；③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.其中正确的命题为 .7.如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数.记为an（1）；（2） .三、解答题1.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率；(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望.2.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C垂合.（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M—BDE的体积.3.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①对任意，恒成立；②对任意，存在与n无关的常数M，使恒成立．（1）若是等差数列，是其前n项和，且试探究数列与集合W之间的关系；（2）设数列的通项公式为，且，求M的取值范围．4.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排水管，在路南侧沿直线排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为．矩形区域内的排管费用为W．（1）求W关于的函数关系式；（2）求W的最小值及相应的角．5.（1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，（ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．6.已知，，且直线与曲线相切．（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；（ⅱ）求证：．湖南高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知复数z满足z（1+i）=i，则复数z为（）A．B．C．1+I D．1-i【答案】A【解析】依题意，由.【考点】复数的概念与运算2.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数3.已知随机变量服从正态分布，若，则( )A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【答案】B【解析】随机变量服从正态分布,所以，.【考点】正态分布4.下列有关命题的说法正确的是 ( )A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“使得”的否定是：“对均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．【答案】D【解析】依题意，命题“若，则”的否命题为：“若，则”，故A错；“”能推出“”，但“”时，不一定能得到“”，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错；命题“使得”的否定是：“对均有”,故C错；易知命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题为真命题，故D正确.【考点】命题、充分必要条件5.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图像，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象.则，故选C.【考点】三角函数的图像6.如右图所示，是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由图易知，.,依题意易知.所以，所以，又，所以.【考点】平面向量的数量积、放缩法7.已知函数，若,且，则的最小值是（）A．-16B．-12C．-10D．-8【答案】A【解析】作出函数，可知图中点坐标为,图中点坐标为.令或.即图中点坐标为.由,且可知，.由得，即.所以.令，则.所以当时，；当时，.即在上单调递减，在上单调递增.所以，即当，时，有最小值-16.【考点】函数的图像、利用导数求函数单调性、利用单调性求最值8.设函数y=f(x)在(－,)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：(x)＝f(x)，则( ),取函数，若对任意的x∈(－,)，恒有fkA．k的最大值为2B．k的最小值为2C．k的最大值为1D．k的最小值为1【答案】D【解析】依题意，对任意的x∈(－,)，恒成立.又，所以.令.当时，；当时，.即函数在上单调递增，在上单调递减. .因为恒成立，所以，即k的最小值为1.【考点】新概念的理解、导数、函数单调性与最值、不等式恒成立问题二、填空题1.如图,是⊙O上的四个点,过点B的切线与的延长线交于点E.若,则 .【答案】【解析】依题意知，，又可知与互补，因为，所以.【考点】几何证明2.在极坐标系中,直线与曲线相交于两点,为极点,则的大小为 .【答案】【解析】直线转化为直角坐标系中的直线方程为，曲线转化为直角坐标系的方程为.由得、，则，易知的大小为.【考点】极坐标方程与直角坐标方程的转化3.已知x、y、z∈R,且，则的最小值为 .【答案】【解析】由柯西不等式，，因为.所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.【考点】柯西不等式4.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时二面角大小为 .【答案】600【解析】如下图所示，依题意知，是正三角形的高，所以、，故为二面角的平面角.又，正三角形的边长为2，则易知.即为正三角形，所以.即二面角大小为.【考点】二面角5.高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为 .【答案】【解析】依题意，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念满足甲，乙相邻的排列种数为（种），其中若甲丙相邻，则甲、乙、丙三人的排列只有丙甲乙或者乙甲丙两种模式，因此上述排列中满足甲丙相邻的种数有（种）.故所求概率为.【考点】排列组合、古典概率6.已知函数，，（1）与的图象关于直线对称；（2）有下列4个命题：①若，则的图象关于直线对称；②则5是的周期；③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.其中正确的命题为 .【答案】（1）2；（2）①②③④.【解析】（1）设点为函数的图像上任一点，即，而，所以，即点在函数的图像上，因为，所以点与点关于直线对称，由点的任意性，知与的图象关于直线对称；（2）由上问易知，①正确；②中，，所以其最小正周期为，故5是的周期正确；③中，由为偶函数且得，，所以，即，从而由上问可知的图象关于直线对称；④中，为奇函数，且，设函数的图像上任一点，则，即点也在函数的图像上，易知点与点关于直线对称，由点的任意性知，的图象关于直线对称.综上所述，正确的命题为①②③④.【考点】函数的图像关于直线对称问题7.如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a.n（1）；（2） .【答案】（1）18；（2）.【解析】（1）设三种不同颜色分别为甲、乙、丙三种.时，第1区域有3种选择，第2区域有2种选择，第3区域有2种选择，因为第4区域要与第1区域颜色不同，故对第3区域的选择分类讨论：当第3区域与第1区域颜色相同时，第4区域有2种选择；当第3区域与第1区域颜色不同时，第4区域仅有1种选择.所以；（2）当将圆分成n 个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色时，第1区域有3种染色方案，第2区域至第区域有2种染色方案.此时考虑第区域也有2种涂色方案，在此情况下有两种情况：情况一：第区域与第1区域同色,此时相当将这两区域重合，这时问题转化为3种不同颜色给圆上个区域涂色,即为种染色方案；情况二：第区域与第1区域不同色,此时问题就转化为用3种不同颜色给圆上个区域染色,且相邻区域颜色互异，即此时的情况就是.根据分类原理可知，且满足初始条件：. 即递推公式为，由变形得，所以数列是以-1为公比的等比数列.所以，即.当时，易知有3种染色方法，即，不满足上述通项公式；当时，易知有种染色方法，即，满足上述通项公式；当时，易知有种染色方法，即，满足上述通项公式. 综上所述，.【考点】数列的递推公式与通项公式、排列组合三、解答题1.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率；(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望. 【答案】(I)；(II)分布列详见解析，期望为.【解析】(I) 3月1日至3月13日中,只有5日与8日为重度污染，再根据古典概率的求法即可得到所求概率；(Ⅱ)先确定X 可能的取值0、1、2共三种,然后根据图像分别计算X 为0、1及2时的概率.即可得到分布列，从而求出期望.试题解析：设表示事件“此人于3月i 日到达该市”(="1,2,,13)." 根据题意,,且. 4分(I)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则,所以.(II)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)= , P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= ,P(X="0)=1-P(X=1)-P(X=2)=", 10分所以X 的分布列为:11分故X 的期望. 12分【考点】1.古典概率；2.分布列与期望.2.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C垂合.（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M—BDE的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，由题意计算平面的法向量，由法向量与向量垂直，从而证明了BM//平面ADEF；（2）设出点的坐标，由平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为，分别计算两个半平面的法向量，代入夹角公式，从而得到点.三棱锥M—BDE中由于到面的距离容易得知，故以为顶点，再计算出底面三角形，利用棱锥的体积公式即可得到所求.试题解析：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系则的一个法向量，.即 4分（2）依题意设，设面的法向量则，令，则，面的法向量，解得为EC的中点，，到面的距离12分【考点】1.线面平行的判定；2.二面角；3.三棱锥的体积.3.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①对任意，恒成立；②对任意，存在与n无关的常数M，使恒成立．（1）若是等差数列，是其前n项和，且试探究数列与集合W之间的关系；（2）设数列的通项公式为，且，求M的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据条件，利用等差数列的性质得到的前n项和，然后检验其是否满足①②条件即可；（2）由数列的通项公式经作差可知，当时，，此时，数列单调递减，当时，，即，从而得到数列中的最大项为，由恒成立，从而知的取值范围是.试题解析：(1)设等差数列的公差是，则解得 1分∴ (3分)∴∴，适合条件①又，∴当或时，取得最大值20，即，适合条件②．综上，（6分）（2）∵，∴当时，，此时，数列单调递减； 9分当时，，即， 10分因此，数列中的最大项是， 11分∴，即M的取值范围是． 12分【考点】1.新概念的理解；2.等差数列的性质；3.数列的单调性.4.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排水管，在路南侧沿直线排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为．矩形区域内的排管费用为W．（1）求W关于的函数关系式；（2）求W的最小值及相应的角．【答案】（1）；（2），.【解析】（1）过E作，垂足为，然后将用，再根据题意列出W关于的函数关系式，化简即得；（2）设，，再对其求导，通过导函数确定在的单调性，从而得到该函数的最大值以及取得最大值时相应的角，代入中，即得到W的最小值.试题解析：（1）如图，过E作，垂足为，由题意得，故有，，，所以W=.即. 6分（2）设，则．令得，即，得．列表+ 0 -所以当时有，此时有．答：排管的最小费用为万元，相应的角． 13分【考点】1.三角函数；2.用导数研究函数的单调性；3.利用单调性求最值.5.（1）已知定点、，动点N 满足（O 为坐标原点），，，，求点P 的轨迹方程.（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，（ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）定点或.【解析】（Ⅰ）由题意，先确定点N 是MF 1中点，然后由确定|PM|=|PF 1|，从而得到|∣PF 1|-|PF 2∣|=||PM|-|PF 2||=|MF 2|=2＜|F 1F 2|，再根据双曲线的几何性质，即可得到点P 的轨迹方程；（2）（ⅰ）设出点，由斜率公式得到的表达式，再根据点在椭圆上，得到其为定值；（ⅱ）将以为直径的圆上任一点坐标设出，即设点，再根据过直径的弦所对的圆周角为直角这一几何性质得到，从而得到点的轨迹方程也即以为直径的圆的方程为.因为的系数有参数，故，从而得到圆上定点或.即得到所求.试题解析：（Ⅰ）连接ON ∵∴点N 是MF 1中点 ∴|MF 2|=2|NO|=2∵∴F 1M ⊥PN ∴|PM|=|PF 1|∴|∣PF 1|-|PF 2∣|=||PM|-|PF 2||=|MF 2|=2＜|F 1F 2|由双曲线的定义可知：点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线. 点P 的轨迹方程是 4分（ⅰ），，令，则由题设可知，直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以，（），从而有.8分（ⅱ）设点是以为直径的圆上任意一点，则，又易求得、.所以、.故有.又，化简后得到以为直径的圆的方程为.令，解得或.所以以为直径的圆恒过定点或.【考点】1.点的轨迹方程；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.向量数量积的坐标表示.6.已知，，且直线与曲线相切．（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；（ⅱ）求证：．【答案】（1）；（2）（ⅰ）13；（ⅱ）详见解析.【解析】（1）由直线与曲线相切可以求出中的参数.再由对内的一切实数，不等式恒成立，即在上恒成立，然后构造函数，研究其导函数以确定其单调性，从而得到其最小值1.又，所以实数的取值范围是；（2）（ⅰ）先通过导函数确定在上是增函数，从而得到在上的最大值.由题意，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值.经计算知时不等式右边取得最小值，然后代入不等式，解得．因此，的最大值为；（ⅱ）根据（1）的推导时，，从而，再通过令代入化简即可得证.试题解析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有．（*），．（**）由（*）、（**）两式，解得，． 1分由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立． 2分设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，．因此，实数的取值范围是． 4分（2）（ⅰ）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为． 8分（ⅱ）证明：当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，化简得，． 13分【考点】1.用导数研究函数的单调性；2.函数的单调性与最值；3.不等式.。

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长沙县一中2011届高三月考试卷（二）理科数学2010-10-06（本卷不收）命题人：陈海林审题人：陈孟旭（考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数及其应用、积分、三角函数）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）2. sin585°的值为（）A.B.C. D.3．下列函数中，在区间(0，2π)上为增函数且以π为周期的函数是（） A. y =sin2xB. y = sinxC. y = － tanxD. y = － cos2x4、5、命题甲： 012,2≤++∈∃ax ax R x 的否定为真；；命题乙：0<a<1,则命题甲是命题乙成立的（）A ．充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件6、设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,42二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分。

把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

）9、10、11、12、幂函数)()13((232Z m x m m x ）f m ∈+-=-，当 x>0时是减函数，则f(x)=______________13、如右图为y=Asin(ωx+φ)(A<0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段，其解析式为 .14．已知函数y=f (x ),x ∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）, 则不等式的()()->+f x f x 的解集为15、长沙县一中2011届高三月考试卷（二）理科数学答卷2010-10-06一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，步骤。

）17．（本小题满分12分）设p ：函数||()2x a f x -=在区间（4，+∞）上单调递增；:log 21a q <，如果“p ⌝”是真命题，“p 或q ”也是真命题，求实数a 的取值范围。

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