2-4第2课时 等比数列的性质
高考数学必修五 第二章 2.4 第2课时等比数列的性质
第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.知识点一 由等比数列衍生的等比数列思考 等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列.答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.梳理 (1)在等比数列{a n }中按序号从小到大取出若干项：123,,,,,,n k k k k a a a a ……若k 1，k 2，k 3，…，k n ，…成等差数列，那么123,,,,,n k k k k a a a a ……是等比数列.(2)如果{a n }，{b n }均为等比数列，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}是等比数列.知识点二 等比数列的性质思考 在等比数列{a n }中，a 25＝a 1a 9是否成立？a 25＝a 3a 7是否成立？a 2n ＝a n －2a n ＋2(n >2，n ∈N *)是否成立？ 答案 ∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8，∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25， ∴a 25＝a 1a 9成立.同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2·a n ＋2也成立. 梳理 一般地，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，则有a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N *).若m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2k (m ，n ，k ∈N *).1.a n ＝a m q n －m (n ，m ∈N *)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n －1.(√)2.等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列.(√)3.若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列.(×)类型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 等比数列{a n }中. (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 考点 等比数列的通项公式题点 已知数列为等比数列求通项公式 解 (1)∵a 7a 4＝q 7－4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34， ∴a n ＝a 4·qn －4＝2·(34)n －4＝22543332(2)2.n n --⋅=(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n －1＝2n .反思与感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1. (2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0. 跟踪训练1 (1)在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 5＝________；(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2·…·a n 的最大值为__________. 考点 等比数列的通项公式题点 已知数列为等比数列求通项公式 答案 (1)8 (2)64解析 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝164＝4，∴q 2＝2.∴a 5＝a 3q 5－3＝4·q 2＝4×2＝8. (2)设该等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)211749(7)[()]222411()(),22n n n ---== 当n ＝3或4时，12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －722－494取得最小值－6， 此时21749[()]2241()2n --取得最大值26，∴a 1a 2…a n 的最大值为64. 类型二 等比数列的性质 命题角度1 序号的数字特征 例2 已知{a n }为等比数列.(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25， ∵a n >0， ∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质，得 a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1a 2…a 9a 10) ＝log 395＝10.反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题. 跟踪训练2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________. 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 128解析 ∵a 3a 5＝a 24＝4，a n >0， ∴a 4＝2.∴a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1a 7)·(a 2a 6)·(a 3a 5)·a 4 ＝43×2＝128.命题角度2 未知量的设法技巧例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题解 方法一 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎨⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq－a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧.一般地，三个数成等比数列，可设为aq ，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .若四个同号的数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3；四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .跟踪训练3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数.考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题 解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )，2(18－y )＝y ＋(21－x )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.1.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( )A.2B.3C.4D.8考点等比数列基本量的计算题点求等比数列公比答案 A解析由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.2.在等比数列{a n}中，a n>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于()A.9B.6C.3D.2考点等比数列的性质题点等比数列的性质与对数运算综合答案 C解析因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________.考点等比数列的性质题点等比数列各项积的问题答案8解析设这8个数组成的等比数列为{a n}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.4.已知a n＝2n＋3n，判断数列{a n}是不是等比数列？考点等比数列的判定题点判断数列为等比数列解不是等比数列.∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a22，∴数列{a n}不是等比数列.1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量.3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1.在等比数列{a n }中，a 2 015＝8a 2 012，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8考点 等比数列基本量的计算 题点 求等比数列公比 答案 A解析 ∵a 2 015＝8a 2 012＝a 2 012·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.16 考点 等比数列的判定 题点 判断数列为等比数列 答案 B解析 点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8. 3.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A.100 B.－100 C.10 000D.－10 000考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.4.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且 a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.解得q ＝26或q ＝36(舍去)，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.5.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( ) A.13 B.3 C.±13 D.±3 考点 等比中项 题点 利用等比中项解题 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝1350，又∵数列{a n }各项均为正数，∴a 5＝1650. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝1250＝5 2.7.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋ 2B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 2考点 等比数列基本量的计算 题点 利用基本量法解题 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2. ∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.二、填空题8.设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18.9.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 考点 等比中项 题点 利用等比中项解题 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10.在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·q 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024.11.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 8解析 由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8. 三、解答题12.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5，求{a n }的通项公式.考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 解 设数列{a n }的公比为q (q >0).∵a 1＋a 2＝2·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2， ∴a 1＋a 1q ＝2·1＋q a 1q ，即a 1＝2a 1q .①又∵a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5，∴a 3(1＋q ＋q 2)＝64·q 2＋q ＋1a 3q 2，即a 3＝64a 3q 2.② 联立①②，解得q ＝2，a 1＝1， 故a n ＝2n －1(n ∈N *).13.在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小. 考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合 (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2 a n ＋1a n＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2.又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1， 因此S n ＝4n ＋n (n －1)2(－1)＝9n －n 22. 又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4， 即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *).(3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0， 所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12， a 7＝14，a 8＝18， S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7， S 8＝4，所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ；当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N *时，a n ＞S n .四、探究与拓展14.已知等比数列{a n }满足a n >0，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A.2nB.2n 2C.n 2D.n考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合答案 C解析 log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3·…·a 2n －1) 2222222121252522log ()log ()log (2)log 2.n n n n n n n a a a a n --=====15.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，12,,,,n k k k a a a ……也成等比数列，求数列{k n }的通项公式.考点 等比数列基本量的计算题点 利用基本量法解题解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 得d (d －a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，12,,,,n k k k a a a ……成等比数列，∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3d d＝3， ∴n k a ＝a 1·3n ＋1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n ＋1.。
第2课时等比数列的判定与性质2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
结题总结： 三个数成等比数列的设法： 设为aq，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…， qa2，aq，a，aq，aq2，…
三、课堂练习
1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( C )
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
二、讲授新知
（四）等比数列性质的简单应用
例 4 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为 216，后三个数成等差
数列，且它们的和为 12，求这四个数．
解 方法一：设前三个数分别为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216， 所以 a3＝216.所以 a＝6. 因此前三个数为6q，6,6q.由题意知第 4 个数为 12q－6. 所以 6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23.故所求的四个数为 9,6,4,2.
二、讲授新知
(1)解 由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝13(a1－1)，
（一）等比数列的判定与证明
∴a1＝－12.又 S2＝13(a2－1)，
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
Sn＝13(an－1)(n∈N*)．
(2)证明 当 n≥2 时，
第2课时 等比数列的判定与性质
一、复习引入
1.等比数列的定义； 2.等比中项； 3.等比数列的通项公式（含推广公式）.
二、讲授新知
（一）等比数列的判定与证明 1．定义法： an ＝q(n∈N*且n≥2，常数q 不为0)； an－1 2．等比中项法：a2n＝an－1an＋1(n∈N*且 n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1＝aq1·qn＝A·qn(A≠0)．
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质
[课时作业][A 组 基础巩固]1．如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列解析：设b n ＝a 2n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫an ＋1a n 2＝q 2， ∴{b n }为等比数列；2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ≠常数； 当a n <0时，lg a n 无意义；设c n ＝na n ，则c n ＋1c n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝n ＋1n ·q ≠常数．答案：A2．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，a 23＝a 1a 4，即 (a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9. 答案：D3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于() A ．16 B ．32C ．64D ．256解析：由已知，得a 1a 19＝16.又∵a 1·a 19＝a 8·a 12＝a 210，∴a 8·a 12＝a 210＝16.又a n >0，∴a 10＝4，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.答案：C4．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( ) A ．9 B ．1C ．2D ．3解析：∵a 3a 5a 7a 9a 11＝a 51q 30＝243，∴a 29a 11＝a 21q 16a 1q 10＝a 1q 6＝5243＝3.答案：D5．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1 C.12 D.18解析：由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)⇒a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8⇒q ＝2，故a 2＝a 1q ＝12. 答案：C6．等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5＝________.解析：由题意，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)q 2＝9，∴q 2＝9.又a n >0，∴q ＝3.故a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝9×3＝27.答案：277．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝1q＝－2. 答案：－28．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.解析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1，因为b >0，所以b ＝1.答案：19．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式． 解析：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q .∵a 25＝a 10,2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①2(q 2＋1)＝5q ， ② 由①，得a 1＝q ，由②，得q ＝2或q ＝12. 又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，∴a n ＝2n .10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，求log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值．解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，即log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝1. ∴a n ＋1a n＝3. ∴数列{a n }是等比数列，公比q ＝3.则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3·(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13[33·9]＝－5. [B 组 能力提升]1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2D ．2解析：∵a 3·a 9＝a 26＝2a 25，∴q 2＝⎝⎛⎭⎫a 6a 52＝2. 又q >0，∴q ＝ 2.∴a 1＝a 2q ＝12＝22. 答案：B2．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2等于( )A ．－4B ．2C ．3D ．－3解析：∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1·a 5. ∴a 22＝(a 2－d )·(a 2＋3d )， 即a 22＝(a 2－2)(a 2＋6)．∴a 2＝3.答案：C3．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.答案：164．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．解析：不妨设a >b ，由根与系数的关系得a ＋b ＝p ，a ·b ＝q ，则a >0，b >0，则a ，－2，b 为等比数列，a ，b ，－2成等差数列，则a ·b ＝(－2)2＝4，a －2＝2b ，∴a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9.答案：95．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 解析：由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝2a n＋1. 所以1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)． 又a 1＝1，所以1a 1＋1＝2， 所以数列{1a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以1a n＋1＝2×2n －1＝2n ， 所以a n ＝12n －1. 6．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3.(1)求d ，q 的值；(2)是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝b 1q ，a 1＋7d ＝b 1q 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝5，q ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，q ＝1.(舍) (2)由(1)知a n ＝1＋(n －1)·5＝5n －4，b n ＝b 1q n －1＝6n －1. 由a n ＝log a b n ＋b ，得5n －4＝log a 6n －1＋b ， 即5n －4＝n log a 6＋b －log a 6.比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧ log a 6＝5，b －log a 6＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝615，b ＝1. 所以存在a ＝615，b ＝1，使得对一切自然数，都有a n ＝log a b n ＋b 成立.。
人教A版高中数学 必修五 2.4 第2课时 等比数列的性质(教案)
2.4等比数列（2）教学重点1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生由学习小组汇报探究结果.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. 第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8, 而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0).师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课 ［合作探究］ 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生 用等差数列1，2，3，…师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q ∈N *)，则a k +a s =a p +a q .师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？ 生 思考、讨论、交流.师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系. ［教师精讲］师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++qp sk a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t .师 让学生给出上述猜想的证明. 证明：设等比数列{a n }公比为q ， 则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t, 所以有a k ·a s =a p ·a t .师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t . 师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？ 生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价. 师 上述性质有着广泛的应用. 师 出示投影胶片2：例题2例题2（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18; （2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18.解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积. 解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. (3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8. 解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458. 另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. ［合作探究］师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法. 例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例 n )32(3⨯-5×2n -1 1)34(10-⨯-n是自选1 自选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. ［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为 (a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1), 即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *),所以{a n ·b n }是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察： 证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为 a n b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq) n -1, 所以{a n ·b n }是一个等比数列. 课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3。
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
2.4 第2课时 等比数列的性质
2 3 4
由此可知，等比数列 an 的通项公式为
an a1 q
n 1
观察数列
(1) 1，2，4，8，16，…
(2)8, 4, 2, 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 ,
公比 q=2 公比 q=
1 2
(3) 4，4，4，4，4，4，4，… (4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，… 以上4个数列的公比分别为：
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(10)当m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时，am ,
an , a
p
成等比数列。
例：已知{an},{bn}是项数相同的等比数列，求证{an•bn} 是等比数列.
迭加法 加-乘
an a1 (n 1)d
迭乘法
an a1 q (a1 q 0)
n 1
乘—乘方
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
性质１： an=am+(n-m)d 性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 ， 则2an=an+k+ an-k 性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq
证明或判断一个数列为等比数列的方法: (1)an/an-1=q (n2 且q≠0){an}为等比数列. (适用于选择、填空题和解答题) (2)an=cqn (c,q≠0){an}为等比数列.
(适用于选择、填空题)
(3) a2n+1=anan+2{an}为等比数列. (适用于选择、填空题)
等比数列的性质和计算
等比数列的性质和计算等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以一个常数的结果。
这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的性质和计算方法在数学中有着重要的应用。
一、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：在等比数列中，公比q不等于0时，若首项为a，则第n项为an-1乘以公比q的n-1次方。
即，第n项为a * q^(n-1)。
2. 公比的绝对值小于1时：当公比q的绝对值小于1时（|q| < 1），等比数列的通项公式可以简化为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列逐渐趋近于0。
3. 公比的绝对值等于1时：当公比q的绝对值等于1时（|q| = 1），等比数列的通项公式可以简化为：若q = 1，则数列每一项都相等。
若q = -1，则数列的奇数项为相同的正数，偶数项为相同的负数。
4. 公比的绝对值大于1时：当公比q的绝对值大于1时（|q| > 1），等比数列的通项公式为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列的绝对值逐渐增大或减小。
二、等比数列的计算方法1. 求和公式：若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a为首项，q为公比。
2. 求数列中某一项：若已知等比数列的首项a和公比q，可以通过通项公式直接计算第n项。
3. 求等比数列的项数：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列中的某一项An，可以通过求对数的方法计算项数n。
4. 求等比数列的前n项和：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列的项数n，可以通过求和公式计算前n项和Sn。
例题一：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第5项和前5项的和。
解：第5项：a * q^(n-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 48。
前5项的和：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1) = 3 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 3 * (32 - 1) = 3 * 31 = 93。
等比数列的性质
类比等差数列的性质，等比数列可能有哪 些性质呢？
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
性质1： an=am+(n-m)d 性质2：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 ， 则2an=an+k+ an-k 性质3： 若n+m=p+q, 则am+an=ap+aq
{bn}是公比为q的等比数列
在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它前后两
项的等比中项．
注意：关于等比数列中项的理解应注意体会以下几点：
(1) a、b异号时，没有等比中项；
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末 项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项； (3)“a、G、b成等比数列”等价于G 2＝ab(ab>0) ，可以用 它来判断或证明三数成等比数列．
猜想1： 若bn-k,bn,bn+k 猜想2： 是{bn}中的三项,则
猜想3：若n+m=p+q，则 bn·bm=bp·bq
猜想1
例1：在等比数列{an}中，若a4＝27，q＝-3，求a7； 解：方法1：由a4＝a1·q3得27＝a1· (－3)3，得
a1＝－1，∴a7＝a1·q6＝(－1)·(－3)6＝－729.
n 1
a n a m q
试比较
n m
a n a1q
n 1
与上式
例2：在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则a3等 于( )
a9 3 9 6 3 q q a6 2 a 6 a 3q 3 a6 a3 3 4 q
猜想3
在等比数列中， 若m+n=p+k (m,n,p,k为正整数） 则am+an=ap+ak
高中数学必修5课件：第2章2-4-2等比数列的性质
数学 必修5
第二章 数列
温故知新
1.等比数列{an}，对于任意正整数 n，都有aan＋n 1＝________.
[答案] q 2．等比数列{an}，对于任意正整数 n、m 都有aamn＝________. [答案] qn－m
数学 必修5
第二章 数列
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
数学 必修5
第二章 数列
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以a5＋a9＝178， 又因为a7是a5，a9的等比中项， a5·a9＝1.
所以a27＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
数学 必修5
第二章 数列
【错因】 上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9
均为正数且公比为q＝±
a7 a5
＝±
第二章 数列
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似， 但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提 出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的 讨论和说明．
课时作业31：2.4 第2课时 等比数列的性质
2.4 第2课时 等比数列的性质1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 答案 D解析 因为等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2， 故a 2<0，a 3>0，…，所以数列{a n }是摆动数列．2．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( )A.32B.23 C ．－23D.23或－23 答案 C解析 因为a 4＝a 2·q 2，所以q 2＝a 4a 2＝818＝49. 又因为a 1<0，a 2>0，所以q <0.所以q ＝－23. 3．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13B ．3C ．±13D ．±3答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0.则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 4．公比为32的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 因为a 3a 11＝16，所以a 27＝16.又因为a n >0，所以a 7＝4，所以a 16＝a 7q 9＝32，即log 2a 16＝5.5．(多选)设{a n }是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是( )A ．{a 2n}是等比数列 B ．{a n a n ＋1}是等比数列C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列 D ．{lg|a n |}是等比数列答案 ABC解析 由{a n }是等比数列可得a n a n －1＝q (q 为定值)．A 中，a 2n a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫a n a n －12＝q 2为常数，故A 正确；B 中，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，故B 正确；C 中，1a n 1a n －1＝a n －1a n ＝1q 为常数，故C 正确；D 中，lg|a n |lg|a n －1|不一定为常数，故D 错误．6．已知数列{a n }是等比数列，且a n >0，a 3a 5＋2a 4a 6＋a 5a 7＝81，则a 4＋a 6＝________. 答案 9解析 因为数列{a n }为等比数列，且a 3a 5＋2a 4a 6＋a 5a 7＝81，所以a 24＋2a 4a 6＋a 26＝81，所以(a 4＋a 6)2＝81，又a n >0，所以a 4＋a 6＝9.7．在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ，a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024. 8．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的数量为________．答案 46 656解析 设第n 天峰巢中的蜜蜂数量为a n ，根据题意得数列{a n }成等比数列，a 1＝6，q ＝6，所以{a n }的通项公式a n ＝6×6n －1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a 6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂．9．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．解 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64.又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4， 此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14， 此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1.∴a 11的值为64或1.10．在等比数列{a n }中，a 1>1，公比q >0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n .(1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q (q >0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2.又因为a 1>1，所以b 1＝log 2a 1>0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1， 因此S n ＝4n ＋n (n －1)2×(－1)＝9n －n 22. 又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4， 即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *)．11．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 因为{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)·(－1)＝a 1＋1－n ，S n ＝na 1＋12n ·(n －1)·(－1)，由S 1，S 2，S 4成等比数列可知S 22＝S 1·S 4，代入可得(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，解得a 1＝－12. 12．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 13．已知在等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________.答案 8解析 由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7. ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.14．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 根据等比数列的性质可得a 10a 11＝a 9a 12，所以a 10·a 11＝e 5.令S ＝ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20，则S ＝ln a 20＋ln a 19＋…＋ln a 1，于是2S ＝20ln(a 1a 20)＝20ln(a 10a 11)＝20ln e 5＝100，所以S ＝50.15．在等比数列{a n }中，若a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________.答案 23或32解析 ∵{a n }是等比数列，∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2. ∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝32或q 10＝23. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或32. 16．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项公式．解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得d (d －a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…成等比数列，∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3d d＝3， ∴n k a ＝a 1·3n ＋1. 又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n ＋1(n ∈N *)．。
第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质
等差数列
(1)强调每一项与前一项的 差 (2)a1 和 d 可以为 0 区 (3)任意两个实数的等差中 别 项唯一
(4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈ N*)时, am+an=ap+aq
等比数列
(1)强调每一项与前一项的比
(2)a1 与 q 均不为 0 (3)两个同号实数(不为 0)的等 比中项有两个值 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 时, aman=apaq
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a
与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.
【做一做2】 已知10是a与20的等比中项,则a=
.
答案:5
-4-
第2课时 等比数列的性质
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.等比数列的性质 剖析已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1·qn-1. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0 或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列; 当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项 同号,但是奇数项与偶数项异号). (2)an=am·qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,有am·an=ap·aq.但am+an≠ap+aq.当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am·an = ���������2��� . (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=am·an-m+1.
高中数学 2-4-2等比数列的性质课件 新人教A版必修5
1 1 ∴{bn}是首项为 a－4，公比为2的等比数列．
在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中， 已知 a1 ＝1，且 a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q； (2)是否存在常数 a， b 使得对一切正整数 n， 都有 an＝logabn ＋b 成立？若存在，求出 a 和 b；若不存在，说明理由．
1 bn＋1 2n 1d 1 ∴ ＝ ＝ ， bn 1 2 2nd
＋
∴数列{bn}是等比数列．
[辨析]
①在解方程变形过程中，不可在方程两边同时约
去含未知量的因式， 错解中， 由 d2＝a1d 约去 d 得出 d＝a1 是错 bn＋1 误的， ②在判定{bn}是等比数列， 做除法 b 时， 应先说明 bn≠0. n
等比数列的综合应用
1 设 数 列 {an} 的 首 项 a1 ＝ a≠ 4 ， 且 an ＋ 1 ＝
n为偶数 . n为奇数
1 记 bn＝a2n－1－4，n＝1,2,3，„„. (1)求 a2、a3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
[解析]
1 1 1 1 1 (1)a2＝a1＋4＝a＋4，a3＝2a2＝2a＋8.
(8){an}是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项积相 等，且等于首末两项之积．即：a1an＝a2 an－1 ＝a3 an－2 ＝„＝ ak an－k＋1 .
(9)若数列{an}是各项均为正数、公比为 q 的等比数列，则 数列{lg an}是公差为 lgq 的等差数列．
重点难点展示
重点：等比数列的性质． 难点：灵活运用等比数列的性质解决一些实际问题．
[正解]
∵lga1，lga2，lga4 成等差数列，
高中数学：第2章 数列 §2.4-第2课时
第2课时等比数列的性质1.等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于A.4B.8C.16D.32解析因为{a n}是等比数列，所以a2·a6＝a24＝16.★答案★ C2.在正项等比数列{a n}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a40a50a60的值为A.32B.256C.±64D.64解析因为a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，所以a1a99＝16，又a40a60＝a1a99＝a250，{a n}是正项等比数列，所以a50＝4，所以a40a50a60＝a350＝64.★答案★ D3.在等比数列{a n }中，a n ＞a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于A.32B.23C.16D.6解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，a 4＋a 14＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3a 14＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3.又因为a n ＞a n ＋1，所以a 4＝3，a 14＝2. 所以a 6a 16＝a 4a 14＝32. ★答案★ A4.在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝________. 解析 因为数列{a n }为等比数列，所以a 3＝a 1·q 2，a 4＝a 2·q 2，a 5＝a 3·q 2， 所以a 3＋a 4＋a 5＝a 1·q 2＋a 2·q 2＋a 3·q 2＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)， 又因为q ＝2，所以a 3＋a 4＋a 5＝4(a 1＋a 2＋a 3)， 因为前3项和为21，所以a 1＋a 2＋a 3＝21， 所以a 3＋a 4＋a 5＝4×21＝84. ★答案★ 845.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________.解析 设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.★答案★ 3或27[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列解析a n－1a na n－2a n－1＝a n－1a n－2·a na n－1＝q·q＝q2(n≥3)，所以新数列是公比为q2的等比数列.★答案★ B2.已知等比数列{ a n}中a7＝－1，a19＝－8，则a13＝A.－22B.22C.16D.－32解析由等比数列的性质得：a19a7＝(q6)2＝8，q6＝22，a13＝a7·q6＝(－1)·22＝－2 2.★答案★ A3.已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于A.2B.4C.8D.16解析由数列{a n}是等比数列，且a3a11＝4a7，得a27＝4a7，∴a7＝4或a7＝0(舍).所以在等差数列{b n}中，有b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.★答案★ C4.设各项为正数的等比数列{a n}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.230B.210C.220D.215解析 由a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230得a 301·21＋2＋…＋29＝a 301·229×302＝230.∴a 101·2145＝210. ∴a 101＝2－135.∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 101·22＋5＋8＋…＋29＝a 101·2155＝2－135×2155＝220.★答案★ C5.已知数列{a n }(n ∈N *)是首项为1的等比数列，设b n ＝a n ＋2n ，若数列{b n }也是等比数列，则b 1＋b 2＋b 3＝A.9B.21C.42D.45解析 设数列{a n }的公比为q ，则a 2＝q ，a 3＝q 2，∴b 1＝a 1＋21＝3，b 2＝a 2＋22＝q ＋4，b 3＝a 3＋23＝q 2＋8.∵数列{b n }也是等比数列，∴(q ＋4)2＝3(q 2＋8)，解得q ＝2.当q ＝2时，a n ＝2n －1，b n ＝3·2n －1，符合题意，故q ＝2.∴b 1＋b 2＋b 3＝3＋6＋12＝21.★答案★ B6.(能力提升)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是A.－15B.－5C.5D.15解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1a n＝1，得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列.因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.★答案★ B二、填空题(每小题5分，共15分)7.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7的值等于________. 解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)，所以a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.★答案★ 428.若－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，则b ＝________，ac ＝____________.解析 因为－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，所以b 2＝(－1)×(－9)＝9，设公比为q ，则b ＝－1·q 2<0，故b ＝－3，又－1，a ，b 成等比数列，所以a 2＝－b ＝3，同理c 2＝27，所以a 2c 2＝3×27＝81.又a ，c 符号相同，所以ac ＝9.★答案★ －3 99.(能力提升)画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米.解析 这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048.★答案★ 2 048三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.解析 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d ). 若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不符合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0，或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.11.(12分)互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数.解析 设三个数为aq，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q ，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4， ∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾； (2)若－2q 为－2q与－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4，－2，1； (3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q ，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为1，－2，4.综合(1)(2)(3)可知，这三个数为－2，1，4.12.(12分)(能力提升)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3，4S 2＝S 4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{2a n }是等比数列； (3)求使得S n ＋2＞2S n 成立的n 的集合. 解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4×（2a 1＋d ）＝4a 1＋6d .解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)依题意，得2a n 2a n －1＝22n －122n －3＝4，所以数列{2a n }是首项为2，公比为4的等比数列. (3)由a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，得S n ＝n 2， 所以S n ＋2＞2S n ⇒(n ＋2)2＞2n 2⇒(n －2)2＜8. 所以n ＝1，2，3，4， 故n 的集合为{1，2，3，4}.。
课件-2.4.2等比数列性质
等差数列
一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等差数列 等比数列 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列
定 义
符号 语言
an1 an d n N
等比数列的性质一 若数列 {an}为等比数列，且 m , n , s , t + N
若m+n=s+t , 则aman=asat
则aman=as2 若m+n=2s ,
1.等比数列an 中，an 0, a3 a6 32, 则 log 2 a1 log 2 a2 log 2 a8 ( C ) A.128
如：奇数项a1 , a3 , a5 , a7 ,, a2k -1 ,成等比数列，
等差数列的性质
若an 是公差为d的等差数列，则
（1）c an 是公差为d的等差数列； （2）c an 是公差为cd的等差数列.
等比数列的性质三
q （1） c an 0）是公比为_____的等比数列； （c
3. (2004全国Ⅰ卷文)已知等比数列{an} , a3=8 , a10=1024 则该数列的通项an= 2n . 4. 等比数列{an}中，a2+a3=6 , a2a3=8 ,则公比q=________
当a2=2,a3=4时，q=2 当a2=4,a3=2时，q=1/2
课堂小结：
1.若数列 {an}为等比数列，且 m , n , s , t + N
an1 qn N , q 0 an
通项 公式
an a1 n 1d
第2课时等比数列的性质及应用
【解析】由题意得a22 ＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 得d(d－a1)＝0，又d≠0，所以a1＝d. 又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列， 所以该数列的公比q＝aa13 ＝3dd ＝3， 所以akn＝a1·3n＋1.又akn＝a1＋(kn－1)d＝kna1， 所以数列{kn}的通项公式为kn＝3n＋1.
则有A＝bbn＋n 1
＝
a4n＋1＋a4n＋2＋a4n＋3＋a4n＋4
a4（n－1）＋1＋a4（n－1）＋2＋a4（n－1）＋3＋a4（n－1）＋4
＝24，
cn＝a4(n－1)＋1·a4(n－1)＋2·a4(n－1)＋3·a4(n－1)＋4， 则cn＋1＝a4n＋1·a4n＋2·a4n＋3·a4n＋4，
则有B＝cnc＋n 1
＝
a4n＋1·a4n＋2·a4n＋3·a4n＋4
a4（n－1）＋1·a4（n－1）＋2·a4（n－1）＋3·a4（n－1）＋4
＝216，
则AB ＝22146 ＝2112 .
答案：2112
探究点三 由递推公式转化为等比数列求通项 【典例3】已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列． 【思维导引】(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn 和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}，利用定义证明．
主题2 由等比数列衍生的等比数列
已知等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，判断下列说法是否正确．
(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；
1 (3)an
是等比数列；(4){a2n}是等比数列．
2018春高中数学必修五课件：2.4 第2课时 等比数列的性质3 精品
.
2.(变换条件、改变问法)典例中等比数列满足的条件 改为a4+a7=2，a5·a6=-8，求a1+a10.
【解析】因为数列{an}为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8.
联立
a a
4 4a7
a7
2， 8.
可解得
a 4 a 7
4， 或
2.
a a
4 7
2， 4.
当
a a
4 7
时4，，q3=-
22
1 201 20 ln 2 105ln 2.
2
2
2.(变换条件、改变问法)将本题条件“a10a11+a9a12 =2e5”改为“a3a8=9”，其他条件不变，求log3a1+ log3a10的值. 【解析】log3a1+log3a10 =log3(a1·a10)=log3(a3·a8)=log39=2.
【解析】由a4a7=-512，知a3a8=-512.
解方程组
a3a8 512， a3 a8 124.
得
a3 a8
4， 或
128.
a a
3 8
128， 4.
因为q为整数，所以q=5
a8
=-2，
a3
所以an=a3qn-3=-4×(-2)n-3=(-1)n-2×2n-1.
【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例中条件“a4a7=-512，a3+a8=124， 且公比为整数”改为“a7·a11=6，a4+a14=5”，则结果 又如何？
【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a3a9=a62，又因
为a3a9=2a52，所以2a52=a62，又因为an>0，所以2 a5=a6
高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质aa高二数学
『规律总结』 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数， 可设qa3，aq，aq，aq3.
第二十四页，共四十二页。
• 〔跟踪练习2〕
第十四页，共四十二页。
命题(mìng tí)方向1 ⇨等比数列的性质
•
例题(lìtíபைடு நூலகம் 1在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){an}中，已知a4a7＝－512，a3＋
a8＝124，且公比为整数，则a10＝___51_2___.
[解析] 由等比数列的性质，得 a3a8＝a4a7＝－512， 由aa33＋ a8＝a8＝ －152142，得
－4,2,8
• [分析] (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组
求解．
• (2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一
个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题 的关键．
第二十五页，共四十二页。
25，那么a3＋a5＝
()
A
• A．5 B．10
• C．15 D．20
[解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a25，a2a4＝a23， ∴(a3＋a5)2＝a23＋2a3a5＋a25， ＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， ∴a3＋a5＝±5. ∵an>0，∴a3＋a5＝5.
第十二页，共四十二页。
• (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列(děnɡ chā shù liè)， 则这四个数为__3_,_6_,1_2_,2_4________.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2章 2.4 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列：
①{a n 3}；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}；④{a n ＋a n ＋1}，其中是等比数列的有________个( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析： 对于①，因为a n ＋13a n 3＝⎝⎛a n ＋1a n 3＝q 3(常数)，所以{a n 3}是等比数列；
对于②，因为pa n ＋1pa n ＝a n ＋1
a n
＝q (常数)，所以{pa n }是等比数列；
对于③，因为a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2
(常数)，所以{a n ·a n ＋1}是等比数列；
对于④，q ≠－1时，因为a n ＋1＋a n ＋2a n ＋a n ＋1＝a n q ＋a n ＋1q a n ＋a n ＋1＝q (a n ＋a n ＋1)
a n ＋a n ＋1＝q (常数)
∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列，若q ＝－1，a n ＋a n ＋1＝0，不是等比数列，故选C. 答案： C
2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1 C ．(－2)n
D ．－(－2)n
解析： a 5＝－8a 2＝a 2·q 3 ∴q ＝－2 ∵a 5>a 2 ∴a 5>0>a 2 ∴a 1>0
∴a n ＝(－2)n －1，故选A. 答案： A
3．等比数列{a n }中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为( ) A ．3×10－5
B ．3×29
C ．128
D ．3×2－5或3×29
解析： ∵a 2＝a
3q
，a 4＝a 3q ，
∴a 2＝12
q
a 4＝12q . ∴
12
q
＋12q ＝30.即2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝1
2
或q ＝2.
a 10＝a 3·q 7＝12×⎝⎛⎭⎫1
27＝3×2－5
或a 10＝12×27＝3×29.故选D. 答案： D
4．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n
(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1
＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )
A ．n (2n －1)
B ．(n ＋1)2
C ．n 2
D ．(n －1)2
解析： 由a 5·a 2n －5＝22n
(n ≥3)得a n 2
＝22n
，又a n >0，则a n ＝2n
，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n
－1
＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，故选C. 答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在等比数列{a n }中，a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 9
2
a 11的值为________．
解析： 由等比数列的性质知a 3a 11＝a 5a 9＝a 72
得a 75
＝243， ∴a 7＝3，而a 7a 11＝a 92
，∴a 92a 11
＝a 7＝3.
答案： 3
6．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2
b 2的值为________．
解析： 方法一：∵a 1＋a 2＝1＋4＝5， b 22＝1×4＝4，且b 2与1,4同号， ∴b 2＝2，∴
a 1＋a 2
b 2＝5
2
2.5. 方法二：设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， ∵1＋3d ＝4，∴d ＝1，∴a 1＝2，a 2＝
3. ∵q 4＝
4.∴q 2＝2.∴b 2＝q 2＝2. ∴
a 1＋a 2
b 2＝2＋3
2
＝2.5. 答案： 2.5
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式． 证明： ∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1，
∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1
＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n . ① 又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0. 由①式可知，a n ≠0， ∴由
a n ＋1
a n
＝2知{a n }是等比数列， a n ＝－2n －1.
8．(1)有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四个数．
(2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数． 解析： (1)由题意设此四数为b
q ，b ，bq ，a ，
则有⎩⎪⎨⎪
⎧
b 3
＝－82bq ＝a ＋b ，
ab 2q ＝－80
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝10
b ＝－2
q ＝－2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－8
b ＝－2q ＝52
，
所以这四个数为1，－2,4,10或－4
5
，－2，－5，－8.
(2)设这四个数分别为a 、aq 、aq 2、aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列，
据题意⎩⎪⎨⎪⎧
2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2
－4)
2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3
－13). 整理得⎩⎪⎨⎪⎧
a (q －1)2＝3aq (q －1)2
＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝2
a ＝3
. 因此所求四个数为3,6,12,24. 尖子生题库 ☆☆☆
9．(10分)若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1
＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.
(1)求d 和q ；
(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *
都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在求出a 、b 的值，若不存在，请说明理由．
解析： (1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋d ＝q
1＋5d ＝q 2，
解得d ＝3，q ＝4.
(2)假设存在常数a ，b ，由a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b 得3n －2＝log a 4n －1＋b ， 即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *
都成立，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－log a 4＝0log a 4－b －2＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝34
b ＝1，所以存在常数a ＝3
4，b ＝1使等式成立．。