推荐学习K122018北师大版高中数学必修二学案：第一章 7.1 简单几何体的侧面积

7．1简单几何体的侧面积学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力．知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？思考2圆锥SO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？思考3圆台OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？梳理圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式圆柱底面积：侧面积：表面积：圆锥底面积：侧面积：表面积：圆台上底面面积：下底面面积：侧面积：表面积：知识点二直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积思考1类比圆柱侧面积的求法，你认为怎样求直棱柱的侧面积？如果直棱柱底面周长为c，高为h，那么直棱柱的侧面积是什么？思考2正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h′，如何求正棱锥的侧面积？思考3下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？梳理棱柱、棱锥、棱台侧面积公式SchSchSch类型一旋转体的侧面积(表面积)例1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________cm2.(结果中保留π)反思与感悟圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．跟踪训练1(1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为()A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4类型二多面体的侧面积(表面积)及应用例2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋2 2 B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15反思与感悟多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形．跟踪训练2已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．类型三组合体的侧面积(表面积)命题角度1由三视图求组合体的表面积例3某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.反思与感悟对于此类题目：(1)将三视图还原为几何体；(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．跟踪训练3一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为________m2.命题角度2由旋转形成的组合体的表面积例4 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内，过C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求此旋转体的表面积．反思与感悟 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．跟踪训练4 已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．1．一个圆锥的表面积为πa m 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( ) A.2a 2 m B.3a 3 m C.a 2 m D.5a5m 2．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高是32 cm.则三棱台的侧面积为( )A ．27 3 cm 2 B.2732 cm 2C.32cm 2 D. 3 cm 23．一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．(80＋162)cm 2B ．84 cm 2C ．(96＋162)cm 2D ．96 cm 24．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是________．5．正三棱锥S －ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三棱锥的侧面积．1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解． 3．S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．答案精析问题导学 知识点一思考1 S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l )．思考2 底面周长是2πr ，利用扇形面积公式得 S 侧＝12×2πrl ＝πrl ，S 表＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )．思考3 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，x x ＋l ＝r R ，解得x ＝r R －r l . S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形 ＝12(x ＋l )×2πR －12x ·2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，所以，S 圆台侧＝π(r ＋R )l ，S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．梳理 2πr 2 2πrl 2πr (r ＋l ) πr 2 πrl πr (r ＋l ) πr ′2 πr 2 π(r ′l ＋rl ) π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ) 知识点二思考1利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积．展开图如图，不难求得S直棱柱侧＝ch.思考2正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和，不难得到S正棱锥侧＝12ch′.思考3S正棱台侧＝12n(a＋a′)h′＝12(c＋c′)h′.题型探究例1(1)D(2)1 100π解析(1)由三视图可知，该几何体为：故表面积为πr2＋2πr2l＋l2＝π＋2π＋4 ＝3π＋4.(2) 如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.跟踪训练1 (1)C [由题意，圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2. ①当以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π， 即r ＝2，所以S 底＝4π， 所以S 表＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π ＝8π(3π＋1)．②当以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π， 即r ＝3，所以S 底＝9π， 所以S 表＝S 侧＋2S 底＝24π2＋18π ＝6π(4π＋3)．](2)C [如图所示，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2分别为截面与底面的圆心．因为O 1为PO 2的中点，所以PO 1PO 2＝PA PB ＝O 1A O 2B ＝12，所以PA ＝AB ，O 2B ＝2O 1A . 又因为S 圆锥侧＝π·O 1A ·PA ， S 圆台侧＝π·(O 1A ＋O 2B )·AB ， 则S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·PA (O 1A ＋O 2B )·AB ＝13.] 例2 B[该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S 表＝2×12×(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×2＝11＋22，故选B.]跟踪训练2 解 方法一在Rt △B 1FB 中， B 1F ＝h ′，BF ＝12(8－4)＝2(cm)，B 1B ＝8 cm ， ∴B 1F ＝82－22＝215(cm)，∴h ′＝B 1F ＝215 cm. ∴S 正棱台侧＝12×4×(4＋8)×215＝4815(cm 2)．方法二 延长正四棱台的侧棱交于点P ，如图，设PB 1＝x cm ， 则x x ＋8＝48， 得x ＝8 cm.∴PB 1＝B 1B ＝8 cm ，∴E 1为PE 的中点．∴PE 1＝82－22＝215(cm)．PE ＝2PE 1＝415 cm.∴S 正棱台侧＝S 大正棱锥侧－S 小正棱锥侧＝4×12×8×PE －4×12×4×PE 1 ＝4×12×8×415－4×12×4×215 ＝4815(cm 2)．例3 138解析 将三视图还原为长方体与直三棱柱的组合体，再利用表面积公式求解．该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为6 cm ，4 cm,3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm ，4 cm,5 cm ，所以表面积S ＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋⎝⎛⎭⎫5×3＋4×3＋2×12×4×3＝99＋39＝138(cm 2)． 跟踪训练3 12π＋42π例4 解 如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的．在直角梯形ABCD 中，AD ＝a ，BC ＝2a ，AB ＝(2a －a )tan 60°＝3a ，DC ＝2a －a cos 60°＝2a ， 又DD ′＝DC ＝2a ，则S 表＝S 圆柱表＋S 圆锥侧－S 圆锥底＝2π·2a ·3a ＋2π·(2a )2＋π·a ·2a －πa 2＝(9＋43)πa 2.跟踪训练4 解 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为点D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 3，则AC ⊥BC .所以BC ·AC ＝AB ·CD ，所以CD ＝125， 记为r ＝125， 那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π. 当堂训练1．B2．B [如图，O 1，O 分别是上、下底面中心，则O 1O ＝32cm ，连接A 1O 1并延长交B 1C 1于点D 1，连接AO 并延长交BC 于点D ，过D 1作D 1E ⊥AD 于点E .在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝32cm，DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝13×32×(6－3)＝32(cm)，DD1＝D1E2＋DE2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝ 3 (cm)，所以S正三棱台侧＝12(c＋c′)·DD1＝2732(cm2)．]3．A 4.55．解设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′.因为S侧＝2S底，所以12×3a×h′＝34a2×2.所以a＝3h′.因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.所以32＋(36×3h′)2＝h′2.所以h′＝23，所以a＝3h′＝6.所以S底＝34a 2＝34×62＝9 3.所以S侧＝2S底＝18 3.。