2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.2直观图学案北师大版必修2

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2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.3三视图学案北师大版必修2

1.3 三视图[核心必知]1．三视图中的实虚线在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出．不可见边界轮廓线，用虚线画出．2．绘制三视图时的注意事项(1)绘制三视图时，要注意：①主、俯视图长对正；②主、左视图高平齐；③俯、左视图宽相等，前后对应．(2)画简单组合体的三视图的注意事项：①首先，确定主视、俯视、左视的方向．同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．②其次，注意简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．3．简单几何体的两种基本组成形式(1)将基本几何体拼接成组合体．(2)从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．[问题思考]一个简单几何体的三视图：主视图、左视图和俯视图完全一样，这个几何体是正方体或球，对吗？提示：不一定是正方体．球的主视图、左视图和俯视图是完全一样的圆，而正方体的三视图与观察角度有关，有时三种视图的形状不完全相同．讲一讲1．画出如下图所示的空间几何体的三视图(阴影面为主视面)(尺寸不作严格要求)．[尝试解答] 三视图如图所示：1．在画三视图时，要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，看到的画实线，不能看到的画虚线．2．作三视图时，一般俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图一样．练一练1．画出如图所示的空间几何体的三视图(阴影面为主视面)(尺寸不作严格要求)．解：三视图如图．讲一讲2．画出下列几何体的三视图(阴影面为主视面)．[尝试解答] 三视图如图所示．对既有拼接，又有切、挖较复杂的组合体，关键是观察清楚轮廓线和分界线，并注意被遮挡部分的轮廓线用虚线表示，在画三视图时，很容易漏画轮廓线，或把虚线画成了实线，要注意检查．练一练2．画出如图所示的组合体的三视图．(阴影部分为主视面，尺寸不作严格要求)解：这个组合体的三视图如图：讲一讲3．如图所示的是一些立体图形的三视图，画出它的实物图．[尝试解答]根据三视图还原几何体实物，要仔细分析和认真观察三视图，进行充分的空间想象，综合三视图的形状，从不同的角度去还原．看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法．练一练3．根据以下三视图想象物体原形，并画出物体实物草图．解：实物草图如图：画出右图的物体的三视图．[错解][错因] 三视图出现多处错误．首先，主视图和左视图的高应该是相同的，而所画的视图没有做到这一点；其次，左视图的宽应该和俯视图的高一致，这一点也没有做到；再次，主视图的长与俯视图的长应对齐，这点还是没有做到；最后，图中有一条看不到的棱应该用虚线表示出来，所以答案存在多处错误．[正解] 如图所示．1．如图所示的一个几何体，它的俯视图是( )解析：选C 根据三视图的画法及特点可知C正确．2．(湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解析：选C A是两个圆柱的组合体，B是一个圆柱和一个四棱柱的组合体，C选项的正视图与侧视图不相同，D可以是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱与一个四棱柱的组合体．3．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )解析：选B 依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右下角，故选B.4．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱解析：只要判断正视图是不是三角形就行了，画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只需要倒着放就可以了，所以①②③⑤均符合题目要求．答案：①②③⑤5．如图是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小正方体的个数是________．解析：由三视图我们可以得出该几何体的直观图，如图所示．答案：56．画出该组合体的三视图．解：组合体由正六棱柱和圆柱组合而成，其三视图如图所示．一、选择题1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为( )A．圆台B．四棱锥C．四棱柱 D．四棱台解析：选D 由主视图和左视图可以判断一定为棱台或圆台，又由俯视图可知其一定为棱台且为四棱台．2．(湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32B．1C.2＋12D. 2解析：选D 由已知，正方体的正视图与侧视图都是长为2，宽为1的矩形，所以正视图的面积等于侧视图的面积，为 2.3．三棱柱ABCA1B1C1，如下图所示，以BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是( )解析：选A 正面是BCC1B1的矩形，故主视图为矩形，左侧为△ABC，所以左视图为三角形，俯视图为两个有一条公共边的矩形，公共边为CC 1在面ABB 1A 1内的投影．4．(福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱解析：选D 球的三视图是三个相同的圆；当三棱锥为正三棱锥时其三视图可能是三个全等的三角形；正方体的三视图可能是三个相同的正方形；不论圆柱如何放置，其三视图形状都不会完全相同．5．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为( )A.32B.23C ．12D ．6 解析：选A 由主视图、左视图、俯视图之间的关系可以判断该几何体是一个底面为正六边形的正六棱锥．∵主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，此三角形的高为3，∴左视图的高为 3.俯视图中正六边形的边长为1，其小正三角形的高为32，∴左视图的底为32×2＝3， ∴左视图的面积为12×3×3＝32.二、填空题6．如图所示，为一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．解析：由三视图可知该几何体图示为所以，其上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．答案：圆锥圆柱7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．解析：其俯视图如图所示时为小正方体个数最多情况(其中小正方形内的数字表示小正方体的个数)共需7个小正方体.答案：78．如图(1)，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BED1F在该正方体的面上的射影可能是图(2)中的________(要求：把可能的图的序号都填上)．解析：根据平行投影的理论，从正方体的上下、前后、左右三个角度分别投影，从上往下投影，选择②，从前往后投影，选择②，从左往右投影，选择③.答案：②③三、解答题9．如图所示，图②是图①中实物的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的左视图．解：图①是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．10．某建筑由若干个面积相同的房间组成，其三视图如下，其中每一个小矩形表示一个房间．(1)该楼有几层？共有多少个房间？(2)画出此楼的大致形状．解：(1)由主视图和左视图可知，该楼共3层，由俯视图可知，该楼一楼有5个房间，结合主视图与左视图，易知二楼和三楼分别有4个，1个房间，故共10个房间．(2)此楼的大致形状如图：11。

2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.1简单几何学案北师大版必修2

第1课时简单旋转体[核心必知]几种简单旋转体[问题思考]1．铅球和乒乓球都是球吗？提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．2．圆台的母线一定交于一点吗？提示：圆台可以看作用平行于底面的平面去截圆锥得到的．因此圆台的母线一定交于一点．3．你能说出圆柱、圆锥、圆台之间的关系吗？提示：圆柱、圆锥、圆台的形状不同，它们之间既有区别又有联系，并且在一定条件下可以相互转化．当圆台的下底面保持不变，而上底面越来越大时，圆台就越来越接近于圆柱，当上底面增大到与下底面相同时，圆台转化为圆柱，当圆台的上底面越来越小时，圆台就越来越接近于圆锥，当上底面收缩为一个点时，圆台就转化为圆锥了．讲一讲1．下列叙述正确的个数是( )①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．A．0 B．1 C．2 D．3[尝试解答] 解析：选A ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2，故②错；③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球，故③错．对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．练一练1．下列命题正确的是( )A．过圆锥侧面上一点有无数条母线B．在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段C．圆台的母线有无数条，它们都互相平行D．以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台解析：选D A不正确，当该点不在顶点处时，只有一条母线；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征.讲一讲2．如图，请描述(1)，(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体及曲面．[尝试解答] 解：(1)旋转形成的几何体是一个圆环，形成的曲面是一个封闭的圆环曲面，形如自行车的轮胎．(2)旋转形成的几何体是一个球，形成的曲面是一个球面．(1)判断平面图形旋转后立体图形的形状，应根据平面图形的特点判断．(2)由立体图形判断几何体是由什么样的平面图形旋转而成的，关键是看该立体图形是由哪些简单几何体构成的，然后通过轴截面的形状作出判断．练一练2．若将例题中图形改为如图所示，形成的几何体又是怎样的呢？解：旋转而成的几何体如图所示．用一个平面去截圆柱，截面是什么图形？[错解] 截面是圆．[错因] 本题错解原因有两个：一是截面与底面的位置关系考虑不全面；二是没有真正把握圆柱是一种几何体，而几何体是封闭的实体．[正解] 如图所示，截面是圆面或者是椭圆面(或椭圆面的一部分)或者是矩形面．1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．②④解析：选D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．2．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱 B．圆锥C．球 D．圆台解析：选C 由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面．3．有下列三个命题：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；③圆锥的轴截面是等腰三角形．其中错误命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C ①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．4．过球面上两点可能作出的球的大圆有____________．解析：若两个点与圆心不共线，则有且只有1个，若两个点与圆心共线，则有无数个．答案：一个或无数个5．平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥所得的截面是________．答案：圆面6．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：一、选择题1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥解析：选D 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．3．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选A 图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．4．以下几何体中符合球的结构特征的是( )A．足球 B．篮球C．乒乓球 D．铅球解析：选D 因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5)解析：选D 轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．二、填空题6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．答案：两个圆锥 7．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体； ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．其中正确命题的序号是________．解析：①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)．②正确，如图(2)．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．答案：②8．圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是______．解析：画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)，∴S 四边形ABCD ＝＋×92＝63(cm 2)．答案：63 cm2三、解答题9．如图，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．解：将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．解：②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高．SA，SB是圆锥的母线．③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面．O′O为圆柱的高，A′A与B′B 为圆柱的母线．①不是圆柱，④不是圆锥．第2课时简单多面体[核心必知]1．简单多面体的定义把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．2．几种常见的简单多面体续表[问题思考]1．如图所示的几何体是不是锥体，为什么？提示：不是锥体．因为锥体的各侧棱必交于一点，而此物体不具备这一特征，所以不是锥体．2．“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体一定是棱锥吗？提示：棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形．但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥，如图所示的几何体满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥．讲一讲1．给出下列几个结论：①长方体一定是正四棱柱；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[尝试解答] 选B 对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错，②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点．当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故④是正确的．认识、判断一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性．练一练1．下列命题中正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D．棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等解析：选C A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱．讲一讲2.如图几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．[尝试解答] ∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱．在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABCEFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1EA1B1F，如图．认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它的面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它符合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而成的几何体，并能用适当的平面将其分割开．练一练2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定解析：选A 将过固定的一边的两端点的互相平行的两个侧面作为棱柱的底面，其他面作为棱柱的侧面来看待，正好符合棱柱的结构特征．3.如图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体可由哪些简单几何体组成？解：该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到(如图①)；也可以由长方体切割去一个三棱柱得到(如图②)．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．[错因] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．[正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．1．下列说法正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A ①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例(如下图所示)加以检验，故②③均不对．2．棱台不一定具有的性质是( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点解析：选C 只有正棱台的侧棱都相等．3．下列几何体中棱柱的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2解析：选D 由棱柱的定义及特征知①③为棱柱．4．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成____________个三角形．解析：用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共有4个三角形．答案：45．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是________．①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．解析：用平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故填④.答案：④6．如图所示为长方体ABCDA′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′、C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．解：截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′－DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．一、选择题1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形解析：选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥解析：选D 解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：选D 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，取四棱锥A1ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．4．观察图中四个几何体，其中判断正确的是( )A．(1)是棱台 B．(2)是圆台C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱解析：选C 图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( )A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱解析：选D 如图，正三棱锥ABEF和正四棱锥BCDEF的一个侧面重合后，面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．二、填空题6．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图所示，①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．答案：①③④⑤7．下列四个命题：(1)棱柱的两底面是全等的正多边形；(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(4)四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确的序号是________．解析：(1)棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；(2)，(3)都不能保证侧棱与底面垂直；(4)易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确．答案：(4)8．用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是____________．解析：在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可．答案：三棱柱或三棱台三、解答题9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．解：分割原图，使它们每一部分都是简单几何体．(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．10．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.。

高中数学第一章立体几何初步2直观图学案北师大版必修2201

§2 直观图学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点斜二测画法思考1 边长2 cm 的正方形ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中，A ′B ′与C ′D ′有何关系？A ′D ′与B ′C ′呢？在原图与直观图中，AB 与A ′B ′相等吗？AD 与A ′D ′呢？答案 A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′＝AB ，A ′D ′＝12AD .思考2 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案没有都画成正方形．梳理 (1)水平放置的平面图形直观图的画法斜二测画法规则：①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段． ③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.(2)立体图形直观图的画法1．用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°.( × )2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( × )3．在斜二测画法中平行于y 轴的线段在直观图中长度保持不变．( × )类型一水平放置的平面图形的直观图例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解画法：(1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(1)(2)所示；(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连接B ′C ′，如图(2)；(3)去掉辅助线，所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图(3)．引申探究若得本例中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图．解画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°；(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD ；(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练1 已知正五边形ABCDE ，如图，试画出其直观图．考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解画法：(1)在图(1)中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H .(2)在图(2)中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°. (3)在图(2)中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD .(4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图(3))．类型二直观图的还原与计算例2 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形解如图，建立平面直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2. 在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连接BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝24S 或S ＝22S ′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．跟踪训练 2 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是( )A.12B.22 C. 2 D ．2 2 考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案 C解析直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为2，故选C.(2)如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________．(填四边形的形状)考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案菱形解析如图所示，在原图形OABC 中，应有OA ＝O ′A ′＝6(cm)，OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，又OA ∥BC ，OA ＝BC ，故四边形OABC 是菱形．类型三简单几何体的直观图例3 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．考点简单几何体的直观图题点简单几何体的直观图解画法：(1)画轴．画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.(2)画底面，以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.反思与感悟简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．(4)连线成图．跟踪训练3 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．考点简单几何体的直观图题点简单几何体的直观图解画法：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz轴方向分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②)．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，图中正确的是( )考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案 C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2．下列关于直观图的说法不正确的是( )A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案 A解析平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故选A.3．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2. 考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案5 2解析该矩形直观图的面积为24×5×4＝52(cm2)．4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案10解析在原图中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，∴AB＝62＋82＝10.5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm) 考点简单几何体的直观图解画法：(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在Oz轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形考点平面图形的直观图答案 B解析由直观图的性质知，B 正确．2．若把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则圆柱的高应画成( ) A ．平行于z ′轴且长度为10 cm B ．平行于z ′轴且长度为5 cm C ．与z ′轴成45°且长度为10 cm D ．与z ′轴成45°且长度为5 cm 考点简单几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图答案 A解析由直观图的性质知，与z 轴平行的线段长度不变，高与原长相等． 3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案 C解析在x 轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )题点平面图形的直观图答案 C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )A．16 B．64C．16或64 D．无法确定考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案 C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 6．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC 是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案 C解析如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．7.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为( )A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm2考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案 C解析依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD 相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.8．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm考点简单几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图答案 D解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D.二、填空题9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案73 2解析由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝73，AB边上的中线长度为732.10．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy 中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案矩形8解析由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．11．如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案22解析作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC2＝2，又∠COD ＝45°， ∴OD ＝CD ＝2，∴在直观图中梯形的高为2×12×sin 45°＝22.三、解答题12．如图所示，画出水平放置的四边形OBCD 的直观图．考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解画法：(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图(1)所示．画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(2)所示；(2)如图(2)所示，在x ′轴正半轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE .在y ′正半轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD .过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC ；(3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所得直观图．13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为3 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此机器部件的直观图．考点简单几何体的直观图题点简单几何体的直观图解画法：(1)如图①.画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°. (2)画圆柱的两底面．在xOy 平面上画出底面圆O ，使直径为3 cm ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′＝3 cm ，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面圆O ′，使其直径为3 cm.(3)画圆锥的顶点．在z 轴上取一点P ，使PO ′等于圆锥的高3 cm.(4)成图．连接A ′A ，B ′B ，PA ′，PB ′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.四、探究与拓展14.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为______．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案22解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22.15．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2017-2018学年高中数学第一章立体几何初步 1.7 简单几何体的再认识学案北师大版必修2

第1课时柱、锥、台的侧面展开与面积[核心必知]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c ′＝c ，可以得到柱体的侧面积公式，令c ′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S 柱侧＝ch ′c ＝c ′,S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′――→c ′＝0S 锥侧＝12ch ′.3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．讲一讲1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A ．6π(4π＋3) B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π，即r ＝2，∴S 底＝4π，S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π，即r ＝3，∴S 底＝9π，∴S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)选C 如图所示，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2分别为截面与底面的圆心．∵O 1为PO 2的中点，∴PO 1PO 2＝PA PB ＝O 1A O 2B ＝12， ∴PA ＝AB ，O 2B ＝2O 1A . ∵S 圆锥侧＝12×2π·O 1A ·PA ，S 圆台侧＝12×2π·(O 1A ＋O 2B )·AB ，∴S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·PA O 1A ＋O 2B ·AB ＝13.1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和． 2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．练一练1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20(cm)，同理可得SB ＝40(cm)，所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)，所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.讲一讲2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm 和18 cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm ，求它的侧面积．[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm 和18 cm ，腰长为13 cm 的等腰梯形，由点A 向BC 作垂线，设垂足为E ，由点D 向BC 作垂线，设垂足为F ，易知BE ＝CF .∵BE ＋EF ＋FC ＝2BF －AD ＝BC ， ∴BF ＝BC ＋AD 2＝18＋82＝13.∴BE ＝BF －AD ＝13－8＝5.又AB ＝13，∴AE ＝12.∴S 四边形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×(18＋8)×12＝156(cm 2)．故其侧面积为156×5＝780(cm 2)．要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．练一练2．已知正三棱锥V ABC 的主视图，俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．VA ＝VB ＝VC ＝4，则VD ＝VB 2－BD 2＝42－32＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33， ∴三棱锥V ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3).讲一讲3．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．(1)设所求圆柱的底面半径为r ，则r R ＝H －x H ，∴ r ＝R －RHx ，∴S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR H·x 2. (2)∵S 圆柱侧是关于x 的二次函数， ∴当x ＝－2πR －2πR H＝H2时，S 圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．练一练3．已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.则S ＝S 底＋S 柱侧＋S 圆锥侧＝π×(3)2＋2π×3×6＋π×3×3 ＝(3＋62＋33)π(cm 2)．如图所示，圆柱OO ′的底面半径为2 cm ，高为4 cm ，点P 为母线B ′B 的中点，∠AOB ＝23π，试求一蚂蚁从A 点沿圆柱表面爬到P 点的最短路程．[巧思] 将圆柱的侧面展开，将A 、P 两点转化到同一个平面上解决．[妙解] 将圆柱侧面沿母线AA ′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP .在Rt △ABP 中，AB ∴AP ＝AB 2＋BP 21．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶4D ．4∶1解析：选B 以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S 1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π， ∴S 1∶S 2＝4π∶4π＝1∶1.2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：选C 设圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r ，R ，则l ＝12(r ＋R )．又32π＝π(r ＋R )l ＝2πl 2， ∴l 2＝16， ∴l ＝4.3．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5解析：选B 由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示．由题中所给条件，可求得S △ABD ＝12×4×5＝10，S △ACD ＝S △BCD ＝12×4×5＝10，AC ＝BC ＝41，AB ＝25，可求得△ABC 中AB 边上的高为41－5＝6，所以S △ABC ＝12×6×25＝6 5.综上可知，该三棱锥的表面积为S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABC ＝30＋6 5.4．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则圆锥的高是________．解析：设底面半径是r ，则2πr ＝πR ，∴r ＝R 2，∴圆锥的高h ＝R 2－r 2＝32R .答案：32R 5．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于________．解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S ＝34×22×2＋2×1×3＝6＋2 3. 答案：6＋2 36.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为2的正方形拼成的矩形．求该几何体的表面积S .解：由三视图可知，该平行六面体中，两底面半径都缩小为原来的1n倍，那么它的侧面积变为原来的( )A ．1倍B ．n 倍C ．n 2倍 D.1n倍解析：选A 由S 侧＝π(r ′＋r )l .当r ，r ′缩小1n倍，l 扩大n 倍时，S 侧不变．2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．12 B ．36C ．24D ．48解析：选D 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.3．长方体的对角线长为214，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为( ) A ．44 B ．88 C ．64 D ．48解析：选B 设长，宽，高分别为3x,2x ，x ，则对角线长为9x 2＋4x 2＋x 2＝14x ＝214，∴x ＝2.∴表面积S ＝2(6x 2＋3x 2＋2x 2)＝88.4．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS解析：选A 设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2， ∴R ＝Sπ，则圆柱的母线长l ＝2πR ＝2S π.S 侧面积＝(2πR )2＝4π2R 2＝4π2×Sπ＝4πS .5．(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.二、填空题6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．解析：设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图．∵母线长为10，∴有102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴S 圆台侧＝π(r ＋4r )×10＝100π. 答案：100π7．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．解析：由条件可知，四面体的斜高为32，所以其表面积为S 表＝4×12×1×32＝ 3.答案： 38．如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2，则左视图的面积为________．a 的正三角形，该三角形的高为32a .左视图是一矩，故左视图的面积为32a ×2a ＝3a 2. 现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 m ，π取3.14，结果精确到0.01 kg)解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长为5 m ，四棱柱的高为4 m ，底面是边长为3 m 的正方形．圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m 2)；四棱柱的一个底面积为32＝9(m 2)；四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m 2)．所以外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m 2)，需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)，答：共需油漆约22.87 kg.10．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．解：(1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )．在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )，又EF ＝CE ·sin 45°＝12(b －a )，∴斜高C 1F ＝C 1E 2＋EF 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22b －a 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12b －a 2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)．(2)∵S 上底＋S 下底＝a 2＋b 2， ∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 2a ＋b.又EF ＝b －a2，h ＝h 2斜－EF 2＝ab a ＋b. 第2课时柱、锥、台的体积[核心必知]柱、锥、台的体积公式(2)如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆锥＝3πr 2h .(3)如果圆台上、下底面半径分别是r ′、r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆台＝13πh (r2＋rr ′＋r ′2)．讲一讲1．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点C 到AB 的距离为3 cm ，侧面ABB 1A 1的面积为8 cm 2，求直三棱柱的体积．[尝试解答] 法一：如图，设点C 到AB 的距离为d ，侧面ABB 1A 1的面积为S 1，则△ABC 的面积S ＝12|AB |d .∴直三棱柱的体积V ＝Sh ＝S |AA 1| ＝12|AB |d |AA 1|＝12|AB |·|AA 1|d ＝12S 1 d ＝12(cm 3)．法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1.可以看成以A 1ABB 1为底面的四棱柱D 1DCC 1A 1ABB 1.则ABB 1A 1的面积就是底面积，C 到AB 的距离即为高． ∴四棱柱D 1DCC 1A 1ABB 1的体积V ＝24(cm 3)，则直三棱柱的体积为12(cm 3)．(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．练一练1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝πr 2， ①2πrh ＝4a 2， ②由①得r ＝ππa ，由②得πrh ＝2a 2， ∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶(2ππa 3)＝π2∶1＝π∶2.讲一讲2.如图，已知四棱锥P ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P ABCD 的体积．[尝试解答] 因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以PA ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝3可得PH ＝PA 2－AH 2＝3，等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC 所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh 进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面． ①求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ②利用“等积性”可求“点到面的距离”．练一练2．已知三角形ABC 的边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．∵△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r ＝125.∴V 锥＝13·AB ·πr 2＝13×5×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝485π.讲一讲3．圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[尝试解答] 首先，圆台的上底的半径为4 cm ，于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)．其次，如图，圆台的高h ＝BC ＝BD 2－OD －AB 2＝102－－2＝46(cm)，所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)．求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．练一练3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm 和12 cm ，侧面积为180 cm 2，求棱台的体积．解：如图，分别过正四棱台的底面中心O 1，O 作O 1E 1⊥B 1C 1，OE ⊥BC ，垂足分别为E 1，E ，则E 1E 为正四棱台的斜高．由于正四棱台的侧面积为180 cm 2，所以12×4×(6＋12)|E 1E |＝180，解得|E 1E |＝5.在直角梯形O 1OEE 1中，O 1E 1＝3，OE ＝6，E 1E ＝5，解得O 1O ＝4.所以正四棱台的体积为V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm 3)．如图所示，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C A ′DD ′，求棱锥C A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．[解] 法一：设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ，则长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc ，又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a ， ∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′D ′D ·CD ＝16abc .则剩余部分的体积V 剩＝abc －16abc 故V 三棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶56ADD ′A ′BCC ′B ′，设它的底面，高是h ，′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh .－6＝6Sh ∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh ∶56Sh ＝1∶5.1．正方体的表面积为96，则正方体的体积是( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96解析：选B 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，解得a ＝4，则正方体的体积是a 3＝64. 2．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.3．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12×2＝π，∴V ＝13＋π.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是1＋22×2＝3，高为1，故其体积等于3.答案：35．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．解析：设圆台的上底面半径为r ，则(3r )2＋(4r )2＝100，解之得r ＝2.∴S 上＝πr 2＝4π，S 下＝π(4r )2＝16πr 2＝64π，h ＝4r ＝8.∴V ＝13(4π＋64π＋16π)×8＝224π.答案：224π6．已知一个三棱台的两底面是边长分别为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的′中，O ′、O 分别为上、下底面的中心，D 、D ′分别BCC ′B ′的高，75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下得，75DD ′＝3253(cm 2)，所以DD ′＝1333(cm)．在直角梯形O ′ODD ′中，OD ＝5 3 cm ，O ′D ′＝1033cm ，O ′O ＝D ′D 2－OD －O ′D2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)，即棱台的高h ＝4 3 cm.由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S ＋S ′＋SS ′)＝433·⎝ ⎛⎭⎪⎫34·302＋34·202＋34·20·30 ＝1 900(cm 3)．一、选择题1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355π D ．355解析：选C 设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. 设圆锥的高为h ，则h ＝82－32＝55， ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝355π.2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23B.76C.45D.56解析：选D 用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝148，故剩下的凸多面体的体积为1－8×148＝56. 3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.4．(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3解析：选B 根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V ＝6×6×3－13×12×4×4×3＝100 cm 3.30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线)CD ＝32，旋转所得几何体V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π(32)2×2＝12π. V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3. 二、填空题6．如图已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr2a ＋b2.答案：πr 2a ＋b27．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h ，则h ＝________.解析：锥体的底面半径和高都是h ，圆柱体的底面半径是a 2，高为h ，依题意得π3h 2·h＝π·(a 2)2·h ，解得h ＝32a .答案：32a 8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：此几何体的直观图如图，ABCD 为正方形，边长为20 cm ，S 在底面的射影为CD 中点E ，SE ＝20 cm ，V S ABCD ＝13S ABCD ·SE ＝8 0003cm 3.答案：8 0003 cm 3三、解答题9．如图所示，是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π＝3.14)解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm 的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×20＝60π(cm 3)，设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)，所以有方程60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6(cm)．答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.10．若E ，F 是三棱柱ABC A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A BEFC 的体积．解：如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积．又四棱锥A BEFC 的高与四棱锥A B 1EFC 1的高相等， ∴V A BEFC ＝VA B 1EFC 1＝12VA BB 1C 1C .又VA A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC A 1B 1C 1＝m ，∴VA A 1B 1C 1＝m3，∴VA BB 1C 1C ＝VABC A 1B 1C 1－VA A 1B 1C 1＝23m ，∴V A BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A BEFC 的体积是m3.第3课时球[核心必知]1．球的表面积公式：S 球面＝4πR 2. 2．球的体积公式：V 球＝43πR 3.[问题思考]用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d . 在Rt △OO ′C 中，OC 2＝OO ′2＋O ′C 2，即R 2＝r 2＋d 2.讲一讲1．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积．[尝试解答] 如图所示，设球心为O ，截面圆圆心O 1，球半径为R ，连接OO 1，则OO 1是球心到截面的距离．由于OA ＝OB ＝OC ＝R ，则O 1是△ABC 的外心．设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1在CM 上．设O 1M ＝x O 1C ＝CM －O 1M 又O 1A ＝O 1C 解得x ＝724.在Rt △OO 1A 故S 球面＝4πR计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．练一练1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．解：如图，设截面圆的圆心为O 1，则OO 1⊥O 1A ，O 1A 为截面圆的半径，OA 为球的半径．∵48π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝48. 在Rt △AO 1O 中，OA 2＝O 1O 2＋O 1A 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＋48，∴R ＝8(cm)，∴S 球＝4πR 2＝4π×64＝256π(cm 2)，V 球＝43πR 3＝20483π(cm 3).讲一讲2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． [尝试解答]如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC 、AC 相切于点D 、E . 连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形， ∴CD ＝12AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， ∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CDAC.设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r3－r ＝12， ∴r ＝33cm ， V 球＝43π(33)3＝4327π(cm 3)，即球的体积等于4327π cm 3.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．练一练2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．解：作轴截面如图所示，CC′＝6，AC＝2·6＝23，设球的半径为R，则R2＝OC2＋CC′2＝(3)2＋(6)2＝9，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝43πR3＝36π.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．[错解] 如图所示，设OD＝x，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.[错因] 本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．[正解] (1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD ＝x ，则OC ＝9－x ，设球半径为R ，可得x 2＋202＝(9－x )2＋72＝R 2，此方程无正数解，即此种情况不可能．综上可知，球的表面积是2 500π cm 2.1．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大( ) A ．2倍 B. 2 倍 C ．2 2 倍 D ．3 2 倍解析：选C 球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(2)3＝22倍． 2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1解析：选A 设两球的半径分别为R 1，R 2. ∵R 1∶R 2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为S 1∶S 2＝4πR 21∶4πR 22＝R 21∶R 22＝1∶9.3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：选C 设球的半径为R ，则2R ＝33＋42＋52＝5 2. ∴S 球＝4πR 2＝π·(2R )2＝50π.4．(福州高一检测)已知正四棱锥O ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝323，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S＝4πR 2＝24π.答案：24π5．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为r cm ，则有8πr 2＋3×43πr 3＝πr 2×6r ，由此解得r ＝4.答案：46．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．(1)该几何体的表面积为S ＝2πR 2＋6×2×2－π×R 2＝π＋24 (m 2)．(2)该几何体的体积为V ＝12×43πR 3＋23＝23π＋8 (m 3)．一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( ) A.323π B.8π3C ．82π D.823π解析：选D 所得截面圆的半径为r ＝1，因此球的半径R ＝12＋12＝2，球的体积为 43πR 3＝823π. 2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶2∶ 3 C ．1∶22∶3 3 D ．1∶4∶7解析：选C ∵三个球的表面积之比是1∶2∶3，即r 21∶r 22∶r 23＝1∶2∶3.∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3， ∴V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶3 3.3．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝22＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π.4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2解析：选B 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝712a ， ∴S ＝4πR 2＝4π×7a 212＝7π3a 2.5．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3cm 3解析：选 A 解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R －2) cm(其中R 为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2) cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3cm 3，选择A.二、填空题6．一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的3OA ＝5. 答案：37．一个底面直径是32 cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm ，则这个球的表面积是________．解析：球的体积等于以16 cm 为底面半径，高为9 cm 的圆柱的体积，设球的半径为R ，所以43πR 3＝π·162·9，解得R ＝12(cm)，所以S 球＝4πR 2＝576π cm 2.答案：576π cm 28．如图所示，正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，∴其高为1，由对称性可知，棱长为2的正八面体也内接于此球，∴球的半径为1，体积为43π.答案：43π三、解答题9．如图，ABCD 是正方形，是以A 为圆心的弧，将正方形ABCD 以AB 为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形ABD 生成的半球．设正方形的边长为a ，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积分别为V Ⅰ、V Ⅱ和V Ⅲ，则V Ⅰ＝13πa 3，V Ⅱ＝43πa 3÷2－13πa 3＝13πa 3，V Ⅲ＝πa 3－43πa 3÷2＝13πa 3.三部分所得旋转体的体积之比为1∶1∶1.10．如图，半径为R 的半圆O 的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且半圆O 分别切AB ，BC ，CD 于点A 、E 、D .将半圆与梯形绕AD 所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3∶4，求圆台的体积．解：设圆台的上、下底的半径分别为r 1、r 2，母线长为l .由题意知，圆台的高h ＝2R ，DC ＝CE ＝r 1，AB ＝BE ＝r 2，OE ＝R ，∠BOC ＝90°.OE ⊥BC . ∵在Rt △COB 中，CE ·BE ＝OE 2，BC ＝CE ＋BE ， ∴r 1r 2＝R 2，l ＝r 1＋r 2.又∵S 球＝4πR 2，S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l 且S 球∶S 圆台侧＝3∶4， ∴4πR 2∶πl (r 1＋r 2)＝3∶4. ∴(r 1＋r 2)2＝163R 2，∴V 台＝13πh (r 21＋r 22＋r 1r 2)＝π3×2R [(r 1＋r 2)2－r 1r 2]＝π3×2R ×⎝ ⎛⎭⎪⎫163R 2－R 2＝269πR 3. 故圆台的体积为269πR 3.1．空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体是研究空间线、面、体的几何载体，正确理解几何体的概念，掌握几何体的特征是解题成功的关键．对三视图的考查，高考中不可能去画三视图或画几何体，但观察三视图，想象几何体是可能的，这类题目只要把握三视图和几何体之间的关系是不难解决的．2．平行关系(1)判定线线平行的方法：①利用线线平行的定义证明共面而且无公共点(结合反证法)； ②利用平行公理4； ③利用线面平行性质定理；④利用线面垂直的性质定理(若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b )；⑤利用面面平行的性质定理(若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b )；⑥利用平行四边形的性质，三角形、梯形中位线，线段对应成比例等．(2)判定线面平行的方法：①线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)；③面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；④面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β)．(3)判定面面平行的方法：①平面平行的定义(无公共点)；②面面平行的判定定理(若a∥β，b∥β，a、bα，且a∩b＝A⇒α∥β)；③面面平行的判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，aα，bα且a∩b＝A，a′β，b′β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；④线面垂直的性质定理(若a⊥α，a⊥β⇒α∥β)；⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．3．平行关系相互转化的示意图4．垂直关系(1)证明线面垂直的主要方法有：①利用线面垂直的定义；②利用判定定理：m，nα，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α；③利用面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④利用面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β；⑤利用线面垂直判定定理的推论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(2)证明面面垂直的方法就是利用判定定理先转化为证明线面垂直．(3)直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线和平面相交、平面和平面相交的特殊情况．对这种情况的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的夹角为90°来讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证．无论是线面垂直还是面面垂直，都。

2017-2018版高中数学第一章立体几何初步 1 简单几何体学案北师大版必修2

1 简单几何体学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．知识点一两平面平行和直线与平面垂直的概念思考1 如何定义两平面平行？思考2 如何判定直线与平面垂直？梳理(1)________________的两个平面平行．(2)如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则这条直线与这个平面垂直．知识点二旋转体与多面体知识点三常见的旋转体及概念思考1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？思考2 能否由圆锥得到圆台？梳理特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．知识点四常见的多面体及相关概念思考观察下列多面体，试指明其类别．梳理(1)棱柱①定义要点：(ⅰ)两个面________________；(ⅱ)其余各面都是________________；(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都________________．②相关概念：底面：两个________________的面．侧面：除底面外的其余各面．侧棱：相邻______________的公共边．顶点：底面多边形与________的公共顶点．③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱柱：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、…….(ⅱ)直棱柱：侧棱________于底面的棱柱．(ⅲ)正棱柱：底面是________________的直棱柱．(2)棱锥①定义要点：(ⅰ)有一个面是________________；(ⅱ)其余各面是三角形；(ⅲ)这些三角形有一个________________．②相关概念：底面：除去棱锥的侧面余下的那个________________．侧面：除底面外的其余__________面．侧棱：相邻两个________的公共边．顶点：________的公共顶点．③记法：如三棱锥S－ABC.④分类及特殊棱锥：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有________、__________、__________、……，(ⅱ)正棱锥：底面是______________，且各侧面________的棱锥．(3)棱台①定义要点：用一个______________________的平面去截棱锥，________与________之间的部分．②相关概念：上底面：原棱锥的________．下底面：原________的底面．侧棱：相邻的________的公共边．顶点：________与底面的公共顶点．③记法：如三棱台ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱台：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、……，(ⅱ)正棱台：由________________截得的棱台．类型一旋转体的概念例1 下列命题正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3类型二多面体及其简单应用例2 (1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．(提示：可以证明BC綊MN)引申探究若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？反思与感悟(1)棱柱的识别方法①两个面互相平行．②其余各面都是四边形．③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．(2)棱锥的识别方法①有一个面是多边形．②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．④对几类特殊棱锥的认识(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体．(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．(3)棱台的识别方法①上、下底面互相平行．②各侧棱延长交于一点．跟踪训练2 下列说法正确的是( )A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱C．棱锥的侧面可以是四边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面1．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个2．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台3．下面有关棱台说法中，正确的是( )A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是( ) A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台．答案精析问题导学知识点一思考1 两平面无公共点．思考2 直线和平面内的任何一条直线都垂直．梳理(1)无公共点(2)任何一条直线知识点二平面曲线旋转面旋转体平面多边形多面体知识点三思考1 不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．思考2 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．梳理半圆的直径曲面圆心球面球心矩形的一边曲面一条直角边曲面垂直于底边的腰曲面旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴不垂直于旋转轴知识点四思考(1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台．梳理(1)①(ⅰ)互相平行(ⅱ)四边形(ⅲ)互相平行②互相平行两个侧面侧面④(ⅰ)三棱柱四棱柱五棱柱(ⅱ)垂直(ⅲ)正多边形(2)①(ⅰ)多边形(ⅲ)公共顶点②多边形三角形侧面侧面④(ⅰ)三棱锥四棱锥五棱锥(ⅱ)正多边形全等(3)①平行于棱锥底面底面截面②截面棱锥侧面侧面④(ⅰ)三棱台四棱台五棱台(ⅱ)正棱锥题型探究例1 ④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．跟踪训练1 C例2 3解析①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；根据棱锥的概念知，③正确；根据棱台的概念知，④正确；棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．正确的个数为3.(2)解①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.引申探究解如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．跟踪训练2 B [A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．]当堂训练1．D [由棱柱的定义知，①③为棱柱．]2．D [由旋转体的结构特征知，D正确．]3．B [由棱台的结构特征知，B正确．]4．B [中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．]5．2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故答案为2.本文档仅供文库使用。

2017_2018版高中数学第一章立体几何初步2直观图学案北师大版必修2

跟踪训练2 如下图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，那么原图形是________．
例3 如下图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．假设A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同
3．假设一个三角形采纳斜二测画法，取得的直观图的面积是原三角形面积的( )
A. 倍 B．2倍 C. 倍 D. 倍
4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，那么AB边的实际长度是________．
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点别离作z轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz轴方向别离截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．按序连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部份改成虚线)，取得正方体的直观图(如图②)．
当堂训练
1．C 2.A 3.A 4.10
例3 解如图，成立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即取得了原图形．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度别离为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，
A. B.
C. D．2
类型三空间几何体的直观图
例4 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
反思与感悟简单几何体直观图的画法
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．

[推荐学习]2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步 1.2 直观图训练案北师大版必修

1.2 直观图[A.基础达标]1．给出以下几个结论：①水平放置的角的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍相等； ③相等的线段在直观图中仍相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行．其中叙述正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由斜二测画法的规则知，结论①与④是正确的，故选B. 2．如图所示的直观图的原平面图形ABCD 是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析：选B.原图形ABCD 中，必有AB ⊥AD ，AD ∥BC ，且AD >BC ，故ABCD 是直角梯形． 3．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.根据把模型放在水平视线的左下角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知A 正确．4.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′∥O ′y ′，B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A.732B.73C ．5 D.52解析：选A.把直观图还原成平面图形如图，得△ABC 为直角三角形，BC ＝8，AC ＝3，则AB 边上的中线为12 82＋32＝732.5.如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋32)cmD ．(2＋23)cm解析：选B.如图，原图形为OABC ，且OA ＝O ′A ′＝1 cm ，OB ＝2O ′B ′＝2 2 cm ，于是OC ＝AB ＝（22）2＋12＝3(cm)，故OABC 的周长为2×(1＋3)＝8(cm)． 6．如图，△A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，则△ABC 中，最长的边为________．解析：由B ′C ′∥y ′轴，A ′B ′∥x ′轴知，△ABC 为直角三角形，∠B 为直角，AC 为斜边，故最长边为AC .答案：AC7．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m ，5 m ，10 m ，四棱锥的高为8 m ，若以长、宽、高所在直线分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm ，1 cm ，2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.答案：4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm8．如图所示是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．解析：画出原图形△AOB (图略)，则S △AOB ＝12×4×16＝32.答案：329．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O (0，0)，A (1，3)，B (3，1)，C (4，6)，D (2，5)．试画出四边形ABCD 的直观图．解：(1)先画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图1)．(2)在原图中作AE ⊥x 轴，垂足为E (1，0)．(3)在x ′轴上截取O ′E ′＝OE ，作A ′E ′∥y ′轴，截取E ′A ′＝1.5.(4)同理确定点B ′，C ′，D ′，其中B ′G ′＝0.5，C ′H ′＝3，D ′F ′＝2.5. (5)连线成图(去掉辅助线)(如图2)．10．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm、1.5 cm，高为1.5 cm的正三棱台的直观图．解：(1)画轴．画x轴、y轴、z轴三轴相交于O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；(2)画下底面．在y轴上正方向上截取线段OC，使OC＝34cm，在y轴负半轴上截取OD＝38cm，过D作线段AB∥x轴，使D为AB中点，AB＝1.5 cm，连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z轴上截取线段OO′，使OO′＝1.5 cm.过O′点作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy.建立坐标系x′O′y′，在x′O′y′中，重复(2)的步骤得上底面A′B′C′(取O′D′＝315cm，A′B′＝0.8 cm，O′C′＝2315cm)．(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC-A′B′C′为要求画的三棱台的直观图．[B.能力提升]1．如图水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为( )A.22B．1C. 2 D．2解析：选A.如图，由斜二测画法可知，在新坐标系x′O′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°，过B′作x′轴的垂线，垂足为D，在Rt△B′DC′中，B′D＝B′C′sin 45°＝1×22＝22.2．如图所示是水平放置的三角形的直观图，D为△ABC中BC边上的中点，则平面图中AB，AD，AC三条线段中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B.由斜二测画法的规则知，题图还原后如图所示，是一个∠B为直角的直角三角形，则AB 为一条直角边，由图可知，AC >AD >AB .3．如图，已知A (－1，0)，B (2，0)，C (0，2)，则△ABC 的直观图的面积为________．解析：由已知得△ABC 的面积S ＝12·AB ·CO ＝12×3×2＝3，于是其直观图的面积S ′＝24S ＝24×3＝324. 答案：3244．如图所示，四边形ABCD 是一平面图形水平放置的直观图．在直观图中，四边形ABCD 是一直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y ′轴平行．若AB ＝6，CD ＝4，则这个平面图形的实际面积是________．解析：由斜二测画法规则知，该图的平面图形A ′B ′C ′D ′也是一直角梯形，其中B ′C ′⊥C ′D ′，A ′B ′＝6，C ′D ′＝4，B ′C ′＝2BC ＝2·6－4sin 45°＝42，所以原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为S A ′B ′C ′D ′＝12(6＋4)×42＝20 2.答案：20 25．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．6．(选做题)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．解：画法步骤：(1)如图①所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy .如图②所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在图①中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图②中，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．。

2017_2018版高中数学第一章立体几何初步章末温习课学案北师大版必修2

证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
反思与感悟 (1)两条异面直线彼此垂直的证明方式
①概念；
②线面垂直的性质定理．
(2)直线和平面垂直的证明方式
①线面垂直的判定定理；
②面面垂直的性质定理．
(3)平面和平面彼此垂直的证明方式
①概念；
②面面垂直的判定定理．
跟踪训练3 如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.
①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．
②等积变换，如三棱锥转移极点等．
③复杂化简单，把不规那么几何体通过度割，补体化为规那么的几何体等．
3．四个公理
公理1：若是一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在那个平面内.
公理2：过________________________的三点，有且只有一个平面．
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
跟踪训练2 证明 (1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，因此BC⊥平面PAC.
(2)连接OG并延长交AC于点M，
(2)面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∥β，aβ
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
(3)空间中的平行关系的内在联系
6．垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直
图形
条件
结论

2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.1简单几何体学案北师大版必修2201711305

§1简单几何体1.1简单旋转体1.2简单多面体1.了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.掌握简单几何体的分类.3.理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念.(重点、难点)4.理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概念.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1两个平面平行及直线与平面垂直的概念阅读教材P3“1.1简单旋转体”以上部分，完成下列问题.1.两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的.2.直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直.长方体相对的两个侧面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定【解析】根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选A.【答案】 A教材整理2简单的旋转体阅读教材P3“1.1简单旋转体”以下至P4“1.2简单多面体”以上部分，完成下列问题.1.定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.2.球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：名称定义图形表示相关概念以半圆的直径所在的直线为球心：半圆的圆心；球旋转轴，将半圆旋转所形成球的半径：连接球心和球面上的曲面叫作球面.球面所围任意一点的线段；成的几何体叫作球体，简称球的直径：连接球面上两点并球且过球心的线段分别以矩形的一边、直角三高：在旋转轴上这条边的长度；角形的一条直角边、直角梯底面：垂直于旋转轴的边旋转圆柱、形垂直于底边的腰所在的直而成的圆面；圆锥、线为旋转轴，其余各边旋转侧面：不垂直于旋转轴的边旋圆台而形成的曲面所围成的几何转而成的曲面；母线：不垂直体分别叫作圆柱、圆锥、圆于旋转轴的边旋转，无论转到台什么位置，都叫作侧面的母线下列说法正确的是()A.直线绕定直线旋转形成柱面B.半圆绕定直线旋转形成球体C.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的【解析】直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C 错误，所以应选D.【答案】 D教材整理3简单的多面体阅读教材P4“1.2简单多面体”以下至P5部分，完成下列问题.1.简单多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体.2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形棱柱AC′或棱柱棱锥SAC或棱锥棱台AC′或棱台表示ABCDEA′B′C′D′E′SABCDE ABCDA′B′C′D′两个面互相平行，其余各有一个面是多边形，用一个平行于棱锥底面的平面结构面都是四边形，并且每相其余各面是有一个公去截棱锥，底面与截面之间的特征邻两个四边形的公共边共顶点的三角形部分都互相平行相交于一点，但不一延长线交于一点，但不一定相侧棱平行且相等定相等等侧面平行四边形三角形梯形底面平行且全等的多边形多边形平行且边数相等的多边形下列几何体中，是棱锥的是()【解析】由棱锥的定义可知，选B.【答案】 B[小组合作型]旋转体的结构特征下列叙述中，正确的个数是()(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；(4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转形成的几何体是球.A.0个B.1个C.2个D.3个【精彩点拨】解答时可根据旋转体的概念和性质进行具体分析.【自主解答】(1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3) 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故(3)错；(4)正确.【答案】 B1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.[再练一题]1.下列说法正确的是________.①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球.【解析】①错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.②正确.③错.应为球面.【答案】②多面体棱柱、的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱柱的侧面一定是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.【导学号：39292000】【精彩点拨】根据棱锥、棱台的结构特征判断.【自主解答】(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.【答案】(2)(3)(4)判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法：(1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法：棱柱棱锥棱台两个互相平行的面，即只有一个面是多边形，两个互相平行的面，即为定底面为底面此面即为底面底面看侧棱平行相交于一点延长后相交于一点[再练一题]2.给出下列几个结论：①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；②多面体至少有四个面；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中，错误的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的.【答案】 A[探究共研型]简单组合体的识别和截面问题探究1观察下列四个几何体，其中哪些是由两个棱柱拼接而成的？图111【提示】(1)可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，(4)可看作由两个四棱柱组合而成.探究2试描述下列几何体的结构特征.图112【提示】图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.如图113所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.图113【精彩点拨】过圆锥的轴作截面，利用三角形的相似来解决.【自主解答】设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示.则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm，SA′O′A′ 3 r 1∴＝，∴＝＝，SA OA3＋l4r 4解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.1.识别简单组合体的构成方法：组合体是由简单几何体通过拼接、截去或挖去一部分而形成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球体的几何结构特征，对原组合体进行分割.2.与圆锥有关的截面问题的解决策略：求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解.巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决.[再练一题]3.一个正方体内接于高为40 cm，底面圆的半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长.【解】如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，2x2 2 40－x 则OC＝x，∴＝，2 30 40解得x＝120(3－2 2)，∴正方体的棱长为120(3－2 2)cm.1.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.②④【解析】依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误.【答案】 D2.下列说法中正确的是()【导学号：39292001】A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱的侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.【答案】 A3.下面几何体的截面一定是圆面的是()A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台【解析】无论用怎样的平面去截球，截面一定是圆面，其他三个旋转体截面则不一定是圆面.【答案】 C4.已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________.3【解析】设正三角形的边长为a，则a2＝3，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截43面三角形的高，所以所求的高为a＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以2母线长为2.【答案】3，25.如图114所示为长方体ABCDA′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′，C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由.图114【解】截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面.截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面.。

高中数学第一章立体几何初步 1.2 直观图学案北师大

直观图【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．一、选择题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有( )A．①② B．①④ C．③④ D．①③④2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )A．等腰梯形 B．直角梯形C．任意四边形 D．平行四边形3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A ．12＋22B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2二、填空题7．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．三、解答题10．如图所示，梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．11．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．能力提升12．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系：(1)在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；(2)此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．§2直观图答案作业设计1．B [由斜二测画法的规则判断．] 2．B 3．A [根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形， OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．]4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．] 5．C6．D [如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．]图1 图27．①②解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC ＝A′C′＝3，BC ＝2B′C′＝4，计算得AB ＝5，所求中线长为2．5．9．22解析画出直观图，则B′到x′轴的距离为 22·12OA ＝24OA ＝22． 10．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E ．在x′轴上取A′B′＝AB ＝4 cm ，A′E′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED ，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC ＝2 cm ．(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．11．解先画出正三角形ABC ，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a ，O′A′＝34a ．过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M ，则A′M＝O′A′·sin 45°＝34a×22＝68a ．∴S △A′B′C′＝12B′C′·A′M＝12a×68a ＝616a 2． 12．解四边形ABCD 的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形， ∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°， ∴在原四边形ABCD 中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2， AC ＝A′C′＝2，∴S 四边形ABCD ＝AC·AD＝22．。

2017-2018学年高中数学(北师大版)2精品讲学案：第一章1.2直观图

［核心必知］1．斜二测画法的规则（1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x轴和y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．（3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段,长度为原来的错误!。

2．立体图形的直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z 轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面，平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变．[问题思考］1．斜二测画法中的“斜"、“二测"分别指什么？提示：斜是指坐标轴倾斜,使之成45°，二测是指测量与x轴平行的线段长度不变，测量与y轴平行的线段长度减半．2．斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗?提示:平行．3．空间几何体的直观图一定唯一吗？提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．讲一讲1．用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．[尝试解答］法一:(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x 轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2）画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°。

在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm,在y′轴上截取O′A′＝错误!OA，连接A′B′，A′C′,则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图,如图②所示．法二:(1）如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．(2）画对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′＝45°。

在x′轴上截取O′A′＝OA,在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝错误!OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．练一练1．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解：画法：（1）如图（1)，取AB所在直线为x轴，以AB中点O为原点,建立直角坐标系，设y轴与DC交于点E，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB,在y′轴上取O′E′＝错误!OE，以E′为中点作C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD。

高中数学第一章立体几何初步1.2直观图课件北师大版必

3.如图,直观图△A′B′C′(其中 A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′) 所表示的平面图形是( D ) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°知，在原图形中，AC⊥CB，所以对应的平面图形为直角三角形．
解：(1)根据斜二测画法的规则：平行于 x 轴或在 x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在 y 轴上或平行于 y 轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy＝90°， ∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项 C. (2)利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时：三角形的直观图是一个三角形，三边仍然相交，故①正确；由于直观图中平行四边形的对边还是平行的，故直观图一定还是平行四边形，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，故③错误；梯形的直观图是梯形，故④正确．所以填①②④.
2．下面说法正确的是( D ) A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B．两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线 C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D．水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形解析:正方形的直观图中对应边互相平行,不可能是梯形,A错;两条相交的直线的直观图仍然相交，不可能平行，B错；互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直，C错，只有D正确．
[方法归纳] 画平面图形直观图的技巧 (1)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定顶点的位置． (2)建立直角坐标系时，结合图形的结构特征，尽量使原平面图形的顶点在坐标轴或与坐标轴平行的线段上． (3)原图中不与 x 轴或 y 轴平行的线段，可以先作坐标轴的平行线为辅助线．
1．(1)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( C )

(渝皖琼)高中数学第一章立体几何初步2直观图学案北师大版必修2(2021年整理)

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§2直观图学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2。

会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点斜二测画法思考1 边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系?A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗?AD与A′D′呢？答案A′B′∥C′D′,A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝错误!AD.思考2 正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案没有都画成正方形．梳理(1）水平放置的平面图形直观图的画法斜二测画法规则：①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴,两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的错误!。

（2）立体图形直观图的画法1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.（×)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．（×) 3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．( ×)类型一水平放置的平面图形的直观图例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解画法：(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图（1）（2)所示；（2）在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝错误!OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC。